Tema 1-Transformaciones geométricas 2D

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Tema 1 - Transformaciones geométricas 2D

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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas

y semiplanos

• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D

• Invariantes• Composición y

Parametrización de transformaciones

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Definición

• Aplicaciones de R2 � R2 (ei � ei’)– Elementos que intervienen (puntos y rectas):

• Originales (ei):• Imágenes (ei’)

– ei y ei’ son Homólogos– Si ei y ei’ coinciden son Dobles– Invariantes: propiedades que no varían en la

transformación

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y semiplanos




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Clasificación

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y semiplanos




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Homología 2D (I)

• Elementos definitorios:– Centro de homología (H)– Eje de homología (E)– 2 puntos homólogos

• Obtención:– Puntos homólogos:

alineados con H– Rectas homólogas:

se cortan en E

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Homología 2D (II)

• Características:– Deforma segmentos y ángulos– Los puntos de E son dobles– Las rectas que pasan por H son dobles– Invariantes:

• Pertenencia• Intersección• Ordenación

– Puede invertir el sentido del plano

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Homología 2D (III)

• Rectas límite:– L’: puntos homólogos

de puntos impropios de la figura F

– L: puntos homólogos de puntos impropios de la figura F’

– Paralelas a E– Equidistantes de H y E

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HA

E

B

C

L'Q'

A'C'

Homología 2D (IV)• Obtener el triángulo A’B’C’,

homólogo del triángulo ABC, conociendo la recta límite L’:

HA

A'

E

B

C

C '

B'L'Q '

HA

E

B

C

L'

Q’: homólogo del punto impropio de la recta AC

(está en L’ y en A’C’)

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HA

E

B

C

L

A'C 'P

Homología 2D (V)• Obtener el triángulo A’B’C’,

homólogo del triángulo ABC, conociendo la recta límite L:

HA

E

B

C

L

P: homólogo del punto impropio de la recta A’C’

(está en L y en AC)

HA

E

B

C

C '

B'

L

A'

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y semiplanos




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Afinidad 2D (I)

• Homología de centro impropio (dirección de afinidad)

• Rectas límites impropias

• Invariantes añadidos:– Paralelismo – Proporcionalidad

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Afinidad 2D (II)

• Razón de afinidad (k):– Razón de distancias al eje entre puntos afines

(medidas sobre la dirección de afinidad)

– Si los puntos afines están al mismo lado del eje la razón es positiva, si no, es negativa

BB

BB

AA

AAk

E

E

E

E '' ==

0<k0>k

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y semiplanos




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Simetría Oblicua 2D• Afinidad de k = -1 (invierte el sentido)• Elementos definitorios:

– r (E): eje de simetría (recta doble)

– 2 puntos simétricos

• Dos puntos simétricos A y A’ están:– A la misma distancia de r– En lados opuestos

BBBB

AAAA

EE

EE

−=−=

'

'

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y semiplanos




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• Homología de eje impropio• Escalado• Elementos definitorios:

– Centro de homotecia: O (H) (punto doble)– Razón de homotecia (k): razón de distancias al centro

entre puntos homólogos. Mantiene el sentido del plano

Homotecia 2D (I)

Oa

Oak

'=

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Homotecia 2D (II)• Conserva ángulos pero no segmentos• Rectas límites impropias• Invariantes añadidos:

– Paralelismo – Proporcionalidad

• La homotecia de una circunferencia de radio R es una circunferencia de radio k·R

O'

P'

P

O

H Q

Q'

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y semiplanos




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Rectas y semirrectas

• Recta: conjunto de puntos linealmente ordenado:

• Semirrecta: un punto de una recta y todos los que le siguen. El punto divide a la recta en dos semirrectas

A B C

1º 2º 3º

P1 P2 P3

A B C

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Semiplanos

• Semiplano: cada una de las partes en que una recta r (borde) divide al plano

• Designación:– rP (recta y punto)– rQ

• Ecuaciones:– Recta: Ax+By+C=0– Semiplano: Ax+By+C>0– Semiplano: Ax+By+C<0

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y semiplanos




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Movimientos 2D (I)

• Características:– Forman grupo– Conservan segmentos

y ángulos– Invariantes:

• Pertenencia, Intersección, Ordenación• Paralelismo, Proporcionalidad

– Dada cualquier semirrecta r y su semiplano αsy otra semirrecta r’ y su semiplano αs‘, existe un movimiento que transforma r y αs en r’ y αs‘

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Movimientos 2D (II)

• Tipos de movimientos:

– Directos: mantienen el sentido del plano

– Inversos: cambian el sentido del plano

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y semiplanos




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Simetría Central 2D (I)• Transforma una semirrecta r y uno de sus

semiplanos en los opuestos• Elementos definitorios:

– O (H): centro de simetría (punto doble)

• Dos puntos simétricos A y A’ están:– Alineados con O– A la misma distancia– En lados opuestos

• Movimiento directo• Giro de 180º, homotecia de k = -1

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y semiplanos




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Simetría Axial 2D (I)• Transforma una semirrecta r en sí misma y uno

de sus semiplanos en el opuesto• Elementos definitorios:

– r (E): eje de simetría (recta doble)

• Dos puntos simétricos A y A’ están:– En una recta perpendicular a r– A la misma distancia de r– En lados opuestos

• Movimiento inverso• Afinidad de k = -1 y dirección perpendicular a E

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y semiplanos




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• Transforma una semirrecta rA en otra r’A’ contenidas ambas en la misma recta r y uno de sus semiplanos en sí mismo

• Elementos definitorios:– Vector determinado por dos

puntos homólogos A y A’

• Las rectas paralelas al vector son dobles

• Movimiento directo• Afinidad y Homotecia (H y E impropios)

Traslación 2D (I)

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y semiplanos




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Giro 2D (I)• Transforma una semirrecta y uno de sus

semiplanos en otra con origen común (O) y un semiplano que queda al mismo lado

• Elementos definitorios:– O: centro de giro (punto doble)– Ángulo de giro

• Movimiento directo

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• 2 Puntos homólogos:– Están en circunferencias

de centro O– El centro está

en la mediatriz

• 2 Rectas homólogas:– El ángulo entre ellas

es el ángulo de giro– El centro está en la

bisectriz

Giro 2D (II)

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Giro 2D (III)

• Centro instantáneo de rotación (CIR):– Cualquier movimiento directo de una figura

entre 2 posiciones del plano se puede representar con un giro

– El CIR es el centro de rotación de dicho giro

– Si el movimiento es una traslación, el CIR es un punto impropio

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Giro 2D (IV)

• Obtener el CIR, a partir de:– 2 posiciones de 1 segmento � Intersección

de mediatrices determinadas por los extremos correspondientes

– 2 posiciones de 1 punto + 2 pos. de 1 recta �Intersección de mediatriz determinada por los 2 puntos y bisectriz de las 2 rectas

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y semiplanos




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Invariantes de las transformaciones geométricas

IntersecciónPertenenciaOrdenación

ParalelismoProporcionalidad

Tamaño de los

segmentosÁngulos Sentido

Homología X A veces

Afinidad X X A veces

Homotecia X X X X

Simetría Central X X X X X

Simetría Oblicua X X

Simetría Axial X X X X

Traslación X X X X X

Giro X X X X X

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y semiplanos




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• Aplicar consecutivamente varias transformaciones • No es, generalmente, conmutativa• Ejemplo. Composición de:

– Giro de centro O y 90º– Simetría oblicua de eje E y

dirección de afinidad horizontal

Composición de transformaciones

E

OA

B

C

B'

A'

C'C''

A''

B''

E

O

A

BC C'

B'

A'C''

A''

B''

Simetría seguida de giro

Giro seguido de Simetría

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• Los movimientos pueden parametrizarse. Ejemplo: giro con el parámetro ángulo

• Posibilidades:– Animación: parámetro

asociado al tiempo– Generación de trayectoria

o curva: si la transformación se aplica a un punto

A

B

CA'

A''

A'''

O

θ3

θ2

θ1

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