Tema 10: Problemas métricos en el plano

10.1 Relaciones angularesEjemplo1. Construye un polígono de cinco lados, divídelo en triángulos para averiguar la suma de los

ángulos interiores del pentágono.

Nuestro pentágono ha quedado dividido en tres triángulos, por lo que la suma de los ángulosinteriores será 3 � 180 � 540Recordemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

Tareas 22-04-16: todos los ejercicios de la página 185

8.2 Semejanza de triángulosEjemploCriterio 2 de semejanzaSi dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido es el mismo,son semejantes.Para verlo, construimos dos segmentos, a y b, de longitud libre y determinamos un ánguloC � 90º.Elegimos un valor para la razón de semejanza r � 1.5. Multiplicamos los segmentos dados pordicha razón para obtener dos nuevos segmentos, a� y b�. Ahora con estos datos construimos los dostriángulos correspondientes, siendo C � C�.Sobre ellos comprobaremos, tomando medidas de longitud y de ángulos, que se cumplen las condicionespara que dos triángulos sean semejantes:

�aa�

� bb�

� cc�

� C � C�,B � B�,A � A�Criterio 3 de semejanzaSi dos triángulos tienen los tres lados proporcionales, son semejantes.Para verlo, construimos tres segmentos, a, b y c de longitud libre. Elegimos un valor para la razón desemejanza r � 0.7. Multiplicamos los segmentos dados por dicha razón para obtener tres nuevossegmentos, a� ,b� y c� Ahora con estos datos construimos los dos triángulos correspondientes.Sobre ellos comprobaremos, tomando medidas de longitud y de ángulos, que se cumplen las condicionespara que dos triángulos sean semejantes:

�aa�

� bb�

� cc�

� C � C�,B � B�,A � A�Tareas 27-04-16:todos los ejercicios de la página 187

Ejemplo1.

1

Será:

� x � 40 de resolver x � 422

� 5226

� y � 29.5de resolver2y � 1

30� 52

262.

Teniendo en cuenta que tenemos un espejo en el suelo, por la leyes de la òptica el ángulo conque la luz “sale”del ojo del hombre y entra en el espejo es el mismo con el que la luz llega a lapunta del árbol. Por lo tanto tenemos dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo igual.Entonces en realidad tenemos dos triángulos que tienen dos ángulos respectivos que soniguales, por lo tanto son semejantes. En particular se cumple que:41.42.8

� h1.8

, Solution is: 26. 614� 26.6

10.3 Teorema de PitágorasTareas 28-04-16:todos los ejercicios de la página 188

EjemploCalcula los elementos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos:

2

� Triángulo ABC

AB � CB2� CA2

� 9.432 � 52 � 7. 9953� Triángulo DEF

DF � FE2� DE2

� 62 � 52 � 7. 8102Tareas 04-05-16: todos los ejercicios de la página 189

10.4 Aplicación algebraica del Teorema de PitágorasTareas 05-05-16: todos los ejercicios de la página 190

EjemploCalcula la altura del siguiente trapecio:1.

Como el triángulo ADE es rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la altura,teniendo en cuenta que esta es un cateto.

DE � DA2� AE2

� 8.062 � 42 � 6. 9974es la medida de la altura2

3

El lado AE � 16�102 � 3

Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AED, donde la altura deltrapecio es un cateto.

AE � DA2� AE2

� 6.712 � 32 � 6. 002es la altura del trapecio

10.5 Lugares geométricosTareas 06-05-16; todos los ejercicios de la página 191

10.6 Las cónicas como lugares geométricosTareas 06-05-16; todos los ejercicios de la página 193

10.7 Áreas de los polígonosEjemplo1.

Descomponemos la pieza de la siguiente forma:

4

Tareas 09-05-16: todos los ejercicios de la página 194

10.8 Áreas de figuras curvasEjemplo1.

Tareas 11-05-16: todos los ejercicios de la página 195

EJERCICIOS Y PROBLEMAS1.

5

d Tenemos dos rectas paralelas con una oblicua que corta a las dos. Por lo tanto, elángulos al otro lado del lado que define � es igual a 35º. Entonces � � 180� 35 � 145

Tareas 12-05-16: todos los ejercicios que faltan del 12

d Tenemos un paralelogramo dividido por su diagonal, por lo que cada uno de lostriángulos formados son iguales. En particular, se cumpler que X � 180� 18� 120 �42º

Tareas 12-05-16: todos los ejercicios que faltan del 23

d Tenemos un polígono regular de diez lados siendo X un ángulo central, entoncesX � 360

10� 36º

Por otro lado, el triángulo que contiene al angulo X, es un triángulo isósceles por

6

tener dos de sus lados como los radios de la circunferencia que pasa por los diezvértices del decágono. Entonces, cada uno de los otros dos ángulos, (que soniguales), mide: 180� 36

2� 72

Y el ángulo�Y � 2 � 72 � 144

En el vértice donde está�Z, por dentro está

�Y, por lo que claramente

�Z � 360� 144 �

216ºTareas 12-05-16: todos los ejercicios que faltan del 34

Tenemos que calcular la medida de dos ángulos inscritos en la circunferencia que van a dar almismo ángulo central. Entonces,

P � Q � AOB2

� 702

� 35º

Tareas 12-05-16: 5,67

La razón de semejanza se obtiene de los siguientes cocientes:AB

A�B�� CB

C�B�� AC

A�C�� 1.2

Entonces de esto se obtiene que:

�AB

A�B�� 1.2 � A�B� � 16

1.2� 13. 333

�CB

C�B�� 1.2 � C�B� � 25

1.2� 20. 833

�AC

A�C�� 1.2 � A�C� � 39

1.2� 32. 5

Tareas 13-05-16; 8,910

7

Para empezar el trapecio es isósceles. Por lo tanto a la base mayor le quitamos la base menorpara obtener el cateto del triángulo rectángulo que está a la derecha: 24� 12

2� 6

En dicho triángulo el valor x es un cateto por lo tanto;x � 102 � 62 � 8

Tareas 13-05-16: todos los ejercicios que faltan del 1011

La situación gráficamente queda representada por:

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BDC.

BC � 372 � 122 � 35cmEl perímetro será 2�12� 35� � 94cm

Tareas 13-05-16: 1213

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la izquierda tenemos que:132 � x2 � h2

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la derecha tenemos que:152 � y2 � h2

Además, sabemos que: x � y � 14Por lo tanto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones no lineal:

x2 � h2 � 132

�14� x�2 � h2 � 152

Restando en columna x2 � �14� x�2 � 132 � 152

8

x2 � �142 � 28x � x2� � 169� 225x2 � 142 � 28x � x2 � �5628x � 196� 56

x � 14028

� 5cm

Sustituimos este valor de x para hallar el resto de los valores:52 � h2 � 132

h � 169� 25 � 12cmy � 14� 5 � 9cm

14

d El mayor es 25mCalculamos:� 72 � 242 � 625� 252 � 625

Como los dos son iguales, el triángulo es rectángulo.Tareas 13-05-16; todos los ejercicios que faltan del 141.

a.

9