TEHNIKA DOKUMENTACIJA

65

8 TRANSFORMACIJA

Zadati geometrijski oblici esto imaju takav geometrijski poloaj prema projekcijskim ravnima 1 i 2, da se na osnovu projekcija na njima ne moe dobiti jasna predstava o njihovom izgledu u prostoru ili je oteana mogunost rjeavanja nekih zadataka u vezi s postavljenim elementima.

Do sada se uvijek u cilju dobijanja to jednostavnijih izgleda projekcija taaka, pravih linija, geometrijskih slika i tijela mjenjao njihov poloaj u odnosu na projekcijske ravni 1, 2 i 3 koje su zadravale uvijek isti poloaj. Meutim, ponekad je ba usvojeni standardni poloaj projekcijskih ravni 1, 2 i 3 nepovoljan za rjeavanje postavljnih zadataka. Zbog toga esto u rjeavanju zadataka poloaj prve tlocrtne 1 i druge nacrtne 2 projekcijske ravni ostaje stalan, a poloaj tree 3 projekcijske ravni se mjenja tako da ostaje upravna samo na 1 ili 2 (do sada je poloaj tree projekcijske ravni 3 bio istovremeno upravan na 1 i na 2). Ovo slobodno pomjeranje transformiranje tree projekcijske ravni 3 naziva se transformacija. U sluaju potrebe moe se uvesti etvrta 4, peta 5 itd. projekcijska ravan tako da je uvijek okomita na predhodnu.

8.1. TRANSFORMACIJA TAKE

Prostornom skicom na slici 8.1 prikazana je transformacija take A do novouvedene etvrte ravni 4. Prvo je postavljena nova trea projekcijska ravan 3 normalno na 1, kao zamjena vertikalnoj ravni 2, ime se dobio novi sklop projekcijskih ravni 1 i 3 sa presjenom osom 1x3 (prve i tree ravni), umjesto prethodnog sklopa ravni u kojem je bilo 1 normalno na 2, a 1x2 presjena osa (prve i druge projekcijske ravni). Trea projekcija posmatrane take A je rijeena prodorom normalnog projekcijskog zraka kroz ravan 3 poloajem A'''. Kako je horizontalna ravan 1 ostala ista i za stari i za novi sklop ravni, to se udaljenost take A od nje, date koordinatom z, u projekcijama vidi kao du iste veliine na obje vertikalne ravni, kako na prethodnoj ravni 2, tako i na novouvedenoj ravni 3, pa je zato AA' = A"L = A'''M. Gledajui ovu udaljenost kao du izmeu presjene ose i projekcije take, moe se zakljuiti da je: udaljenost nove projekcije take (A''' na novoj ravni) od posljednje ose (1x3) jednaka udaljenosti prethodne projekcije take (A" na zamijenjenoj ravni) do stare ose (1x2).

8 TRANSFORMACIJA

66

Slika 8.1. Transformacija take prikazana u prostoru

Pri daljoj transformaciji take uvedena je naredna etvrta ravan 4 kao zamjena prvoj 1, normalna na treu, sa posljednjom presjenom osom 3x4. etvrta projekcija take AIV je u prodoru normalnog projekcijskog zraka take A kroz ravan 4. Kako je ravan 3 zajednika za oba posljednja sklopa normalnih ravni (1 normalno na 3 i 3 normalno na 4 ), upravo udaljenost take A od nje se ponavlja kao ista du, kako na prethodnoj (1), tako i na narednoj etvrtoj ravni. Poto je AA''' = A'M = AIVN, zakljuuje se da je udaljenost nove projekcije AIV take A od posljednje ose (3x4) jednaka udaljenosti od stare ose 1x3 do projekcije A' na zamijenjenoj (prethodnoj) ravni.

Nakon izvrenog prostornog projiciranja na date ravni, za dobijanje slike u projekcijama, vri se preklapanje ravni ovim redosijedom: 4 na 3, obje na 1 i na kraju sve tri do poloaja ravni 2. Pri tome je spona kroz AIV i A''' normala na 3x4, kroz A''' i A' normala na 1x3 i spona kroz A' i A" normala na osu 1x2. Po istom principu bi se odreivale i naredne projekcije take, ukoliko bi bilo potrebno dalje uvoenje novih ravni.

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

67

Slika 8.2. Transformacija take u projekcijama

Transformacija take A do ravni 4 u projekcijama prikazana je na slici 8.2. Poznate su projekcije A' i A" take A i poloaj osa 1x3 i 3x4. Projiciranje je poeto povlaenjem spone iz take A' normalno na 1x3 osu, a udaljenost nove projekcije A''' na njoj od 1x3 data je udaljenou druge projekcije A" od ose 1x2. Prelaz od tree do etvrte ravni prikazan je sponom koja povezuje A''' i AIV i normalna je na presjenu osu (3x4) ravni ije projekcije taaka vezuje. Udaljenost AIV od posljednje 3x4 ose je jednaka udaljenosti prethodne projekcije A' od stare ose 1x3, a udaljenost AIII od 1x3 ose jednaka je udaljenosti druge projekcije A" od ose 1x2.

8.2. TRANSFORMACIJA PRAVE

Na slici 8.3 je prikazan u rasklopnoj projekciji postupak transformacije prave a (sa takama A i B). Za izvrenje ovog zadatka postupkom transformacije, potrebno je postaviti projekcijsku ravan normalno na samu pravu a, kako bi projekcija date prave na tu ravan bila predstavljena takom.

8 TRANSFORMACIJA

68

Slika 8.3. Prikaz postupka transformacije prave a

Kao to se vidi iz slike 8.3, prethodno je postavljena projekcijska ravan 3 paralelna pravoj a, i osa 1x3 je paralelna prvoj projekciji a' prave a. Poto je naena trea projekcija a''' prave a, postavljena je etvrta projekcijska ravan 4 sa poloajem normalnim kako na samu projekcijsku ravan 3 tako i na treu projekciju a''' prave a. Tako e etvrta projekcija aIV prave a biti predstavljena u vidu take.

Iz same slike vidi se da prava a ima sasvim proizvoljan poloaj prema osi 1x2, tj. u odnosu na projekcijske ravni 1 i 2. Za osu 1x3, tj. za projekcijske ravni 1 i 3 specijalan poloaj bi zauzimala prava paralelna s treom projekcijskom ravni 3.

A'B' 1x3 (a') A'A"' 1x3 3x4 A"'B"' (a"')

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

69

8.3. TRANSFORMACIJA GEOMETRIJSKOG OBLIKA

Slika 8.4. Prikaz postupka transformacije geometrijskog oblika

u vidu paralelograma ABCD Na slici 8.4 prikazan je u rasklopnoj projekciji postupak transformacije geometrijskog oblika u vidu paralelograma ABCD koji je svojim poloajem normalan na prvu projekcijsku ravan 1, a istovremeno je paralelan sa drugom projekcijskom ravni 2. Kao to se vidi iz slike, izvrena je transformacija paralelograma i to iz prve projekcijske ravni 1 u treu projekcijsku ravan 3, a iz tree u etvrtu projekcijsku ravan 4.

8 TRANSFORMACIJA

70

8.4. TRANSFORMACIJA TIJELA

Slika 8.5. Postupak transformacije paralelopipeda

Na slici 8.5 je prikazan u rasklopnoj projekciji postupak transformacije tijela u vidu paralelopipeda ABCDEFGH ije su due ivice paralelne sa osom 1x2, tako da mu je prva i druga projekcija predstavljena pravougaonikom. Da bi se iz prve i druge projekcije dobili jasnu predstavu o prostornom tijelu, kao to se sa slike vidi, izvrena je transformacija paralelopipeda, i to iz prve projekcijske ravni 1 u treu projekcijsku ravan 3, a iz tree u etvrtu projekcijsku ravan 4.

Kao to se vidi na slici 8.5, u treoj projekcijskoj ravni 3 vidljiva je ivica CG, jer je ista najudaljenija od iste projekcijske ravni, a to se vidi iz same prve projekcije datog paralelopipeda sa istovremenim i datim smjerom gledanja u vidu strelice. Kako je u prvoj projekcijskoj ravni

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

71

projekcija ivice A'E' najblia treoj projekcijskoj ravni, tj. najudaljenija od oka posmatraa, to je u treoj projekciji ista ivica prikazana kao nevidljiva AE. Dalje, sama vidljivost ivica paralelopipeda u etvrtoj projekcijskoj ravni odreuje se prema odstojanjima istih od iste projekcijske ravni, a posredstvom direktnog itanja u treoj projekcijskoj ravni, uz istovremeno koritenje smjera gledanja za etvrtu projekcijsku ravan, koji je dat strelicom u treoj projekcijskoj ravni. Tako se vidi da e tjeme H koje je najudaljenije od etvrte projekcijske ravni, biti prikazano u etvrtoj projekcijskoj ravni 4 kao vidljivo, a tjeme B, koje je najblie etvrtoj projekcijskoj ravni 4, prikazati u istoj kao nevidljivo, a to znai i ivice BIVFIV, BIVCIV i BIVAIV, koje iz istog polaze u etvrtoj projekcijskoj ravni, prikazae se takoe kao nevidljive.

Dalje, iz prikazanih projekcija se vidi da sve ivice koje su kod paralelopipeda meusobno paralelne, ostale su paralelne meusobno i u svim novim projekcijskim ravnima. Kako etvrta projekcijska ravan 4 daje potpuno jasno predstavu o samom izgledu prostornog paralelopipeda, to e se na ovoj projekcijskoj ravni i zadrati, tj. nema potrebe za uvoenjem daljih projekcijskih ravni.

Na sljedeoj slici 8.6 dat je primjer transformacije tijela sa tjemenima od 1-12. Izvrena je prva transformacija iz prve projekcije u treu, a druga transformacija iz tree projekcije u etvrtu. Osa transformacije 1x3 povuena je u taki x=9 cm pod uglom od 60 prema x-osi, a druga osa transformacije 3x4 povuena je kroz taku x=12 cm pod uglom 90 prema x-osi.

Trea projekcija od 1 - 12 tijela od 1 - 12 nalazi se na osnovu rastojanja njegovih tjemena u drugoj projekciji od 1" - 12" od 1x2 ose, a etvrta projekcija 1IV 12IV tijela 1 12 nalazi se na osnovu njihovih rastojanja u prvoj projekciji od 1 - 12 od 1x3 ose.

Vidljivost tijela u treoj projekciji od 1 - 12 odreuje se na osnovu njihove susjedne u ovom sluaju prve projekcije, a vidljivost tijela u etvrtoj projekciji od 1IV 12IV odreuje se na osnovu njegove susjedne - u ovom sluaju tree projekcije.

Unutranje ivice tijela koje polaze iz onih tjemena koja su u susjednoj projekciji najblie osi transformacije u sljedeoj projekcijskoj ravni su nevidljive. U ovom sluaju u treoj projekciji nevidljive su ivice 23 i 45, a u etvrtoj projekciji nevidljive ivice su one koje prolaze iz sljedeih tjemena: 11IV, 12IV, 13IV, 14IV i 15IV.

8 TRANSFORMACIJA

72

Slika 8.6. Postupak transformacije tijela sa tjemenima od 1-12