Nombre de la materiaÁlgebra superiorNombre de la LicenciaturaIngeniería en Sistemas Computacionales

Nombre del alumnoSánchez Yumbo Byron OlmedoMatrícula000018415

Nombre de la TareaTarea 2Unidad #Números Complejos

Nombre del TutorXóchitl Irisbel Rojas MéndezFecha25 / 05 / 2015

Unidad 2. Números complejos. Álgebra superior.

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¿De qué manera las operaciones con los números complejos facilitan la resolución de problemas que requieren la suma de números reales e imaginarios?

Temas que abarca la tarea:

Instrucciones generales:Con base en los videos de la sección Tarea 2 de la semana 2, resuelve los siguientes problemas:

1. Números imaginarios: potenciación.

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones de números imaginarios

a. = i2. i2= (-1)(-1) = 1

b. = =i2. i2. i2. i2. i2= (-1)(-1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1) = (1)(-1) = -1

c. i2. i2. i2. i2.i2 .i2. i2. I = (-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(1)(-1)(i)= -i

d. = i2. i2 i2.i = (-1)(-1)(-1)(i) = (1)(-1)(i) = -i

Tips de solución: Recuerda que:

2. Suma de números complejos.

Resuelve las siguientes operaciones:

a. 7 + 2i + 7 – 3i = 14 - i

b. -5 – i + 10 – 4i = 5 – 5i

c. -15 + i – 10 – 4i = -25 – 3i

d. 1 – i – 1 + 3i = 2i

Números complejos Números imaginarios: operaciones fundamentales y potenciación. Forma polar, módulo y argumento, conversiones de la forma binómica a la polar y viceversa.

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e. i + 2 + 2i – 8 = -6 + 3i

Tip de solución: suma por separado las partes reales y las partes imaginarias.

3. Resta de números complejos.

Resuelve las siguientes operaciones:

a. 7 + 2i – 7 + 3i = 5i

b. -3 – i + 2 - 3i = -1 -4i

c. -13 -2i +21 +10i = 8 + 8i

d. 17 + i – 30 - i = -13

e. 11 + 11i – 1 + i = 10 + 12i

Tip de solución: aplica leyes de los signos para “desaparecer” el signo menos.

Ejemplo:

4. Multiplicación de números complejos.

Resuelve las siguientes operaciones:

a. ( 7 + 2i ) (7) + ( 7 + 2i ) (-3i) = 49 + 14i - 21 i – 6 i^2 = 49 – 7i +6 = 55 -7i

b. (1) (2) + (1) (-i) + (i) (2) + (i) (-i) = 2- i + 2i – i ^2 = 2 + i + 1 = 3 + i

c. (100) (150)+ (100) (-90i) + (60i) (150) + (60i) (-90i) =15000 – 9000i +

9000i – 5400i ^2 = 15000 + 5400 = 20400

d. (123) (212)+ (123) (i) + (-i) (212)+ (-i) (i) = 26076+123i – 212i - i^2 = 26076-

89i +1 = 26077 – 89i

e. (15) (4)+ (15) (15i)+ (4i) (4)+ (4i)(15i) = 60+ 225i+16i + 60i^2 = 60+241i- 60

= 241 i

Tip de solución: puedes utilizar la propiedad distributiva:

Ejemplo:

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5. División de números complejos.

Resuelve las siguientes operaciones:

a. (2+3i) (7+3i)= 14+6i+21i+9i 2 = 14-9+27i= 5+27i

7-3i (7+3i) 49 +21i-21i-92 58 58

b. (1-i) (3+2i)= 3+2i-3i+2= 14-9+27i= 5-i

(3-2i) (3+2i) 9+6i-6i+4 13 13

c. (1-i) (3+2i)= 3+2i-3i+2= 14-9+27i= 5-i

(3-2i) (3+2i) 9+6i-6i+4 13 13

d. (12+9i) (14-7i)= 168-84i+126i-63i 2 = 231+42i= 33+6i

(14+7i) (14-7i) 196-98i+98i-49i2 245 55

e. 56-12i) (21-10i)= 1176-560i-252i+20i 2 = 1056-812i= 5+27i

( 21+10i ) (21-10i) 49 +21i-21i-92 541

Tip de solución: utiliza el complejo conjugado de un número complejo y repasa la multiplicación de números complejos.Recuerda que el complejo conjugado de un número conserva la parte real y la imaginaria pero

invierte su signo. Ejemplo: si

6. Cálculo del módulo y argumento de un número complejo que está en forma binómica.

Determina el módulo y el argumento del número:

Tip de solución: Si entonces las fórmulas que ocuparás son:

Para calcular el módulo

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Para calcular el argumento

Para calcular el módulo tenemos que , y entonces z= √( 12+12)=

√2

Para calcular el módulo tenemos que r=|z|= √(a^2+b^2) y como z = 1+i entonces z= √( 1^2+1^2)= √2, ya que la parte real es 1 y la parte imaginaria también es 1.

Para calcular el argumento:

Oprimir la botón 1, debido a que a/b = 1 Después oprimir el botón tan-1, que da como resultado el número 45, es decir, que θ=arctan-1 1=45°

7. Conversión de un número complejo de su forma binómica a la forma polar.

Convierte el número (forma binómica) a su forma polar.

Tip de solución: En este ejercicio también ocuparás las fórmulas:

Y la notación que se ocupa para un número complejo en forma polar:

Para transformarlo a su forma polar primero calculamos su módulo, entonces tenemos que

, y por lo tanto z= √( 32+22)= √13; a= 3, b = 2

Ahora para calcular el argumento:

Tomando en cuenta algunas funciones trigonométricas tenemos que:

sen θ = 2/√13

cos θ = 3/ /√13

8. Conversión de un número complejo de su forma polar a la forma binómica.

Convierte el número de su forma polar a la forma binómica.

Tip de solución: Par este ejercicio usarás las fórmulas:

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a = cos θ =√2/2rb = sen 45º= √2/2rr^2= (5cos45)^2+(5sen45)^2r^2= 25cos^2(45)+25sen^2(45)r^2= 25(cos^2(45)+sen^2(45))r^2= 25(1)r^2= 25r= 5b= 5/2 (√2)a =5/2 (√2)z= 5/2 (√2)+i 5/2 (√2) (Forma binomio)