Tema 2 Modelizacion Economica Ii_2

7/30/2019 Tema 2 Modelizacion Economica Ii_2

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MODELOS DE SERIES TEMPORALES EN FINANZAS(I): MODELOS ARIMA

Modelizacin Econmica II

Referencias:Mills y Markellos (2008) "The Econometric Modelling of Financial

Time Series", Cambridge University Press.Aznar y Trvez (1993) "Mtodos de Prediccin en Economa II", Ariel.

Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Pea [email protected] 1 / 37
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1 Introduccin a las series temporales

Llamaremos serie temporal o proceso estocstico en tiempo discreto a unasucesin de variables aleatiorias fYtg para t= , ...,2,1, 0, 1, 2, ..., (t

recoge el tiempo y toma valores discretos).

Box & Jenkins (1976) modeliz las series temporales mediante los modelos

ARIMA. El trmino signica:

AR = Autorregresivos

I = Integrados

MA = Mediasmoviles

La metodologa Box-Jenkins recoge una serie de etapas y procedimientos para la

identicacin, estimacin, contraste y prediccin de los modelos ARIMA con

datos de series temporales.Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Pea [email protected] 2 / 37
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Una serie temporal Yt es estacionaria (en sentido dbil) si existen sus

momentos de primer y segundo orden y estos son constantes eindependientes de t, es decir,

a) E(Yt) = 8 t,

b) Var(Yt) = E(Yt )2

= 2 8 t

c) Cov(Yt, Yts) = E [(Yt )(Yts )] = (s) 8 t y 8s6= 0.

(s) es una funcin que depende de s pero no de t y se denomina funcinde autocovarianza (FAC).

Ejemplo: Un ruido blanco (t) es un proceso estocstico estacionario dado

que si E(t) = 0 8 t, Var(t) = 2 8t y Cov(t, ts) = 0 8 t y 8s6= 0.La propiedad de estacionariedad es muy importante porque si las series noson estacionarias la estimacin MCO es sesgada, inconsistente y lasdesviaciones tpicas de los estimadores no son vlidas.

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Una serie temporal estacionaria Yt se puede caracterizar por su estructura

completa de covarianzas ((s)), correlaciones ((s)) o correlaciones

parciales ((s)).

Funcin de autocorrelacin simple (FAS): (s) =

(s)

(0)8s= 1, 2, ...donde (0) = Var(Yt).

Funcin de autocorrelacin parcial (FAP):

(s) = Corr [YtYts j Yt1 , Yt2 , ..., Yts+1] 8s= 1, 2, ...

La representacin grca de la FAP y de la FAS se denominan

correlograma simple y parcial. Ambas son funciones simtricas y

comprendidas entre 1 y 1.

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La etapa de identicacin de la metodologa Box-Jenkins trata de reconocerel proceso ARIMA que genera una serie temporal concreta en funcin de loscorrelogramas simple y parcial muestrales.

1

1 2 3 4 5 s6

1

(s)

1

1

2

3

4

5

s6

1

(s)

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2 Modelos AutorregresivosModelo AR(1)

Un proceso autorregresivo de primer orden, AR(1), se dene como

Yt = 0 + 1Yt1 + t

donde t es una variable aleatoria ruido blanco: E(t) = 0 8t, Var(t) = 2 8t y Cov(t, ts) = 0 8t y 8s6= 0.

Si j1

j < 1 el proceso AR(1) es estacionario. En tal caso se puededemostrar que:

a) E(Yt) =0

118t,

b) Var(Yt) = (0) =2

1218t

c) Cov(Yt, Yts) = (s) = s1 2

121= s1(0) 8 t y 8s6= 0.

Por tanto j1 j < 1 todas las autocorrelaciones simples son disntintas de cerosi bien decaen rpidamente hacia cero.

(s) = s1 8s= 1, 2, ...



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2 Modelos Autorregresivos

Modelo AR(1)

Si j1j < 1 slo la primera autocorrelacin parcial es distinta de cero.

(s) =

8 1

1

1 2 3 4 5 s6

1

(s)1

1

(s)

1 2 3 4 5 s6

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Modelo AR(1)

Si j1j 1 el AR(1) tiene varianza "explosiva" (no estacionario en

varianza).

Por ejemplo, si 1 = 1 el proceso resultante se denomina paseo aleatorio

(con deriva 0): Yt = 0 + Yt1 + t. ste es un proceso integrado de

orden 1 o I(1) dado que su primera diferencia es estacionaria:

Yt = Yt Yt1

= 0

+ t.

Estadsticamente este proceso es indistinguible de un AR(1) con 1 = 0.99,

proceso muy prximo a la no estacionariedad que se caracteriza por la alta

persistencia de las correlaciones (lento decaimiento hacia cero de la FAS).

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Modelo AR(1)

Correlograma de un proceso AR(1) prximo a la no estacionariedad.

1

1 2 3 4 5 6

1

(s)

7 98 10 11 12

s1514 16 17 1813

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Generacin de una serie de un proceso AR(1) estacionario con Eviews

Abrir EViews and crear un nuevo chero con "File/New Workle". En el rango de

la serie "workle range" elegir "undated" y "500" observaciones. Una serie

estacionaria se crea como sigue:1. smpl 1 1

genr yt=0 [genera Yt con el valor 0 para la observacin 1]

2. smpl 1 500

genr ut=nrnd [genera una serie ruido blanco con varianza 1]3. smpl 2 500

genr yt=0.5+0.4*yt(-1)+ut [genera Yt: proceso AR(1) con 1 = 0.4]

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2 Modelos AutorregresivosGeneracin de una serie de un proceso AR(1) estacionario con Eviews

Notar que la media ( 0.510.4 = 0.83) y la varianza (1

10.42 = 1.19) son constantes

en el tiempo.

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

100 200 300 400 500

YT

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2 Modelos AutorregresivosGeneracin de una serie de un proceso AR(1) no estacionario con Eviews

Abrir EViews and crear un nuevo chero con "File/New Workle". En el rango de

la serie "workle range" elegir "undated" y "500" observaciones. Una serie

estacionaria se crea como sigue:

1. smpl 1 1

genr yt=0 [genera Yt con el valor 0 para la observacin 1]

2. smpl 1 500

genr ut=nrnd [genera una serie ruido blanco con varianza 1]3. smpl 2 500

genr yt=0.5+1.4*yt(-1)+ut [genera Yt: proceso AR(1) con 1 = 1.4]

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2 Modelos AutorregresivosGeneracin de una serie de un proceso AR(1) no estacionario con Eviews

-2.0E+71

0.0E+00

2.0E+71

4.0E+71

6.0E+71

8.0E+71

1.0E+72

1.2E+72

1.4E+72

100 200 300 400 500

YT

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El modelo AR(2)

Un proceso autorregresivo de segundo orden, AR(2), se dene como

Yt = 0 + 1Yt1 + 2Yt2 + t

donde t es una variable aleatoria ruido blanco.

Un AR(2) se puede reescribir en funcin del operador de retardos, L (que

satisface LsYt = Yts) y el correspondiente polinomio de retardos, (L):

Yt 1Yt1 2Yt2 = 0 + t

(1 1L 2L2)Yt = 0 + t

(L)Yt = 0 + t

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2 Modelos AutorregresivosEl modelo AR(2)

Un AR(2) es estacionario si las races del polinomio de retardos caenfuera del crculo unidad, es decir si jLij > 1 8 i = 1, 2 donde Li son lasraces que satisfacen 1 1L 2L

2 = 0.

Por ejemplo, para el caso del AR(1)

1 1L = 0 ) L =

11 > 1 , j1 j < 1.

Si el proceso AR(2) es estacionario E(Yt) =0

1128t y la estructura de

autocovarianzas se obtienen de la resolucin del sistema de ecuaciones deYule-Walker.

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2 Modelos AutorregresivosEl modelo AR(2)

El sistema de Yule-Walker es recursivo: con las tres primeras ecuacionesse obtienen (0), (1) y (2).

(0) = 1(1) + 2(2) + 2

(1) = 1(0) + 2(1)(2) = 1(1) + 2(0)

El resto autocovarianzas se obtienen recursivamente de

(s) = 1(s 1) + 2(s 2)8s> 2.

Todas las autocorrelaciones simples son distintas de cero pero slo las dosprimeras autocorrelaciones parciales son distintas de cero.

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2 Modelos AutorregresivosCorrelograma simple y parcial de un AR(2)

1

1 2 3 4 5 s6

1

(s)

1

1 2 s

1

(s)

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2 Modelos AutorregresivosEl modelo AR(p)

El proceso autorregresivo de orden p o AR(p) se dene como:

Yt = 0 + 1Yt1 + 2Yt2 + ... + pYtp + t

donde t es una variable aleatoria ruido blanco.Un AR(p) se puede reescribir en funcin del operador de retardos (L) y elcorrespondiente polinomio de retardos, (L):

Yt 1Yt1 2Yt2 ... pYtp = 0 + t

(1 1L 2L2 ... pL

p)Yt = 0 + t

(L)Yt = 0 + t

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2 Modelos AutorregresivosEl modelo AR(p)

Un AR(p) es estacionario si las races del polinomio de retardos caenfuera del crculo unidad, es decir si jLij > 1 8 i = 1, 2 donde Li son lasraces de 1 1L 2L

2... pL

p = 0.

Si el proceso AR(p) es estacionario E(Yt) =0

112...p8t y las

autocovarianzas se obtienen del sistema de ecuaciones de Yule-Walker(con las p primeras ecuaciones se obtienen la varianza y las p primerascovarianzas).

(0) = 1(1) + 2(2) + + p(p) + 2

(s) = 1(s 1) + 2(s 2) + p(s p) 8s> 0.

Todas las autocorrelaciones simples son distintas de cero pero slo las pprimeras autocorrelaciones parciales son distintas de cero.


3 M d l d di il


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3 Modelos de medias mvilesEl modelo MA(1)

El modelo de medias mviles de orden 1 o MA(1) se expresa en funcin deruidos blancos (t) como

Yt = 0 + t 1t1 .

Un MA(1) es siempre estacionario (combinacin lineal de procesosestacionarios). En particular,

a) E(Yt) = 08t,

b) Var(Yt) = (0) = 2 (1 +

21) 8t

c) Cov(Yt, Yts) = (s) =1

2 si s= 1

0 8s> 18 t.

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En un MA(1) slo la primera autocorrelacion simple es distinta de cero pero

la FAP nunca se anula.

1

1

s

1

(s)1

1 2 3 4 5

s

6

1

(s)

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3 Modelos de medias mvilesInvertibilidad de un MA(1)

Una serie temporal Yt es invertible si puede representarse como un proceso

AR estacionario (de orden innito). Esta propiedad se requiere para la

identicacin de los procesos ARIMA segn su FAS y FAP y para la

prediccin de los procesos MA(q).Si j1j < 1 el proceso MA(1) es invertible.

Yt = t+ 0 1(Yt1 0 + 1t2) = t+ 0(1 + 1) 1Yt1 21t2

y sustituyendo recursivamente ti por el correspondiente proceso MA(1) seobtiene

Yt = 0

i=0

i1

i=0

i1Yti + t = 0 +

i=0

iYti + t.


3 Modelos de medias mviles
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El modelo de medias mviles de orden 2 o MA(2) se expresa como (t ruidoblanco)

Yt = 0 + t 1t1 1t2 .

Un MA(2) es siempre estacionario y sus autocovarianzas:a) E(Yt) = 08t,

b) Var(Yt) = (0) = 2 (1 + 21 +

22) 8t

c) Cov(Yt, Yts) = (s) = 8 2

8 t.

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En un MA(2) las dos primeras autocorrelaciones simples son distintas de

cero pero la FAP nunca se anula.

1

1

s

1

(s)1

1 2 3 4 5

s

6

1

(s)

2

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Un modelo MA(2) se puede representar en funcin del operador de retardos,

L, y del polinomio de retardos, (L):

Yt = 0 + (1 1L 2L2

)t = 0 +(L)t

Un MA(2) es invertible si las races del polinomio de retardos caen

fuera del crculo unidad, es decir si jLij > 1 8 i = 1, 2 donde Li son las

races que satisfacen 1 1L 2L2

= 0.Por ejemplo, para el caso del MA(1)

1 1L = 0 ) L = 11

> 1 , j1j < 1.Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Pea [email protected] 25 / 37
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3 Modelos de medias mviles

El modelo MA(q)

El modelo de medias mviles de orden q, MA(q), se representa como (t

ruido blanco)

Yt = 0 + t 1t1 2t2 ... qtq.

Alternativamente usando el operador de retardos se puede expresar como

Yt = 0 + (1 1L 2L2 ... qL

q)t = 0 +(L)t.

El modelo MA(q) es siempre estacionario e invertible si las races de(L) = 0 caen fuera del crculo unidad.

La FAS de un MA(q) se anula a partir del orden del proceso (q), pero la

FAP nunca se anula.


4 M d l ARMA
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4 Modelos ARMAEl modelo ARMA(1,1)

Un proceso ARMA(1,1) es un proceso mixto entre un AR(1) y un MA(1)que se representa como (t ruido blanco)

Yt = 0 + 1Yt1 + ut 1ut1 .

Este proceso es estacionario si j1j < 1 e invertible j1j < 1.

Si el proceso es estacionario satisface:

a) E(Yt) =0

118t,

b) Var(Yt) = (0) = 2 (1+21211 )1218t

c) Cov(Yt, Yts) = (s) =

8 18 t.


4 M d l ARMA
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4 Modelos ARMAEl modelo ARMA(1,1)

Por tanto la FAS y la FAP de un ARMA(1,1) tienen todas las

autocorrelaciones simples y parciales distintas de cero, si bien stas decaen

exponencialmente hacia cero.

La primera autocorrelacin simple depende tanto de la parte AR(1) como

MA(1), pero a partir de sta el resto se comportan como las de un AR(1).

En cuanto a la FAP, la primera autocorrelacin parcial depende de la

estructura AR(1) y MA(1) pero a partir de sta el resto se comportan como

en un MA(1).

Los procesos AR(1) y MA(1) son casos particulares del ARMA(1,1) para

1 = 0 y 1 = 0, respectivamente.


4 M d l ARMA


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4 Modelos ARMAEl modelo ARMA(p,q)

La forma general de un proceso ARMA(p,q) es la siguiente (t ruido blanco):

Yt = 0 + 1Yt1 + ... + pYtp + t 1t1 ... qtq

(L)Yt = 0 +(L)t

Un ARMA(p,q) es estacionario e invertible cuando las races de

(L) = 1 1L 2L2 ... pL

p = 0 y

(L) = 1 1L 2L2 ... qLq = 0 caen fuera del cculo unidad.

La FAS y la FAP de un proceso ARMA(p,q) estacionario son todas distintasde cero dado que a partir del orden q la FAS se comporta como en un AR(p)

y a partir del orden p la FAP se comporta como en un MA(q).

Casos particulares: ARMA(p,0)=AR(p) y ARMA(0,q)=MA(q).


5 M d l ARIMA( d )
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5 Modelos ARIMA(p,d,q)

La mayor parte de las series econmicas no son estacionarias dado que

suelen presentar tendencias y/o clusters de volatilidad.

Las series no estacionarias en media se convierten en estacionarias

diferencindolas. Si Yt no es estacionaria pero la serie diferenciada d veces

s lo es, entonces Yt sigue un proceso integrado de orden d o I(d). Enparticular las series estacionarias son I(0).

Normalmente basta con aplicar una diferencia (Zt = Yt = Yt Yt1), o

como mucho dos (2Yt = Zt = Zt Zt1), para transformar las series

econmicas en estacionarias.

Si las series no son estacionarias en varianza normalmente se les suele

aplicar logartimos antes de diferenciarlas. Diferencias de logaritmos son

tasas de variacin: ln(Yt) ln(Yt1) 'YtYt1

Yt1 .Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Pea [email protected] 30 / 37

Ejemplos de series temporales no estacionarias
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Ejemplos de series temporales no estacionarias

Los grcos de las series ofrecen una primera idea de la no estacionariedad. Porejemplo las guras del ndice S&P500 o del tipo de cambio /$ son claramenteno estacionarias en varianza (transformacin logaritmica) y en media (primerasdiferencias).

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

92 94 9 6 9 8 0 0 02 04

SP500 (daily data) 26/4/1991 - 26/4/2006. 0bs 3913

.45

.50

.55

.60

.65

.70

.75

86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06

Exchange rate /$. Daily data. Obs 5441


5 Modelos ARIMA(p,d,q)
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(p, ,q)

Si Yt es I(d) entonces Zt = dYt = (1 L)dYt es I(0), siendo L el

operador de retardos. Si adems Zt se comporta como un ARMA(p,q)entonces Yt se denomina ARIMA(p,d,q). Dicho proceso se puederepresentar como:

Zt = 0 + 1Zt1 + ... + pZtp + t 1t1 ... qtq.

(L)Zt = 0 +(L)t) (L)(1 L)dYt = 0 +(L)t

Casos particulares: ARIMA(p,0,q)=ARMA(p,q), ARIMA(p,1,0)=ARI(p),ARIMA(0,1,q)=IMA(q), ARIMA(p,0,0)=AR(p), ARIMA(0,0,q)=MA(q),ARIMA(0,d,0)=I(d), ARIMA(0,1,0)="paseo aleatorio",

ARIMA(0,0,0)="ruido blanco"...Algunas extensiones: modelos ARIMA estacionales multiplicativos (con parteregular y estacional), modelos ARFIMA (de integracin fraccional) yVectores Autorregresivos multivariantes (VAR).


6 Metodologa Box-Jenkins
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6 Metodologa Box Jenkins

Box y Jenkins (1976) denieron una metodologa de cuatro etapas paraseleccionar el proceso ARIMA subyacente a una serie temporal concreta conel propsito de estimar, contraster y predecir series temporales. Las cuatroetapas son las siguientes:

1) Identicacin,2) Estimacin3) Contraste4) Prediccin

La metodologa se puede aplicar solamente a procesos ARMA estacionarios(ARIMA antes de las correspondientes transformaciones para garantizarestacionariedad).


6 B & J ki M th d l
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6 Box & Jenkins Methodology

1) Representar la serie y calcular la FAS y FAP muestrales y comprobar si las

series son estacionarias. Si lo son (correlaciones decrecen rpidamente) pasar

al paso 3, si no lo son (lento decrecimiento) continuar con el paso 2.

2) Tomar logaritmos de la serie si parece que no es estacionaria en varianza

(varianza no constante en el tiempo) y/o primeras diferencias si parece que

no es estacionaria en media (tiene tendencia o medias distintas por tramos).

3) Examinar la FAS y la FAP muestrales de la nueva serie transformada (si

siguiera sin ser estacionaria volver al paso 2 y aplicar una nueva diferencia) eintentar identicar el proceso ARMA teniendo en cuenta las correlaciones

simples y parciales signicativas (bandas de uctuacin).

4) Estimar el proceso que se ha especicado (mxima verosimilitud).Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Pea [email protected] 34 / 37

6 Metodologa Box Jenkins
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6 Metodologa Box-Jenkins

5) Contrastes de hiptesis:

Contraste de signicatividad individual (o conjunta) de los parmetros

del modelo.

Contrastes sobre los residuos del modelo: comprobar que la FAS y la

FAP tienen un comportamiento de ruido blanco (ninguna correlacionsignicativa), contraste de normalidad (test de Jarque-Bera)...

Usar el criterios de informacin de Akaike y Schwarz (AIC, BIC)

adems del R2 ajustado para decidir sobre la bondad de los ajustes de

posibles especicaciones alternativas (normalmente de la inspeccin dela FAS y FAC se pueden identicar distintos modelos).

6) Si se deciden cambios en el modelo original volver estimar los nuevos

modelos en la etapa 4.


7 Prediccin bajo normalidad y varianza constante
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Una vez que el modelo est correctamente especicado puede usarse para laprediccin.

Consideremos el caso ms simple: Yt sigue un proceso AR(1),

Yt = 0 + 1Yt1 + t

por tanto el horizonte de prediccin para Yt ser un periodo extramuestralhacia adelante (T+ 1) y el mejor predictor puntual

bYT+1 = bE(YT+1) = b0 + b1YT(suponiendo que el modelo sigue siendo vlido en T+ 1, es decir,YT+1 = 0 + 1YT + uT+1, y E(uT+1) = 0).

Al nivel de conanza del 95% (y asumiendo normalidad) un intervalo de

conanza para Yt+1 ser bYT+1 z2 bYdonde z

2= 1.96 y bY es la desviacin tpica muestral de Y.

En consecuencia Y se encontrar en dicho intervalo en T+ 1 con unaprobabilidad del 95%.


8 Evaluacin de las predicciones
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Es nuestro modelo adecuado para predecir la variable objeto de estudio?

Para evaluar la capacidad predictiva del modelo se puede proceder de la siguienteforma:

1 Separar la muestra en dos partes: (i) Periodo muestral (tamao T) y (ii)Periodo extramuestral (tamao n), que usaremos para comparar nuestraspredicciones con los datos reales.

2 Repetir la estimacin n veces usando una "ventana rodante" de tamao jo.

3 Medir el error de prediccin en el periodo extramuestral usando algunamedida como el "error cuadrtico medio" (ECM).

ECM=ni=1 e

2i

n

donde ei = bYT+i YT+i es el error de prediccin en el period T+ i,8i = 1, ..., n. Notemos que Yt+1 , Yt+2 , ..., Yt+n son los valores reales de laserie en el periodo extramuestral (que son conocidos).

4 Repetimos los pasos 1 a 3 para cada modelo cuya capacidad predictivaqueramos comparar. El modelo con mejor capacidad predictiva ser aquel

que presente un ECM menor.Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Pea [email protected] 37 / 37
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