ANLISIS DE SENSIBILIDAD

Nos centraremos en el anlisis de sensibilidadsobre las probabilidades a priori. Queremos sabercmo cambia nuestra decisin al cambiar lasprobabilidades a priori.

Supongamos que sabemos con buena certeza que0.15 < P(petrleo) < 0.35. Esto implica que 0.65 0.2375

MAS DE DOS ALTERNATIVAS

Si se tiene ms de dos alternativas entonces habr msde dos rectas. Las partes superiores (para cualquier valorde la probabilidad a priori) seguirn indicando quealternativa debe elegirse. Los puntos de corte indica endonde la decisin cambia de una alternativa a otra.

GENERALIZACIONES

MAS DE DOS ESTADOS DE NATURALEZA

Se centra el anlisis de sensibilidad en dos estados de lanaturaleza. Esto significa investigar que pasa cuando laprobabilidad a priori de un estado aumenta mientras ladel otro disminuye en la misma cantidad y se mantienenfijas las probabilidades a priori de los estados restantes.Este procedimiento se repite para los pares de estadosque se deseen.

INFORMACION COMPLEMENTARIA PARA TOMAR UNA DECISIN

Una exploracin sismolgica obtiene sondeos ssmicos queindican si la estructura geolgica es favorable o no a lapresencia de petrleo. Con esto mejoramos la estimacinde la probabilidad de que haya petrleo. Supongamos queel costo de este estudio es de 30.000 dlares.

TOMA DE DECISIONES CON EXPERIMENTACIN

RESULTADOS DE LA EXPLORACIN

DOS RESULTADOS POSIBLES:

Es poco probable encontrar petrleo

SSD (Sondeo ssmico desfavorable)

Es bastante probable encontrar petrleo

SSF (Sondeo ssmico favorable)

Por experiencia (datos histricos) tenemos las siguientes probabilidades condicionales:

P(SSD estado = petrleo) = 0.4P(SSF estado = petrleo) = 1 - 0.4 = 0.6

P(SSD estado = seco) = 0.8P(SSF estado = seco) = 1 - 0.8 = 0.2

PROBABILIDADES A POSTERIORI

Quisiramos saber ms bien las siguientes probabilidades, llamadas probabilidades a

posteriori (Seguramente son ms tiles que las anteriores)

P(estado = petrleo resultado = SSD)

P(estado = seco resultado = SSD)

P(estado = petrleo resultado = SSF)

P(estado = seco resultado = SSD)

EL TEOREMA DE BAYES NOS PERMITE CALCULAR ESTAS PROBABILIDADES

Definicin: Si A y B son eventos en un espacio deprobabilidad la probabilidad condicional de A dado Bdenotada por P[AB] se define mediante la relacin:

P[AB] = , con P[B] 0

Definicin: Dos eventos A y B en un espacio deprobabilidad son independientes si la ocurrencia de unode ellos no influye en el valor de la probabilidad del otro.Esto se expresa escribiendo:

P[AB] = P[A]De lo anterior se deduce que P[AB] = P[A].P[B] si A y Bson independientes.

P[B]

B]P[A

CONTINUACIN. T. BAYES

Una frmula que se deriva de la definicin de probabilidadcondicional es la siguiente:

P[AB] = P[A]P[BA] = P[B]P[AB] y relaciona lasprobabilidades condicionales en trminos de lasprobabilidades no condicionales P[A] y P[B].

Probabilidad total: Sea S un espacio muestral y B1, B2,...,Bn, eventos tales que definen una particin (*) en S y Acualquier evento en Fs entonces:

P[A] = P[ABi ]P[Bi]

n

i 1

CONTINUACIN. T. BAYES

Teorema de Bayes:

Sea S un espacio muestral y B1, B2, ...,Bn, eventos talesque definen una particin en S y A cualquier evento en Fsentonces se cumple la relacin:

P[BkA] =

n

1i

ii

kk

]]P[BBP[A

]]P[BBP[A

TEOREMA DE BAYES COMO HERRAMIENTA EN LA TOMA DE DECISIONES

n

1k

k)P(estado*k)estado|joP(resultad

i)P(estado*i)estado|joP(resultadj)resultado|iP(estado

CLCULO DE LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI

P(estado = petrleo resultado = SSD)

P(estado = seco resultado = SSD)

14.01429.07

1

75.0*8.025.0*4.0

25.0*4.0

0.860.85717

6

7

11tambino

86.08571.07

6

75.0*8.025.0*4.0

75.0*8.0

P(estado = petrleo resultado = SSF)

P(estado = seco resultado = SSF)

5.02

1

75.0*2.025.0*6.0

25.0*6.0

0.52

1

2

11tambino

5.02

1

75.0*2.025.0*6.0

75.0*2.0

DIAGRAMA DE RBOL PARA EL CLCULO DE LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI

CLCULO DEL PAGO ESPERADO TENIENDO EN CUENTA LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI

Pago esperado si el resultado es un sondeo desfavorable

E(pago[perforar|SSD])

E(pago[s. caa|SSD])

7.1530)100(*7

6700*

7

1

603090*7

690*

7

1

RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL CRITERIO DE BAYES (SSD)

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS PETRLEO SECO ESPERANZA

PERFORAR 700 -100 -15.7

SEMBRAR C. 90 90 60

PROBABILIDAD A

POSTERIORI

(SSD) 1/7 6/7

Pago esperado si el resultado es un sondeo favorable

E(pago[perforar|SSF])

E(pago[s. caa|SSF])

27030)100(*2

1700*

2

1

603090*2

190*

2

1

RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL CRITERIO DE BAYES (SSF)

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS PETRLEO SECO ESPERANZA

PERFORAR 700 -100 270

SEMBRAR C. 90 90 60

PROBABILIDAD A

POSTERIORI

(SSF) 1/2 1/2

DECISIN, BAJO EXPERIMENTACIN, CON LA REGLA DE BAYES

SONDEO

ALTERNATIVA

OPTIMA

PAGO SIN COSTO

EXPLOTACION

PAGO CON

COSTO

EXPLOTACION

DESFAVO-

RABLE

(SD)

SEMBRAR

CAA 90 60

FAVORABLE

(SF)

PERFORAR

POR

PETROLEO 300 270

VALOR DE LA EXPERIMENTACION

Antes de realizar cualquier experimento, debedeterminarse su valor potencial. Veremos dosmtodos para evaluar este potencial, a saber:

Valor esperado de la informacin perfecta.

Valor esperado de la experimentacin.

VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIN PERFECTA (VEIP)

Aqu se supone que la experimentacin elimina todaincertidumbre sobre cual es el estado verdadero de lanaturaleza y se hace un clculo sobre cual sera la mejoraen el pago esperado. Esta cantidad se llama valoresperado de la informacin perfecta. (cota superior parael valor del experimento)

Pago esperado con informacin perfecta = 0.25*700+0.75*90 = 242.5

VEIP = PECIP pago esperado sin experim.

VEIP = 242.5 100 = 142.5

VEIP continuacin

Si el VEIP fuera menor que 30 entonces no sellevara a cabo la experimentacin.

En nuestro caso el VEIP > 30, lo cual indica quepuede valer la pena llevar a cabo laexperimentacin.

Entramos a confirmar esto estudiando unsegundo mtodo: Valor Esperado de laExperimentacin = VEE

VALOR ESPERADO DE LA EXPERIMENTACIN (VEE)

En este caso no se calcula una cota superior parael incremento del pago esperado. Se calcula demanera directa este incremento esperado:

Pago esperado de la experimentacin =

P(resultado j)*E(pago|resultado j), j

En esta expresin el clculo de las esperanzasdebe hacerse con las probabilidades a posteriori

j

VEE continuacin

De los clculos anteriores sabemos que los valores de P(resultado j) son:

P(SSD) = 0.7 y P(SSF) = 0.3

As mismo los valores de E(pago|resultado j), quese calcularon teniendo en cuenta lasprobabilidades a posteriori, son:

E(pago|resultado = SSD) = 90

E(pago|resultado = SSF) = 300

VEE continuacin

El pago esperado con experimentacin =

0.7*90 + 0.3*300 = 153

El VEE ser entonces:

VEE = El pago esperado con experimentacin -

El pago esperado sin experimentacin =

153 100 = 53 > 30

Como este valor excede a 30.000 entonces debe llevarse a cabo el sondeo de sismologa

RBOL DE DECISIN

Es una manera de visualizar un problema de decisin mediante un esquema de rbol (red sin ciclos). Su objetivo es facilitar la comprensin del problema y los clculos.

CONSTRUCCIN DEL RBOL DE DECISIN

-30

0

0.3

0.7 -100

90

0

800670

-130

60

-100

90

0.5

0.5

800

0

670

-130

90

-100

90

0.75

0.25

700

-100

90

0.14

0.86

0.5

0.5

ELEMETOS DEL RBOL

Los arcos = Ramas

Puntos de ramificacin = Nodos

Nodo de decisin = Indica que debe tomarse una decisin (cuadrado)

Nodo de probabilidad = Indica que ocurre un evento aleatorio (crculo)

CLCULOS, PRIMERA ETAPA

LOS NMEROS EN EL RBOL

Nmeros debajo de ramas = Flujos de efectivo

Nmeros arriba de las ramas = Probabilidad(despus de un nodo de probabilidad) (a priori o a posteriori)

Nmeros en cada nodo = Pagos esperados(Surgen del procedimiento de anlisis)

CLCULOS, SEGUNDA ETAPA

ANLISISUna vez calculado el rbol se hace el siguiente procedimiento de anlisis

1. Iniciar en el lado derecho, moverse a la izquierda una columna a la vez, realizar el paso 2 o el 3 segn los nodos sean de probabilidad (NP) o de decisin (ND).

2. Para cada NP calcular su pago esperado -PE- [(pago de c/rama) * (probabilidad de c/rama)]

3. Para cada ND, compare los PE de sus ramas y seleccione la alternativa cuya rama tenga mayor pago esperado.