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Tarefa: Joaninhas e folhas
Tópico: Operações com números naturais
Tempo de realização na aula: 90 min + 90 min
Principais conceitos matemáticos trabalhados na aula:
Compreender a adição nos sentidos combinar e acrescentar.
Compreender a subtracção nos sentidos retirar, comparar e completar.
Usar os sinais + e – na representação horizontal do cálculo.
Compreender e memorizar factos básicos da adição e relacioná-los com os da
subtracção.
Capacidade transversal mais saliente na aula: Comunicação matemática
Tarefa Joaninhas e folhas
A tarefa “Joaninhas e folhas” foi retirada de uma brochura “Normas - Colecção das
Adendas do NCTM/Anos de escolaridade k-6”. As tarefas aqui mencionadas têm o
propósito de levar as crianças a descobrir diferentes formas de representar um
número com a soma de duas parcelas, através da utilização de materiais
manipuláveis.
A tarefa “Joaninhas e folhas” foi descrita e trabalhada tendo como base a brochura
referida anteriormente. A adaptação da mesma foi conceptualizada em função dos
conceitos matemáticos já adquiridos, dificuldades sentidas na turma e claro está,
inserida numa tarefa que faz parte de uma cadeia. Assim, as alterações mais
significativas estiveram relacionadas com o número de feijões (de 6 para15 ) e a
modalidade de trabalho. Em alternância à construção de um quadro individual com o
número de formas de arranjar as “joaninhas”, tendo como base o número de feijões,
foi entendido que seria mais proveitoso para a turma, preencher essa tabela em
grande grupo (turma), ampliando-a e expondo-a no quadro. Também a tarefa na
primeira fase foi trabalhada individualmente, seguido de uma outra fase em que foi
trabalhada a pares no confronto/comparação do registo e em grande grupo na
exposição de conclusões visando essencialmente a compreensão do mesmo.
A estimativa também abordada na brochura, não foi trabalhada nesta tarefa, em
virtude de já estar planificada uma tarefa com uma actividade similar.
3. Gestão da aula pelo professor
A tarefa decorreu em duas aulas de 90 minutos. A primeira etapa da actividade
prendeu-se com a investigação e descoberta através da manipulação das
“joaninhas” nas “folhas” acompanhada de um registo individual. Na segunda aula,
os alunos trabalharam o registo no sentido de compreenderem os arranjos
passíveis de ser representados, explorando situações de parcelas, estabelecendo
comparações e discutindo estratégias de resolução dos problemas.
O tempo foi suficiente para trabalhar esta tarefa, dado que esta tarefa é apenas uma
modalidade entre outras, num processo que visa estabelecer estruturas conceptuais
de adição/subtracção.
(1ª aula)
Joaninhas e folhas
Rotinas: Identificam dobros e quase dobros. (15min).
Apresentação da tarefa (15 min)
Distribui-se por cada criança uma folha de papel com duas “folhas” desenhadas e 15
feijões” (joaninhas). Conta-se uma história “ Equipas às bolinhas”, de forma a levar as
crianças a investigar diferentes formas de representar o número com a soma de duas
parcelas.
Realização da tarefas (40 m)
Convidam-se as crianças a colocarem as joaninhas de diferentes formas sobre as folhas
(desenhadas).
“Quantos arranjos diferentes consegues descobrir?”
“Registem as vossas descobertas.”
“Poderá haver ainda outra possibilidade? Qual? Porquê?”
Chamar à atenção para a importância de um registo ordenado e organizado, quer numa
futura interpretação, quer na nossa própria orientação (não repetir arranjos).
Pede-se também que encontrem padrões que emergem deste trabalho (quando o
primeiro número – parcela – diminui uma unidade, o segundo número – parcela –
aumenta uma unidade. Outros poderão dizer que a soma é sempre 15.
“Como explicar, que na primeira parcela decresça o número e aumente o da segunda
parcela?”
“E se a parcela decrescesse em três, ou seja se no lugar de 8 passasse a ter 5. Qual o
número da parcela seguinte?”
(…)
Levar as crianças a compreenderem as relações na ordenação de números
Pode-se também utilizar este material para encontrar a parcela que falta e para
problemas de comparação na subtracção.
“Coloquem 9 “joaninhas” numa folha.”
“Quantas estarão na outra folha?”
(…)
“Agora tenta com 10.”
“Se há 4 “joaninhas” numa folha quantas estarão na outra?”
(…)
Discussão/ Sistematização (20 m)
As crianças vão explorando as situações de parcelas que faltam e fazem comparações
com outros números discutindo estratégias de resolução dos problemas apresentados.
(2ª aula)
Joaninhas e folhas
Rotinas : Enumeram números pares e ímpares até 20. (15min).
Apresentação da tarefa (10 min)
Cada criança retira do dossier a folha de registo da aula anterior e recebem a pares 15
“joaninhas”.
Realização da tarefas (45 m)
Convidam-se as crianças a pares, a compararem os registos.
“Que diferença há entre o teu registo e o do teu colega?”
Procurar que as crianças exponham à turma as suas conclusões ou até possam formular
questões.
“Observando o vosso registo, onde se verifica um maior número de arranjos?”
Em grupo de turma vai sendo preenchido no quadro uma tabela que representa o
número de joaninhas e o respectivo número de formas de arranjar as joaninhas.
Perguntar às crianças se serão capazes de predizer o número de arranjos possíveis para
um número de 12 joaninhas.
“Pensas que números maiores têm mais arranjos que números mais pequenos?”
“Como podemos descobrir isso?”
“Vamos tentar com 5 joaninhas.”
(…)
“De quantas maneiras consegues arranjá-las?”
“Agora tenta com 10.”
(…)
Desafiar as crianças a representarem na tabela, de forma ordenada, o número de arranjos
possíveis em relação com o número de joaninhas (1,2,3,4,5,6,7…)
“Que conclusões podemos então tirar?”
Discussão/ Sistematização (20 m)
As crianças vão efectuando o registo no quadro, de forma a poder ser orientado por nós,
ao mesmo tempo que é observada por todos os alunos, e explorando as conclusões
comunicando-as à turma.
Em conformidade com as características da turma, tentamos colmatar os excessivos
momentos de distracção de alguns alunos com tarefas que os mantenha um maior
tempo “em aula”. Daí planearmos o preenchimento da tabela no quadro, em grupo de
turma, funcionando como síntese da tarefa. Foi um momento que resultou bem,
estabeleceram uma atmosfera de aprendizagem, contribuindo para o preenchimento
de uma tabela comum.
Inicialmente verificou-se que alguns alunos não ordenaram o registo na folha,
optando por colocar as “joaninhas” de forma aleatória. Quando confrontados com o
número de arranjos, “perdiam-se” na interpretação dos resultados. A dificuldade
sentida por estes alunos na contagem de arranjos procurando um determinado
número de joaninhas, na primeira parcela, constituiu um importante momento de
aprendizagem, A dualidade verificada na precisão e rapidez com que respondiam os
alunos cujo registo estava organizado e ordenado, a par do outro grupo que procurava
recolher os dados de forma algo confusa, constituiu um momento muito rico de
interiorização das vantagens implícitas/explícitas de um registo organizado.
A capacidade transversal, comunicação Matemática, foi incentivada, e esteve sempre
presente. Contudo foi necessário moderar as exposições, de forma a que a
comunicação não se cingisse a um número limitado de alunos, que com alguma
frequência se adiantam a delinear estratégias de resolução ou descobertas,
influenciando posteriores descobertas ou resoluções.
O plano contemplava a exploração do registo individual, na primeira aula. Contudo
este só foi devidamente explorado na segunda aula e com outra dinâmica, quer pela
comparação entre pares, quer pela construção da tabela no quadro com a participação
de quase todos os alunos, que sintetizava as descobertas das duas aulas. A falta de
tempo para a exploração do registo individual, na primeira aula, deveu-se à
desorganização de alguns registos e verificação das imprecisões dos mesmos.
4. Trabalho dos alunos na tarefa
Os objectivos previstos foram parcialmente atingidos pela maioria dos alunos.
Entende-se que para estes mesmos objectivos ainda há outras tarefas a implementar.
No entanto parece-me que foi uma importante “achega” como actividade e como
domínio do saber matemático. A comunicação para a turma funcionou bem, quer em
conteúdo, quer em propósito de realçar a intervenção no preenchimento da tabela.
(registos ordenados)
Inicialmente foi notória a dificuldade de um grupo de alunos, na representação e
interpretação do registo individual dado o carácter aleatório que imprimiram na
actividade. Contudo, como já foi mencionado, esta situação inopinada trouxe uma
boa dinâmica à aula ao realçar o papel facilitador de um registo organizado. Ainda
que tenha sido alertado no início da aula para que os alunos seguissem este tipo de
registo, há um grupo de alunos que com muita frequência se distrai.
O Filipe mantém dificuldade em representar seja o que for, quer em números,
palavras ou imagens, no entanto é de salientar que pela primeira vez iniciou e
concluiu um registo.
A situação imprevista, surgiu durante a exploração dos registos, após a comparação a
pares dos mesmos, quando o João comunicou à turma, “…que a partir do meio do
registo as parcelas repetiam-se só que os números trocavam de posição”. A
descoberta do João levou a turma a “olhar de novo” o registo e acompanhar o
raciocínio do João interiorizando que o meio do registo coincidia com a metade do
número. Esta dedução ajustou se a outras quantidades, também com números pares,
obrigando a uma inflexão no percurso da aula.
O João e a Maria apontavam como “meio” 7+8 assumindo que a partir desta parcela,
os números invertiam a posição. Surgiram outros registos no quadro, para outras
grandezas, nomeadamente 16. Concluíram que a metade era 8 e relacionaram com o
dobro como sendo o “contrário de metade”.
“Juntando 8+8 é 16 e o dobro de 8 é 16” (João)
“ 7+7 é 14, porque 7 é metade de 14” (Miguel)
Desafiaram-se as crianças a pensar na razão de no registo dos arranjos de 15
“joaninhas” ser o 7+8 e a metade não envolver dois números iguais. Dispuseram
quantidades próximas, 7+7 e 8+8. Foi então pedido às crianças que dispusessem as 15
“joaninhas” em duas equipas com igual número ou seja metade em cada equipa.
Depressa concluíram que ficavam 7 em cada equipa mas sobrava uma. Foi analisada
a situação incentivando os alunos a alargarem o campo das abordagens já trabalhadas.
A predisposição para a descoberta foi ficando limitada a um número restrito de
alunos. Assim fui levantando questões a quem parecia desistir.
“Miguel se as joaninhas fossem de chocolate e tivesses que as dividir com o teu
irmão?”(o irmão gémeo faz também parte da turma)
“Tínhamos que partir aquela que ficou fora”(David)
“É parecido com os quase dobros, aqui é quase metades” (Maria)
Reconhecemos com estas intervenções que nos números ímpares a metade envolve
uma quantidade mais meio do “número que sobra”.
No decurso desta reflexão surgiu a necessidade de implementar uma tarefa específica
que desenvolvesse nos alunos o sentido da metade num número.
Uma outra situação já mencionada anteriormente, com repercussões positivas ao
nível de trabalho, esteve ligada com a dificuldade que alguns alunos sentiram ao
expor à turma o número de arranjos possíveis, para um dado número de joaninhas. Ao
identificarmos, em turma, a razão (registo desordenado), esta situação de contexto
funcionou como ponto de partida e como fonte de aprendizagem na construção de um
registo organizado e subsequente vantagens.
(registo do Higino)
O modo de trabalho, numa primeira etapa foi individual, permitindo que cada aluno
representasse as suas descobertas (compreendeu a tarefa? Regista correctamente?
Sabe interpretar os dados por ele recolhidos?). Facilmente “visionamos” as
dificuldades ou as descobertas/aprendizagens dos alunos.
Na segunda etapa, o trabalho decorreu a pares, pela comparação dos registos e em
grande grupo, através de uma exposição oral das descobertas, das conclusões em
simultâneo preencheram a tabela, e nesta envolvência, com momentos de discussão
desafiámos os mais desatentos a intervir, envolvendo-os na tarefa.
(confronto de registos)
.
Os momentos mais ricos nesta tarefa foram os que acompanharam o preenchimento
da tabela, pela forma como comunicaram as suas conclusões e o momento que
sucedeu à descoberta por parte de alguns alunos que representavam os arranjos de
forma aleatória e que, por isso mesmo, foram convidados a exporem os seus
resultados. A percepção da dificuldade veio, e em muito, ajudar a compreender, mais
uma vez a importância de um registo organizado.
Pela exploração do registo, os alunos preenchiam a tabela despertando ilações para
outras quantidades e em simultâneo comunicavam à turma as descobertas. Num
destes momentos o João afirmou:
“A partir do meio do registo as parcelas são iguais mas os números trocam”
“Observem de novo o vosso registo, o que será que o João quer dizer?”
Enquanto observavam o registo fui escrevendo os arranjos possíveis no quadro.
Um outro aspecto foi a descoberta, que a partir do meio de um registo as parcelas
apenas mudam de posição, contudo os números mantinham-se.
“Observando o vosso registo, onde se verificará um maior número de arranjos, com o
número 15 ou com o número 18?”
“Com o número 18” (David A)
“Explica melhor.”
“ Porque é um número maior” (David A)
“Se tivesses apenas 12 joaninhas quantos arranjos conseguirias fazer?”
“…” (Diana)
“ 13, porque é sempre mais um”. (Duarte)
“Explica o que estás a pensar.”
“Os números repetem-se” (Maria)
“Eu estava a pensar nos números, que a partir de um certo número é só trocar as
parcelas. A partir de do 7 + 8, é só trocar as parcelas dá sempre 15.”(Maria)
Quebrámos o fio porque parecia surgir algo a explorar.
“E com o 12?”
“É a partir do 6 + 6” (João)
“Alguém sabe a razão?”
“Porque chegámos a meio do registo. A partir do meio do registo as parcelas são iguais
mas os números trocam” (João)
“Então podemos concluir que a partir da metade do registo, repetimos a outra metade
com a mesma quantidade ainda que trocando a ordem das parcelas.
“Em vez de 7+8, temos 8+7 e depois 9+6 em vez do 6+9,…”
A descoberta do João deixou os colegas pensativos e cada um olhava para o seu registo
procurando evidências.
“É verdade” (ouvia-se)
…
“E quem me consegue explicar que basta acrescentar mais um arranjo ao anterior para
saber quantos são possíveis para a quantidade 12, tal como disse o Duarte.”
…
“Porque é mais um” (Pedro)
“Explica melhor”
…
“É o dobro, 6+6, e o zero mais o número, o número anterior mais um e um mais o
número anterior, o dois mais um número e o número mais dois até chegar ao número”
Dada alguma confusão pediu-se ao Higino que fosse ao quadro demonstrar o seu
pensamento:
O Higino demonstrou que surgiam parcelas envolvendo os números de 0 a 12 (6
parcelas mais 6 parcelas e a parcela do 0+ 12) o que perfaz 13 arranjos.
5. Avaliação global da tarefa
É uma tarefa que permite desenvolver a compreensão das relações e da ordenação de
números, podendo se desenvolvida com uma número variável de joaninhas, revelando-
se deste modo uma tarefa moldavel a diferentes universos. Neste caso a tarefa foi
desenvolvida com o numeral 15, em consonância com o trabalho que já tem vindo a ser
desenvolvido pela turma.
A exploração da actividade levou alguns alunos a compreender a dinâmica de um registo
a partir da metade do mesmo e a noção de metade, o que compõe um registo e a
importância da sua ordenação/organização.
O estudo da metade e a sua relação com o número será desenvolvido, numa outra tarefa,
explorando as possibilidades de raciocinar em termos de dobros e metades.