Tatami Tilings: How to Make a Mathematical Discovery

7/25/2019 Tatami Tilings: How to Make a Mathematical Discovery

1/48!"#$ & '

!" $"%& '()*+ ,**'!

"#$%& '()* ++++++++++++++++++++++

,-. /- 0(1*

( 0(/2*)(/%3(& 4%53-6*78

!"# %&'(" ) ** %+,-.( /01292* :7%&&%(;/


2/48!"#$ & (

9(=&* -> 2 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 1?"#$% &' $ %#(-+(6 $7@ ,+--.2 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 1?89%&:&%&(' 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 1?A-6(B-+C 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 1D

9#/-7%(& N I 9O4%(P7()5 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ HQ"#$% &' %#( )*+,-'( -. /*%-+&$0 ?2 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 1E89%&:&%&(' 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 1EA-6(B-+C 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 14

9#/-7%(& A I 5R#(7* P7%F5@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ HS"#$% &' %#( )*+,-'( -. /*%-+&$0 F2 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 1G89%&:&%&(' 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 1GA-6(B-+C 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 >1

9#/-7%(& C I T-3(& 7*5/7%3/%-;U P&-=(& 5/7#3/#7* @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ MM"#$% &' %#( )*+,-'( -. /*%-+&$0 D2 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 >>H(.&7&%&-7I J%#(+ %$%$6& +('%+&9%&-7' 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 >>89%&:&%&(' 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 >>

V%;(& W55%P;)*;/X 92* /(/()% 7*5/7%3/%-; (/ &(7P* @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ MA

9#/-7%(& G I Y5-)*/7%3 P7%F5 /-P*/2*7 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ MG"#$% &' %#( )*+,-'( -. /*%-+&$0 K2 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 >K89%&:&%&(' 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 >K

W$$*;F%Z @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ MQ/-6-C* 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 >E5L*$+( M+&@ ,$,(+ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 ?1N'-6(%+&9 M+&@ ,$,(+ 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 F1


3/48!"#$ & )

!"#$%& ()*+",)-&

!"**+,#-., /$"0 +1 20$2"0+,# 3+1 14+-5"1$ 6.0 " 2+5,+5 74,538 ",* $9$, :+-3 +-1 1$50$- 5.;2"0-;$,- 3$ 5",


4/48!"#$ & T

!"#$ &'()*)

E*8 B1%&&XU227+5"-+.,

H5/

!42+7 0$5.#,+1$1 5.;B+,"-.0+"7 1-045-40$1 ",* *$150+B$1 -3$; +, -3$ "B1-0"5-C

!42+7 0$5.#,+1$1 3.: ",* :3$0$ 5.;B+,"-.0+"7 ;.*$71 "0$ 41$6478 ",* 5", 5.,1-045- -3$+0 .:, $@";27$1 -. 1422.0- -3+1C

M@M

!42+7 0$5.#,+1$1 5.;B+,"-.0+"7 1-045-40$18 ",* *$;.,1-0"-$1 7+;+-$* "B+7+-+$1 -. "B1-0"5- 41$647 5.;B+,"-.0+"7 1-045-40$C

!42+7 0$5.#,+1$1 -3"- 5.;B+,"-.0+"7 ;.*$71 "0$ 41$6478 ",* *$;.,1-0"-$1 4,*$01-",*+,# .6 ;.1- .6 -3$ $@";27$1 #+9$, +, -3$5.401$ 3",*B..AC

E*8 B1%&&XD.;;4,+5"-+.,

H5/X

D.;27$@ +*$"1 ",* "0#4;$,-1 "0$ 57$"07E 20$1$,-$*C

V$E -$0;1 "0$ 41$* 5.00$5-7EC

F.23+1-+5"-$* ;"-3$;"-+5"7 "0#4;$,-1 "0$ 20$1$,-$* +, :0+-+,# 1453 -3"- -3$ 5.;B+,"-+., .6 1E;B.7+5 $@20$11+.,18 0$6$0$,5$1

-. 6+#40$18 ",* W,#7+13 3"1 " ,"-40"78 #0";;"-+5"77E 5.00$5- 67.:C

M@M

D.;27$@ +*$"1 ",* "0#4;$,-1 "0$ "--$;2-$*C

U--$;2-1 "0$ ;"*$ "- 41+,# A$E -$0;18 B4- 1.;$-+;$1 -3$1$ "0$ ;+14,*$01-..* ",* 41$* +,5.00$5-7EC

F.23+1-+5"-$* ;"-3$;"-+5"7 "0#4;$,-1 "0$ 20$1$,-$* +, :0+-+,#8 :3$0$ 7+--7$ 5.,-$@- +1 #+9$, -. 1E;B.7+5 $@20$11+.,18 .0 -3$:0+--$, "0#4;$,-1 "0$ .9$07E 9$0B.1$C

E*8 B1%&&XX.#+5"7 Y$"1.,+,#

H5/

D.;27$@8 ;47-+Z5"1$ 7.#+5"7 "0#4;$,-1 "0$ 6.77.:$*8 ",* -3$ 242+7 5.,6+*$,-7E ",1:$01 A,.:7$*#$Z-$1-+,# =4$1-+.,1C

!42+7 20$1$,-1 7.#+5"7 "0#4;$,-1 "B.4- A$E 5.401$ 5.,5$2-1 5.00$5-7E ",* 5.,6+*$,-7EC

!42+7 12.-1 6"71$ "0#4;$,-1 ",* #"21 +, 20..618 ",* 5", .66$0 5.00$5-$* "0#4;$,-1C

M@M

D.;27$@8 ;47-+Z5"1$ 7.#+5"7 "0#4;$,-1 "0$ 6.77.:$* :+-3 7+;+-$* 4,*$01-",*+,# .6 -3$ ;.1- 53"77$,#+,# 5.,5$2-18 .0 3.: -3$

:3.7$ .6 -3$ 7.#+5"7 "0#4;$,- 1422.0-1 -3$ 5.,5741+.,C

!42+7 20$1$,-1 7.#+5"7 "0#4;$,-1 :+-3 7+;+-$* 41$ .6 A$E 5.401$ 5.,5$2-18 ",* :3+53 ;"E ,.- 5.;27$-$7E 1422.0- -3$ 5.,5741+.,C

!42+7 1.;$-+;$1 12.-1 6"71$ "0#4;$,-1 ",* #"21 +, 20..61C

E*8 B1%&&X Y$1$"053 D0$"-+9+-E

H5/

!42+7 13.:1 " 50$"-+9+-E ",* 0$1.405$647,$11 -3"- 6.1-$01 ;"-3$;"-+5"7 *+15.9$0EC

!42+7 ;"A$1 #4+*$* ;"-3$;"-+5"7 *+15.9$0+$1 BE 50$"-+9$7E "227E+,# A$E 5.,5$2-18 ",* $@2",*+,# ., -3$ 5.401$ ;"-$0+"7C

M@M

!42+7 13.:1 7+;+-$* 50$"-+9+-E ",* 0$1.405$647,$11C

!42+7 ;"A$1 1+;27$8 #4+*$* ;"-3$;"-+5"7 *+15.9$0+$1 BE *+0$5-7E "227E+,# A$E 5.,5$2-1C


5/48!"#$ & [

!"#$$%&' #) *+',#&-$

\CBC8 1.;$ .6 -3$1$ *$6+,+-+.,1 "0$ 50$*+-$* -. ]..#7$8 K+A+2$*+"8 ",* L+5-+.,"0EC5.;C

=%F%)*7 U 5$0-"+, 5.,6+#40"-+., .6 -+7$18 -. B$ 0$9$"7$* +, ^4-.0+"71 NZ(C

=%;(78 5/7%;P U 1-0+,# .6 '1 ",* S18 $C#C8 'SS'SS''''8 ",* S'C

=-Z ^3$ +1.;$-0+5 #0+*_1 $=4+9"7$,- .6 " 0$5-",#7$C F$$ ^4-.0+"7 T U5-+9+-E (C

3-)=%;(/-7%35 ^3$ B0",53 .6 ;"-3$;"-+51 -3"- 5.9$01 -3$ ;"-$0+"78 ",* ;4538 ;453 ;.0$8 +, -3+1

20.#0";;$C F$$ "71.8 *+150$-$ ;"-3$;"-+51C

3-#;/%;P U B0",53 .6 0$1$"053 ;"-3$;"-+51 :3$0$+, "00",#$;$,-1 .6 +,*+9+*4"7 .BI$5-1 "0$ 5.4,-$*8

$+-3$0 $@"5-7E .0 "220.@+;"-$7EC ^3+1 1.;$-+;$1 3"1 23E1+5"7 "227+5"-+.,18 :3$0$ -3$ ,4;B$0

.6 "00",#$;$,-1 2.11+B7$ +, -3$ `*+150$-$a ;"-3$;"-+5"7 ;.*$7 #+9$1 41$647 +,6.0;"-+., "B.4-

:3"- +1 2.11+B7$ +, -3$ 23E1+5"7 :.07*C

3-6*7%;P K$ 1"E -3"- -+7$1 !"#$%" 0$#+., :3$, -3$ -+7$1 *. ,.- .9$07"28 -3$ :3.7$ 0$#+., +1 5.9$0$*8 ",*

,.-3+,# B4- -3$ 0$#+., +1 5.9$0$*C

F%(P-;(& >&%$ U, "7-$0,"-$ :"E .6 +,-$020$-+,# 5$0-"+, 2"0-1 .6 -3$ ^Z*+"#0"; -"-";+ 1-045-40$C F$$ ^4-.0+"7 )U5-+9+-E 'C

F%537*/* ?,*+9+*4"77E 1$2"0"-$ ",* *+1-+,5-J b12$$53 1.4,*1 "0$ 20.*45$* "1 " 5.,-+,4.41 1.4,* 1+#,"7

0"-3$0 -3", *+150$-$ 4,+-1cC

F%537*/*

)(/2*)(/%35

93$ 1-4*E .6 )(/2*)(/%3(&1-045-40$1 -3"- "0$ 64,*";$,-"77E F%537*/*0"-3$0 -3", 5.,-+,4.41C

F-)%;- U '@N 0$5-",#47"0 -+7$ `1$$ /%&*aC

*;#)*7(/%-; F$$ 3-#;/%;PC

P&-=(& 5/7#3/#7* ^3$ "00",#$;$,- .6 -3$ 2"0-1 .0 $7$;$,-1 .6 1.;$-3+,# 5.;27$@C

P7%F U 0$5-",#7$ *+9+*$* 42 +,-. 4,+- 1=4"0$18 7+A$ " 53$11B."0*8 .0 " 13$$- .6 #0+* 2"2$0C

%5-)*/7%3 P7%F U -E2$ .6 #0+* -3"- 5", B$ *0":, BE 0$2$"-+,# $=4+7"-$0"7 -0+",#7$1C K$ 41$ " 53$5A$0$*

9$01+., 6.0 .40 .:, 5.,9$,+$,5$C

&-3(& 7#&* ^3$ 0$7"-+.,1 B$-:$$, -3$ 2"0-1 .6 $7$;$,-1 .6 1.;$-3+,# 5.;27$@C

&-;*7 U 5$0-"+, 5.,6+#40"-+., .6 -+7$18 -. B$ 0$9$"7$* +, ^4-.0+"71 NZ(C

&-[*;P* U -+7$ -3"- 6+-1 ., -3$ +1.;$-0+5 #0+*8 5.9$0+,# -:. "*I"5$,- -0+",#7$1C

)-;-)%;- U ' @ ' 1=4"0$ -+7$C `1$$ /%&*aC

\]YB@-7P ^3$ H,7+,$ W,5E57.2"$*+" .6 ?,-$#$0 F$=4$,5$1 `3--2Odd.$+1C.0#da +1 " :$B1+-$ -3"- 5"-"7.#4$1

1$=4$,5$1 .6 +,-$#$018 7+A$ -3$ e+B.,"55+ 1$=4$,5$O '8'8N8(8T8Q8'(8N'8 f C

\1#^ !7"E$01 -"A$ -40,1 24--+,# -+7$1 ., " #0+* 1. -3"- -3$+0 .22.,$,- 5",,.- ;"A$ " ;.9$C W"53 -+7$

-3"- +1 27"5$* ;41- ,.- 9+.7"-$ -3$ -"-";+ 0$1-0+5-+.,C


6/48!"#$ & g

$7--> W9+*$,5$ .0 "0#4;$,- $1-"B7+13+,# " 6"5- .0 -3$ -04-3 .6 " 1-"-$;$,-C

_@]@4@ 1-",*1 6.0 -3$ 7"-+, 230"1$ 3456 ",'& 6"75.8&,'.6478 ;$",+,# h:3+53 3"* -. B$ 20.9$,hC

^3+1 +1 .6-$, 41$* "- -3$ $,* .6 " ;"-3$;"-+5"7 20..6C

7(8 F$$ ^4-.0+"7 N U5-+9+-E (C

72-)=#5 `/%&*a F$$ &-[*;P*C

5*R#*;3* U 1$=4$,5$ +1 " 6+,+-$ .0 +,6+,+-$ 7+1- .6 ,4;B$018 7+A$ -3$ `+,6+,+-$a e+B.,"55+ 1$=4$,5$O

'8'8N8(8T8Q8'(8N'8 f8 .0 -3$ 2.1+-+9$ +,-$#$018 '8N8(8)8 fC F$$ \]YB@-7PC

9OF%(P7() U, $66+5+$,- *+"#0"; 6.0 $@20$11+,# " ;.,.;+,.Z*.;+,. -"-";+ 5.9$0+,# +,1-$"* .6 13.:+,# "77

-+7$1C ^3$ ^Z*+"#0"; .,7E 13.:1 -3$ B.4,*"0+$1 B$-:$$, 9$0-+5"7 ",* 3.0+G.,-"7 *.;+,.$1C

/(/()% )(/ U 67..0 ;"- .6 M"2",$1$ .0+#+,8 ;$"140+,# "220.@+;"-$7E ' ;$-$0 BE N ;$-0$1 `' @ N ;aC

/(/()% 7*5/7%3/%-; ^3$ -"-";+ 0$1-0+5-+., 6.0 ;.,.;+,.Z*.;+,. 5.9$0+,#1 .6 " 0$5-",#47"0 #0+* 1"E1 -3"- ,. 6.40

-+7$1 ;"E ;$$- "- ",E 2.+,-C

/2*-7*) U #$,$0"7 20.2.1+-+., ,.- 1$76Z$9+*$,- B4- 20.9$* BE " 53"+, .6 0$"1.,+,#J " -04-3 $1-"B7+13$*BE ;$",1 .6 "55$2-$* -04-31C

/%&* U, NZ*+;$,1+.,"7 .BI$5- .6 " 6+@$* 13"2$8 :3+53 ;"E 0$20$1$,- " ^"-";+ ;"-8 6.0 $@";27$8 ",*

;"E B$ 27"5$* :+-3 .-3$0 -+7$1 -. 5.9$0 ", "0$"C

9-)-1#^ U 2$,5+7Z",*Z2"2$0 #";$ "B.4- 6+,*+,# -"-";+ 5.9$0+,#1C

/7%(;P&* `/%&*a U -+7$ -3"- 6+-1 ., -3$ +1.;$-0+5 #0+*8 5.9$0+,# .,$ $=4+7"-$0"7 -0+",#7$C

/7%(;P&*U P7%FO U #0+*Z-0+",#7$ +1 " b#0+* 1=4"0$c .6 -3$ +1.;$-0+5 #0+*C

6** U 5$0-"+, 5.,6+#40"-+., .6 -+7$18 -. B$ 0$9$"7$* +, ^4-.0+"71 NZ(C

6-7/*Z U 5$0-"+, 5.,6+#40"-+., .6 -+7$18 -. B$ 0$9$"7$* +, ^4-.0+"71 NZ(C


7/48!"#$ & Q

!"#$%&'( *I!"#$ &' $#$#(&)

U 2"#$ 60.; &'()*)'+-3$ 'g-3

5$,-40E [email protected] ., -3$ 1.0.B",8 " M"2",$1$ 9$01+., .6 -3$ "B"541C

J2(/ %5 /2* "#7$-5* -> 9#/-7%(& HK

^. +,-0.*45$ ;.,.;+,.Z*.;+,. 5.9$0+,#1 .6 0$5-",#47"0 #0+*1C

^. 1$$ ", "227+5"-+., .6 ;.,.;+,.Z*.;+,. 5.9$0+,#1 .6 0$5-",#47"0 #0+*1C

^. +,-0.*45$ -3$ -"-";+ 0$1-0+5-+.,C

B#$$&*)*;/JW?'Y'DX 92*5* /#/-7%(&5 3-;/(%; )(/25 &%1* 8-# 2(6* ;*6*7 5**;@ 92*7* %5 *(5%*7 5/#>> )%Z*F .%/2 )-7* 3-)$&%3(/*F 5/#>>U

>-7 /2-5* .(;/%;P )-7*U =#/ 8-# (7* ;-/ *Z$*3/*F /- #;F*75/(;F %/ (&& %; G 52-7/ /#/-7%(&5^

U *.;+,. +1 " 0$5-",#47"0 -+7$ -3"- ;$"140$1 '@N 4,+-1C U *.;+,. 5", B$ 27"5$* ., " #0+* 1. -3"- +- 5.9$01 $@"5-7E -:. "*I"5$,-

#0+* 1=4"0$1C

K3$, :$ 27"5$ $,.4#3 *.;+,.$1 +, -3$ #0+* -. 5.9$0 +- 5.;27$-$7E `:+-3 ,. .9$07"22+,# *.;+,.$1a8 :$ 5"77 -3+1 " ,"-'(".

!"#$%'(/.6 -3$ #0+*C P$0$ "0$ -30$$ $@";27$1C

U ;.,.;+,. +1 " 1=4"0$ -+7$ -3"- 5.9$01 $@"5-7E ' #0+* 1=4"0$C K$ 5", 27"5$ ;.,.;+,.$1 +, -3$ #0+* "1 :$778 -. 6.0; ;.,.;+,.Z

*.;+,. 5.9$0+,#1 .6 -3$ #0+*C P$0$ "0$ -30$$ $@";27$1C


8/48!"#$ & i

^3$1$ 5.9$0+,#1 .6 #0+*1 *$150+B$ 5$0-"+, 1+-4"-+.,1 +, 23E1+518 $C#C8 :3$0$ ;.7$547$1 "0$ "B1.0B$* +,-. *+150$-$ 7.5"-+.,1 ., "

1406"5$C L.;+,.$1 0$20$1$,- -3$ ;.7$547$18 ",* -3$ 1406"5$ 3"1 #0+*Z7+A$ 20.2$0-+$1 B$5"41$ .6 -3$ 6.05$1 -3"- "5- "- -3$ "-.;+5

",* ;.7$547"0 7$9$71C ^3+1 +1 ", $@";27$ .6 " F%537*/* 5/7#3/#7*C

^"-";+ ;"-1 "0$ " 5.;;., 67..0 640,+13+,#8 .0+#+,"-+,# +, "0+1-.50"-+5 M"2",8 ;"*$ :+-3 " 0+5$ 1-0": 5.0$ ",* " 1.6-8 :.9$, 0413

1-0": $@-$0+.0J -3$E -E2+5"77E ;$"140$ "B.4- '@N;C ?, -3$ 'g-3

5$,-40E8 " 1+;27$ 047$ :"1 $1-"B7+13$* 6.0 5$0-"+, "00",#$;$,-1.6 -"-";+ ;"-18 :3+53 :$ 5"77 /2* /(/()% 7*5/7%3/%-;X ;- >-#7 )(/5 )(8 )**/C

\.-+5$ -3"- b,. 6.40 ;"-1 ;"E ;$$-c +1 "5-4"77E " 0$1-0+5-+., "- #0+* +,-$01$5-+.,18 1+,5$ -3$ .,7E :"E 6.0 6.40 ;"-1 -. ;$$- +1 "-

-3$+0 5.0,$018 "- #0+* 7+,$ +,-$01$5-+.,1C

,%5/-7%3(& (;*3F-/*O U M"2",$1$ ;"-3$;"-+5+", ,";$* j+-14E.13+ k.13+*" ,.-+5$* -3$ ;"-3$;"-+5"7 1+#,+6+5",5$ .6 -"-";+

5.9$0+,#18 ",* 24B7+13$* " *0":+,# .6 .,$ +, 3+1 '[)' B..A ., ;"-3$;"-+51C ^3$ B..A8 A,.:, "1 &'()*)'+*$150+B$1 3.: -. 41$ "

M"2",$1$ "B"5418 "1 :$77 "1 ;"A$ ;",E 20"5-+5"7 "#0+547-40"7 5"7547"-+.,1 7+A$ 50.2 E+$7*1C P$0$ +1 " 2"#$ :+-3 " -"-";+ ;"-

"00",#$;$,- 13.:, ., -3$ 7$6-C


9/48!"#$ & 'S

W3/%6%/%*5

'C 0-;-)%;-OF-)%;- 3-6*7%;P5 -> /2* P7%FX Y$5-",#47"0 #0+*1 :+77 B$ 7"+* .4- "- 1-"-+.,18 ",* :$ :+77 5.9$0 -3$; :+-3

;.,.;+,.$1 ",* *.;+,.$1 BE 27"5+,# -+7$1 +, -3$ #0+* "- $"53 1-"-+.,C

U5-+9+-E =4$1-+.,1O

"C K3"- +1 " ;.,.;+,.R K3"- +1 " *.;+,.R

BC K3"- +1 " *.;+,. 5.9$0+,# .6 -3$ #0+*R K3"- +1 " ;.,.;+,.Z*.;+,. 5.9$0+,# .6 -3$ #0+*R

5C U0$ -3$0$ *.;+,. 5.9$0+,#1 -3"- *+66$0 60.; -3$ .,$1 :$ 6.4,* +, -3$ "5-+9+-ER

*C P.: ;",E *.;+,. 5.9$0+,#1 "0$ -3$0$R K3"- +1 E.40 B$1- #4$11R

$C

?1 -3$ ,4;B$0 .6 "00",#$;$,-1 "77.:+,# B.-3 ;.,.;+,.$1 ",* *.;+,.$1 B$ #0$"-$0 .0 6$:$0 -3", -3.1$ :+-3.,7E *.;+,.$1C

6C ?1 +- 2.11+B7$ -. b#$- 1-45Ac -0E+,# -. 5.9$0 -3$ #0+* :+-3 *.;+,.$1R K+-3 ;.,.;+,.$1 ",* *.;+,.$1R

NC 92* /(/()% 7*5/7%3/%-;X K$ :+77 0$2$"- "5-+9+-E '8 B4- -3+1 -+;$ :$ :+77 41$ -3$ /(/()% 0$1-0+5-+.,J ;- >-#7 /%&*5 )**/C

U5-+9+-E =4$1-+.,1O

"C K"1 +- $"1+$0 .0 ;.0$ *+66+547- -. 5.9$0 -3$ #0+* 41+,# -3$ -"-";+ 0$1-0+5-+.,R

BC L$150+B$ 3.: .,$ ;+#3- b#$- 1-45Ac -0E+,# -. ;"A$ " -"-";+ 5.9$0+,#C

5C U0$ -3$0$ ;.0$ .0 6$:$0 -"-";+Z0$1-0+5-$* 5.9$0+,#1 -3", ,.0;"7 5.9$0+,#1 41+,# -3$ 1";$ -E2$1 .6 -+7$1R

]4$11 "- 3.: ;",E -"-";+ 5.9$0+,#1 -3$0$ ;+#3- B$ .6 -3$ -E2$ :$ -0+$* -. 6+,* +, -3+1 "5-+9+-EC


10/48!"#$ & ''

9#/-7%(& H I :(5*&%;* 9*5/

^3$ 3.;$:.0A "11+#,;$,- 6.0 -3$ 6+01- -4-.0+"7 +1 " B"1$7+,$ -$1- -. 1$$ E.40 +,+-+"7 7$9$7 .6 "--"+,;$,- +, -3+1 14BI$5- "0$"C

^3$ "11+#,;$,- :+77 -$1- 6.0 1.;$ .0 "77 .6 -3$ 14BI$5- 12$5+6+5 1A+771 -3"- "0$ 0$=4+0$* 7"-$0 +, -3$ 6+,"7 "11+#,;$,-C

P.:$9$08 +- +1 13.0-$0 -3", -3$ 6+,"7 "11+#,;$,- ",* +1 :+77 B$ ", +,-0.*45-+., -. -3$ 14BI$5- "1 :$77 "1 " 53"77$,#$>

L. ,.- :.00E -.. ;453 "B.4- *.+,# l:$77_ .0 lB"*7E_ ., -3$ B"1$7+,$ -$1-8 +- -"A$1 +,-. "55.4,- -3$ 6"5- -3"- E.4 ;"E ,.-

B$ 6";+7+"0 :+-3 -3$ 14BI$5- "0$"C ?- +1 *$1+#,$* -. 3$72 E.4 ",* E.40 !3L -4-.0 +*$,-+6E :3$0$ E.4 "0$ "- -3$ 1-"0- .6 -3$

20.#0";;$ ",* -. 3$72 E.4 ;$"140$ E.40 20.#0$11 "7.,# -3$ :"EC

'C 97#* V(&5* (;F 4%>>%3#&/8 &*6*&@

D+057$ 04$ .0 e"71$ 6.0 $"53 =4$1-+.,8 ",* 0"-$

-3$ *+66+547-E .6 -3$ =4$1-+.,C k.4 5", *0": +,

-3$1$ #0*1 .0 41$ -3$ #0+* 2"2$0 +, -3$ U22$,*+@

-. *. 1.;$ 0.4#3 :.0A8 +6 ,$5$11"0EC


11/48!"#$ & 'N

7C D+057$ .,$O ^04$ e"71$ D+057$

.,$O `$"1Ea ' N ( ) T `*+66+547-a

;C D+057$ .,$O ^04$ e"71$ D+057$

.,$O `$"1Ea ' N ( ) T `*+66+547-a

,C D+057$ .,$O ^04$ e"71$ D+057$

.,$O `$"1Ea ' N ( ) T `*+66+547-a

NC e.0 $"53 .6 -3$1$ 2"0-+"7 -"-";+ 5.9$0+,#18 *0": -3$ -+7$1 :3.1$ 27"5$;$,-1 "0$ 6.05$* BE -3$ -"-";+ 0$1-0+5-+.,C

(C L+* E.4 *+15.9$0 ",E-3+,# "B.4- -"-";+ 5.9$0+,#1R ?6 E.4 *+*8 *$150+B$ E.40 *+15.9$0E +, " 6$: 1$,-$,5$1 `",*

6+#40$18 +6 ,$$*$*aC


12/48!"#$ & '(

!"#$%&'( *I!"#$%&'(")%'* ,()-.(-)/

J2(/ %5 /2* "#7$-5* -> 9#/-7%(& MK

^. 7$"0, .,$ .6 -3$ 20.5$11$1 .6 ;"-3$;"-+5"7 *+15.9$0EJ +*$,-+6E+,# 2"--$0,1 ",* *$150+B+,# -3$; 41+,# ;"-3$;"-+51C

^. 7$"0, -3$ 1-045-40$ .6 -"-";+ 5.9$0+,#1 ",* B$5.;$ 6";+7+"0 :+-3 +-C

^. 5.,1-045- " 5.;27$@ 7.#+5"7 "0#4;$,-J -3$.0$; ",* 20..6C

J2(/ %5 ( /2*-7*) (;F $7-->K

j",E ;"-3$;"-+5"7 *+15.9$0+$1 "0$ #+9$, "1 " 13.0- 1-",*"7.,$ 1-"-$;$,-8 5"77$* " 01$"%$-6.77.:$* " 20..68 41+,# *$*45-+9$

0$"1.,+,#8 .6 :3E -3$ -3$.0$; +1 +00$64-"B7E -04$C ^3$ 20..6 +1 $@2$5-$* -. B4+7* 42 -. -3$ 5.,5741+., BE 5.;B+,+,# 1+;27$0

57"+;1 -3"- -3$ +,-$,*$* "4*+$,5$ :+77 4,*$01-",* ",* B$ "B7$ -. "55$2- "1 -04$C

m4$1-+.,O P.: +1 " -3$.0$; *+66$0$,- 60.; " -3$.0ER

W3/%6%/%*5

'C 9-)-1#X

^3$ .BI$5- .6 -3$ ^.;.A4 24GG7$ +1 -. -"-";+ 5.9$0 -3$ #0+* :+-3 -3$ -+7$1 #+9$, 6.0 $"53 0.: ",* 5.74;,C K$_77 *. -3+1

-.#$-3$0 +, -3$ -4-.0+"78 B4- 6477 +,1-045-+.,1 ",* $@-0" 24GG7$1 "0$ +,574*$* +, -3$ U22$,*+@C

NC L+15.9$0+,# ;"-3$;"-+51O j"-3$;"-+5+",1 .6-$, *+15.9$0 ,$: ;"-31 BE $@";+,+,# *"-"C T--1 (/ (5 )(;8 F7(.%;P5 ->

/(/()% 3-6*7%;P5 (5 $-55%=&*",* -0E -. +*$,-+6E 1+;+7"0+-+$1 B$-:$$, -3$;8 -+7$ 5.,6+#40"-+.,1 -3"- *$-$0;+,$ .-3$0

2"0-1 .6 -3$ -"-";+ 5.9$0+,#8 $-5C 4%53#55 8-#7 -=5*76(/%-;5 %; P7-#$5 -> NC F.;$ -"-";+ 5.9$0+,#1 "0$ #+9$, B$7.: -.

#$- E.40 -3.4#3-1 1-"0-$*C

W9$0E 2.11+B7$ (@( ;.,.;+,.Z*.;+,.a -"-";+ 5.9$0+,#

W9$0E 2.11+B7$ (@) ;.,.;+,.Z*.;+,.a -"-";+ 5.9$0+,#


13/48!"#$ & ')

B-)*.6 -3$ T@T -"-";+ 5.9$0+,#1C

B-)*.6 -3$ 'S@') 5.9$0+,#1C

(C ?(85O ^3+1 5.,6+#40"-+., 20.2"#"-$1 BE 6.05+,# -3$ 27"5$;$,- .6 .-3$0 -+7$1 4,-+7 " B.4,*"0E +1 0$"53$*C K3E 5", 0"E1

,.- 50.11 $"53 .-3$0R K3"- 3"22$,1 "- -3$ B$#+,,+,# .6 " b0"EcR

)C ?*$,-+6E -3$ 1.405$1 bB$#+,,+,#1 .6 0"E1ca +, " -"-";+ 5.9$0+,#C


14/48!"#$ & 'T

TC K$ :+77 1-"-$ -3$ #7.B"7 1-045-40$ .6 -"-";+ 5.9$0+,#1 +, " /2*-7*)",* $7-6*+- -.#$-3$0C

,-)*.-71

'C 9-)-1#X D.;27$-$ -:. ^.;.A4 24GG7$1 .6 E.40 53.+5$8 +,574*+,# .,$ -3"- +1 "- 7$"1- T 0.:1 -"77C e+,* -3$; +, -3$

U22$,*+@C

NC n1$ -3$ 1-045-40$ -. "0#4$ -3"- -3+1 5.9$0+,# 5", .,7E B$ 5.;27$-$* +, .,$ :"EaC

(C

D.,1-045- " 5.9$0+,# .6 ",E #0+* 1+G$ 41+,# $@"5-7E .,$ .6 $"53 -E2$ .6 b6$"-40$c 1$$ 3",*.4-aC)C F-4*E -3$1$ *+66$0$,- 1+G$* 5.9$0+,#1C ]+9$, :3"- E.4 A,.: .6 -3$ -"-";+ 1-045-40$8 ",* -3"- -3$ 6+01- +;"#$ 13.:1 (&&

NM.6 -3$ )@) -"-";+ 5.9$0+,#1 :+-3 $@"5-7E N ;.,.;+,.$18 :3"- 5", E.4 1"E "B.4- -3$ 7"0#$0 5.9$0+,#1R U0$ "77 .6

-3$; 13.:, 3$0$R \.-+5$ .,7E $9$, ,4;B$01 "0$ 13.:,C P.: ;",E i@i -"-";+ 5.9$0+,#1 :+-3 $@"5-7E N ;.,.;+,.$1

"0$ -3$0$R

W&& NM.6 -3$ )@) -"-";+ 5.9$0+,#1 :+-3 $@"5-7E ' ;.,.;+,.C

[@[ -"-";+ 5.9$0+,#1 :+-3 $@"5-7E N ;.,.;+,.$1C ?1 -3+1 "77 .6 -3$;R


15/48!"#$ & '[

Q@Q -"-";+ 5.9$0+,#1 :+-3 $@"5-7E N ;.,.;+,.$1C ?1 -3+1 "77 .6 -3$;R

'S@'S -"-";+ 5.9$0+,#1 :+-3 $@"5-7E N ;.,.;+,.$1C ?1 -3+1 "77 .6 -3$;R

'N@'N -"-";+ 5.9$0+,#1 :+-3 $@"5-7E N ;.,.;+,.$1C ?1 -3+1 "77 .6 -3$;R


16/48

Theorem: A ray mustbegin at one of the following four types of tile configu-rations: A bidimer configuration, a vortex configuration, a loner configuration, ora veeconfiguration.

Proof: Consider the different tiles that can cover the grid square at the begin-

ning of a ray:

If it is this blue tile , we are not dealing with the beginning of the ray, so itcannot be the blue tile.

We itemize the four possible cases below, and afterwards, draw a diagram rep-resenting all of the tiles whose placement is forced by the four configurations.

Case 1: Bidimer, two dominoes share a long edge: .

Case 2: If there is a monomino at beginning , then we need to considerhow the square beside it is covered (the pink circle).

Case 2(a): vortex: .

Case 2(b): loner: . This must occur on the boundary.

Case 2(c): vee: . This must occur on the boundary.

Each of these tile configurations forces the placement of more tiles. This is shownbelow.

bidimer

loner

vortex

vee

q.e.d. (from the latin phrase quod erat demonstrandum, meaning which had tobe proven)

This is a big piece of the puzzle that describes the whole structure of tatamicoverings, which is essentially that every monomino-domino tatami covering is com-pletely determined by its bidimers, vortices, loners, and vees, and additionally, therays emanating from these cannot cross.

1


17/48!"#$ & 'g

!"#$%&'( *I!O!"#$%#&'

W;*3F-/*O D.,:"E_1 ]";$ .6 X+6$ +1 B"1$* ., " 7.5"7 047$ `1+-4"-$* .,7E "0.4,* $"53 2+@$7a8 B4- :"1 20.9$, -. B$ "B7$ -.

5"7547"-$ $9$0E-3+,# -3"- " 5.;24-$0 5", 5"7547"-$8 41+,# -3$ b^40+,# ;"53+,$c 5.,6+#40"-+., 13.:, "B.9$C ^3"- +1 " 7.- .6

1-045-40$8 5.;+,# 60.; " 1+;27$ 7.5"7 047$> e.0 ;.0$ +,6.0;"-+., ]..#7$O D.,:"E 9#/-7%(& NK

^. "B1-0"5- -3$ -"-";+ 1-045-40$ +,-. Z*+"#0";1C

W3/%6%/%*5

'C

9(/()% \1# .(7) #$aO ^3$ .BI$5- .6 -3+1 N 27"E$08 3$"*Z-.Z3$"* -40, B"1$* #";$ +1 -. B$ -3$ 7"1- 27"E$0 :3. 5",27"5$ " -+7$ ., -3$ #0+* :+-3.4- 9+.7"-+,# -3$ -"-";+ 0$1-0+5-+.,C K+-3 ", .22.,$,-8 "7-$0,"-$7E 27"5$ " ;.,.;+,. .0 "

*.;+,. ., -3$ #0+* 1. -3"- ;- >-#7 /%&*5 )**/C ^3+,A 1-0"-$#+5"77E 1. -3"- E.4 20$9$,- E.40 .22.,$,- 60.; 27"5+,# 7"1-C

F4##$1-$* #0+* 1+G$O (@( .0 (@)C


18/48!"#$ & 'Q

M@

47(.%;P 9OF%(P7()5 -6*7 3-6*7%;P5@ L0": -3$ Z*+"#0"; .6 -3+1 5.9$0+,# +, 27"5$aC

N@ 0(/32%;P 9OF%(P7()5 .%/2 /2*%7 3-6*7%;P5@ k.4 :+77 B$ #+9$, 1$9$0"7 5.9$0+,#1 ",* ^Z*+"#0";18 ",* E.4 ,$$* -. ;"-53

-3$; 42C

A@ X ^3$.0$;O k.4 5", 6+- oooo 9.0-+5$1 ",* B+*+;$01 +, " -"-";+ 5.9$0+,# .6 -3$ 1=4"0$C

!0..6O ooooC k.40 20..6 ;"E +,574*$ *0":+,#1C

NC

P.: ;",E -"-";+ *.;+,. `.,7Ea 5.9$0+,#1 "0$ -3$0$ .6 -3$ 53$11B."0*R K3"- "B.4- .-3$0 ,@, 1=4"0$ #0+*1R K3"- +6 ,+1 .**R


19/48!"#$ & 'i

!"#$%&'( *I!"#$% %'%'() *"+,-)$./ "0 /1#'-, .-)2/3

J2(/ %5 /2* "#7$-5* -> 9#/-7%(& AK

^. "11$11 4,*$01-",*+,# .6 ",* 0$9+$: -3$ ^3$.0$; ",* !0..6 -3"- ^Z*+"#0";1 0$20$1$,- -3$ :3.7$ 1-045-40$ .6

;.,.;+,.Z*.;+,. -"-";+ 5.9$0+,#1 .6 #0+*1C

^. "227E Z*+"#0";1 -. 5.4,- -"-";+ 5.9$0+,#1C

^. *. 0$1$"053 41+,# -"B7$1 .6 ,4;$0+5"7 *"-"C

W3/%6%/%*5

'C

U *+"#.,"7 67+2C D.,,$5- -3$ *.-1 p *0": " 7+,$ B$-:$$, 5.9$0+,#1 -3"- *+66$0 BE $@"5-7E .,$ *+"#.,"7 67+2C W@";27$1B$7.:C

NC P.: ;",E -"-";+ 5.9$0+,#1 "0$ -3$0$ -3"- 5.;27$-$ -3$ .,$ 13.:, B$7.:R

"C D", :$ 41$ B+,"0E 1-0+,#1 -. 5.4,- -3$1$R


20/48!"#$ & NS

N@ 9(/()% 3-6*7%;P5 -> /2* ;Z; 5R#(7* .%/2 *Z(3/&8 ) )-;-)%;-*5@ F-4*E -3$1$ -"-";+ 5.9$0+,#1 5"0$6477EJ 5.4,- -3$

;.,.;+,.$18 -3$ *+;$,1+.,1 .6 -3$ #0+*8 ",* -3$ 2.1+-+.,1 .6 -3$ q 6$"-40$C K3"- *. -3$E 3"9$ +, 5.;;.,R D", E.4

+,6$0 ",.-3$0 5.9$0+,# :+-3 -3$1$ 2"0";$-$01 `,@, #0+* ",* $@"5-7E ; ;.,.;+,.$1a B"1$* ., :3"- E.4 1$$ 3$0$R

)C n1+,# \]YB@-7PO ?, ^4-.0+"7 N P.;$:.0A =4$1-+., ) :$ 1": 3.: -"-";+ 5.9$0+,#1 5", B$ 0$7"-$* -. $"53 .-3$08 $9$,

:3$, -3$ #0+*1 "0$ .6 *+66$0$,- 1+G$1C F2$5+6+5"77E8 +- "22$"0$* -3"- -3$ )@) #0+*18 [@[8 #0+*18 $-5C8 "77 3"9$ $@"5-7E (N

5.9$0+,#1 -3"- 5.,-"+, $@"5-7E N ;.,.;+,.$1 $"53C K$ 5", "71. #"-3$0 +;2.0-",- +,6.0;"-+., BE 7..A+,# "- -3$

,4;B$01 -3"- 5.4,- -"-";+ 5.9$0+,#18 0"-3$0 -3", "- -3$ 5.9$0+,#1 -3$;1$79$1C ^3$ *0":+,#1 .6 , @ , 5.9$0+,#1 13.:,

$"07+$0 "0$ -3$ -.2 *+"#.,"7 .6 (N1 +, -3$ -"B7$ B$7.:C

"C m4$1-+.,O L. E.4 ,.-+5$ ",E 2"--$0,1 .0 0$5.#,+1$ ",E 1$=4$,5$1 +, -3+1 -"B7$R K3"- "B.4- -3$ *+"#.,"71

-3"- 1$$; -. 1-"B+7+1$ -. " 5.,1-",- `(N 0$2$"-$* ., -3$ -.2 *+"#.,"78 TS 0$2$"-$* B$7.: -3"-8 $-5aR K3E

*.,_- -3$ *+"#.,"7 ,4;B$01 1-"B+7+1$ -. " 5.,1-",- 0+#3- ":"ER

=@ 92* \;&%;* ];383&-$(*F%( -> Y;/*P*7 B*R#*;3*5 `2//$Xbb-*%5@-7Pba 5.;$1 +, 3",*E :3$, E.4 5.;$ "50.11 "

,$: 1$=4$,5$ `.0 1$0+$1a .6 ,4;B$01C W,-$0 " 1$=4$,5$ +, -3$ HW?FC.0# 1$"053 B"0 ",* +- :+77 -0E ",* 6+,* +- +,

+-1 *"-"B"1$C ^0E +- :+-3 -3$ ,4;B$01 +, 5.74;, 'C !$03"21 E.4_9$ 1$$, -3$1$ .,$1 B$6.0$>


21/48!"#$ & N'

,-)*.-71

'C ,-. )(;8 /(/()% 3-6*7%;P5 -> /2* SZS 5R#(7* P7%F (7* /2*7* .%/2 *Z(3/&8 N )-;-)%;-*5K `?7741-0"-$ -3$; 41+,# ^Z

*+"#0";1aC

D.,1-045- E.40 ",1:$0 +, ^3$.0$;d20..6 6.0;"-C ?6 E.4 "0$ 4,140$ `:3+53 +1 HV>a .6 -3$ $@"5- ,4;B$08 "*I41- E.40

-3$.0$; 1-"-$;$,-C e.0 $@";27$8 E.4 *.,_- ,$$* -. #+9$ -3$ $@"5- ,4;B$0 1$$ B$7.:aC

92*-7*)O ^3$0$ "0$ "- 7$"1- ) -"-";+ 5.9$0+,#1 .6 -3$ i@i 1=4"0$ #0+* "0$ -3$0$ :+-3 $@"5-7E ( ;.,.;+,.$1C

"7-->O /E 0$2$"-$*7E 0.-"-+,# -3$ -"-";+ 5.9$0+,# 13.:, B$7.: BE " =4"0-$0 -40,8 :$ .B-"+, ) 5.9$0+,#1 -3"- "0$

*+1-+,5- 60.; $"53 .-3$0C P"9+,# 6.4,* 6.40 .6 -3$ 0$=4+1+-$ 5.9$0+,#18 -3$0$ ;41- B$ "- 7$"1- -3+1 ;",EC mCWCLC

NC c5* \Y]B@-7PX^3$ -"B7$ B$7.: 13.:1 -3$ ,4;B$0 .6 ;.,.;+,.Z*.;+,. -"-";+ 5.9$0+,#1 .6 -3$ 0@5 #0+* `:+-3 ",E

,4;B$0 .6 ;.,.;+,.$1a8 6.0 $"53 0 ",* 5 42 -. ')C L. E.4 0$5.#,+1$ -3$ 1$=4$,5$ .6 ,4;B$01 +, 5.74;, 'R K0+-$

*.:, :3"- E.4 -3+,A +- ;+#3- B$ 5"77$*8 ",* -3$, #. $,-$0 +- "- 3--2Odd.$+1C.0#C !4- +, "- 7$"1- [ -$0;1J $C#C8

'8N8(8T8Q8'(C ^3$ 6+01- 1$=4$,5$ 0$-40,$* 13.47* 3"9$ -3$ 0$6$0$,5$ ,4;B$0 USSSS)TC D.2E -3$ ,";$ .6 -3+1 1$=4$,5$

+,-. E.40 1.74-+.,8 ",* ( 6"5-1 .6 E.40 53..1+,#8 $9$, +6 E.4 *.,_- 4,*$01-",* :3"- -3$E ;$",J $C#C8 b^3$ 0"-+.1

e`,r'ade`,a 6.0 ,sS "0$ -3$ 5.,9$0#$,-1 -. -3$ 1+;27$ 5.,-+,4$* 60"5-+., $@2",1+., .6 -3$ #.7*$, 1$5-+.,CcC ^0E " 6$:-$0;1 .6 1.;$ .-3$0 0.:18 5.74;,1 .0 *+"#.,"71 +, HW?F ",* 0$2.0- E.40 6+,*+,#1 `+, -$0;1 .6 1$=4$,5$ ,4;B$018 7+A$

USSSS)TaC


22/48!"#$ & NN

!"#$%&'( *I!"#$% '()*'+#*+",- .%"/$% )*'0#*0'(

J2(/ %5 /2* "#7$-5* -> 9#/-7%(& CK

^. 1$$ 7.5"7 0$1-0+5-+.,1 ",* #7.B"7 1-045-40$ 41+,# .-3$0 -+7$1C

^. +,-0.*45$ -3$ +1.;$-0+5 #0+*8 -0+",#7$1 ",* 7.G$,#$1C

^. 20$2"0$ 6.0 ",* B$#+, -3$ 6+,"7 "11+#,;$,-C

4*>%;%/%-;X \/2*7 /(/()% 7*5/7%3/%-;5

^3$ -"-";+ 0$1-0+5-+., 1"E1 b,. ) -+7$1 ;$$-c8 B4- :3"- +6 :$ ;"A$ " *+66$0$,- 047$J ,. ( -+7$1 ;$$-8 6.0 $@";27$C X$-_1 5"77 -3+1

.,$ -3$ (Z-"-";+ 0$1-0+5-+.,C

W3/%6%/%*5

'C

V%;(& (55%P;)*;/X Y$"* +- -.#$-3$0C ^"7A "B.4- +-C n,*$01-",* +-> ^3$ ,$@- 6$: "5-+9+-+$1 :+77 3$72 20$2"0$ 41 6.0 -3$

6+,"7 "11+#,;$,-C

NC T-3(& 7#&*U P&-=(& 5/7#3/#7*X X.5"7 047$1 -3"- +;2.1$ " #7.B"7 1-045-40$ .0 .0*$0a .5540 +, ;",E 27"5$18 1453 "1 50E1-"7

1-045-40$1 `+;"#$ 50$*+-O K+A+2$*+"aC ^3$ ;.7$547$1 7+,$ 42 2"!3224+, 5$0-"+, :"E18 0$147-+,# +, 1-045-40$1 -3"- 5", B$

.B1$09$* /2"53224C K+-3 " 2"0-,$08 *0": " 2+5-40$ .6 1.;$ -3+,#1 -3"- +,-$0"5- "55.0*+,# -. 7.5"7 047$1 `+,9.79+,# .,7E

-3$ -3+,#1 ,$@- -. -3$;1$79$1a -3"- 3"9$ " #7.B"77E .B1$09"B7$ 1-045-40$C m4$1-+.,O D", ,.,Z-"-";+ ;.,.;+,.Z*.;+,.

5.9$0+,#1 B$ *$150+B$* BE .,$ .0 ;.0$ 7.5"7 047$1R


23/48!"#$ & N(

(C W NO/(/()% 7*5/7%3/%-;K K3"- 1.0- .6 #7.B"7 1-045-40$ *.$1 -3$ (Z-"-";+ 0$1-0+5-+., +;2.1$R ^3$ `)Za-"-";+ 5.9$0+,#

B$7.: 7$6- 9+.7"-$1 -3$ (Z-"-";+ 0$1-0+5-+., +, ( 27"5$1C ^3$ 5.9$0+,# B$7.: 0+#3- +1 " (Z-"-";+ 5.9$0+,# .6 -3$ N@) #0+*C

)C T-[*;P* 3-6*7%;P5X F. 6"0 :$_9$ 7..A$* .,7E "- ;.,.;+,.Z*.;+,. 5.9$0+,#1 .6 -3$ 1=4"0$ #0+*C \.: :$ :+77 7..A "-

5.9$0+,#1 .6 -3$ +1.;$-0+5 #0+* `60.; $=4+7"-$0"7 -0+",#7$1a BE -0+",#7$1 ",* 7.G$,#$1 `N -0+",#7$1 -.#$-3$0aC ?,1-$"* .6

0$5-",#7$8 :$ 41$ -3$ :.0* =-ZC ^3+1 +1 " N@T@'N B.@C

U;"G+,#7E8 "77 7.G$,#$ .,7Ea 5.9$0+,#1 .6 B.@$1 &--1 &%1* ( 5/(31 -> 3#=*5 52-6*F %;/- ( 3-7;*7C P$0$ "0$ 1.;$ -3"- ?

50$"-$* 41+,# " 5.;24-$0 20.#0";C \.-+5$ ",E-3+,# "B.4- -3$;R U 7.5"7 047$ 2$03"21R

j+50.15.2+5 1-045-40$ .6 " 3"7+-$50E1-"7C `!4027$ +1

1.*+4;+.,8 #0$$, +1 537.0+,$+.,Ca ^3$0$ +1 54B+5

1E;;$-0E+, -3$ "-.;1< "00",#$;$,-C

j"50.15.2+5 `t'[5;a 3"7+-$ 50E1-"7C ^3$ 0+#3-Z

",#7$1 B$-:$$, 50E1-"7 6"5$1 "0$ *4$ -. -3$ 54B+5

1E;;$-0E .6 -3$ "-.;1< "00",#$;$,-C


24/48!"#$ & N)

W9$, ;.0$ ";"G+,#7E8 +1 -3"- )-5/ &-[*;P* 3-6*7%;P5 -> /2* 7*P#&(7 2*Z(P-; >-7) .2(/ )(/2*)(/%3%(;5 3(&& (; W73/%3

3%73&*U7+A$ -3$ .,$ 13.:, B$7.:C ^3+1 :"1 20.9$, +, -3$ U05-+5 D+057$ ^3$.0$; `+;"#$ 50$*+- -. K+A+2$*+"aC

TC T-[*;P* /(/()% $7(3/%3* (;F 5/(7/ /2* >%;(& (55%P;)*;/@

!"#$% '((")#*+#,- !"# %&%&'( )#*%)(+%(,- &% .&)/#K$ 3"9$ 7$"0,- "B.4- " -"-";+ 0$1-0+5-+., -3"- "227+$1 -. ;.,.;+,.Z*.;+,. 5.9$0+,#1 .6 0$5-",#47"0 #0+*1C ^3$ -"-";+

0$1-0+5-+., +1 5.;B+,"-.0+"77E +,-$0$1-+,# B$5"41$ +- +1 " 9$0E 1+;27$8 7.5"7 047$ ZZ ,.- 6.40 -+7$1 ;"E ;$$- "- ",E 2.+,- ZZ :3+53

+;2.1$1 " 0+53 #7.B"7 1-045-40$C

^3+1 -+;$ :$ :+77 +,9$,- ,$: -"-";+ 0$1-0+5-+.,1 6.0 5.9$0+,#1 .6 -3$ +1.;$-0+5 #0+* :+-3 -0+",#7$1 ",* 7.G$,#$1C ^3$0$ "0$ 1$9$0"7

*+66$0$,- 53.+5$1 .6 -"-";+ 0$1-0+5-+., 3$0$J :$ ;"E *+1"77.: N8(8)8T8 .0 [ -+7$1 -. ;$$- `"- #0+* +,-$01$5-+.,1aC X$- 41 ,";$ -3$1$

-"-";+ 0$1-0+5-+.,1 "1 6.77.:1O

NZ-"-";+ \. N -+7$1 ;"E ;$$- "- ",E 2.+,-C

(Z-"-";+ \. ( -+7$1 ;"E ;$$- "- ",E 2.+,-C

)Z-"-";+ \. ) -+7$1 ;"E ;$$- "- ",E 2.+,-CTZ-"-";+ \. T -+7$1 ;"E ;$$- "- ",E 2.+,-C

[Z-"-";+ \. [ -+7$1 ;"E ;$$- "- ",E 2.+,-C


25/48!"#$ & NT

F.;$ .6 -3$1$ "0$ -.. 0$1-0+5-+9$ -. B$ 5.;B+,"-.0+"77E +,-$0$1-+,#J $C#C8 " B.@ ., -3$ +1.;$-0+5 #0+* 5",,.- B$ 5.9$0$* ",*

1"-+16E -3$ NZ-"-";+ 0$1-0+5-+., 4,7$11 +- 5.,1+1-1 .6 " 1+,#7$ #0+*Z-0+",#7$ .0 ,. #0+*Z-0+",#7$1 `" 9"54.41 B.@>aC ^3418 :$ :.47*

"0#4$ -3"- -3$ NZ-"-";+ 0$1-0+5-+., +1 5.;B+,"-.0+"77E 4,+,-$0$1-+,#C

!"0- 'O e.0 $"53 .6 -3$ (8)8T8 ",* [Z-"-";+ 0$1-0+5-+.,1 "0#4$ :3E .0 :3E ,.- -3$E ;"E 3"9$ " 5.;B+,"-.0+"77E +,-$0$1-+,#

1-045-40$C k.4 "0$ $,5.40"#$* -. 41$ *0":+,#18 ",* :0+-$ +, 6477 1$,-$,5$1 -. 1422.0- E.40 +*$"1C m4$1-+.,1 -. -3+,A "B.4-O ?1

-3$ 047$ 1. 0$1-0+5-+9$ -3"- 9$0E 6$: 5.9$0+,#1 "0$ 2.11+B7$R K3E +1 -3+1 ,.- 5.;B+,"-.0+"77E +,-$0$1-+,#R ?1 -3$ 047$ 0"-3$0

4,0$1-0+5-+9$8 1. -3"- "7;.1- $9$0E 5.9$0+,# +1 2.11+B7$R \.-$ -3"- TZ-"-";+ ",* [Z-"-";+ +1.;$-0+5a 5.9$0+,#1 "22$"0 +, -3$

"5-+9+-+$1 6.0 ^4-.0+"7 TC

!"0- NO e.0 -3$ TZ-"-";+ 0$1-0+5-+., *0": ",* *$150+B$ "1 ;453 .6 -3$ 1-045-40$ "1 E.4 5", `P+,-O U0#4$ +, !"0- ' -3"- -3+1 .,$

u+1u 5.;B+,"-.0+"77E +,-$0$1-+,#C n1$ " ^3$.0$;d20..6 1-E7$ -3"- :$ 41$* 6.0 -3$ .0+#+,"7 -"-";+ 1-045-40$ +, ^4-.0+"71 NZ(C n1$

-3$ +1.;$-0+5 #0+* 2"2$0 20.9+*$* +, -3$ U22$,*+@ +, .0*$0 -. *0": 5.,6+#40"-+.,1 .6 7.G$,#$ ",* -0+",#7$ -+7$1 -3"- ;"A$ 42 -3$

1-045-40$8 "1 :$77 "1 " ,$: 9$01+., .6a b^Z*+"#0";1c8 :3$0$ "220.20+"-$C

K0+-$ ;"@+;4; NSSS :.0*18 2741 6+#40$1C U,E 6+#40$1 13.47* B$ 7"B$77$*8 e+#40$ '8 e+#40$ N8 CCC8 ",* E.4 13.47* :0+-$ h`1$$

e+#40$ @ah +, -3$ -$@- -. 0$6$0 -. -3$;C ^3$E *. ,.- ,$$* -. "22$"0 *+0$5-7E +, " -E2$* *.54;$,-8 B4- "77 6+#40$1 ;41- B$ 0$6$00$*

-. +, -3$ -$@-C


26/48!"#$ & N[

!"#$%&'( *I!"#$%&'() +'(," +%&-%'

J2(/ %5 /2* "#7$-5* -> 9#/-7%(& GK

^. 0$67$5- ., -3$ 6+,"7 "11+#,;$,-C

^. :"7A -30.4#3 -3$ 7.G$,#$ -"-";+ 20..6 -.#$-3$0C

^. +*$,-+6E ",* 5.00$5- ",E ;+14,*$01-",*+,#1 "B.4- -3$ ;"-$0+"7C

^. -3+,A "B.4- 64-40$ 0$1$"053 *+0$5-+.,1 6.0 -"-";+ 5.9$0+,#1C

W3/%6%/%*5

H@ ?*>&*3/%-; -; /2* >%;(& (55%P;)*;/ (;F 3-#75*X K3"- *+* E.4 6+,* ;.1- *+66+547-R W"1+$1-R K3"- *+* E.4 $,I.ER K3"-

=4$1-+.,1 :.47* E.4 "** -. -3$ 6+,"7 "11+#,;$,-R

(@ H )%;#/* 5#))(78X F4;;"0+1$ !"0- ' .6 -3$ 6+,"7 "11+#,;$,- +, ' ;+,4-$8 41+,# -+7$ 5.9$0+,#1 -3"- 1422.0-

E.40 0$"1.,+,#C=@ ]Z%/ /%31*/5XK0+-$ *.:, .,$ 5.,5$2- .0 6"5- -3"- E.4 "0$ 5.,6+*$,- "B.4-8 ",* .,$ -3"- E.4 "0$ 4,140$ .6C

M@ B2(7* 8-#7 F%53-6*7%*5X k.4 :+77 3"9$ -3$ .22.0-4,+-E -. 13"0$ E.40 *+15.9$0+$1 +, -3$ 6+,"7 "11+#,;$,- :+-3 E.40

2$$01C K$ :+77 41$ -3+1 "5-+9+-E -. 5.77"B.0"-$ ., " 5.;27$-$ 20..6 .6 -3$ -0+",#7$Z7.G$,#$ TZ-"-";+ 5.9$0+,# 1-045-40$C

N@ W&& R#*5/%-;5 (;5.*7*FX ? :+77 ",1:$0 E.40 =4$1-+.,1 "B.4- -"-";+ 5.9$0+,#1 ",* 0$7"-$* -3+,#1C

)C V#/#7* 7*5*(732X U be4-40$ 0$1$"053c 1$5-+., +1 5.;;., +, "5"*$;+5 0$2.0-1 ",* "0-+57$1C ?- +1 " *$150+2-+., .6 :3"-

-3$ 0$1$"053$0 -3+,A1 13.47* B$ 0$1$"053$* ,$@-8 BE 5.,1+*$0+,# :3"- 1.0-1 .6 ",1:$01 "0$ "53+$9"B7$ +, -3$ ,$"0

64-40$8 .0 :3"- .2$, =4$1-+.,1 ;.1- +;2.0-",-C e.0 $@";27$8 .,$ +-$; .6 64-40$ 0$1$"053 5.47* B$ bL$1+#, " 5.;24-$0

20.#0"; -. 50$"-$ *0":+,#1 .6 "77 -"-";+ 5.9$0+,#1 .6 -3$ [@[ 1=4"0$ #0+*cC J2(/ F- 8-# /2%;1 52-#&F =* >#/#7*

7*5*(732 -; /(/()% 3-6*7%;P5K


27/48!"#$ & Ng

!""#$%&'

9-)-1#

P$0$ "0$ -3$ 6477 +,1-045-+.,1 6.0 -.;.A4 ",* 1$9$0"7 $@-0" 24GG7$1 -. 5.;27$-$C


28/48!"#$ & NQ


29/48!"#$ & Ni


30/48!"#$ & (S


31/48!"#$ & ('

BR#(7* P7%F $($*7


32/48!"#$ & (N


33/48!"#$ & ((


34/48!"#$ & ()


35/48!"#$ & (T


36/48!"#$ & ([


37/48!"#$ & (g


38/48!"#$ & (Q


39/48!"#$ & (i


40/48!"#$ & )S


41/48!"#$ & )'

Y5-)*/7%3 P7%F $($*7


42/48!"#$ & )N


43/48!"#$ & )(


44/48!"#$ & ))


45/48!"#$ & )T


46/48!"#$ & )[


47/48!"#$ & )g


48/48

Documents

Tatami Tilings: How to Make a Mathematical Discovery