Tema 2 Interes Simple

Gestión Financiera 1 Reyes F.F.

TEMA 2:

EL INTERÉS SIMPLE

1.- CAPITALIZACIÓN SIMPLE

1.1.- CÁLCULO DEL INTERÉS:

Recibe el nombre de capitalización simple la ley financiera según la cual los intereses de

cada periodo de capitalización NO se agregan al capital inicial para hallar los intereses del

periodo siguiente, sino que se calculan sobre el capital inicial C0

Vamos a usar la siguiente nomenclatura:

C0: Capital inicial

I: los intereses del periodo

IT: los intereses totales, siendo su valor la suma de los intereses de cada periodo

i: tipo de interés anual en tanto por uno, que representa la cantidad de dinero que obtiene

por cada euro invertido en un año

Cn: capital final o montante, que es la suma del capital inicial más los intereses totales.

Vamos a comenzar aprendiendo a calcular los INTERESES TOTALES de una operación,

cuyo capital es C0, y está impuesta a un tipo de interés i durante n periodos:

Intereses del primer

periodo

EJEMPLO: Calcula el interés de 600€ al 10% anual en

3 años:

TOTAL INTERESES: 60+60+60 =180

Intereses del segundo

periodo

…….

…… ……..

…….. Intereses del periodo n

Intereses totales

En definitiva podemos decir que:


1.2.- VARIABLES QUE INTERVIENEN EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE, A

PARTIR DE LA FÓRMULA DEL INTERÉS:

CAPITAL

TIEMPO

TIPO DE

INTERÉS

1.3.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FORMA DE OPERAR EN INTERÉS

SIMPLE:

En interés simple los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial, NO

acumulándose al mismo para producir nuevos intereses:

1.4.- EL MONTANTE:

Definimos montante o capital final Cn obtenido en una operación de capitalización a la suma

del capital inicial más los intereses, por tanto:

A la expresión (1+n.i) se le denomina FACTOR DE CAPITALIZACIÓN y como resultado de

aplicar dicha expresión a un capital inicial, convierte a éste en un capital final.

C0

I1 I2

In

1 2 n n-1

INTERESES TOTALES:

I1 + I2 + …. + In

C0 Cn


EJEMPLO:

¿Cuál será el montante obtenido por un capital de 10.000€ al 5% de interés simple durante 5 años?:

A partir de la fórmula del montante también podemos calcular cualquiera de sus elementos

tal y como se hizo a partir de la fórmula del interés total. Veamos cuál sería el valor del

capital inicial, conocidos el montante, el tiempo y el tanto de colocación, para lo cual sólo

hemos de despejar C0:

Que es lo mismo que:

Pues bien a la expresión (1+n.i)-1 se le denomina FACTOR DE ACTUALIZACIÓN y como

resultado de aplicar dicha expresión a un capital final, convierte a éste en un capital inicial

o anterior.

EJEMPLO:

Sabemos que tras 5 años de colocación de un capital al 5% de interés simple, éste se convirtió en

12.500€. ¿Cuál fue el capital que se impuso?

2.- TANTOS EQUIVALENTES

Hasta ahora hemos dado por hecho que los periodos de tiempo considerados eran años y

que el tipo de interés era anual, pero lógicamente nos podemos encontrar con que el tiempo

no se mida en años, sino en cualquier otra fracción del mismo (meses, semestres,…..).

Lo primero que debemos tener en cuenta para trabajar de esta forma es que el tiempo y el

tanto deben estar referidos a periodos de tiempo homogéneos, si no es así, podemos

hacer cualquiera de estas dos cosas:

Capital

inicial Intereses

C0 Cn


Transformar el tiempo en la unidad temporal que mida el tipo de interés.

Transformar el tipo de interés en su equivalente de la unidad temporal en que

estemos trabajando.

Antes de seguir debes recordar, cuántos subperiodos (m) contiene el año de cada una de

las posibles fracciones en que podemos dividirlo:

Teniendo en cuenta este nuevo

parámetro, debemos completar la

nomenclatura vista anteriormente,

de la siguiente forma:

i: tanto anual

i(m): tanto fraccionado

equivalente

m:frecuencia de capitalización

Llamaremos TANTOS EQUIVALENTES a aquellos que aplicados a un mismo capital inicial

C0 durante el mismo periodo de tiempo n producen los mismos intereses I o generan el

mismo montante Cn.

Imaginemos que tenemos un capital C0 , en capitalización simple durante un periodo de

tiempo a un tipo de interés anual i y queremos calcular el tanto equivalente im , éste en una

unidad temporal inferior.

Pues teniendo en cuenta el concepto de tantos equivalentes, i e im lo serán si sucede que los

intereses o los montantes producidos por los mismos son iguales, nosotros vamos a aplicar

igualdad de intereses que simplifica más la demostración:

Si tenemos en cuenta el tiempo y el tanto en años:

Si tenemos en cuenta el tiempo expresado en m fracciones de año

Igualamos ambas expresiones y despejamos i en función de im:

Y también podemos decir:

PERIODO Son periodos de:

Frecuencia de

fraccionamiento

m

Año 1

Semestre 6 meses 2

Cuatrimestres 4 meses 3

Trimestres 3 meses 4

Bimestres 2 meses 6

Meses 30 días 12

Semanas 7 días 52

Días 360/365


De lo que podemos deducir que:

En capitalización simple los tantos equivalentes son, además, proporcionales cosa que,

como ya veremos, no ocurre con los tantos equivalentes en capitalización compuesta.

Así si el tanto anual de una operación fuera el 12%, podemos decir que su tanto equivalente:

Mensual, será: 1%

Semestral: 6%

Bimensual 2%

Y así sucesivamente.

EJEMPLO:

Calcular el interés que produjo un capital de 10.000€ invertidos al 0,09 simple anual durante 13 cuatrimestres.

Co = 10.000€

i= 0,09

n= 13 cuatrimestres

I: ¿?

1) Transformando n en la unidad temporal de i:

13 cuatrimestres son 13/3 =4,33333 años

De forma que:

2) Transformando i en la unidad temporal de n:

De forma que:

Se puede decir por tanto que i(3) =0,03 trimestral es equivalente al i=0,09 anual pues aplicados al mismo capital inicial durante el mismo periodo de tiempo producen los mismos intereses.

Como vemos i y n están referidos a distintas unidades

temporales, podemos resolver este problema de las siguientes

formas:


El tiempo y el tanto siempre deben estar referidos a la misma unidad temporal, cuando

eso no sucede, podemos:

Transformar n, en la unidad de tiempo a que se refiere i

Transformar i, en la unidad de tiempo a que se refiere n

TANTOS EQUIVALENTES, son aquellos aplicados al mismo capital inicial durante el

mismo tiempo generan los mismos intereses o el mismo montante

Siendo m el número de partes en que se divide el año

3.- AÑO CIVIL Y COMERCIAL

Cuando el fraccionamiento del tiempo es diario, surge la siguiente cuestión: ¿tomar el año

civil (365 días) o el año comercial (360 días, con meses de 30 días cada uno)?. Así pues

tendremos dos posibilidades para calcular los intereses:

Si se observan ambas expresiones, es fácil apreciar que

3.1.- RELACIÓN POR DIFERENCIA ENTRE INTERÉS COMERCIAL E

INTERÉS CIVIL

Hay pues dos posibles resultados:

En ambos casos n está expresada en

días


3.2.- RELACIÓN POR COCIENTE ENTRE INTERÉS COMERCIAL E INTERÉS

CIVIL

Por tanto, podemos decir:

4.- MÉTODOS DE CÁLCULO ABREVIADO

Esta práctica es muy útil para el cálculo de intereses, cuando el tipo de interés que se

aplica es constante y son muchos los capitales con los que trabajar, esto ocurre cuando se

liquidan cuentas corrientes, por ejemplo.

Supongamos que tenemos varios capitales: C1, C2, …., Cn, colocados a un mismo tanto unitario

anual de interés simple i, durante n1, n2,…., nn (meses, días, semanas,……….) respectivamente

y que deseamos saber el interés total que nos producen

Para ello, tenemos que calcular el interés de cada uno de los capitales y sumarlos después,

es decir:

(1)

4.1.- MÉTODO DEL MULTIPLICADOR FIJO:

Si al producto de capital por tiempo lo llamamos NÚMERO COMERCIAL (NC)

Al cociente i/m lo llamamos lo llamamos MULTIPLICADOR FIJO (M)

Podemos decir que:

En definitiva que el interés total es el sumatorio de los números comerciales por el

multiplicador fijo (M), siendo éste i/m


4.1.- MÉTODO DEL DIVISOR FIJO:

Si volvemos a la expresión (1), podemos decir:

Si al producto de capital por tiempo lo llamamos NÚMERO COMERCIAL (NC)

Al cociente m/i lo llamamos lo llamamos DIVISOR FIJO (Df)

En definitiva que el interés total es el sumatorio de los números comerciales divido

entre el divisor fijo Df, siendo éste m/i

EJEMPLO

Calcula los intereses totales de 2.500, 1.500 y 3.000€ durante 13, 25 y 56 días, a un interés simple del 5%. Teniendo en cuenta el año comercial

C0 n NC DIVISOR FIJO:

2.500 13 32.500

1.250 25 31.250

3.000 56 168.000

MULTIPLICADOR FIJO:

TOTAL 231.750

5.- TANTO MEDIO DE COLOCACIÓN DE VARIOS CAPITALES

Sean los capitales C1, C2, ….., Ct, invertidos a los tantos de interés simple anual i1,

i2, …, it, durante n periodos. Llamamos TANTO MEDIO ( ) a aquel que aplicado sobre

ese conjunto de capitales durante esos n periodos produce el mismo montante o el

mismo interés.

Si trasladamos este concepto teórico a una expresión matemática lo que debemos hacer es

igualar los montantes o los intereses de ese conjunto de capitales y, puesto podemos

elegir, vamos a hacer la demostración igualando los intereses que hace todo el proceso más

simple.


Dado que n está en todos los sumandos, podemos simplificar y queda:

Que podemos expresar de la siguiente forma:

O también:

Ya podemos decir que:

EJEMPLO Tengo unos ahorros colocados del siguiente modo: 2.000 al 7% anual simple en el Banco A 3.000 al 10% anual simple en el Banco B 500 al 6,5% anual simple en el Banco C ¿Cuál es el tanto medio de interés que me producen mis ahorros si todas las inversiones están a un plazo de 1,5 años?

Sería el tanto medio de colocación de los tres capitales


6.- INTERÉS ANTICIPADO E INTERÉS VENCIDO. RELACIÓN Hasta ahora, sólo hemos visto operaciones a interés vencido, es decir, cuando el

prestamista cedía un capital C0 y en el momento n el prestatario devolvía C0 más los

intereses devengados, es decir Cn

Pero en algunas operaciones financieras el prestamista cobra los intereses por adelantado,

es decir, en el momento en que se concierta la operación que ha de producirlos. Para ello

aplica un tipo ia que se aplica sobre el nominal Cn para obtener el efectivo C0 de la

operación.

CON INTERÉS VENCIDO:

Se presta C0 y se devuelve Cn

Se puede ver fácilmente que la cantidad que

se prestó fue:

(1)

¿Podemos averigua el ia que equivale al

interés vencido i y viceversa?

Para que exista equivalencia deberá haber

igualdad entre los C0 en ambos casos, es

decir entre (1) y (2)

Si pasamos el 1 del segundo miembro al

primero, en el primero queda 0 y también

podemos simplificar dividiendo entre “n”,

con lo cual nos queda:

(3)

Desde la expresión (3), podemos operar

para obtener ia en función de i:

CON INTERÉS ANTICIPADO:

Se presta Cn pero se entrega C0 y me

cobran intereses sobre Cn Por tanto los

intereses se calculan:

De donde podemos deducir la cantidad que

se prestó:

(2)

De todo lo cual se puede deducir que:

Cuando ia = i

Y dado que Cn > C0

El Ia > I


EJEMPLO Vamos a comprobar todo lo dicho anteriormente. ¿Qué tipo de interés anticipado ia equivale al 10% anual de interés vencido i , teniendo en cuenta que la operación dura 6 meses?

Efectivamente, si tomamos como cantidad presta 10€, en interés vencido, podremos comprobar:

INTERÉS VENCIDO INTERÉS ANTICIPADO

Si pretendemos prestar 10,5€ al 9,52% anual de interés anticipado, ¿Qué cantidad entregaremos?

¿Sucedería lo mismo para 20 meses?

Si presto 11,67€ al ia anual del 9,52%, ¿qué cantidad debo entregar?

Esto sucede porque: Para cada interés vencido hay un anticipado equivalente en cada momento, de manera que no será equivalente en otro distinto

¿PODEMOS CALCULAR EL MOMENTO DEL TIEMPO EN QUE OCURRE QUE ia Y i

SON EQUIVALENTES?

Si partimos de podemos despejar el tiempo:

En nuestro ejemplo:

años

Es decir, 6 meses

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