Tarea Tipo 1 Mate

8/17/2019 Tarea Tipo 1 Mate

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FRACCIONES DE LACASAP

El objetivo de la siguiente tarea es establecer una proposición general

para el siguiente conjunto de números presentados en un patrón

simétrico. En la tarea se encontrarán numeradores adicionales para

ejemplifcar de mejor manera el comportamiento del conjunto. Secalcularán flas adicionales para demostrar la utilidad de la órmula

propuesta, y hallar una proposición general, discutiendo sus alcances y

limitaciones. El objetivo de este trabajo es desarrollar y prosperar

nuestra capacidad para solucionar diversas situaciones desconocidas,

utiliando métodos conocidos.

!ara establecer un patrón "ue nos permita entender la secuencia de las

racciones de lacsap, se puede denotar los numeradores "ue los

numeradores de la representación de los coefcientes binomialesordenados en orma triangular son iguales a los números presentados en

el triángulo de pascal.

Observaciones:

* Cuando n=1, el numerador es 1





Podemos verlo mejor en esta gráfica:

N flaNumera

dor

1 1

2 3

3 6

4 10

5 15


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Según estas observaciones hay un patrón el cual consiste en "ue el

siguiente numerador se le va sumando números consecutivos#

$ % & ' (

( % ( ' )

) % * ' $+

$+ % ' $

$ % ) ' &$ -ebera ser el numerador de la se/ta fla 0hipótesis1

2os numeradores establecidos en la fla $ hasta la fla , orman en

conjunto, una secuencia. 2os números siendo $, (, ), $+ y $ nos

permiten ormar una sucesión de segundo orden. Es posible llegar a esta

conclusión por"ue entre dichos números hay una dierencia de &, (, *,

y en estos números, la dierencia es uno.

1 3 6 10

15

2 3 4 5

1 1 1

!or lo tanto se sumará el $ más el "ue nos da un ) y de esta manera

agregar $ más ). 3bteniendo de esta orma el número &$.

4l haber planteado una hipótesis sobre el siguiente numerador de la fla

se/ta, es posible hallar una relación entre n y el numerador#

5 6uando n ' $ y el numerador es $

n 0/1 ' $

7eemplaando#

$ 0/1 ' $

/' $ !rimer valor de /

Entonces#

$ 0/1 ' $

5 6uando n ' & y el numerador es (

n 0/1 ' (

7eemplaando#

& 0/1 ' (

/'(8& Segundo valor de /

Entonces# & 0(8&1 '(

!rimer

Segundo


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5 6uando n '( y el numerador es )

n 0/1 ')

7eemplaando#

( 0/1 ' )

/' )8( 9ercer valor de /

Entonces#

( 0)8(1 ')

5 6uando n '* y el numerador es $+

n 0/1 ' $+

7eemplaando#

* 0/1 '$+

/' $+ 8* 6uarto valor de /

Entonces#* 0$+8*1 '$+

5 6uando n ' y el numerador es $

n 0/1 ' $

7eemplaando#

0/1 ' $

/' $ 8 :uinto valor de /

Entonces#

0$81 ' $

;alores hallados de /#

1; 3/2; 6/3; 10/4; 15/5


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$ 0&8&1 ' $

5 6uando n'&

& 0(8&1 ' (

5 6uando n'(

( 0*8&1 ' )

5 6uando n'*

* 08&1' $+

5 6uando n'

0)8&1 ' $

!odemos notar "ue el numerador de un actor es siempre un número

consecutivo.

-e esta orma encontramos la órmula# n 0n%$1, donde n es el número

de fla

Entonces la proposición general "ue representa lo observado para hallar

cual"uier numerador de =n> fla es la siguiente#

4plicando la fla para hallar el numerador de la se/ta y séptima fla#

Se/ta fla n') ) 0)%$1 8& ' &$ lo cual concuerda con nuestra hipótesis

Séptima fla# n'? ? 0?%$1 8& ' &@. !or ello se puede confrmar "ue la

hipótesis planteada era correcta.

Es posible utiliar el programa Aeogebra para grafcar la relación entre

el número de fla con el numerador de cada fla. !ara ello

consideraremos los pares ordenados (número de fla, numerador)

0$,$1 0&,(1 0(,)1 0*,$+1 0,$1 0),&$1

Aráfco $# 7elación entre numerador y número de fla

" #"$1% /2


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En esta gráfca donde el eje y representa el numerador y el eje y, el

número de fla, es posible observar "ue mientras más alto sea el número

de la fla, más alto será el número del numerador. Esto se debe a "ue los

numeradores orman una secuencia de segundo orden por ello no es

posible ver una dierencia similar entre los numeradores. !or ello, lagráfca tiende a irse cada ve más arriba, causando mayor dierencia

entre el anterior número del numerador y este.


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-Donde n es el número de fla

4 partir de estos datos, se puede detectar "ue hay un patrón "ue el

número utiliado en a"uellos ecuación es igual "ue el número de

elemento. !or lo tanto, el denominador puede e/presarse como#

- Donde n representa el número de fla y r representa el número de del

elemento

!or lo tanto, los denominadores en la se/ta fla se pueden resolvercomo#

17 Eleme"*o(

Denominador1 '

6 (6+1)2

−1(6−1)

Denominador1 ' &$ C

Denominador1 ' $)

27 Eleme"*o(

Denominador2 '

6 (6+1)2 −2(6−2)

Denominador2 ' &$ C @

Denominador2 ' $(

37 Eleme"*o(

De"om&"ador !n(n+1)

2


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Denominador3 '

6 (6+1)2 −3 (6−3)

Denominador3 ' &$ B D

Denominador3 ' $&

47 Eleme"*o(

Denominador4 '

6 (6+1)2

−4(6−4)

Denominador4 ' &$ C @

Denominador4 ' $(

57 Eleme"*o(

Denominador5

'

6 (6+1)

2 −5 (6−5)

Denominador5 ' &$ C

Denominador5 ' $)

9ambién se puede utiliar el método usado previamente para establecer

los denominadores en la se/ta séptima. Estas se pueden se pueden

resolver de la siguiente manera#

17 Eleme"*o(

Denominador1 '

7 (7+1)2

−1(7−1)


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Denominador1 ' &@ C )

Denominador1 ' &&

27 Eleme"*o(

Denominador2 '

7 (7+1)2

−2(7−2)

Denominador2 ' &@ C$+

Denominador2 ' $@

37 Eleme"*o(

Denominador3 '

7 (7+1)2

−3(7−3)

Denominador3 ' &@ B $&

Denominador3

' $)

47 Eleme"*o(

Denominador4 '

7 (7+1)2

−4(7−4)

Denominador4 ' &@ C $&

Denominador4 ' $)

57 Eleme"*o(

Denominador5 '

7 (7+1)2

−5 (7−5)


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Denominador5 ' &@ C $+

Denominador5 ' $@

67 Eleme"*o(

Denominador6 '

7 (7+1)2

−5 (7−5)

Denominador6 ' &@ C )

Denominador6 ' &&

B y el numerador, reemplaando la

incógnita en la ecuación ormulada y hallando fnalmente la ecuación.-e igual manera con el denominador, solo "ue en este caso vino a

tomarse en cuenta la columna 0ya "ue el numerador es igual en cada fla

horiontal1, y se halló la ecuación correspondiente al denominador,

luego se reemplaó la incógnita del denominador por una ecuación

e"uivalente usando la incógnita =r> de fla para simplifcar, y para

fnaliar se los puso en una racción a ambos 0en sus respectivos


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espacios de numerador y denominador1 y se logró la proposición

general.

E/isten limitaciones para esta ecuación, primero se debe cortar los unos de

ambos lados del triángulo cuando se calcula el numerador, entonces la

segunda columna es contada como la primera. Segundo, en la proposición

general, =n> debe ser mayor "ue cero. 9ercero, la primersima lnea del

triángulo 0$ $1 es considerada como la primera lnea.

E n(r

)

n(n+1)2

n(n+1)2

−r (n−r )

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