Matrise PHYTEM Physique des Solides
2003-2004
Electrons dans les solides - TD 3
Phonons
Les vibrations d'une structure cristalline sont dcrites en
termes de modes collectifs de
vibration appels phonons. Dans le cas simple d'un solide
uni-dimensionnel, on se propose
de dterminer, dans un formalisme classique, les modes de
vibrations longitudinaux et
d'examiner l'existence de phonons acoustiques et optiques.
I. Approximation harmonique
Rappeler en quoi consiste l'approximation harmonique dans le
traitement des modes
de vibrations d'un cristal.
Dans la suite, on notera D(r a0)2/2 le terme harmonique d'nergie
potentielleentre deux atomes distants de r dans un solide de priode
a0.
II. Modes de vibration d'un solide uni-dimensionnel
monoatomique
On considre une chane linaire de pas a0, compose d'atomes de
masse M.
1. Soit un l'cart l'quilibre de la position du niemeatome.
Dterminer
l'quation direntielle satisfaite par un.
2. On cherche pour un des solutions en onde plane un = u0ne
i(kna0t). Dterminer
la relation de dispersion des modes de vibration.
3. Dterminer la vitesse de groupe au voisinage du centre de la
premire zone de
Brillouin. Que reprsente la grandeur obtenue ?
4. Examiner, au voisinage du centre de zone et en bord de zone,
le sens de
dplacement de deux atomes voisins.
III. Modes de vibration d'un solide uni-dimensionnel
diatomique
On considre maintenant une chane linaire diatomique compose
d'atomes de
masses M et m, occupant respectivement les sites pairs et
impairs du rseau.
1. En reprenant la mthode prcdente, dterminer la relation de
dispersion des
modes de vibration.
2. Pour les deux branches de dispersion obtenues, examiner, au
voisinage du
centre de zone, le sens de dplacement de deux atomes voisins.
Quelle est la
branche acoustique ? La branche optique ? Quelle est la vitesse
de groupe des
phonons optiques au voisinage du centre de zone.
3. Retrouver l'existence de deux branches de dispersion pour la
chane diatomique
partir des rsultats de la chane monoatomique dont on aura modi
le pas.
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