Diapositiva 1

Ing. Chauca Castillo EduardoCICLO 2015-1A Mdulo:IIUnidad: I Semana: 1 TELECOMUNICACIONES III PROCESOS ALEATORIOS Y ANLISIS ESPECTRALCONTENIDODEFINICIONES BSICAS Procesos aleatorios Estacionalidad y ergodicidadFunciones de correlacin y estacionalidad en sentido amplio Procesos aleatorios complejos

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA Definicin Teorema de Wiener-Khintchine Propiedades de la PSD Frmula general para la PSD de seales digitales Procesos de ruido blanco Medicin de la PSD INTRODUCCIONEn esta parte se examinar los procedimientos matemticos empleados para describir seales y ruido aleatorios.

Las seales aleatorias, o estocsticas, a diferencia de las deterministas, se utilizan para transmitir informacin.

El ruido tambin se describe en trminos estadsticos. Por lo tanto, el conocimiento acerca de las seales y ruido aleatorios es fundamental para la comprensin de los sistemas de comunicaciones.

Los procesos aleatorios son extensiones de los conceptos asociados con variables aleatorias cuando el parmetro de tiempo se agrega al problema. Como se ver, esto habilita la incorporacin de la respuesta de frecuencia dentro de la descripcin estadstica.Esto presenta inmediatamente un dilema al analizar sistemas de comunicacin. Las formas de onda que representan a la fuente no pueden ser determinsticas.

Por ejemplo, en un sistema de comunicacin digital, puede enviarse informacin correspondiente a cualesquier letra del alfabeto espaol. Cada letra puede representarse mediante una forma de onda determinstica, pero cuando se examine la forma de onda emitida por la fuente se encuentra que es aleatoria, ya que no se sabe exactamente qu caracteres se transmitirn.

Por consiguiente, se necesita disear el sistema de comunicacin utilizando una forma de onda de seal aleatoria. El ruido tambin puede ser descrito por una forma de onda aleatoria.

Sin embargo, si representamos la forma de onda de la seal mediante una forma de onda determinista "tpica" se puede obtener la mayora de los resultados esperados, aunque no todos. Por ejemplo, suponga que la fuente de ruido tiene una distribucin gaussiana. Entonces cualquiera de las variables aleatorias se describir mediante

Figura 62 Funciones muestrales de un proceso aleatorio binario.La PDF de primer orden para x(t) se

Cuando x(t) es ergdico el promedio de tiempo es igual al promedio conjunto, as que se obtiene que

En resumen, si un proceso es ergdico, todos los promedios de tiempo y conjunto son intercambiables. Por lo tanto, el promedio de tiempo no puede ser una funcin del mismo, ya que su parmetro se ha promediado.

An ms, el proceso ergdico debe ser estacionario, ya que de otra manera los promedios conjuntos (como los momentos) seran una funcin del tiempo. Sin embargo, no todos los procesos estacionarios son ergdicos.

Ejemplo 6-2 PROCESO ERGDICO ALEATORIOSea un proceso aleatorio dado por

No obstante, parece que los otros promedios de tiempo y conjunto seran iguales, as que se asume que el proceso es ergdico. En general, es difcil demostrar que un proceso es ergdico, as que se asumir que este es el caso si el proceso parece ser estacionario y algunos de los promedios de tiempo son iguales a los promedios conjuntos correspondientes.

Un proceso ergdico debe ser estacionario porque los promedios de tiempo no pueden ser funciones del mismo tiempo. Sin embargo, si se sabe que un proceso es estacionario, ste puede o no ser ergdico.

Funciones de correlacin y estacionalidad en sentido amplioDefinicin. La funcin de autocorrelacin de un proceso real x(t) es

Definicin. Se dice que un proceso aleatorio es estacionario en sentido amplio si

Un proceso estacionario de orden 2 o mayor es estacionario en sentido amplio. Sin embargo, lo contrario no es necesariamente correcto, ya que slo ciertos promedios conjuntos, principalmente aquellos de la ecuacin (6-15), se deben satisfacer para una estacionalidad en sentido amplio origen del tiempo. En la seccin siguiente se formula este resultado rigurosamente, donde se mostrar que la densidad espectral de potencia, PS, la cual es una funcin de frecuencia, es la transformada de Fourier de la funcin de autocorrelacin.

Las propiedades de la funcin de autocorrelacin de un proceso estacionario real en sentido amplio son las siguientes:

para definir una funcin de correlacin apropiada para dos procesos aleatorios. La autocorrelacin puede generalizarse

Definicin. La funcin de correlacin cruzada para dos procesos reales x(t) y y(t) es

Algunas propiedades de las funciones de correlacin cruzada de procesos reales conjuntamente estacionarios son

La primera propiedad proviene directamente de la definicin, la ecuacin (6-19). La propiedad 2 proviene del hecho de que

para cualquier constante real K. Expandiendo la ecuacin (6-23) se obtiene una ecuacin que es una cuadrtica en K:

Para que K sea real se puede mostrar que el discriminante de la ecuacin (6-24) tiene que ser no positivo. Esto es,

donde x(t) y y(t) son conjuntamente ergdicos. En este caso, las funciones de correlacin cruzada y de autocorrelacin de las formas de onda de voltaje o de corriente pueden medirse mediante un circuito electrnico que consiste en una lnea de retraso, un multiplicador y un integrador. La tcnica de medicin se ilustra en la figura 6-3.

Procesos aleatorios complejosEn captulos anteriores se encontr que la envolvente compleja g(t) es de gran utilidad en la descripcin de formas de onda pasabanda. Las seales pasabanda aleatorias y el ruido pueden tambin describirse en trminos de la envolvente compleja, donde g(t) es un proceso aleatorio de banda base complejo.

DEFINICIN . Un proceso aleatorio complejo es

Un proceso complejo es estacionario en sentido estricto si x(l) y y(t) son conjuntamente estacionarios en sentido estricto es decir.

Las definiciones de las funciones de correlacin pueden generalizarse para cubrir procesos aleatorios complejos.

DEFINICIN . La funcin de autocorrelacin para un proceso aleatorio complejo es

Cuando los procesos aleatorios complejos son conjuntamente estacionarios en sentido amplio, la funcin de correlacin cruzada se convierte en

En la seccin 6-7 se utilizarn estas definiciones en la descripcin estadstica de las seales aleatorias pasabanda y del ruido.

donde el subndice T representa la versin truncada. La transformada de Fourier correspondiente es

La potencia promedio normalizada es la energa consumida por unidad de tiempo, de tal forma que la potencia promedio normalizada es

Por supuesto que si x(t) es estacionario en sentido amplio resulta que es u una constante.

A partir de la definicin de la PSD se sabe que

Por lo tanto, se puede observar que la siguiente definicin de la PSD es consistente con aquella dada por la ecuacin (2-66) en dicho captulo.

Definicin. La densidad espectral de potencia (PSD) para un proceso aleatorio x(t) se obtiene de

Teorema de Wiener-KhintchineLa PSD a menudo se evala a partir de la funcin de autocorrelacin para el proceso aleatorio utilizando el siguiente teorema.Cuando x(t) es un proceso estacionario en sentido amplio, la PSD puede obtenerse mediante la transformada de Fourier de la funcin de autocorrelacin:

Demostracin. De la definicin de la PSD,

Figura 6-4 Regin de integracin para las ecuaciones (6-47) y (6-48).

Con la suposicin planteada en la ecuacin (6-46) se observa que la integral del lado derecho es igual a cero, y la ecuacin (6-50b) se reduce a la (6-44), con lo que se demuestra el teorema. La relacin inversa se obtiene directamente de las propiedades de la transformada de Fourier.

An ms, si x(t) no es estacionario se puede todava obtener la ecuacin (6-44)

Si se compara la definicin de la PSD con los resultados del teorema de Wiener-Khintchine se ve que existen dos mtodos distintos para evaluar la PSD de un proceso aleatorio:

1. La PSD se obtiene con el mtodo directo a travs de la evaluacin de la definicin dada por la ecuacin (6-42).

2. La PSD se obtiene empleando el mtodo indirecto a travs de la evaluacin de la transformada de Fourier de Rx(t)9 donde primero se debe obtener el Rx(t).

Propiedades de la PSDAlgunas propiedades de la PSD son:

Estas propiedades se obtienen directamente de la definicin de PSD y del teorema de Wiener-Khintchine.Ejemplo 6-3 EVALUACIN DE LA PSD PARA UNA SEAL DE BANDA BASE POLARSea x(t) una seal polar con datos aleatorios binarios. Una funcin muestral para esta seal se ilustra en la figura 6-5a. Suponga que los datos son independientes de bit a bit y que la probabilidad de obtener un valor binario de I durante cualquier intervalo de bit es de 1 / 2. Obtenga la PSD de x(t).

La seal polar se puede modelar mediante

Figura 65 Seal polar aleatoria y su PSD

GRACIAS