Tema 2. Magnitudes Geométricas...diagonales del rombo, D y d, el área del rectángulo es base por altura: Área rectángulo = D · d, como el rombo ocupa la mitad, Área rombo =

Matemáticas para Maestros – Primer Curso – Grado en Primaria – 2014/2015

Tema 2. Magnitudes Geométricas


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1. Introducción En primer lugar trataremos de una cualidad de las figuras planas (su extensión, lo que ocupan en el plano) llamada, generalmente, superficie o área. Algunos autores establecen diferencia entre estos términos, entendiendo “superficie” para designar dicha cualidad y “área” para su medida, pero nosotros no emplearemos esa distinción y seguiremos un tratamiento paralelo al que se acepta para la magnitud longitud (la longitud es una cualidad de los objetos que puede medirse mediante la unidad de longitud elegida). En lo sucesivo consideraremos el área como una cualidad que puede medirse mediante el establecimiento previo de una unidad de medida. Desde el punto de vista matemático, el modelo para el estudio del área, se refiere a figuras geométri-cas. Así se distingue entre superficies planas o no planas. Y dentro de las planas, los polígonos y las de contorno curvo. Las no planas, a su vez, pueden ser desarrollables y no desarrollables. Las superfi-cies desarrollables pueden transformarse en figuras planas, llamadas desarrollo, conservando su área. Por ejemplo, un cilindro es una figura desarrollable, mientras que una esfera no es desarrollable Medir una superficie, hallar su área, es elegir una unidad de medida y ver las veces que contiene la superficie dada a esta otra unidad de medida. Toda figura tiene asignada un número real positivo, su área. La medida de una superficie depende de la unidad de medida elegida. Dos superficies son equi-valentes cuando miden lo mismo aunque tengan distinta forma, empleando en ambas la misma unidad de medida. Dos polígonos iguales (congruentes) son equivalentes.

2. Área de figuras planas

Para calcular el área del rectángulo, podemos dibujar rectángulos en papel cuadriculado, en el que tomaremos como unidad de superficie el correspondiente cuadrado y como unidad de longitud el lado de dicho cuadrado y elaborar tablas del tipo:

Medida de los lados Medida del área 3, 7 4, 6 1, 1

2,5 , 3,5 Se concluye fácilmente una relación entre la medida de los lados y el área: el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura.

Área rectángulo = Base ·Altura, escribiremos Área = b·a Como el cuadrado es un caso particular del rectángulo donde la base y la altura son iguales:

Área cuadrado = lado · lado, escribiremos Área = l2.

Para llegar a las fórmulas de las distintas figuras geométricas utilizaremos transformaciones de recortar y rehacer o agregar, que transformen la figura en un rectángulo equivalente o cuya área sea un múltiplo del área buscada. Así, por ejemplo, para determinar el área del rombo lo completamos hasta formar un rectángulo, como indica la figura siguiente, que queda dividido en ocho triángulos iguales al trazar las dos diagonales del rombo.

b

a


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Por tanto el área del rombo es la mitad de la del correspondiente rectángulo, es decir, conocidas las diagonales del rombo, D y d, el área del rectángulo es base por altura:

Área rectángulo = D · d, como el rombo ocupa la mitad,

Área rombo = D . d / 2 El área del rombo se obtiene multiplicando las diagonales y dividiendo por dos el resultado. En el caso del paralelogramo utilizamos una estrategia de recortar y rehacer, ya que observamos que cualquier paralelogramo se transforma en un rectángulo de igual área al pasar a la derecha el triángulo que se quita a la izquierda:

Por tanto el área del paralelogramo se obtiene multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura

Área paralelogramo = b . a

Nótese que la altura es perpendicular a la base. Si lo que tenemos es un triángulo, en las figuras vemos como el triángulo se puede completar con otro triángulo igual, dando lugar a un paralelogramo

Por tanto el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo, es decir, el área del triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura y dividiendo por dos el resultado.

Área triángulo = b . a / 2 También completando calculamos el área del trapecio, pues utilizando dos trapecios iguales formamos un paralelogramo de la misma altura y la base la suma de las bases:

Por tanto, el área de un trapecio se obtiene multiplicando la semisuma de las bases por la altura.

Área trapecio = ( B + b ) a / 2


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En el caso de los polígonos, obtenemos su área mediante descomposición en figuras de área conoci-da. Si se trata de polígonos regulares, es habitual descomponerlos en triángulos iguales con vértice en el centro del polígono. La altura de estos triángulos es lo que llamaremos apotema del polígono regular. Así, por ejemplo, el área del hexágono regular será:

Área hexágono regular = 6 ( l · a ) / 2 = P . a / 2

donde P es el perímetro del hexágono. Deducimos que el área de un polígono regular es igual al pro-ducto del perímetro por la apotema dividido por dos. Esa expresión nos sirve para deducir el área del círculo, pues si un polígono regular aumenta su núme-ro de lados indefinidamente, su contorno tiende a confundirse con el de una circunferencia, y su apo-tema con el radio de la misma, razón por la cual podemos imaginar la circunferencia como un polígono regular con una infinidad de lados. Como tal “polígono”, el área que se encierra en su interior será:

Área círculo = Perímetro · Apotema / 2 = 2 π r · r / 2 = π . r2

1.- Dibuja diferentes figuras cuya superficie sea el doble de las dadas. Análogamente dibuja figuras semejantes a las dadas y cuya superficie sea el doble.

2. El área del rectángulo ABCD es 72. Sean E y F los puntos medios de los lados BC y CD, hallar el área del triángulo AFE.


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3. Determinación de áreas de figuras construidas en tramas y con tangram

En tramas El objetivo de este tipo de actividades es la utilización de dos técnicas básicas previas al proceso de aritmetización (o lo que es lo mismo, de la determinación de fórmulas) para el cálculo del área de figu-ras planas. Las técnicas referidas son la descomposición y complementación de figuras. Por descomposición (en la trama) se entiende la partición de una figura construida en la trama en otras figuras de la misma, es decir en figuras en las que, como en la primera, todos sus vértices han de ser puntos de la trama. Por ejemplo, si se desea considerar la Figura 1 (derecha), no es posible utili-zar el triángulo T como parte de una descomposi-ción. Sí podría descomponerse en la forma indicada aba-jo a la izquierda. En ese caso, los triángulos T1, T2 y T3 y el cuadrilátero C conforman una descomposi-ción de la Figura 1.

Descomposición Complementación

Por complementación (en la trama) se entiende la consideración de una figura como parte de la descomposición de otra. Así, en la imagen derecha, la Figura 1 se ha insertado en el rectángulo R y de éste se ha dado una descomposición en la que una de las partes es la figura mencionada. A continuación veremos, sobre el ejemplo que estamos manejando, cómo se usan esas técnicas en la determinación de áreas, mostrando que, en general, ambas aparecen conjuntamente.

Si se considera la descomposición, se tendrá (donde ar significa área):

1

Si se considera la complementación para la Figura 1, se tendrá:

1

En la determinación del área de cada uno de los polígonos en que se ha descompuesto la Figura 1

emplearemos la complementación. Así:

Figura 1


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Para hallar su área, sólo los triángulos T5 y T6 de la descomposición del rectángulo R necesitarían un tra-tamiento similar al realizado con los polígonos anteriores. Dejamos la complementación de T5 para el lector. Al revisar todo lo comentado hasta aquí, puede observarse que el área de una figura viene dada en función de las áreas de polígonos que o bien son rectángulos o bien triángulos rectángulos y en ambos casos es posible hallar dichas áreas sin aplicar fórmulas de áreas:

- Para los rectángulos, basta multiplicar el número de cuadrados por fila por el número de filas. - Para los triángulos rectángulos, puesto que pueden considerarse mitad de un rectángulo,

basta considerar que tienen como área la mitad del área de tal rectángulo.

Así, en la situación considerada, las áreas de los rectángulos R, R1 y R2 son 66 11 6, 6 3 2 y

7 7 1 respectivamente; y, por ejemplo, las de los triángulos T3 y T4 son 3 y respecti-

vamente, como se ilustra en las imágenes siguientes.

Pues bien, teniendo en cuenta todas las consideraciones realizadas y actuando con cada figura como se acaba de indicar, se tiene,

cuando se considera la primera descomposición:

1 siendo

11 3 11 3 3 2 1

5 4 5 4 1 2 3

3

4 3 4 3 1

1 1 3 3 =

Y considerando la complementación:

1

siendo 11 6

332

8 22

5 22

3

5 42

5 22

5

4 22

4

4 62

12

3 2 6 7 1 7

1 66332

3 5 4 12 6 7252


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Con tangram El objetivo de este tipo de actividades es el uso de diferentes unidades de medida y el reconocimiento de figuras equivalentes (con igual área, habiendo tomado la misma unidad). El ejemplo siguiente mues-tra con detalle lo que queremos decir. Supongamos que nuestra pretensión es responder a las siguientes cuestiones:

Figura1 Figura2 Figura3 Figura4

a) Tomando como unidad de superficie la Figura1, calcular el área de la Figura2. b) Tomando como unidad de superficie el TP, determinar el área de la Figura3. c) Tomando como unidad de superficie la Figura3, determinar el área de la Figura4. d) Construir, si es posible, una figura semejante a la Figura3, pero con el doble de área. e) Construir, si es posible, una figura semejante a la Figura4, pero con el doble de área. f) Construir, si es posible, una figura semejante a la Figura1, pero con el doble de área.

Solución

Al intentar contestar a la primera de las preguntas, nos damos cuenta de que llevar de forma direc-ta la Figura1 sobre la Figura2 y ver “cuántas veces cabe” no es posible. Pero sí somos capaces de decir que la Figura1 equivale a 4 y la Figura2 equivale a 10 , por tanto la Figura2, equivale a 2,5 Figura1. Por tanto la respuesta a a) es que tomando como unidad de superficie la Figura1, la Figura2 tiene área 2,5.

No hay dificultad en la pregunta b), cuya respuesta es 8.

Para responder c) seguimos un esquema similar al empleado en a). Puesto que la Figura3 equiva-le a 8 , y la Figura4 a 11 , tomando como unidad de superficie la Figura3, el área de la Figu-ra4 es .

Teniendo en cuenta la relación entre las áreas de figuras semejantes y la razón de semejanza, deducimos que, entre las figuras pedidas en el apartado d), dicha razón de semejanza debe ser √2. La Figura3 es un cuadrado de lado 2 (tomando como unidad de longitud el lado del cuadrado C del tangram). Se trata pues de construir un cuadrado de lado 2√2 y equivalente a 16 . Basta dar el cuadrado en que suele presentarse el tangram. Ver Figura5.

Lo pedido en el apartado e) es imposible puesto que la figura pedida equivaldría a 22 , cuando el total de las figuras del tangram equivalen a 16 .

Tomando como unidad de longitud el lado de C, los lados de la Figura1 son, de menor a mayor 1, √2, √2y 3. Se trata de construir un trapecio isósceles de lados √2, 2, 2 3√2 (tomando la misma unidad de longitud). Se deja para el lector comprobar que la Figura6 cumple esas condiciones. Faltaría comprobar asimismo que los ángulos correspondientes son iguales (compruébese).

Figura5 Figura6


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4. Figuras espaciales: poliedros y figuras de revolución Además de las figuras planas que acabamos de tratar, en la naturaleza observamos cuerpos con formas muy variadas, así, por ejemplo, un dado, un cucurucho, una caja de cerillas, una pelota o una lata de conservas, no son sino vistas imperfectas de cuerpos geométricos co-mo los de la derecha. A simple vista se pueden apreciar diferencias entre algu-nos de estos, por ejemplo, entre el cucurucho y la caja de cerillas, o entre el dado y la pelota. Esto nos permite hacer distinguir dos clases especiales de cuerpos: los poliedros y los cuerpos de revolución.

Poliedros Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos, que se llaman caras del poliedro. Una arista de un poliedro es la intersección de dos caras consecutivas del mismo. Así las aristas son los lados de los polígonos que limitan el poliedro. Los vértices del poliedro son los vértices de los polígonos que lo limitan. Cada vértice es común a tres o más aristas. Los ángulos diedros de un poliedro son los formados por cada par de caras consecutivas. Son ángulos poliedros los formados por cada tres o más caras que tienen un vértice común. Cuando son tres las caras, el ángulo se llama triedro. Una diagonal de un poliedro es cualquier segmento que une dos vértices del poliedro no situados en la misma cara.

Desarrollar un poliedro es construir en el plano todas sus caras colocadas consecutivamente y de mo-do que al doblar de forma conveniente por las aristas resulte el poliedro propuesto. Se llaman poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y de modo que en cada vértice concurren el mismo número de caras. Sólo hay cinco poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, que son: tetraedro (4 caras), cubo ó hexaedro (6), octaedro (8), dodecaedro (12) e icosaedro (20):

Dentro de los poliedros nos centraremos en el estudio de los prismas y las pirámides.

--Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos convexos iguales situados en planos paralelos, llamados bases, y por caras laterales que son paralelogramos. Tienen tantas caras laterales como la-dos tiene cualquiera de los polígonos base. Cada prisma se nombra según el número de lados de sus bases, así si las bases son triángulos hablaremos de prisma triangular, si son cuadriláteros prisma cuadrangular, si pentágonos prisma pentagonal, etc. Un prisma es recto si las aristas laterales son perpendiculares a las de la base. En los prismas rectos las caras laterales son rectángulos. Los prismas que no son rectos se llaman oblicuos. Altura de un

aristacara

diagonal

vérticeángulo triedro


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prisma es el segmento perpendicular comprendido entre los planos de las dos bases y con extremos respectivos en dichos planos. En los prismas rectos la altura mide lo mismo que una arista lateral. En los prismas oblicuos la altura es menor que la arista lateral. Prismas regulares son los prismas rectos que tienen por bases polígonos regulares. Los demás pris-mas se llaman irregulares.

Entre los prismas cabe destacar los paralelepípedos, que son aquellos prismas cuyas bases son para-lelogramos. Algunos paralelepípedos remarcables son el cubo, el ortoedro (que es recto y sus bases son rectángulos) ó el romboedro (cuyas bases son rombos) --Una pirámide es un cuerpo geométrico limitado por un polígono convexo llamado base y por caras laterales que son triángulos con un vértice común, que se llama vértice de la pirámide. Las aristas late-rales de una pirámide son las que concurren en el vértice, y las aristas básicas son los lados del polí-gono de la base. La altura de una pirámide es el segmento cuyos extremos son el vértice de la pirámi-de y la proyección perpendicular de dicho vértice sobre el plano que contiene la base.

Al igual que los prismas, las pirámides toman el nombre del polígono de la base, por lo que hablaremos de pirámide triangular, cuadrangular, etc. Una pirámide regular es aquella cuya base es un polígono regular y sus caras laterales son triángulos isósceles. En una pirámide regular el pie de la altura coincide con el centro de la base. La apotema de una pirámide regular es la altura de una de sus caras laterales trazada desde el vértice de la pirámide. Una pirámide en la que, o bien el polígono de la base no es regular, o bien los triángulos laterales no son isósceles, se llama irregular. En la figura siguiente mostramos una pirámide regular y distintas pi-rámides irregulares.

apotema

Pirámide regular Pirámides irregulares

Prisma regular Prisma irregular

base

cara lateral

arista lateral

arista basica

vértice

altura


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Cuerpos de revolución Otra familia de objetos que no están limitados por polígonos son las figuras de revolución.

Una figura de revolución es un cuerpo geométrico que se obtiene al hacer girar una figura plana alre-dedor de un eje. Los dibujos siguientes muestran las tres figuras de revolución más conocidas (aunque hay muchas otras, por ejemplo las piezas que obtienen los alfareros utilizando el torno):

- el cilindro se obtiene rotando un rectángulo alrededor de uno de sus lados. El segmento AB que genera la superficie del cilindro recibe el nombre de generatriz .El rectángulo describe en su giro dos círculos iguales que son las dos bases del cilindro. Éstas se encuentran en planos para-lelos, y el radio de una cualquiera de ellas es el radio del cilindro, que suele llamarse cilindro recto, por tener su generatriz perpendicular a las bases. No obstante, también existen los cilin-dros oblicuos (no son cuerpos de revolución), como el de la figura siguiente, y se generan par-tiendo de dos planos paralelos con dos círculos iguales, uno en cada plano. Los puntos de una de las circunferencias están unidos con los puntos de la otra mediante segmentos paralelos.

Se llama altura del cilindro al segmento de perpendicular comprendido entre las dos bases. En un cilindro recto, la altura y la generatriz son iguales.

- el cono, que se obtiene rotando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. El

segmento AB que genera la superficie del cono recibe el nombre de generatriz. El triángulo des-cribe en su giro un círculo que es la base del cono, el radio de este círculo es el radio del cono. El vértice del cono es el punto de su generatriz cuya posición permanece invariante al realizarse el giro. El cono así obtenido se suele llamar cono recto. También existen los conos oblicuos, co-mo el de la figura siguiente, que se obtiene al hacer girar una recta que pase por el punto A y el contorno de un círculo (como en la figura adjunta).

Eje

gene

ratr

iz

EjeEje

gene

ratri

z

AA

BB

h

r

h

r

A

r

h

r

h


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Se llama altura del cono al segmento perpendicular comprendido entre el vértice y el plano de la base. En un cono recto, el pie de la altura coincide con el centro de la base. - la esfera, se obtiene rotando un semicírculo alrededor de su diámetro. El radio del semicírculo que al rotar genera la esfera es el radio de la esfera, y su diámetro el diámetro de la esfera. El centro del semicírculo no varía su posición al rotarlo, y se llamará centro de la esfera. La superfi-cie esférica es el “borde” de la esfera, y sus puntos equidistan del centro.

5. Área de figuras espaciales Para medir el área de una figura espacial desarrollable, bastará desarrollar ésta en el plano y aplicarle los métodos anteriormente referidos de cálculo de área. Los poliedros (en particular los prismas y las pirámides), así como los cilindros y conos, son figuras desarrollables:

En las figuras en las que distinguimos base(s), a saber, prismas, pirámides, cilindros y conos, es fre-cuente hablar del área lateral, que es el área de la figura ( que se suele llamar área total) menos el área de la(s) base(s). Utilizando los desarrollos planos de las figuras es fácil deducir que:

- el área lateral del prisma regular es el producto del perímetro de la base por la altura del prisma,

- el área lateral de la pirámide regular es el producto del perímetro de la base por la apotema de la pirámide, dividido por 2,

- el área lateral del cilindro recto es el producto de 2 π , por el radio de la base y por la altura del cilindro,

- el área lateral del cono recto es la del sector circular cuyo radio es la generatriz del cono y cuyo arco mide la longitud de la circunferencia de la base.

El cálculo del área de figuras no desarrollables requiere técnicas distintas a las que acabamos de ver, específicas para cada caso. Citaremos a modo de información el área de la esfera A = 4 r2

r

g

2 r

r

h

2 r

l

l

a

a

h


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6. Resolución de algunos ejercicios tipo

8.1. En la figura el triángulo sombreado es equilátero y comparte lado con un cuadrado, cuyo centro pertenece a los semicírculos de color blanco. Si el lado del cuadrado es de 24 cm, ¿cuál es la su-perficie de toda la zona sombreada?

Solución Área del cuadrado: 24 576 De la superficie del cuadrado, sólo se considera la que dejan libre dos semicírculos de radio 12 La superficie ocupada por esos dos semicírculos es equivalente a la de un círculo de radio 12, es decir, a: 12 144 .

Además interviene la superficie de un triángulo equilátero de base 24 , cuya altura es, aplicando Pitágoras:

24 12 12 2 12 12 2 12 12 2 1 12√3 El área de dicho triángulo es:

24 12√32

144√3

El área de la zona sombreada es: 576 144 144√3 576 144 √3 373,025

8.2. Este ejercicio se realiza con las piezas del Tangram y es completamente similar a uno de los que aparecen resueltos en la sección 3 de este tema.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Tomando como unidad de superficie la figura 1, calcular la superficie del resto de las figuras. Solución Actuando como en el ejercicio mencionado y viendo que la Figura 1 es equivalente a 8 TP, la Figu-ra 2 a 10 TP, la Figura 3 a 4 TP y la Figura 4 a 7 TP, podemos afirmar que tomando como unidad la Figura 1, las áreas de las restantes son , y respectivamente.

8.3. Dibujar en una trama cuadrada, si es posible, un cuadrilátero semejante al de la figura, cuya área sea:

a) el doble

b) el triple


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Solución a) Si la figura ha de ser semejante a la dada y con doble área, habrá de tener los mismos ángulos que la figura inicial y por lados los de la inicial multiplicados por √2. Por tanto como los lados de la figura miden 1, √2, √10 y √5 (empezando en y siguiendo el orden contrario a las agujas del reloj), los de la figura pedida medirán respectivamente √2, 2, 2√5 y √10 (ya sea en sentido antiho-rario u horario).

En la imagen anterior se muestra cómo elegido un punto de la trama (1º), se consideran todos los puntos de la trama que distan de él √2 (circunferencia con centro en 1º y radio √2, C1º,√2). De esos puntos se elige uno, (2º), y se determinan los puntos de la trama que distan de él 2; trazando una circunferencia C2º,2 con centro en 2º y radio 2. Eso significa que el vértice denotado por 2º se co-rresponderá con A y el denotado por 1º con B y que el correspondiente a D estará en la circunfe-rencia C2º,2. Puesto que D dista de B √5, su vértice correspondiente estará sobre la circunferencia C1º,√10 con centro en 1º y radio √10. Por tanto, un punto común a las circunferencias C2º,2 y C1º,√10, (3º), será el correspondiente a D. El punto C se corresponderá con un punto (4º) que diste √10 de (1º) y √20 de (3º). El punto 4º es por tanto un punto de intersección de las circunferencias C1º,√10 y C3º,√20. Tenemos como candidato el polígono con vértices 1º2º3º4º pero aún hay que ver que los ángulos de este polígono son iguales a los ángulos del polígono de partida. Para ello dividimos cada cuadrilátero en dos triángulos mediante diagonales que se correspondan, es decir, que dejen en un mismo semiplano a segmentos proporcionales. En la imagen 1 y √2 son proporcionales a √2 y 2. Veamos si los triángulos son semejantes. Para ello, y gracias al tercer criterio de semejanza de triángulos, basta ver si las diagonales trazadas están en la misma razón que los lados. En nuestro caso, las diagonales respectivas miden √5 y √10. Como √10 = √2√5, tenemos que los triángulos ABD y 2º1º3º son semejantes y lo son también los triángulos DCB y 3º4º1º. Por tanto sus ángulos correspondientes son iguales, lo que garantiza la igualdad de los ángulos de los cuadriláteros BADC y 1º2º3º4º. Es posible concluir pues que los cuadriláteros construidos son semejantes. b) El razonamiento sigue las mismas pautas que el del apartado anterior pero ahora sabemos que los lados del polígono buscado deben medir 1√3, √2√3, √10√3 y √5√3, es decir, √3, √6, √30, √15. Pero √3 no se puede construir en una trama cuadrada puesto que para que ello fuese factible, 3 debería poder escribirse como suma de cuadrados y no es así:

Para toda pareja de enteros positivos y , se tiene 3 . Por tanto es imposible construir sobre la trama un cuadrilátero de las características indicadas.


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ANEXO: De este tema hay que saber, al menos,

Determinar áreas de figuras construidas en la trama cuadrada por complementación y/o descomposición.

Determinar áreas de figuras construidas con el tangram utilizando distintas unidades de

medida.

Reconocer las diferentes figuras espaciales descritas en este tema y utilizar correctamente los términos relacionados.

Aplicar las fórmulas de cálculo de áreas a situaciones concretas.

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