TEHNIČKA DOKUMENTACIJA

103

10.4. PRESJEK I MREŽA KONUSA (STOŽCA)

Slika 10.21. Šematski prikaz presječnih krivulja uspravnog konusa

10.4.1. Presječne ravni

Presjek konusa sa nekom ravni je kriva istog reda kojeg je i sam konus. Presjek konusa drugog reda je kriva drugog reda. Svakoj tački baze odgovara jedna tačka krive presjeka i to ona koja prolazi kroz tu tačku baze. Presjek nekog kružnog konusa može da ima pet različitih oblika. Četiri od njih su krivulje koje se nazivaju stožernice i peti oblik mogućeg presjeka konusa je trougao. Moguće presječne krivulje su elipsa, krug, parabola ili hiperbola što zavisi od položaja presječne ravni prema konusu (slika 10.22) 1. Krug Presjek uspravnog kružnog konusa sa ravninom je krug onda kada je presječna ravan paralelna sa ravninom baze. Kod uspravnog konusa ta ravan je istodobno okomita na osu konusa.

2. Elipsa Ako je presječna ravan postavljena koso prema ravni baze, ali tako da ipak sječe sve izvodnice konusa, presječna kriva je elipsa (središtu kruga baze ne odgovara središte elipse presjeka i obrnuto), (slika 10.22).

10 PRESJECI I MREŽE

104

3. Hiperbola Presjek konusa sa ravni je hiperbola, ako je presječna ravan okomita na krug baze, odnosno paralelna sa dvjema izvodnicama (slika 10.23).

4. Parabola Ako je presječna ravan paralelna sa jednom izvodnicom konusa, tada ta ravan presjeca sve izvodnice u konačnosti, samo tu jednu sa kojom je paralelna sječe u beskonačnosti. Presječna kriva ima jednu tačku u beskonačnosti, a to znači da je parabola (slika 10.24).

10.4.1.1. Presjek konusa sa drugom projektnom ravni- eliptički presjek

Uspravni konus na slici 10.22, čija osnova leži u π1, je presječena sa drugom projektnom ravni ε. Dužina B A′′ ′′ je nacrt elipse presjeka. B A′′ ′′ predstavlja veliku osu te elipse i kako je ona paralelna sa ravni π2, njen tlocrt je paralelan sa osom 1x2. Tlocrt A′ i B′ određuje se na osi obrtnog konusa, odnosno tlocrtu konturnih linija (S′ ′ 0 i S′ ′ 4) (slika 10.23). Na polovini ose B A′ ′ nalazi se središte elipse. Kroz tlocrt te tačke okomito na

B A′ ′nanosi se osa tlocrta presjeka D C′ ′. Dužina male ose određuje se najtačnije, ako se konus presječe sa ravninom koja se položi kroz središte elipse paralelno sa krugom baze konusa. Prenošenje presjeka u bokocrt se ostvaruje već navedenim metodama projiciranja.

Slika 10.22. Prostorno predstavljanje presjeka konusa

TEHNIČKA DOKUMENTACIJA

105

Slika 10.23. Ortogonalna projekcija određivanja presjeka uspravnog konusa

Na slici 10.24 i 10.25 predstavljena je druga mogućnost za određivanje presjeka konusa, pri kojoj se upotrebljavaju pomoćne ravni, paralelne sa tlocrtnom ravni π1. U tlocrtu nastaju krugovi poluprečnika r, koji se u nacrtu vide kao uporednice sa osom 1x2. Njihova dodirna tačka sa tragom druge projektne ravni predstavlja tačku tražene krive, koja se projicira u tlocrtnu π1 odnosno bokocrtnu ravan π3 pomoću odgovarajućih spona (slika 10.24). Presječne tačke 4 0′′ ′′ su krajnje tačke elipse.

10 PRESJECI I MREŽE

106

Slika 10.24. Prostorno predstavljanje određivanja presjeka

Slika 10.25. Definisanje presječne krivulje sa paralelnim pomoćnim presjecima

TEHNIČKA DOKUMENTACIJA

107

10.4.1.2. Hiperbolični presjek konusa

Kada presječna ravan presjeca konus okomito na krug osnove, presječna krivulja je u obliku hiperbole. Takav slučaj vidi se na slici 10.26. Optimalna konstrukcija krivulje postiže se upotrebom pomoćnih presjeka, koji su paralelni sa tlocrtnom ravni π1.

Slika 10.26. Prostorno predstavljanje hiperboličkog presjeka konusa

Slika 10.27. Hiperbolički presjek

10 PRESJECI I MREŽE

108

10.4.1.3. Parabolični presjek konusa

Druga projektna ravan ε na slici 10.28 je paralelna sa izvodnicom uspravnog konusa. Dužina 11 2 1′′ ′′ / je nacrt parabole. Njen tlocrt određuje se najjednostavnije tako da se nekoliko puta presječe konus ravninama koje su paralelne sa osnovnim krugom. Ti presjeci su opet krugovi , koji sijeku parabolu u tačkama 1/2", ¾", ... Te tačke projiciraju se u tlocrtu i bokocrtu. Pravu veličinu parabole definiše se obaranjem nacrta parabole u projicirajuću ravan π1 ili obrnuto (slika 10.29).

Slika 10.28. Prostorno predstavljanje paraboličkog presjeka konusa

Slika 10.29. Parabolički presjek konusa

TEHNIČKA DOKUMENTACIJA

109

10.4.1.4. Presjek konusa proizvoljnom ravni

U slučaju presjeka konusa sa ravni ε u proizvoljnom položaju (slika 10.30) koristiće se metoda transformacije da se odredi presječna krivulja.

Uvodi se ravan π3 okomito postavljena na ravan π1 i na prvi trag zadane ravni e1. Pomoću nagiba proizvoljne ravni α0 određuje se položaj traga e3 pomoćne ravni π3. Presjek konusa (elipsa) u toj projekciji se projektuje kao duž, na kojoj leže tačke od 0III do 8III. Tako određene tačke prenesu se u ravan π1. Oblik presjeka u nacrtu dobije se sa projekcijom tlocrta tačaka koristeći sutražnjice zadate ravni ε.

Slika 10.30. Presjek konusa sa proizvoljnom ravni

10 PRESJECI I MREŽE

110

Za crtanje presjeka dovoljno je poznavati tačke 0, 4, 2 i 6. Prvo je potrebno definisati obe ose elipse u projekcijama 4 0′ ′ i 6 2′ ′, kao i 4 0′′ ′′ i 6 2′′ ′′ u π2. S time je definisan pravac HV i obe ivice konusa QS i RS, koji ograničavaju presjek u tačkama 0′′ i 4′′. Prava veličina i oblik elipse određuje se obaranjem u tlocrtnu ravan π1.

10.4.2. Mreža uspravnog konusa

Slika 10.31. Mreža presječenog konusa

Mreža presječenog konusa (slika 10.31) razvije se tako da se najprije podjeli krug osnove na 12 jednakih dijelova. S poluprečnikom, jednakim stranici konusa, opiše se luk i nanese na njega dvanaest oboda kruga osnove. Tako dobijene tačke spoje se sa tačkom S0. Prava veličina udaljenosti izvodnice do presjeka sa ravni prenosi se na razvijeni plašt, npr.

0 0 A′ ... 0 12 A′. Plaštu se još doda osnova krug i prava veličina presjeka –elipsa.