Tekmovalne naloge DMFA Slovenije - MATEMATIKA - FIZIKA · PDF file8. razred 15. maj 1999 15. maj 1999 Čas za reševanje je 120 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Jadranska ulica 19 1000 Ljubljana

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev v elektronski obliki, natis in uporabo gradiva v tem dokumentu za lastne potrebe kupca in za potrebe njegovih ožjih družinskih članov. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva v tem dokumentu, vključno s tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano. Referenčna koda in čas nakupa sta zapisana ob vsaki strani tega dokumenta.

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

IN

35. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE

7. razred

15. maj 199915. maj 199915. maj 199915. maj 1999 Čas za reševanje je 120 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na ovitek, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA . Rezultati bodo najhitreje vidni na internet naslovu http://www2.arnes.si/~osljbj1/dmfa/prav.html 1. naloga

Vrednost izraza 2

22

3

3

3

3

)3(104:

543

43:

)4,0()8,0(

)8,0()4,0( −+

−

−−

−

−−−

−−

je 12,5 % nekega števila. Katerega?

2. naloga Mojca je nakupovala v štirih različnih trgovinah. V vsaki trgovini je zapravila 1000 tolarjev več kot polovico zneska, ki ga je imela pri sebi, ko je vstopila vanjo. Koliko denarja je imela na začetku, če je za nakupe porabila ves denar?

3. naloga

Ulomek 110101 zapiši kot vsoto dveh ulomkov, katerih imenovalca bosta 5 in 22,

števca pa naravni števili.

4. naloga Na sliki je prikazan cestni ovinek. Koliko kvadratnih metrov asfaltne prevleke je na ovinku, če je cesta široka 10 m? ( m55== BDAC )

60o

A

B

C

D

5. naloga Enakokrakemu trapezu s ploščino 12 cm2 včrtamo krog s premerom 3 cm. Izračunaj obseg tega trapeza.

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

1. naloga

• 27

49:8

813

43:

)4,0()8,0(

)8,0()4,0(

3

3

3

3

=

−

−=

−

−−−

−−

…………………….. 2t

• 21894

27,4

104:

54 22

=+−=

−

− ……………………………… 1t

• 5,8od%5,12 =x 68=x …………………………………………………………………………... To število je 68.

2t

5t

2.naloga

• Porabila je:

- v 1. trgovini: 10002

+x


100010002

od21 +=+

− xx


100015004

od21 +=+

− xx


100017508

od21 +=+

− xx ……………………..

2t

• Enačba :

xxxxx =

++

++

++

+ 12516

2508

5004

10002

ali 0187516

=−x 2t

• 30000=x Mojca je na začetku imela 30000 tolarjev. …………………………………………

1t

5t 3. naloga

• Označimo števca ulomkov z a in b.

110

522110101 ba += ………………………………………………………………….

101522 =+ ba ….………………………………………………………………..

1t 1t

• 7,3 == ba …………………………………………………………………... 2t

• 227

53

110101 += …………………………………………………………………….

1t

5t

REŠITVE NALOG 7. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran 1

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

4.naloga

60o

A

B

C

D

p1

p2

• m55,m65 == ACAD

)5565(6

221 −π=p

π= 2001p

21 m628≈p …….………………………………………………………………...

2t

• )5565(4

222 −π=p

π= 3002p

22 m942≈p ……………………………………………………………………...

2t

• 21 ppp +=

2m1570≈p Na cestnem ovinku je približno 1570 m2 asfaltne prevleke. ………………………

1t

5t 5. naloga

•

A B

CD

S

a

b

c

b r rr

r

Če središče kroga S povežemo z oglišči trapeza ABCD, dobimo štiri trikotnike: ABS∆ , BCS∆ , CDS∆ in DAS∆ , ki imajo višino r, za

osnovnice pa stranice trapeza. ……………………………...

2t

• 2

,2

,2

,2

brpcrpbrparp DASCDSBCSABS ==== ………………………….. 1t

• Ploščina trapeza: )2(2

cbarpABCD ++= ……………………………………….. 1t

• Za 2cm12,cm32 == pr velja cm162 =++= cbao …………………………………………………………

1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

IN


8. razred

15. maj 199915. maj 199915. maj 199915. maj 1999 Čas za reševanje je 120 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na ovitek, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA . Rezultati bodo najhitreje vidni na internet naslovu http://www2.arnes.si/~osljbj1/dmfa/prav.html 1. naloga

Graf linearne funkcije 434 −= xy seka abscisno os v točki M, graf funkcije 6

31 +−= xy pa

ordinatno os v točki N. Grafa se sekata v točki P. a) Nariši grafa funkcij in določi koordinate točk M, N in P. b) Izračunaj ploščino štirikotnika OMPN (O je koordinatno izhodišče). c) Izračunaj dolžino daljice MP.

2. naloga Kolikšna je vsota vseh lihih števil med 56 in 364?

3. naloga

Miha je sodeloval na matematičnem tekmovanju. Rešiti je moral 20 nalog, ki so bile razdeljene v dve skupini. V prvi skupini je bilo 10 nalog, za vsak pravilen odgovor je dobil 4 točke, za nepravilnega je izgubil 2 točki. V drugi skupini je vsak pravilni odgovor prinesel 6 točk, za nepravilnega pa je izgubil 3 točke. Miha je reševal vseh 20 nalog. Iz prve skupine je pravilno rešil dvakrat toliko nalog kot iz druge in skupaj dosegel 34 točk. Koliko nalog je Miha pravilno rešil?

4. naloga Skica prikazuje vhod v predor. V predoru je 128,52 miligramov žveplovega dioksida, v vsakem kubičnem metru zraka ga je 0,04 miligrama. Izračunaj dolžino predora. ( )14,3π≈

6 m

6 m

3 m

5. naloga Ploščino in obseg osenčenega lika izrazi z a. Dobljena izraza poenostavi.

a

a2a2

a2

a2a2

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

1. naloga

a)

x0 1

1

yN

M

Py=

4 3x-4

y=- 13 x+6

………………………………………………………………

)4,6(,)6,0(,)0,3( PNM ………………………………………………………………

1t 1t

b) 2

6224362 ⋅−⋅−=OMPNp ali

2624

263 ⋅+⋅+

24=OMPNp ………………………………………………………………………

2t

c) 22243 +=MP

5=MP ................................................................................................................

1t 5t

2. naloga

• Označimo vsoto s črko S. 363361359615957 ++++++= �S Vseh lihih števil med 56 in 364 je 154. .....................................................................

2t

• hh +++++++= )281139()36159()36357(S Delna vsota je 420. …………………………………………………………………. Takih vsot je 77. ....................................................................................................

1t 1t

• 3234077420 =⋅=S Vsota vseh lihih števil med 56 in 364 je 32340. ...............………………………....

1t

5t 3. naloga

• Označimo z x število pravilno rešenih nalog iz druge skupine. V prvi skupini je dosegel )2)(210(42 −−+⋅ xx točk. …………………………..V drugi skupini je dosegel )3)(10(6 −−+⋅ xx točk. ……………………………...

1t 1t

• Enačba: 34)3)(10(6)2)(210(42 =−−+⋅+−−+⋅ xxxx ali 34)10(36)210(28 =−−+−− xxxx ...........................................................

1t

• Rešitev: 4=x ..................................................................................................... 1t Odgovor: Miha je pravilno rešil 8 nalog iz prve skupine in 4 naloge iz druge skupine. Skupaj torej 12. ………………………………………………………….

1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

4. naloga

• 3m04,052,128=predoraV

3m3213=predoraV ………………………………………………………………..

1t

• 2m)2π918( +=O

2m1332,O≈ ……………………………………………………………………...

2t

• d … dolžina predora 13,32:3213=d m100=d Predor je dolg približno 100 m. ………...……………………………………………

2t

5t 5. naloga

•

a

a2a2

a2

a2

a2a2

a2a2

A B

C

D E

Obseg osenčenega lika:

��

��

�⋅π⋅+=2

231

2aao ……………...………………….

32π+= aao

6)23( π+= ao …………..…………………………...

1t 1t

• Ploščina osenčenega lika:

222

262

43

243

��

��

�⋅π⋅−⋅��

��

�−= aaap ali 2

262

23

222 �

�

��

�⋅π⋅−��

��

�⋅⋅

+ aaaa

..

1216

33 22 π−= aap

48

)439(2 π−= ap ………………………………………………………………

2t 1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Jadranska 19 1000 Ljubljana

Zavod RS za šolstvo

Poljanska 281000 Ljubljana


7. razred

20. maj 200020. maj 200020. maj 200020. maj 2000 Čas za reševanje je 120 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na ovitek, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA . Rezultati bodo najhitreje (26.5.) vidni na internet naslovu http://www.dmfa.si 1. naloga

Izračunaj vrednost ulomka 109218

21182218

9496732532

⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅

.

2. naloga Tekmovanje iz matematike poteka istočasno v Ljubljani, Mariboru, Celju, Kopru, Kranju, Novi Gorici in v Novem mestu. Letos tekmuje 220 sedmošolcev. V Mariboru jih tekmuje petkrat toliko, v Ljubljani šestkrat toliko, v vsakem od ostalih mest pa po dvakrat toliko kot v Novi Gorici, kjer jih tekmuje najmanj. Koliko sedmošolcev tekmuje v posameznih mestih?

3. naloga Namesto črk x, y, z zapiši take števke, da bo potenca dvomestnega števila xxy enaka trimestnemu številu yzy ( yzyxy x = ). Odgovor utemelji.

4. naloga V krogu s središčem S in polmerom r narišemo središčni kot α . Krožni izsek, ki pripada središčnemu kotu α , ima ploščino 2cm49π , omejujejo ga krožni lok dolžine cm7π in polmera. Izračunaj polmer kroga in središčni kot α .

5. naloga Pravokotnemu trikotniku ABC∆ (AC in BC sta kateti, AB je hipotenuza) je vrisana polkrožnica, ki se dotika katet v točkah E in F in ima središče S na hipotenuzi. Utemelji, da velja: SCEF = .

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

1. naloga

• Števec ulomka: 832 2118 ⋅⋅ ali 2121 32 ⋅ ali 216 .................................................. 1t

• Imenovalec ulomka: 2218218 3296 ⋅=⋅ .................................................................... 2018109 3294 ⋅=⋅ ..................................................................... 8323232 201820182218 ⋅⋅=⋅−⋅ ali 2021 32 ⋅ ali 2062 ⋅ ........

1t

1t

1t

• Ulomek: 3832832

2018

2118

=⋅⋅⋅⋅

ali 33232

2021

2121

=⋅⋅

ali 326

626

20

21

==⋅

.............................. 1t

5t

2.naloga

• V vseh sedmih mestih skupaj tekmuje 20-krat toliko sedmošolcev kot v Novi Gorici. 2t • Ker je vseh tekmovalcev 220, jih v Novi Gorici tekmuje 11. ..................................... 2t • Odg.: V Ljubljani tekmuje 66 sedmošolcev, v Mariboru 55, v Kopru, Kranju, Celju

in Novem mestu pa po 22. .......................................................................................... 1t

5t 3. naloga

• Za 1=x je potenca xxy dvomestno število, za 3=x pa petmestno. Trimestno število je le za 2=x . .......................................................................................

2t

• yzyy =22 y je lahko le 1 ali 6 .....................................................................................................

1t

• Za 1=y je 441212 = in y ne more biti 1. ............................................................ 1t

• Za 6=y je 676262 = , Torej je 7,6,2 === zyx . ................................................................................

1t 5t

4.naloga

• 2rlpi

⋅=

2

749 r⋅π=π

cm14=r .................................................................................................................

3t

• o180

απ= rl

o180

147 α⋅⋅π=π

o90=α .....................................................................................................................

2t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

5. naloga

• rSFSE == ............................................................................................................. 1t • BCSEACSF ⊥⊥ ,

CFESCEFS == , ...............................................................................................

2t

• Štirikotnik SECF je kvadrat. .................................................................................. 1t • FE in SC sta diagonali kvadrata, zato velja SCEF = . ...................................... 1t 5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5





8. razred

20. maj 200020. maj 200020. maj 200020. maj 2000 Čas za reševanje je 120 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na ovitek, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA . Rezultati bodo najhitreje (26.5.) vidni na internet naslovu http://www.dmfa.si 1. naloga

Izračunaj vrednost izraza

3

1212

4:1

:11

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

⋅

��

��

�−+ nn

nn xx

xx

za 2−=x in 2=n .

2. naloga Določi najmanjšo vrednost izraza .2000104222 +−+++ zxzyx

3. naloga V trapezu ABCD merita osnovnici cm15== aAB in cm2== cCD ter krak

cm5== bBC . Vsota notranjih kotov ob daljši osnovnici je �90 . Kolikšna je dolžina kraka d ? ( dAD = )

4. naloga Listič papirja pravokotne oblike ( cm3,cm4 == ba ) prepognemo po diagonali, kot je prikazano na skici. Izračunaj obseg in ploščino nastalega petkotnika.

5. naloga Iz pravilne enakorobne šeststrane prizme z robom a smo izrezali tristrano prizmo, kot kaže slika tlorisa. a) Kolikšna je prostornina tristrane prizme? b) Koliko odstotkov prostornine pravilne enakorobe šeststrane

prizme je prostornina tristrane prizme?

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

1. naloga

•

( )16

2:211

22 =

−��

�

− ............................................................................................... 1t

• ( ) 321

21

122 −=− +⋅ ..................................................................................................... 1t

• ( ) 21

24

122 −=− −⋅ ....................................................................................................... 1t

• 1132

211621:

32116 3

33

==

⋅⋅=

−

−⋅ ..................................................... 2t

ali

•

( ) ( ) ( ) =

−−⋅

−

−

3

352

2 24:

21

2:211

............................................................

• =

−−⋅=

3

84:

321

4:411

...................................................................................

• =

−

−⋅=

3

21:

321

1611

.............................................................................

• ( ) 11232116 3

3

==

−⋅

−⋅= ......................................................................

(1t)

(2t)

(1t)

(1t)

5t 2. naloga

• ( ) ( ) 2000104 222 +−+++ zzyxx ...................................................................... 1t

• ( ) ( ) 200025542 222 +−−++−+ zyx ............................................................... 2t • ( ) ( ) 197152 222 +−+++ zyx ............................................................................. 1t

• Odg.: Najmanjša vrednost izraza je 1971. ............................................................... 1t 5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

3. naloga

D C

A E Bβ

c a-c

b

c

d

Skozi oglišče C narišemo vzporednico kraku d. ADEC

Trapez razdelimo na:

• paralelogram ( )cm2=AEABCD in .................................................................... 1t

• trikotnik ( )�90,cm13 =∠=∆ BCEBEBCE .................................................... 2t

• cm12in513 222=−= CECE .......................................................................... 1t

• cm12=== dCEAD Dolžina kraka d je 12 cm. .............................................. 1t 5t

4. naloga

• cm5,222 =+= dbad ..............................

• ( )222 xaxb −=+

( )cm0,875cm87,

2

22

==−= xxabax ...

1t 2t

• Obseg petkotnika: ( )cm75,12cm4312,22 ==++= ooxbdo ................... 1t

• Ploščina petkotnika: ( )22 cm31,7cm1657,

22≈=+= ppxbabp ................ 1t

5t 5. naloga

a) tristrana prizma:

• 4

33,2

3 aKEaGH == ...............................

• 16

39 2aO = .....................................................

• 16

39 3aV = .....................................................

1t

1t

1t

b) pravilna enakoroba šeststrana prizma:

• 2

33 3aV = ...........................................................................................

1t

c) ( )%5,3783

233:

1639 33

=aa

Odg.: Prostornina izrezane tristrane prizme je 37,5 % prostornine pravilne enakorobe šeststrane prizme. ....................................................................

1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5





7. razred

19. maj 200119. maj 200119. maj 200119. maj 2001 Navodila za šifriranje: Na mizi imaš prijavni list, tekmovalno polo formata A3 in pritožni list. Nadzorni učitelj ti bo ponudil komplet treh šifer. Eno nalepi na prijavni list, kjer preveri svoje podatke in ga podpiši, drugo na tekmovalno polo, tretjo pa na pritožni list. List z nalogami in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Čas za reševanje je 120 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na tekmovalno polo, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA . Dosežki bodo najhitreje (26.5.) vidni na internet naslovu http://www.dmfa.si, naloge in rešitve pa že danes.

1. naloga

Reši enačbo: 42,0

:4,0303,0

:09,055,0

:5,22

2=⋅−

−−

−−

x

2. naloga Slovenija meri 20256 km2 (približno 20000 km2) in ima 1978000 prebivalcev (približno 2000000 prebivalcev).

a) Koliko kvadratnih metrov ozemlja povprečno pripada enemu prebivalcu Slovenije? b) Pri nas je 17,5 % (približno 18 %) prebivalcev, ki so mlajši od 15 let. Zamislimo si, da bi iz

ozemlja, ki pripada tem otrokom, naredili »deželo otrok« v obliki kvadrata. Koliko bi merila stranica kvadrata?

c) Ali bi bil obroč okoli »dežele otrok« sklenjen, če bi se v razmiku enega metra vsi starejši od 15 let prijeli za roke?

Opomba: Za računanje uporabi približne vrednosti v oklepajih.

3. naloga V pravokotnem trikotniku ABC∆ meri kot med simetralo pravega kota in višino na hipotenuzo �14 . Izračunaj velikosti ostrih kotov tega trikotnika.

4. naloga Vsota štirih naravnih števil je 1000. Če prvemu številu prištejemo 4, od drugega odštejemo 4, tretje število pomnožimo s 4 in četrto število delimo s 4, dobimo enake rezultate. Katera števila so to?

5. naloga Pravokotni trikotnik ABC∆ ima ploščino 1 m2. Če vsako oglišče prezrcalimo čez nosilko nasprotne stranice, dobimo trikotnik ''' CBA∆ . Izračunaj ploščino trikotnika ''' CBA∆ . Nariši sliko.

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

1. naloga

• 2555,0:5,2 =

−− …………………………………………………………………….. 1t

• 9303,0:09,0 =

−− …………………………………………………………………… 1t

• 1642,0:4,0

22 = ……………………………………………………………………. 1t

• 16925 =⋅− x 164 =x ……………………………………………………………………………...

4=x ………………………………………………………………………………...Rešitev enačbe je 4=x .

1t 1t

5t

2.naloga

• 222 m10000km1001km

200000020000 == …………………………………………….

Enemu prebivalcu Slovenije pripada povprečno 10000 m2 ozemlja.

1t

• 22 km3600km20000od%18 = …………………………………………………... 3600 km2 ozemlja pripada prebivalcem, mlajšim od 15 let.

1t

• Stranica kvadrata meri 60 km. …………………………………………………….. 1t • Prebivalcev, mlajših od 15 let, je 360000, ………………………………………….

Starejših od 15 let je 1640000. 1t

• Obroč starejših od 15 let bi bil dolg 1640000 m = 1640 km, obseg kvadrata pa je le 240 km. Obroč bi bil sklenjen. ………………………………………………………

1t

5t 3. naloga

Ostra kota merita �31 in �59

Pravilno izračunana velikost enega od kotov, …………………………….

3t

C A

B

sγβ

α45o

14o

drugega pa ………………………….. 2t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

4.naloga

Npr.: Označimo iskana števila z a, b, c, in d, enak rezultat pa s t.

•

��

�

��

�

�

=

=

+=−=

td

tc

tbta

44

44

…………………………………………………………………………..

2t

• 1000=+++ dcba

100044

44 =++++− tttt ………………………………………………………...

1t

• 160=t …………………………………………………………………………….. 1t • 640,40,164,156 ==== dcba ……………………………………………….

To so števila 40, 156, 164 in 640. 1t

5t 5. naloga

B

A

C

C’

A’

B’

M

N

• slika ……………………. • ploščina trikotnika ''' CBA∆ :

2''' MCBAp ⋅=

2t

• ABBA ='' (lastnost zrcaljenja) ………………………………………………….. 1t • CNMC ⋅= 3' (lastnost zrcaljenja) ……………………………………………… 1t • Ploščina trikotnika ''' CBA∆ je trikrat večja od ploščine trikotnika ABC∆ , torej

meri 3 m2. ………………………………………………………………………… 1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5





8. razred

19. maj 200119. maj 200119. maj 200119. maj 2001 Navodila za šifriranje: Na mizi imaš prijavni list, tekmovalno polo formata A3 in pritožni list. Nadzorni učitelj ti bo ponudil komplet treh šifer. Eno nalepi na prijavni list, kjer preveri svoje podatke in ga podpiši, drugo na tekmovalno polo, tretjo pa na pritožni list. List z nalogami in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Čas za reševanje je 120 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na tekmovalno polo, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA . Dosežki bodo najhitreje (26.5.) vidni na internet naslovu http://www.dmfa.si, naloge in rešitve pa že danes.

1. naloga Določi števila x, y in z, za katera velja 200111in200011,199911 =+=+=+

xzzyyx.

2. naloga Andrej, Bine in Cene preživljajo praznike pri babici. Da bi jih razveselila, jim prinese škatlo bonbonov. Najprej vzame Andrej iz škatle enega več kot polovico vseh bonbonov, potem Bine polovico preostalih in še enega, Cene polovico preostalih in še tri. Tako so si razdelili vse bonbone. Izračunaj, koliko bonbonov je bilo v škatli.

3. naloga Določi ulomek, ki je enak ulomku

9573 , vsota njegovega števca in imenovalca pa je najmanjši možni

kvadrat nekega števila.

4. naloga Pravokotni trikotnik ABC∆ ima kateti dolgi 4 cm in 3 cm. Nosilka daljše katete je tangenta kroga, ki ima središče na hipotenuzi tega trikotnika in gre skozi krajišče krajše katete. Izračunaj ploščino kroga.

5. naloga Iz lesene kocke z robom a izrežemo tristrano prizmo, kot kaže slika tlorisa. a) Koliko odstotkov je odpadkov? b) Kolikokrat je površina kocke večja od ploščine osnovne ploskve

tristrane prizme? Potrebne podatke poišči na sliki. a a

A B

C

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

1. naloga Npr.:

• Če seštejemo 200111in200011,199911 =+=+=+xzzyyx

,

dobimo 60001112 =��

��

� ++zyx

in 3000111 =++zyx

………………………………

2t

• Vstavimo 199911 =+yx

in dobimo 1001199930001 =−=z

,

nato pa 10011=z …………………………………………………………………..

1t

• Podobno je 9991=y ……………………………………………………………….. 1t

• in 10001=x ………………………………………………………………………… 1t

5t 2. naloga

Npr.: Označimo število bonbonov v škatli z x.

• Andrej: 12

+x ………………………………………………………………….

1t

• Bine: 21

4+x …………………………………………………………………. 1t

• Cene: 49

8+x ………………………………………………………………… 1t

• xxxx =��

��

� ++��

��

� ++��

��

� +49

821

41

2

30=x ………………………………………………………………………………

1t

• Odg.: V škatli je bilo 30 bonbonov. ………………………………………………. 1t 5t

3. naloga

• Označimo število, s katerim moramo pomnožiti števec in imenovalec ul. 9573 z n.

nn

⋅⋅

9573 ………………………………………………………………………………..

1t

• nnn ⋅=⋅+⋅ 1689573 ……………………………………………………………… 1t • ( )73273222168 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ n ……………………………………………………… 1t • 42732 =⋅⋅=n …………………………………………………………………… 1t

• 39903066

42954273

9573 =

⋅⋅=

Iskani ulomek je 39903066 . …………………………………………………………….

1t 5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

4. naloga

C A

B

S

N

r

r

3 cm

4 cm

• cAB == cm5 ……………………………………• Iz podobnih trikotnikov ASNABC ∆∆ ~ sledi

( ) rrcac :: −= ( ) rr :53:5 −=

…………………………………..

• ( )cm1,875cm815 ≈=r ………………………….

1t

2t 1t

• Ploščina kroga: ( )22 cm04,11cm64

225 ≈= πp ……………………………………. 1t

5t 5. naloga

• Kocka z robom a: 3aVK =

• Tristrana prizma: Osnovna ploskev:

22

22

21 aaOP ⋅⋅=

4

2aOP = …………………………………………………………………………..

Prostornina:

4

3aVP = ………………………………………………………………………….

2t 1t

• Odpadki: 33 %75

43 aaVV PK ==−

Odpadkov je 75 %. …………………………………………………………………..

1t

• 244

:6:2

2 == aaOP PK

Površina kocke je 24-krat večja od ploščine osnovne ploskve tristrane prizme. ……

1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5





7. razred

20. april 200220. april 200220. april 200220. april 2002 Navodila za šifriranje: Na mizi imaš prijavni list, tekmovalno polo formata A3 in pritožni list. Nadzorni učitelj ti bo ponudil komplet treh šifer. Eno nalepi na prijavni list, kjer preveri svoje podatke in ga podpiši, drugo na tekmovalno polo, tretjo pa na pritožni list. List z nalogami in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Čas za reševanje je 120 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na tekmovalno polo, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA . Dosežki bodo najhitreje (27.4.) vidni na internet naslovu http://www.dmfa.si, naloge in rešitve pa že danes.

1. naloga Izračunaj vrednost izraza:

( ) ( ) =⋅��

�

�

��

�

�−

��

�

�

��

�

��

��

�−⋅−+��

��

� −⋅−+−− 232

3 231:325,492,0

31

43182

6527

2. naloga Akvarij, ki je visok 35 cm, stoji na mizi. Ko vanj nalijemo 50 litrov vode, sega voda 20 cm visoko. Največ koliko litrov vode lahko nalijemo v akvarij?

3. naloga Smrklja in Kenguru sta skupaj kolesarila. Ko sta imela do doma še 15 km, se je Smrklja ustavila in

si privoščila 5 minut počitka. Kenguru pa ni počival, ampak je vozil dalje s hitrostjo h

km20 . Ko se

je Smrklja odpočila, je nadaljevala pot proti domu s 25 % večjo hitrostjo kot Kenguru. a) Kdo je prvi prikolesaril domov? b) Kolikšna je bila časovna razlika med prihodoma domov?

4. naloga Izračunaj vrednosti števila )( Z∈xx , za katere je tudi vrednost ulomka

49

++

xx celo število.

5. naloga Trapez ABCD ima ploščino p. Točko E, ki je središče (razpolovišče) kraka AD, zvežemo z ogliščema B in C.

Kolikšen del ploščine trapeza je ploščina trikotnika ∆BCE? Utemelji z računom.

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

1. naloga

• 312,0

31

4318

2

=��

��

� −⋅ ……………………………………………………………….. 1t

• ( )34

325,49

3

−=��

��

�−⋅− ……………………………………………………………... 1t

• 31

34

312 =−− ………………………………………………………………………. 1t

• 461

653 ⋅��

�

��

��

��

�−+−− ………………………………………………………………... 1t

• ( ) 1644 −=⋅− ………………………………………………………………………. 1t 5t

2.naloga

Nalogo rešimo s sklepanjem, npr.: • 1 cm visoko sega 2,5 l vode. ……………………………………………………… 2t • 35 cm visoko sega ( l5,87l5,235 =⋅ ) 87,5 litrov vode. ……………………………. 2t • Odg.: V akvarij lahko nalijemo največ 87,5 l vode. ……………………………….. 1t 5t

3. naloga

a) Kenguru prikolesari domov v: min45h2015 = ………………………………………. 1t

• Smrklja:

− vozi do doma s hitrostjo h

km25 ……………………………………………..

1t

− porabi do doma min41min5h2515 =+ ………………………………………. 1t

• Odg.: Smrklja je prva prikolesarila domov. ………………………………….. 1t b) Smrklja je bila za 4 minute hitrejša od Kenguruja. ………………………………... 1t 5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

4.naloga

4

544

49

++

++=

++

xxx

xx

• 4

5149

++=

++

xxx ………………………………………………………………….

1t

• Ulomek 4

5+x

mora biti celo število; imenovalec (x+4) je 1 ali –1 ali 5 ali –5. …… 1t

• ��

−=−=+−==+

5,143,14

xxxx

………………………………………………………………. 1t

• ��

−=−=+==+

9,541,54

xxxx

……………………………………………………………….. 1t

• Odg.: Ulomek 49

++

xx je celo število, če je { }9,5,3,1 −−−∈x …….…………….. 1t

5t 5. naloga

v2

v2

vs

A B

CD

E F

• Ploščina trikotnika BCE∆ : BFEEFCBCE ppp += ………

• 22

1 vspEFC ⋅⋅= ……………

• 22

1 vspBFE ⋅⋅= ……………

1t 1t 1t

• 2

vspBCE⋅= ……………… 1t

• ABCDBCE pp21= ………….. 1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5





8. razred

20. april 200220. april 200220. april 200220. april 2002 Navodila za šifriranje: Na mizi imaš prijavni list, tekmovalno polo formata A3 in pritožni list. Nadzorni učitelj ti bo ponudil komplet treh šifer. Eno nalepi na prijavni list, kjer preveri svoje podatke in ga podpiši, drugo na tekmovalno polo, tretjo pa na pritožni list. List z nalogami in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Čas za reševanje je 120 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na tekmovalno polo, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA . Dosežki bodo najhitreje (27.4.) vidni na internet naslovu http://www.dmfa.si, naloge in rešitve pa že danes.

1. naloga Reši enačbo:

227

20025

371311734

111111510101 =��

�

��

�

⋅+

⋅⋅⋅⋅−⋅

x

2. naloga Trgovec je dobil pošiljko, v kateri je bilo 480 kozarcev več majoneze kot kozarcev gorčice. Potem ko je prodal 80 % kozarcev majoneze in četrtino kozarcev gorčice, je ugotovil, da ima sedaj 300 kozarcev več gorčice kot majoneze. Koliko kozarcev majoneze in koliko kozarcev gorčice je bilo v pošiljki?

3. naloga Tone je na mizi iz najlonske vrvi oblikoval krožnico s polmerom 10 cm. Nato jo je z dveh strani stiskal z vzporednima zidakoma (glej sliko!), dokler razdalja med njima ni bila 10 cm. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejuje stisnjena vrv.

4. naloga V tristrano prizmo, katere osnovna ploskev je enakokrak pravokotni trikotnik, lahko včrtamo kroglo (dotika se vseh mejnih ploskev prizme) s premerom 2 cm. Izračunaj prostornino prizme.

5. naloga Dan je trapez ABCD ( )CDAB > . Nariši premico p, ki poteka skozi eno oglišče (npr.: D) in trapez razdeli na dva ploščinsko enaka dela. Opiši in utemelji potek načrtovanja.

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

1. naloga

• ��

��

�

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

131172200237131173111111

37137310101 …………………………………………………………...

1t

• 227

1311725

371311731371373 =�

�

��

�

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

x ……………………………………… 1t

• 227

223735

111 =⋅⋅+

x ……………………………………………………………………………….. 1t

• 225

223735 =⋅⋅x

……………………………………………………………………………………. 1t

• 373 ⋅=x 111=x ……………………………………………………………………………..

1t

5t 2. naloga

Npr.: Označimo z x število kozarcev gorčice. Število kozarcev gorčice: x Število kozarcev majoneze: x + 480

• Ko je prodal četrtino kozarcev gorčice, mu je ostalo 4

3x kozarcev. ………………..

1t

• Ko je prodal 80 % kozarcev majoneze, mu je ostalo 5480+x kozarcev. ………….. 1t

• Enačba: 3005480

43 ++= xx …………………………………………………... 1t

• Rešitev: x = 720 ………………………………………………………………….. 1t • Odg.: V pošiljki je bilo 720 kozarcev gorčice in 1200 kozarcev majoneze. ……… 1t 5t

3. naloga

• Obseg lika je enak obsegu krožnice: cm20π=o ………………………………… 1t • Lik je sestavljen iz dveh polkrogov s polmerom 5 cm in pravokotnika s stranicama 10 cm in 5π cm ( cm52:cm10,cm10cm10cm20 π=ππ=π−π ). …………….

1t

• Ploščina lika: − ploščina kroga s polmerom 5 cm: 2cm25π=

�p ……………………………..

1t

− ploščina pravokotnika s stranicama 10 cm in 5π cm: 2cm50π=pp ………… 1t

− ploščina lika je 75π cm2 (235,50 cm2) ……………………………………... 1t 5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

4. naloga

Prizma: • )cm2(2 == vrv ……………………………

1t

• 2,2 rrADrAS +== ………………….. 1t

• )cm41,2()21( ≈+=== rCDADBD

A E B

D

C

Sr

• Osnovna ploskev:

( ) )cm82,5(21 222 ≈+= rO …………………

1t • Prostornina prizme:

( ) rrV 22122 ⋅+=

( )2232 3 += rV ………………………………… za r = 1 cm dobimo:

( ) )cm64,11(cm2232 33 ≈+=V …………..

1t

1t

5t 5. naloga

A M B F

E

CD

p

• Narišemo središče kraka BC in ga označimo z E. …………………………………. 1t • Trikotnik CDE prezrcalimo preko E v trikotnik BFE. …………………………….. 1t • Trikotnik AFD je ploščinsko enak trapezu ABCD. ……………………………… 1t • Narišemo središče stranice AF in ga označimo z M. • Ker imata trikotnika AMD in MFD enaki osnovnici ( sMFAM == ) in enaki višini,

je ploščina trikotnika AMD enaka polovici ploščine trapeza ABCD. ………………

1t

• Premica p, ki gre skozi točki D in M razdeli trapez ABCD na dva ploščinsko enaka dela, na trikotnik AMD in trapez MBCD. …………………………………………

1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

1

INDrustvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Zavod RS za solstvo

Jadranska 19 Poljanska 28

1000 Ljubljana 1000 Ljubljana

39. DRZAVNO TEKMOVANJE ZA

ZLATO VEGOVO PRIZNANJE

12. april 2003

7. razred

Navodila za sifriranje:

Na mizi imas prijavni list, nalepko s sifro, tekmovalno polo formata A3 in pritozni list. Nalepko nalepi na prvo strantekmovalne pole, prijavni list in pritozni list pa sta ze opremljena s sifro. List z nalogami, prijavni list in pritozni list potekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritozni list. Na prijavnem listu imasuporabnisko ime in geslo, ki ti omogocata, da takoj, ko bo tekmovalna komisija dosezek vnesla v streznik, svoj dosezekvidis na naslovu http://www.dmfa.si, povezava InfoServer, ali preko WAP telefona na naslovu wap.dmfa.si

Cas za resevanje je 120 minut.

Izdelek pisi s crnilom citljivo in pregledno na tekmovalno polo, prilozeni papir pa sluzi za razmisljanje.

DRZAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ZELI VELIKO USPEHA.

Dosezki bodo najhitreje (17.4.) vidni na internet naslovu http://www.dmfa.si, naloge in resitve pa ze danes.

1. naloga

Izracunaj vrednost izraza:√9 +

(

22)2 · 5(−15+3·7+ 12

6)

(√

13 +√

139 +√25

)5=

2. naloga

17 clanski kolektiv izdela na dan doloceno stevilo izdelkov. V ponedeljek dveh delavcev ni bilo na delo,vendar bi navzoci delavci radi izdelali predvideno stevilo izdelkov.Koliko odstotkov izdelkov vec je moral izdelati vsak od navzocih delavcev?

3. naloga

Na travniku se vsak dan pasejo krave, trava pa ponovno ves cas enakomerno raste. Osem krav bi popaslovso travo (s prirastom vred) v 10 dneh, 4 krave pa v 30 dneh. Vsaka krava poje dnevno enako kolicinotrave.V koliksnem casu bi vso travo popaslo 12 krav, ce trava ne bi ponovno rasla?

4. naloga

Dan je enakokrak trapez ABCD z osnovnicama a = AB, c = CD in visino v = CE.Kolikokrat je ploscina trapeza ABCD vecja od ploscine trikotnika 4AEC? Utemelji.

5. naloga

V notranjosti enakokrakega trikotnika 4ABC (AC = BC, <)ACB = 100◦) lezi tocka T , tako da meritakota <)TAC = 10◦ in <)ACT = 20◦.Izracunaj velikost kota <)CTB.

c© 2003 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni soli

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

2

RESITVE NALOG 7. razred

Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 tock.Vse matematicno in logicno korektne resitve so enakovredne. stran 1

1. naloga

• 5−15+3·7+ 12

6 = 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

•(√

13 +√

139 +√25

)5

= 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• 3 + 16 · 58

55 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• = 3 + 16 · 125 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t

2. naloga

Oznacimo z a stevilo izdelkov, ki jih izdela na dan vsak delavec 17 clanskega kolektiva.

• 17 delavcev izdela 17a izdelkov na dan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• 15 delavcev, vsak izdela (a+ x) izdelkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Enacba: 15(a+ x) = 17a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tx = 13,3 % a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Odg.: Vsak od navzocih delavcev mora izdelati 13,3 % vec izdelkov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t

5t

3. naloga

Oznacimo zacetno kolicino trave s k, enodnevni prirast trave pa s p.Nalogo resimo s sklepanjem, npr.:

• 8 krav poje skupno: zacetno kolicino k in 10 enodnevnih prirastov p

80 (8 · 10) kravjih dnevnih obrokov pomeni k + 10p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• 4 krave pojedo skupno: zacetno kolicino k in 30 enodnevnih prirastov p

120 (4 · 30) kravjih dnevnih obrokov pomeni k + 30p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• 40 kravjih dnevnih obrokov: (k + 30p)− (k + 10p) = 20p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• En enodnevni prirast trave zadosca za dve kravi za en dan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tCe trava ne bi sproti rasla, bi travnik popaslo 6 krav v 10 dneh.

• Odg.: Ce trava ne bi sproti rasla, bi travnik popaslo 12 krav v 5 dneh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

3



4. naloga

A Ea−c2 B

CD c

bbv

��

�� Npr.:p = a+c

2· v

• Ploscina trikotnika 4AEC:AE = a− a−c

2= a+c

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2t

EC = v

pAEC = 1

2· a+c

2· v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Ploscina trapeza je dvakrat vecja od ploscine trikotnika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

5t

5. naloga

A R B

C

T

P

� �

��

��

��

��

Glede na sliko:• <)TCR = 50◦ − 20◦ = 30◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t• <)PTC = 180◦ − 150◦ = 30◦ =⇒=⇒4TPC je enakokrak (PT = PC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• <)TPC = 180◦ − 30◦ − 30◦ = 120◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• 4PTB ∼= 4PCB (ujemata se v dveh stranicah in

kotu med njima)=⇒ <)PTB ∼= <)PCB = 50◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t• <)CTB = 30◦ + 50◦ = 80◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

4

INDrustvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Zavod RS za solstvo

Jadranska 19 Poljanska 28

1000 Ljubljana 1000 Ljubljana

39. DRZAVNO TEKMOVANJE ZA

ZLATO VEGOVO PRIZNANJE

12. april 2003

8. razred

Navodila za sifriranje:

Na mizi imas prijavni list, nalepko s sifro, tekmovalno polo formata A3 in pritozni list. Nalepko nalepi na prvo strantekmovalne pole, prijavni list in pritozni list pa sta ze opremljena s sifro. List z nalogami, prijavni list in pritozni list potekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritozni list. Na prijavnem listu imasuporabnisko ime in geslo, ki ti omogocata, da takoj, ko bo tekmovalna komisija dosezek vnesla v streznik, svoj dosezekvidis na naslovu http://www.dmfa.si, povezava InfoServer, ali preko WAP telefona na naslovu wap.dmfa.si

Cas za resevanje je 120 minut.

Izdelek pisi s crnilom citljivo in pregledno na tekmovalno polo, prilozeni papir pa sluzi za razmisljanje.


Dosezki bodo najhitreje (17.4.) vidni na internet naslovu http://www.dmfa.si, naloge in resitve pa ze danes.

1. naloga

Kolesar je ob 1400 odpeljal iz kraja A v kraj B. Vozil je s hitrostjo 24 km

h. V kraju B je pocakal 20 minut

in se s hitrostjo 20km

hpo isti poti vrnil v kraj A, kamor je prispel ob 1800.

Izracunaj, koliko kilometrov je prevozil kolesar.

2. naloga

Izracunaj vrednosti stevila m, tako da se bosta premici z enacbama (2m+ 3)y +m+ 6 = 0 in(2m+ 1)x+ (m− 1)y +m− 2 = 0 sekali na ordinatni osi.

3. naloga

Studenec tece v jezero. Vsak dan pritece v jezero enaka kolicina vode. 183 konj bi popilo vso vodo venem dnevu (torej bi v 24 urah izpraznili jezero). 37 konj bi izpraznilo jezero v 5 dneh.V koliksnem casu bi popil vso vodo en konj?

4. naloga

A B��

Dolzina daljice AB na sliki je 2 cm.Koliko kvadratnih centimetrov meri ploscina kroznega kolobarja?

5. naloga

A BC

D

E F

GHKocko ABCDEFGH z robom a presekamo z ravnino skozi sredisca (razpolovisca)robov AB, BC, CG, GH, HE in AE. Ploscina preseka je 75

√3 cm2.

Izracunaj povrsino kocke.


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

5



1. naloga

• Cas voznje: 4 ure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Oznacimo dolzino poti v eno smer z x.Dobimo enacbo: x

24+ 1

3+ x

20= 4

(

ali x24

+ x20

= 32

3

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2tx = 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Odgovor: Kolesar je prevozil 80 km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t

2. naloga

• Upostevamo, da je x = 0 in dobimo iz 2. enacbe:(m− 1)y +m− 2 = 0 =⇒ y = 2−m

m−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• To vstavimo v 1. enacbo:(2m+ 3) · 2−m

m−1+m+ 6 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• −m2 + 6m = 0 (ali m2 − 6 = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• m(m− 6) = 0m1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tm2 = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t

3. naloga

Oznacimo kolicino (prostornino) vode v jezeru z Vj , kolicino (prostornino) vode, ki v jezeropritece v 1 dnevu z V1d.Nalogo resimo s sklepanjem, npr.:

• Po enem dnevu je v jezeru Vj + V1d vode; en konj popijeVj+V1d

183. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• V 5 dneh je v jezeru Vj + 5 · V1d vode; en konj popijeVj+5·V1d

37

(

na danVj+5·V1d

5·37

)

. . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Enacba:Vj+V1d

183=

Vj+5·V1d

5·37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

V1d =Vj

365. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• V x dneh je v jezeru Vj + x · V1d vode.

Vj + x · Vj

365=

366x·Vj

183·365

x = 365 dniOdg.: En konj bi popil vso vodo v 1 letu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

6



4. naloga

A B

S

R r

C��

��

!

• AB = 2 cm, AC = 1 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tOznacimo polmer vecjega kroga z R,polmer manjsega kroga z r.• R2 = r2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• Ploscina kroznega kolobarja:pk = π(R2 − r2), R2 − r2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t

• pk = π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• pk

.= 3,14 cm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t

5. naloga

A

a2

a2

B

CD

E F

GH• Presek je pravilni sestkotnik s stranico a

2

√2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Ploscina pravilnega sestkotnika:

p = 6 · (a2

√2)2 ·

√3

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

p = 3

4a2√3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Rob kocke:3

4a2√3 = 75

√3

a = 10 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t• Povrsina kocke: P = 600 cm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� �!"#�" $%&'(#")�" &('�*�+" $� �!%)� #%)�&( ,*-%."�

�� !� �� "##�$�% ��

��

��

�� $ �� # � �#��

�# ��#��

�&��$��'(

��# �

�� # �

��

�� !" #�� $��%

�� & ' �� " ( ��) �� $��) �� &&& ��!�" *� �� $�� $��+

� ��!$�� $��+ � �� $� �� $��" ,�� + ��

�� #"

�� !��+ �� $��) � �� "

�� ( ��! � � �� !�� $��" -�� ) $��) � �� .��

! ��"

��

.�� $�� & '"

#� �� $�� $��

� ��

/��! � $�� + �� $�� & #"

��!�� "

� ��

,�� ) �� ) ��

�� + �� $�� !� �� " ��

� �� $�)�� " 0�� !$��

�� $�� "

/�� $��

��

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

�

��

(�� & � � ��"

(� � � �� ".� �� !$�� $�� !� � � � ��) ��) �%

�� $��" � ��

��

� �� 1�1� ��$ � �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " � �� # � �#��

�# ��# � �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " � � ��

�&��$��'(

� �� $ �

'$ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� ��# �� # � �� 1� � 12� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� &))*'�

�

� 12� � � � �&&� 12� � �&&� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

�

��

�� (�� #� '$ � # � ��&&&& # " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " � � #�� $�� & ' � ��&&&& # � ��&&& # " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " � � #�� $��) � " ��&&& � �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

�� .�"� �+ �� 31� $��) � $� ��+ �� && � �� 31�" " " " " " " " " " " � �

��

.�� $�� "

� � � ��

�' � �� & ' � ��" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "�

�' � �� (& � � ��(&��" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� �' �(&� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� �' ��(&��#

�' ��(#&�

# " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� �(#&�

# � '$$'++�

# � �# � �� ' � �#

,�� $�� '" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

�

��

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

1

��

(�� & � � ��"

(� � � �� ".� �� !$�� $�� !� � � � ��) ��) �%

�� $��" � ��

� ��

�'

�#��

� (�� )�� '� �#� � � � � ��" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� ,��

# � ��# � � � ��

# " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� � �# � ��' � �# � � � �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

�' � �# � � � � � ��

� � �# � � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� � � #��

� � ��& � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "�

.�� & � "

�

� ��

� ��!$�� ) � �� $�"� � � �&&& � � � �&& � � � �& � "�4 �� + �� && � � � �& � � $� � " " " " " " " " " �

� *�� ',� � �� &&& � � � �� &&& � � �1 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� �� 2 � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "� � /� � �� 2 �� & � � � 2 � � � 2 �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " � � �4 �� 2��",�� !$�� 2�� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

�

��

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� �!"#�" $%&'(#")�" &('�*�+" $� �!%)� #%)�&( ,*-%."�

�� !� �� "##�$�% ��

��

�� *#� �# � ''�&�

� �� 1& � � �� "��!�� "

��

�� !�� ! �3 ' 5�� " ( �� $�� 1 ��

�� 5�� " (�� )��) ��)" 6 �� )��

�& ' 5�� "

/�� $�� )��

��

7�� ! � � 1 � �" /�� )

�� ) $�� $�� "

#�$�� $�� $�� $�� ) $�� "

� ��

� � �

�

�

��

��

��

/�� " (��

�� " *�� 2 � + �� $� � � " /� �� $�� "

��!�� $� �� "

� ��

��!�� 222 222 222 222 22�# "

��

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

�

��

(�� & � � ��"

(� � � �� ".� �� !$�� $�� !� � � � ��) ��) �%

�� $��" � ��

��

� #� � � �� *#

� � ��# � ''�&�� 1& � � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� � � � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� #� � � � �� # � �� 1&" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� (�� # � �� 1& �� 1�1�� 1 � 1& � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� �� 1 � 1& � �3 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "� �

��

.�� !�� !�� ! �� "

� 8�� &-'++�+ �� $�

$#'++�" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� #� )�� &-'++�� 5�� $#'++�� 1� �� + ��!$�� " " " " " � � 9��

��

��'#

��#& � (+'++ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� � ��& " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� �� )�� $�� $#'++�� 1 � �& �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " � �

��

�

�

�

.�� + � � 1�+ � � ��

� �� $�� # � �1��# � ��#

� �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� ,�� $�� $�� &�# " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� ,��

# " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� ,�� $�� &�

# � 3�# � ��# � ��# � 1��# " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� 7�� # � 1��# � �1 � 2 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

�

��

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

�

��

(�� & � � ��"

(� � � �� ".� �� !$�� $�� !� � � � ��) ��) �%

�� $��" � ��

� ��

� � �

�

�

��

��

��

� /� �� $�� $� �� +

�� $�� $�� +

�� $�� +

�� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� .��

�� + �� 2(�� &

�� )

��& " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� � �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� �� & � ,� � �� & � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

�

� ��

� 222 222 222 222 22� � ��&'& � �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " � � ��&'& � ��# � �&�+ � � � � � �&'& � �� &�+ � �&'( � �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " � � ��&'& � ��# � �&'( � ��&'$ � �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " � �&'$ � � � 22222222222222� ��

'$ ��

� ��&'& � ��# � 22222222222222� �� '$ ��

&&&&&&&&&&&&&&&&� �� '( ��

��

� ��&'& � ��# � 22222222222222� �� '$ ��

&&&&&&&&&&&&&&� �� '$ ��

�� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

� (�� &'& � ��# �� 2 � �� & � � � � � �11" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

�

��

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

Drustvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Zavod RS za solstvoJadranska 19 Poljanska 281000 Ljubljana 1000 Ljubljana

41. DRZAVNO TEKMOVANJE ZAZLATO VEGOVO PRIZNANJE

16. april 2005

8. razred

Na mizi imas prijavni list, nalepko s sifro, tekmovalno polo formata A3 in pritozni list. Nalepko nalepina prvo stran tekmovalne pole, prijavni list in pritozni list pa sta ze opremljena s sifro. List z nalogami,prijavni list in pritozni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabipritozni list. Na prijavnem listu imas uporabnisko ime in geslo, ki ti omogocata, da takoj, ko bo tekmovalnakomisija dosezke vnesla v streznik, svoj dosezek najdes na naslovu http://www.dmfa.si, povezava Rezultatitekmovanj ali preko mobilnega telefona, ki omogoca WAP, na naslovu http://wap.dmfa.si

Cas za resevanje je 120 minut.Naloge resuj na tekmovalni poli, prilozeni list naj bo le v pomoc tvojemu razmisljanju. Potdo rezultata mora biti jasno in korektno predstavljena. Pisi s crnilom berljivo in pregledno.


1. nalogaOd traku elastike (dolg je a cm) smo odrezali petino dolzine.

a) Za koliko odstotkov moramo raztegniti daljsi odrezek, da bo imel zacetno dolzino a?

b) Krajsi odrezani del smo raztegnili do prvotne dolzine a in elastika se ni strgala. Za koliko odstotkovsmo ga raztegnili?

2. nalogaMarko ve, da za hojo od doma do zelezniske postaje potrebuje 24 minut, medtem ko to razdaljo pretecev 12 minutah. Marko mora ujeti vlak, ki s postaje odpelje ob 12.30, zato se z normalno hojo odpravi oddoma ob 12.00. Med potjo se spomni, da je v vratih pozabil kljuc, zato stece proti domu, vzame kljuc innato pretece tudi pot do postaje, kamor prispe tocno ob 12.30.Ob kateri uri se je spomnil, da je pozabil kljuc?

3. nalogaV enakokrakem trikotniku z vrhom C je kot ob vrhu 20◦. Na kraku AC lezi tocka E, na kraku BC patocka D, tako da meri kot <)CBE 60◦, kot <)CAD pa 30◦.Izracunaj velikost kota <)CED. Narisi skico.

4. nalogaAna in Blaz imata vsak svojo posodo z bonboni. V Anini posodi je 40 cokoladnih in 30 jagodnih bonbonov,v Blazevi pa 15 cokoladnih in 30 jagodnih bonbonov. Blaz iz Anine posode zagrabi 10 bonbonov in jihprestavi v svojo posodo. Ce bi iz Anine posode prenesel v svojo posodo se 1 jagodni bonbon, bi biloskupno stevilo jagodnih bonbonov v Anini posodi in cokoladnih bonbonov v Blazevi posodi enako 50.Koliko cokoladnih bonbonov in koliko jagodnih bonbonov je Blaz prenesel iz Anine posode v svojo posodo?

5. naloga

Za kateri vrednosti spremenljivke x je vrednost izraza(x2 + 1

)(x+4)2−(x−2)(x+2) enaka 1?


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5



16. april 2005

9. razred




1. nalogaResitev enacbe (x+5)2

2 − (x−2)(x+2)3 = (x − 1)2− (

x2 − 1)− 55−x2

6 je zacetna vrednost n linearne funkcije,katere graf gre skozi tocko A(−4, 3).Zapisi enacbo te linearne funkcije.

2. nalogaMobilni operater nam ponuja tri razlicne pakete. V paketu A ni mesecne narocnine, zato pa minutapogovora stane 25 SIT. Paket B ima mesecno narocnino 2000 SIT, vsaka minuta pogovora pa stane 5 to-larjev. Paket C ponuja pri mesecni narocnini 1000 SIT prvih 60 minut pogovora zastonj, vsaka naslednjaminuta pa stane 10 tolarjev.Spreminjanje cen pogovorov prikazi z grafi. Koliko minut najmanj in koliko minut najvec lahko telefoni-ramo na mesec, da se splaca odlociti za paket C?

3. naloga

a

a

A B

CD

F

E

p1p2

p3Kvadrat ABCD s stranico a = 6 cm bi radi razdelili na tri ploscinsko enake dele, kotkaze slika.Izracunaj dolzini daljic AE in CF .

4. nalogaAlen, Boris, Cene in Crt so zbrali prihranke in kupili zogo. Alen je dal 40 % vrednosti zoge, Boris jeprispeval tri sedmine zneska, ki so ga placali ostali trije, Cene pa 25 % zneska ostalih treh. Najmlajsi,Crt, je dal 2000 tolarjev. Koliksna je bila cena zoge?

5. nalogaZvezda na sliki je sestavljena iz pravilnega sestkotnika in sestih skladnih enakokrakih tri-kotnikov, ki imajo osnovnice na stranicah sestkotnika in kot ob vrhu 30◦. Polmer krozniceje 1 enota.Izracunaj ploscino zvezde.


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

RESITVE NALOG 8. razredVsako nalogo ocenimo z od 0 do 5 tock.Vse matematicno in logicno korektne resitve so enakovredne.Ob korektni uporabi nepravilnega delnega rezultata v naslednjih korakih resitveovrednotimo kot pravilne. stran 1

1. naloga

a) Daljsi odrezek meri 45a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

Ostanek raztegnemo za 15a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

To predstavlja15a

45a

= 14 = 25 % daljsega odrezka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

b) Krajsi odrezek raztegnemo za 45a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t

To je:45a

15a

= 400 % krajsega odrezka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t

2. naloga

• Drugic je od doma do postaje porabil 12 minut, torej je sel od doma ob 12.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Za pot, ki jo je prehodil, porabi dvakrat vec casa kot za preteceno pot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• S t oznacimo cas, porabljen od odhoda od doma, do takrat, ko je ugotovil, da je pozabil kljuc:t + t

2 = 18 min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tt = 12 min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Na kljuc se je spomnil ob 12.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t

3. nalogaC

20◦

A B

E

D

60◦30◦

��

��

��

��

• Skica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t• Ker je �ABC enakokrak, velja

<)CAB = <) CBA = 180◦−20◦2 = 80◦

Torej je <)EBA = 80◦ − 60◦ = 20◦.V trikotniku �ABE je kot<)AEB = 180◦ − <)BAC − <)EBA = 80◦.Zato je �ABE enakokrak z vrhom B in |AB| = |EB|. . . . . . . . . . . . . 1t

• Ker je <)BAD = <)BAC − <)DAC = 50◦,je <) ADB = 180◦ − <)BAD − <)DBA = 50◦.Torej je tudi �ABD enakokrak z vrhom B in |AB| = |DB|. . . . . . . . 1t

• Trikotnik �EBD je enakostranicen,saj je |EB| = |DB| in <)DBE = 60◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• <)CED = 180◦ − <)AEB − <)BED<)CED = 180◦ − 80◦ − 60◦ = 40◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

54. naloga

• Stanje na zacetku:Ana Blaz

cokoladni 40 15jagodni 30 30

Blaz vzame iz Anine posode x cokoladnih bonbonov in 10 − x jagodnih bonbonov. . . . . . . . . . . . . . 1t

• Novo stanje:Ana Blaz

cokoladni 40 − x 15 + x

jagodni 20 + x 40 − x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Ce bi Blaz vzel se en jagodni bonbon, bi Ana imela 19 + x jagodnih bonbonov,Blaz pa 15 + x cokoladnih bonbonov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• 50 = 19 + x + 15 + x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tx = 8

• Prenesel je 8 cokoladnih bonbonov in 2 jagodna bonbona.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t

5t

5. nalogaRealno stevilo ab je enako 1, ce je a = 1 in b poljubno realno stevilo, ali pa a �= 0 in b = 0,zato locimo dve moznosti:

a) Osnova potence je enaka 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tResitev enacbe x2 + 1 = 1 je x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

b) Stopnja potence je enaka 0,torej je (x + 4)2 − (x − 2) (x + 2) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tUreditev enacbe: 8x + 20 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tResitev x = −5

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tustreza, saj osnova nikoli ni enaka 0.

5t

8. razred stran 2

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

RESITVE NALOG 9. razredVsako nalogo ocenimo z od 0 do 5 tock.Vse matematicno in logicno korektne resitve so enakovredne.Ob korektni uporabi nepravilnega delnega rezultata v naslednjih korakih resitveovrednotimo kot pravilne. stran 1

1. naloga

• Ureditev enacbe:3x2 + 30x + 75 − 2x2 + 8 = 6x2 − 12x + 6 − 6x2 + 6 − 55 + x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t42x = −126

• Resitev enacbe x = −3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Enacba premice z upostevanjem zacetne vrednosti y = kx − 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t3 = (−4)k − 3k = −3

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Zapis enacbe y = −32x − 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t

2. naloga

• V paketu A placamo za x minut pogovora 25x SIT, zA(x) = 25x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tv paketu B pa za x minut pogovora 5x + 2000 SIT, zB(x) = 5x + 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tZnesek v paketu C se prvih 60 minut ne spreminja in je 1000 SIT,

nato pa se vsako minuto poveca za 10 SIT, zC(x) ={

1000 ; x < 601000 + 10 · (x − 60) ; x ≥ 60

. . . . . . . . . . 1t

Spreminjanje zneskov upodobimo z grafi.(Za vsak graf ali pravilno zapisan pogoj ucenec dobi 1 tocko.)

1000

2000

3000

250

10 20 40 60 100 200 300 320cas pogovora v minutah

skup

nizn

esek

vSI

T

paket A paket Bpaket C

��

��

��

Pojasnilo:

• Ker je cena 60 minut pogovora v paketu A enaka 1500 SIT, v paketu C pa le 1000 SIT, sta cenix minut pogovorov v paketih A in C lahko enaki le, ce je x < 60 in tedaj mora veljati25x = 1000 oz. x = 40. Cena pogovorov v paketu C je ugodnejsa od cene v paketu A odvkljucno 40 minut pogovorov dalje.


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5• Ker je mesecna narocnina na paket B enaka 2000 SIT, sta ceni x minut pogovorov v

paketih B in C lahko enaki le, ce je x > 60 in tedaj mora veljati 1000 + 10(60 − x) = 5x + 2000oz. x = 320. To pomeni, da je cena pogovorov v paketu C ugodnejsa do vkljucno320 minut pogovorov.

• Na mesec moramo govoriti od 40 minut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tdo 320 minut, da bi se splacalo odlociti za paket C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t

3. naloga

a

a

A B

CD

F

E

p1p2

p3

• Oznacimo |AE| = x in |CF | = yp1 = ax

2

• Ker je kvadrat razdeljen na 3 enake dele, velja p1 = a2

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tp1 = ax

2 = a2

3 ⇒ x = 23a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Enak sklep velja za y: p3 = a2

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tp3 = ay

2 = a2

3 ⇒ y = 23a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

x = y = 4 cm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t(Ce ucenec izracuna x in namesto izracuna za y napise x = y zaradi simetrije, dobi vse tocke.)ali druga moznost:• Oznacimo |AE| = x in |CF | = y

p1 = ax2 in p3 = ay

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1t)p2 = a2 − ax

2 − ay2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1t)

• p1 = p3 ⇒ x = y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1t)• p1 = p2 ⇒ x = 2

3a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1t)• x = y = 4 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1t)

5t

4. naloga

• Zoga stane x SIT.Alen prispeva 40 %, torej 0,4x SIT, Crt pa 2000 SIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Razmerje Borisovega prispevka in prispevka ostalih je 3 : 7,torej je Borisov delez 3

10 celotnega zneska oziroma 0,3x SIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t• Ker je razmerje Cenetovega prispevka proti ostalim enako 1 : 4,

da Cene 15 celotnega zneska oziroma 0,2x SIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Zapis enacbe 0,4x + 0,3x + 0,2x + 2000 = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t0,1x = 2000x = 20000

• Cena zoge je bila 20000 SIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t

5. naloga• Vrhovi zvezde tvorijo pravilni sestkotnik, ki

ima stranico enako polmeru kroznice.Ploscina tega sestkotnika je p1 = 6r2

√3

4 = 3√

32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Ker je kot ob vrhu zvezde enak 30◦, je kot ob osnovnici kraka zvezdeenak 75◦, torej se kraka zvezde sekata pod kotom360◦ − 120◦ − 2 · 75◦ = 90◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Ploscina osencenega trikotnika je:p2 = 1

2 · r2

2 = r2

4 = 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Ploscina zvezde je:p = p1 − 6p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• p = 3√

32 − 6 · 1

4 = 3√

3−32 =

3(√

3−1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

5t

9. razred stran 2

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5



22. april 2006

8. razred




1. nalogaPri oblaganju tal s ploscicami ugotovimo, da bi potrebovali 144 kvadratnih ploscic. Po premisleku istatla oblozimo s kvadratnimi ploscicami, ki imajo za 20 % daljsi rob kot prvotne ploscice.Koliko ploscic manj potrebujemo?

2. nalogaGospa Novak je odsla v trgovino, v denarnici pa je imela le bone po 1500 SIT in po 2000 SIT. V papirnicije porabila petino vrednosti bonov, ki jih je imela v denarnici, in racun poravnala z dvema bonoma. Zanakup zivil je nato porabila se polovico preostalih sredstev, za kar je odstela natanko tri bone.Koliksno vrednost bonov je imela gospa Novak, ko je odsla nakupovat?

3. nalogaIzracunaj vrednost neznanke x. Resitev zapisi z okrajsanim ulomkom.

√8

x=(√

288 −√

98)·(√

0,02 +

√412

)

4. nalogaV enakokrakem trapezu ABCD s krakom |AD| = d je osnovnica AB dvakrat daljsa od osnovnice CD.Notranji kot ob ogliscu B meri 75◦. Tocka S razpolavlja osnovnico AB, tocka N pa lezi na kraku AD,tako da je kot <)ANS pravi.• Izracunaj velikosti kotov <)CSB, <)ADS, <)SAD in <)NSD.• Z d izrazi ploscino trapeza.

5. nalogaUgotovi, ali je stevilo 1 + 22006 deljivo s 5. Odgovor utemelji.


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5



22. april 2006

9. razred




a

a

1. nalogaStranica vecjega kvadrata meri a. Z a izrazi ploscino osencenega obmocja.

2. naloga

40

1010

4

Na sliki je 10 m dolg bazen (sosedni robovi so med seboj pravokotni),ostale mere pa so zapisane v dm. Bazen polnimo z vodo, ki priteka shitrostjo 200 litrov na minuto.a) V koliksnem casu se bazen napolni?b) Z grafom prikazi visino vode v bazenu v odvisnosti od casa.c) Kdaj bo voda segala 1,1 m visoko, ce pipo odpremo ob 7h zjutraj?

3. nalogaOsnovnici trapeza merita 50 cm in 30 cm. Krajso osnovnico podaljsamo do tocke M tako, da nosilkadaljice AM razdeli trapez na dva ploscinsko enaka dela. Za koliko cm smo podaljsali osnovnico?

4. nalogaAnja in Blaz barvata vrtno ograjo, sestavljeno iz enako velikih descic. Ko pretece nekaj casa, ugotovita,da je skupno stevilo pobarvanih descic 16.Anja rece Blazu: ”Jaz bi tvoje descice pobarvala v 18 minutah.“Blaz rece Anji: ”Jaz bi tvoje descice pobarval v 50 minutah.“Koliko descic je pobarval vsak od njiju?

5. nalogaGostilnicar hrani v sodu 50 litrov vina, ki vsebuje 12,5 % alkohola. Ponoci mu natakar skrivaj odlijenekaj vina in prilije vodo do vrha soda. Postopek ponovi se enkrat. Odlije enako kolicino kot prej indolije vodo. Naslednje jutro vsebuje mesanica v sodu samo se 8 % alkohola.Koliko litrov tekocine je vsakic zamenjal natakar?


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

RESITVE NALOG 8. razred• Vsako nalogo ocenimo z od 0 do 10 tock.• Vse matematicno in logicno korektne resitve so enakovredne.• Resitve ob korektni uporabi nepravilnega delnega rezultata v

naslednjih korakih ovrednotimo kot pravilne. stran 1

1. naloga

• Rob ploscice oznacimo z a; povrsina, ki jo hocemo tlakovati meri 144a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• Rob vecje ploscice meri 1, 2a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Vecja ploscica ima ploscino 1, 44a2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• Potrebujemo 144a2

1,44a2 = 100 vecjih ploscic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3t

• Odg.: Za tlakovanje je potrebno 44 ploscic manj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

10t

2. naloga

• V papirnici je ga. Novak dala 2 bona, zato je racun znasal vsaj 3000 SIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• Ker je ga. Novak v papirnici dala petino celotne vrednosti,je celotna vrednost bonov znasala vsaj 3000 : 1

5 = 15000 SIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Po nakupu v papirnici ji ostane 45 denarja, za zivila pa porabi 2

5 denarja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• V zivilski trgovini je dala 3 bone, zato je racun znasal najvec 6000 SIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• Ker je ga. Novak v zivilski trgovini dala 25 celotne vrednosti,

je celotna vrednost bonov znasala najvec 6000 : 25 = 15000 SIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Odg.: Celotna vrednost bonov gospe Novak je znasala natanko 15000 SIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

10t

3. naloga

•√

8x =

(√288 −√

98) (√

0,02 +√

92

)•

√8

x =√

5,76 −√1,96 +

√144 · 9 −√

49 · 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

•√

8x =

√1,44 · 4 −√

1,96 +√

144 · 9 −√49 · 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

•√

8x = 1,2 · 2 − 1,4 + 12 · 3 − 7 · 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2t

•√

8x = 2,4 − 1,4 + 36 − 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

•√

8x = 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• x =√

816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• x =√

28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

10t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

54. naloga

A S B

CD

N

d

��

��

��

• Skica z vsemi narisanimi tockami A, B, S, C, D in Nin oznacenim pravim kotom pri N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• <)CSB = 75◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• <)ADS = 30◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• <)SAD = 75◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• <)NSD = 60◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• Ploscina trapeza je trikratnik ploscine

trikotnika �ASD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• pASD = |AD|·|NS|

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• |NS| = d

2 , ker je trikotnik �SNDpolovica enakostranicnega trikotnika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• ptrapeza = 3d2

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

10t

5. naloga

• Stevilo 1 + 22006 je liho, zato se mora nujno koncati s 5, ce naj bo deljivo s 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• 2n se lahko konca z 2, 4, 6 ali 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• S 4 se konca, ce je n = 4k + 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3t

• 2006 = 4 · 501 + 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• Odg.: Stevilo 1 + 22006 je deljivo s 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t

10t

8. razred stran 2

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

RESITVE NALOG 9. razred• Vsako nalogo ocenimo z od 0 do 10 tock.• Vse matematicno in logicno korektne resitve so enakovredne.• Resitve ob korektni uporabi nepravilnega delnega rezultata v

naslednjih korakih ovrednotimo kot pravilne. stran 1

1. naloga

a

a

• Ploscino izracunamo tako, da od vsote ploscin kvadratovodstejemo ploscini krogov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Ploscina vecjega kvadrata je a2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• Ploscina vecjega kroga je πa2

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t• Ploscina manjsega kvadrata je a2

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t• Ploscina manjsega kroga je πa2

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t• Ploscina osencenega obmocja je 3a2

8 (4 − π) ( .= 0,32a2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2t

10t

2. naloga

a) Del bazena do prve stopnice ima prostornino 40000 litrov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tzgornji del pa 20000 litrov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tSkupna prostornina bazena je 60000 litrov, napolni se v 300 minutah ali 5 urah. . . . . . . . . . . . . . . . .2t

b)Δh1 = 10 dm

200 min

Δh2 = 4 dm100 min

}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1t

100 200 300 t [min]

h [dm]

5

10

15

0+

+

+

+

+ + +

��

��

��

A(200, 10)

B(300, 14)

graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

c) Ce hocemo doseci visino 1,1 m, moramo napolniti spodnji inse cetrtino zgornjega dela bazena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tZa spodnji del porabimo 200 minut, za cetrtino zgornjega pa 25 minut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tCe odpremo pipo ob 7.00, bo visina 1,1 m dosezena ob 10.45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

10t


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

53. naloga

A B

MCD

S

��

��

�� • Skica z vsemi vrisanimi oglisci, tocko M in daljico AM 1t• Ploscina trapeza meri 40v (v je njegova visina). . . . . . . . 2t• Ploscina trikotnika �ABS je potem 20v. . . . . . . . . . . . . . . 1t• Visina trikotnika �ABS zato meri 4

5v. . . . . . . . . . . . . . . . . 2t• �ABS ∼ �MCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• a

|CM | = 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• |CM | = 12,5 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t• Odg.: Osnovnico smo podaljsali za 12,5 cm . . . . . . . . . . . . 1t

10t

4. naloga

• Anja pobarva x descic, Blaz pa 16 − x.Cas, ki ga za barvanje ene descice porabi Anja, je 18

(16−x) minut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2tCas, ki ga za barvanje ene descice porabi Blaz, je 50

x minut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• Zapis enacbe: 18x16−x = 50(16−x)

x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2tUreditev enacbe v: x2 − 50x + 400 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tRazcep (x − 40)(x − 10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1tResitvi x = 40 ali x = 10 descic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Izlocitev neustrezne resitve in odgovor: Anja je pobarvala 10 descic, Blaz pa 6 descic. . . . . . . . . . . 1t

10t

5. naloga

• Na koncu morajo biti v sodu se 4 litri alkohola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Koncentracija alkohola v sodu, ko je natakar prvic odlil x l vina in dolil vodo, znasa(50−x)

850 , . . . . 2t

koncentracija alkohola, preden je drugic dolil vodo pa 450−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• Izenacitev obeh koncentracij:(50−x)

850 = 4

50−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Preureditev enacbe v: (50 − x)2 = 1600. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2t

• Edina smiselna resitev x = 10 litrov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

• Odg.: Natakar je vsakic zamenjal x = 10 litrov tekocine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1t

10t

9. razred stran 2

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

43. tekmovanje iz matematikeza Vegovo priznanje

Državno tekmovanje, 21. april 2007

NALOGE ZA OSMI RAZRED

1. V posodi imamo slano raztopino, v kateri je 24 % soli, ostalo pa je voda. Iz posode vsakdan izhlapi 0.5 litra vode. Po treh dneh izhlapevanja vsebuje raztopina že 48 % soli.Koliko slane raztopine je bilo na zacetku v posodi?

2. Enakokrakemu trapezu ABCD z osnovnicama AB in CD lahko vcrtamo kvadrat z ogli-šci E, F , C, D tako, da oglišci E in F ležita na daljši osnovnici AB. Plošcina kvadrataEFCD meri 1.44 m2 in predstavlja 80 % plošcine trapeza. Izracunaj dolžino osnovniceAB.

3. Navijaška skupina se odpravlja spodbujat svoje moštvo na gostovanje. Na pot gredolahko z nekaj kombiji in enim osebnim avtomobilom ali pa z nekaj osebnimi avtomobiliin enim kombijem. V vsakem primeru bi se s kombijem peljalo po 9 oseb, z osebnimavtomobilom pa po 4 osebe. V drugem primeru bi za prevoz potrebovali 10 vozil vec.Koliko navijacev šteje skupina?

4. Z ravnilom in šestilom nacrtaj pravilni osemkotnik, katerega najkrajša diagonala meri85 mm, in konstrukcijo kratko opiši.

5. Za katera realna števila x velja(√

18 −√

8 + x) · (x −√

2)

(√

2 − 1) · (√

2 + 1)< 0?

Cas reševanja: 120 minut.

c© 2007 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni šoli

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5


Državno tekmovanje, 21. april 2007

NALOGE ZA DEVETI RAZRED

1. Pri nas merimo temperaturo v stopinjah Celzija, v ZDA pa v stopinjah Fahrenheita. Vodazamrzne pri 0 ◦C oziroma 32 ◦F, zavre pa pri 100 ◦C oziroma 212 ◦F. Zapiši linearnofunkcijo, ki stopinje Celzija pretvarja v stopinje Fahrenheita.

Pri kateri temperaturi obe lestvici pokažeta isto številsko vrednost?

2. List v obliki pravokotnika, ki ima dimenziji 40 cm × 60 cm, prerežemo po simetrali daljšestranice in dobljena pravokotnika položimo tesno drug na drugega, da se prekrivata. Takpostopek rezanja in zlaganja ponovimo vsega skupaj osemkrat. Vsakokrat prerežemocel kupcek zloženih pravokotnikov. Debelina lista na zacetku je bila 0.1 mm, plasti pasmo stisnili tako, da med njimi ni zraka. Kolikšna je površina tako dobljenega kvadra?Rezultat naj bo na 1 mm2 natancen.

3. V enakostranicnem trikotniku ABC tocka D deli stranico AB na dela z dolžinama|AD| = 2 in |DB| = 3. Na stranici BC leži tocka E, na stranici AC pa tocka F tako, da statudi trikotnika DBE in ADF enakostranicna. Koliko meri plošcina trikotnika DEF ?

4. Imamo tri posode s sokom. V prvi je sok s 24 % sadnim deležem, v drugi je sok s 15 %sadnim deležem, v tretji pa je sadni delež soka enak 35 %. Zmešamo 60 litrov soka,tako da vzamemo iz druge posode 14 ℓ vec kot iz prve, iz tretje posode pa 1

9prostornine

tekocine, ki jo vzamemo iz prvih dveh posod skupaj. Koliko litrov soka vzamemo iz prveposode in koliko odstotkov sadnega deleža je v dobljeni mešanici?

5. Koliko naravnih števil med vkljucno 1 in vkljucno 300 ni deljivih niti z dva niti s tri inniti s pet? Odgovor utemelji.

Cas reševanja: 120 minut.

c© 2007 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni šoli

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5


Drzavno tekmovanje, 21. april 2007

Resitve za 8. razred

1. Na zacetku imamo x litrov slane raztopine in v njej je 0.24x litrov soli. Po treh dnehizhlapevanja se bo kolicina slane raztopine zmanjsala za 1.5 litra, kolicina soli v njejpa bo ostala nespremenjena in bo predstavljala 48 % nove kolicine raztopine. Torej je0.24x = 0.48(x−1.5). Resitev te enacbe je x = 3, zato je bilo na zacetku v posodi 3 litreslane raztopine.

Ugotovitev, da je v posodi z x litri tekocine 0.24x litra soli. . . . . . . . . . . . . . .1 tockaUgotovitev, da se kolicina slanice zmanjsa za 1.5 litra na x − 1.5. . . . . . 1+1 tockaSklep, da je v dobljeni tekocini 0.48(x− 1.5) litra soli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 tockiIzenacitev 0.24x = 0.48(x− 1.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 tockiUrejena enacba 0.24x = 0.72 (ali x = 2x − 3 ali podobno). . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaResitev enacbe x = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaOdgovor: V posodi je bilo 3 litre slane raztopine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka(Ce pride tekmovalec do pravilnega odgovora z napacnimi sklepi, ne dobi tock. Ceodgovor zapise brez utemeljitve, naredi pa preizkus, dobi najvec 3 tocke.)

2.

A BE F

CD

v v

bc bc bc bc

bcbc

Krajsa osnovnica CD trapeza ABCD je stranica vri-sanega kvadrata EFCD, njena dolzina pa je enakavisini v trapeza ABCD. Ploscina trapeza je enaka|AB|+|CD|

2· v = |AB|+|CD|

2· |CD|, ploscina kvadrata pa

|CD|2. Ker je |CD|2 = 1.44 m2, je |CD| = 1.2 m. Kerpredstavlja ploscina kvadrata 80 % ploscine trapeza, je0.8 · |AB|+|CD|

2· |CD| = |CD|2. Ker |CD| 6= 0, iz enacbe

sledi |AB| = 10.4

|CD| − |CD| = 3 − 1.2 = 1.8 m.

Ugotovitev, da je stranica kvadrata enaka krajsi osnovnici CD

in visini trapeza v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 + 1) tocka

Zapis ploscine trapeza |AB|+|CD|2

· v = |AB|+|CD|2

· |CD|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 tockiZapis ploscine kvadrata |CD|2 = 1.44 m2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka

Nastavljena enacba 0.8 · |AB|+|CD|2

· |CD| = |CD|2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 tockiUpostevanje pogoja |CD| 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaIzpeljava zveze 0.4|AB| = 0.6|CD| (ali ekvivalentne). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaOdgovor: |AB| = 1.8 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka

3. V prvem primeru bi se clani navijaske skupine peljali z enim avtom in x kombiji, zatojih je 4 + 9x. V drugem primeru pa bi uporabili 1 kombi in x + 10 osebnih avtomobilov,ker bi v drugem primeru potrebovali 10 vozil vec. Navijacev je tako enako 9 + 4(x + 10).Sledi 4 + 9x = 9 + 4(x + 10), kar nam da x = 9. Ekipa ima 85 navijacev.

Zapis stevila navijacev v prvem primeru: 4 + 9x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 tockiZveza med stevilom kombijev v prvem in avtov v drugem primeru x, 10+x. 2 tocki


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

Zapis stevila v drugem primeru: 9 + 4(x + 10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaIzenacitev: 4 + 9x = 9 + 4(x + 10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 tockiResitev enacbe: x = 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 tockiOdgovor: V skupini je 85 navijacev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 tocka

4. Ce v pravilnem osemkotniku povezemo vsako drugo oglisce, dobimo kvadrat. Dolzinastranice tega kvadrata je enaka dolzini najkrajse diagonale osemkotnika.

Najprej konstruiramo daljico AC, dolgo 85 mm, in njeno simetralo s. Kroznica s srediscemv razpoloviscu S ′ daljice AC in polmerom |AS ′| seka simetralo daljice AC v dveh tockah.Eno izmed njiju oznacimo s S in narisemo kroznico K s srediscem v S in polmerom |AS|.Kroznica K je ocrtana kroznica iskanega osemkotnika. Tocko B dolocimo kot preseciscekroznice K in premice s, preostala oglisca osemkotnika pa dolocimo tako, da upostevamo,da so njegove stranice enako dolge.

46 mm

A C

EG

B

D

F

H

85 mm

S

S ′

s

K

bc bc

bc bc

bc

bc

bc

bc bc

bc

Ugotovitev, da s povezavo vsakega drugega oglisca dobimo kvadrat. . . . . . 1 tockaSklep, da je stranica kvadrata najkrajsa diagonala osemkotnika. . . . . . . . . . . 2 tockiUgotovitev, da ostala oglisca lezijo na sredi med oglisci kvadrata

2

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

na ocrtani kroznici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 tockiKonstrukcija kvadrata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaNarisani diagonali in ocrtana kroznica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 tockiNarisani simetrali stranic kvadrata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaNarisan osemkotnik s stranico dolgo 46 mm (±2 mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka

5. Ker je√

18 = 3√

2,√

8 = 2√

2 in (√

2 − 1) · (√

2 + 1) =√

22 − 12 = 1, lahko zapisemo

(√

18 −√

8 + x) · (x −√

2)

(√

2 − 1) · (√

2 + 1)= (

√2 + x)(x −

√2).

Da bi bila vrednost tega izraza negativna, mora biti en faktor negativen, drugi pa pozi-tiven. Ker je

√2 + x > x−

√2, mora biti

√2 + x > 0 > x−

√2. Iz leve neenakosti sledi

x > −√

2, iz desne pa x <√

2. Torej je −√

2 < x <√

2.

Delno korenjenje√

18 = 3√

2,√

8 = 2√

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaIzracun

√18 −

√8 + x =

√2 + x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka

Izracun imenovalca: (√

2 − 1) · (√

2 + 1) =√

22 − 12 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka

Sklep (√

2 + x)(x −√

2) < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaSklep, da morata

√2 + x in x −

√2 razlicno predznacena. . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka

Sklep√

2 + x > x −√

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaSklep

√2 + x > 0 > x −

√2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 tocka

(Tocko priznajte tudi, ce tekmovalec pogoja√

2 + x > x−√

2 eksplicitno ne zapise,vendar v nadaljevanju ovrze moznost

√2 + x < 0 in x −

√2 > 0.)

Sklep x > −√

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 tockaSklep x <

√2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka

Odgovor: Neenacbo resijo realna stevila x, za katera velja:−√

2 < x <√

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka(Da tekmovalec dobi to tocko, mora pogoja x > −

√2 in x <

√2 zdruziti ali ekspli-

citno zapisati, da veljata hkrati.)

3

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5


Drzavno tekmovanje, 21. april 2007

Resitve za 9. razred

1. Linearno funkcijo, ki pretvarja stopinje Celzija v stopinje Fahrenheita, zapisemo v oblikif(x) = kx + n. Velja f(0) = 32 in f(100) = 212. Iz prvega pogoja vidimo, da je n = 32,iz drugega pa sledi 212 = 100k + 32, kar nam da k = 9

5. Iskana funkcija se glasi

f(x) =9

5x + 32.

Poiscimo se temperaturo, ki bo imela na obeh lestvicah enako stevilsko vrednost: f(x) =x. Sledi x = 9

5x+32, kar preoblikujemo v 5x = 9x+160. Zato je −4x = 160 in x = −40.

Torej je temperatura −40 ◦C enaka temperaturi −40 ◦F.

Zapis iskane linearne funkcije f(x) = kx + n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaZapis pogojev f(0) = 32 in f(100) = 212. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 + 1) tockaIzracun n = 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaUporaba 212 = 100k + 32 in izracun k = 9

5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 + 1) tocka

Zapis funkcije f(x) = 95x + 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka

Zapis pogoja 95x + 32 = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 tocki

Resitev in odgovor: x = −40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka(Odgovor je lahko zapisan v ◦C, ◦F ali brez enote. Ce tekmovalec zapise funkcijo,ki ◦F pretvarja v ◦C, priznajte tocke le za drugi del naloge.)

2.

ba

600 mm

400

mm

Vsak rob prvotnega lista papirja se medrezanjem stirikrat razpolovi. Po za-dnjem rezanju bodo vsi pravokotnikiimeli dolzino a = 600

24 = 752

= 37.5 mmin sirino b = 400

24 = 25 mm. Na-

stalo bo 28 takih pravokotnikov. Ce jihnalozimo drug na drugega, bo visinadobljenega kvadra c = 28 · 0.1 =25.6 mm. Povrsina kvadra je

P = 2(ab + ac + bc) = 5075 mm2.

Ugotovitev, da se vsak rob prvotnega lista papirja stirikrat razpolovi. . . . . 1 tockaIzracun stranic koncnih pravokotnikov (racun mora biti napisan):a = 600

24 = 752

= 37.5 mm, b = 40024 = 25 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 + 2) tocki

Ugotovitev, da pri rezanju nastane 28 pravokotnikov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 tockiIzracun visine kvadra: c = 28 · 0.1 = 25.6 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaPovrsina kvadra: P = 2(ab + ac + bc). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 tockaOdgovor: Povrsina kvadra meri 5075 mm 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka


Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

3.

A D B

C

F

E

2 3

3

23

22

3

bc bc bc

bc

bc

bc

Ker sta ADF in DBE enakostranicna trikotnika, je|DF | = |AD| = 2 in |DE| = |DB| = 3. Sledi|FC| = |AC| − |AF | = 5 − 2 = 3 in |EC| =|BC| − |BE| = 5− 3 = 2. Stirikotnik FDEC je pa-ralelogram, ker ima po dve nasprotni stranici enakodolgi. Ploscina trikotnika DEF pa je enaka poloviciploscine paralelograma FDEC.Racunajmo:

pABC =52√

3

4,

pADF =22√

3

4,

pDBE =32√

3

4,

pFDEC = pABC − pADF − pDBE =(25 − 9 − 4)

√3

4= 3

√3,

pDEF =1

2pFDEC =

3√

3

2.

Ugotovitev, da je stirikotnik DECF paralelogram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 tockiSklep, da meri ploscina trikotnika DEF polovico ploscine paralelograma. . 2 tockiPloscina trikotnika ABC je S = 25

√3

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 tocka

Ploscina trikotnika ADF je S1 = 4√

34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 tocka

Ploscina trikotnika DBE je S2 = 9√

34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaPloscina stirikotnika DECF je S − S1 − S2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 tockiOdgovor: Ploscina trikotnika DEF meri 3

√3

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka

4. Oznacimo z x kolicino soka, ki ga vzamemo iz prve posode. Potem iz druge posodevzamemo x + 14 litrov soka, iz tretje pa 1

9(x + (x + 14)). Ker je

x + (x + 14) +1

9(x + (x + 14)) = 60,

sledi 109(2x + 14) = 60. Torej je 2x + 14 = 54 in x = 20. Iz prve posode vzamemo 20 ℓ

soka, iz druge 34 ℓ in iz tretje 6 ℓ. Sadni delez v mesanici pa potem znasa

0.24 · 20 + 0.15 · 34 + 0.35 · 660

=12

60= 20 %.

Vpeljava neznanke x za kolicino soka, ki ga vzamemo iz prve posode. . . . .1 tockaUgotovitev, da iz druge posode vzamemo x + 14 litrov soka. . . . . . . . . . . . . 1 tockaUgotovitev, da iz tretje posode vzamemo 1

9(x + (x + 14)) litrov soka. . . . . .1 tocka

Zapis enacbe: x + (x + 14) + 19(x + (x + 14)) = 60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka

Resitev: x = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaNastavek za izracun sadnega deleza: 0.24 · 20 + 0.15 · 34 + 0.35 · 6. . (1+1+1) tocka

5

Tek

mov

alne

nal

oge

DM

FA

Slo

veni

jeR

ef. I

D: 9

C6C

1290

8202

B74

BF

AD

5AA

A85

EC

2763

5383

48B

29 /

29.3

.200

8 8:

20:3

5

Izracun sadnega deleza: 0.24 · 20 + 0.15 · 34 + 0.35 · 6 = 12. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaIzracun relativnega deleza 12

60= 20 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tocka

(Ce tekmovalec z x oznaci neznano kolicino soka v drugi ali tretji posodi, ustreznoprilagodite tockovnik.)

5.

stevila, deljiva z 2

stevila, deljiva s 5stevila, deljiva s 3

stevila od 1 do 300

10

4010

20

20

80

40

80

Med prvimi 300 naravnimistevili je 150 deljivih z 2 (vsakodrugo), 100 deljivih s tri (vsakotretje) in 60 deljivih s 5 (vsakopeto). Med temi stevili je 50takih, ki so deljiva z 2 in s 3hkrati (pomeni, da so deljiva s6); 20 je takih, ki so deljiva s 3in s 5 hkrati (torej so deljiva s15) in 30 je takih, ki so deljivaz 2 in s 5 (torej z 10). Vsa tastevila smo steli po dvakrat.Trikrat pa smo steli stevila, kiso deljiva z 2, s 3 in s 5: takihstevil je 10, to so tista, ki sodeljiva s 30. Skupno stevilo naravnih stevil med 1 in 300, ki so deljiva vsaj z enim odstevil 2, 3 in 5 je torej: 150 + 100 + 60 − 50 − 20 − 30 + 10 = 220. To pa pomeni, da 80stevil ni deljivih niti z 2, niti s 3, niti s 5.

Ugotovitev, da je 150 stevil deljivih z 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaUgotovitev, da je 100 stevil deljivih s 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaUgotovitev, da je 60 stevil deljivih s 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaUgotovitev, da je 50 stevil deljivih z 2 in 3 hkrati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 tockaUgotovitev, da je 20 stevil deljivih s 3 in 5 hkrati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaUgotovitev, da je 30 stevil deljivih z 2 in 5 hkrati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 tockaUgotovitev, da je 10 stevil deljivih z 2, 3 in 5 hkrati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 tockaSklep: stevilo naravnih stevil med 1 in 300,ki so deljiva vsaj z enim od stevil 2, 3 ali 5 je150 + 100 + 60 − 50 − 30 − 20 + 10 = 220. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 tockiOdgovor: 80 stevil ni deljivih niti z 2, niti s 3, niti s 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 tocka(Ce tekmovalec zapise ustrezna stevila med 1 in 30 ter njihovo stevilo pomnozi z10, ne utemelji pa pravilnost postopka, priznajte najvec 9 tock.)

6

Documents

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije - MATEMATIKA - FIZIKA · PDF file8. razred 15. maj 1999 15. maj 1999 Čas za reševanje je 120 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno