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T.D. Statique
Exercice n°1 : Barrage.
On considère un barrage “ voûte ” qu’on modélise par une portion de cylindre
d’axe (O, z→
), de rayon R, d’angle 2α. La pression exercée par l’eau sur le barrage est
normale à la surface du barrage et proportionnelle à la profondeur.
1 - Donner la répartition surfacique f→
(M) des efforts de l’eau sur le barrage.
2 - Préciser l’élément de surface de centre M sur lequel s’exerce l’effort f→
(M).
3 - Calculer la résultante et le moment du torseur des efforts de l’eau sur le barrage en O.
4 - Existe-t-il un point du barrage où le moment de ce torseur soit nul ? Si oui,
le déterminer et écrire le torseur des actions de l’eau sur le barrage en ce point.
Exercice n°2 : Champ de pression dans une liaison pivot glissant.
Une liaison pivot est réalisée par l’association d’une
pièce 1 en forme de cylindre de rayon R, se logeant à l’intérieur
d’un trou cylindrique de rayon R et de longueur L d’une
pièce 2. Les dimensions sont : L = 40 mm , R = 10 mm
On note (O, z→
) l’axe commun des cylindres et (O, x→
, y→
) le plan médian de l’association.
Les actions mécaniques F1/2 = R→
1/2 , M→
O,1/2 O génère sur la moitié
inférieure de la surface une pression modélisée par :
fs→
(P) = p0 cos θ er→
(θ) pour θ ∈ [ - π2 ;
π2 ] et z ∈ [ -
L2 ;
L2 ]
1 - Déterminer les éléments de réduction en O du torseur F1/2
2 - Quelle est la norme maximale de la résultante R→
1/2 si la pression maximale admissible p0 est limitée à 10 MPa ?
3 - Si cette pression est légèrement dépassée,
quelle est la zone qui sera détériorée en premier ?
Exercice n°3 : Arbre de renvoi
Les poulies (4) et (5) sont solidaires de l’arbre de
renvoi (1). L’arbre est guidé en rotation par
l’intermédiaire des paliers (2) et (3) équipés de roulements
à billes.
Les actions de tension exercées par la
courroie (6) sur la poulie (5) sont schématisées par les
forces E→
(300 daN), et F→
(100 daN). (On appelle
couramment force E→
exercée au point E, l’action
mécanique dont le torseur a pour résultante E→
et pour
moment 0→
en E) Les actions de tension exercées par la
courroie (7) sur la poulie de variateur (4) sont
schématisées par les forces T→
(600 daN) et S→
(200 daN).
- Déterminer les actions exercées en A et B sur les deux
paliers. (actions mécaniques que devront supporter les
deux roulements)
z→
O 2α
h
dS
Mer→
eθ→
fM→
x→
1
2
y→
x→
z→ y
→
x→ θ er
→
O
P
z→
Exercice n°4 : Réducteur à un train
Le réducteur à arbre creux proposé ci-dessous est composé d’un arbre d’entrée (1) solidaire d’un pignon denté, et d’un arbre
de sortie creux (3) solidaire d’une roue dentée (2). Les guidages en rotation des deux arbres sont réalisés par l’intermédiaire des
roulements à billes (4), (5), (6), et (7).
L’engrenage adopté est à denture droite, l’angle de pression est égal à 14°30’.
L’action de contact entre les deux roues est schématisée par la force F→
, contenue
dans le plan parallèle à (Y→
, Z→
).
On pose α = 14°30’
Le couple d’entrée CE est égal à 20 mdaN.
- Calculer le couple de sortie CR.
Exercice n°5 : Echelle double
Une échelle double est en équilibre sur le sol horizontal.
Le poids P→
des montants (1) et (2) de l’échelle est de 60 N et s’exerce au
milieu du montant (F ou G). L’ensemble supporte une charge F→
de norme 800 N
( poids d’un utilisateur ) appliquée en H. On notera (xG, yG) et (xH, yH) les
coordonnées de G et de H.
En supposant les liaisons parfaites, déterminer toutes les actions mécaniques
exercées sur les différents éléments de l’échelle en fonction de la position de H.
Avant de se lancer dans les calculs, on réfléchira à la démarche choisie : quel
système doit-on isoler en premier ? pour trouver quel résultat ?....On remarquera
aussi que le mécanisme est plan.
C
D
A
B
E
H
F G
h
x→
y→
2
1
P→
P→
F→
3
Exercice n°6 : Camion grue
Un camion grue doit permettre de soulever des charges en toute sécurité. On se propose ici de vérifier cet aspect du cahier des
charges, en considérant d’une part le fait que la charge peut bien être soulevée par les actionneurs du camion grue et d’autre part que le
soulèvement de cette charge n’entraîne pas le basculement de l’engin.
Le camion grue choisi, représenté ci-contre, doit, d’après son cahier des charges,
soulever une charge F = 105 N à une distance L = 8 m de son dernier appui. La masse de
l’engin est m = 25 tonnes.
La modélisation retenue est proposée ci-contre. Il s’agit d’une modélisation plane, du
plan (A, x→
, y→
), où le châssis 1 de l’engin repose sur le sol 0 en deux points E et F distants
de 6 m (contact ponctuel parfait). La flèche 2 est en liaison pivot d’axe ( A, z→
) avec le châssis.
La charge F→
est appliquée en C, l’autre extrémité de la flèche 2.
Le vérin 3 est en liaison pivot d’axe ( D, z→
) avec le châssis 1 et en liaison pivot d’axe
( B, z→
) avec la flèche 2. La distance BD est donc variable, la modification de cette distance entraîne la modification de l’inclinaison θ2
de la flèche et de l’inclinaison θ3 du vérin. Cette inclinaison peut varier de 10 à 80°.
Le vérin, de diamètre utile d = 300 mm , est alimenté en huile à une
pression p = 300 bars. On supposera que g = 10 m/s2
Dans le repère (A, x→
, y→
) les coordonnées en mètres des points sont :
E(-2,-2) ; D(2,0) ; F(4,-2). La flèche est caractérisée par la longueur
AB = 7,5 m et la longueur BC est variable car il s’agit d’une flèche
télescopique.
On considère que A est le centre de gravité de l’engin seul (sans la
charge), quelle que soit l’inclinaison et la longueur de la flèche. Les liaisons
pivots sont considérées parfaites.
1 - Vérifier si une charge F = 106 N peut être soulevée en toute sécurité, si l’inclinaison et la longueur de la flèche sont telles
que FC→
. x→
= L = 8 m. Quelle est la valeur maximale théoriquement possible pour FC→
. x→
?
2 - Avec FC→
. x→
= L = 8 m , le vérin peut il soutenir la charge F = 105 N, s’il est au voisinage de sa position basse ?
3 - A partir de quelle position pourra-t-il la soutenir ? Quelle sera alors la longueur BC nécessaire, de la partie télescopique
de la flèche ? ( On fera une résolution numérique pour cette question 3 )
4 - Flèche déployée totalement, la longueur AC peut atteindre 30 m. Quelle est la plus lourde charge soutenable par le
vérin dans cette configuration ? Peut-elle être soulevée en toute sécurité ?
Exercice n°7 : Etude mécanique d’un drone (d’après Mines-Ponts 2010)
Le drone est composé de :
- un corps 1 cylindrique creux sur lequel sont fixés
- gouvernes 1a, 1b, 1c et 1d à 90° les unes des autres
- une hélice 2 et son axe moteur
L’hélice 2 est en liaison pivot d’axe (O1 ,z1→
) avec le corps 1.
Les gouvernes 1a, 1b, 1c et 1d sont en liaison pivot respectivement d’axe
(O1, y1→
), (O1, -x1→
), (O1, -y1→
), (O1, x1→
) avec le corps 1.
L’ensemble du drone présente une symétrie de ‘révolution’, ce qui se
traduit par un centre de gravité G situé sur (O1, -z1→
).
On pose V1/0 = Ω→(1/0) ; v→
(G∈1/0) G
avec Ω→(1/0) = p x1→
+ q y1→
+ r z1→
et v→
(G∈1/0) = u x0→
+ v y0→
+ w z0→
et V2/1 = ω z1→
; 0→
G
AD
x→
y→
E F
B
C
1
2
0
3
F→
θ2
θ3
L’hélice :
L’hélice 2 est composée de deux pales 2a et 2b. On définit,
pour une section de pale de longueur dλ, située à une distance λ de
l’axe de rotation (G, z→
), deux vecteurs infinitésimaux dP→
air/2a
et dT→
air/2a . Issus de la décomposition de la résultante de l’action de
l’air dR→
air/2a sur la section, ces vecteurs représentent respectivement
la portance et la traînée.
On les modélise par :
dP→
air/2a = - Kz V2 dλ z1
→ avec Kz = 0,024 kg/m2
et dT→
air/2a = - Kx V2 dλ x2
→ avec Kx = 0,006 kg/m2
et O2P→
= λ y2→
V = || v→
(P∈2/air) ||
λ ∈ [ a ; b ] a = 2 cm et b = 12 cm O2G→
= L2 z1→
1 - Calculer la vitesse v→
(P∈2/air) en supposant qu’il n’y a pas
de vent. Donner une expression approchée de V uniquement en fonction
de ω , r et λ , en supposant que la distance L2 est petite devant λ.
2 - En déduire l’expression de la portance P→
air/2a et celle de la
traînée T→
air/2a .
3 - Donner le torseur en O2 des actions
aérodynamiques sur la pale 2a.
4 - En déduire le torseur en O2 des actions
aérodynamiques sur la l’hélice entière 2.
Les gouvernes :
Sur chaque gouverne, le flux d’air généré par l’hélice
exerce une action mécanique modélisée
par un glisseur passant par le centre de
la gouverne et porté par la
perpendiculaire au plan de la gouverne.
L’intensité dépend de la vitesse du flux
d’air et de l’inclinaison δ de la
gouverne.
Pour la gouverne 1a, par
exemple, on a une inclinaison δa et une
force de la forme : R→
air/1a = - K ( r + ω )2 δa x1a→
où K est une constante.
Pour les autres gouvernes, le paramètrage est construit par rotations successives de 90°, comme indiqué ci-dessous.
z1→ x1
→y1→
Gouverne
HéliceO1
z0→
x0→y0
→O0
G
G
Flux d'air
C1a
1a
z1→
x1a→
z1→
y1a→
= y1→
x1a→
δa
R→
air/1a
l
P→
air/1a
T→
air/1a
O1
z1a→
x1a→
z1→
y1a→
= y1→
δa
z1a→
x1→
x1b→
z1→
y1b→
= -x1→
δb
z1b→
y1→
x1c→
z1→
y1c→
= -y1→
δc
z1c→
-x1→
x1d→
z1→
y1d→
= x1→
δd
z1d→
-y1→
dP→
air/2a
P
z1→
x2→
O2
y2→
GdT→
air/2a
λ
2a
Les efforts aérodynamiques montrent qu’une modification du comportement du drone s’obtient en agissant sur la vitesse de
rotation ω de l’hélice par rapport au corps du drone ou sur les angles d’inclinaison δa , δb , δc et δd des gouvernes.
Les schémas, en 6 cas proposés ci-dessous, ne montrent que les pièces sur lesquelles s’exercent des actions aérodynamiques.
Le poids du drone et les composantes des résultantes aérodynamiques sur l’hélice y sont déjà représentés.
5 - Compléter les schémas des cas 1 à 4 en traçant, de manière plausible, aux points C1i (i = a à d), les composantes P→
air/1i
et T→
air/1i des résultantes aérodynamiques R→
air/1i exercées sur les gouvernes ( de façon similaire au tracé des composantes des
résultantes aérodynamiques exercées sur l’hélice )
6 - Pour les cas 1 et 2 où l’inclinaison des 4 gouvernes est la même, notée δ, déterminer les éléments de réduction en O1 du
torseur des actions de l’air sur l’ensemble des gouvernes Fair/1 = R→
(air/1), M→
(O1,air/1) O1
7 - Appliquer le P.F.S. au drone entier pour en déduire 2 équations scalaires.
8 - Conclure si le drone peut être en équilibre dans les cas 1 et 2, c’est à dire s’il peut être en vol stationnaire avec z0→
= z1→
.
Répondre alors par OUI ou NON à l’endroit prévu. Donner les expressions donnant les valeurs δ et ω à adopter.
9 - Pour les cas 3 et 4 où l’inclinaison des gouvernes est alternativement ± δ conclure si le drone peut être en équilibre en
répondant par OUI ou NON à l’endroit prévu.
10 - Pour les cas 5 et 6, donner deux autres combinaisons d’inclinaisons des gouvernes pouvant correspondre à un vol
stationnaire. Dessiner les gouvernes convenablement orientées et comme précédemment les composantes d’action aérodynamiques
11 - Certains drones adoptent une solution à deux hélices contrarotatives. Qu’en pensez vous ?
Exercice n°8 : Pompe à huile manuelle
Le piston (1) est en liaison glissière sans frottement avec la chemise (0), qui
est le bâti de l’appareil. Le levier (2) est en liaison pivot sans frottement avec le bâti
et en liaison ponctuelle avec frottement (coefficient f = 0.1) avec le piston en B.
Le ressort a une raideur k = 2 N/cm, et est comprimé de ∆y = 3 cm en
position « pompe pleine » (position représentée sur la figure). Les pièces (1) et (2)
ont des masses négligeables.
On a OA→
= 60 x→
; OB→
= 10 x→
+ 30 y→
et CA→
= 500 y→
( en mm ). Le
diamètre du piston (1) est 30 mm.
1 - L’utilisateur doit exercer un effort F horizontal valant au moins 50 N
pour éjecter l’huile. Quelle est alors la pression de l’huile ? Quelles sont en O les
actions de la chemise sur le piston ?
2 - Le piston a une course de 3 cm. Quel effort (perpendiculaire à AC) doit
exercer l’utilisateur pour éjecter l’huile de la pompe en fin de course ?
Exercice n°9 : Bulldozer
Un bulldozer comporte un essieu porteur E et un
essieu moteur D entraîné par un pignon moteur. Son centre
de gravité G est situé à égale distance des deux essieux. Ce
bulldozer pousse un tas de terre qui exerce sur sa pelle
l’effort F→
qu’on suppose horizontal et appliqué en H.
On appelle f le coefficient de frottement des roues
sur le sol. On néglige les frottements dans les liaisons pivot
entre les essieux et le châssis du bulldozer.
On admet que l’action du pignon moteur sur
l’essieu D est un effort Fm→
appliqué en C et que le
mouvement très lent du bulldozer permet d’appliquer les
lois de la statique (α = angle de pression).
1 - Calculer les efforts du sol sur les roues en A et B en fonction de F.
2 - Calculer l’effort Fm en fonction de F.
3 - Que peut il se passer lorsque la valeur de F augmente (cas d’un tas de terre trop gros) ?
Exercice n°10 : Véhicule 4x4
le système étudié est un véhicule
4x4, qui permet de rouler sur les routes de
toutes nature. L’objectif est de vérifier le
dimensionnement du frein de parking
lorsque le véhicule est à l’arrêt sur un sol
en pente.
Dans le cadre d’une modélisation
plane, le véhicule est restreint à son
châssis principal 1, une roue avant 2, une
roue arrière 3 de rayons R
H
BA
F→
ED Fm→
αC
y→
x→
y→
x→
A
C
F
B
Clapets2
0
1
O
Les deux roues sont avec le châssis 1, en liaison pivot parfaite d’axe (O2,z0→
) pour l’avant et (O3,z0→
) pour l’arrière. Les masses
sont négligeables pour les roues et M pour le châssis.
On suppose des contacts ponctuels, avec frottement, entre roues et sol 0, respectivement en A pour l’avant et B pour l’arrière.
Les torseurs d’actions mécaniques transmissibles sont alors :
F0/2 = NA y1→
+ TA x1→
, 0→
A et F0/3 = NB y1→
+ TB x1→
, 0→
B
Le véhicule est supposé maintenu à l’équilibre sur une route de pente α par le dispositif de frein à main qui n’agit que sur les
roues arrières. Cette action est modélisée par un couple du châssis sur les roues arrières C1/3→
= Cf z0→
1 - Isoler la roue avant et déterminer TA .
2 - Isoler le véhicule dans son ensemble et déterminer les trois autres composantes d’action du sol, NA , TB et NB en fonction
de la masse du véhicule et de sa géométrie.
3 - Le coefficient de frottement de Coulomb entre les roues et le sol est noté f. Déterminer l’angle limite αg au delà duquel le
véhicule glisse par rapport au sol.
4 - Déterminer l’angle limite αb au delà duquel le véhicule bascule en arrière.
5 - Effectuer les applications numériques avec : a = 1,3 m b = 1 m h = 0,9 m M = 1300 kg f = 0,8 R = 0,7 m
6 - En déduire le couple de freinage maximal Cf du frein à main
7 - Sans changer les valeurs numériques de la question 5, comment faire pour ne pas glisser avec une pente α = 35°. Le
vérifier par le calcul.
8 - Le véhicule s’il n’avait que 2 roues motrices pourrait-il gravir cette pente de 35° ? Le véhicule en 4 roues motrices peut-il
gravir cette pente de 35°, à quelles conditions ?
Exercice n°11 : Barrage poids
On considère un barrage massif posé sur le
sol. L’eau située à gauche du barrage exerce sur le
barrage une pression p→
(M) normale à la surface du
barrage et proportionnelle à l’altitude :
p→
(M) = ρ g ( H - y(M) ) x→
ρ est la masse
volumique de l’eau, g l’accélération de la pesanteur,
et H la hauteur d’eau. H = 5 m ; Y = 6 m
1 - Déterminer le centre de gravité de la
section de barrage dessinée ci-contre. Calculer le
poids d’une unité de longueur de barrage sachant que
sa masse volumique vaut 2,5 kg/dm3.
2 - Calculer la résultante des actions de
l’eau sur le barrage et son point d’application.
3 - Déterminer les actions mécaniques du
sol sur le barrage. Quel doit être le coefficient de
frottement minimum entre le sol et le barrage pour
que le barrage, supposé non accroché par ses
extrémités, ne glisse pas.
4 - Existe-t-il un risque que le barrage bascule ?
O4,5 m
1,5 m
y→
x→
HY
Exercice n°12 : Couple transmissible par un limiteur de couple.
Sur le document ci-contre est représenté
un limiteur de couple. C’est un composant, de
chaîne de transmission de puissance, qui permet
de transmettre un couple limité entre un arbre
moteur qu’on relie au moyeu 1 du limiteur et un
arbre récepteur qu’on relie au moyeu 4 du
limiteur.
La limitation du couple vient du fait que
la transmission de ce couple entre les moyeux 1
et 4 se fait par friction. En effet, la partie
inférieure du moyeu 1 comporte un disque sur
chaque face duquel sont collées des garnitures de
friction 2.
La garniture de la face inférieure du disque de 1 frotte avec la partie supérieure du moyeu 4 et la garniture de la face
supérieure du disque de 1 frotte avec une pièce 5 en liaison glissière de direction z→
avec le moyeu 4.
Un ensemble de plusieurs vis 3, écrous et rondelles 6 permet d’exercer un effort de serrage d’intensité F de 5 + 4
sur 2 + 1, soit : F→
5/2 = - F. z→
et F→
4/2 = F. z→
On suppose que cet effort de serrage est également réparti sur toute la surface des garnitures et génère donc une pression
uniforme p. La surface de friction des garnitures est, pour chaque face, une portion de disque comprise entre un rayon intérieur Ri
et un rayon extérieur Re.
Les quatre vis 3 ont un pas de 1,25 mm. Les écrous associés sont en contact avec l’une des quatre rondelles élastiques
empilées sur chaque vis 3. Chaque rondelle se comporte comme un ressort de raideur k = 5 000 N/mm. Lors du montage, on comprime
ces rondelles en effectuant un tour d’écrou.
Considérons la garniture supérieure 2. Un point P, de
coordonnées polaires (r, θ), de sa surface en contact avec la
pièce 5 exerce un effort infinitésimal dF→
2/5(P) = dN25 z→
+ dT→
25
avec dN25 = p.dS
On suppose que le contact entre les garnitures et les
surfaces de 4 ou de 5 obéit aux lois de Coulomb et on appelle f
le coefficient de frottement .
1 - On pose Ω→1/0 = ωe z→
et Ω→4/0 = ωs z→
en supposant que ωe et ωs sont positifs. Comparer ωe et ωs lors d’un
fonctionnement normal ( 1 moteur et 4 récepteur ). En déduire le signe de ω52 = ω41.
2 - Exprimer la vitesse de glissement du point P appartenant à 5 par rapport à 2, v→
(P∈5/2) , en fonction de r, ω52 .
3 - Montrer par application rigoureuse des lois de Coulomb que : dT→
25 = dT25 eθ→
avec dT25 > 0
4 - Quelle relation a-t-on, à la limite du glissement entre dN25 et dT25 ?
5 - Exprimer le moment en O des actions mécaniques de 2 sur 5, M→
(O,2/5) = ∫∫P∈S
OP→
∧ dF→
2/5(P) en fonction de p, f, Re et Ri.
6 - Exprimer la relation liant p à F, Re et Ri.
7 - En déduire l’expression de M→
(O,2/5) uniquement fonction de f, F, Re et Ri.
8 - Il est clair que M→
(O,2/5) = M→
(O,2/4). Exprimer alors le couple total transmissible par le limiteur de couple.
9 - Déterminer la valeur de l’effort F en fonction de la raideur k des rondelles et du serrage ∆z des vis.
10 - Application numérique avec f = 0,3 et les rayons mesurés sur le dessin qui est à l’échelle 1.
er→
x→
y→
eθ→
z→
P
O
2
ReRi
dS
Exercice n°13 : Etude d’un ensemble poulies-courroie
Un ensemble poulies courroie permet de transmettre la puissance délivrée par un moteur sur une poulie 1 de rayon R1 vers
une poulie 2 de rayon R2 . Ceci est possible si la courroie est suffisamment tendue pour qu’il y ait adhérence de la courroie sur les
poulies. La poulie 1 est en liaison pivot parfaite d’axe (A,z0→
) avec le bâti 0. La poulie 2 est en liaison pivot parfaite d’axe (B,z0→
) avec
le bâti 0. On appelle :
T la tension dans le brin tendu CD de la courroie 3
t la tension dans le brin mou EF de la courroie 3
ωm la vitesse de rotation de la poulie motrice 1
ωr la vitesse de rotation de la poulie réceptrice 2
Cm le couple délivré par le moteur à la poulie motrice 1
Cr le couple résistant appliqué sur la poulie réceptrice 2 par le récepteur
On pourra poser respectivement u→
= CD→
CD et v→
= EF→
EF
les vecteurs unitaires définissant la direction du brin tendu et la direction du brin mou
1 - On suppose que la courroie 3 est inextensible et ne glisse pas sur les poulies 1 et 2. Déterminer la relation liant les vitesses
de rotation ωm et ωr et les rayons R1 et R2 des poulies.
2 - En appliquant le P.F.S. déterminer la relation liant Cm à T et t , et la relation liant Cr à T et t.
3 - En déduire la relation liant les couples Cm et Cr . Retrouver cette relation par une autre méthode.
Les relations obtenues ci-dessus reposent sur l’hypothèse d’enroulement
sans glissement de la courroie sur les poulies.
Pour déterminer la relation permettant de vérifier cette hypothèse, on
envisage le problème dont le schéma est représenté ci-contre et dont la
problématique est :
Avec quel effort tα d faut-il retenir une corde enroulée d’un angle α sur un
cylindre fixe de rayon R, d’axe (O, z→
), pour qu’une masse de poids P, suspendue
par cette corde, soit à la limite de descendre ?
On suppose que le contact entre la corde et le cylindre obéit aux lois du
frottement de Coulomb en chaque point de contact ( coefficient de frottement f ).
Pour déterminer cet effort tα d on envisage un morceau de corde de
longueur infinitésimale R dθ , comme représenté sur la figure ci-contre.
Ce morceau de corde est situé entre l’angle θ et l’angle θ + dθ
Il est en équilibre sous l’action
- d’une tension t(θ) à l’extrémité inférieure
- d’une tension t(θ+dθ) à l’extrémité supérieure
- d’un effort normal infinitésimal dN(θ +dθ2 ) du
cylindre, supposé appliqué en le milieu du morceau
- d’un effort tangentiel infinitésimal dT(θ +dθ2 ) du
cylindre, qui s’oppose au glissement de la corde et
supposé également appliqué en le milieu du morceau.
4 - Ecrire l’équation de résultante du P.F.S. appliqué au morceau de corde - en projection sur er→
(θ +dθ2 )
puis - en projection sur eθ→
(θ +dθ2 ).
5 - Quelle relation lie dT(θ +dθ2 ) et dN(θ +dθ
2 ) à la limite du glissement ?
21
0
x0→
y0→
BA
0
ωm
Cm
ωr
CrT
t
D
C
F
E3
x→
y→
O
α
P
tα d
x→
y→
O
θt(θ)
t(θ +dθ)
eθ→
(θ +dθ2 )
er→
(θ +dθ2 )
dθ
dT(θ +dθ2 )
dN(θ +dθ2 )
6 - En déduire après simplification et élimination des termes négligeables devant d’autres, l’équation différentielle en t(θ)
7 - Résoudre cette équation différentielle. En déduire l’expression de la valeur tα d cherchée en fonction de P , f et α
8 - Quel est l’effort tα m à fournir pour être à la limite de monter la masse de poids P ?
On utilise également un modèle de Coulomb, de coefficient de frottement f, pour l’association poulies courroie.
9 - Déterminer l’expression des angles d’enroulement α1 et α2 de la courroie sur les poulies en fonction des rayons R1 et R2 et
de l’entraxe des poulies noté e ( e = AB ).
10 - Sur quelle poulie se produira en premier le glissement de la courroie, si le couple résistant Cr augmente ?
11 - Déterminer la relation entre la tension T dans le brin tendu de la courroie et la tension t dans le brin mou, lorsque la
courroie est à la limite du glissement.
12 - En déduire le couple maximal CrMax transmissible au récepteur par la poulie 2 en fonction de la tension t dans le brin
mou, le coefficient de frottement f et la géométrie du problème.
Exercice n°14 : Suspension Mac Pherson
La figure ci-dessous représente un modèle cinématique plan (2D) de suspension avant de type Mac Pherson. Elle
est constituée :
- D'un triangle inférieur (2) lié au châssis (1) par deux rotules
en A et B (figures 2 et 3)
- D'une fusée (3) liée au triangle (2) par une rotule de centre C.
L'ensemble (5) roue - moyeu - disque de frein est guidé dans
la fusée par une pivot réalisée au moyen d'un roulement
spécifique à deux rangées de billes à contact oblique
- D'une jambe (4) liée à la fusée par une pivot glissant d'axe
(D, u→
) faisant fonction de vérin et au châssis (1) par une
liaison élastique à comportement de rotule de centre D.
- D'un ressort hélicoïdal associé à un amortisseur hydraulique
qui assurent la fonction de suspension.
- D'une barre anti-dévers qui réalise une liaison élastique entre
les deux demis trains. Son action est purement dynamique et
elle sera ignorée dans l'étude cinématique
1 - Définir la nature du mouvement de la fusée (3) par rapport au
châssis (1) du véhicule lors du débattement de la suspension.
On pourra appuyer le raisonnement sur une étude de cinématique graphique, en recherchant en particulier le CIR du
mouvement (3)/(1) sur la figure ci-dessus.
2 - Préciser la position de l'axe de pivotement de la roue lors du braquage de la direction. Définir sur la figure ci-dessus le
point d'intersection K de cet axe avec le plan du sol. Conclusion ?
3 - Montrer que cette situation du point K correspond à la minimisation des efforts à fournir pour manœuvrer la direction.
On s’appuie pour cela sur la modélisation suivante :
- Le contact roue/sol est supposé être une ligne de largeur du pneu 2L, de milieu H défini sur la figure ci-dessus.
- Le frottement est modélisé par les lois de Coulomb
- On suppose un point de non glissement J situé à une distance µ du point H
On calcule la somme sur toute la ligne de contact roue/sol du moment en J des actions tangentielles. On montre que cette
somme est minimisée avec la valeur µ correspondant à la coïncidence des points J et K.
Arbre de transmission
Châssis (1)
Triangle (2)
Fusée (3)
Jambe (4)Roue (5)
A,B
C
D
H
u→
x0→
y0→
z0→