Tema 2: Análisis de circuitos en el dominio del tiempo

Tema 2: Análisis de circuitos en el dominio del tiempo

Enrique San Andrés

Respuesta transitoria circuito digital

Tema II 2

A B C

Respuesta transitoria circuito digital

Tema II 3

Tema II 4

• Analizaremos la respuesta transitoria del condensador y la bobina– Veremos que son elementos que almacenan energía pero no disipan (ni

producen) potencia media

• Estudiaremos la respuesta de varios circuitos frente a estímulos variables en el tiempo– Circuitos de primer orden

– Sistemas de segundo orden

Objetivos del tema

Tema II 5

• Un condensador es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo eléctrico

• Realización física– Dos placas metálicas plano-paralelas separadas por un medio aislante

(dieléctrico)

Condensador

Imágenes: Wikimedia Commons

Capacidades parásitas en un CI

Tema II 6

Capacidades parásitas en un CI

Tema II 7

Tema II 8

• Mecanismo físico

Condensador

– Al aplicar tensión v aparecen cargas en las placas: +q y –q

– La carga almacenada depende de la tensión v aplicada

q (t) = C (t) v (t)– C se denomina capacidad y su unidad

es el Faradio (F)

– 1 F = 1 C / 1 V

mF

dAC rr

120 108542.8 −×∗=== εεεεε

Tema II 9

• Relación corriente-voltaje de un condensador ideal

• Símbolo circuital

Condensador

( ) ( ) ( ) ( )

dtdvCi

dtvdC

dtCvd

dtdqtvCtq

=

==⇒=

Imágen: Wikimedia Commons

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3.0µ

-2.0µ

-1.0µ

0.0

1.0µ

2.0µ

3.0µ

i [A]

dv/dt [V/s]

C=1uF

Tema II 10

• Relación voltaje – corriente

• Condición de continuidad de la tensión

– La tensión NO puede tener discontinuidades en el tiempo

Condensador

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=⇒=⇒=∞−

t

t

tdi

Ctvtvdi

Ctv

dttdvCti

0

110 ττττ

( ) ( ) ( ) ( )0000

0

1 tvtvdiC

tvt

t=+= ∫

++ ττ

v(t)

t

( )dtdvCti =

i(t)

t

∞

Tema II 11

• Potencia y energía del condensador:– TI: la potencia instantánea de un elemento es v*i, por tanto en C:

– Cálculo de la energía total almacenada

Condensador

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt

tdvCtvtitvtp == *

( ) ( ) ( )2 2( ) ( )

2 2

t v t vw t C v dv C Cτ τ−∞

−∞= = −∫

Tema II 12

• Propiedades del condensador:– El condensador sí puede tener saltos de corriente

– Si la tensión entre terminales no cambia la corriente que circula por el condensador es nula.

• Condensador en DC equivale a un circuito abierto

– Condensador ideal no disipa energía: la almacena (en forma de campo eléctrico) según aumenta |v(t)| y la libera según disminuye.

– El condensador real se descarga con el tiempo. Modelo simple: condensador ideal en paralelo con una resistencia debida a las fugas

Condensador

( ) ( ) ACdtKdC

dttdvCti 00)(

=×===

Tema II 13

• Ej. C de 1 mF descargado en t = 0 fluye la corriente de la figura. Calcular tensión en t = 2 ms y t = 5 ms.

Condensador

Tema II 14

• Ej: determinar la corriente que fluye por un C de 200µF

Condensador

Tema II 15

• Calcular energía almacenada en cada condensador

Condensador

Tema II 16

• Asociación de condensadores en paralelo– Aplicando KCL a nodo superior

– Aplicando relación I-V del condensador

– Circuitos equivalentes si

– Con N condensadores en paralelo

Condensador

21 CCv iii +=

( )dtdvCC

dtdvC

dtdvCiv 2121 +=+=

( )21 CCCeq +=

∑=

=N

nneq CC

1

Tema II 17

• Asociación de condensadores en serie– Aplicando KVL a la malla

– Aplicando relación V-I del condensador

– Equivale al circuito de abajo si

– Con N condensadores en serie

Condensador

21 CC vvv +=

( )

( )( ) ( )0201

2102

22

011

1

0

0

0 111

1

tvtvidtCC

vtvidt

Cv

tvidtC

vt

tt

t

t

t

++

+=

+=

+=

∫∫

∫

21

111CCCequ

+=

∑=

=N

n neq CC 1

11

Tema II 18

• Elemento pasivo que almacena energía en forma de campo magnético

• La bobina más sencilla es el solenoide recto– Arrollamiento de cable en espiral sobre un núcleo

de un material magnético

– Al circular corriente se produce un campo magnético

– Inductancia: relación entre flujo magnético y corriente

– Faraday demostró que las variaciones de flujo magnético producen una fem (tensión)

Bobinas

Fotografía: wikimedia commons

( )linealesnodidL

iL φφ

== ;

dtdiL

dtdi

did

dtdv ===

φφ

Tema II 19

• Relación voltaje-corriente de una bobina ideal

• [L]=H (Henrio)• Símbolo circuital

• Si

– En DC la bobina es un cortocircuito

Bobinas

dtdiLv =

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3.0m

-2.0m

-1.0m

0.0

1.0m

2.0m

3.0m

v [V

]

di/dt [A/s]

L=1mH

00 ==⇒=dtdiLv

dtdi

+ v -

→ i

Tema II 20

• Relación i-v de la bobina

– La bobina tiene memoria de su historia pasada

– No puede haber discontinuidades de corriente

• Ej: calcular la corriente por una bobina de 5H si

Bobinas

( ) ( )00

00

1

11

tivdtL

ti

vdtL

divdtL

didtdiLv

t

t

t

t

t

t

+=

=⇒=⇒=

∫

∫∫

( )

>

<=

03000

2 tsittsi

tv

Tema II 21

• Potencia en una bobina:

– Sin variaciones de corriente no hay potencia

– Al igual que el condensador, puede ser positiva o negativa

• Energía almacenada

– Solamente depende del valor absoluto de la corriente y la inductancia

Bobinas

+ v -

→ i( ) ( ) ( )dtdiLii

dtdiLtitvtp ===

Tema II 22

• Ej. Calcular energía almacenada en C y L en DC

Bobinas

Tema II 23

• Asociación de bobinas en serie– Aplicando KVL a nodo superior

– Aplicando relación V-I de la bobina


– Con N bobinas en serie

Bobinas

21 LL vvv +=

( )dtdiLLv

dtdiLv

dtdiLv

21

22

11

+=

=

=

21 LLLeq +=

∑=

=N

nneq LL

1

Tema II 24

• Asociación de bobinas en paralelo– Aplicando KCL a nodo superior

– Aplicando relación I-V de la bobina


– Con N bobinas en paralelo

Bobinas

21 CCv iii +=

21

111LLLeq

+=

∑=

=N

n neq LL 1

11

( )

( )( ) ( )0201

2102

22

011

1

0

0

0 111

1

titivdtLL

itivdt

Li

tivdtL

it

tt

t

t

t

++

+=

+=

+=

∫∫

∫

Tema II 25

Resumen

Relación Resistencia Condensador Bobina

v-i

i-v

p (R) ó w (L,C)

serie

paralelo

en DC Igual Circuito abierto Cortocircuito

Variable que nopuede cambiar bruscamente

Ninguna Tensión Corriente

∑=

=N

n neq LL 1

11

Riv = ( )01 tvidtC

v += ∫

( )01 tivdtL

i += ∫vR

i 1=

dtdvCi =

dtdiLv =

RvRip

22 ==

∑=

=N

n neq RR 1

11

∑=

=N

n neq CC 1

11∑=

=N

nneq RR

1∑=

=N

nneq LL

1

∑=

=N

nneq CC

1

2

21 Cvw = 2

21 Liw =

Tema II 26

• Vamos a estudiar con combinaciones de R, L y C.– Primero circuitos simples:

• R y C• R y L

– T1: Los circuitos con resistencias y fuentes dan por resultado ecuaciones algebraicas.

– Al aparecer C y L hay que resolver ecuaciones diferenciales.

– Cuando solo aparece la primera derivada (RC o RL) se denomina ecuación (o circuito) “de primer orden”.

– Cuando aparece además un segunda derivada se denomina “de segundo orden”.

Análisis transitorio de circuitos de primer y segundo orden

Circuito RC

• ¿Cómo se podría resolver este circuito?

Tema II 27

Tema II 28

Circuito RC

Método para resolver ED simples

• 1) Encontrar una solución particular• 2) Encontrar una solución homogénea (general)• 3) La solución de la ED es la suma de 1) y 2)• 4) Imponer condiciones particulares

Tema II 29

Tema II 30

Circuito RC

vc(t)

t

Tema II 31

• Descarga de un condensador a través de una resistencia– R1 de 1Meg, 100k, 10k y 1k

Circuito RC sin fuentes

( ) ( )01

0

ttRCevtv

−−=

Tema II 32

• C cargado a v0, fuente de tensión– Ej: C de 1uF, R de 1kohm, tclose=1ms

• V(0)=0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25

Circuito RC con fuentes

Tema II 33

• Ej: condensador cargado a 15V en t=0. ¿VR3?


Tema II 34

• Ej: ¿v(t)?


Tema II 35

Circuito RC con fuentes

Respuesta a un tren de pulsos

Tema II 36

Tema II 37

• Vamos a realizar un ejercicio análogo con inductancias

• Bobina con inductancia L que se conecta a una fuente de tensión– Inicialmente corriente nula

– Tensión en R nula

• Toda cae en la bobina– Aumenta la corriente

– Aumenta la tensión en la resistencia

– La corriente se va estabilizando hasta que toda la tensión cae en la resistencia -> la corriente de la bobina ya no aumenta más -> estacionario

Circuito RL

Circuito RL

Tema II 38

Tema II 39

• Si la bobina tenía corriente I0 y el interruptor se cierra en t0

Circuito RL

( )0 0

00 0expS S

I t ti t V V t tI t t

R R τ

<= − + − − >

Tema II 40

• Ej: calcular la corriente en la bobina

Circuito RL

Tema II 41

• Ej: calcular la corriente en la bobina

Circuito RL

Tema II 42

Circuitos de segundo orden

Tema II 43

• Cuando hay más de un elemento que almacena energía, la ecuación diferencial aumenta el orden– Típicamente dos elementos (C y L, C y C, L y L) producen una ecuación

de segundo orden

• Siempre y cuando los elementos de segundo orden no puedan combinarse.


Tema II 44

• Para resolverlos será necesario conocer tantas condiciones de contorno como el orden del sistema

– Circuitos de segundo orden: 2 condiciones

– Cada problema concreto requerirá una estrategia diferente

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 , 0 , , , , ...C L

L C L C

dv dii v i v

dt dt∞ ∞


Circuito RLC serie sin fuente

Tema II 45


Tema II 46

( )

1 1 2

2 12

0

1 0t

dv v vCdt R

v v v dR L

τ τ−∞

−− − =

−− − =∫

12 1

11 1

11

21 1

12

1 0

1 0

t

dvv RC vdt

dvRC v v dvdt RC v dR L dt

d v dvR vdt L dt LC

τ−∞

= + ⇒

+ − + + = ⇒

+ + =

∫


Tema II 47

1stv Ae=

21 1

12

1 0d v dvR vdt L dt LC

+ + =

2

12

2

2

12 21 0

12 2

st

R RsL L LCRA s s e

L LC R RsL L LC

= − + − + + = ⇒ = − − −


Tema II 48

– Ecuación característica: si la cumple la función elegida es solución

– s puede ser real o imaginaria, y también sería solución

– Solución general de la homogénea:

– s1 y s2 lo determinan los elementos del circuito.

– A partir de ellos se calculan A1 y A2 a partir de las condiciones decontorno

2

12

2

2

12 21 0

12 2

st

R RsL L LCRA s s e

L LC R RsL L LC

= − + − + + = ⇒ = − − −

1 21 1 2

s t s tv A e A e= +

Tema II 49

– Por simplificar notación

• Frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento exponencial

• Frecuencia de resonancia

2RL

α =

LC1

0 =ω

−−−=

−+−=20

21

20

21

ωαα

ωαα

s

s

2

12

2

2

12 21 0

12 2

st

R RsL L LCRA s s e

L LC R RsL L LC

= − + − + + = ⇒ = − − −



Tema II 50

– Si α > ω0 ( ) s1 y s2 serán reales

• Además

• Por tanto, las soluciones son exponenciales decrecientes– Este caso se denomina circuito RLC paralelo sobreamortiguado

−−−=

−+−=20

21

20

21

ωαα

ωαα

s

s

020

220

220

2 <−+−<−−−⇒<− ωααωαααωα

2R L

C>


Tema II 51

– Supongamos que en t=0 hay tensión en el condensador y corriente en el circuito

( )

( ) ( )

1 2

1 2

0 01 1 2 1 2

0 011 1 2 2 1 1 2 2

010 0

s s

s sL

v A e A e A Adv s A e s A e s A s A idt C

= + = +

−= + = + =


Tema II 52

• Ejemplo (valores poco realistas)– R=49 ohm, L = 7 H, C= 1/42 F

– Condensador inicialmente descargado, corriente inicial bobina -5/21 A

–

– Falta por conocer constantes

•

•

– Solución:

6,1,6;5.3 210 −=−=== ssωα6

1 1 2t tv A e A e− −= +

( ) 0 6*01 1 2 1 2 1 20 0 tv A e A e A A A A− −= = + = + ⇒ = −

( )611 2 1 2 2

2 1

6 0 6 5 10

2 2

t t Ldv idvA e A e A A Adt dt C

A A

− −= − − ⇒ = − − = − = − = ⇒

⇒ = − ⇒ =

61 2 2t tv e e− −= −

• Cálculos vs PSPICE

– Sobreamortiguado: tarda en desvanecerse, sin oscilaciones.

Tema II 53


Tema II 54

– Si α = ω0 ( ) la solución de la ecuación diferencial que hemos probado no es correcta -> amortiguamiento crítico

• Como esto desde el punto de vista práctico es imposible no lo vamos a analizar

• Cualitativamente, representa una transición entre el caso sobreamortiguado (α > ω0) y subamortiguado (α < ω0)

– Si α < ω0 ( ) -> circuito subamortiguado

• Solución

• Al valor ωd se le denomina frecuencia natural de resonancia


tsts eAeAv 2121 +=

/ 2 /R L C=

/ 2 /R L C=

Recordatorio de 1erC de Cálculo

• Ecuación de Euler

• Demostración: se desarrolla en serie de Taylor la exponencial, el seno y el coseno, y se compara.

cos Recos ; 1

Im

j

j

j

ee jsen j

sen e

θ

θ

θ

θθ θ

θ

= = + = − =

Tema II 55

• Reescribiendo con ecuación de Euler

• Sinusoides amortiguadas por un factor que decae exponencialmente

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

1 2

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2

cos cos

cos

cos

d dj t j tt

td d d d

td d

td d

v t e A e A e

e A t A jsen t A t A jsen t

e A A t A A jsen t

e B t B sen t

ω ωα

α

α

α

ω ω ω ω

ω ω

ω ω

−−

−

−

−

= + =

= + + − + − =

= + + − =

= +

cos Recos ; 1

Im

j

j

j

ee jsen j

sen e

θ

θ

θ

θθ θ

θ

= = + = − =


Tema II 56

Tema II 57

• Ejemplo (Hayt) aumentando R– R de 49 ohm pasa a 28 ohm manteniendo L = 7 H, C= 1/42 F

– Condensador descargado, corriente inicial bobina de -5/21 A

–

– Falta por determinar constantes (proceso análogo al caso anterior)

– Solución:

2,6;2 2200 =−=== αωωωα d

Circuito RLC serie

( )21 5 2 2tv e sen t−=


Tema II 58

• R = 49 ohm (sobream.), 28 ohm, 10 ohm, 5 ohm (subam.)

• El tipo de amortiguamiento cambia con R

• Los valores de R determinan el tiempo en decaer

• Para R baja aparece oscilación con la frecuencia natural de resonancia

• Sin R, la oscilación no se disiparía.

Tema II 59

• Supongamos que se conecta un condensador a una bobina– Circuito ideal Circuito real (aproximado)

– Representa un circuito típico en redes de comunicaciones, empleado para amplificar señales en una banda estrecha de frecuencia.

– Buscamos la respuesta natural, y el C ó L (ó ambos) deben tener energía almacenada inicialmente

• Si no hubiera resistencia habría una oscilación eterna

Circuito RLC paralelo

Tema II 60

– Ej: L=7H, C=1/42 F, barrido paramétrico R: 10.5, 20, 50, 100 ohm.

Circuito RLC paralelo

Tema II 61

• Hemos analizado la respuesta transitoria del condensador y la bobina

• Hemos estudiado la respuesta de varios circuitos frente a estímulos variables en el tiempo– Circuitos de primer orden

– Sistemas de segundo orden

Objetivos del tema

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Tema 2: Análisis de circuitos en el dominio del tiempo