tehnical drawing pt4, tehnička dokumentacija

TEHNIČKA DOKUMENTACIJA

11

4 PROJEKCIJA TAČKE I PRAVE

4.1. ORTOGONALNA PROJEKCIJA TAČKE

Ortogonalna projekcija tačke A na neku projekcijsku ravan dobije se kada se kroz tačku postavi zraka normalno na tu ravan (slika 4.1). Zraka normalna na projekcijsku ravan naziva se projektna zraka, a njen prodor kroz projekcijsku ravan daje odgovarajuću ortogonalnu projekciju te tačke A. Kao posljedica projiciranja tačke A u prostoru dobije se :

) y , x ( A± ±′ = prva projekcija tačke A u ravnini π1 (tlocrt tačke A)

) z , x ( A± ± ′′ = druga projekcija tačke A u ravnini π2 (nacrt tačke A)

) z , y ( A± ±′′′ = treća projekcija tačke A u ravnini π3 (bokocrt tačke A).

Slika 4.1. Prostorno predstavljanje projektovanja tačke A u prvom oktantu


12

Položaj tačke A u prostoru (ortogonalnom koordinatnom trijedru) može biti dat na dva načina i to :

- svojim rastojanjem od projekcijskih ravni π1, π2 i π3 ili

- svojim koordinatama x, y i z.

Rastojanje tačke A od ravnine π1 predstavlja se z - koordinatom, rastojanje tačke A od π2 predstavlja se y - koordinatom, a rastojanje tačke A od π3 predstavlja se sa x - koordinatom.

Obaranjem ravnine π1 i π3 sa odgovarajućim projekcijama A′ i A′′′ u π2 dobije se rasklopljeni ortogonalni koordinatni trijedar O-x-y-z-y0 sa odgovarajućim projekcijama A′, A′′ i A′′′ tačke A, kao što je prikazano na slici 4.2. Sa dvije projekcije tačke može se odrediti preostala tražena projekcija tačke .

Slika 4.2. Projekcija tačke A u ortogonalnom koordinatnom sistemu Ivice tijela se presjecaju u vrhovima (rogljevima) koje se u prostoru definišu kao odgovarajuće tačke. Projiciranjem pojedinačnih vrhova tijela u ortogonalnoj projekciji definiše se cjelokupna projekciju tijela (slika 4.3).


13

Slika 4.3. Prostorna projekcija prizme u tri projicirajuće ravnine

Slika 4.4. Ortogonalna projekcija prizme

Ax

Ay

Az

Ax

Ay

Az

Ay0


14

Kao što je ranije navedeno, svaka tačka P, Q, R, S definiše se sa tri podatka – koji se nazivaju koordinatama tih tačaka. Koordinata x predstavlja udaljenost tačke od koordinatnog početka po x-osi. Koordinata y predstavlja udaljenost tačke od ravnine π2, a koordinata z udaljenost tačke od ravnine π1, odnosno udaljenost od koordinatnog početka po z-osi z.

Za dati primjer na slici 4.5 mogu se zapisati sljedeće prostorne koordinate tačaka:

P (x,y,z) = tačka P prostorna smještena u I.oktantu

Q (x,-y,z) = tačka Q prostorno smještena u II.oktantu

R (x,-y,-z) = tačka R prostorno smještena u III.oktantu

S (x,y,-z) = tačka S prostorno smještena u IV. oktantu

Slika 4.5. Prostorno predstavljanje projekcije tačaka po pojedinačnim oktantima (prva četiri oktanta)


15

Zavisno od toga u kojem se oktantu nalazi tačka u prostoru, dobivaju se različiti položaji prve, druge i treće projekcije tačaka u odnosu na x, y i z-osu. Tako, na primjer:

- kada se tačka P nalazi u I oktantu, njena prva projekcija P′ je ispod x-ose, a druga projekcija P′′ iznad x-ose (slika 4.6);

- kada se tačka Q nalazi u II oktantu, njena i prva Q′ i druga projekcija Q′′ su iznad x-ose (slika 4.6);

- kada se tačka R nalazi u III oktantu, njena prva projekcija R′ je iznad x-ose, a druga projekcija P′′ ispod x-ose (slika 4.6);

- kada se tačka S nalazi u IV oktantu, njena i prva S′ i druga projekcija S′′ su ispod x-ose (slika 4.6).

Slika 4.6. Položaj pojedinačnih tačaka u ortogonalnoj projekciji (prva četiri oktanta)


16

4.2. ORTOGONALNA PROJEKCIJA PRAVE

Uzastopni niz tačaka u prostoru na jednom pravcu čini pravu liniju. Ortogonalna projekcija prave na neku projekcijsku ravan dobije se kada se kroz pravu postavi ravan normalno na tu projekcijsku ravan (slika 4.7). Ravan normalna na projekcijsku ravan naziva se projektna ravan, a njen presjek sa projekcijskom ravni daje odgovarajuću ortogonalnu projekciju prave.

Projekcija prave, koja se nalazi u prostoru, na neku od projicirajućih ravnina je takođe prava, ukoliko prava nije okomita na jednu od projekcijskih ravnina. Pravougla (ortogonalna ) projekcija prave je kraća od same prave ili je jednake dužine kao prava. Projekcija prave je kraća od same prave kada zauzima proizvoljni položaj u prostoru (slika 4.7), a jednake dužine kao i prava kada prava leži u ravnini ili je paralelana sa projicirajućom ravninom. U slučaju da je prava u prostoru okomita na neku od projicirajućih ravnina, a paralelna sa preostale dvije, tada je jedna njena projekcija tačka.

Za pravu koja zauzima proizvoljan položaj u prostoru u odnosu na projekcijske ravnine π1, π2 i π3 kaže se da se nalazi u proizvoljnom položaju u prostoru (slika 4.7), a za pravu koja leži, normalna je ili paralelna sa jednom od projekcijskih ravni, ili sa jednom od projekcijskih osa, kaže se da se nalazi u specijalnom položaju u prostoru (slika 4.9 i 4.10).

Sika 4.7. Prava g u proizvoljnom položaju

g


17

Na slici 4.8 prikazan je položaj prave g u projekcijama, za koju je bilo potrebno definisati samo dvije projekcije njenih tačaka A i B. Kako je svaka tačka u prostoru određena na osnovu svoje dvije projekcije, to je i prava u prostoru potpuno definisana pomoću dvije projekcije svojih dviju tačaka (A, A′′ ′ i B B′′ ′), (slika 4.7 i 4.8).

Slika 4.8. Projekcija prave g u ortogonalnoj projekciji

Ukoliko prava g prodire kroz ravan π1 u tački 1 1S S′ =, a ravan π2 u tački 2 2S S′′ =, tada se te tačke zovu projekcijski prodori (tragovi) ili probodišta

(slika 4.7).

Na slikama 4.9 i 4.10 prikazane su prave u specijalnom položaju. U prvom primjeru je prava m paralelna sa projicirajućom ravninom π1, a u proizvoljnom položaju prema ravnini π2.. Kada je prava m paralelna sa π1, njena prva projekcija m′ je proizvoljna, a druga projekcija m′′ paralelna sa x-osom (slika 4.9).

Na slici 4.10 u drugom slučaju prava n je u paralelnom položaju u odnosu na projicirajuću ravan π2, a u proizvoljnom položaju u odnosu na projicirajuću ravan π1. U tom slučaju njena prva projekcija n′ je paralelna sa x-osom, a druga projekcija n′′ proizvoljna.


18

Slika 4.9. Prostorna i ortogonalna projekcija pravca g π1

Slika 4.10. Prostorna i ortogonalna projekcija pravca g π2


19

4.3. MEĐUSOBNI POLOŽAJ DVIJE PRAVE

Dvije prave u prostoru mogu se međusobno sjeći (presjecati) ili mimoilaziti (ukrštati). Ako se dvije prave sijeku u konačnosti, kaže se da su to dvije presječne prave u užem smislu riječi, a ako se one sijeku u beskonačnosti, kaže se da su to dvije paralelne prave.

4.3.1. Dvije prave koje se sijeku

Ako se dvije prave g1 i g2, date u proizvoljnom položaju u prostoru (slika 4.11), sijeku se u tački P, vidljivo je da se i njihove prve projekcije ′

1 gi ′2 g

sijeku u tački P′, a druge projekcije ″1 gi ″

2 gu tački P′′. Takođe, može se uočiti sa slike u ortogonalnoj projekciji da dvije pridružene projekcije zajedničke tačke P leže na istoj sponi, pa se može reći da se prave u prostoru sijeku, ako presječne tačke istoimenih projekcija tih pravih vezuje ista vertikalna spona kroz dvije pridružene projekcije.

Slika 4.11. Projekcije dvije prave Slika 4.12. Projekcija dvije paralelne koja se sijeku g1 i g2 prave g1 i g2, g1װ g2

4.3.2. Dvije prave koje su paralelne

Dvije prave u prostoru su paralelne, ako su i njihove istoimene projekcije međusobno paralelne (slika 4.12).

4.3.3. Dvije prave koje se mimoilaze

Dvije prave se ukrštaju (mimoilaze) u prostoru ako se ne sijeku ni u konačnosti, ni u beskonačnosti (slika 4.13).


20

Slika 4.13. Projekcija dvije prave koja se mimoilaze g1 i g2

4.4. Određivanje prave veličine duži i veličine ugla nagiba

Prava veličina duži AB općenito će se dobiti ako se duž dovede u položaj da je paralelna sa projicirajućom ravni π1, π2 ili π3, ili da leži u nekoj od projicirajućih ravni.

4.4.1. Određivanje prave veličine duži i veličine ugla nagiba rotacijom u položaj paralelan sa π1

Slika 4.14. Koso predstavljanje rotacije duži u položaj

paralelan ravnini π1


21

Slika 4.15. Koso i ortogonalno predstavljanje rotacije duži u položaj paralelan ravnini π1

Prava veličina duži AB može se dobiti njenom rotacijom dok se ne dovede u položaj paralelan sa ravninom π1.

Druga projekcija duži AB rotira se oko druge projekcije tačke ) A( B′′ ′′ sa radijusom B A r′′ ′′ =, tako da se dovede u položaj praralelan ravnini π1, a s obzirom na osnovnu osu 1x2. Položaj tačke ) A( B′′ ′′ ostaje pri rotaciji nepomičan. Tačka ) B( A′′ ′′se projicira u ) B( A0 0′′ ′′ i ) B( A′ ′ u ) B( A0 0′ ′. Spajanjem tačaka 0 A B′ ′ odnosno ) A B(′ ′0 dobiva se prava veličina duži AB (slika 4.14 i 4.15).

Prava dužina duži i uporednica sa nacrtnom projekcijskom ravninom π1 s obzirom na osnovnu osu 1x2, a koja prolazi kroz tlocrt tačke ) A( B′ ′, predstavlja prikloni ugao β0. Taj ugao predstavlja pravu veličinu nagiba dužine AB prema nacrtnoj projekcijskoj ravnini π2 (slika 4.14 i 4.15).


22


Slika 4.16. Koso i ortogonalno predstavljanje rotacije duži u položaj


Slika 4.17. Koso i ortogonalno predstavljanje rotacije duži u položaj



23

Druga projekcija duži AB rotira se oko druge projekcije tačke ) A( B′′ ′′ sa radijusom B A r′′ ′′ =, tako da se dovede u položaj praralelan ravnini π1, a s obzirom na osnovnu osu 1x2. Položaj tačke ) A( B′′ ′′ ostaje pri rotaciji nepomičan. Tačka ) B( A′′ ′′ se projicira u ) B( A0 0′′ ′′ i ) B( A′ ′ u ) B( A0 0′ ′. Spajanjem tačaka 0 A B′ ′, odnosno ) A B(′ ′0 dobiva se prava veličina duži AB.

Prikloni ugao α predstavlja pravu veličinu nagiba dužine AB prema projekcijskoj ravnini π1.


Kod rotacije duži AB u položaj paralelan sa projicirajućom ravninom π3 (slika 4.18), duž se rotira oko tačke ) A( B′ ′ sa radijusom B A r′ ′ =, tako da je dužine 0 A B′ ′) B( A′ ′ praralelna sa projicirajućom ravninom π3, u odnosu na osu 1x3. Centar rotacije je tačka ) A( B′ ′, koja je u toku rotacije nepomična tačka.

Slika 4.18. Prostorno predstavljanje rotacije duži u položaj paralelan ravnini π3


24

Prva projekcija tačke A′ se rotira u 0 A′, a u trećoj projekciji A′′′ u 0 A′′′. Povezivanje tačaka Ai B′′′ ′′′ predstavlja pravu veličinu duži AB (slika 4.19).

Slika 4.19. Ortogonalno predstavljanje rotacije duži u položaj paralelan ravnini π3

4.4.4. Metoda obaranja projicirajućeg trapeza

Između dužine AB i njenih projekcija B A′ ′ i B A′′ ′′ nastaju dva geometrijska lika, koji se nazivaju projicirajući trapezi (trapez A B AB′ ′ i trapez A B AB′′ ′′). Duž AB je u oba slučaja na projicirajućim zrakama koje su povučene normalno kroz krajnje tačke A i B. Ako se trapez obori za 90° oko tlocrta dužine na ravan π1, udaljenosti tačaka od ravnine π1 (zA i zB) u obrnutom položaju zadržavaju normalnost na tlocrt (zA i zB ⊥B A′ ′) dužine (slika 4.20).

Obaranje projicirajućeg trapeza oko tlocrta dužine u projicirajuću ravninu π1 naziva se prvo obaranje. U tom slučaju nanosi se veličina udaljenosti tačaka A i B od ravnine π1 (zA i zB) na krajnje tačke A i B na normalnoj zraci, koja se povlači kroz tlocrtne projekcije A′ i B′ okomito (normalno) na tlocrt dužine. Tako se dobiju oborene tačke 0 A′ i 0 B′. Dužina 0 0B A′ ′


25

predstavlja pravu dužinu duži AB (slika 4.21). Ugao 0 α između paralelne spone koja je za zB udaljena od tlocrta dužine B A′ ′, i prave veličine dužine

0 0B A′ ′ je prava veličina ugla koji duž AB zaklapa sa tlocrtnom ravninom π1.

Obaranje projicirajućeg trapeza oko nacrta dužine B A′′ ′′ u projicirajuću ravninu π2 naziva se drugo obaranje. U tom slučaju nanosi se na normalne zrake, povučene iz krajnjih tačaka dužine u drugoj projekciji (nacrt dužiB A′′ ′′), udaljenost tačaka od projicirajuće ravnine π2 (yA i yB). Dobivena duž 0 0B A′′ ′′ predstavlja pravu dužinu duži AB.

Slika 4.20. Prostorno predstavljanje dobijanja prave veličine duži sa obaranjem u ravnini π1 (tlocrtna ravan)


26

Slika 4.21. Ortogonalno predstavljanje dobijanja prave veličine duži sa

obaranjem na ravan π1 (tlocrtna ravan)

Documents

tehnical drawing pt4, tehnička dokumentacija