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Teletransportación cuántica
Javier García GILAB, UdG
Sumario
• Vídeo introducción • Mecánica cuántica: repaso rápido • Información & entropía • Protocolo de teleportación cuántica • Estado experimental
Vídeo – introducción
Mecánica cuántica Espacio vectorial de Hilbert H
Dimensión 2
base |0, |1Un vector cualquiera | a|0 b|1(a y b complejos, |a|2 |b|2 1)
Producto directo de espacios de Hilbert
base |0, |1 |0, |1 |0 |0, |0 |1, |1 |0, |1 |1 |00, |01, |10, |11Un vector cualquiera | a|00 b|01 c|10 d|11(a, b,c y d complejos, |a|2 |b|2 |c|2 |d|2 1)
Mecánica cuántica
Cambio de base
base |0, |1 base’ |A, |B|0 |A |B|1 |A |B| a|0 b|1 | a|A |B b|A |B | a b|A a b|B
Mecánica cuántica
Medida
Dado el estado | a|0 b|1 sobre la base |0, |1
Probabilidad de estar en |0 : |a|2
Probabilidad de estar en |1 : |b|2
sobre la base |A, |B
| a b|A a b|BProbabilidad de estar en |A : |a b|2
Probabilidad de estar en |B : |a b|2
Mecánica cuántica
| a|0 b|1 c|0 d|1
Estado cuántico de dos partículas independientes:
Multiplicando y simplificando:
| ca|0 |0 da|0 |1 cb|1 |0 db|1 |1
| ca|00 da|01 cb|10 db|11
Probabilidad de que las dos partículas estén en 0: |ca|2
Probabilidad de que la primera partícula esté en 0 y la segunda en 1: |da|2
Probabilidad de que la primera partícula esté en 1 y la segunda en 0: |cb|2
Probabilidad de que las dos partículas estén en 1: |db|2
Mecánica cuántica
Estado cuántico de dos partículas entrelazadas:
Entrelazado significa que el estado no puede expresarse como producto de estados de una partícula:
| a|00 b|11
a|00 b|11 |0 |1 |0 |1
Implicaciones: No sabemos en qué estado estará la partícula 1 después de una medida, pero si lo hace en el estado 0, entonces la otra partícula también lo estará, y lo mismo ocurre con el 1.
Mecánica cuántica
Base de estados máximamente* entrelazados: ESTADOS DE BELL**
|B0 |00 |11|B1 |10 |01|B2 |00 |11|B3 |10 |01
* La entropía de entrelazamiento es máxima - ** Sin normalizar
Invertimos, cambio de base:
|00 |B0 |B2 |01 |B1 |B3 |10 |B1 |B3 |11 |B0 |B2
Mecánica cuántica Podemos interpretar las medidas como preguntas que se le hacen al sistema. Trabajar en la base de 0’s y 1’s es una posibilidad, pero hay otras. La regla es que la pregunta obliga al sistema a escoger cualquiera de los estados de base posibles. Si tratamos con dos qubits, Podríamos trabajar, por ejemplo, en la base de Bell y preguntarnos en cuál de ellos se encuentra el sistema. Ejemplo:
| |00 |01 |11
| |00 |01 |11 |B0 |B2 |B1 |B3 |B0 |B2 2|B0 |B1 |B3
| 2
6|B0 1
6|B1 1
6|B3
2
6
2
0.66667
1
6
2
0.16667
1
6
2
0.16667
Mecánica cuántica Otro ejemplo con 3 qubits:
| |001 |010
| |00 |1 |01 |0 |B0 |1 |B2 |1 |B1 |0 |B3 |0
Vemos que hay igual probabilidad de que, haciendo una medida sobre los dos primeros qubits, se encuentre en cualquiera de los estados de Bell. Eso sí, si por ejemplo se encontraran en el estado Bo , entonces el tercer qubit necesariamente debería estar en el estado 1. AL REVÉS: Si hiciéramos una medida (normal) en el tercer qubit y diera 1, querría decir que los dos primeros qubits están o bien en el estado de Bell Bo ó B2 .
Estados de base de Bell
Mecánica cuántica
Puerta cuántica U
Transformación unitaria:
a|0 b|1U aU00 bU01 |0 aU10 bU11 |1
de manera que cumpla:
|aU00 bU01 |2 |aU10 bU11 |2 1
Condiciones:
|U00 |2 |U10 |2 1
|U01 |2 |U11 |2 1
U00 U01 U10
U11 0
U01 U00 U11
U10 0
|0
|1
U00
U01
U10
U11
a
b
|1|0a|0 b|1
Puerta NOT
a|0 b|1UNOT
b|0 a|1U00
NOT 0,U01NOT 1,U10
NOT 1,U11NOT 0
Puerta Z
a|0 b|1UZ
a|0 b|1U00
Z 1,U01Z 0,U10
Z 0,U11Z 1
Mecánica cuántica
|0
|1
a
b
|1|0a|0 b|1
1
1
|0
|1
a
b
|1|0a|0 b|1
Puerta NOT
a|0 b|1UNOT
b|0 a|1U00
NOT 0,U01NOT 1,U10
NOT 1,U11NOT 0
Puerta Z
a|0 b|1UZ
a|0 b|1U00
Z 1,U01Z 0,U10
Z 0,U11Z 1
Mecánica cuántica
1
-1
Información & entropía
Que nos ayuda a cuantificar el grado de incertidumbre del experimento. Ejemplos
Supongamos que un experimento puede dar un conjunto finito de resultados con una cierta probabilidad pi. Se define la entropía de la distribución de probabilidad (en bits):
S i1
n
pi log2pi
Blanco 50% Negro 50% [Total incertidumbre]
S 0.5 log20.5 0.5 log20.5 1
Blanco 99% Negro 1% [poca incertidumbre]
S 0.99 log20.99 0.01 log20.01 0.08
Blanco 100% Negro 0% [No incertidumbre]
S 1 log21 0 log20 0
Protocolo de teleportación cuántica
PASO 1: qubit A en un estado desconocido y qubits C y B en B0:
A: | a|0 b|1 CB:|0 |0 |1 |1
| | |0 |0 |1 |1| a|0 b|1 |00 |11| a|000 a|011 b|100 b|111
| |B0 a|0 b|1 |B1 b|0 a|1 |B2 a|0 b|1 |B3 b|0 a|1
Estados de Bell
Protocolo de teleportación cuántica
PASO 2: Medida en los dos primeros qubits, llamada telefónica para
comunicarle a Bob el resultado de la medida y aplicación de puerta cuántica:
|B0 entonces Bob tendrá en su poder: a|0 b|1 por lo que no ha de hacer nada, ya lo tiene!
|B1 entonces Bob tendrá en su poder: b|0 a|1 por lo que ha de hacer un NOT y ya lo tiene!
|B2 entonces Bob tendrá en su poder: a|0 b|1 por lo que ha de hacer un Z, y ya lo tiene!
|B3 entonces Bob tendrá en su poder: b|0 a|1 por lo que ha de hacer un Zy luego un X, y ya lo tiene!
b|0 a|1UZ
b|0 a|1UNOT
a|0 b|1
a|0 b|1
b|0 a|1UNOT
a|0 b|1
a|0 b|1UZ
a|0 b|1
| |B0 a|0 b|1 |B1 b|0 a|1 |B2 a|0 b|1 |B3 b|0 a|1
Protocolo de teleportación cuántica
Información contenida en un qubit: Infinita porque existen infinitos valores para a y b complejos que cumplan |a|2 |b|2 1,
es decir si definimos información como proporcional al número de estados posibles (desconocidos) esto lo cumple.
Por otro lado cuando Alice mide, tiene una incertidumbre de dos bits de información clásica porque:
S n1
4
pn log2pn
n1
4
1
4log
21
4 log
222 2 bits
Comentarios
Es decir, hay cuatro posibles medidas con igual probabilidad cada una.
O sea que con solo dos bits de información clásica podemos transferir
un estado desconocido que tiene infinita información.
Como hace falta un canal clásico no puede transmitir más rápido que la luz.
Es una copia? No porque al hacer la medida bell se destruye el estado original
Es decir solo hay UNO, para que sea una copia debería haber 2 simultaneamente :)
Estado experimental
Idea teórica
Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and EPR Channels
Bennet, Brassard, Crépeau, Jozsa, Asher Peres, Wootters [1993]
Primer experimento (25%)
Experimental quantum teleportation
Zeilinger, A. & cia, Nature [1997]