GRAVITACIÓN

Isaac Newton1643 -1727

Claudio Tolomeo Siglo II a.C.

Nicolás Copérnico1473 – 1543

Johannes Kepler1571 – 1630

1. MODELOS DEL UNIVERSO

INTRODUCCIÓNLas primeras teorías sobre el origen y funcionamientodel Universo aparecen en la antigua Grecia. Losfilósofos y astrónomos griegos emiten las primerasteorías racionales sobre la forma de la Tierra y suposición en el Universo.Así la idea de una Tierra esférica se debe a Filolao deTarento (siglo V a.C.), era el único modelo capaz deexplicar la desaparición gradual del casco y vela de losbarcos tras el horizonte y el que la sombra que laTierra proyecta sobre la Luna en los eclipses seacircular.

1.1 MODELO GEOCENTRICOEn el siglo IV a.C. Platón elaboró una teoría del

Universo basada en los siguientes axiomas:• La Tierra esférica. Ocupa el centro del Universo• Los cuerpos celestes son de carácter divino y se

mueven en torno a la Tierra con movimientoscirculares uniformes

Esta teoría es conocida el nombre de TeoríaGeocéntrica del Universo.Esta teoría no explicaba las observaciones de los rizosque los planetas describían en el cielo.Para explicar estos rizos, Eudoxo de Cnido amplía elmodelo de Platón, introduciendo la teoría de las esferas.Según esta teoría, cada astro gira en torno a la Tierrallevado por una o mas esferas transparentesconcéntricas con la Tierra.

Para la Luna, el Sol y las estrellas fijas le bastaba unaesfera. Para los movimientos mas complejos de losplanetas eran necesarias mas de una esfera para cadaplaneta. Eudoxo explicó todo el Universo conocidoentonces con 27 esferas.

Aristóteles, siglo IV a.C., acepta los axiomas de Platón yañade que el Cosmos está dividido en dos partes, elmundo sublunar y el mundo supralunar. El mundosublunar comprende todo lo que se encuentra bajo laórbita de la Luna, o sea el mundo terrestre de loscambios y de los movimientos de todo tipo.

El mundo supralunar es de armonía perfecta y los planetas son esferas que giran, contenidos en esferas transparentes, con movimiento rectilíneo y uniforme.

El modelo de Aristóteles se encontró con dosdificultades importantes.

1. Los cuerpos celestes no salen, ni se ponen, siempreen el mismo punto del horizonte.

2. El cambio de brillo de los planetas no eraexplicable si la distancia de estos a la Tierra eraconstante.

En el siglo II a.C., Hiparco de Nicea, estudió elmovimiento del Sol, y observó que este no tienesiempre la misma velocidad.

Propuso un modelo en el cualel Sol se mueve en un círculo,epiciclo; el centro del epicicloa su vez se mueve en torno ala Tierra, describiendo otrocírculo llamado deferente.

En el siglo II de nuestra era, Claudio Ptolomeocontinuó el trabajo de Hiparco, pero necesitó postularla existencia de 40 circulos encajados unos dentro deotros y girando al mismo tiempo. Este sistemareproducía los movimientos observados de los planetascon bastante exactitud, pero las curvas que estosdescribían eran complejas y además no fue capaz dedar una explicación física de ellos.

El modelo de Ptolomeo fue aceptado durante más de mil años.

1.2 MODELO HELIOCÉNTRICO

El primer modelo heliocéntrico conocido se debe aAristarco de Samos, siglo III a.C., sugirió que podríaresultar un esquema simple del Universo si se colocaseal Sol en el centro de este, y si la Tierra, La Luna y loscinco planetas conocidos hasta entonces girasen a sualrededor en orbitas circulares con distintasvelocidades.Esta representación heliocéntrica permite explicarpor qué los planetas poseen diferente brillo a lo largodel año, pues su distancia a la Tierra también esvariable.Este modelo no llegó a tener éxito dado el enormeprestigió alcanzado por Aristóteles defensor delmodelo geocéntrico.

Copérnico, a principios del siglos XVI , elaboró unmodelo del Universo colocando al Sol en su centro y alos planetas, incluida la Tierra, describiendomovimientos circulares uniformes en orbitas epiciclosy deferentes manteniendo lo postulado por Tolomeo.Postuló el movimiento de rotación de la Tierra y lainclinación del eje de giro.

Pasó mas de un siglohasta que el modeloheliocéntrico tuviese unaaceptación total porparte de los científicos.

En la aceptación definitiva del modelo heliocéntricodesempeñó un papel importante Tycho Brahe (1546-1601), determinó con bastante precisión las posicionesde los planetas, antes de la invención del telescopio. Esteastrónomo, sin embargo, seguía siendo un gran defensorde la teoría geocéntrica.El descubrimiento del telescopio por Galileo Galilei, en1609 confirmó la teoría y marcó las pautas para lasmodificaciones introducidas posteriormente por Kepler.http://www.cervantesvirtual.com/historia/th/teorias_cientificas.shtmlhttp://www.natureduca.com/cosmos_teorias2.phphttp://www.slideshare.net/conynetgromis/teoria-geocentrica-y-heliocentrica

2.- FUERZAS CENTRALES

2.1 MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULAEN MOVIMIENTO

2.1.1 Momento de una fuerza respecto a un puntoAl abrir o cerrar una puerta, hacemos una fuerza sobreella y lo normal es que la hagamos a la altura de lamanilla pues la experiencia nos dice que no es lo mismo aesta altura que en un punto mas próximo al eje de giro.También la experiencia nos dice cual es la dirección paraque la acción de la fuerza se mas eficaz, solemosempujar en dirección perpendicular al plano de la puerta.Este efecto de giro se estudia en física por unamagnitud que llamamos momento de una fuerza.

Se define el momento de una fuerza, MO,respecto a un punto O, como el producto vectorialdel vector posición que une el punto O con el puntode aplicación de la fuerza, r, por el vectorfuerza, F,

MO = r λ F

Se trata de unamagnitud vectorialperpendicular a losvectores r y F, cuyosentido viene dadopor la regla delproducto vectorial(sacacorchos)

Teniendo en cuenta que cada vector lo podemosexpresar por medio de componentesr = x . i + y . j + z . kF = Fx . i + Fy . j + Fz . K

i j kMO = r λ F = x y z =

Fx Fy Fz

(y . Fz – z . Fy) . i - (x . Fz – z . Fx ) . j + (x . Fy – y . Fx) . K

Y el modulo del momento de la fuerza será:MO = r . F . sen α

La unidad del momento en el S.I. será m . N, que nodebe confundirse con el julio (también es N . m). Eltrabajo es una magnitud escalar mientras que elmomento es una magnitud vectorial.

2.1.2 Momento lineal y momento angularEl curso pasado se definió, al estudiar losmovimientos de translación, una magnitud física quellamamos momento lineal o cantidad de movimiento,p, capaz de medir la capacidad de los cuerpos, enmovimiento rectilíneo, de ejercer fuerzas sobre otrosque se encuentren en su camino.Es una magnitud vectorial que se define como elproducto de la masa del cuerpo, m, por su velocidad,v.

P = m . v

Tendrá por dirección la del vector v y por sentido el mismo de v. Su modulo será: p = m . v

p1

p2

En movimientos de rotación el papel del momento lineallo ejerce una nueva magnitud, llamada momentoangular o cinético.El momento angular de una partícula, L, de masam, que describe un movimiento de rotaciónalrededor de un punto, O, se define como elmomento de su momento lineal, p, o cantidad demovimiento respecto a dicho punto O.

p

L = r λ P = r λ (m.v)Es un vector perpendicular al plano formado por r y p. Su modulo será:

L = m . r . v . sen αSerá positivo si el movimiento es de sentido contrario a las agujas del reloj y negativo en caso contrario

2.1.3 Variación del momento angular con el tiempoSupón una partícula de masa m sobre la que actúa unafuerza F. Debido a esta fuerza la partícula describe unmovimiento de rotación alrededor de un punto O

El momento angular de la partícula respecto a O es:

L = r λ pLa variación del momento angular con el tiempo, es:dL ‗ d (r λ p) ‗ dr λ p + r λ dpdt dt dt dtEn esta expresión el terminodr λ p ‗ 0 pues su modulo es cero dtya que dr/dt = v y v y p son vectores paralelos v λ p = v . p . sen 0 = 0

F

luego dL ‗ d (r λ p) ‗ r λ dpdt dt dt

Pero además tenemos que: dp ‗ d(m.v) ‗ m . dv + v . dmdt dt dt dt

En donde v . dm/dt = 0 pues la masa no varía con el tiempo (dm/dt = 0) y dv/dt = a

luego tenemos que dp ‗ m .a = Fdt

Por tanto dl ‗ r λ F = M0dt

La variación que experimenta el momento angular altranscurrir el tiempo coincide con el momento,respecto a un punto O, de la fuerza aplicada

2.1.4 Teorema de conservación del momento angularSi el momento de las fuerzas que actúa sobre una partícula es nulo, entonces la expresión:

dL ‗ r λ F =M0 = 0 → L = ctedt

Si el momento angular de una partícula permanececonstante, el momento de la fuerza aplicada sobre lapartícula es nulo.

Esto sucede bien cuando r = 0,bien cuando F = 0 o tambiéncuando r λ F = 0. Para que se deesta ultima circunstancia r y Ftienen que tener la mismadirección, entoncesr λ F = r . F sen 0º = 0Las fuerzas que cumplen esta

ultima condición reciben el nombre de fuerzas centrales

2.2 ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LADINÁMICA DE ROTACIÓN

Supongamos una partícula de masa m que efectúa unmovimiento circular. Si la partícula gira con velocidadangular ω, al se la velocidad lineal, v, tangente a latrayectoria y el vector r perpendicular a ella, resulta:

L = r λ m . v y su módulo es:L = r . m . v. sen 90º = m . r . v == m . r . (r . ω) = m . r2 . ωEl producto m.r2 recibe elnombre de momento de inerciade la partícula y se representapor I. La expresión anteriorqueda en la forma:

L = I . ω → L = I . ω

m

ω

Recuerda que: v = ω λ r

Observa que el momento de inercia I es una magnitud escalar. Su unidad en el S.I. es kg .m2

Si ahora estudiamos como varía la expresión anterior del momento angular con el tiempo, es decir derivamos dicha expresión respecto a t tenemos:

dL ‗ MO ‗ d (I . ω) ‗ I . dωdt dt dt

Si tenemos en cuenta que: dω ‗ αdt

Resulta que la ecuación fundamental de la dinámica de rotación es:

MO = I . α

3. LEYES DE KEPLER

Basándose en las observaciones realizadas por TichoBrahe y en las suyas propias, Kepler formuló las tres leyesque llevan su nombre y que sirven para justificar elmodelo heliocéntrico del Universo.• Primera ley de KeplerLos planetas describen orbitas elípticas alrededor delSol, estando este situado en uno de los focos de laelipse

• Segunda ley de KeplerLos radio vectores que unen los planetas con el Solbarren áreas iguales en tiempos iguales. La relaciónque existe entre el área barrida por el radio vector y eltiempo que tarda en recorrerla se denomina velocidadareolar. dA/dt = vareolar

Ley de las áreas: si el tiempo que tarda el planeta en ir de P1 a P2 es el mismo que el que tarda en ir de P'1 a P'2, las áreas A1 y A2 son iguales.

• Tercera ley de KeplerEl cuadrado del período de la órbita de cualquierplaneta es proporcional al cubo del semieje mayor dela orbita elíptica.Si T es el período de la órbita, y si a es el semieje mayor de la elipse, entonces la expresión matemática de la 3ª ley de Kepler es:

T2 = K.a3

K se conoce como constante de Kepler. Su valor es elmismo para el movimiento de cualquier planeta alrededordel Sol, y puede calcularse conociendo el T de un planeta;por ejemplo para el movimiento de la Tierra alrededor delSol es cierto que, T = 365,25 días = 1año y a = 149. 106

Km, que se conoce como unidad astronómica (U.A). Demodo que reemplazando en la Tercera ley de Kepler: K =T2/a3 = (1 año)2/(1 U.A.)3 = 1 año2/U.A.3

A partir de esta ley, conocidos el semieje mayor de laórbita terrestre y el periodo de rotación alrededor delSol, y además el periodo de rotación de otro planeta,podemos calcular el semieje mayor de este planetarespecto al Sol

http://newton.cnice.mec.es/2bach/campo_gravitatorio/grav_kepler.htm?0&2

4. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

En su teoría de la gravitación universal Isaac Newton (1642-1727) explicó las leyes de Kepler y, por tanto, losmovimientos celestes, a partir de la existencia de unafuerza, la fuerza de la gravedad, que actuando a distanciaproduce una atracción entre masas. Esta fuerza de gravedades la misma fuerza que en la superficie de la Tierradenominamos peso.Newton demostró que la fuerza de la gravedad tiene ladirección de la recta que une los centros de los astros y elsentido corresponde a una atracción. Es una fuerzadirectamente proporcional al producto de las masas queinteractúan e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia que las separa. La constante de proporcionalidad,G, se denomina constante de gravitación universal.

Expresión vectorial de la ley degravitación universal. El signomenos indica que el sentido de lafuerza es contrario al del vectorunitario uur,r, como puede verse en lafigura.

4.1 Constante G

Newton no pudo medir la constante de gravitaciónuniversal, G, al no disponer de instrumentos que lohiciesen posible. Su valor lo calculó en 1798 Cavendish.

Para ello utilizó una balanza de torsión en la que la barrahorizontal que separaba las masas pequeñas medía 1,80m de longitud. Dicha barra estaba suspendida en supunto medio de un hilo metálico muy fino que llevabaadherido un espejo, en el que se reflejaba un rayo de

luz, que posteriormenteincidía sobre una escalagraduada.En los extremos de lavarilla colocó dos masasde 739 g cada una yaproximo a cada extremomasas de plomo de 159kg., esto hizo, según laley vista que, el sistemaformado por la varilla y la

dos masas pequeñas girase, al ser atraídas por las masas de plomo.

Ese giro producía una torsión en el hilo metálico quehacía girar el espejo. Entonces, el rayo de luz sedesviaba e incidía sobre otro punto de la escalagraduada, lo que permitía calcular el ángulo de giro, conél, calculó el momento de la fuerza que mueve el pénduloy en consecuencia la fuerza de torsión aplicada sobre elhilo metálico, que es la debida a la interaccióngravitatoria entre las masas.De este modo despejando G de la ecuación de

gravitación G = F. r2 /M . m se obtuvo el valorG = 6,67 . 10-11 N.m2/kg2

La ecuación de dimensiones de G es:[G] = [F.r2/m2] = M . L . T-2 . L2 / M2 = M-1 . L3 . T-2

G representa la fuerza con que se atraen dos masade un kg al situarlas a un m de distancia.El valor tan pequeño de G explica porque la fuerza de lagravedad solo es apreciable cuando alguno de los cuerposimplicados tiene gran masa.

4.2 Periodo de revolución de un planeta

Se define como el tiempo que tarda un planeta en completar su orbita alrededor del Sol.

El cálculo del periodo de revolución de los planetas puede hacerse de dos formas:

1. Utilizando la tercera le de Kepler: T2 = K . a3

Siempre que conozcamos además del radio de su orbita,el periodo de revolución de otro planeta y su radio (sesuponen siempre orbitas circulares con el módulo de lavelocidad constante). T2 / r3 = T1

2 / r13

2. Considerando que la fuerza que produce el movimiento(fuerza gravitatoria) es una fuerza central y portanto está dirigida hacia el centro, se trata pues deuna fuerza centrípeta, pudiéndose establecer laigualdad: FG = FC

G . MS . mP ‗ mP . v2

r2 rSimplificando y despejando v tenemos:

v = (G . MS / r)1/2

Y como T = 2πr / v Sustituyendo v nos queda:

T = 2πr / (G . MS / r)1/2

4.3 Interacción de un conjunto de masas puntuales. Principio de superposición

La interacción gravitacional entre dos cuerpos se manifiesta como una pareja defuerzas iguales en modulo y dirección, pero con sentido contrario, cada una de ellas

actuando sobre un cuerpo distinto. (Principio de ac.y re.)

2 1

u1 u2

Así podemos poner, teniendo en cuenta la figura que:F1 = - F2 o que F1 = F2

Pero ¿que sucederá si son varios los cuerpos que interaccionan entre sí?

Supongamos tres masas puntuales m1, m2 y m3, la fuerza gravitatoria conjuntaque ejercen las dos primeras sobre la tercera es igual a la suma vectorial de la fuerza que ejercería la primera sobre la tercera si la segundano estuviera presente más laque induciría la segunda sobrela tercera si no existiera la primera masa.

Es decir:

Sería posible escribir ecuaciones similares para cualquier otra combinación de las fuerzas y las masas que intervengan. Principio de Superposición de fuerzas : la fuerza que ejerce un cuerpo sobre otro es independiente de la que ejercen los demás.

5. CONCEPTO DE "CAMPO“Surge el concepto de la necesidad de explicar la formade interacción entre cuerpos en ausencia de contactofísico. La acción a distancia se explica entonces,mediante efectos provocados por la magnitud causantede la interacción, sobre el espacio mismo que la rodea,permitiendo asignar a dicho espacio propiedadesmedibles

Diremos que en una región del espacio existe uncampo si en cada punto de dicha región se puede, encualquier instante, asignar un valor a una magnitudfísica.Ejemplos de campos son: a) el gravitatorio de fuerzas,creado por una masa capaz de provocar perturbacionessobre otras masas que están en una determinada regióndel espacio. Es siempre de atracción.b) El eléctrico de fuerzas, creado por una cargaeléctrica cuando actúa sobre otras cargas situadas enuna determinada región del espacio. Puede ser deatracción o de repulsión.Para definir un campo se utilizan magnitudes queadquieren un valor concreto en cada punto del espacio ydel tiempo.Dependiendo de cómo sea la magnitud que define laperturbación tenemos:

5.1 Campos escalares

Se llaman así a los campos cuando la magnitud físicaque mide la perturbación es escalar. Por ejemplo uncampo de temperaturas o de presiones

Campo escalar de temperatura en una habitación

En la figura se muestranlíneas o contornos detemperatura constante,(isotermas); por ejemplola temperatura es T1 entodos los puntos delcontorno T1, sombreadoen color azul.

5.2 Campos vectoriales

Son los campos en los que se determinan magnitudesfísicas vectoriales. Es el caso de los campos de fuerzas,velocidades, aceleraciones etc.

Campo vectorial representantede las velocidades de un fluidoUn campo vectorial se definemediante líneas de campo, queson líneas tangentes en cadapunto a la magnitud vectorialque define el campo. Veremossus representaciones al irestudiando los diferentescampos.

B BWA (I) = ∫A F . dr

A AWB (II) = ∫B F . dr

B AWA = WB → Campo conservativoPuede también definirse diciendoque el trabajo realizado por lasfuerzas del campo para trasladaruna partícula a lo largo de unalínea cerrada es cero

∫c F . dr = 0

5.3. Campos conservativosUn campo de fuerzas es conservativo si el trabajoque realizan las fuerzas del campo para trasladaruna partícula de un punto A a uno B depende delpunto inicial y final y no del camino seguido.

5.4 Fuerza conservativa

Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dichafuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial yfinal de una función que solo depende de lascoordenadas. A dicha función se le denomina energíapotencial.

Ejemplo: El peso es una fuerza conservativaCalculemos el trabajo de la fuerzapeso F=-mg j cuando el cuerpo sedesplaza desde la posición A cuyaordenada es yA hasta la posición Bcuya ordenada es yB.

h

B B B

W = ∫ F . dr = ∫ -mgj . (dxi + dyj) = ∫ - mgdy = (mgyA –mgyb) =

A A A

= mg (yA – yB) = mghEsta expresión de la energía potencial es válida para alturaspequeñas respecto al suelo, pues puede considerarse lagravedad constante sin apenas cometer error.

6.- ENERGÍA POTENCIAL EN UN PUNTO

Como el valor de g no es constante dentro de un campogravitatorio (mas adelante lo veremos), la energía potencialen cada punto de un campo va a tener diferentes valores.Para calcularla utilizamos el concepto de fuerzasconservativas, donde el trabajo realizado para llevar unamasa de un punto a otro del campo es la diferencia entre losvalores inicial y final de la energía potencial

Vamos a calcular el W para llevar una masa m desde un punto A a otro B dentro del campo gravitatorio que como sabemos es un campo central conservativo.

Fdr

Sabemos que W = - ΔEp = EpA-EpB entonces:EpA- EpB = -G.M.m.(1/rA - 1/rB).Es la variación de la Ep que hasufrido el cuerpo cuando hapasado del punto A al B

2

Para obtener la Ep relativa a un punto del campo hayque fijar un sistema de referencia que asigne 0 al valorde la Ep.Se elige el ∞. Si llevo B al infinito rB = ∞ → 1/rB = 0Sustituyendo en la expresión anterior tendremos:

EpA – 0 = - GMm/rA - 0 Obtenemos la expresión de la energía potencial en un punto:

EpA = - GMm/rA

Todas las fuerzas centrales son conservativas. Por tanto,cada una de ellas admite la definición de una energíapotencial.Los sistemas tienden siempre a estados en los que laenergía potencial es menor. Los procesos espontáneosse producen, por tanto, con una disminución de laenergía potencial.

Cuando se trata de campos gravitatorios creados pormas de una masa, m1, m2, m3, … mn. La energía potencialen un punto A de masa m’ cumple el principio desuperposición, es decir que la energía potencial totales la suma de las energías potenciales debidas a cadamasa: i=n

EpA = Epm1 + Epm2 + Epm3 + … Epn = ΣEpii=1

6.2 Energía mecánica: Conservación

La energía mecánica de un cuerpo que se mueve dentrode un campo gravitatorio es la suma de sus energíascinética y potencial: Em = Ec + EpLa variación de energía mecánica entre dos puntos A yB, será entonces:

ΔEm = ΔEc + ΔEpAcabamos de ver que: WAB = - ΔEp = EpA - EpB

Por otra parte si calculamos el trabajo que una fuerza, F realiza sobre el cuerpo para desplazarlo desde A a B, siguiendo una determinada trayectoria C.

Desarrollando la definicióny aplicando la segunda leyde Newton:

FT

FR

Sustituyendo el valor del módulo de la aceleracióntangencial

finalmente queda:

Teniendo en cuenta que la expresión que aparece en elsegundo miembro de la ecuación anterior es la energíacinética:

El trabajo que realiza una fuerza sobre unapartícula es igual a la energía cinética transferida ala misma: Teorema de las fuerzas vivas

El teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía cinética, es valido para todo tipo de movimiento y para todo tipo de fuerzas , es por tanto mas universal que el de la energía potencial que solo es valido para fuerzas conservativas.

Resumiendo si: WAB = - ΔEp y también WAB = ΔEC

podemos igualar ambas expresiones: - ΔEp = ΔEC

Es decir: EPA – EpB = ½ mv2B – ½ mv2

A

O también: EPA + ½ mv2A = EpB + ½ mv2

B

Es el principio de conservación de la energíamecánica

7. INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO EN UN PUNTOEn el campo gravitatorio hemos estudiado hasta ahora lamagnitud fuerza, esta magnitud como hemos visto no solodepende de la masa que crea el campo sino también de lamasa que introducimos en el, es decir la fuerza no es unamagnitud exclusiva del campo.La intensidad de campo es una magnitud vectorial que espropia de cada campo gravitatorio.Intensidad de campo gravitatorio en un punto delespacio, g, es la fuerza gravitacional que actúa porunidad de masa colocada en él: g = Fg / mDonde m es la masa colocada en el puntoLa unidad de intensidad de campo en el S.I. es el N/kg y sihacemos la ecuación de dimensiones de g: [g] = M.L.T-2/M =L.T-2 coincide con la de una aceleración, g se llamatambién aceleración de la gravedad

Para determinar el campo gravitatorio creado por una masa puntual M situamos una masa de prueba m en un punto P del espacio a una distancia r de la masa M. Calculamos la F/ m’

g = F/m = (-G.M.m/r²).ur /m

g = (-G.M/r²).ur

m Podemos decir que el campo gravitatorio tiene las siguientes propiedades:•Es un campo central y disminuye con el cuadrado de la distancia.

•El signo negativo es porque g y ur tienen sentidos contrarios. Las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas

Si el campo está creado por un sistema de masaspuntuales, para calcular la intensidad de campo utilizamosel conocido principio de superposición.El campo gravitacional que crea un sistema de n masaspuntuales en un punto es la suma vectorial de los camposproducidos por cada una de las masas en dicho punto.

i=n

g = g1 +g2 + … = Σgii=1

8.- POTENCIAL GRAVITATORIO

La energía potencial, igual que sucede con la fuerza, no esuna magnitud exclusiva del campo pues depende de la masaque se introduce en el.Por eso a partir de la energía potencial se define lasegunda magnitud característica del campo, que es escalar.El potencial gravitatorio.

El potencial gravitatorio en un punto A se definecomo la energía potencial por unidad de masacolocada en dicho punto.

VA = EpA/m = -G.M/rASe identifica con el trabajo que es preciso realizarcontra las fuerzas del campo, para trasladar una masade 1 kg desde A hasta el infinito.En un punto B sería VB = -G.M/rB y por tanto

VA – VB = -G.M.(1/rA - 1/rB)

Estudiando como varía el potencial en un punto con la distancia, es decir, calculando dV / dr obtenemosdV/dr = d(-GM/r) /dr = -GM /r2 expresión que coincide con el módulo de la intensidad gravitatoria , g, cambiado de signo, luego podemos poner que:

g = - dV /dr

8.1 Representación del campo gravitatorio

El campo gravitatorio puede representarse mediantesuperficies equipotenciales que son el conjunto depuntos del campo que están al mismo potencial.

El trabajo realizado para trasladaruna masa cualquiera m entre dospuntos A y B de una superficieequipotencial será nulo.

WAB = -ΔEp = EpA - EpB = = m.(VA - VB) = m.0 = 0

g corta a la superficie equipotencial perpendicularmente en cada punto.

Si el campo está creado por varias masas, m1, m2, m3, …mnEl potencial en un punto A del campo será la suma escalarde los potenciales creados por cada masa sobre dichopunto. (Principio de superposición)

i=n

VA = Vm1 + Vm2 + Vm3 + ... + Vmn = Σvii=1

9.-APLICACIONES AL ESTUDIO DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

9.1-Intensidad de campo gravitatorio terrestre

Si la masa creadora del campo es la Tierra la intensidadde campo será: g = - GMT/ r2 . urr = RT + h siendo h la distancia a la que se encuentra elpunto de la superficie terrestre.

• En el caso particular en que r = RT, es decir, cuando el punto se encuentra sobre la superficie terrestre entonces:

g0 = - GMT/RT2. ur =

= - 6,674 . 10-11 N.m2.kg-2 . 5,974 . 1024 kg / (6,371 . 106 m)2

. ur = = - 9,8 . ur m . s-2 . Luego g0 = 9,8 m . s-2

Este valor de g0 es un valor medio, pues la gravedad superficial varía localmente con la latitud y la altura.

9.2 Variación de “g” con la latitud y la profundidad

el campo gravitatorio aumenta con la latitud debidoprincipalmente a que el achatamiento de la Tierra en lospolos hace que la distancia r se reduzca a medida que lalatitud aumenta. Es decir, que estando en el ecuador lafuerza de gravedad es menor que en otras latitudes, y amedida que nos vayamos desplazando al sur o al norte, lafuerza de gravedad se va incrementando. En los polos, lagravedad será máxima (aunque con poca diferencia).

Los valores de g en el ecuador y en los polos sonrespectivamente:

La fuerza de gravedad es máxima en la superficieterrestre. Ya vimos que la gravedad es menor a medidaque nos alejamos de la Tierra.Sin embargo, también disminuye al adentrarse en elinterior de la Tierra, si imaginamos la Tierra como unacebolla de capas de materia, a medida que penetramos ensu interior vamos dejando capas detrás nuestro. Lascapas que quedan por debajo de nuestra posición secomportan como siempre, atrayéndonos hacia el centrocomo si se tratara de una nueva Tierra pero más pequeña.¿Qué ocurre con la masa que vamos dejando atrás?.tenemos una cantidad de masa que queda cerca denosotros y una cantidad mucho mayor de masa que quedamucho más alejada de nosotros.

Curiosamente, la distribucióncasi esférica de un cuerpocomo La Tierra tiene unapropiedad que aparece casimaravillosa. La masa alejadacontribuye en total con lamisma fuerza que la masamás cercana. Esto es porquela mayoría de la masa se

encuentra lejos del punto considerado y la minoría de masacerca, de tal forma que los efectos entre masa y distanciaestán equilibrados de tal manera que la fuerza neta queejercen las capas externas a nuestra posición en el interiorde la Tierra es nula. En el centro de la Tierra nosentiríamos ningún tipo de fuerza de la gravedad, puestoda la masa que quedaría a nuestro alrededor tiraríaigualmente de nosotros en todas direcciones, y la fuerzaneta total sería nula.

En cualquier punto interior de una distribuciónesférica de masa, la fuerza de gravedad neta es laproducida por la esfera de masa interior a nuestraposición tal y como si el resto de la masa externa anuestra posición no existiera.

Admitiendo una densidaduniforme en toda la Tierrapodemos poner que:

dT = MT / VT = Mint. / Vint.Mint = MT . Vint. /VT

Mint = MT . 4/3 π r3 /4/3 π RT3

Mint = MT . r3 / RT3

gint. = G Mint / r2

Y sustituyendo la Mint llegamos a la expresióngint. = G . MT . r / RT

3

Mint

Pueden resumirse las variaciones de la gravedad desde elcentro de la Tierra hasta un punto muy alejado de ellamediante la gráfica.

Se representanen abscisas Lasrelaciones r/RTy en ordenadaslos diferentesvalores de g.

•El tramo recto corresponde a los puntos interiores dela Tierra su ecuación es gint. = G . MT . r / RT3

• Para r/RT = 1, g toma el valor máximo su ecuación es:g0 = G . MT / RT

2

•El tramo parabólico corresponde a puntos exterioresde la Tierra de ecuación g = G . MT / r2

9.3 Energía potencial gravitatoria terrestre

En el caso particular del campo gravitatorio terrestrela expresión de la energía potencial en un punto en elque hay una masa. m situada a una distancia r de laTierra será:

Ep = - G . MT . m / r = - G . MT . M / RT + h ; r ≥ RTh es la altura del cuerpo, de masa m, respecto al suelo.La energía potencial gravitacional aumenta con laaltura desde la superficie de la Tierra, porque esmenos negativa.El potencial que corresponde al punto anterior situadoa la distancia r será:

V = Ep / m = - G . MT / r = - G . MT / RT + h

9.4 Satélites: velocidad orbital y velocidad de escape

Supongamos que hay unapartícula de masa m contrayectoria alrededor de latierra circular de radio r.Suponemos que la Tierra está quieta, m lleva velocidad v y no gasta combustible.

Fc = m.ac = m.v²/r.Todas las masas en la misma órbita tienen la mismavelocidad lineal.La fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra es

F = G.MT.m/r².Es la misma fuerza vista desde dos puntos de vistadistintos. G.MT.m/r² = m.v²/r

Despejando: v² = G.MT/r

Expresión de la velocidad de un satélite en una órbita circular

Energía TotalSe llama energía total a la que tiene una masa osatélite que órbita alrededor de la tierra.Es la suma de la Ec y de la Ep.Ep = -G.MT.m/rEc = (1/2).m.v² = (1/2).m.G.MT/r = G.MT.m/2.rET = -G.MT.m/r + G.MT.m/2.r = (G.MT.m/r).(-1 + 1/2) = -G.MT.m/2.rEsta es la energía necesaria para que un satélite esté en órbita. Es negativa e igual a la mitad del valor de la energía potencial.

Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia defuerzas exteriores su Energía mecánica se conserva.

EcA + EpA = EcB + EpB

Velocidad de escapeEs la velocidad quehay que comunicar aun cuerpo de masa msituado sobre lasuperficie del planetapara que pueda

escapar del campo gravitatorio e irse al ∞.En el ∞ la EM= 0 ya que hemos dicho que la Ep= 0 y la velocidad con la que llega es 0, por tanto Ec + Ep = 0.Por tanto: (1/2).m.v0² - G.MT.m./RT = 0

(1/2).m.v0² = G.MT.m./RT ; v0² = 2.G.MT./RTve = √ 2G.MT/RT ve = 11,2 km/s

Páginas web que puedes consultar:www.fisicanet.com.ar/fisica/dinamica/ap15_cam...www.astrocosmo.cl/.../b_p-tiempo-04.04.03.01.htmwww.colegioheidelberg.com/deps/fisicaquimica/...estudiarfisica.wordpress.com/.../iesfgcza.educa.aragon.es/.../cagra.htmwww.astrored.org/enciclopedia/articulos/unive...http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/campo_gravitatorio/index.htm