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TALLER UNIFICADO DE ELECTROMAGNETISMO PRIMER CORTE

Departamento De Fı́sica y Geologı́a, Universidad De Pamplona

TEMAS: Todos los referentes al primer corte.

1. En la reacción N 2+i   + 4H 2O → N iO2−4   + 8H + + electrones. Cuantos electrones se liberan?

2. Suponga que durante una tormenta eléctrica, la descarga de corona de un pararrayos disipativo en el aire

circundante asciende a 1×10−4C  de carga positiva por segundo. Si esta descarga pasa más o menos de formaconstante durante una hora, cuánta carga eléctrica fluye fuera de la pararrayos? ¿Cuántos electrones fluyen en

el pararrayos del aire circundante?

3. ¿Es posible que un cuerpo que tiene una carga eléctrica de 2 × 10−19C , 3,2× 10−19C . Explique.

4. Dos esferas pequeñas idénticas tienen una masa  m. Cuando se les coloca en un tazón de radio R  y de paredes

no conductoras y libres de fricción, las esferas se mueven, y cuando están en equilibrio se encuentran a una

distancia R  (ver figura 1). Determine la carga de cada esfera.

Figura 1.  Cargas que alcanzan equilibrio.

5. Dos pequeñas trozos de plástico de masas 5×

10−5g  se separan por una distancia de  1mm. Supongamos quellevan cargas iguales y opuesta. Cual debe ser la magnitud de la carga para que la atracción eléctrica entre

ellos sea igual a su peso?

6. Una part́ıcula con carga  A  ejerce una fuerza de  2,62mN   hacia la derecha sobre una partı́cula con carga  Bcuando las partı́culas están separadas 13,7mm. La partı́cula  B  se mueve recta y lejos de  A  para hacer que ladistancia entre ellas sea de 17,7mm. ¿Qué vector de fuerza se ejerce en tal caso sobre  A?

7. Tres cargas puntuales positivas Q  se colocan en tres esquinas de un cuadrado, y una carga puntual negativa

−Q  se coloca en la cuarta esquina (ver figura 2). El lado del cuadrado es  L. Calcular la fuerza eléctrica netaque las cargas positivas ejercen en la carga negativa.

Figura 2.  Cargas en un cuadrado.

8. Dos cargas iguales Q  están en dos vértices de un triángulo equilátero de lado a; una tercera carga −q  está enel otro vértice. Una cuarta carga q 0  esta situada a una distancia

  a2

 fuera del triángulo a lo largo del la bisectriz

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perpendicular alas cargas  Q  (ver figura 3). Las cuarta carga experimenta una fuerza neta nula. Encuentre el

valor de la relación   qQ .

Figura 3.  Cargas en un cuadrado.

9. En las esquinas de un triángulo equilátero existen tres cargas puntuales, como se ve en la figura 4. Calcule la

fuerza eléctrica total sobre la carga de valor 7mC .

Figura 4.   Cargas en un tri ´ angulo.

10. Dos esferas pequeñas con cargas positivas 3q  y  q  están fijas en los extremos de una varilla aislante horizontalde longitud d. Como se puede observar en la figura (5), existe una tercera esfera pequeña con carga que puede

deslizarse con libertad sobre la varilla. Puede la tercera esfera estar en equilibrio? Es estable este equilibrio?

Explique. ¿En qué posición deberá estar la tercera esfera para estar en equilibrio?

Figura 5.  Cargas en una barra.

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11. Considere dos protones separados una distancia de 1×10−12m. a) Cual es la fuerza de atracción gravitacionalentre los protones? b) Cual es la fuerza eléctrica entre los protones? c) Cual es la relación entre estas dos

fuerzas?

12. Dos cargas puntuales   q 1   = 5µC ,   q 2   = −4µC   están localizadas en   (3, 2, 1)   y   (−4, 0, 6)   respectivamente.Determine la fuerza eléctrica sobre q 1.

13. Tres esferas idénticas de masa  m  están suspendidas por hilos sin masa de longitud  l  de un punto común. Una

carga  Q  esta dividida en partes iguales sobre las esferas. Las esferas alcanzan el equilibrio en las esquinas de

un triángulo equilátero de lados  d. Demuestre que:  Q2 = 12π0mgd3

l2 −   d2

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−1/2.

14. Tres cargas puntuales q 1  = −9µC ,  q 2  = 4µC   y  q 3  = −36µC  se disponen en linea recta. La distancia entreq 1  y q 3  es 9cm. Se sabe que se puede seleccionar una posici ón para q 2  de forma que todas las cargas experi-menten una fuerza neta nula. Determine esta posición.

15. Una linea de carga forma un semicı́rculo de radio  R  como se muestra en la figura (6), la carga por unidad delongitud esta dada por λ  =  λ0 cos θ. Calcule la fuerza sobre una carga q  colocada en el centro de la curvatura.

Figura 6.   Linea de carga en forma semic´ ırculo.

16. El premio Nobel Richard Feynman dijo en alguna ocasión que si dos personas se colocaban a la distancia de

sus brazos una de la otra y cada una de ellas tuviera  1 %  más electrones que protones, la fuerza de repulsiónentre ambos seŕıa suficiente para levantar un “peso”equivalente al de toda la Tierra. Efectúe un cálculo de

magnitudes para sustentar esta afirmación.

17. Un electroscopio simple, sirve para detectar y medir cargas eléctricas. Se compone de dos pequeñas esferas decorcho, cubiertas con laminas metálicas, cada una de masa  m  y están colgadas de un hilo de longitud  l, como

se muestra en la figura (7). Cuando cargas el éctricas iguales se colocan sobre las bolas, la fuerza de repulsión

eléctrica las empuja, logrando que los hilos formen un ángulo θ  entre ellos. a) Encontrar una función para la

carga en cada esfera. b) Calcule la carga si  m  = 1,5× 10−4kg , l  = 10cm  y  θ  = 60◦.

18. El brazo de balanza de torsión de Coulomb fue una varilla con una bola cargada bola en un extremo y un

contrapeso en el otro (ver (8)). La longitud del brazo de la balanza es   l. Suponga que el sensor está a una

distancia d  en una dirección perpendicular al brazo. Si la pelota y el sensor tienen la misma carga  q , encuentre

una función para el torque sobre la balanza. Si  l  = 15cm, d  = 3cm  y  q  = 2× 10−9C  cual es el torque?

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Figura 7.  Representaci´ on del electroscopio.

Figura 8.  Brazo de torsion de Coulomb.

19. El experimento de Millikan mide la carga elemental e  por la observación del movimiento de pequeñas gotitas

de aceite en un campo eléctrico. Las gotitas de aceite están cargadas con una o varias cargas elementales, y

si el de campo eléctrico tiene la magnitud correcta, la fuerza eléctrica sobre la gotita equilibrará su peso, y la

mantiene suspendida en el aire. Suponer que una gotita de aceite de radio de 1× 10−4cm lleva una sola cargaelemental, cual es el campo eléctrico para equilibrar el peso? La densidad del aceite es 0, 80   gcm3 .

20. Tres cargas positivas Q  están en los vertices de un triángulo equilátero. Trace las lı́neas de campo en el plano

del triángulo.

21. Los campos eléctricos tan grandes como  3,4 × 105 N C    se han medido por aviones que vuelan a través nubesde tormentas. Cual es la fuerza en un electrón expuesto a este campo? ¿Cuál es la aceleración?

22. Dos partı́culas con carga se encuentran sobre el eje  x. La primera es una carga Q  en  x  = −a. La segunda esuna carga desconocida ubicada en  x  = 3a. El campo eléctrico neto que estas cargas producen en el origentiene un valor de 2keQ/a2. Explique cuantos valores son posibles para la carga desconocida.

23. Tres cargas Q   están dispuestos en los vértices de un triángulo equilátero de lado  L   como se muestra en la

figura 9. Calcular el campo eléctrico que estas cargas producen en el centro del triángulo.

Figura 9.   Cargas en un tri ´ angulo.

24. Una barra muy larga y delgada tiene carga Q  distribuida uniformemente en toda su longitud. Hay una carga

puntual −Q a un metro de la barra. Trace las lı́neas de campo eléctrico que produce este conjunto en un plano

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que las contenga.

25. Una esfera de radio R  y densidad de carga de volumen uniforme  ρ  permanece estacionaria (levita) cuando se

coloca encima de un plano infinito con densidad de carga superficial uniforme σ . Cual es la masa de la esfera?

26. Considere la distribución de cargas que se muestra en la figura 10. a) Demuestre que la magnitud del campo

eléctrico en el centro de cualquiera de las caras del cubo tiene un valor de  2,18k   qs2 . b) ¿Cuál es la direccióndel campo eléctrico en el centro de la cara superior del cubo?

Figura 10.   Cargas en un cubo.

27. En la figura 11, explique si es posible encontrar un punto distinto de infinito en el cual el campo eléctrico es

igual a cero. Determine el punto (distinto del infinito) en el cual el campo eléctrico es igual a cero.

Figura 11.  Campo para dos cargas puntuales.

28. En las esquinas de un cuadrado de lado a, como se muestra en la figura 12, existen cuatro partı́culas con carga.

a) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en la ubicación de la carga  q . b) ¿Cuál es la fuerza

eléctrica total ejercida sobre  q ?

Figura 12.   Fuerza entre cargas puntuales.

29. Tres varillas de vidrio delgadas llevan cargas Q, Q, y −Q, respectivamente. La longitud de cada barra es  l, yla carga es uniformemente distribuido a lo largo de cada varilla. Las varillas forman un triángulo equilátero.

Calcular el campo eléctrico en el centro del triángulo.

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30. La magnitud y la dirección de un campo eléctrico constante están dadas por el vector    E  = 2ι̂− ˆ  + 3κ̂, dondeel campo se mide en   N C  . Cual es el flujo eléctrico que este campo produce a través de la superficie mostrada

en la figura 13, que consta de tres caras de dimensiones  0, 2m× 0, 2m.

Figura 13.  Flujo el´ ectrico a trav´ es de una superficie.

31. A lo largo del eje x  existe una lı́nea de carga continua que se extiende desde  x  =  x0  hasta infinito positivo. Lalı́nea tiene una densidad de carga lineal uniforme  λ0. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico

en el origen? Realice el calculó si λ  =   λ0x0x   , con λ0  y x0  constantes.

32. a) Considere un cilindro con una pared delgada uniformemente cargada con una carga total Q, radio R  y una

altura h. Determine el campo eléctrico en un punto a una distancia  d  del lado derecho del cilindro, como se

muestra en la figura 14. b) ¿Qué pasarı́a si? Piense ahora en un cilindro sólido de las mismas dimensiones y

con la misma carga distribuida.

Figura 14.   Cilindro cargado.

33. Cargas puntuales q 1  y q 2  están en (4, 0,−3) y  (2, 0, 1) respectivamente. Si  q 2 = 4nC  encuentre q 1  tal que:a)    E   en (5, 0, 6)  no tiene componente  κ̂.b) La fuerza sobre una carga de prueba en (5, 0, 6)  no tiene componente  ι̂.

34. La distancia entre el núcleo del oxı́geno y cada uno de los núcleos de hidrógeno en una molécula de agua

(H 2O)   es   9,58 × 10−11m. E l ángulo entre las lı́neas de los dos núcleos de hidrógenos es   105◦   como semuestra en la figura (15). Calcule el campo eléctrico producido por los núcleos en el punto P   a una distancia

de 1,2× 10−10m.

35. Para medir la magnitud de un campo eléctrico horizontal, un experimentador fija una pequeña bola de corchoa una cadena y suspende este dispositivo en un campo eléctrico. La fuerza eléctrica empuja la pelota hacia

un lado, y la pelota alcanza el equilibrio cuando la cadena forma un  ángulo θ  con la vertical (véase la figura

16). La masa de la bola es  m, y la carga en la pelota es  Q. Encuentre una expresión para el campo eléctrico.

Suponga que m  = 3× 10−5kg, θ  = 30◦  y Q  = 4× 10−7C , cual es la magnitud del campo eléctrico?

36. Una pelota de corcho cargada de masa m está suspendida de un hilo muy ligero en un campo eléctrico uniforme,

como se observa en la figura (17). Cuando    E   =  Aı̂ + B ˆ N C  , donde  A  y  B  son números positivos, la pelotaestá en equilibrio cuando el ángulo es igual a θ . Determine la carga sobre la pelota y la tensión en el hilo.

37. Calcule el campo eléctrico de las configuraciones mostradas en la figura (18) si:

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Figura 15.   N ́  ucleos en una mol´ ecula de agua.

Figura 16.  M ́  etodo para medir campo el´ ectrico.

Figura 17.   Carga en un campo el´ ectrico en el plano.

a) Dos lı́neas con distribución de carga  λ. Calcular E  en P .

b) Dos planos cruzados con distribución de carga  σ . Calcular  E  en P .

c) Dos lı́neas con distribución de carga λ  que se cruzan formando un ángulo α. Calcular E en puntos a los argo

de una bisectriz del ángulo.

d) Dos planos cruzados perpendiculares con distribución de carga σ. Calcular E  en un punto (x, y) de cualquiercuadrante.

e) Un plano con distribución de carga σ  atravesado por una linea infinita con distribución de carga λ. Calcular

E  sobre la lamina a una distancia d  de la linea.

f) Tres laminas paralelas con distribución de carga  σ . Calcular E  en todos los puntos.

g) Un plano con un agujero de radio R. Calcular el campo eléctrico en puntos sobre el eje del agujero.

38. Se proyectan protones con una rapidez inicial  v0   = 9,55kms   en una región donde está presente un campo

eléctrico uniforme    E  = 720N C   ˙ , como se muestra en la figura (19). Los protones deben alcanzar un objetivoque se encuentra a una distancia horizontal de  1,27mm  del punto por donde los protones atraviesan el planoy entran en el campo eléctrico. Determine a) el ángulo de inclinación  θ  que logre el resultado esperado y b)

el tiempo de vuelo del proton sobre el plano.

39. Suponga que se lanzan electrones con una velocidad inicial v0 = 4×106 ms   con un ángulo de 35◦  con respectoa la placa inferior. Si el campo eléctrico es  E  = 3000N C  . Calcule la distancia a la cual chocan los electrones

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Figura 18.   Combinaci´ on de distribuciones de carga.

Figura 19.   Protones en un campo el´ ectrico.

sobre la placa inferior. Ver figura (20)

Figura 20.   Carga en un campo el´ ectrico.

40. En un tubo de rayos catódicos, un haz de electrones (el rayo catódico) es desviado en una región de campo

eléctrico en su camino hacia una pantalla fluorescente, como se muestra en la figura (21). Considere la

disposición de placa paralela en la figura, y suponga que el campo eléctrico  E   = 400N C    es uniforme entre

las placas y que  E   = 0   fuera de las placas. El haz de electrones se inyecta horizontalmente con velocidadv0 = 5× 106 ms . Si la anchura de la placas es  L  = 40cm. ¿que distancia vertical  y1  se desvı́a el haz a salir delas placas? Si la distancia desde el final de las placas a la pantalla es  D  = 12cm, ¿cuál es la total desviaciónvertical al llegar a la pantalla?

41. En un campo eléctrico uniforme se hace girar una espira de  40cm de diámetro hasta encontrar la posición en

la cual existe el máximo flujo eléctrico. El flujo en esta posición tiene un valor de  5,2× 105 Nm2C    . ¿Cuál es lamagnitud del campo eléctrico?

42. En la figura 22 se muestran cuatro superficies cerradas, S 1   a  S 4, ası́ como las cargas en ellas. (Las lı́neas de

color son las intersecciones de las superficies con el plano de la p ágina). Determine el flujo eléctrico a través

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Figura 21.   Tubo de rayos cat´ odicos.

de cada superficie.

Figura 22.  Flujo el´ ectrico a trav´ es de superficies cerradas.

43. Considere una caja triangular cerrada en reposo dentro de un campo eléctrico horizontal con una magnitud

E  = 7,80×104 N C  , como se muestra en la figura (23). Calcule el flujo eléctrico a través de cada una de las caras.

Figura 23.  Flujo el´ ectrico a trav´ es de una caja.

44. Una pirámide tetraédrica esta formada por triángulos equiláteros de lado a. La pirámide descansa con una cara

sobre un plano infinito con distribución de carga  σ . Calcule el flujo eléctrico a través de la cara que descansa

sobre el plano. Cual es el flujo a trav és de cada una de las otras caras? Ver figura (24)

Figura 24.  Flujo el´ ectrico a trav´ es de una pir ́  amide.

45. Una carga puntual Q  está localizada sobre el eje de un disco de radio  R  una distancia  b  del plano del disco.

Demuestre que en el caso de que una cuarta parte del flujo eléctrico de la carga pasara a través del disco,  R

serı́a igual a√ 

3b. Ver figura (25).

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Figura 25.  Flujo el´ ectrico de una carga a trav ´ es de un disco.

46. Un campo eléctrico uniforme viene dado por    E  = (3ι̂ + 2ˆ  − κ̂)N C  . Cual es el flujo a través de un plano deárea 4m2 que se encuentra en el plano  yz? Suponga que esa misma área esta en un lugar de manera que lanormal es  n̂ =   1√ 

3(ι̂ +  ̂ + κ̂), cual es el flujo eléctrico en este caso?

47. Una cáscara esf ́erica de plástico tiene un radio interior  a  y el radio exterior  b  como se muestra en la figura 26.

La carga eléctrica se distribuye uniformemente sobre la región entre a  y  b. La cantidad de carga por unidad devolumen es  ρ. Encuentre el campo eléctrico en todas las regiones. Que pasa si la esfera es conductora?

Figura 26.   Esfera hueca.

48. Una carga puntual positiva  Q  está en el centro de un cubo de arista  L. Además, otras seis cargas puntuales

negativas idénticas −q   están colocadas simétricamente alrededor de   Q   como se muestra en la figura 27 .Determine el flujo eléctrico a través de una de las caras del cubo.

Figura 27.  Flujo el´ ectrico a trav´ es de una superficie cubica.

49. Considere una carga puntual  q  situada en el vértice de un cubo como se muestra en la figura 28. Cual es el

flujo eléctrico a través de cada cara del cubo?

50. Una carga puntual q  se coloca a una distancia perpendicular   d2

 desde el centro de un cuadrado de tamaño d×d(ver figura 29). Calcule el flujo eléctrico a través del cuadrado. Suponga que el cuadrado se hace infinito, en

este caso cuanto serı́a el flujo eléctrico?

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Figura 28.  Carga en el v´ ertice de un cubo.

Figura 29.  Carga puntual cerca de un plano.

51. Una esfera maciza de radio R  tiene una carga Q  distribuida uniformemente en su volumen. Se hace un orificio

de radio   R2

 , tal que el centro de hueco este ha una distancia   R2

 del centro de la esfera maciza ver figura (30).

Demuestre que el campo eléctrico a una distancia r > R  del centro de la esfera maciza es:

E  =  Q

4π0

 1

r2−

1

8

r −  R2

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Figura 30.   Esfera con un hueco esf ́  erico.

52. Calcule el campo eléctrico de un plano infinito por medio de la ley de Gauss.

53. Una esfera de radio R rodea una partı́cula con carga  Q, ubicada en su centro. a) Demuestre que el flujo eléctrico

a través de un casquete circular de semiángulo θ  (figura 31) es  Φ =   Q20 [1− cos(θ)]. ¿Cuál es el flujo para b)θ  = 90◦  y c) θ  = 180◦?

54. Una placa de material aislante con dos de sus tres dimensiones infinitas tiene una densidad de carga uniforme

positiva  ρ. Una vista lateral de la placa se muestra en la figura (32). Demuestre que la magnitud del campo

eléctrico a una distancia  x  de su centro y en el interior de la placa es  E  =  ρx

0

55. Una esfera aislante y sólida, de radio a, tiene una densidad de carga uniforme  ρ  y una carga total Q. Colocada

en forma concéntrica a esta esfera existe otra esfera hueca, conductora pero descargada, de radios interno y

externo b  y  c, respectivamente, como se observa en la figura 33. a) Determine la magnitud del campo eléctrico

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Figura 31.   Flujo el´ ectrico a trav´ es de un casquete esf´ erico.

Figura 32.   Plano semiinfinito.

en todas las regiones. b) Determine la carga inducida por unidad de superficie en las superficies interna y

externa de la esfera hueca.

Figura 33.   Esferas conc´ entricas.

56. Suponga que se tiene una esfera hueca conductora de carga  q  y radios interno y externo  R1   y  R2   respecti-

vamente. a) Calcule el campo eléctrico en todas las regiones. b) Si se introduce una carga puntual  q   dentrode la esfera hueca, calcular en este caso el campo eléctrico en todas las regiones y la carga inducida sobre la

superficie interna de la esfera.

57. Una esfera se taladra dejando un hueco cilı́ndrico de radio  b  a lo largo de su eje como se muestra en la figura

(34). Suponga que la esfera tiene una densidad de carga  ρ  y radio a. Calcular el campo eléctrico en el punto P .

58. Considere un cilindro macizo de radio  R   carga   Q   y longitud   l. El cilindro se taladra de tal forma que se

realiza un hueco cilı́ndrico de radio   R4

  , el eje del hueco esta a una distancia   R2

 del eje del cilindro original.

Calcular el campo eléctrico sobre el eje del hueco.

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1   BIBLIOGRAFÍA

Figura 34.  Esfera con agujero cil´ ındrico.

59. Un cilindro aislante de longitud infinita y de radio  R   tiene una densidad de carga volumétrica que varı́a en

función del radio de la forma ρ  =  ρ0

a−   rb

. Siendo ρ0, a  y  b  constantes positivas y  r  la distancia al eje del

cilindro. Utilice la ley de Gauss para determinar la magnitud del campo eléctrico dentro y fuera del cilindro.

60. El tubo de un contador Geiger consiste en un fino alambre conductor de radio r  ubicado a lo largo del eje de

un cascaron cilı́ndrico de radio  R  ver figura (35). El alambre y el cilindro tienen cargas iguales y opuestas de

q  distribuida a lo largo de su longitud  l . Encontrar una f ́ormula para el campo eléctrico en el espacio entre el

alambre y el cilindro. Si  r  = 1,3× 10−3cm, q  = 7,2× 10−10C  y  l  = 9cm es la magnitud del campo eléctrico

en la superficie del alambre?

Figura 35.  Tubo de un contador Geiger.

1.  Bibliografı́a

1. Fı́sica de Alonso y Finn. Tomo 2. Campos y Ondas

2. Fı́sica para ingenierı́as Serway. Volumen 2. 7 edición.3. Fı́sica para ingenierı́as Hans Ohanian. Volumen 2. 3 edición.

´  EXITOS

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