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Identificar ángulos en posición estándar, cuadrantales y asociar su medida con la rotación del lado terminal (ángulos positivos y negativos). Comparar diferentes unidades de medida de los ángulos. Identificar y calcular: ángulos de referencia y ángulos coterminales positivos y negativos
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ÁNGULOSJ. PomalesTrigonometría agosto 2014
de Referencia y Coterminales
Objetivos
Identificar ángulos en posición estándar, cuadrantales y asociar su medida con la rotación del lado terminal (ángulos positivos y negativos).
Comparar diferentes unidades de medida de los ángulos.
Identificar y calcular: ángulos de referencia y ángulos coterminales positivos y negativos
ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR
Posición Estándar de los Ángulos
Dibujemos un círculo dentro de un sistema
de coordenadas.
¿Dónde está ubicado el centro del círculo?
Posición Estándar de los Ángulos
El otro lado del ángulo se llama lado terminal.
Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el
origen (0,0) y su lado inicial está a lo
largo del eje horizontal positivo.
Posición Estándar de los Ángulos
La medida de un ángulo será un número positivo si su lado inicial fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj.
La medida de un ángulo será un número negativo si su lado inicial
fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj.
ÁNGULO POSITIVO ÁNGULO NEGATIVO
Aquí el signo del ángulo sólo representa la dirección del mismo
Ángulos Cuadrantales
Ángulos que estando en
posición estándar
tienen su lado terminal sobre
un eje coordenado.
Identifica ángulos en posición estándar. Explica
13
2
Unidades de medida de los Ángulos
Representación de un círculo de radio 1
1
1
-1
-1
1
(0,0)
¿Cuántos cuadrantes tiene este círculo?
CUADRANTEII
CUADRANTEI
CUADRANTEIII
CUADRANTEIV
¿Cómo son sus signos?
(-1,0)
(0,1)
(1,0)
(0,-1)
Como hemos visto en clases anteriores la unidad de medida para los ángulos son
los grados.
¿Cuántos grados tiene: un círculo, ½ círculo, ¼ del círculo
y ¾ del círculo?
Unidades de medida de los ángulos
Unidades de medida de los ángulosLos radianes es otra unidad de medida de
los ángulos.
En un círculo se define el ángulo de 1 radian
como aquel con un arco cuya longitud es igual al
radio del círculo.Las medidas en radianes de
un ángulo se escribe sólo con un número sin unidades.
1r
En esta figura, ¿cuánto mide r?
Compara el tamaño de 1o y 1 radián.
1
1o
Grado Radián
¿Cuál es la mayor diferencia?
Observa esta representación
En un semicírculo,
¿Cuántos radianes
hay?
(-1,0) (1,0)
1 radián
(0, 1)
(0, -1)
Un po
co m
ás
Hay 3 radianes y un poco más…
Observa esta representación
(-1,0) (1,0)
1 radián
(-1,0)
≈ 0.14
(1,0)2
≈ 3.14
Ese poco más es
apróximadamente 0.14 de un radián.
¿Qué te recuerda 3.14?
Si damos una vuelta completa, ¿cuántos radianes hay? 2 ≈ 6.28
Observa esta representación
2¿Qué valor podría
tener y 2 en términos de grado?
≈ 3.14
En términos de radianes
2 ≈ 6.28360o180o
= 180o
2 = 360oPor lo tanto:
Ángulos de Referencia
ÁNGULOS DE REFERENCIA
Un ángulo de referencia para , , es el ángulo agudo que forman el lado terminal de y el eje horizontal.
2
Explica por qué los
ángulos cuadrantales no
tienen ángulos de referencia.
Cu
adra
nte
I
Cu
adra
nte
IIC
uad
ran
te II
I
Cu
adra
nte
IV
Calcula ángulos de referencia de θ
1) = 30o 2) = 190o
Cuando θ está en grados, recuerda que = 180o y 2 = 360o
Como esta en el cuadrante I
Por lo tanto,
30
Como esta en el cuadrante III
Por lo tanto,
10
180190
Ángulos Coterminales
ÁNGULOS COTERMINALES
Dos ángulos en posición
estándar que tienen el
mismo lado terminal.
Lado terminal compartido
Los ángulos y son coterminales ¿Qué signo tiene cada uno de ellos?Signos opuestos.
ÁNGULOS COTERMINALES
Lado terminal compartido
Para un ángulo dado en posición estándar existen infinitos ángulos
coterminales a él pero no
necesariamente con signos diferentes.
Explica. Al dar vueltas completas obtengo otros ángulos
coterminales con el mismo signo.
Práctica:Encuentre ángulos coterminales con = 30 en posición estándar.
Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#
Solución:Para hallar ángulos coterminales positivos de θ, se le suma múltiplos de 360º.
Una vuelta: 30 + (1)360 = 30 + 360 = 390º
Dos vueltas: 30 + (2)360 = 30 + 720 = 750º
Para hallar ángulos coterminales negativos de θ, se le resta múltiplos de 360º.
Una vuelta: 30 – (1)360 = 30 – 360 = – 330º
Dos vueltas: 30 – (2)360 = 30 – 720 = – 690º
Encuentre un ángulo con medida entre 0 y 360 que es coterminal con el ángulo de medida 1290 en posición estándar. Solución:
3
0210
1080
1290360
residuo
Cuando el ángulo es grande (> 360º) podemos dividirlo entre 360º y su residuo será el ángulo coterminal deseado. 210º es un ángulo coterminal entre 0º y 360º
Práctica:Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#
Dudas o Preguntas
REFERENCIAS• EJERCICIO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
www.oup.com/word/es/12025722.doc • MEDICIÓN DE ÁNGULOS.
http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/TRIG3.htm• ÁNGULOS DE REFERENCIA.
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/trigo8.html
• LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. http://www.algobar.com/recursos/spip.php?article190
• Libro - Precálculo: Matemáticas para el cálculo http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#