TANGENCIAS (Julio Cataln)

Los problemas de tangencia que pueden presentarse son innumerables y van desde los muy sencillos a los ms complejos, recurrindose para su solucin a procedimientos muy distintos: desde los geomtricamente determinados, a los aproximados, desde los vectoriales al calculo diferencial.

Como aplicacin de los conceptos expuestos de potencia, eje radical y centro radical, se resolvern problemas correspondientes a la determinacin de circunferencias por la combinacin de tres de las condiciones: pasar por un punto, ser tangente a una recta y ser tangente a otra circunferencia.

Preliminares:

La recta que une los centros de las circunferencias tangentes (interiores o exteriores) pasa por el punto de tangencia.

Recprocamente:

Las circunferencias tangentes a otra dada en un punto, T, de la misma tienen su centro sobre la recta que pasa por el centro de la dada y por el punto de tangencia, esta recta es pues, lugar geomtrico de los centros de todas las posibles circunferencias tangentes a la dada en aquel punto de tangencia.

Tangentes trazadas desde un punto, perteneciente al eje radical.

En razn de que todos los puntos pertenecientes al eje radical tienen la misma potencia respecto de las circunferencias, resulta:

1.-Si desde un punto P, perteneciente al eje radical de circunferencias secantes, se trazan las tangentes a ellas, las longitudes de las tangentes son iguales.

2.-Si desde un punto exterior P, perteneciente al eje radical de circunferencias tangentes, se trazan tangentes a ellas, las longitudes de las tangentes son iguales.

Tangentes trazadas desde un centro radical.

En razn de que el centro radical,C, tiene la misma potencia respecto de las circunferencias a las que corresponde, resulta:

1.-Las longitudes de las tangentes trazadas desde C a las circunferencias, son iguales (tambin lo son, a las circunferencias auxiliares utilizadas para la obtencin del centro radical)

Problemas de tangencia, que se resuelven con la aplicacin de las construcciones de ejes y centros radicales.

En estos problemas la aplicacin de los ejes y centros radicales permiten encontrar, primeramente, la posicin de los puntos de tangencia de las soluciones con lo que es posible determinar, luego, la situacin de los centros y consiguientemente el trazado de dichas soluciones

1 Caso: Circunferencias tangentes a otras dos, dado el punto de tangencia, T, sobre una de ellas.

Las circunferencias solucin, O1 , O2 , debern tener la misma potencia que O Orespecto de un centro radical C, que debe pertenecer, forzosamente al eje radical de las dadas.

Puesto que las soluciones deben ser tangentes a O el eje radical correspondiente a dichas soluciones y a O ser adems tangente en O en T .

En la interseccin de ambos lugares se encuentra el punto P, a partir del cual y con la misma longitud PT, quedan determinados los puntos de tangencia T1 y T2 y en consecuencia la posicin de los centros solucin. (Lamina1.Fig.1)

2 Caso: Circunferencias tangentes a una recta, que pasan por dos puntos dados (del mismo semiplano).

1

merseResaltado

merseResaltado

Los centros solucin estn sobre la mediatriz de AB. El punto P de r, pertenece al eje radical de las soluciones y tiene la misma potencia (PT) respecto de una circunferencia cualquiera auxiliar, que pasa por AB, que respecto de las soluciones. Una vez determinados los puntos tangencia, T1,T2, ( PT=PT1=PT2) se obtendrn, de inmediato, las posicione-s de los centros O1 y O2 . (Lamina1.Fig.2)

3 Caso: Circunferencias tangentes a dos rectas concurrentes y que pasan por un punto.

Considerando que su centro debe hallarse sobre la bisectriz y determinado A' como el simtrico de A respecto de la bisectriz, se resuelve el problema reducindolo al caso anterior-. (Lamina2.Fig.3)

4 Caso: Circunferencias tangentes a otra y a una recta, dado el punto de tangencia sobre la recta.

Utilizando una circunferencia auxiliar cualquiera,Oaux , tangente a la recta en el punto dado y secante a la circunferencia dada, se determina un punto P sobre la recta, de forma que P tenga la misma potencia respecto de la circunferencia dada que de las soluciones. Para encontrar los puntos de tangencia T1, y T2 , basta trazar la circunferencia de centro P y radio PT, con lo que, inmediatamente, se hallan los centros O1, y O2, la perpendicular por T a la recta dada y en la interseccin de las rectas que unen el centro O, dado, con los puntos de tangencia T1 , y T2 . (Lamina2.Fig.4)

5 Caso: Circunferencias tangentes a otra en un punto de ella, y a una rec-ta dada.

La posicin del punto P sobre la recta dada se obtiene inmediata-mente trazando la tangente a la circunferencia en el punto dado, T. El punto P tiene la misma potencia respecto de O que de las soluciones, basta pues hacer centro en P y radio PT para encontrar sobre la recta los puntos T1 , T2 , de tangencia de las circunferencias solucin.

Los centros O1 y O2 , se encuentran respectivamente, en las perpendiculares a r por T1 y T2, y en la recta que une O con T. (Lamina2.Fig.5)

6 Caso: Circunferencias con centro sobre una recta, r, que pasan por un punto, P, de ella y son tangentes a otra circunferencia dada.

La tangente comn a las soluciones es la perpendicular a r en P. El centro radical C se obtiene utilizando una circunferencia auxiliar (con centro sobre la recta dada, pasando por P, y secante a la circunferencia dada) luego, con centro en C se traslada la tangente CP para determinar los puntos de tangencia T1 y T2 de las circunferencias solucin. Los centros solucin, sobre r, estarn en las intersecciones de las rectas que unen O con T1 y T2. (Lamina3.Fig.6)

7 Caso: Circunferencias, con centro sobre una recta, que pasan por un punto dado y son tangentes a otra circunferencia dada.

Reducimos el problema a uno ya conocido. Dibujando el simtrico de P, P ,nos limitaremos a encontrar las circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a otra dada -2 Caso-. (Lamina3.Fig.7)

8 y 9 Casos: Circunferencias tangentes a otra dada, que pasan por dos puntos (exteriores-interiores).

Se determina un punto P sobre la secantes, AB, comn a las circunferencias solucin, de forma que P tenga la misma potencia respecto de la circunferencia dada O que de las soluciones, para ello se utiliza una circunferencia auxiliar cualquiera que pase por los puntos A, B, con lo que el eje radical entre O y la auxiliar corta a la recta que pasa por AB precisamente en P.Desde P son iguales las longitudes de tangente, PT igual a PT1 = PT2 , que precisan la posicin de los puntos de tangencia soluciones. (Lamina4.Fig.8 y Fig.9)

2

merseResaltado

P por pertenecer a la tangente comn de las dos circunferencias es un punto de su eje radical:

PT2 = PT1

O'

O"

T

OauxT1

T2

O2

O1

B

r

O'

O"

T

A

Lamina 1

P

PT tiene que ser perpendicular a la lnea que une los centros de las circunferencias solucin O1 - O2, por ser ste el eje radical de dos circunferencias tangentes exteriores.

Fig.1

Fig.2

C

O2Oaux

A

B

O1

P

T

T1T2

r

merseResaltado

merseResaltado

merseResaltado

merseResaltado

O2

Lamina 2

Fig.3

T2

s

O2

A

OauxO1

P

T

T1

r

T

O

Fig.4

Fig.5

r

TO

O1

T2T1 P

O2

r

TO

A

r

s

T

O

Oaux

P

T1

T2

O1

merseResaltado

merseResaltado

merseResaltado

merseResaltado

merseResaltado

merseResaltado

Lamina 3

Fig.6

r

P

O

r

P

O

Oaux

T2

T1

O2

C

O2

Fig.7

O

P

r

P'

C

T1

Oaux

T

T2

O1O1

r

O

P

Ojo! Recordar que los puntos son un concepto, no tienen dimensin, ste eje radical tiene un ngulo muy cerrado y C puede variar segn nuestro trazado, influyendo ms tarde en el resultado.Para comprobar que el centro solucin es el correcto, como la circunferencia tiene que pasar por T2 y P. Hallamos la interseccin de la mediatriz de este segmento con r y vemos si coincide con O2.

Lamina 4

B

A

O

P

OauxT2

O1

TT1

O2

B

A

O

Eje radical de las circunferencias solucin

Eje radical de la circunferencia dada y la auxiliar

O

B

A

P

T

T2

Oaux

T1

O1

O2

O

B

A

Fig.9

Fig.8

Gancho

Oaux1

C

O1T T

Oaux2

C

O2

T1

T2