Techniques d’intervalles pour la résolution de systèmes d ...Introduction Analyse par intervalles Programmation par contraintes Conclusion Techniques d’intervalles pour la résolution

Introduction

Analyse parintervalles

Programmationparcontraintes

Conclusion

Techniques d’intervalles pour la résolutionde systèmes d’équationsThèse du projet COPRIN, INRIA

Gilles Chabert

19 Janvier 2007

IntroductionSystèmesd’équationsclassiques

Systèmesparamétrés

AE-systèmes



Conclusion

Plan de la soutenance

1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes

2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux

3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles

4 Conclusion



AE-systèmes



Conclusion

Outline




4 Conclusion



AE-systèmes



Conclusion

Les techniques d’intervalles

Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?

Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?

x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]

Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle



AE-systèmes



Conclusion




x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]




AE-systèmes



Conclusion




x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]




AE-systèmes



Conclusion




x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]




AE-systèmes



Conclusion




x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]




AE-systèmes



Conclusion




x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]




AE-systèmes



Conclusion




x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]




AE-systèmes



Conclusion




x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]




AE-systèmes



Conclusion




x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]




AE-systèmes



Conclusion




x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]




AE-systèmes



Conclusion

Méthode d’évaluation/bissection

boîte initiale [x ] = [0, 10]× [0, 10]

0

2

4

6

8

10

x

0

2

4

6

8

10

y

–40–20

020406080

100120140160180

f([x ]) = [− 16, 184], [−36, 100]

[x ] = [0, 5]× [0, 10]

0

1

2

3

4

5

x

0

2

4

6

8

10

y

–20

0

20

40

60

80

100

f([x ]) = [− 16, 109], [−36, 100]

[x ] = [5, 10]× [0, 10]

5

6

7

8

9

10

x

0

2

4

6

8

10

y

–200

20406080

100120140160180

f([x ]) = [9, 184], [− 35, 100]



AE-systèmes



Conclusion


boîte initiale [x ] = [0, 10]× [0, 10]

0

2

4

6

8

10

x

0

2

4

6

8

10

y

–40–20

020406080

100120140160180

f([x ]) = [− 16, 184], [−36, 100]

[x ] = [0, 5]× [0, 10]

0

1

2

3

4

5

x

0

2

4

6

8

10

y

–20

0

20

40

60

80

100

f([x ]) = [− 16, 109], [−36, 100]

[x ] = [5, 10]× [0, 10]

5

6

7

8

9

10

x

0

2

4

6

8

10

y

–200

20406080

100120140160180

f([x ]) = [9, 184], [− 35, 100]



AE-systèmes



Conclusion


boîte initiale [x ] = [0, 10]× [0, 10]

0

2

4

6

8

10

x

0

2

4

6

8

10

y

–40–20

020406080

100120140160180

f([x ]) = [− 16, 184], [−36, 100]

[x ] = [0, 5]× [0, 10]

0

1

2

3

4

5

x

0

2

4

6

8

10

y

–20

0

20

40

60

80

100

f([x ]) = [− 16, 109], [−36, 100]

[x ] = [5, 10]× [0, 10]

5

6

7

8

9

10

x

0

2

4

6

8

10

y

–200

20406080

100120140160180

f([x ]) = [9, 184], [− 35, 100]



AE-systèmes



Conclusion

Filtrage (analyse par intervalles)

f : R→ R f (x) = 0

f : Rn → Rm f (x) = 0

Système linéaire avec paramètre intervalle



AE-systèmes



Conclusion


f : R→ R f (x) = 0

f : Rn → Rm f (x) = 0

Système linéaire avec paramètre intervalle



AE-systèmes



Conclusion


f : R→ R f (x) = 0

f : Rn → Rm f (x) = 0

Système linéaire avec paramètre intervalle(∃a ∈ [a]

)ax = b ?



AE-systèmes



Conclusion


f : R→ R f (x) = 0

f : Rn → Rm f (x) = 0


)ax = b ?

x ∈ b/[a]



AE-systèmes



Conclusion


f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0


)ax = b ?

x ∈ b/[a]



AE-systèmes



Conclusion


f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0

Système linéaire avec paramètre intervalle(∃A ∈ [A]

)Ax = b ?



AE-systèmes



Conclusion


f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0


)Ax = b ?

Problème: inversion d’une matrice intervalle...



AE-systèmes



Conclusion


f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0


)Ax = b ?

Problème: inversion d’une matrice intervalle... Méthodes numériques particulières



AE-systèmes



Conclusion

Système linéaire intervalle

∃A ∈ [A] Ax = b

Une approximation extérieure des solutions suffit pas de bissection/évaluationNécessité de préconditionner [A]

Méthodes intervallesGauss-SeidelÉlimination de GaussKrawczykHansen-Bliek



AE-systèmes



Conclusion


∃A ∈ [A] Ax = b





AE-systèmes



Conclusion


∃A ∈ [A] Ax = b





AE-systèmes



Conclusion


∃A ∈ [A] Ax = b





AE-systèmes



Conclusion


∃A ∈ [A] Ax = b





AE-systèmes



Conclusion


∃A ∈ [A] Ax = b





AE-systèmes



Conclusion


∃A ∈ [A] Ax = b





AE-systèmes



Conclusion


∃A ∈ [A] Ax = b





AE-systèmes



Conclusion


∃A ∈ [A] Ax = b





AE-systèmes



Conclusion

Outline




4 Conclusion



AE-systèmes



Conclusion

Filtrage

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

Système linéaire à paramètres intervalles(∃A ∈ [A]

)(∃b ∈ [b]

)Ax = b

mêmes méthodes numériques



AE-systèmes



Conclusion

Filtrage

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0


)(∃b ∈ [b]

)Ax = b




AE-systèmes



Conclusion

Filtrage

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0


)(∃b ∈ [b]

)Ax = b




AE-systèmes



Conclusion

Détection de boîtes intérieures

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0



AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0



AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0



AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires

f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème

Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)

Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre

f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs

Cas général Détection de frontière



AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

Dim(f ) = 1

Théorème des valeurs intermédiairesf (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème







AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0









AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0


f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x)

Test d’inclusion, négation du problèmeUne seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)






AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0









AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0



Une seule occurrence de ui

Intervalles modaux (et généralisés)Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre





AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0









AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0




Dim(u) = dim(f )

Permutation variable-paramètref polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs




AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0









AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0





f polynomial de faible dimension

Élimination de quantificateursCas général Détection de frontière



AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0









AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0






Cas général

Détection de frontière



AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (x , u) = 0









AE-systèmes



Conclusion

Outline




4 Conclusion



AE-systèmes



Conclusion

Exemple de AE-système

f (l) = 0

Exemple du robot parallèle 2D

l1 2l ? ? l1

l2



AE-systèmes



Conclusion


∃u ∈ [u] f (l , u) = 0


l1 2l

u u21

l1

l2



AE-systèmes



Conclusion


∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (l , u, v) = 0


2uu1

l1l2

v1

v2

l1

l2

1u2u1u



AE-systèmes



Conclusion


∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (l , u, v) = 0


u1

u5

u6u3

l1 2l

u4

v1

v2

2u

1... u6u l1

l2

1u2u1u



AE-systèmes



Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0


Même chose que pour les systèmes paramétrés

Filtrage

Newton Généralisé

Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]

)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection

Problème de double boucle



AE-systèmes



Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0


Même chose que pour les systèmes paramétrés

Filtrage



)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection




AE-systèmes



Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0

Détection de boîtes intérieuresMême chose que pour les systèmes paramétrés

Filtrage



)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection




AE-systèmes



Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0


Filtrage



)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection




AE-systèmes



Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0


FiltrageNewton Généralisé


)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection




AE-systèmes



Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0




)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection




AE-systèmes



Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0




)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection




AE-systèmes



Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0




)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaireMéthodes de Shary

Bissection




AE-systèmes



Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0




)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?


Bissection




AE-systèmes



Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0




)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?


BissectionProblème de double boucle

Introduction

Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé

Décomposition LUgénéralisée

Intervalles modaux


Conclusion





4 Conclusion

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Outline




4 Conclusion

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Introduction

x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)

Oettli-Prager

(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ

Qx ≥ 0

Hansen-Bliek(I −∆)Qx ≤ Qb + δ(I + ∆)Qx ≥ Qb − δ

Qx ≥ 0

0

Q =

„1 00 1

«

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Introduction

x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)

Oettli-Prager

(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ

Qx ≥ 0


Qx ≥ 0

0

Q =

„1 00 1

«

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Introduction

x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)

Oettli-Prager

(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ

Qx ≥ 0


Qx ≥ 0

0

Q =

„1 00 1

«

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Introduction

x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)

Oettli-Prager

(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ

Qx ≥ 0


Qx ≥ 0

0

Q =

„1 00 1

«

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Maximisation de |xk | (cas classique)

Identifier formellement un optimum local

(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)

|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)

En déduire un optimum global

xQ4

xQ3

xQ2xQ1

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)

|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)


xQ4

xQ3

xQ2xQ1

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)

|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)


xQ4

xQ3

xQ2xQ1

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)

|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)


xQ4

xQ3

xQ2xQ1

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)

|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)


xQ4

xQ3

xQ2xQ1

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Minimisation de |xk | (cas classique)

Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

xQ

Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier n hyperplans −→ soit y leur intersection.Calculer formellement |yk | en fonction de (I −∆)−1

Borne? ∀x ∈ Σ ∩Q, |xk | ≥ |yk |Optimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ y ∈ Σ ∩Q

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion


Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

xQ



Introduction



Intervalles modaux


Conclusion


Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

xQ



Introduction



Intervalles modaux


Conclusion


Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

xQ



Introduction



Intervalles modaux


Conclusion


Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

xQ



Introduction



Intervalles modaux


Conclusion


Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

xQ



Introduction



Intervalles modaux


Conclusion


Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

xQ



Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Maximisation de |xk | (cas généralisé)

[b] quantifié −→ δ peut avoir des composantes négatives

(I −∆)−1(Qb + δ)

(I −∆)−1(Qb + δ)

bk

δ ≥ 0

δ ≤ 0

Étude localeOptimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ xQ ∈ Σ ∩Q

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



(I −∆)−1(Qb + δ)

(I −∆)−1(Qb + δ)

bk

δ ≥ 0

δ ≤ 0


Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



(I −∆)−1(Qb + δ)

(I −∆)−1(Qb + δ)

bk

δ ≥ 0

δ ≤ 0


Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Minimisation de |xk | (cas généralisé)

Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier les candidats (n hyperplans = 1 candidat)Éliminer les singularitésRésultats formellement en fonction de (I −∆)−1

2n + 1possibilités...

droite support(I −∆)1

...??

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion





...??

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion





...??

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion





...??

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion





...??

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion





...??

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion


Étude locale (suite)Vérifier que chaque candidat est bien une borneSélectionner l’optimum parmi les candidatsOptimalité, localité?

droite supportΣ ∩ Q

y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

xQ

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion




y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

xQ

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion




y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

xQ

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion




y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

xQ

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion




y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

xQ

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion




y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

xQ

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Étude globale (cas généralisé)

Propriété Min-max

max

imis

atio

n

minimisation

minimisationm

aximisation

CA

ND

IDA

TS

(2n)

QUADRANTS (2n−1)

y (k,1)Q1

y (k,i)Q1

y (k,1)Q∗

y (k,i)Q∗

Sur un demi-espace (e.g., xk ≥ 0)xk −→ xQxk −→ candidat maximisant xk sur Q∗

Existence de solutions

xk ≥ xk =⇒ existe solution x telle que xk ≥ 0 ?

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion


Propriété Min-max

max

imis

atio

n

minimisation

minimisationm

aximisation

CA

ND

IDA

TS

(2n)

QUADRANTS (2n−1)

y (k,1)Q1

y (k,i)Q1

y (k,1)Q∗

y (k,i)Q∗




Introduction



Intervalles modaux


Conclusion


Propriété Min-max

max

imis

atio

n

minimisation

minimisationm

aximisation

CA

ND

IDA

TS

(2n)

QUADRANTS (2n−1)

y (k,1)Q1

y (k,i)Q1

y (k,1)Q∗

y (k,i)Q∗




Introduction



Intervalles modaux


Conclusion


Propriété Min-max

max

imis

atio

n

minimisation

minimisationm

aximisation

CA

ND

IDA

TS

(2n)

QUADRANTS (2n−1)

y (k,1)Q1

y (k,i)Q1

y (k,1)Q∗

y (k,i)Q∗




Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Première expérimentation

Surface initiale [l1]× [l2] 36cm2

Surface de tolérance 16cm2

Amplitude des perturbations 1cmPrécision du pavage 0.01cm

Image avec perturbations u1 et u2.

Résultats numériques

Perturbations Newton Test intérieur + Newton généralisé∅ 132.67s 1.30s 1.30s[u1] - 3.34s 2.57s[u1] . . . [u3] - 13.4s 8.32s[u1] . . . [u6] - 867.37s 55.42s

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Outline




4 Conclusion

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Décomposition LU généralisée

Décomposition LU classique

A = LU

Décomposition LU intervalle

[A] ⊆ [L][U]


[A] = [L][U]

Intervalles généralisés

Les bornes peuvent être inversées [0, 1] [1, 0]

Nouvelle inclusion [1, 5] ⊆ [4, 2] ⊆ [3, 3] ⊆ [2, 4]

Propriétés de groupe pour les opérateurs

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



A = LU


[A] ⊆ [L][U]


[A] = [L][U]





Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



A = LU


[A] ⊆ [L][U]


[A] = [L][U]





Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



A = LU


[A] ⊆ [L][U]


[A] = [L][U]





Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



A = LU


[A] ⊆ [L][U]


[A] = [L][U]





Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



A = LU


[A] ⊆ [L][U]


[A] = [L][U]





Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



A = LU


[A] ⊆ [L][U]


[A] = [L][U]





Introduction



Intervalles modaux


Conclusion



A = LU


[A] ⊆ [L][U]


[A] = [L][U]





Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Outline




4 Conclusion

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux

Théories existantesNouvelle structure algébrique (x ,∃), (x ,∀) ⊆Notion d’extension d’une fonction aux intervallesmodauxOpérations meet

∨et join

∧ extension optimale, ou fonction sémantique f ∗

Les théorèmes établissent surtout les propriétés decette extension par rapport à l’inclusion

Lien entre intervalles modaux et généralisés

L’arithmétique des intervalles

généralisés

permet de calculer

dans certains cas

une extension aux intervalles

modaux

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


∨et join





généralisés

permet de calculer

dans certains cas


modaux

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


∨et join





généralisés

permet de calculer

dans certains cas


modaux

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


∨et join





généralisés

permet de calculer

dans certains cas


modaux

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


∨et join





généralisés

permet de calculer

dans certains cas


modaux

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


∨et join





généralisés

permet de calculer

dans certains cas


modaux

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


∨et join




L’arithmétique des intervalles généraliséspermet de calculer

dans certains cas


modaux

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


∨et join




L’arithmétique des intervalles généraliséspermet de calculer dans certains casune extension aux intervalles

modaux

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


∨et join




L’arithmétique des intervalles généraliséspermet de calculer dans certains casune extension aux intervalles modaux

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux

Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes)

notion d’image quantifiée:

Montrer comment calculer de tels objets:

Schéma

image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}⇓ ⇓

min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]

⇓ ⇓intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux

Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes)

notion d’image quantifiée:

Montrer comment calculer de tels objets:

Schéma


min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]


Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux

Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes) notion d’image quantifiée:Montrer comment calculer de tels objets:

Schéma


min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]


Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


Schéma


min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]


Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


Schéma

image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}

⇓ ⇓min-max [max

x∈xminy∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]


Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


Schéma


min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]


Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


Schéma


min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]


Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


Schéma


min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]

⇓ ⇓

intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])

Introduction



Intervalles modaux


Conclusion

Intervalles modaux


Schéma


min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]


Introduction


ProgrammationparcontraintesIntroduction

Unions d’intervalles

Conclusion





4 Conclusion

Introduction




Conclusion

Outline




4 Conclusion

Introduction




Conclusion

Les CSP

Un exemple en domaine discret

9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9

8 VariablesDomainesContraintesFiltrage

En domaine continu:Avantage : pas de limite aux conditions d’applicationdes algorithmesInconvénient : peu de propriétés mathématiquesexploitées

Introduction




Conclusion

Les CSP


? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9

8

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

8? ??

?? ?

??

? VariablesDomainesContraintesFiltrage


Introduction




Conclusion

Les CSP


9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9

8

4 5 67 8 9

1 2 3VariablesDomainesContraintesFiltrage


Introduction




Conclusion

Les CSP


9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9



Introduction




Conclusion

Les CSP


9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9



Introduction




Conclusion

Les CSP


9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9



Introduction




Conclusion

Les CSP


9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9



Introduction




Conclusion

Les CSP


9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9



Introduction




Conclusion

Les CSP


9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9



Introduction




Conclusion

Cohérences partielles


9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9

8

47

2 67 8

87

7 84

A partir d’un état “bloque”Instanciation de valeursProjection de contraintePropagation

Recherche arborescente:Point de choix + filtrage jusqu’à l’obtention d’une solution oud’une incohérence

Introduction




Conclusion



9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9

8

47

2 67 8

874?



Introduction




Conclusion



9 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9

8

47

2 67 8

874?



Introduction




Conclusion



49 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9

8

7

2 67 8

84? 7



Introduction




Conclusion



49 6 3

246

7

1

4

7

3

5

6

1

8 3

4

9

215

5

8

54 1 7

42

4

2

9

8

7

2 67 8

84? 7



Introduction




Conclusion

Projection en domaine continu

y

x

Utilisation de la forme symbolique

Exemple(x + y)2 = sin(x + y)

Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction




Conclusion


y

x



Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction




Conclusion


y

x



Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction




Conclusion


y

x



Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction




Conclusion


y

x



Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction




Conclusion


y

x



Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction




Conclusion

Propriétés de l’arc-cohérence

Problème de convergence

Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)

Introduction




Conclusion




Introduction




Conclusion




Introduction




Conclusion




Introduction




Conclusion




Introduction




Conclusion




Introduction




Conclusion




Introduction




Conclusion




Introduction




Conclusion




Introduction




Conclusion




Introduction




Conclusion


Problème de calculabilité

0

2

4

6

8

10

y

2 4 6 8 10x

Se traduit en pratique par un problème de complexitéen espaceSe résout en ne conservant que l’enveloppe desprojections (2B-cohérence)Deux nouvelles propositions dans le cadre la thèse:BoxSet, AC-IGC

Introduction




Conclusion



0

2

4

6

8

10

y

2 4 6 8 10x


Introduction




Conclusion



0

2

4

6

8

10

y

2 4 6 8 10x


Introduction




Conclusion



0

2

4

6

8

10

y

2 4 6 8 10x


Introduction




Conclusion



0

2

4

6

8

10

y

2 4 6 8 10x


Introduction




Conclusion



0

2

4

6

8

10

y

2 4 6 8 10x


Introduction




Conclusion



0

2

4

6

8

10

y

2 4 6 8 10x


Introduction




Conclusion



0

2

4

6

8

10

y

2 4 6 8 10x


Introduction




Conclusion

Outline




4 Conclusion

Introduction




Conclusion

BoxSet cohérence

Idée : introduire un point de choix des qu’une unionapparaît dans la propagation.Point fixe = union des boîtes arc-cohérentes

La complexité en espace ne dépend plus du nombre deflottantsLa version naïve conduit à une explosion combinatoireLa version paresseuse

exploite le point fixe de 2B-cohérenceintègre un calcul de projection sans uniondétecte les points de bissection

Étude approfondie des propriétés obtenues:boxset cohérence sans occurrence multiple de variablepas de comparaison possible entre un CSP et sadécomposition

Introduction




Conclusion

BoxSet cohérence





Introduction




Conclusion

BoxSet cohérence





Introduction




Conclusion

BoxSet cohérence





Introduction




Conclusion

BoxSet cohérence





Introduction




Conclusion

BoxSet cohérence





Introduction




Conclusion

BoxSet cohérence





Introduction




Conclusion

AC-IGC

Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux

Niveau valeur

Niveau intervalles (notion de I-support)

xz

y

Introduction




Conclusion

AC-IGC


Niveau valeur


x

y

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC


Niveau valeur


x

y

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC


Niveau valeur


x

y

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC


Niveau valeur


xz

y

Introduction




Conclusion

AC-IGC


Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)

xz

y

Introduction




Conclusion

AC-IGC



xz

y

y

x

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC



x

y

z

y

x

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC



x

y

z

y

x

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC



x

y

z

y

x

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC



x

y

z

y

x

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC



x

y

z

y

x

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC



x

y

z

y

x

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC



xz

y

y

x

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC



xz

y

y

x

z

Introduction




Conclusion

AC-IGC



xz

y

Introduction




Conclusion

AC-IGC

AC–IGC = combinaison arc-cohérence (valeurs) etcohérence globale (intervalles)arc-cohérence ≺ AC–IGC ≺ BoxSetPossibilité de greffer un algorithme de graphe(I-cliques)

L’approche EtiqAC

Objectif: maintien incrémental des I-cliquesOutil : Propager des informations sur l’origine des trous

Introduction




Conclusion

AC-IGC


L’approche EtiqAC


Introduction




Conclusion

AC-IGC


L’approche EtiqAC


Introduction




Conclusion

AC-IGC


L’approche EtiqAC


Introduction




Conclusion

AC-IGC


L’approche EtiqAC


Introduction




Conclusion

EtiqAC

Recours à une nouvelle structure de donnée hybride:

union d’intervalles + BDD

+−

+ −

+

− +

−

[x1] [x2] [x3]

x

y

z

x

Introduction




Conclusion

EtiqAC

Recours à une nouvelle structure de donnée hybride:union d’intervalles + BDD

+−

+ −

+

− +

−

[x1] [x2] [x3]

x

y

z

x

Introduction




Conclusion

EtiqAC

Recours à une nouvelle structure de donnée hybride:union d’intervalles + BDD

+−

+ −

+

− +

−

[x1] [x2] [x3]

x

y

z

x

Introduction



Conclusion





4 Conclusion

Introduction



Conclusion

Conclusion (1)

Analyse par intervallesContributions

1 Hansen-Bliek généralisé2 LU généralisé

Perspectives1 Tests d’existence de solutions (cas non carré)2 Analyse convexe?3 Représentation alternative de continuums

Introduction



Conclusion

Conclusion (1)




Introduction



Conclusion

Conclusion (1)




Introduction



Conclusion

Conclusion (1)




Introduction



Conclusion

Conclusion (1)




Introduction



Conclusion

Conclusion (1)




Introduction



Conclusion

Conclusion (2)

Intervalles modauxContributions

1 Nouvelle formulationSynthèse

mal adapté pour la détection de boîtes intérieures dansle cas généralrend le filtrage de AE-système possibleparfaitement adapté au cas linéaire... mais les intervalles généralisés aussi

Introduction



Conclusion

Conclusion (2)




Introduction



Conclusion

Conclusion (2)




Introduction



Conclusion

Conclusion (2)




Introduction



Conclusion

Conclusion (2)




Introduction



Conclusion

Conclusion (2)




Introduction



Conclusion

Conclusion (3)

Programmation par contraintesContributions

1 Cohérence calculable sur les flottants2 Cohérences d’unions d’intervalles intérêt académique vouées à l’échec sur les CSP continus

Perspectives1 Nouvelles contraintes avec contracteurs spécifiques2 Bissection de paramètres3 AE-systèmes

Introduction



Conclusion

Conclusion (3)




Introduction



Conclusion

Conclusion (3)




Introduction



Conclusion

Conclusion (3)




Introduction



Conclusion

Conclusion (3)




Introduction



Conclusion

Conclusion (3)




Introduction



Conclusion

Conclusion (4)

Autres activités de thèse1 Développement d’une librairie en C++2 Collaborations

Introduction



Conclusion

Conclusion (4)


Introduction



Conclusion

Conclusion (4)


Introduction



Conclusion

Conclusion (4)

Merci !

Documents

Techniques d’intervalles pour la résolution de systèmes d ...Introduction Analyse par intervalles Programmation par contraintes Conclusion Techniques d’intervalles pour la résolution