TALLER PROGRAMACIN LINEAL II-2014

ESTUDIANTES:

PABLO ANDRS GALVIS ACEVEDO C.C.: 1.052.395.359

DANIEL ALEXANDER GMEZ MEDINA C.C.: 1.052.395.360

TUTOR DE CURSO

CESAR AUGUSTO FIGUEREDO GARZN

ECACEN - PROGRAMA: ADMINISTRACIN DE EMPRESAS

ECBTI - PROGRAMA: INGENIERA INDUSTRIAL

100101- PROGRAMACIN LINEAL

CEAD: DUITAMA - BOYAC

SEPTIEMBRE DE 2014

TALLER PROGRAMACIO N LINEAL II-2014 Problema 1: Una compaa de transporte dispone de 10 camiones con capacidad de 40000 libras y de 5 camiones con capacidad de 30000 libras. Los camiones grandes tienen un coste de transporte de 30 cntimos/milla, y los pequeos de 25 cntimos/milla. En una semana la compaa debe transportar 400000 libras en un recorrido de 800 millas. La posibilidad de otros compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeos mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. Cul es el nmero de camiones de ambas clases que debe movilizarse para ese transporte de forma ptima y teniendo en cuenta las restricciones?

Cuadro de Resumen:

Camiones Cantidad Capacidad libras Coste en cntimos/milla

A1 10 40000 30

A2 5 30000 25

Funcin: Max Z = 30 x 800 A1 + 25 x 800 A2

Restricciones del Problema: 40000 A1 + 30000 A2 400000 A1 10 A2 5 2 A2 1 A1

Restriccin Natural: A1 , A2 0

Problema 2: Se pide que formules el siguiente problema de programacin lineal: Tienes 2200 euros disponibles para invertirlos durante los prximos cinco aos. Al inicio de cada ao puedes invertir parte del dinero en depsitos a un ao o a dos aos. Los depsitos a un ao pagan un inters del 5 %, mientras que los depsitos a dos aos pagan un 11% al final de los dos aos. Adems, al inicio del segundo ao es posible invertir dinero en obligaciones a tres aos de la empresa X., que tienen un rendimiento (total) del 17 %. Plantea el problema lineal correspondiente a conseguir que al cabo de los cinco aos tu capital sea lo mayor posible.

Cuadro de Resumen:

Depsitos No. de Aos en inversin

Intereses

D0 0 0

D1 1 5% 0.05 D2 2 11% 0.11 D3 3 17% 0.17

Denotamos los aos de inversin con i: 1, 2, 3, 4, 5 Denotamos los depsitos con j: 0, 1, 2, 3 Entonces: Dij

Funcin: Max D60 Restricciones del Problema: 2200 = D10 + D11 + D12

D10 + 1,05 D11 = D20 + D21 + D22 + D23 D20 + 1,05 D21 + 1,11 D12 = D30 + D31 + D32 D30 + 1,05 D31 + 1,11 D22 = D40 + D41 + D42

D40 + 1,05 D41 + 1,11 D32 + 1,17 D23 = D50 + D51 D50 + 1,05 D51 + 1,11 D42 = D60

Restriccin Natural: Dij 0 i: 1, 2, 3, 4, 5 j: 0, 1, 2, 3

Problema 3: Una compaa quiere construir un gran dique en un rea lejana. Para su construccin necesita mezclar el hormign en el lugar de construccin del dique, pero dicho hormign se tiene que producir en cuatro lugares lejanos al del dique. El hormign se produce a partir de la mezcla de distintos materiales (grava, arena, etc.). La siguiente tabla muestra las cantidades mximas disponibles para cada material y los costes de transporte de cada origen de produccin del material al rea del dique.

Tipo de material Cantidad disponible (m3) Coste de transporte (e/m3)

A 8000 5,2

B 16000 7,5

B 9000 3,9

D 6000 5,1

Para la construccin del dique se requieren 2 tipos de hormign que se producirn con distintas mezclas de los cuatro materiales. A continuacin se muestran los requisitos de las 2 mezclas: Mezcla 1: como mucho puede contener un 50% de ingredientes de A y B a la vez; al menos tiene que contener un 10% de ingredientes de C; Los ingredientes de A, B, C y D deben suponer al menos el 98% de la mezcla. Mezcla 2: el ingrediente A debe estar presente en al menos el 20% de la mezcla; C y D deben suponer al menos la mitad de A y B; Los ingredientes de A, B, C y D deben suponer al menos el 99% de la mezcla. La siguiente tabla muestra los costes de cada mezcla y las cantidades mnimas requeridas.

Tipo de hormign

Coste de la mezcla (e/m3)

Cantidad mnima necesitada (m3)

Mezcla 1 5.7 9000

Mezcla 2 6.3 15000

El objetivo de la compaa es producir la cantidad necesaria de hormign con el menor coste posible. Formular, pero no resolver, un problema de programacin lineal apropiado para que la compaa tome una decisin. Explicar claramente el significado de cada variable que introduzcas en la formulacin.

Resumen: Denotamos cantidad de materia usada con la mezcla con: M Denotamos el tipo de material con: A, B, C, D Denotamos la cantidad de hormign producido por la mezcla: E Denotamos el tipo de mezcla con: 1, 2

Funcin: Min Z = 5,2 (MA1+MA2) + 7,5 (MB1+MB2) + 3,9 (MC1+MC2) + 5,1 (MD1+MD2) + 5,7 E1 + 6,3 E2 Restricciones del Problema: MA1 + MA2 8000 MB1 + MB2 16000 MC1 + MC2 9000 MD1 + MD2 6000

E1 9000 E2 15000 MA1 + MB1 0,5 E1 MC1 0,1 E1 MA1 + MB1 + MC1 + MD1 0,98 E1 MA2 0,2 E2 MC2 + MD2 0,5 ( MA2 + MB2 ) MA2 + MB2 + MC2 + MD2 0,99 E2

Restriccin Natural: A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2, F1, F2 0

Problema 4: Una factora fabrica dos tipos de productos, A y B. Para su elaboracin se requieren dos mquinas, M1 y M2. El artculo A necesita 2 horas de trabajo de la mquina M1 y 1.5 horas de la maquina M2. El artculo B, 1.5 horas, y 1 hora, respectivamente. Cada mquina est funcionando, a lo sumo, 40 horas semanales. Por cada unidad del artculo A se obtiene un beneficio de 250e, mientras que por cada unidad del artculo B es de 150e. Cuntas unidades de A y cuntas de B deben fabricarse semanalmente para obtener un beneficio mximo?

Cuadro de Resumen:

Productos Maquina 1 Maquina 2 Beneficio

A 2 h 1,5 h 30 B 1,5 h 1 h 25

Funcin: Max Z = 250 A + 150 B

Restricciones del Problema: 2 A + 1,5 B 40 1,5 A + B 40

Restriccin Natural: A , B 0

Problema 5: La produccin anual de una fbrica de cemento es de dos millones y medio de contenedores. La fbrica dispone de colectores mecnicos para controlar la contaminacin del aire pero, pese a ello, por la fabricacin de cada contenedor se emiten dos unidades de contaminacin al aire. Por esta razn, se propone a la industria que remplace sus colectores por precipitadores electrostticos, que pueden ser de dos tipos; el tipo A reduce la emisin de partculas contaminantes a la cuarta parte, y el tipo B a la dcima parte. Los costes asociados al funcionamiento de los precipitadores son de 0.14e por contenedor, para el tipo A y de 0.18e por contenedor para el tipo B. Si la contaminacin debe reducirse en 4200000 unidades, Cuntos contenedores de cemento deben seguir tratamiento anti-contaminante en cada tipo de precipitador para que el coste de la operacin sea el menor posible?

Cuadro de Resumen:

Precipitadores Tipo Reduccin Coste e

A

0,14

B

0,14

Funcin: Min Z = 0,14 A + 0.18 B

Restricciones del Problema: A + B 2500000

B 4200000

Restriccin Natural: A , B 0

Problema 6:

A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No debe tomar ms de 150 g de la mezcla ni menos de 50g. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir ms de 100 g de A

Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 caloras y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150 caloras, utilizando el mtodo SIMPLEX:

a) Cuntos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado ms rico en vitaminas?

b) Y el ms pobre en caloras?

Cuadro de Resumen:

Productos Vitaminas en 100g Caloras en 100g

A 30 mg 0.3g 450 Caloras

B 20 mg 0.2g 150 Caloras

Funcin: a) Max Z = 0.3 A + 0.2 B

b) Min Z = 450 A + 150 B

Restricciones del Problema: 50 ( A + B ) 150 A B

A 100

Restriccin Natural: A , B 0

Problema 7: La compaa Minas Universal opera tres minas en Puerto Ordaz, el mineral de cada una se separa, antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de produccin de las minas as como sus costos diarios de operacin son los siguientes:

Mineral de Grado alto

ton/da

Mineral de grado bajo

Ton/da

Costo de operacin

miles/da

Mina I 4 4 20

Mina II 6 4 22

Mina III 1 6 18

La Universal se comprometi a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Adems, tiene contratos que garantizan a los trabajadores de ambas minas el pago del da completo por cada da o fraccin de da que la mina est abierta. Utilizando el mtodo SIMPLEX, determnar el nmero de das que cada mina debera operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total mnimo.

Resumen: Denotamos a las minas con: A, B, C Denotamos a mineral de grado alto con: 1 Denotamos a mineral de grado alto con: 2

Funcin: Min Z = 20 A + 22 B + 18 C Restricciones del Problema: 4A1 + 6B1 + C1 = 54 4A2 + 4B2 + 6C2 = 65 A 7 B 7 C 7

Restriccin Natural: A, B, C 0

Problema 8:

Una Empresa metalmecnica, puede fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C, D) en cualquier combinacin. La produccin da cada producto requiere emplear las cuatro mquinas. El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro mquinas, se muestra en la tabla anexa Cada mquina est disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden vender a $8, $6, $5 y $4 por kilogramo, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de $3 por hora para las mquinas 1 y 2 y de $1 por hora para las mquinas 3 y 4. El costo del material para cada kilogramo de producto A es de $3. El costo de material es de $1 para cada kilogramo de los productos B, C y D. Aplicando el mtodo SOLVER de Excel, la mxima utilidad que puede obtener la empresa.

Tiempo de mquina (Minutos por kilogramo de producto)

Producto Mquina Demanda

1 2 3 4 Mxima

A 10 5 3 6 100

B 6 3 8 4 400

C 5 4 3 3 500

D 2 4 2 1 150

Resumen: 8A 3A 3A = 2A 6B 1B 3B = 2B

5C 1C 1C = 3C 4D 1D 1D = 2D

Funcin: Min Z = 2 A + 2 B + 3 C + 2 D Restricciones del Problema: 10A1 + 6B1 + 5C1 + 2D1 4800 10A1 + 6B1 + 5C1 + 2D1 4800

10A1 + 6B1 + 5C1 + 2D1 4800 10A1 + 6B1 + 5C1 + 2D1 4800

A 100 B 400 C 500

D 150

Restriccin Natural: A, B, C, D 0

Problema 9:

Una compaa produce tres tamaos de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de mquina de modelado. Cada metro del tubo B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Despus de la produccin, cada metro de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente semana, la compaa ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan 2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Como slo se dispone de 40 hrs. Del tiempo de mquina esta semana y slo se tienen en inventario 5,500 kgs de material de soldar el departamento de produccin no podr satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000 kgs de material para soldar y ms tiempo de produccin. No se espera que contine este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de produccin, la gerencia esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japn a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1. A Usted como Gerente del Departamento de produccin, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de produccin de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japn para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compaa.

Tabla 1: Datos referentes al problema:

Tubo tipo Precio de Venta ($/metro)

Demanda

(metros)

Tiempo de Mquina (min/metro)

Material para soldar

(kg/metro)

Costo de Produccin

($/metro)

Costo de compra a Japn ($/metro)

A 10 2,000 0.50 1 3 6

B 12 4,000 0.45 1 4 6

C 9 5,000 0.60 1 4 7

A. Formule el modelo de PL B. Desarrollar el modelo Matemtico y resulvalo

Funcin: Max Z = 7 A + 8 B + 5 C Min Z = 4 A + 6 B + 2 C Restricciones del Problema: 0,5 A + 0,45 B + 0,6 C 2400 A 2000

A 4000 A 5000 A + B + C 5500

Restriccin Natural: A, B, C 0

Problema 10:

La empresa PARMALAT tiene dos mquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada mquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:

LECHE MANTEQUILLA QUESO

DESCREMADA

MAQUINA #1 (min/galn) 0,2 0,5 1,5

MAQUINA #2 (min/galn) 0,3 0,7 1.2

GANANCIA NETA (US$/Galon) 0,22 0,38 0,72

Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada mquina diariamente, como Gerente del Departamento de Administracin, utilizando el programa WINQSB, formule un modelo para determinar un plan de produccin diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mnimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso.

Resumen: Denotamos a los productos con: A, B, C Denotamos las maquinas con: 1, 2

Funcin: Max Z = 0,22 A + 0,38 B + 0,72 C Restricciones del Problema: 0,2 A + 0,5 B + 1,5 C 480 0,3 A + 0,7 B + 1,2 C 480

A 300

B 200

C 100

Restriccin Natural: A, B, C 0