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2
Kxdt
xdmmaF −=== 2
2x
mK
dtxda −== 2
2
KxF −=
Una oscilación ocurre cuando un sistema es perturbado de su posición de equilibrio estable
Ejemplos: Balanceo de un barco, reloj de péndulo, cuerdas musicales, oscilaciones en moléculas de aire produciendo sonido, etc.
m
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)
xEquilibrio
Cuando desplazamos el objeto de su posición de equilibrio, el muelle ejerce una fuerza recuperadora dada por la LEY DE HOOKE
K: constante recuperadora del muelle (N/m)
Aplicando la segunda Ley de Newton
Característica del MAS: “La aceleración es proporcional al desplazamiento y de dirección negativa”
( ) ( )
++=+=
2cos πδωδω tAsentAtx
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)
La ecuación general de este tipo de movimiento es:
donde:
x(t): posición del objeto en cualquier instante.- Elongación (m)
A: amplitud del movimiento (m), máximo desplazamiento del equilibrio.
ω: frecuencia angular o pulsación (rad/s).
δ: desfase o fase de oscilación (rad) (condiciones iniciales)
( ) ( ) ( )δωω +−== tsenAtvdt
tdx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )txtAtadt
tdvdt
txd 22
2
2
cos ωδωω −=+−===
mK
=ω
( )δω
δsenAvtv
Axtx−===
===
0
0
)0(cos0
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)
A y δ se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales
xmKa −=
πω 2=TTπω 2
=πω2
1==
Tf
KmT
mKf
π
π
2
21
=
=
5
(M.A.S)
Independientes
de la amplitud A
¿Qué objeto llegará primero a su posición de equilibrio si se sueltan a la vez?
5 cm
m2
10 cm
m1
Objeto 1Objeto 2
Periodo T: tiempo en el cual se repite x(t).
( ) ( ) ( )[ ] ( )TtATtATtxtx ωδωδω ++=++⇒+= coscos
( )( )( ) tAta
tsenAtvtAtx
ωω
ωωω
cos
cos
2−=
−==
ππω
ππω
ππω
ππω
222
34
324
32
22
242
4
==⇒=
==⇒=
==⇒=
==⇒=
TT
tTt
TT
tTt
TT
tTt
TT
tTt
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)
x(t)
v(t)
a(t)
A
0
-A
Aω
0
-Aω
Aω2
-Aω2
0
T/4 T/2 3T/4 T
δωθ += t
( )δωθ +== tAAx coscos
( )δωθ +== tAsenAseny
EJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
a) MOVIMIENTO CIRCULAR
V = constante
X
Y
A
Acosθ
θ
V = ω A
La proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro constituye un MAS
∑ ==−= 2
2
2
2
dtdmL
dtSdmmgsenFt
φφ
b) PÉNDULO SIMPLE
φ
T
mgcosφ
mgsenφ
mg
L
S
φφφLgsen
Lg
dtd
−≈−=2
2
gLT π
ωπ 22==
Aproximación desplazamientos pequeños
( ) ( )tdt
td φωφ 2
2
2
−= Lg
=ω
( ) ( )δωφ φ += tt cos0
Ecuación del movimiento
( ) ( )δω +== tKAKxtEP222 cos
21
21
( ) ( )
( )δω
δωω
+=
=+==
tsenKA
tsenmAmvtEC
22
2222
21
21
21
cteKAET == 2
21
( ) ( ) TOTALCp EmediaEmediaE21
==
Energía del “MAS”
Las energías potencial y cinética del sistema varían con el tiempo, permaneciendo la energía total constante
ETOTAL
EP
0
t
t
Ec
ETOTAL
La energía total es proporcional al cuadrado de la amplitud A
-A A
0
ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
La energía total es constante (linea horizontal). Esta línea corta a la función de la energía potencial en 2 puntos (x=-A y x=A), los puntos de retorno.
( ) 2
21 KxtEP =
2
2
)(dt
xdmdtdxKxF =+−= γ
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Se deben a efectos de frenado (resistencia del aire, fricción en piezas mecánicas, …)
La amplitud (y energia) van disminuyendo en el tiempo
Hay una fuerza que se opone al movimiento, de la forma:dtdxF γ−=
02
2
=++ Kxdtdx
dtxdm γ
γ constante2ª ley Newton
Ecuación diferencial de un oscilador armónico amortigüado
−=
−=
−=−= 2
02
220
220
2
2
22
411
411
411
41
ωγωγωγγω
mmKmKmK
mmK
a
2
020
2
2
0 14
1
−=−=
Ca m γ
γωω
γωω
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
γC = 2mωo
Valor crítico
a) γ<γC ⇒ Sistema subamortiguado
b) γ=γC ⇒ Críticamente amortiguado (vuelve al equilibrio casi sin oscilar)
c) γ>γC ⇒ (ωa??) Sistema sobreamortiguado (El sistema no oscila)
( ) ( ) ( )δωδω τγ
+=+= −
− teAtAtx a
t
a
tm coscos 02
0
A0: amplitud inicial
τ: tiempo de relajación o amortiguamiento = 2m/γ
ωa: frecuencia angular modificada