TEMA 2 MAGNITUDES FÍSICAS. UNIDADES. CIFRAS · PDF filecifras de tal modo que reflejen la precisión de la correspondiente medida. Se consideran ciencias experimentales aquellas que

MAGNITUDES FÍSICAS Y SU MEDIDA

GS – ENSAYOS FÍSICO-QUÍMICOS Pág. 1 de 46

Ensayos Físico-Químicos

TEMA 2

MAGNITUDES FÍSICAS.

UNIDADES.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Ciclo Formativo: Laboratorio de Análisis

y Control de Calidad



MAGNITUD Y MEDIDA

SISTEMAS DE UNIDADES

1. INTRODUCCIÓN. MEDICIONES

Para la física y la química, en su calidad de ciencias experimentales, la medida constituye una

operación fundamental. Sus descripciones del mundo físico se refieren a magnitudes o propiedades

medibles.

Las unidades, como cantidades de referencia a efectos de comparación, forman parte de los

resultados de las medidas. Cada dato experimental se acompaña de su error o, al menos, se escriben sus

cifras de tal modo que reflejen la precisión de la correspondiente medida.

Se consideran ciencias experimentales aquellas que por sus características y, particularmente

por el tipo de problemas de los que se ocupan, pueden someter sus afirmaciones o enunciados al juicio

de la experimentación.

Los resultados de los experimentos generan información que sirve de base para una elaboración

teórica posterior. Este papel de la experimentación como juez y guía del trabajo científico se apoya en la

realización de medidas que facilitan una descripción de los fenómenos en términos de cantidad. La

medida constituye entonces una operación clave en las ciencias experimentales.

En este módulo se realizan ensayos físico-químicos que precisan de la realización de medidas de

distintos parámetros. Estas medidas hay que expresarlas con las unidades correctas, con las cifras

significativas adecuadas y con la incertidumbre o error asociado a toda medida.

Ejemplo de un resultado a obtener en nuestros laboratorios puede ser como el que sigue:

DENSIDAD LÍQUIDO PROBLEMA (20 ± 1 ºC) = 1345,60 ± 0,05 kg/m3

- Se expresa la temperatura a la que se ha realizado el ensayo.

- Esta temperatura se expresa con las cifras significativas según el termómetro utilizado.

- La temperatura se expresa con el intervalo de incertidumbre, también asociada a la

precisión del instrumento utilizado (± 1ºC). Queremos decir que estamos seguro que la

temperatura medida está en el intervalo: 19 ºC a 21 ºC.

- Se expresa el resultado con las cifras significativas adecuadas y que son seis 1345,60. El valor

“0” como veremos más adelante es una cifra con significación física.

- El resultado se expresa con el intervalo de incertidumbre asociado a la precisión del

instrumento de medida (± 0,05 kg/m3). Estamos diciendo que el resultado de esta medida

está incluido, con toda seguridad, entre los valores: 1345,55 kg/m3 y 1345,65 kg/m3.

- Las unidades utilizadas son las del sistema internacional (gramos y metro).

- Se utilizan un prefijo: kilo (k) para indicar el factor multiplicador 103 para la unidad utilizada

(gramo).



2. MAGNITUD Y UNIDADES.

Magnitud es cualquier propiedad o cualidad que puede ser medida y por lo tanto puede

expresarse cuantitativamente con un número y utilizando las unidades correspondientes. La operación

que permite expresar una propiedad o atributo físico en forma numérica es precisamente la medida.

La noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan

magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser

expresados en forma numérica. En otros términos, las magnitudes son propiedades o atributos

medibles.

La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancia son ejemplos

de magnitudes físicas que podemos medir. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras

razones porque no es posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita determinar

cuántas veces una persona o un objeto es más bello que otro. Se trata de un aspecto cualitativo porque

indica cualidad y no cantidad.

En el lenguaje de la física la noción de cantidad se refiere al valor que toma una magnitud dada

en un cuerpo o sistema concreto; la longitud de esta mesa, la masa de aquella moneda, el volumen de

ese lapicero, son ejemplos de cantidades.

2.1. Tipos de magnitudes

Entre las distintas propiedades medibles puede establecerse una clasificación básica. Un grupo

importante de ellas quedan perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un

número seguido de la unidad correspondiente. Este tipo de magnitudes reciben el nombre de

magnitudes escalares. La longitud, el volumen, la masa, la temperatura, la energía, son sólo algunos

ejemplos.

Sin embargo, existen otras que precisan para su total definición que se especifique, además de

los elementos anteriores, una dirección o una recta de acción y un sentido: son las llamadas magnitudes

vectoriales o dirigidas. La fuerza es un ejemplo claro de magnitud vectorial, pues sus efectos al actuar

sobre un cuerpo dependerán no sólo de su cantidad, sino también de la línea a lo largo de la cual se

ejerza su acción.

Una magnitud escalar estará representada por un número, las cantidades vectoriales requieren

el empleo de otros elementos: intensidad, dirección y sentido se denominan vectores.

Las magnitudes que se manejan en la vida diaria son, por lo general, escalares. La mayor parte

de las determinaciones que se realizan en los laboratorios son escalares: densidad, temperatura,

viscosidad, puntos de fusión y ebullición,…

Hay otros ensayos que utilizan para su desarrollo magnitudes vectoriales. Ejemplos los tenemos

en la fuerza aplicada en los ensayos de tracción y compresión, en el ensayo del péndulo Charpy o en los

ensayos de dureza. Aún siendo magnitudes vectoriales se suele indicar solo un valor numérico porque la

dirección y el sentido de la fuerza aplicada se conocen perfectamente y vienen definidas por el mismo

ensayo: tracción = fuerza aplicada de forma longitudinal y en sentidos opuestos; compresión = fuerza

aplicada de forma longitudinal y en el mismo sentido. No es necesario en estos casos realizar cálculos

con vectores.



2.2. La medida como comparación

Medir una magnitud física es comparar un valor de esa magnitud con otra cantidad de la misma

que se ha elegido como unidad patrón.

La medida de longitudes se efectuaba en la antigüedad empleando una vara como patrón, es

decir, determinando cuántas veces la longitud del objeto a medir contenía a la de patrón. La vara, como

predecesora del metro de sastre, ha pasado a la historia como una unidad de medida equivalente a

835,9 mm. Este tipo de comparación inmediata de objetos corresponde a las llamadas medidas directas.

Son ejemplos de medidas directas la determinación de masas con la balanza, la medida con calibre, la

fuerza con un dinamómetro, etc.

Con frecuencia, la comparación se efectúa entre atributos que, aun cuando están relacionados

con lo que se desea medir, son de diferente naturaleza. Tal es el caso de las medidas térmicas, en las

que comparando longitudes sobre la escala graduada de un termómetro se determinan temperaturas.

Esta otra clase de medidas se denominan indirectas. En este caso lo que observamos es el efecto que la

temperatura tiene sobre la dilatación de un líquido en un tubo estrecho y que provoca un

desplazamiento del líquido en el tubo que nosotros podemos medir como longitud. Otro ejemplo de

medida indirecta es el de la presión en un barómetro.

La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física,

como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se

ha adoptado como unidad.

Supongamos una habitación cuyo suelo está cubierto de baldosas, tal como se ve en la figura,

tomando una baldosa como unidad, y contando el número de baldosas medimos la superficie de la

habitación, 30 baldosas. En la figura de la derecha, la medida de la misma superficie da una cantidad

diferente 15 baldosas.

La medida de una misma magnitud física (una superficie) da lugar a dos cantidades distintas

debido a que se han empleado distintas unidades de medida.

Este ejemplo, nos pone de manifiesto la necesidad de establecer una única unidad de medida

para una magnitud dada, de modo que la información sea comprendida por todas las personas.



3. MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS. SISTEMAS DE UNIDADES

En las ciencias físicas tanto las leyes como las definiciones relacionan matemáticamente entre sí

grupos, por lo general amplios, de magnitudes. Por ello es posible seleccionar un conjunto reducido

pero completo de ellas de tal modo que cualquier otra magnitud pueda ser expresada en función de

dicho conjunto. Esas pocas magnitudes relacionadas se denominan magnitudes fundamentales,

mientras que el resto que pueden expresarse en función de las fundamentales reciben el nombre de

magnitudes derivadas.

Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de magnitudes fundamentales y se han

definido correctamente sus unidades correspondientes, se dispone entonces de un sistema de

unidades.

La definición de unidades dentro de un sistema se atiene a diferentes criterios. Así la unidad ha

de ser constante como corresponde a su función de cantidad de referencia equivalente para las

diferentes mediciones, pero también ha de ser reproducible con relativa facilidad en un laboratorio. Con

estas premisas podremos definir las unidades que se utilizarán como patrón en estos sistemas.

4. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

Antes de disponer de un sistema de unidades aceptado por todos los países se estableció en

Francia el Sistema Métrico Decimal con el fin de solventar los dos grandes inconvenientes que

presentaban las antiguas medidas:

1. Unidades con el mismo nombre variaban de una provincia a otra

2. Las subdivisiones de las diferentes medidas no eran decimales, lo cual representaba

grandes complicaciones para el cálculo.

Se trataba de crear un sistema simple y único de medidas que pudiese reproducirse con

exactitud en cualquier momento y en cualquier lugar, con medios disponibles para cualquier persona.

En 1795 se instituyó en Francia el Sistema Métrico Decimal. En España fue declarado obligatorio

en 1849.

El Sistema Métrico se basa en la unidad "el metro" con múltiplos y submúltiplos decimales. Del

metro se deriva el metro cuadrado, el metro cúbico, y el kilogramo que era la masa de un decímetro

cúbico de agua.

Además del sistema métrico decimal, otros sistemas como el cegesimal: centímetro, gramo,

segundo; el terrestre o técnico: metro, kilogramo-fuerza, segundo y el Giorgi o MKS: metro, kilogramo,

segundo y el sistema métrico decimal, constituyeron la base de elaboración del sistema de unidades que

es adoptado por la mayor parte de países: Sistema Internacional de Unidades (SI).

La definición de un sistema de unidades permite el establecimiento de una considerable

variedad de ellos. Así, es posible elegir conjuntos de magnitudes fundamentales diferentes o incluso,

aun aceptando el mismo conjunto, elegir y definir unidades distintas de un sistema a otro.

Cada científico o cada país podría operar con su propio sistema de unidades, sin embargo, y

aunque en el pasado tal situación se ha dado con cierta frecuencia (los países anglosajones con sus

millas, pies, libras, grados Fahrenheit, etc.), existe una tendencia generalizada a adoptar un mismo

sistema de unidades con el fin de facilitar la cooperación y comunicación en el terreno científico y

técnico.



En esta línea de acción, la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en París en

1960, tomó la resolución de adoptar el llamado con anterioridad Sistema Práctico de Unidades, como

Sistema Internacional, que es, precisamente, como se le conoce a partir de entonces. El Sistema

Internacional de Unidades (abreviadamente SI) distingue y establece, además de las magnitudes básicas

y de las magnitudes derivadas, un tercer tipo formado por aquellas que aún no están incluidas en

ninguno de los dos anteriores, son denominadas magnitudes suplementarias.

El Sistema Legal de Unidades de Medida obligatorio en España es el Sistema Internacional de

Unidades (SI) adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas y vigente en la Unión Europea.

En España el Real Decreto 2032/2009 establece las unidades legales de medida que

obligatoriamente se utilizarán. Se definen:

1. Las unidades básicas (fundamentales).

2. Las unidades derivadas.

3. Las reglas de formación de múltiplos y submúltiplos.

4. Las reglas de escritura de símbolos y nombres de las unidades

5. Expresión de los valores de las magnitudes.

6. Uso de ciertas unidades ajenas al Sistema Internacional.

Los siguientes apartados están desarrollados a partir del RD de unidades legales de medida.

4.1. Unidades básicas (fundamentales) del SI.

Las magnitudes a las que se refieren y el nombre y símbolo de las unidades básicas del SI son los

siguientes:

TABLA 1

Magnitud Nombre de la unidad Símbolo de la unidad

Longitud

Masa

Tiempo, duración

Corriente eléctrica

Temperatura termodinámica

Cantidad de sustancia

Intensidad luminosa

Metro

Kilogramo

Segundo

Amperio

Kelvin

Mol

Candela

m

kg

s

A

K

mol

cd

Para la mayoría de las determinaciones que se realizan en un laboratorio de ensayos físico-

químico y físico se utilizan las tres primeras: longitud, masa y tiempo como magnitudes básicas y las

derivadas de ellas.

Es también frecuente el uso del grado kelvin y mol en laboratorios químicos y en algunas

determinaciones físico-químicas. Es menos frecuente el uso del amperio. En muy pocas ocasiones se

utiliza la intensidad luminosa.



4.2. Definiciones de las unidades básicas del SI.

Las definiciones de las unidades básicas del SI son las siguientes:

Unidad de longitud (metro, m): El metro es la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz

durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

De aquí resulta que la velocidad de la luz en el vacío es igual a 299 792 458 metros por segundo

exactamente, c = 299 792 458 m/s.

Unidad de masa (kilogramo, kg): El kilogramo es la unidad de masa; es igual a la masa del prototipo

internacional del kilogramo, adoptado por la tercera Conferencia General de Pesas y Medidas en 1901.

Unidad de tiempo (segundo, s): El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación

correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de

cesio 133.

De aquí resulta que la frecuencia de la transición hiperfina del estado fundamental del átomo de

cesio es igual a 9 192 631 770 hercio, ν (hfs Cs) = 9 192 631 770 Hz. Esta definición se refiere a un átomo

de cesio en reposo, a una temperatura de 0 K.

Unidad de intensidad de corriente eléctrica (amperio, A): El amperio es la intensidad de una

corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita,

de sección circular despreciable y situados a una distancia de 1 metro uno del otro, en el vacío,

produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud.

De aquí resulta que la constante magnética, μ0, también conocida como permeabilidad del

vacío, es exactamente igual a 4π × 10-7 henrio por metro, μ0 = 4π × 10-7 H/m.

Unidad de temperatura termodinámica (kelvin, K): El kelvin, unidad de temperatura

termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Esta

definición se refiere a un agua de una composición isotópica definida por las siguientes relaciones de

cantidad de sustancia: 0,000 155 76 moles de 2H por mol de 1H, 0,000 379 9 moles de 170 por mol de

160 y 0,002 005 2 moles de 180 por mol de 160.

De aquí resulta que la temperatura termodinámica del punto triple del agua es igual a 273,16

kelvin exactamente, Ttpw = 273,16 K.

Unidad de cantidad de sustancia (mol, mol): El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que

contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Esta

definición se refiere a átomos de carbono 12 no ligados, en reposo y en su estado fundamental.

Cuando se emplee el mol, deben especificarse las entidades elementales, que pueden ser

átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.

De aquí resulta que la masa molar del carbono 12 es igual a 12 g por mol, exactamente, M(12C)

= 12 g/mol.

Unidad de intensidad luminosa (candela, cd): La candela es la intensidad luminosa, en una dirección

dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 × 1012 hercios y cuya

intensidad energética en dicha dirección de 1/683 vatios por estereorradián.

De aquí resulta que la eficacia luminosa espectral de una radiación monocromática de frecuencia

igual a 540 × 1012 hercios es igual a 683 lúmenes por vatio, exactamente, K= 683 lm/W = 683 cd sr/W.



4.3. Unidades derivadas del SI.

Las unidades derivadas se forman a partir de productos de potencias de unidades básicas. Las

unidades derivadas coherentes son productos de potencias de unidades básicas en las que no interviene

ningún factor numérico más que el 1. Las unidades básicas y las unidades derivadas coherentes del SI

forman un conjunto coherente, denominado conjunto de unidades SI coherentes.

El número de magnitudes utilizadas en el campo científico no tiene límite; por tanto no es

posible establecer una lista completa de magnitudes y unidades derivadas. Sin embargo, en la tabla 2 se

presentan algunos ejemplos de magnitudes derivadas y las unidades derivadas coherentes

correspondientes, expresadas directamente en función de las unidades básicas.

Ejemplos de unidades derivadas a partir de las unidades básicas

TABLA 2

Por conveniencia, ciertas unidades derivadas coherentes han recibido nombres y símbolos

especiales. Se recogen en la tabla 3. Estos nombres y símbolos especiales pueden utilizarse con los

nombres y los símbolos de las unidades básicas o derivadas para expresar las unidades de otras

magnitudes derivadas.

Algunos ejemplos de ello figuran en la tabla 4. Los nombres y símbolos especiales son una forma

compacta de expresar combinaciones de unidades básicas de uso frecuente, pero en muchos casos

sirven también para recordar la magnitud en cuestión. Los prefijos SI pueden emplearse con cualquiera

de los nombres y símbolos especiales, pero al hacer esto la unidad resultante no será una unidad

coherente.



En la última columna de las tablas 3 y 4 se muestra cómo pueden expresarse las unidades SI

mencionadas en función de las unidades SI básicas. En esta columna, los factores de la forma m0 , kg0 ,

etc., que son iguales a 1, no se muestran explícitamente.

Unidades SI derivadas coherentes con nombres y símbolos especiales

TABLA 3



Ejemplos de unidades SI derivadas coherentes cuyos nombres y símbolos contienen unidades SI

derivadas coherentes con nombres y símbolos especiales.

TABLA 4

Los valores de varias magnitudes diferentes pueden expresarse mediante el mismo nombre y

símbolo de unidad SI. De esta forma el julio por kelvin es el nombre de la unidad SI para la magnitud

capacidad térmica así como para la magnitud entropía. Igualmente, el amperio es el nombre de la

unidad SI tanto para la magnitud básica intensidad de corriente eléctrica como para la magnitud

derivada fuerza magnetomotriz. Por lo tanto no basta con utilizar el nombre de la unidad para

especificar la magnitud. Esta regla es aplicable no sólo a los textos científicos y técnicos sino también,

por ejemplo, a los instrumentos de medida (es decir, deben indicar tanto la unidad como la magnitud

medida).

Una unidad derivada puede expresarse de varias formas diferentes utilizando unidades básicas y

unidades derivadas con nombres especiales: el julio, por ejemplo, puede escribirse newton metro o bien

kilogramo metro cuadrado por segundo cuadrado.

Ciertas magnitudes se definen por cociente de dos magnitudes de la misma naturaleza; son por

tanto adimensionales, o bien su dimensión puede expresarse mediante el número uno. El valor de estas

magnitudes se expresa por números y la unidad «uno» no se menciona explícitamente. Como ejemplo

de tales magnitudes, se pueden citar, el índice de refracción, la permeabilidad relativa o el coeficiente

de rozamiento.



4.4. Reglas de escritura de unidades y magnitudes. Símbolos y nombres.

REGLAS DE ESCRITURA DE LOS SÍMBOLOS Y NOMBRES DE LAS UNIDADES:

1. Los nombres de las unidades se escriben en minúsculas (metro, kilogramo, newton,..). El

símbolo también en minúscula, excepto si derivan de un nombre propio (metro, m; kilogramo,

kg; newton, N porque deriva del nombre propio). Como excepción se permite el uso de la

letra L en mayúscula o l en minúscula como símbolos del litro (litro, l o L). Para evitar

confusiones con el número 1 (uno) o la letra l (ele).

2. Un prefijo de múltiplo o submúltiplo, si se usa, forma parte de la unidad y precede al símbolo

de la unidad, sin espacio entre el símbolo del prefijo y el símbolo de la unidad. Un prefijo

nunca se usa solo y nunca se usan prefijos compuestos (nanómetro, nm; megawatio, Mw;

kilolitro, kL ó kl).

3. Los símbolos de las unidades no van seguidos de puntos, ni se usa el plural (5 metros, 5m,

5ms).

4. La multiplicación se indica con un punto a media altura (·). La división se indica mediante una

línea horizontal, una barra oblicua (/), o mediante exponentes negativos. Cuando se

combinan varios símbolos de unidades se utilizarán corchetes o paréntesis, o exponentes

negativos. En una expresión dada sin paréntesis, no debe utilizarse más de una barra oblicua,

para evitar ambigüedades.

5. No se permite emplear abreviaturas para los símbolos y nombres de las unidades, como seg

(por s o segundo), mm cuad. (por mm2 o milímetro cuadrado), cc (por cm3 o centímetro

cúbico) o mps (por m/s o metro por segundo). De esta forma se evitan ambigüedades y

malentendidos respecto a los valores de las magnitudes.

6. Los nombres de las unidades empiezan por minúscula (incluso cuando su nombre es el de un

científico eminente y el símbolo de la unidad comienza por mayúscula). Para cumplir esta

regla, la escritura correcta del nombre de la unidad cuyo símbolo es °C es «grado Celsius» (la

unidad grado comienza por la letra g en minúscula y el atributo Celsius comienza por la letra C

en mayúscula, por que es un nombre propio). Los nombres de las unidades pueden escribirse

en plural: metros, grados, segundos,…)

7. Aunque los valores de las magnitudes se expresan generalmente mediante los nombres y

símbolos de las unidades, si por cualquier razón resulta más apropiado el nombre de la unidad

que su símbolo, debe escribirse el nombre de la unidad completo.

8. Cuando el nombre de la unidad está combinado con el prefijo de un múltiplo o submúltiplo,

no se deja espacio ni se coloca guión entre el nombre del prefijo y el de la unidad. (picogramo,

milisegundo, hectopascal,…) El conjunto formado por el nombre del prefijo y el de la unidad

constituye una sola palabra.

9. Cuando el nombre de una unidad derivada se forma por multiplicación de nombres de

unidades individuales, conviene dejar un espacio, un punto centrado a media altura (·), o un

guión para separar el nombre de cada unidad. La unidad de la viscosidad dinámica es el

pascal·segundo, pascal-segundo, (Pa·s). Momento de una fuerza newton·metro, newton-

metro (N·m).



REGLAS DE ESCRITURA PARA EXPRESAR LOS VALORES DE LAS MAGNITUDES.

1. El valor de una magnitud se expresa como el producto de un número por una unidad: 5 m =

cinco metros, 200 kg = doscientos kilogramos. Se deja un espacio entre el valor y el símbolo

de la unidad.

2. Se recomienda que los símbolos de magnitudes se escriban en cursiva y puede especificarse

información adicional mediante subíndices, superíndices o entre paréntesis. Así C es el

símbolo recomendado para la capacidad calorífica, Cm para la capacidad calorífica molar, Cm,p

para la capacidad calorífica molar a presión constante.

3. Es obligatorio emplear los símbolos correctos de las unidades.

4. Se puede añadir información acompañando a la magnitud, pero no a la unidad.

5. El valor numérico precede siempre a la unidad y siempre se deja un espacio entre el número y

la unidad. (5 metros = 5 m; 200 kilogramos = 200 kg). Así, el valor de una magnitud es el

producto de un número por una unidad, considerándose el espacio como signo de

multiplicación (igual que el espacio entre unidades). Las únicas excepciones a esta regla son

los símbolos de unidad del grado, el minuto y el segundo de ángulo plano, °, ′ y ″,

respectivamente, para los cuales no se deja espacio entre el valor numérico y el símbolo de

unidad. Esta regla implica que el símbolo °C para el grado Celsius debe ir precedido de un

espacio para expresar el valor de la temperatura Celsius t. (40 grados Celsius = 40 ºC).

6. En cualquier expresión, sólo se emplea una unidad. Una excepción a esta regla es la expresión

de los valores de tiempo y ángulo plano expresados mediante unidades fuera del SI. Sin

embargo, para ángulos planos, es preferible generalmente dividir el grado de forma decimal.

Así, se escribirá 22,20° mejor que 22°12´ (22 grados y 12 minutos).

7. El símbolo utilizado para separar la parte entera de su parte decimal se denomina «separador

decimal». El símbolo del separador decimal es la coma (0,23 gramos; 1,876 cm3; 34,67 N·m).

8. Los números con muchas cifras pueden repartirse en grupos de tres cifras separadas por un

espacio, a fin de facilitar la lectura. Estos grupos no se separan nunca por puntos ni por

comas. En los números de una tabla, el formato no debe variar en una misma columna. Por

ejemplo: 3 000 000,34 m = 3 millones con treinta y cuatro metros).

9. Para expresar los valores de magnitudes particularmente grandes o particularmente

pequeñas se emplean las potencias de 10 (6,03·103 m; 8,99·10-3 V)

10. En las expresiones matemáticas, el símbolo % (tanto por ciento), reconocido

internacionalmente, puede utilizarse con el SI para representar al número 0,01. Se dejará un

espacio entre el número y el símbolo % (6 % = 0,06 ó 6 por ciento).

11. Cuando se expresan valores de fracciones adimensionales que resultan del cociente entre

unidades del mismo tipo, como por ejemplo el término «ppm» que significa 106 en valor

relativo o 1 x 10-6 o «partes por millón» o millonésimas. Cuando se emplea alguno de los

términos %, ppm, etc., es importante aclarar cuál es la magnitud sin dimensión cuyo valor se

está especificando. Tanto por ciento en peso, volumen,…



4.5. Reglas para la formación de múltiplos y submúltiplos decimales del sistema

internacional.

Los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI se forman por medio de prefijos que

designan los factores numéricos decimales por los que se multiplica la unidad y que figuran en la tabla 5.

TABLA 5

Múltiplos y submúltiplos del SI

Múltiplos Submúltiplos

Factor Nombre Símbolo Factor Nombre Símbolo

101

102

103

106

109

1012

1015

1018

1021

1024

deca

hecto

kilo

mega

giga

tera

peta

exa

zetta

yotta

da

h

k

M

G

T

P

E

Z

Y

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

10-21

10-24

deci

centi

mili

micro

nano

pico

femto

atto

zepto

yocto

d

c

m

µ

n

p

t

a

z

y

REGLAS DE ESCRITURA PARA EXPRESAR LAS UNIDADES CON MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS.

1. Los símbolos de los prefijos se escriben en caracteres romanos (rectos), como los símbolos de

las unidades, independientemente del tipo de letra del texto adyacente, y se unen a los

símbolos de las unidades, sin dejar espacio entre el símbolo del prefijo y el de la unidad.

(miligramo, decámetro, megakilo,..)

2. Los símbolos de múltiplos se escriben con mayúsculas, con excepción de da (deca), h (hecto) y

k (kilo).

3. Los símbolos de submúltiplos se escriben todos con minúscula.

4. Los nombres de los prefijos son inseparables de los nombres de las unidades a las que se

unen. Así, por ejemplo, milímetro, micropascal y meganewton se escriben en una sola

palabra.

5. Entre las unidades del sistema internacional el gramo es el único que se define con un

múltiplo el kilo.

Ejemplos: 2,3 cm3 = 2,3·(cm)3 = 2,3·(10-2 m)3 = 2,3·10-6 m3

cm-1 = 1·(cm)-1 = 1·(10-2 m)-1 = 102·m-1 = 100 m-1

1 V/cm = (1 V)/(10-2 m) = 102 V/m = 100 V/m

5000 μs-1 = 5000 (μs)-1 = 5000 (10-6 s)-1 = 5·109 s-1



4.6. Otras unidades.

La tabla 6 incluye las unidades no pertenecientes al SI y cuyo uso está aceptado, dado que son

ampliamente utilizadas en la vida cotidiana y cada una de ellas tiene una definición exacta en unidades

SI. Incluye las unidades tradicionales de tiempo y de ángulo.

Contiene también la hectárea, el litro y la tonelada, que son todas de uso corriente a nivel

mundial, y que difieren de las unidades SI coherentes correspondientes en un factor igual a una

potencia entera de diez.

Los prefijos SI se emplean con varias de estas unidades, pero no con las unidades de tiempo.

TABLA 6

Unidades no pertenecientes al SI pero aceptadas y autorizadas

Magnitud Nombre de la unidad Símbolo Valor en unidades SI

Tiempo Minuto

Hora

Día

min

h

d

1 min = 60 s

1 h = 60 min = 3600 s

1 d = 24 h = 86 400 s

Ángulo plano Grado

Minuto

Segundo

⁰

´

“

1⁰ = (π/180) rad

1´ = (1/60)⁰ = (π/10 800) rad

1” = (1/60)´ = (π/648 000) rad

Área Hectárea ha 1 ha = 1 hm2 = 104 m2

Volumen Litro L, l 1 L = 1 l = 1 dm3 = 103 cm3 = 10-3 m3

Masa Tonelada t 1 t = 103 kg



5. OTROS SISTEMAS DE UNIDADES:

5.1. El sistema cegesimal de unidades (CGS)

El sistema cegesimal de unidades, también llamado sistema CGS, es un sistema de

unidades basado en el centímetro, el gramo y el segundo. Su nombre es el acrónimo de estas tres

unidades.

El sistema CGS ha sido casi totalmente reemplazado por el Sistema Internacional de Unidades.

Sin embargo aún perdura su utilización en algunos campos científicos y técnicos muy concretos, con

resultados ventajosos en algunos contextos:

Unidades del sistema cegesimal o CGS

Magnitud Nombre de la unidad Símbolo Definición Valor en unidades SI

longitud centímetro cm cm 0,01 m

masa gramo g g 0,001 kg

tiempo segundo s s 1 s

aceleración gal Gal cm s-2 0,01 m s-2

fuerza dina dyn g cm s-2 10-5 N

energía ergio erg dyn cm 10-7 J

potencia ergio por segundo erg s-1 10-7 W

presión baria baria dyn cm-2 0,1 Pa

viscosidad dinámica poise P dyn s cm-2 0,1 Pa·s

viscosidad cinemática stokes St cm2s-1 10-4 m2s-1

carga eléctrica franklin o statcoulomb Fr dyn½cm 3,336 641 × 10-10 C

potencial eléctrico statvolt 299,7925 V

campo eléctrico statvolt por cm dyne Fr-1

flujo magnético maxwell Mx G cm2 10-8 Wb

densidad de flujo magnético

gauss Gs, G Mx cm-2 10-4 T

intensidad de corriente

statamperio 3.335 641 × 10-10 A

resistencia statohmio 8.987 552 × 1011 Ω

Capacidad eléctrica statfaradio o «centímetro»

«cm» 1,113 × 10-12 F

inductancia stathenrio 8,988 × 1011 H

número de onda kayser 1 cm-1



5.2. El sistema técnico de unidades.

Derivado del sistema métrico. Es un sistema en desuso y sustituido por el Sistema Internacional.

Un sistema técnico de unidades es cualquier sistema de unidades en el que se toman como

magnitudes fundamentales la longitud, la fuerza, el tiempo y la temperatura.

Magnitud Nombre Símbolo Equivalencia (SI)

Longitud

Tiempo

Fuerza

Masa

Temperatura

Cantidad de calor

Trabajo, Energía

Presión

metro, centímetro

segundo

kilopondio o kg-fuerza

Unidad Técnica de Masa

grado Celsius

caloría

kilopondímetro

atmósfera técnica

m, cm

s

kp, kgf

u.t.m.

⁰C

cal

kpm

1 at = 1 kgf/cm2

1 m, 0,01 m

1 s

1 kp = 9,80665 N

1 u.t.m. = 9,80655 kg

T (ºC) = T (ºK) – 273,15

1 cal = 4,18 J

1 kpm = 9,80665 J

1 at = 98066,5 Pa

5.3. El sistema anglosajón de unidades.

El sistema anglosajón de unidades es el conjunto de las unidades no métricas que se utilizan

actualmente en muchos territorios de habla inglesa.

Este sistema se deriva de la evolución de las unidades locales a través de los siglos, y de los

intentos de estandarización en Inglaterra. Hoy en día, estas unidades están siendo lentamente

reemplazadas por el Sistema Internacional de Unidades, aunque todavía son muy utilizadas en divesos

ámbitos.

Texto sobre el sistema de medidas de EEUU

"¿Por qué no tomar un grano de cebada como la base de un sistema de medida de una, no sé, hipotética

superpotencia industrial?

Tres granos de cebada hacen una pulgada, y doce pulgadas son un pie. Tres pies son una yarda, y 1760 yardas

hacen una milla. Si dividimos una milla entre ocho obtenemos un estadio, que equivale a diez cadenas. Un

onceavo de cadena es una braza, y quince brazas forman un grillete. Por otro lado cien brazas son un cable, y diez

cables una milla náutica que por supuesto es muy diferente de una milla estándar. Tres millas náuticas son

una liga pero conviene saber que una milla náutica equivale a 6080 pies. No olvidemos que un tercio de pie es

una mano, que a su vez está formada por dos palos. La mitad de un palo es una pulgada, y tres de ellas forman

una palma, que dividida entre cuatro es un dígito. Tres dígitos hacen un clavo y cuatro clavos forman un palmo.

Dos palmos son un codo y un tercio de codo es un "shatment". Cinco de estos hacen un ritmo. Por supuesto, dos

ritmos forman un paso y cuatro pasos son una cuerda. Cinco cuerdas son una "ramsdens" y 50 de ellas forman

una milla romana, distinta de la milla estándar. La milla romana tiene exactamente 60 000 pulgadas, mientras que

la estándar tiene 63 360 pulgadas. Hablando de pulgadas, si dividimos un centímetro en seis, obtenemos picas, y si

dividimos una pica en doce obtenemos un punto. La vigésima parte de un punto es un "twip". Por otro lado seis

puntos forman una línea. Por cierto, la línea se define como una semilla de amapola. Si alineas cuatro semillas de

amapola obtienes un grano de cebada".

"¡Un sistema de unidades fantásticamente lógico!"

Vosotros, ¿qué opináis?



Unidades de longitud

Nombre Símbolo Equivalencia (SI)

mil

pulgada

pie

yarda

milla

legua

mil

in, “

ft

yd

mi

legua

1 mil = 25,4 µm

1 in = 1” = 103 miles = 2,54·10-2 m

1 ft = 1´ = 12 in = 30,48 cm

1 yd = 3 ft = 36 in = 91,44 cm

1 mi = 1609,344 m

1 legua = 3 mi = 4828,032 m

Unidades de superficie


pulgada cuadrada

pie cuadrado

yarda cuadrada

acre

milla cuadrada

legua cuadrada

in2

ft2

yd2

ac

mi2

legua2

1 in2 = 6,4516·10-4 m2

1 ft2 = 144 in2 = 9,290304·10-2 m2

1 yd2 = 9 ft2 = 0,83612736 m2

1 ac = 4046,8564224 m2

1 mi2 = 2,589988110336 m2

1 legua2 = 9 mi2 = 2,33099·107 m2

Unidades de volumen en sólidos


pulgada cúbica

pie cúbico

yarda cúbica

acre-pie

milla cúbica

in3

ft3

yd3

acre-pie

mi3

1 in3 = 1,6387064·10-5 m2

1 ft3 = 1728 in3 = 0,028317 m3

1 yd3 = 27 ft3 = 0,764555 m3

1 acre-pie = 1233,481838 m3

1 mi3 = 4,16818·109 m3

Unidades de volumen en líquidos (EEUU)


onza líquida

pinta

cuarto

galón

barril

fl oz

pt

qt

gal

barril

1 fl oz = 29,57353·10-3 L

1 pt = 16 fl oz = 473,176473·10-3 L

1 qt = 2 pt = 946,352946·10-3 L

1 gal = 4 qt = 3,7854117 L

1 barril = 42 gal = 158,9873 L

Unidades de volumen en líquidos (Reino Unido)


onza líquida

pinta

cuarto

galón

barril

fl oz

pt

qt

gal

barril

1 fl oz = 28,4130625·10-3 L

1 pt = 20 fl oz = 568,26125·10-3 L

1 qt = 2 pt = 1,1365225 L

1 gal = 4 qt = 4,54609 L

1 barril = 35 gal = 159,11315 L



ECUACIÓN DE DIMENSIONES DE UNA MAGNITUD.

ANÁLISIS DIMENSIONAL.

Es una ecuación simbólica, en forma de producto, que expresa como se toma una magnitud

derivada, partiendo de las fundamentales. Resulta de expresar en las dimensiones básicas de un

sistema, la propiedad física en análisis.

En el sistema internacional SI las magnitudes fundamentales se expresan con una letra

mayúscula:

MAGNITUDES FUNDAMENTALES

LONGITUD L

MASA M

TIEMPO T

Para las magnitudes derivadas, la ecuación de dimensiones se forma efectuando la sustitución

en las fórmulas, hasta obtener la mínima expresión, referida a L, M, T.

Para propiedades físicas que resultan como combinación de las magnitudes fundamentales

tenemos:

Superficie: es el producto de dos longitudes

[ ] 2LSSuperficie =

Volumen: es sabido que el volumen de un cuerpo es el producto de tres longitudes, luego:

[ ] 3LVVolumen =

Velocidad: es el cociente entre el espacio y el tiempo

[ ] 1−⋅== TLT

LvVelocidad

Aceleración: es el cociente entre el espacio recorrido entre el tiempo al cuadrado

[ ] 22

−⋅== TLT

LanAceleració

Densidad: es el cociente entre masa y volumen

[ ] 33

−⋅=== LML

M

volumen

masadDensidad

Fuerza: es masa por aceleración

[ ] 2−⋅⋅=⋅= TLMnaceleraciómasaFFuerza



Otras ecuaciones de parámetros físico-químicos son:

- Presión: cociente entre fuerza y superficie

[ ] 212

2

Pr −−−

⋅⋅=⋅⋅== TLML

TLM

S

FPesión

- Calor, trabajo o energía:

222 −− ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= TLMLTLMLFQ

- Peso específico:

22321 . −−− ⋅⋅=⋅⋅== TLMLTLMV

PPe

- Viscosidad:

11 −− ⋅⋅= TLMη

- Tensión superficial:

2−⋅= TMσ



CONVERSIÓN DE UNIDADES

FACTORES DE CONVERSIÓN

Dos son los problemas generales que se encuentran en los cálculos tecnológicos:

• Cambio de unidades.

• Modificación de ecuaciones para tener unidades homogéneas.

En los cálculos del laboratorio son muchas las ocasiones en que tendremos que realizar un

cambio o conversión de unidades para poder operar con magnitudes que no vienen expresadas en las

mismas unidades. Para que los cálculos que realicemos sean correctos, debemos transformar las

unidades de forma que se cumpla el principio de homogeneidad.

Ejemplo: si queremos calcular el espacio recorrido por un móvil que se mueve a velocidad constante de

72 Km/h en un trayecto que le lleva 30 segundos, debemos aplicar la sencilla ecuación:

S = v · t

Pero tenemos el problema de que la velocidad viene expresada en kilómetros/hora, mientras

que el tiempo viene en segundos. Esto nos obliga a transformar una de las dos unidades, de forma que

ambas sean la misma, para no violar el principio de homogeneidad y que el cálculo sea acertado.

Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión.

Llamamos factor de conversión a la relación de equivalencia entre dos unidades de la misma

magnitud, es decir, un cociente que nos indica los valores numéricos de equivalencia entre ambas

unidades. En este caso el factor de conversión entre horas y segundos viene dado por la expresión:

segundos

hora

3600

1 o la equivalente

hora

segundos

1

3600, ya que 1 hora = 3600 segundos

Para realizar la conversión, simplemente colocamos la unidad de partida y usamos la relación o

factor adecuado, de manera que se nos simplifiquen las unidades de partida y obtengamos el valor en

las unidades que nos interesa.

En nuestro caso, deseamos transformar la velocidad de Km/hora a Km/segundo, por lo cual

usaremos la primera de las expresiones, ya que así simplificamos la unidad hora:

segundokmsegundos

hora

hora

km/02,0

3600

172 =×

Si tenemos que transformar más de una unidad, utilizamos todos los factores de conversión

sucesivamente y realizamos las operaciones. Por ejemplo, transformemos los 72 Km/h a m/s:

smkm

metros

segundos

hora

hora

km/20

1

1000

3600

172 =××

El factor de conversión o de unidad es una fracción en la que el numerador y el denominador

son medidas iguales expresadas en unidades distintas, de tal manera, que esta fracción vale la unidad.

Es un método efectivo para cambio de unidades y resolución de ejercicios sencillos dejando de utilizar la

regla de tres.



Ejemplo primero:

Convertir 3 g/cm3 a kg/m3.

Debo transformar los g a kg y los cm3 a m3 � Dos factores de conversión (dos fracciones), uno para cada

cambio de unidad.

Una vez que sabes el número de factores debes seguir el siguiente proceso:

1º Colocarás la cantidad a transformar (número y unidad).

Ej.: 3 g/cm3

2º Pondrás un por (signo de multiplicación) y la raya de una fracción.

⋅⋅3

3cm

g

3º Para la primera unidad que deseas convertir:

• Coloca la unidad que deseas aparezca en el lugar donde debe estar (numerador o

denominador de la fracción.

• Coloca la unidad que deseas que se vaya en el otro lado.

g

kg

cm

g ⋅⋅3

3 � pongo aquí lo que deseo que se quede, el kg

� pongo aquí lo que deseo que se vaya, el g

4º Pongo '1' a la mayor de las dos y el equivalente del sistema métrico decimal para la otra.

g

kg

cm

g

1000

13

3⋅⋅

� El kg es mayor, luego pongo un 1

� Un kg equivale a 1.000 g.

5º Si hay más unidades que transformar repetimos el proceso anterior:

⋅⋅⋅g

kg

cm

g

1000

13

3

3

3

3 1000

13

m

cm

g

kg

cm

g ⋅⋅⋅ � pongo aquí lo que quiero que se vaya, los cm3

� pongo aquí lo que quiero que se quede, los m3

3

3

3 1

0000001

1000

13

m

cm

g

kg

cm

g ⋅⋅⋅ � Un m3 equivale a 1 000 000 cm3

� el m3 es mayor, luego pongo un 1

6º Se opera y el resultado lo obtendremos en las unidades deseadas:

33

3

3/3000

1

0000001

1000

13 mkg

m

cm

g

kg

cm

g =⋅⋅⋅



Ejemplo segundo:

Ahora haremos un ejercicio con los criterios anteriores, pero en una sola línea.

Pasar 1.500 kg / m3 a kg / dm3 � Sólo se debe pasar el m3 a dm3

33

3

35,1

1000

11500 dmkg

dm

m

m

kg =⋅

Ejemplo tercero

3 g / l a kg / cm3 � Se deben cambiar los g a kg y los l (dm3) a cm3

3633

/103000003,01000

1

1000

13 cmkgcmkg

cm

l

g

kg

l

g −⋅==⋅⋅

Ejercicio 1: pasar 15 pulgadas a centímetros (factor de conversión: 1 pulgada = 2,54 cm)

15 pulgadas × (2,54 cm / 1 pulgada) = 15 × 2,54 cm = 38,1 cm

Ejercicio 2: pasar 25 metros por segundo a kilómetros por hora (factores de conversión: 1 kilómetro =

1000 metros, 1 hora = 3600 segundos)

25 m/s × (1 km / 1000 m) × (3600 s / 1 h) = 90 km/h

Ejercicio 3: obtener la masa de 10 litros de mercurio (densidad del mercurio: 13,6 kilogramos por

decímetro cúbico)

Nótese que un litro es lo mismo que un decímetro cúbico.

10 litros de mercurio × (1 decímetro cúbico de mercurio / 1 litro de mercurio) × (13,6 kilogramos

/ 1 decímetro cúbico de mercurio) = 136 kg

Ejercicio 4: pasar 242⁰ a radianes (Factor de conversión: 180⁰ = π rad)

242⁰ x (πrad/180⁰) = 4,22 rad

Ejercicio 5: Queremos pasar 3 Mg a g

Como sabemos que al prefijo M le corresponde 106, entonces, 1 Mg = 106 g. Esto quiere decir que el

factor 110

16

=g

Mg y también que 1

1

106

=Mg

g

En el caso que nos ocupa, nos interesa utilizar la 2ª expresión:

gMg

gMg 6

6

1031

103 ⋅=⋅



EL ERROR EXPERIMENTAL EN LA MEDIDA

1. CONCEPTOS.

Cuando se realiza una medida siempre aparece un determinado tipo de error asociado a ella.

Nunca podemos tener el 100% de certeza de que el valor obtenido en dicha medida, coincide con el

valor verdadero o real; dicho de otra manera, nunca podremos saber el valor real de una determinada

variable medida, ya que siempre existirá un cierto grado de indeterminación.

Exactitud

Es la propiedad por la cual una medida o el representante de una serie de ellas, se acerca al

valor real o de referencia aceptado.

Por ejemplo, imaginemos que disponemos de una pieza calibrada de 10,0000 g Y nos piden cuál

de las dos balanzas que tenemos es la más exacta. Si calibramos las dos balanzas y pesamos

correctamente la pieza, aquella de las dos balanzas que se acerque más al valor considerado patrón será

considerada como el instrumento más exacto.

Un instrumento es más exacto cuanto más se acerca su lectura al valor proporcionado por un

patrón.

La exactitud puede ser determinada a partir del grado de aproximación o un valor

considerado referencia o patrón.

Precisión.

Es el grado de dispersión o concordancia que presentan los resultados obtenidos al medir

repetidamente un determinado valor de una variable.

Un instrumento es tanto más preciso cuantas más cifras significativas puede proporcionar.



Es habitual diferenciar entre:

Repetibilidad:

Definida como la precisión bajo condiciones determinadas en las que los resultados de una

medida se obtienen con el mismo método, operador, laboratorio e instrumento durante un corto

intervalo de tiempo. Realizar en ensayo en las mismas condiciones de medida, mismo operador, mismo

sitio,… y obtener los mismos resultados.

Reproducibilidad:

En este caso sería la precisión en condiciones diferentes, donde no coinciden los laboratorios,

los operadores, los instrumentos, etc. Hacer el mismo análisis en diferentes condiciones, cambio de

operador, lugar,... obteniendo los mismos resultados.

Los conceptos de exactitud y precisión son independientes y ambas cualidades de medida son

siempre necesarias. De todas formas, lo que es primordial es la exactitud, aunque a veces, para

determinadas medidas, puede ser suficiente una buena precisión si a cambio se incrementa la facilidad

de la medida, la rapidez, o se disminuye el coste de adquisición de ésta.

La exactitud está relacionada con la calidad de la medida, o sea, su acercamiento al valor real.

La precisión tiene mucho que ver con la calidad con la que efectuamos la medida, la seguridad

que podemos tener de ella, así como el estado y el tipo de aparato o procedimiento utilizado.

El ejemplo en forma de diana nos puede ayudar a entender mejor los conceptos anteriores,

aunque de cara a resultados analíticos es mejor la representación temporal de los resultados.

Fiabilidad: (o confianza).

Este concepto generalmente se suele aplicar a un instrumento, técnica u operador. Desde estos

puntos de vista, se define como la probabilidad de que éste/a se comporte de la forma prevista en un

tiempo y en unas condiciones de trabajo determinadas que le son propias.

La fiabilidad generalmente se expresa como el número de horas de trabajo sin errores ni

problemas. Usualmente este concepto reúne los requisitos de exactitud y precisión. Por eso, diremos

que un operador, técnica experimental o aparato es fiable si demuestra a los largo del tiempo que es

suficientemente exacto y preciso.



2. TEORÍA DE LOS ERRORES.

Llamamos “error” a la diferencia existente entre el resultado de una medida experimental y su

valor real.

Los errores los podemos clasificar según dos criterios diferentes:

- Según su tendencia, tal como se muestra en la siguiente figura:

- Según su expresión matemática:

2.1. Los errores según su tendencia

Los clasificamos según sus posibles causas en sistemáticos y aleatorios.

Errores sistemáticos: Cuando hay una o diversas causas que los determinan y la detección de estas

causas supone la posibilidad de eliminar el error.

Errores aleatorios: Cuando existen múltiples causas que actúan al azar y de forma indeterminada. Estos

errores son difíciles de precisar y eliminar, aunque pueden ser reducidos mejorando el procedimiento

de obtención de los datos.

Según su exp.mat.

Absolutos Relativos

Según su tendencia

Aleatorios

Sistemáticos

Según su valor

Según su origen

Aditivos Proporcionales Instrumento Personales De método



2.1.1. Errores sistemáticos o determinados

Son debidos a defectos en los instrumentos, en los métodos, y/o en el personal, que pueden ser

detectados y resueltos. Tienen las siguientes características:

a. Suelen actuar en un mismo sentido, es decir, actúan generalmente o por exceso o por defecto

sobre el valor real. -

b. Siempre tienen la misma magnitud.

c. Pueden ser eliminados si se detecta la fuente del error o defecto, por una persona

especializada. Su detección se fundamenta en la utilización de patrones (standards) y en el

control externo (auditorias de calidad realizadas por empresas o instituciones homologadas).

d. Afectan a la exactitud de la medida.

Desde el punto de vista matemático, atendiendo a su valor, los podemos considerar como:

Errores aditivos

Son aquellos que se desvían del valor real una cantidad constante, sin depender del valor de la

variable que se está controlando.

Casos típicos serían:

� Cuando el "cero" del aparato no es correcto.

� La preparación incorrecta del blanco del método.

Errores proporcionales

Cuando el valor de la medida se aleja del valor real según un factor de proporcionalidad

relacionado con la cantidad de la muestra.

Como ejemplos tenemos: cambios en la sensibilidad de los aparatos, interferencias de

substancias presentes en la muestra, etc.



Atendiendo al origen que los causa podemos considerarlos como:

Personales

Se deben a la mala instrucción, a la incorrecta aplicación o a la mala fe del personal a cargo de la

medida.

Entre los errores personales más habituales destaca el de paralelaje. Este error es debido a la

forma de leer el volumen de un líquido en un determinado recipiente. Es el error típico de las

operaciones de enrase y se soluciona haciendo caso del menisco, siguiendo el criterio correcto según

nos muestra las figuras.

Ejemplos de otros errores personales son: la deficiente limpieza del material, la incorrecta

calidad, conservación y/o aplicación de los reactivos, la incapacidad de seguir una determinada

metódica por falta de la preparación adecuada y seguridad, etc. Remarcamos que todos los errores

anteriores pueden ser detectados y corregidos con una buena formación.

Instrumentales

Se deben a una incorrecta calibración o verificación, a un mal funcionamiento o bien, a una

incorrecta utilización del instrumento.

Éste es el caso que nos encontramos cuando exigimos mucha precisión a un instrumento que no

es capaz de darla, bien porque no ha sido bien elegido, o bien porque no es el adecuado para una

técnica determinada.

De método

Cuando se utilizan unas instrucciones o procedimientos normalizados que no son los adecuados

o no están correctamente especificados para la medida que se toma.

Por ejemplo podemos utilizar un buen método para la determinación de fluoruros, como es el

caso de los métodos potenciométricos, pero si hay presentes determinadas impurezas que puedan

interferir en la medida, este método queda invalidado si antes no se separan. También es un error de

método determinar pequeñas cantidades de Na+ en muestras acuosas ubicadas en un recipiente de

vidrio que puede liberar una determinada cantidad de este analito.

En todos estos casos, la presencia en el medio de alguna interferencia hará inviable la aplicación

de la técnica y nos obligará a corregir o eliminar este problema porque, de lo contrario, el método

quedaría invalidado.



2.1.2. Errores aleatorios o al azar

Estos errores, también llamados indeterminados o accidentales, no se pueden prever. Son

debidos a causas no conocidas (de lo contrario estarían dentro de los sistemáticos).

Las características que los definen son:

a. No actúan en un sólo sentido sino que lo hacen de forma imprevisible, por exceso o por

defecto. No podemos, a priori, predecir el signo o la magnitud que tendrán.

b. Se pueden disminuir si aumentamos la precisión del material y de las técnicas utilizadas.

No pueden ser eliminados porque son inherentes al propio proceso de medida.

c. Se pueden cuantificar y tratar matemáticamente, incluso utilizando la teoría de la

probabilidad y las distribuciones normales como veremos más adelante.

d. Afectan a la precisión de la medida.

Es importante tener presente que el hecho de realizar un trabajo experimental, ya sea en el

proceso de la preparación de las muestras o en la toma de medidas, implica la incorporación de un

cierto error aleatorio.

Algunos ejemplos ilustrativos son los siguientes:

� Determinación del nivel de líquido en los aparatos volumétricos. Lectura, con ayuda

de una escala de fondo, de la posición de una aguja en un instrumento analógico.

Interpolación en el cálculo de la masa de una muestra, en la observación de las

oscilaciones de valores en una balanza.

� Ruidos de fondo, debidos a los circuitos de un instrumento eléctrico o electrónico, ya

sean éstos analógicos o digitales. También pueden considerarse las pérdidas parciales

de la señal en el proceso de conversión de una señal analógica o digital (digitalización)

provocadas por el número limitado de bits que se utilizan en la conversión (8, 16, 32,

etc.).

� Rozamientos y comportamientos aleatorios debidos a pequeñas imperfecciones que

el paso del tiempo provoca en las partes mecánicas de los instrumentos de medida,

como una micro-corrosión, envejecimiento mecánico y térmico del material, estrés

mecánico y/o térmico, difusión, etc.

� Fluctuaciones de la llama en los aparatos de espectroscopía que la utilizan en el

proceso de medida, como es el caso de los fotómetros de llama.

� Pequeñas variaciones en la colocación de las cubetas y en sus características al utilizar

técnicas colorimétricas y espectrofotométricas.

� Pequeñas perturbaciones radioeléctricas que afectan a los aparatos eléctricos y

electrónicos utilizados en las medidas.

� Pequeñas variaciones ambientales en el transcurso de diferentes lecturas.

Es fácil comprender que los errores aleatorios, llevados al extremo, pueden convertirse en

errores sistemáticos, una vez determinada la causa que los ocasiona.

Una forma gráfica de observar los diferentes tipos de errores comentados consiste en

representar la variación de los valores de las medidas en relación al tiempo o a los lotes de muestra.



2.2. Los errores según su expresión matemática

El tratamiento de los errores lo podemos realizar desde dos puntos de vista:

a. De forma absoluta, cuando nos interesa conocer cual es la magnitud del error en relación a un

valor considerado verdadero o, al menos, correcto.

b. De forma relativa: es la relación del error cometido respecto del valor que se considera exacto

(normalmente en porcentaje), ya sea éste último un valor real, patrón o referencial.

2.2.1. Error absoluto

Cuando se lleva a cabo una determinación analítica, cada paso que realizamos introduce una

fuente de error. Cuantas más etapas se requieran, más grande será el error y, por tanto, menor será la

probabilidad de que el valor medido se acerque al real.

Matemáticamente, estos errores no se suman sino que el error total, et, se calcula como la

raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los errores, es decir:

...23

22

21 +++= eeeet

Llamamos error absoluto, Ea, a la diferencia existente entre un determinado valor

experimental, Vexp y el valor real Vr.

ra VVE −= exp

Este valor se expresa manteniendo el signo del error (+ o -) para indicar si el error es por

exceso (error positivo) o por defecto (error negativo).

El valor real no se suele conocer con exactitud y por ello se suele tomar como real la media

aritmética o emplear un valor de referencia o patrón. Así,

xxE ia −=

En la fórmula anterior se ha de tener en cuenta que xi es un valor muestral o experimental, x es la

media aritmética = suma de los valores de la serie dividida por el número de datos N:

∑= Nxx i

2.2.2. Error relativo.

Es el que más se utiliza y corresponde al cociente entre el error absoluto y la media

aritmética. Igual que con el error absoluto, se indica el signo para indicar el sentido del error.

x

E

x

xxE ai

r =−=

Generalmente, se prefiere expresar el error relativo en porcentaje u, ocasionalmente, en

tanto por mil:

( ) 100% ⋅−=x

xxE i

r ó en tanto por mil ( ) %)(1,01000 ri

ooo

r Ex

xxE ⋅=⋅−=



ERRORES Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS

REDONDEO

1. NÚMEROS EXACTOS E INEXACTOS.

Cuando resolvemos problemas de química o física frecuentemente nos encontramos con que el

resultado de nuestros cálculos tiene demasiados dígitos.

Se tiende a pensar que mientras más dígitos posea la respuesta, más exacto es su resultado.

Nada más lejos de la realidad. La exactitud de una respuesta tiene que ver principalmente con los

instrumentos que usamos para realizar nuestras mediciones. La razón es sencilla, hay instrumentos más

exactos que otros. Hay balanzas que pueden medir la masa con un margen de error de ± 0.01 g mientras

que otras pueden hacerlo con un margen de ± 0.0001 g. Así que, el número de dígitos en la respuesta no

debe indicar más exactitud que las mediciones que realizaste

Al escribir o manipular números debemos distinguir los NÚMEROS EXACTOS de los INEXACTOS.

Números exactos

Como ejemplo de números exactos, tenemos:

Nos enteros o fracciones Ctes. matemáticas Relaciones unidades

1 , 2, …………, ½, ¾, π, e, … cal

J

g

kg

1

4184,

1000

1

Números inexactos

Y los números inexactos son todos aquellos que expresan el resultado en mediciones

experimentales.

Un ejemplo muy sencillo que ilustra la naturaleza aproximada de los datos númérico-

experimentales es una longitud medida con una regla graduada en milímetros.

Suponemos que medimos la longitud en mm de un bolígrafo.

El resultado podría expresarse de distintos modos:

14,2 cm ≡ 0,142 m ≡ 142 mm ≡ 1,42·102 mm

Estos resultados tienen tres cifras significativas que son los dígitos considerados correctos en

una medida. Quiere esto decir que, independientemente de las unidades que se utilicen, la regla no

podría medir décimas o centésimas de milímetro en resultado como el siguiente:

142,50 mm

Pero además, la regla no es perfecta, por lo que toda medida conlleva un error.

De hecho, cualquier instrumento científico además de su escala o graduación proporciona una

estimación del error instrumental.

Lo normal es que el error cometido por el instrumento sea menor que la división más pequeña

en su escala o graduación (en el caso de nuestra regla, el error sería inferior a 1 mm).



2. CIFRAS SIGNIFICATIVAS.

Son cifras significativas de una medida aquellas sobre las que tenemos certeza (seguridad) en

todas las cifras, excepto en la cifra final. Es decir, la expresión final debe incluir todas las cifras seguras y

una última, incierta, donde se sitúa el error.

Toda medida implica una estimación. Por ejemplo, supongamos que necesitamos medir un

objeto con una regla graduada en milímetros. Al medir obtenemos un resultado comprendido entre 128

y 129 milímetros, estimamos que el objeto mide 128,5 milímetros.

Este resultado tiene una parte exacta 128 y una parte que es estimada (aproximada) que es el

última dígito 5. El número 128,5 mm contiene 4 cifras significativas.

El último dígito es dudoso, pero se considera como cifra significativa. Nos da información sobre

el resultado, aunque sea aproximado. Este dígito debe ser incluido en la información de la medida. Al

dar el resultado de una medida incluimos un dígito aproximado, pero sólo uno.

A continuación utilizaremos dos probetas para medir volúmenes de líquidos.

• Probeta izquierda graduada en ml. Cada división 1 ml.

• Probeta derecha graduada en décimas de ml, 0,1 ml. Cada división 0,1 ml.

Realizamos la medida en las dos probetas:

• Probeta izquierda. En la escala, el nivel del líquido está por encima de 42 ml, como no

hay líneas de calibración entre 42 ml y 43 ml, estimamos el último dígito y le damos

valor 4. El valor de la medida es 42,4 ml. Resultado con 3 cifras significativas.

• Probeta derecha. En la escala el nivel de líquido supera la línea de 42,2, como entre

42,2 y 42,3 no hay escala, estimamos el cuarto dígito de nuestra medida en 4. El valor

de la medida es 42,24 ml. Resultado con 4 cifras significativas.

En ambas medidas la última cifra es estimada, pero tiene significación y por lo tanto se deberá

expresar en la medida.



Las cifras significativas de una medida experimental son las que proporciona el

instrumento de medida. El resultado está formado por las cifras no afectadas de error,

más la última cifra, que debe estimarse.

Veamos otros ejemplos:

• Si al hacer una lectura de un pH-metro registramos 9,02 unidades de pH, eso significa que el

último nº 2 es la cifra que puede estar afectada del error, pero ni el 9 ni el 0, tienen error.

• Si efectuamos con una balanza analítica una pesada obtenemos una lectura de 3,0000 gramos, no

deberíamos escribir simplemente “3”, porque la lectura correcta de la balanza nos proporciona 5

cifras significativas, sean o no ceros, de acuerdo con la precisión propia de este instrumento.

Cifras significativas de algunos instrumentos

Aparato o instrumento

Valor máximo de la escala

Valor mínimo de la escala

Cifras significativas máximas

Decimales significativos

Bureta 25 ml 0,1 ml 4 2

Pipeta graduada 10 ml 0,1 ml 3 2

Probeta 100 ml 5 ml 3 1

Cronómetro digital 60 s 0,01 s 4 2

Termómetro 110 ⁰C 1 ⁰C 4 1

Balanza analítica 200 g 0,0001 g 7 4

Granatario 3500 g 0,1 g 5 1

Regla graduada 50 cm 0,1 cm 4 2

pH-metro 14 unidades pH 0,01 unidades pH 4 2

calibre 150 mm 0,01 mm 5 2



2.1. Reglas para determinar el número de cifras significativas.

Para los números inexactos o experimentales, determinamos con cuantas cifras significativas

están expresados aplicando las siguientes reglas:

1) LOS NÚMEROS DISTINTOS DE CERO SON SIEMPRE CIFRAS SIGNIFICATIVAS:

Ejemplo: 32,2356 g tiene 6 cifras significativas.

2) LOS CEROS A LA IZQUIERDA NO CUENTAN COMO CIFRAS SIGNIFICATIVAS:

ρ = 0,958 g/ml � 3 cifras significativas

3) LOS CEROS A LA DERECHA SÍ CUENTAN:

Peso atómico = 16,00 g/mol � 4 cifras significativas

16 ≠ 16,00

4) LOS CEROS ENTRE NÚMEROS SIEMPRE SON SIGNIFICATIVOS:

Ejemplo: 208,3 g tiene 4 cifras significativas

El número 6,0221367·1023 tiene 8 cifras significativas

5) LOS NÚMEROS QUE RESULTAN DE CONTAR O COMO CONSTANTES DEFINIDAS TIENEN

INFINITAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS:

Ejemplo: contar 24 estudiantes, tiene infinitas cifras porque es un número exacto.

2.2. Notación científica.

Con frecuencia se manejan en los ensayos y medidas, así como en la conversión de unidades

números muy grandes o muy pequeños. Es conveniente aprender a utilizar la notación científica para

manejar las cifras de una manera más cómoda.

Además, con la notación científica podremos expresar mejor las cifras significativas de un

número. Por ejemplo: el número 6,0221367·1023 tiene 8 cifras significativas. Si no utilizásemos notación

científica tendríamos el número 602213670000000000000000. En este caso la notación científica nos

sirve para conocer el número de estas cifras, ya que, escribir el número, además de incómodo, sería

incorrecto, puesto que estos ceros a la derecha no son cifras significativas.

En la notación científica se escribe la parte entera con una sola cifra, seguida de la parte decimal

y una potencia de 10, de exponente positivo o negativo, según exprese posiciones a la derecha o a la

izquierda de la coma decimal.

Ejemplos:

Números Notación científica

732,5

-0,005612

6 370 000

0,08976

0,0000008

7,325·102

-5,612·10-3

6,370000·106

8,9·10-2

8·10-7



2.3. Cálculos con cifras significativas.

Si conocemos el significado de las cifras significativas podemos identificarlas e interpretarlas.

En la práctica, habrá que operar con todas las cifras significativas y averiguar el número de

dígitos significativos en los resultados de las operaciones. Las cifras significativas que corresponden a un

resultado matemático se valoran finalizadas las operaciones que deben efectuarse.

Una cifra incierta cuando opera matemáticamente con otra cifra provoca un resultado incierto.

Para identificarlas y operar con cifras significativas, se emplean una serie de reglas muy simples

que veremos mejor con distintos ejemplos:

2.3.1. Multiplicaciones y divisiones:

Ejemplo 1: supongamos que deseamos calcular el número de moléculas de agua presentes en 1 ml. de

agua líquida en su punto de ebullición atmosférico de 100 ºC.

Los datos de partida serán:

Densidad a 100 ⁰C = 0,958 g/ml

Pesos atómicos: 16,00 (O); 1,007 (H) g/mol

Constante de Avogadro: 6,0221367·10-23 mol-1

Planteamos ahora el cálculo como una serie de factores de conversión:

mol

J

gg

OHmol

ml

OHg

1

100221367,6

007,1200,16

1

1

958,0 2322 ⋅⋅

⋅+⋅

¿Cómo identificar los dígitos significativos?

En la anterior serie de factores de conversión debemos distinguir los números exactos que no están

sujetos a determinación experimental de los números inexactos que sí lo están. Así:

En este cálculo hay que multiplicar y dividir. La respuesta tendrá el mismo número de cifras significativas

que el factor que tenga menos cifras significativas. En este caso la masa de agua tiene 3 cifras, los pesos

atómicos de O e H 4 cifras y el número de Avogadro 8 cifras. El que menos cifras significativas tiene son

3, por lo que el resultado deberá expresarse con 3 cifras significativas.



Ejemplo 2: Obtener la densidad de un líquido cuyo volumen es de 38.4 cm³ (3 cifras significativas). La

masa del líquido es de 33.79 g (4 cifras significativas). Hallar la densidad.

Densidad = m/v

= 33,79 g / 38,4 cm³

= 0,87994791666666666666666666666667

= 0,880 g/cm³ Se redondea al número menor de cifras significativas que es 3

Otros ejemplos:

73,24 · 4,52 = 331,0448 = 331

1,83764/1,4 = 1,3126 = 1,3

2,1 · 4,39 = 9,219 = 9,2

56,70 · 13,51 = 766,017 = 766,0

(38,7)1/2 = 6,220932406 = 6,22

23,48 · 1297 = 30453 = 3,045·104

0,0432 · 0,329 = 0,0142128 = 1,42 · 10-2

Como se ve el resultado final no puede tener más cifras significativas que las expresadas por el

valor menos preciso. También se observa que se utiliza la notación científica para expresar

correctamente el resultado con las cifras significativas.

2.3.2. Sumas y restas:

Ejemplo 1: En las sumas y restas, se alinea por el punto decimal de los números y el resultado tendrá

tantos decimales como el dato que menores decimales tenga.

El resultado de una suma o resta no puede tener más dígitos significativos a la derecha del

punto decimal que el término que menos tenga.

Otros ejemplos:

3,11 + 21,7 = 24,81 = 24,8

83,12 – 72 = 11,12 = 11

47,216 – 25 = 22,216 = 22

52,01 + 37,1 – 12,875 = 76,235 = 76,2

3,0 + 1,12 – 6,75 = - 2,63 = - 2,6



3. REDONDEO.

En las operaciones anteriores hemos visto como no siempre se utilizan todas las cifras que

resultan de los cálculos matemáticos.

Un error que se comete con frecuencia es presentar directamente como resultado toda las serie

de cifras que aparecen en la pantalla de la calculadora.

Para mostrar el resultado de forma correcta, el proceso a seguir es el siguiente:

• Realizar el cálculo con todas las cifras posibles, tal y como aparecería en la calculadora.

• No efectuar recortes durante el proceso de cálculo porque podría suponer la pérdida de

información significativa y añadir errores matemáticos al resultado final.

• Prever cuantas cifras significativas debe tener el resultado final con los criterios que se han

visto en los ejemplos anteriores.

• Redondear el resultado final al valor más próximo, respetando el número de cifras previstas.

3.1. Como se realiza el redondeo de los resultados.

La aplicación práctica de las anteriores reglas nos fuerza a REDONDEAR el resultado de las

operaciones de cálculo para que la precisión del resultado final se ajuste al criterio de las cifras

significativas.

De un ejemplo anterior que como resultado tiene sólo tiene tres cifras significativas.

Si realizamos las operaciones con ayuda de una calculadora, obtendríamos algo como:

2222 10023335346,3100221367,6)01,181(958,0 ⋅=⋅⋅⋅

ATENCIÓN: las cifras de la calculadora no son cifras significativas

Suele ocurrir con frecuencia que se pone el resultado igual que en la calculadora.

DEBE REDONDEARSE EL RESULTADO

En este caso será necesario redondear el resultado a tres cifras significativas, hacer uso de la

notación científica y, por supuesto, incluir las correspondientes unidades:

3,023335346·1022 � 3,20·1023 moléculas de H2O/ml

Y el problema está resuelto.

3.1.1. Reglas para el redondeo:

REGLA GENERAL: debe redondearse al valor más próximo.

• Si el primer dígito despreciado es 5 o mayor que 5, la cifra anterior se aumenta en una unidad.

Por ejemplo, el número 14,3254 redondeando a 4 cifras es de 14,33

• Si la primera cifra despreciada es menor que 5, la cifra anterior permanece inalterada. Por

ejemplo el número 13,3254 redondeado a 5 cifras es de 14,325



INCERTIDUMBRE EN LA MEDIDA

PROPAGACIÓN INCERTIDUMBRE EN LOS CÁLCULOS

1. INCERTIDUMBRE EN LA MEDIDA.

La Organización Internacional de Normalización (ISO) define la incertidumbre de medida como

un parámetro asociado al resultado de una medida. Es una información numérica que complementa un

resultado de medida, indicando la cuantía de la duda acerca de este resultado.

En el proceso de medición únicamente pretendemos estimar de forma aproximada el valor de la

magnitud medida. Para ello debemos dar un número con sus unidades y una estimación del error. Dicho

de otra manera, el resultado de cualquier medida es siempre incierto y a lo más que podemos aspirar

es a estimar su grado de incertidumbre.

Es un valor estimado de tal forma que la banda determinada por ( µµ +− xx ; ) =

intervalo de confianza: donde “ x ” es el valor medido que contiene con razonable certeza el valor

verdadero de la medida y “µ” es a lo que llamamos incertidumbre.

Así, si medimos la masa de un objeto en el laboratorio y ésta resulta corresponder a 20,0 ± 0,5 g,

eso nos indica que el valor puede estar dentro del intervalo 19,5 a 20,5 g. En este caso el valor 0,5

corresponde al valor de la incertidumbre absoluta (IA) en la medida de la masa.

Análogamente podemos definir la incertidumbre relativa (IR) como el porcentaje (también se

puede expresar en tanto por uno) que representa la incertidumbre absoluta con respecto al valor al que

acompaña, en nuestro caso:

100xx

II A

R = ; en nuestro caso: %5,210020

5,0 == xI R

1.1. Incertidumbre en la medida de los instrumentos y equipos de ensayo.

Al realizar la medida con un instrumento (balanza, termómetro, calibre,…) y dar el resultado, la

incertidumbre estaría únicamente determinada por la sensibilidad del equipo. Se adopta la

incertidumbre como la sensibilidad del aparato, es decir, la mínima magnitud que puede diferenciar el

aparato de medida.

En la medida de temperatura del termómetro podemos tomar la sensibilidad como la menor

unidad que podemos medir con el termómetro. Si el termómetro está graduado de 1 ⁰C en 1 ⁰C,

podremos dar una medida como sigue:

23 ± 1 ⁰C

En los aparatos analógicos coincide con la subdivisión más pequeña de la escala. En el caso de

un aparato que use patrones de medida se corresponde con el patrón más pequeño: por ejemplo la

masa más pequeña de una balanza, o el reíter más pequeño de la balanza de Mohr. En un aparato

digital se corresponde a una unidad del último dígito de la pantalla

LA INCERTIDUMBRE DE UNA MEDIDA TOMADA DIRECTAMENTE DE UN APARATO DE

MEDIDA SE TOMARÁ COMO LA SENSIBILIDAD DEL APARATO



2. REALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS EN MEDIDAS CON SU INCERTIDUMBRE.

Es muy habitual tener que realizar operaciones matemáticas a partir de datos obtenidos

experimentalmente. Parece claro que, en función de los errores de partida de esos datos, podremos

expresar el resultado final que se derive de ellos con un grado diferente de seguridad y calidad.

Durante la realización de las operaciones matemáticas deberemos tener presente qué datos son

experimentales (y, por tanto, con incertidumbre asociada) y qué valores son constantes o no afectados

de errores.

En la realización de los cálculos lo que se trata es de saber evaluar la propagación de los errores

expresando la incertidumbre de un resultado matemático, teniendo en consideración el valor de las

magnitudes medidas y las incertidumbres derivadas del propio proceso de medida.

2.1. Sumas y restas

La incertidumbre absoluta de un resultado corresponde a la raíz cuadrada de las suma de las

incertidumbres absolutas de los datos:

aAcCbB ±=±+± )()(

22 cba +=

EJEMPLO: expresar el resultado de la siguiente operación con su incertidumbre absoluta

correspondiente:

)008,0554,0()02,089,1()03,076,1( ±−±+±

RESPUESTA:

PASO 1: calculamos el resultado final prescindiendo de las incertidumbres:

096,3554,089,176,1 =−+

PASO 2: Calcular la incertidumbre absoluta del resultado (IA)

...0369323,0008,002,003,0 222 =++=AI

PASO 3: Expresamos la incertidumbre absoluta del resultado con una sola cifra significativa:

04,0...0369323,0 ==AI

PASO 4: Expresamos el resultado final (RF) hasta la posición de la cifra significativa con su

incertidumbre:

04,010,3 ±=FR



2.2. Multiplicaciones y divisiones:

La incertidumbre relativa de un resultado corresponde a la raíz cuadrada de la suma de los

cuadrados de las incertidumbres relativas (en tanto por 1 de los datos). Seguidamente, y a partir de la

incertidumbre relativa encontrada, se determina la incertidumbre relativa de los datos.

Expresado con fórmulas sería:

aAcCbB ±=±×± )()(

( ) 22 )()(/ CcBbAa +=

22 )()( CcBbAa +×=

EJEMPLO: expresar el resultado de la siguiente operación con su incertidumbre absoluta

[ )08,0554,0/()]02,089,1()03,076,1( ±±×±

RESPUESTA:

• PASO 1: calculamos el resultado final prescindiendo de las incertidumbres:

...0043321,6554,0/)89,176,1( =×

• PASO 2: Determinamos la incertidumbre relativa (IR) correspondiente al resultado.

...0247194,0)554,0/008,0()89,1/02,0()76,1/03,0( 222 =++=RI

• PASO 3: Determinamos la incertidumbre absoluta del resultado:

FAR RII /= � FRA RII ×=

...1484234,0...0043321,6...0247194,0 =×=AI

• PASO 4: Expresamos la incertidumbre absoluta del resultado con una sola cifra significativa:

1,0...1484234,0 ≡=AI

Observamos que la primera cifra significativa está situada en las décimas.

• PASO 5: Expresamos el resultado final redondeando hasta la posición de la primera cifra

significativa de su incertidumbre, con el valor de su incertidumbre asociada.

El resultado final redondeado hasta las décimas es 6,0 y su incertidumbre absoluta 0,1

1,00,6...0043321,6 ±≡=FR

El número de cifras significativas del resultado está determinado, únicamente, por la calidad de

los datos que se manejan, es decir, por las incertidumbres de los valores experimentales.

2.3. Operaciones mixtas:

En estos casos operaremos matemáticamente tal y como lo haríamos habitualmente y

aplicaremos las reglas según el caso.



REPRESENTACIÓN DE DATOS

GRÁFICOS

1. REPRESENTACIÓN DE DATOS.

Los datos obtenidos a partir de las medidas en un laboratorio deben presentarse de manera que

los demás obtengan la mayor cantidad y calidad de información posible.

Para lograr esto recurrimos a:

• Las tablas y

• Las representaciones gráficas.

Las tablas nos permiten ver el conjunto de los datos obtenidos sin tener que irlos persiguiendo a

lo largo del informe.

Con las gráficas no sólo conseguimos una información cuantitativa de la magnitud medida sino

también su relación con los parámetros del experimento.

2. TABLAS

Construir una tabla consiste en ordenar las medidas o los datos numéricos disponibles,

poniendo en filas o en columnas los valores de las variables, expresando los de cada una en la misma

unidad.

Cuando sea posible se registrarán las medidas en forma de tablas, puesto, se trata de la forma

más compacta y sencilla de presentar los resultados de acuerdo con las siguientes recomendaciones:

• En las tablas se representarán tanto los datos directos de las medidas del laboratorio

como los pasos intermedios relevantes y resultados buscados.

• Las medidas de una misma magnitud se escribirán preferiblemente sobre una misma

columna vertical, ya que el ojo puede comparar más fácilmente un conjunto de datos

verticales.

• En la cabecera de cada columna se indicará el nombre de la magnitud y/o el símbolo

seguido por las unidades. Al indicar en la cabecera las unidades ya no es necesario

repetirlas después de cada medida, con esto se ahorra tiempo, energía y se hace más

claro el informe.

• Es conveniente elegir las unidades (o las potencias de 10 adecuadas) para que los

números queden expresados en el rango entre 0,1 y 1000.

• Los errores en la estimación de cada magnitud se pueden poner en la cabecera de la

columna correspondiente, si son comunes a todas las medidas; si no, pueden ponerse

detrás de cada medida usando comillas para no tener que repetir su escritura

innecesariamente.



EJEMPLO 1:

A modo de ejemplo se puede considerar la siguiente tabla:

DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DEL CAMPO MAGNÉTICO DE UN SOLENOIDE

Frec. (±10) (Hz) I0 (±0,01) (mA) Vpp (± 0,1 div) Vpp (V) Bexp (mT)

400 9,62 5,0 div x 0,02 V/div 0,10 ± 0,01 0,159

600 9,58 3,2 div x 0,05 " 0,16 ± 0,03 0,160

800 9,52 4,0 div x 0,05 " 0,20 " 0,159

1000 9,46 4,8 div x 0,05 " 0,24 " 0,158

MEDIA: 0,159 ± 0,001

El título que aparece justo encima de la tabla nos permite identificar el tipo de experimento

realizado, o la fase en la que nos encontramos del mismo.

En la tabla observamos que las tres primeras columnas corresponden a los datos obtenidos

directamente de los aparatos, la cuarta columna a un cálculo intermedio y la última al resultado final

buscado. La tercera y cuarta columnas representan la misma magnitud; al tomar los datos en el

laboratorio siempre es preferible hacerlo tal y como aparecen en la tercera columna, ya que será mucho

más fácil detectar cualquier posible error cometido, pero en el informe final podemos prescindir de esta

columna.

La estimación del error que aparece en las cabeceras de las tres primeras columnas nos indica

que el error absoluto es el mismo para todos los datos de la columna. El error correspondiente a la

magnitud final, quinta columna, se ha obtenido sin embargo por medio de la estimación estadística y

aparece junto a la media de la magnitud en la última fila. Esto puede hacerse así porque sabemos que

los datos de la última columna deben representar un mismo valor obtenido en diferentes condiciones.

Las unidades de cada magnitud han sido elegidas para que los números que figuran en cada

columna sean lo más sencillos posibles.

EJEMPLO 2:

Se desea obtener el alargamiento de un muelle, x, a medida que se cuelgan distintas masas, m,

de su extremo. En el ensayo se obtienen los resultados que refleja la tabla siguiente:

Ley de Hook. Alargamiento de un muelle.

Masa (g) Alargamiento (cm)

10 1,5

20 3

30 4,5

40 6

50 7,5

60 11



La disposición ordenada de los datos que se observa en la tabla anterior permite observar una

tendencia, si bien no es fácil deducir de ella una ley de relación. Esto solo es posible mediante una

representación gráfica.

3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS EXPERIMENTALES. CRITERIOS

GENERALES PARA LAS REPRESENTACIONES GRÁFICAS.

3.1. Variables.

En un experimento se suele variar una magnitud (variable independiente) con el fin de observar

el efecto que se produce sobre otra (variable dependiente). En el ejemplo anterior la variable

dependiente es el alargamiento del muelle y la variable independiente es la masa.

Por convenio se representa la variable independiente en abscisas (eje horizontal) y la variable

dependiente en ordenadas (eje vertical). Tal y como hemos realizado en la representación anterior. La

masa, variable independiente en el eje X, y el alargamiento, variable dependiente, en el eje Y.

3.2. Representación de los datos medidos.

Las representaciones gráficas deben llevar claramente indicados los datos obtenidos

experimentalmente, para ello es necesario señalarlos sobre la gráfica con un símbolo cuyo tamaño y

forma permita apreciarlos (y distinguir unos de otros cuando correspondan a diferentes series).



3.3. Representación del comportamiento de las magnitudes.

Los puntos obtenidos experimentalmente no son la única información que puede deducirse de

un experimento, el “espacio” entre los puntos debe ser completado. Para ello en las representaciones

gráficas hay que añadir una línea que indique la tendencia (la ley física) que rige el comportamiento de

una magnitud frente a la otra. Esta línea debe tener en cuenta que los datos experimentales están

afectados por errores, de los que ya hemos hablado, y que por tanto las líneas no tienen por que pasar

por todos y cada uno de esos puntos experimentales.

Como criterio general (el sentido común es aplicable siempre) debemos tener en cuenta que las

variables no sufren casi nunca cambios bruscos, por lo que las líneas no están compuestas nunca por

segmentos rectos, las inflexiones son siempre suaves, por lo que deben trazarse líneas curvas (o una

única recta) que represente el comportamiento de las magnitudes involucradas en el experimento.

Cuando sea posible realizar un ajuste (como por ejemplo el de mínimos cuadrados) la línea del

ajuste debe representarse sobre los datos experimentales.

3.4. Ejes y escalas.

Como ya hemos dicho los ejes tienen, por convenio, una función predeterminada: sobre el eje

horizontal se representa la variable independiente (la que nosotros variamos) y sobre el vertical la

variable dependiente (la que nos muestra el efecto). Los ejes deben llevar claramente indicada la

magnitud que representan, el intervalo de medida y las unidades en que se expresan los datos.

La elección de los intervalos no es arbitraria, el intervalo representado en el eje debe concordar

con el intervalo de la medida, de manera que todos los datos figuren dentro de la gráfica y ocupen la

mayor parte del área de ésta.

Los ejes deben llevar indicaciones del valor de magnitud a intervalos regulares, que no tienen

porqué coincidir con los valores de los puntos experimentales. Los intervalos deben estar equi-

espaciados, una misma longitud de eje no puede corresponder a dos intervalos distintos de valores de la

magnitud.

No es necesario marcar el valor de todos y cada uno de los intervalos.

No es necesario que el origen, el punto de coordenadas (0,0) esté incluido en la gráfica, incluso

puede llegar a ser contraproducente.



3.5. Papeles especiales.

En algunos casos la representación de la gráfica puede exigir la utilización de un papel especial por

diversos motivos:

• La magnitud (o magnitudes) representada cubre un intervalo muy grande o afecta a

distintas escalas (por ejemplo al medir el comportamiento de un sistema respecto de la

frecuencia en distintos rangos de frecuencias desde los Hz hasta los MHz).

• Se quiere “linealizar” una curva (por ejemplo una variación exponencial).

• Se quiere representar una magnitud en función de la dirección en la que se mide.

En los dos primeros casos se utilizará un papel semilogarítmico o logarítmico. En el papel

semilogarítmico el espaciado entre divisiones en uno de los ejes es proporcional al logaritmo decimal de

la magnitud, así el espaciado entre 1 y 2 (o entre 1 y 10) es el mismo que entre 10 y 20 (o entre 10 y

100). En el papel logarítmico esto ocurre para los dos ejes.

Para el tercer caso se suele utilizar el “papel polar” en el que las divisiones corresponden a

radios y circunferencias en lugar de líneas horizontales y verticales.

3.6. Gráficos por ordenador.

Con las herramientas informáticas se facilita bastante la tarea de realizar representaciones

gráficas, pero no debe olvidase que todas las normas indicadas hasta aquí son aplicables también a las

gráficas realizadas con ordenador.

En particular no se debe olvidar que:

• La representación científica se basa en pares de puntos, en los que cada uno representa

una magnitud (el eje de abscisas no es nunca un eje de etiquetas sino de valores).

• Los datos indican sólo el comportamiento en puntos concretos y hay que indicar (con

una curva) el comportamiento de las magnitudes en el espacio entre los puntos

experimentales.

• Los puntos experimentales no deben nunca unirse por medio de segmentos.

• El tamaño de la gráfica debe ser el adecuado para que la representación sea “legible”.

• Los ejes deben llevar siempre el nombre y las unidades de la magnitud que

representan.



4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. EJEMPLO.

Intentaremos representar la curva de variación del campo magnético en interior de un

solenoide. Así, obtenemos los datos de la tabla que figura a continuación:

X (cm) V (mV)

0 9,41

1 9,41

2 9,24

3 8,74

4 7,39

5 5,38

6 3,36

7 2,02

8 1,34

Elaboramos dos gráficas con los mismos datos:

A) MAL

Puede tomarse esta gráfica realizada a partir de los mismos datos de la anterior como modelo de

las cosas que NO deben hacerse:

• No todos los puntos experimentales están representados en la figura.

• Los puntos experimentales no figuran o no se distinguen.

• Los puntos experimentales han sido tomados con espaciado aleatorio entre ellos

• Los puntos están unidos por líneas (segmentos) que no corresponden a un

comportamiento lógico de un sistema.

• El espacio ocupado por los puntos experimentales dentro de la gráfica representan una

parte mínima del espacio total debido a una mala elección del intervalo de

representación.

• El color añadido al fondo estorba al restar claridad a la representación.

• Los ejes X e Y tienen longitudes muy dispares. El tamaño del eje vertical es demasiado

pequeño.



• El título de la gráfica no da ninguna información sobre lo que se pretende representar,

y es redundante ya que “dice” lo mismo que el rótulo del eje Y.

• Falta el rótulo del eje X. Faltan las unidades del eje Y.

• Los intervalos entre marcas en el eje Y no están equiespaciados ni representan

intervalos iguales entre datos.

• La abundancia de marcas en el eje X, y la falta de ellas en el eje Y hacen que sea

imposible estimar sobre la gráfica los valores de los puntos experimentales.

B) BIEN

• Todos los puntos experimentales están representados en la figura.

• Los puntos experimentales han sido tomados con el mismo espaciado entre ellos.

• Los puntos están unidos por una línea curva suave que se corresponden a un

comportamiento lógico de un sistema.

• El espacio ocupado por los puntos experimentales ocupa prácticamente toda la

superficie de la gráfica por la buena elección del intervalo de representación.

• El color del fondo no molesta a la representación.

• Los ejes X e Y tienen prácticamente la misma longitud.

• El título de la gráfica es claro y da información sobre lo que se pretende representar.

• Están los rótulos del eje X y del eje Y con sus unidades.

• Los intervalos entre marcas en el eje X e Y están equiespaciados, con intervalos iguales

entre datos.

Documents

TEMA 2 MAGNITUDES FÍSICAS. UNIDADES. CIFRAS · PDF filecifras de tal modo que reflejen la precisión de la correspondiente medida. Se consideran ciencias experimentales aquellas que