Tema 1: Análisis vectorial · vectorial Campos Electromagnéticos 2º Curso Ingeniería Industrial ... Operador nabla Delta de Dirac ... Diferencial de volumen: dS dxdzuzx = y G

Curso 2006/2007Dpto. Física Aplicada III - Univ. de

SevillaJoaquín Bernal Méndez 1

Tema 1: Análisis vectorial

Campos Electromagnéticos2º Curso Ingeniería IndustrialDpto.Física Aplicada III

Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 2

Tema 1: Índice (I)

Introducción

Campos escalares y vectoriales

Integrales de los camposCirculación

Flujo

Derivadas de los camposGradiente

Divergencia

Rotacional


Tema 1: Índice (II)

Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricas Operador nablaDelta de Dirac

Tipos especiales de campos:Campos irrotacionalesCampos solenoidalesCampos armónicos

Teorema de Helmholtz


Introducción

Escalar: cantidad caracterizada por su magnitud.Ejemplo: masa de una persona

Vector: cantidad caracterizada por su magnitud, dirección y sentido.Ejemplo: velocidad de un automóvil


Campos escalares (I)

Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud escalar.

Campo de temperaturas: T(x,y,z)

Altitud geográfica: h(x,y)

Campo de densidades de un material

Función debe ser monovaluada


Campos escalares (II)

Representación: Superficies equiescalares

( , , )x y z Cϕ =

-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2

-2-1

0

1

-2

-1

0

1

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4


Campos escalares (III)

Ejemplo: Campo de presiones

( , , )x y z Cϕ =


Campos vectoriales (I)

Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud vectorial.

Campo de gravedad terrestre

Campo de velocidad de un fluido

Campo eléctrico y campo magnético

Ha de ser monovaluada


Campos vectoriales (II)Ejemplo:


Campos vectoriales (III)

Representación: Líneas de campo: curvas tangentes al campo en todo punto

x y z

dx dy dz

F F F= =


Campos vectoriales (IV)

Ejemplo: Campo eléctrico de una carga puntual

Carga positiva


Campos vectoriales (V)

Ejemplo: líneas de campo para dos cargas puntuales

Cargas positivas Cargas de distinto signo

�-q

��q

�q

�q


Integrales sobre campos

Dos tipos de campos: escalares y vectorialesEs posible realizar integrales de línea, superficie y volumen.Dos tipos de integrales nos interesan por su sentido físico:

CirculaciónFlujo


Circulación (I): definición

Integral de línea de un campo vectorial:

,

B

AF dr

γΓ = ⋅∫

Propiedades importantes:El resultado es un escalar

El resultado depende del camino

Ejemplo: trabajo de una fuerza


Circulación (II): sentido físico

Línea cerrada: es una medida del giro del campo

·L

C F dl= ∫

0C =L

0C ≠L

Para un campo de fuerzas: trabajo sobre una curva cerrada


Circulación (III): cálculo

¿Cómo se calcula?

Se parametriza la curva:

Calculamos la integral:

,

B

AF dr

γΓ = ⋅∫

{ }: ( ), t ( , )A Br r t t tγ = ∈

( ( ))B

A

t

t

drF r t dt

dtΓ = ⋅∫


Flujo (I): definición

Integral de superficie de un campo vectorial

Propiedades:Es un escalarDepende de la S escogidaDebe especificarse el sentido de Si la superficie es cerrada: es saliente

SF dsΦ = ⋅∫

ss


Flujo (II): sentido físicoEs una medida de la cantidad de campo que atraviesa una superficie

Ejemplo: campo de velocidades de un fluido

VSΦ =

·V SΦ =·

S

V dSΦ = ∫

d V dSΦ = ⋅


Flujo (III): cálculo

Si parametrizamos la superficie:

Entonces:

Calculamos la integral:

{ }1 2 1 2: ( , ), ( , ), ( , )S r r α β α α α β β β= ∈ ∈

r r

dS d dα βα β

⎛ ⎞∂ ∂= ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( ( , )) r r

F r d dα β α βα β

⎛ ⎞∂ ∂Φ = ⋅ ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫


Resumen

Los campos pueden ser escalares o vectoriales

Para describir los campos escalares se usan las superficies equiescalares.

Para describir los campos vectoriales se emplean las líneas de campo

La circulación mide el giro del campo

El flujo mide cuanto campo atraviesa una superficie


Derivadas de los campos

Del mismo modo que podemos realizar integraciones de campos escalares y vectoriales, podemos derivarlos.

Campos escalares: gradiente

Campos vectoriales: divergencia y rotacional


Gradiente (I)

Para una función de una variable: ( )f x

0

0 0

0

( ) ( ) ( )lim

x

df x f x f x

dx ε

ε

ε→

+ −=

( )f x

xε

0( )f x ε+

0( )f x

La derivada nos informa de la variación de la función con x


Gradiente (II): derivada direccional

¿Cómo expresar la variación de una función de varias variables (c.escalar)?

Hay que especificar la dirección:

vector unitario:

Derivada direccional:

0

( , , ) ( , , )lim x y zx v y v z v x y zd

ds ε

ϕ ε ε ε ϕϕε→

+ + + −=

( , , )x y zv v v v=


Gradiente (III)

Usando el concepto de derivada parcial:

Definición:

Por tanto:

x y z

dv v v

ds x y z

ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

, , vx y z

ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

grad x y zu u ux y z

ϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

d=grad

dsv

ϕ ϕ ⋅


Gradiente (IV): significado físico

gradϕ

v

αEl módulo del gradiente coincide con el valor máximo que puede tomar la derivada direccional en ese punto

La dirección del gradiente coincide con la dirección hacia la que la derivada direccional es máxima (máximavariación de la función p.u.l. en ese punto)

d=grad

dsv⋅

ϕ ϕ

d= grad cos

ds

ϕ ϕ α


Gradiente (V)

Variación de la función al desplazarnos:

El gradiente es perpendicular a las superficies equiescalares en cada punto:

grad gradd v ds drϕ ϕ ϕ= ⋅ = ⋅

0 gradd drϕ ϕ= = ⋅

|grad drϕ −

Cteϕ =

drgradϕ


Gradiente (VI): Resumen

Es un campo vectorial.Su módulo en cada punto nos da el valor de la derivada direccional máxima.Su dirección en cada punto nos indica la dirección de máxima variación de la función.Es perpendicular en todo punto a las superficies equiescalares del campo.


Tema 1: Índice (I)

Introducción



Flujo


Divergencia

Rotacional


Divergencia (I)

Dado un campo vectorial, se define el campo escalar divergencia:

Divergencia en cartesianas:

0

1div ( ) lim

S

F r F dSτ

τ τ∆

∆ →= ⋅

∆ ∫

div ( ) yx zFF F

F rx y z

∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂


Divergencia (II):sentido físico

La divergencia no nula indica fuente o sumidero de líneas de campo

Punto de divergencia no nulaPuntos de divergencia nula


Teorema de la divergencia:

Útil en la evaluación de integrales

Fundamental en el desarrollo teórico de la asignatura

Divergencia (III)

div ( )S

F r d F dSττ

τ = ⋅∫ ∫

z

xySτ

τ


Rotacional(I)

Definición intrínseca:

Cálculo en cartesianas:

0

1rot ( ) lim

S

F r dS Fτ

τ τ∆

∆ →= ×

∆ ∫

rot ( ) y yz x z xx y z

F FF F F FF r u u u

y z z x x y

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Rotacional(I)

Definición intrínseca:

Cálculo en cartesianas:

0

1rot ( ) lim

S

F r dS Fτ

τ τ∆

∆ →= ×

∆ ∫

rot ( )

x y z

x y z

u u u

F r y zx

F F F

∂ ∂ ∂=∂ ∂∂


Rotacional (II):sentido físico

Está relacionado con el giro local de las líneas de campo (torbellinos):

Rotacional no nulo Rotacional nulo Rotacional nulo


Teorema de Stokes:

La curva se recorre siguiendo el criterio de la mano derecha respecto al Útil para:

Evaluación de integralesDesarrollo teórico de la asignatura

rotsS

F dS F drγ

⋅ = ⋅∫ ∫

Rotacional (III)

dSsγ


Divergencia y rotacional: resumen

Derivadas de los campos vectoriales

Divergencia: campo escalar relacionado con la existencia de fuentes o sumideros.

Rotacional: campo vectorial relacionado con los giros locales de las líneas de campo

Teoremas fundamentales:Teorema de la divergencia

Teorema del rotacional


Tema 1: Índice (I)

Introducción



Flujo


Divergencia

Rotacional







Coordenadas curvilíneas

Hasta ahora hemos trabajado en cartesianasA veces los problemas se simplificanusando otro sistemas de coordenadas:

CilíndricasEsféricas

No son las únicas alternativas que existen, pero sí las únicas que nosotros vamos a usar.


Coordenadas cartesianas (I)Asignan a cada punto la distancia a tres planos ortogonales (x,y,z)Líneas coordenadas: rectas paralelas a los ejes de coordenadasSuperficies coordenadas: planos paralelos a los planos coordenados

X

Y

Z

r

xy

z z = cte

y = cte

x = cte

X

Y

Z

x

y

z

•P


Coordenadas cartesianas (II)

Vector de posición:

x y zr xu yu zu= + +

x y zdr dxu dyu dzu= + +

Base vectorial:

Y

X

Z

r0

i j

k

uz

uy

ux

P

Diferenciales de superficie:

xy zdS dxdyu=

Diferencial de volumen:

zx ydS dxdzu=yz xdS dzdyu=

d dxdydzτ =


Coordenadas cilíndricas (I)Fija la posición de P mediante tres parámetros diferentes:

X

Y

Z

r

ρ

z

φ

ρ (coordenada radial): distancia al eje Zφ (c. acimutal): ángulo que la proyección sobre el plano XY forma con el eje Xz (c. vertical): distancia al plano XY

0

0 2π

z

≤ < ∞≤ <

−∞ < < ∞

ρϕ

cos

sen

x

y

z z

===

ρ ϕρ ϕ ρ

φ

x

yX

Y

Z


Coordenadas cilíndricas (II)

z=cte

z

ϕ=cte

ϕ

ρ

ρ=cteX

Y

Z

•P

Líneas coordenadas:ρ: Semirrectas horizontalesφ: Circunferencias horizontalesz: Rectas verticales

Superficies coordenadas:ρ=cte.: Cilindros verticalesφ=cte: Semiplanos verticalesz=cte: Planos horizontales


Coordenadas cilíndricas (III)

Base vectorial

Y

X

Z

r0

ρ

uρ

ux uy

uz

φ uφ

z

uz

P

cos senx y zr u u zuρ ϕ ρ ϕ= + +Vector de posición:

zr u zuρρ= +

zdr d u d u dzuρ ϕρ ρ ϕ= + +

Esta base dependede la posición

Desplazamiento infinitesimal:


Coordenadas cilíndricas (IV)

z=cte

z

ϕ=cte

ϕ

ρ

ρ=cteX

Y

Z

•P


Diferencial de volumen:d d dzdτ ρ ρ ϕ=

cte : dS d dzuρρ ρ ϕ= =

cte : zz dS d d uρ ϕ ρ= =

cte : dS dzd uϕϕ ρ= =

En esta base a veces se usa la variable r en lugar de ρ


Gradiente, divergencia y rotacional en cilíndricas

1grad z

f f ff u u u

z

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ρ ϕρ ρ ϕ

( )1 1div z

F F FF

z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ρ ϕρ

ρ ρ ρ ϕ

1 1rot ( )z z

z

F F FF FF u u F u

z z

∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ϕ ρ ρρ ϕ ϕρ

ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ


Coordenadas esféricas (I)

X

Y

Z

r

φ

θ r

r (coordenada radial): distancia al origenθ (c. polar): ángulo que el vector de posición forma con el eje Z

φ (c. acimutal): ángulo que la proyección sobre el plano XY forma con el eje X

0

0 π

0 2π

r≤ < ∞≤ ≤≤ <θϕ

sen cos

sen sen

cos

x r

y r

z r

θ ϕθ ϕθ

===

ρ

φ

x

yX

Y

Z

ρ

θ z

Z

r


Líneas coordenadas:r: Semirrectas radiales desde el origen

φ: Circunferencias horizontales (paralelos)

θ: Semicírculos verticales (meridianos)

Superficies coordenadas:r=cte.: Esferas concéntricas

φ=cte: Semiplanos verticales

θ=cte: Conos con vértice el origen

Coordenadas esféricas (II)

ϕ=cte ϕ

θ=cte

θr=cte

r

X

Y

Z

•P


Coordenadas esféricas (III)

Base vectorial

Y

X

Z

r0

ρ

ux uy

uz

ur

φ uφ

z

P

uθθ

sen cos sen sen cosx y zr r u r u r uθ ϕ θ ϕ θ= + +

Vector de posición:

Esta base dependede la posición

rr ru=

senrdr dr u rd u r d uθ ϕθ θ ϕ= + +

Desplazamiento infinitesimal:


Coordenadas esféricas (IV)

ϕ=cte ϕ

θ=cte

θr=cte

r

X

Y

Z

•P


Diferencial de volumen:2 send r drd dτ θ θ ϕ=

2cte : sen rr dS r d d uθ ϕ θ= =

cte : sendS r d druθθ θ ϕ= =

cte : dS rd druϕϕ θ= =


Gradiente y divergencia en esféricas

1 1grad

senr

f f ff u u u

r r r

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂θ ϕθ θ ϕ

22

1 1 1div ( ) (sen )

sen senr

FF r F F

r r r r

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ϕ

θθθ θ θ ϕ

(sen ) ( )1 1 1rot

sen sen

1 ( )

rr

r

F rFF FF u u

r r r

rF Fu

r r

ϕ ϕθθ

θϕ

∂ θ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ ∂θ ∂ϕ θ ∂ϕ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂ ∂⎡ ⎤−⎢ ⎥∂ ∂θ⎣ ⎦



Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricasOperador nablaDelta de Dirac




Operador nabla (I): definición

Permite una notación más cómoda.Se define el operador nabla:

Operador diferencial y vectorial:Se aplica a la función a su derechaObedece a las leyes del álgebra vectorial

x y zu u ux y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂


Operador nabla (II)

grad

div

x y z

yx z

u u ux y z

FF FF F

x y z

ϕ ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂ ∂= + + = ∇∂ ∂ ∂

∂∂ ∂= + + = ∇ ⋅∂ ∂ ∂

rot

zyx

yx z

uuu

F Fy zxF F F

∂ ∂ ∂= = ∇×∂ ∂∂


Operador nabla (III)

Nabla puede expresarse en otros sistemas de coordenadas.Las operaciones realizadas con nabla son independientes del sistema de coordenadas.Cualquier identidad que pueda probarse con nabla en cartesianas es válida en otro sistema de coordenadas.


Nabla sobre un producto (I)

Pueden obtenerse campos escalares como producto de campos

Dos campos escalares:

Dos campos vectoriales:

¿Cómo se calcula el gradiente?

ψϕ

F G⋅

( )ϕψ ϕ ψ ψ ϕ∇ = ∇ + ∇

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇

x y zF F F Fx y z

∂ ∂ ∂⋅∇ = + +

∂ ∂ ∂ ( ) ( )F G F G⋅∇ ≠ ∇ ⋅


Nabla sobre un producto (II)

También se obtienen campos vectorialesEscalar y vectorial:

Dos campos vectoriales: F G×Fϕ

( )( )F F Fϕ ϕ ϕ∇ ⋅ = ∇⋅ + ∇ ⋅

( ) ( )F F Fϕ ϕ ϕ∇× = ∇× + ∇ ×

( ) ( ) ( )F G F G F G∇⋅ × = ∇× ⋅ − ⋅ ∇×

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇× × = ∇ ⋅ − ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅∇

Divergencia:

Rotacional:


Nabla sobre un producto: resumen

( )ϕψ ϕ ψ ψ ϕ∇ = ∇ + ∇

( )( )F F Fϕ ϕ ϕ∇ ⋅ = ∇⋅ + ∇ ⋅

( ) ( )F F Fϕ ϕ ϕ∇× = ∇× + ∇ ×

( ) ( ) ( )F G F G F G∇⋅ × = ∇× ⋅ − ⋅ ∇×

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇× × = ∇ ⋅ − ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅∇

Gradiente:

Divergencia:

Rotacional:


Aplicación doble de nabla (I)

Es posible aplicar nabla dos veces, hay 5 posibilidades:

El gradiente es un vector:Divergencia del gradienteRotacional del gradiente

La divergencia es un escalar:Gradiente de la divergencia

El rotacional es un vectorDivergencia del rotacionalRotacional del rotacional

( )ϕ∇ ⋅ ∇( )ϕ∇× ∇

( )F∇⋅ ∇×( )F∇× ∇×

( )F∇ ∇⋅


Aplicación doble de nabla (II)

2 2 22

2 2 2( )

x y z

ϕ ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂ ∂∇ ⋅ ∇ = + + = ∇

∂ ∂ ∂( ) 0ϕ∇× ∇ =

( ) 0F∇⋅ ∇× =

2( ) ( )F F F∇× ∇× = ∇ ∇ ⋅ −∇

( )F∇ ∇⋅

Laplaciano2( )∇

Aparece poco2¡ ( ) ( ) !F F F∇ ∇⋅ ≠ ∇ ⋅∇ = ∇

Muy importante

Muy importante

Ya definidas







Función delta de Dirac (I)

Supongamos el campo vectorial:

Es radial y saliente, pero:

Ahora bien, integrando en una esfera (R):

2 3ru r

vr r

= =

22 2

1 10v r

r r r

∂ ⎛ ⎞∇ ⋅ = =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

2 220 0

sen 4rr

S

uv d v dS u R d d

Rτ

π π

τ

τ θ θ ϕ π∇⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫Teorema de la divergencia


Función delta de Dirac (II)El problema está en

En resumen, la función cumple:

Hemos “encontrado” una función peculiar: la delta de Dirac

0r =2

2 20

1 1¡¡ !!

r

v rr r r =

∂ ⎛ ⎞∇ ⋅ = = ∞⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

2ru

r∇⋅

2 2

0 0 con 4

0r r

ru ud

rr rτ

τ π≠⎧

∇ ⋅ = ∇ ⋅ =⎨∞ =⎩∫


Función delta de Dirac (III)Función delta de Dirac monodimensional:

Distribución: límite de una sucesión de funciones

-

0 0( ) con ( ) 1

0

xx x dx

xδ δ

∞

∞

≠⎧= =⎨∞ =⎩

∫

2

2

0 0

1( ) lim ( ) lim e

π

x

x x−ε

εε→ ε→δ = δ =

ε


Función delta de Dirac (IV)

0

1

2

3

4

5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

δε(x

)

x

ε=1ε=0.5ε=0.25

ε=0.125

2

2εε

1( ) e

ε π

x

xδ−

=


Función delta de Dirac (IV)Producto por una función:

Es suficiente que el intervalo de integración incluya el máximo:

El máximo de la delta puede desplazarse:

( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0)x f x x f x f x dx f∞

−∞

= ⇒ =∫δ δ δ

( ) ( ) (0)x f x dx f−

=∫ε

ε

δ

( ) ( ) ( )x a f x dx f a∞

−∞

− =∫ δ


z

x

y

τ

Función delta de Dirac (V)Delta de Dirac tridimensional:

En general:

3( ) ( ) ( ) ( )r x y zδ δ δ δ=

( )( ) ( )

0

a ar r a d

aτ

ϕ τϕ δ τ

τ∈⎧

− = ⎨ ∉⎩∫

3( ) ( ) ( ) ( )x y zr a x a y a z aδ δ δ δ− = − − −

a

a


Función delta de Dirac (VI)

Volviendo a la función

Podemos escribir:

2ru

r∇⋅

2 2

0 0 con 4

0r r

ru ud

rr rτ

τ π≠⎧

∇ ⋅ = ∇ ⋅ =⎨∞ =⎩∫

24 ( )ru

rr

πδ∇ ⋅ =

003

0

4 ( )r r

r rr r

πδ⎛ ⎞−

∇ ⋅ = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠0

30 0

1 r r

r r r r

⎛ ⎞ −∇ = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠2

00

14 ( )r r

r rπδ

⎛ ⎞∇ = − −⎜ ⎟−⎝ ⎠







Campos vectoriales que cumplen:

Propiedades:

Deriva de un potencial:

Campos irrotacionales

0F∇× =

0F drγ

⋅ =∫

1 2, ,

B B

A A

F dr F drγ γ

⋅ = ⋅∫ ∫

F = −∇ϕA

B

1γ2γ

( ) 0S

F dr F dSγγ

⋅ = ∇× ⋅ =∫ ∫


Campos vectoriales que cumplen:Propiedades:

Flujo cte en tubos de campo:

Deriva de un potencial vectorial:

Campos solenoidales0F∇⋅ =

0S

F dSτ

⋅ =∫

1 2

1 2

si s s

S S

F dS F dS⋅ = ⋅ γ = γ∫ ∫

F A= ∇×

0S

F dS F dτ τ

⋅ = ∇⋅ τ =∫ ∫

S1

S2

SL

2dS

1dS1 2s sγ = γ


Tipos de campos vectoriales

0

0

F

F

∇⋅ ≠

∇× ≠

Campo irrotacional

Campo solenoidal

Solenoidal e irrotacional

0

0

F

F

∇⋅ ≠

∇× =

0

0

F

F

∇⋅ =

∇× ≠

0

0

F

F

∇⋅ =

∇× =


Campos armónicos

Campos escalares que cumplen:

Ejemplo: Sea un campo vectorial irrotacional y solenoidal:

2 0∇ ϕ = Ecuación de Laplace

0F∇× = F⇒ = −∇ϕ

0F∇⋅ = ( ) 0⇒ ∇⋅ −∇ϕ = 2 0⇒ ∇ ϕ =

Caso práctico: campo electrostático en una región sin fuentes







Teorema de Helmholtz (I)

Dado podemos calcular: y

¿Podemos calcular dados y ?

Supongamos:Fuentes escalares

Fuentes vectoriales

Si la información es insuficiente: muchas soluciones

Si la información es excesiva: puede no existir solución

F∇⋅ F∇×F

F F∇⋅ F∇×

F∇⋅ = ρF c∇× = ( 0)c∇⋅ =


Teorema de Helmholtz: enunciado

El sistema con definido en todo el espacio con:

Tiene solución única dada por:

con:

;F∇⋅ = ρ F c∇× = 0c∇⋅ =

2 2lim ( ) 0 ; lim ( ) 0 ; lim ( ) 0r r r

r r r c r F r→∞ →∞ →∞

ρ = = =

F A= −∇ϕ+∇×

1 1

1

1 ( )( ) y

4 esp

r dr

r r

ρ τϕ =

π −∫ 1 1

1

1 ( )( )

4 esp

c r dA r

r r

τ=

π −∫potencial escalar potencial vector

punto campopunto fuente


Tema 1: Índice (I)

Introducción



Flujo


Divergencia

Rotacional



Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricasOperador nablaDelta de Dirac



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