Tema 2. Modelos matemáticos de los sistemas físicos tecnologia/BACHILLERATO... · 2º Ingeniería Técnica Industrial (Electrónica) •En general la solución de problemas no lineales

Regulación Automática I2º Ingeniería Técnica Industrial (Electrónica)

Tema 2. Modelos matemáticosde los sistemas físicos

– Objetivos• Definir modelo matemático en el ámbito de la ingeniería de sistemas• Conocer la metodología de modelado de sistemas físicos• Reconocer un modelo lineal de coeficientes constantes• Desarrollar modelos matemáticos básicos en forma de ODEs de

sistemas eléctricos• Desarrollar modelos matemáticos básicos en forma de ODEs de

sistemas mecánicos• Desarrollar modelos matemáticos básicos en forma de ODEs de

sistemas hidráulicos• Desarrollar modelos matemáticos básicos en forma de ODEs de

sistemas térmicos• Linealizar modelos no lineales


Tema 2. Modelado de sistemas continuos

• Contenidos– Concepto de modelo matemático.– Metodología de modelado.– Ejemplos de modelado.

• Modelado de sistemas mecánicos traslacionales• Modelado de sistemas mecánicos rotacionales• Modelado de sistemas eléctricos• Modelado de sistemas hidraúlicos• Modelado de sistemas térmicos

– Linealización de modelos.


1. Concepto de modelo matemático• Definición (desde el punto de vista de la regulación automática):

– El conjunto de ecuaciones que representan la dinámica de un sistema con exactitud

• Pueden existir diversos modelos de un sistema en función de:– El objetivo para el que se diseñe– El grado de detalle o complejidad– Los aspectos de interés

• Características de los modelos a desarrollar– Dinámicos ⇒ Tiempo– Relacionen entradas con salidas del sistema

• Tipos de modelos a desarrollar– Basados en leyes físicas ⇒ uso de EDOs


• Características duales de los modelos matemáticos– Simplicidad versus exactitud

• En general, ↑ complejidad ↑ exactitud• En general es preferible un modelo adecuado, que cumpla el

principio de parsimonia que dice que: siendo iguales otras cosas, los modelos simples son preferibles a los complicados.

– Ejemplo: » Si se puede, no incluir no linealidades» Si se puede, despreciar dinámica rápidas no significativas

Tim e (s e c .)

Am

plitu

de

S te p Re s pons e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1From: U(1)

To: Y

(1)

Dinámica rápida, no significativa


• Características duales de los modelos matemáticos– Linealidad versus no linealidad

• Se considera lineal a todo aquel sistema que se le puede aplicar el principio de superposición:

– La respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones excitadoras distintas, es la suma de las dos respuestas individuales.

• Un modelo de EDOs es lineal cuando los coeficientes son constantes o funciones de la variable independiente y las sucesivas derivadas no forman parte de ninguna función matemática

– Ejemplo de ecuaciones de modelos no lineales

( )

0

.01

)··sen(

22

2

22

2

2

2

2

=+++

=+

−+

=+

+

xxdtdx

dtxd

xdtdxx

dtxd

twAxdtdx

dtxd


• En la realidad, aunque muchas relaciones físicas se representen por ecuaciones lineales, no son así. De hecho, los sistemas considerados lineales, lo son solamente en un rango reducido.

– Ejemplos típico de no linealidades son los siguientes:• La salida de un componente puede saturarse a niveles altos

de una señal de entrada. • Ejemplo: un amplificador.

• Puede haber una zona muerta (rango de variaciones de entrada en las que el componente es insensible).

• Ejemplo: fuerzas de fricción estáticas que aparecen en el arranque de los motores DC del laboratorio.

ω (r.p.m)

V (volts)

V (volts)

V (volts)


• Se pueden producir no linealidades cuadráticas en algunos componentes. Por ejemplo una fuerza de amortiguación que dependa del cuadrado de la velocidad, puede considerarse lineal para bajas velocidades y cuadrática a altas velocidades.

• Otro tipo de no linealidad es el huelgo estático típico entre motor y carga.

F (Nw)

V (m/s)

y (mm)

x (mm)


• En general la solución de problemas no lineales es altamente complicada y se recurre a la linealización del modelo en torno a un punto de trabajo y resolver el problema de control con las técnicas de análisis y diseño lineal de las que se dispone.

– Coeficientes constantes versus variables en el tiempo• Ejemplo 1: modelo de una bobina eléctrica (coeficientes constantes)• Ejemplo 2: modelo de un cohete considerada variable la masa de

combustible (coeficiente variables en el tiempo)

dttdiLtV )(·)( =

)()()()( gra2

2

tFtFtFdt

xdtm rozamientovedadpropulsion −−=


• Objeto de la asignatura:– Sistemas lineales de coeficientes constantes

• Modelados mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.

• A partir de estos modelos podemos llegar a:– Modelos en el espacio de estados: descripción interna

» x´(t)=A·x(t)+B·u(t)» y(t)=C·x(t)+D·u(t))

– Modelos de función de transferencia (descripción externa, G(s))

)(·)(·)()(22

2

tuktycdt

tdybdt

tyda =++

[ ]

=

+

−−=

′

)()(

·.1.0)(

)(·0)(

)(·

01)()(

2

1

2

1

2

1

txtx

ty

tuak

txtxa

ca

btxtx

)(··

)( 2 sucsbsa

ksy++

= [ ] DBAISCsG +−= − ···)( 1


2. Obtención de modelos matemáticos• Modelado

– Se caracterizan por generar conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas, normalmente no lineales, que se obtienen a partir de un estudio analítico del sistema basado en:

• Una serie de hipótesis sobre dicho sistema. • El uso de leyes de comportamiento físico-químicas (leyes de

conservación, equilibrio entre fases, dependencias entre variables,...), o bien expresiones obtenidas a partir de datos experimentales.

• Identificación– Se caracterizan por considerar el sistema como una caja negra,

sin hacer ninguna hipótesis ni tener en cuenta los mecanismos internos de funcionamiento del sistema, y se basan en medidas experimentales para deducir las relaciones entrada salida.

• Diferencias modelado/identificación


– Metodología de modelado• Conceptualización

– Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar– Definir de los objetivos del modelo– Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio

que debe ser tan simple como sea posible.– Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física

(leyes de conservación de la masa, energía y momento …)– Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

Formalización

Parametrización

Resolución

Validación

¿Correcto?NO

SI

Lenguaje desimulación

Datos técnicosy del proceso

Conocimiento,experiencia,bibliografía

Conceptualización

Datosexperimentales

• Formalización– Formular el modelo en forma de

ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de condiciones lógicas).

• Parametrización– Determinación de los parámetros del

modelo y condiciones iniciales. • Resolución del modelo en un ordenador• Validar el modelo.


– Metodología de identificación• Seleccionar una clase de modelos: Continuos o discretos, lineales o no.

Modelo de ODESModelo de f.d.tModelo en el

espacio de estados¿Parámetros?

U(t) Y(t)Ec. en diferenciasModelo de f.d.t

discreta...¿Parámetros?

{U(Kt)} {Y(Kt)}

• Obtener un conjunto de datos experimentales.• Seleccionar, de acuerdo con algunas de las características de los

datos experimentales y previo minucioso análisis de dichos datos, un modelo entre los de clase seleccionada.

• Tratamiento de los datos experimentales (filtrado en un rango defrecuencias, eliminación de datos espureos,...) y estimación de los parámetros del modelo. Las técnicas de estimación del modelo dependen de la clase de modelo a identificar y de los datos de los que se dispongan.

• Probar la validez del modelo.


– Ventajas y desventajas del modelado vs identificación• Ventaja del modelado:

– Genera modelos aplicables en un extenso rango, debido a que llevan incorporados los mecanismos básicos que describen el comportamiento del sistema.

• Inconveniente del modelado– El modelado suele ser una tarea larga que requiere un conocimiento

preciso del sistema que se trata de modelar, además de experiencia en la tarea de modelado.

• Ventaja de la identificación– Los modelos obtenidos mediante las técnicas de identificación suelen estar

orientados a algoritmos de control y detección de fallos.– Suelen ser más sencillos de obtener que los basados en técnicas de

modelado.• Inconveniente de la identificación

– Su entorno de validez suele estar restringido a las condiciones en las que se tomaron los datos experimentales (esto es especialmente cierto para los modelos lineales, no debería ser así para los modelos basados en redes neuronales).


Sistemas mecánicos traslacionales: ejemplo amortiguador

• Objetivo:– Conocer el desplazamiento del coche (y1), en función de la posición del

suelo (y3) y de los parámetros de la rueda (k2), el amortiguador (k1 y f) y del coche(m).

• Conceptualización del sistema:– Según el esquema

y1(t) e y2(t) son el desplazamiento del coche y de la rueda, respectivamente,con respecto de su posición de equilibrio (suponiendo ésta la que tendrían en caso de que la masa del coche fuese cero y ambos "muelles" tuviesen su elongación natural) e y3 el del suelo.


• Formalización– Segunda ley de Newton:

∑= Fam·– El comportamiento de un muelle sigue la ley de Hooke

xKF ∆−= ·– El amortiguamiento viscoso es proporcional a la

velocidad y se puede modelar con la ecuación.

xfF &·−=


• Formalización:

gMyyfyykyM ·)·()·(· 212111 −−−−−= &&&&

)·()·()·(0 32221211 yykyyfyyk −−−+−= &&

Operando con las dos ecuaciones: .0)(

··)( 12

3121

312

112

1 =+

+−+−++

+ gf

kkyyMfkkyy

Mky

fkky &&&&&&&



Sistemas mecánicos rotacionales• Objetivo:

– Conocer la velocidad de giro del eje (ω) en función del par aplicado (T) y considerando que existe un rozamiento viscoso (b) y que el momento de inercia del cilindro es conocido (J).

• Conceptualización del sistema: Según el esquemaα es la aceleración angular

∑= τα·Jω·bT friccion −=

ωα ·· bTJ −=

θωα ′′=′=

Sustituyendo

Sabiendo que:

Entonces: TbJ =+′ ωω ··

)()(·)(· tTtbdt

tdJ =+ ωω

Jy b:parámetros0)0(entonces

00)T(t si :c.i.==

==tω

)(tT )(tω

• Formalización– Segunda Ley de Newton aplicada a la rotación– Fricción viscosa proporcional a la velocidad de giro


Sistemas eléctricos• Objetivo:

– Conocer la tensión de salida del circuito de la figura (Us) en función de la tensión de entrada (Ui).

• Formalización:– Uso de las leyes de Kirchhoff

∫

∫=

++′=

dttiC

tU

dttiC

tiRtiLtU

s

i

)·(1)(

)·(1)(·)(·)(

)(·)()()(·)(·)(

′=++′=

tUCtitUtiRtiLtU

s

si )()()(··)(·· tUtUtUCRtUCL isss =+′+′′


Sistemas eléctricos: amplificadores operacionales• Voltajes de entrada e1 y e2 con respecto a tierra, siendo invertida la entrada en el

terminal negativo (e1) y la entrada en el terminal positivo no• A la salida se tiene un voltaje con respecto a tierra e0 de valor e0=K·(e2-e1).

– K es la ganancia de tensión.– K es de valores próximos a 105-106 para frecuencias inferiores a 10Hz y unitaria a

frecuencias próximas a 1 MHz-50 MHz.• En un amplificador operacional ideal:

– No fluye corriente por los terminales de entrada (impedancia de entrada infinita)– Tensión de salida no depende de la carga conectada (impedancia de salida cero).

• Como K >> se diseñan dos montajes para garantizar la estabilidad– Amplificador inversor– Amplificador no inversor




Sistemas hidraúlicos




Sistemas térmicos



3. Linealización de modelos


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