Ingenierıa Marıtima

Oscilaciones de corto periodo: Oleaje.Descripcion Estadıstica

Apuntes de Clase

MOS, MDM, AMF, ABA

Grupo de Dinamica de Flujos Ambientales, Universidad de Granada.

Curso 2012–2013

Indice

1. Introduccion 1

2. Analisis de series temporales en el dominio del tiempo 12.1. Definicion de una ola individual: cortes por cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Alturas y periodos de ola caracterısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Distribucion de alturas de ola individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. Distribucion del periodo de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5. Distribucion conjunta de alturas de ola y periodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Analisis de series temporales en el dominio de la frecuencia 123.1. Altura de ola y periodo caracterısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1. Anchura del espectro y validez de la distribucion de Rayleigh . . . . . . . . . . . 123.1.2. Altura de ola significante y periodo de pico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.3. Distribucion conjunta espectral de alturas de ola y periodos . . . . . . . . . . . . 13

4. Analisis extremal (de altura de ola) 154.1. Nivel de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.1. Periodo de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1.2. Probabilidad de encuentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1.3. Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2. Procedimiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3. Conjunto de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4. Distribuciones candidatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.5. Metodos de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5.1. Metodo de mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.5.2. Metodo de maxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5.3. Bondad del ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.6. Altura de ola de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6.1. Regımenes medios y extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6.2. Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.7. Fuentes de incertidumbre e intervalo de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

i

4.7.1. Intervalo de confianza de la altura de ola de diseno xT . . . . . . . . . . . . . . . 284.8. Periodo de onda de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.9. Analisis extremal multiparametrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5. Practicas Descripcion Estadıstica del Oleaje 315.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Apendices 35

A. Variable aleatorias 35A.1. Una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

A.1.1. Funcion de densidad de probabilidad Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.1.2. Desviaciones respecto del comportamiento Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 38A.1.3. Estimacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

A.2. Dos variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39A.2.1. Funcion densidad de Gauss bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

A.3. Procesos estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.3.1. Caracterizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.3.2. Procesos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.3.3. Procesos Gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.3.4. Procesos Gaussianos y estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.3.5. Procesos Ergodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A.3.6. La elevacion de la superficie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ii

Palabras clave

oleaje, altura de ola, periodo, significante, diseno, extremo, regımenes, funcion de distribucion, funciondensidad, Rayleigh.

Bibliografıa Basica

Holthuijsen, L.H., 2007. Waves in Oceanic and Coastal Waters. Cambridge University Press.

Goda, Y. Random Seas and Design of Maritime Structures. 2010. Vol.33 World Scientific Pub. Co. Inc.

Recomendaciones para obras marıtimas ROM1.0 (2009).

Stive, M.J.F. 1986 Extreme shallow water conditions. Delft Hydraulics, Intern Report H533.

G.I.O.C. 1986 Documentos de referencia SMC. Vol. I. Dinamicas.. Universidad de Cantabria.

Liu Z. and P. Frigaard, 2001. Generation and Analysis of Random Waves. Aalborg Universitet.

Quintero, D. y M. Ortega-Sanchez. 2012. Anteproyecto Marina Playa Granada. Grupo de Dinamica deFlujos Ambientales de la Universidad de Granada.

iii

1. Introduccion

Los cientıficos suelen estar interesados en la dinamica y cinematica de la onda, comoson generadas por el viento, por que rompen y como interaccionan con los contornos ylas corrientes. Los ingenieros normalmente disenan y gestionan estructuras o sistemasnaturales en el entorno marino como plataformas offshore, barcos, diques, playas. Elcomportamiento de estas entidades estan ampliamente afectadas por el oleaje y otrasondas, ası que es necesario un conocimiento de ellas a fin de disenar y gestionar ade-cuadamente.

En este Tema se pretende dar una introduccion a la descripcion estadıstica deloleaje, concretamente, a la observacion, analisis y prediccion de las ondas de gravedadsuperficiales generadas por el viento (oleaje). Este tıtulo tan largo es necesario, porqueondas superficiales hay muchas y de muy diverso origen. Las ondas oceanicas puedenser descritas a varias escalas espaciales, desde los centenares de metros a los miles dekilometros o mas, y temporales, desde unos pocos segundos (un periodo de onda) hastalos miles de anos (variabilidad climatica). En general, cuando hablemos de oleaje nosestaremos refiriendo a oscilaciones del nivel del mar entre tres y treinta segundos.

Como hemos visto el oleaje puede describirse en terminos de series temporales omediante su descripcion equivalente en el dominio de la frecuencia. Por tanto, no esde extranar que la descripcion estadıstica pueda hacerse desde ambos puntos de vista.En este curso nos centraremos mas en la descripcion a partir de las series temporales,aunque algunos conceptos espectrales seran introducidos a lo largo del Tema.

2. Analisis de series temporales en el dominio del tiempo

El analisis de las series temporales de elevacion de la superficie libre pueden llevarsea cabo tanto en el dominio del tiempo como en el espacio. En esta seccion trataremosdel analisis temporal.

Se admite, asumiendo linealidad, que η el desplazamiento vertical de la superficielibre con respecto a un nivel de referencia fijo es un proceso gaussiano y ergodico.Elegido el nivel de referencia adecuadamente, para que µη = 0, η sigue un modelode probabilidad de Gauss de media nula y desviacion tıpica ση, es decir, una NormalN(0, ση). σ

2η es la varianza del proceso y, asimismo, cuantifica su contenido energetico

(que depende esencialmente de la amplitud al cuadrado),

p(η) =1

σ2η√

2πexp

[− η2

2σ2η

]σ2η = η2rms = Esp

{(η − µη)2

},

(1)

donde ηrms es el desplazamiento medio cuadratico.Este modelo matematico-estadıstico deja de ser adecuado cuando el oleaje comien-

za a ser asimetrico con respecto al nivel medio, tal y como ocurre en profundidadesreducidas y en la zona de rompientes; en esta situacion, la no-linealidad impera, y el

1

proceso es no gaussiano. No obstante, en muchas de las aplicaciones practicas el modelogaussiano es una aproximacion suficiente.

2.1. Definicion de una ola individual: cortes por cero

Mediante un analisis directo de los datos brutos pueden identificarse las olas indi-viduales. Una ola individual, que no la elevacion de la superficie libre (que serıa unη(t) concreto), esta definida por dos cortes por cero sucesivos. Los cortes se refieren aun cero, que es un valor de referencia, tıpicamente el valor promedio. Se consideranlos cortes por cero de valores positivos a negativos, estos son, los pasos por cero des-cendentes. Se define un corte por cero hacia valores negativos entre las muestras n− 1y n cuando se cumple que η(tn−1) > 0 y η(tn) < 0 (Fig. 2). En resumen, una ola es elperfil de la elevacion entre cada dos pasos por cero descendentes consecutivos.

Otras definiciones de ola son posibles, por ejemplo, definiendo los cruces por ceroascendentes, esto es, hacia arriba. Si la elevacion de la superficie libre se consideraun proceso estocastico Gaussiano no importa si se toman los cruces ascendentes odescendentes, puesto que las caracterısticas estadısticas serıan simetricas1. Sin embargo,es comun adoptar la definicion de cruces por cero descendentes puesto que estimacionesvisuales de la altura de la cresta, referida al seno precedente se considera la altura dela ola. Ademas, en una ola que rompe, el frente, que es relevante en el proceso derotura, esta incluido en la definicion de los cruces hacia abajo (bajo tales condiciones,las ondas no son simetricas y las diferencias entre cruces hacia abajo o cruces haciaarriba se hacen importantes).

En la Fig. 1 se muestran los cruces por cero detectados en un registro de oleajede 7 min a 4 Hz de frecuencia de muestreo. En este caso se han detectado 106 cortespor cero de positivo a negativo, lo que da 105 ondas individuales. La altura de la ondaindividual se define como el rango de alturas, esto es, la diferencia de altura maxima ymınima entre dos cortes por cero. Vease Fig. 2.

La caracterizacion de las olas del registro de oleaje se basa en promediar las alturasde ola y periodos. Esto requiere que la duracion del registro sea lo suficientementecorta como para garantizar la estacionariedad y la homogeneidad, pero tambien losuficientemente larga como para obtener unos promedios aceptables. Normalmente, seemplean intervalos de 30 min o 1 hora2.

1¿Seguro? Piensese.2Segun la (ROM1.0 , 2009), a los efectos practicos y con las restricciones impuestas, se admite que en

un estado se produce un conjunto de manifestaciones del agente o agentes que pertenecen a un procesoaleatorio estacionario y homogeneo, y que los descriptores estadısticos temporales y espaciales soninvariantes. Esta descripcion se denomina de corta duracion (o a corto plazo). Es habitual denominarestado de mar al estado de oleaje cuando sus propiedades estadısticas son ergodicas. Sin embargo,en estas Recomendaciones se opta por generalizar estas definiciones, otorgando a cada una de ellas elambito de aplicacion de su denominacion, oleaje, nivel del mar, atmosferico y meteorologico. Ası elestado de nivel del mar incluye las manifestaciones lentas de la superficie libre del mar. El estadometeorologico incluye el conjunto de manifestaciones de los agentes climaticos forzados por la actividadatmosferica: viento, presion atmosferica, oleaje y marea meteorologica y, en su caso, meteomaremotos.

2

Figura 1: Deteccion de los cruces por cero en un registro de oleaje en el Golfo de Cadiz.

Figura 2: Altura y periodo de ondas individuales definidas por cortes hacia valoresnegativos.

3

2.2. Alturas y periodos de ola caracterısticos

La elevacion de la superficie libre mostrada en las Fig. 1 tiene mas de 100 olasindividuales. La pregunta es cual coger a la hora de disenar una estructura, o bien¿cual es la altura representativa de esa serie temporal? Para ello se consideran lassiguientes definiciones:

La altura y periodos medios se definen sobre todo el registro, es decir, son la me-dia de alturas y periodos de todas las ondas individuales. Estos son H = 1/N

∑Nk=1Hk

y T = 1/N∑N

k=1 Tk, respectivamente. A veces se denota el periodo como Tz. En el casoque seguimos de ejemplo H = 0,39 m y T = 3,93 s.

La altura de ola cuadratica media Hr.m.s. se define como

Hr.m.s. =

√√√√ 1

N

N∑k=1

H2k . (2)

Analogamente, el periodo es Tr.m.s. =√

1/N∑N

k=1 T2k . Esta medida puede ser re-

levante para proyectos en los que la energıa de la onda sea importante. Recuerdeseque la energıa de una onda es proporcional a su amplitud al cuadrado. En el ejem-plo que seguimos del registro de oleaje del Guadalquivir se obtiene Hr.m.s. = 0,46 m yTr.m.s. = 4,47 s.

Se define la ola maxima como aquella que tiene la maxima altura de ola Hmax. Ennuestro caso es la ola numero 101 y tiene Hmax = 1,08m y el periodo correspondientea esa altura es THmax = 9,55 s.

La ola maxima se selecciona como onda de diseno para estructuras en las que esimportante y muy sensible a la carga de ola, por ejemplo, en diques verticales. Noteseque Hmax es una variable aleatoria con la distribucion dependiente del numero de olaindividuales.

Las alturas y periodos caracterısticos definidos anteriormente son quizas los masobvios. Sin embargo, no se usan a menudo puesto que los resultados que arrojan separecen muy poco a las alturas y periodos estimados visualmente. Por eso se define laaltura de ola significante.

Se define la altura de ola significante3 como la altura promedio del tercio dealturas mayores del registro de oleaje. Se expresa como

H1/3 =1

N/3

N/3∑k=1

Hk , (3)

donde el ındice k no representa la secuencia temporal de las olas, sino la posicionla ola, estando ordenadas de mayor altura mayor a menor altura. El periodo se defineigualmente como el periodo promedio del tercio de olas cuya altura es mayor, i.e.

T1/3 = 3/N∑N/3

k=1 THk . En el caso de ejemplo analizado H1/3 = 0,67 m y T1/3 = 5,80 s.

3“Significante” es una mala traduccion de “Importante”.

4

La altura de ola significante H1/3, o a veces tambien definida como Hs, se usa enla mayorıa de las aplicaciones como ola de diseno4. La razon es que antiguamente lasestructuras eran disenadas basandose en la observacion visual de la olas. La altura deola significante H1/3 esta proxima al valor observado visualmente, lo cual resulta utilpuesto que recoge las experiencias previas de ingenierıa.

El concepto de altura de ola y periodo significantes es importante y muchas situacio-nes. Sin embargo, dos parametros proporcionan, logicamente, una descripcion limitadade las condiciones del oleaje. Por ejemplo, dos condiciones de oleaje distintas (un marmezclado, irregular, mar de viento y un swell, regular con olas suaves, mar de fon-do) pueden presentar las mismas alturas de ola y periodos significante. Para distinguirambas situaciones se requieren mas parametros, por ejemplo, altura y periodos signi-ficantes para mar de viento y de fondo por separado. Los puntos WANA de Puertosdel Estado5 proporcionan esos parametros en ambas condiciones. Esto se hace a veces,pero en general unos pocos parametros no determinan unıvocamente unas condicionesde oleaje. Una descripcion completa (en el sentido estadıstico) del oleaje requiere unanalisis espectral basado en la hipotesis que el movimiento aleatorio de la superficielibre puede tratarse como la suma de un gran numero de armonicos.

A veces tambien se usa H1/10 definida como la media aritmetica de las N/10 alturasde ola mayores del registro6, esto es,

H1/10 =1

N/10

N/10∑k=1

Hk , (4)

donde el ındice k no es el ındice que representa la secuencia temporal de las olas,sino el orden de la ola, estando ordenadas de altura mayor a menor. Igualmente se

define el periodo TH1/10= 10/N

∑N/10k=1 THk , i.e. como la media de los N/10 periodos

correspondientes a H1/10. En el caso de ejemplo analizado H1/10 = 0,91 m y T1/10 =6,78 s. Logicamente H1/10 > H1/3 y T1/10 > T1/3.

La altura de ola con probabilidad de excedencia de un α% se denota Hα%. Porejemplo, H0,1%, H1%, etc.

2.3. Distribucion de alturas de ola individuales

En vez de mostrar todas y cada una de las altura de ola individuales, es mas utilmostrar un histograma de muestre el numero de olas obtenidos en varios intervalos dealtura de ola. La Fig. 3 muestra el histograma de los datos de oleaje de la boya delGuadalquivir.

Para comparar alturas de ola en diferentes localizaciones, el histograma de la Fig. 3se adimensionaliza segun H/H y n/(N∆H/H), donde N es el numero de olas y ∆H es

4Al proyectar una obra se dimensiona de modo que sea capaz de soportar la accion de temporalescon altura menor o igual a la altura de diseno.

5http://www.puertos.es/oceanografia_y_meteorologia/redes_de_medida/index.html6Estas alturas y periodos caracterısticos son interesantes puesto que pueden definirse en terminos

del espectro de onda.

5

Figura 3: Histogramas de altura de ola y periodo. El tamano de bin es para la alturade ola ∆H = 0,052 m y para el periodo ∆T = 0,47 s.

tamano del bin (el subintervalo). El resultado, la densidad de probabilidad, se puede veren la Fig. 4. Cuando ∆H/H → 0 la densidad de probabilidad tiende a una curva con-tinua. Resultados teoricos y experimentales muestran que la densidad de probabilidadsigue, aproximadamente, una funcion de distribucion de Rayleigh7. Se dira entonces quelas alturas de ola individuales siguen una distribucion de Rayleigh. La funcion densidadde probabilidad de Rayleigh fR(x) ∈ (0, +∞) es8

fR(x) =x

σ2xe− x2

2σ2x , (5)

Notese que la funcion dada en la Eq. 5 esta normalizada9. Segun Goda (2010) laaproximacion de Rayleigh es una buena aproximacion en aguas profundas y para unnumero de ondas muy superior a 100. Cuando la rotura de ola tiene lugar, la distribu-cion de alturas de ola difiere de la dada por la distribucion de Rayleigh. Para ese caso,correcciones empıricas a la distribucion de Rayleigh han sido propuestas, e.g. (Stive ,

7La funcion de Rayleigh fue derivada originalmente por Lord Rayleigh a finales del s.XIX para des-cribir la distribucion de la intensidad del sonido emitido desde un numero infinito de fuentes. Longuet-Higgins solo verifico la aplicabilidad de la distribucion de Rayleigh para oleaje irregular cuyos periodosy alturas presentaban pocas fluctuaciones tanto en los periodos como en las alturas (Goda , 2010).Sin embargo, las olas reales en el mar pueden presentar fluctuaciones importantes en periodos de olaindividuales. Hasta ahora no se ha desarrollado una teorıa exacta para olas reales.

8Para las crestas tiene esta forma. La amplitud de las crestas, en una aproximacion muy burda, esηcresta ∼ H/2 (Holthuijsen , 2007). La funcion de densidad de Rayleigh es algo diferente para alturasde ola (vease Eq. 6).

9La normalizacion no es hacer directamente x ≡ H/H, sino imponiendo que la integral en todo eldominio es 1. Es inmediato comprobar que 1 =

∫ +∞0

fR(x)dx. Vease Fig. 4.

6

1986).

Para mar de fondo, con un oleaje de alturas de ola H se tiene las siguientes funciondensidad de probabilidad y funcion de distribucion expresadas en terminos de Hrms

fR(H) = 2H

H2rms

e− H2

H2rms , (6)

FR(H) = Prob {H < H, H ∈ (0, +∞)} =

∫ H

0fR(H ′)dH ′ = 1− e−

H2

H2rms .

Tambien puede expresarse utilizando la altura de ola media H como parametro dela distribucion, quedando

fR(H) =π

2

H

H2 e−π

4H2

H2 , (7)

FR(H) = 1− e−π2H2

H2 .

o en funcion de la altura de ola significante Hs

fR(H) = 4,01H

H2s

e−2,005H

2

H2s , (8)

FR(H) = 1− e−2,005H2

H2s .

Asumiendo que la distribucion de Rayleigh es una aproximacion de la distribu-cion de alturas de ola individuales10, las alturas caracterısticas H1/10, H1/3, Hr.m.s. y

Hα% pueden expresarse en terminos de H manipulando la Eq. 5. Las relaciones sonlas siguientes11: H1/10 = 2,03H, H1/3 = 1,60H, Hr.m.s. = 1,13H y H2% = 2,23H.Segun estas relaciones es posible expresar la Eq. 6 en terminos de otras alturas deola caracterısticas. Por ejemplo, en terminos de la altura de ola significante serıaFR(H) = 1− e−2,010·(H/Hs)2 . Vease la Tabla 1.

10Al considerar la funcion de Rayleigh como funcion de distribucion de la altura de ola se esta admi-tiendo que esta es igual a dos veces la amplitud y que cada una de las olas son sucesos estadısticamenteindependientes. En los casos en los que esto no sea aceptable, es necesario definir la distribucion dealturas de ola como una distribucion conjunta de dos amplitudes separadas por un intervalo de tiempodeterminado. Para este caso en particular, estas dos amplitudes consideradas estadısticamente inde-pendientes deberıan estar separadas por el semiperıodo medio del proceso. La distribucion de Rayleighsobreestima, habitualmente, las probabilidades de presentacion de las alturas mayores y menores delregistro. Las razones de esta desviacion se atribuyen a no cumplir las hipotesis iniciales. Estas se refierena la anchura espectral, la independencia estadıstica entre olas sucesivas y la nolinealidad y asimetrıa deloleaje. En general, la funcion de distribucion de Rayleigh no se ajusta muy bien a los histogramas ob-tenidos experimentalmente para valores de ε> 0,5. Sin embargo, los descriptores estadısticos obtenidosde la aplicacion de la distribucion de Rayleigh pueden ser usados con notable fiabilidad.

11La demostracion se deja como ejercicio al lector.

7

Figura 4: Histogramas de altura de ola y periodo normalizados. La curva continua es lafuncion de densidad de probabilidad de Rayleigh. Para ajustar los periodos, no obstante,no suele usarse una distribucion de Rayleigh. Son tıpicas, tal y como se describe en elapartado 2.4, las funciones de Bretschneider.

Asumiendo una funcion de distribucion de Rayleigh, esta claro que debe haberrelaciones entre las Eqs. 6, 7 y 8, dadas a traves de las relaciones entre Hs, H, Hrms

y Hmax. Por ejemplo, para un registro ordenado de N olas se verifica que

Prob(h ≥ H) =i

N, (9)

donde i es el numero de orden de la ola, considerando i = 1 para la ola de alturamayor e i = N para la ola de altura menor. Despejando de la Eq. 8 se tiene

H = Hs

[1

2ln

(N

i

)]1/2. (10)

Para el caso i = 1, que se corresponde con H = Hmax se obtiene una relacion

Hmax = Hs

[1

2lnN

]1/2, (11)

que, para N = 3000, se obtiene aproximadamente Hmax ≈ 2,00Hs. El lector puedeobtener sus relaciones para, por ejemplo, H1/10 y H1/100.

8

Altura H/Hr.m.s. H/√m0 H/Hs

Hr.m.s. 1,0 2√

2 0,706

Moda, H 1/√

2 2 0,499

Mediana, H (ln 2)1/2 (8 ln 2)1/2 0,588

Media, H√π/2

√2π 0,626

Significante, Hs 1,416 4,005 1,00

H1/10 1,80 5,091 1,271

H1/100 2,359 6,672 1,666

Hmax ? ? ?

Tabla 1: Relaciones entre estadısticos de la distribucion de Rayleigh (ROM1.0 , 2009).m0 es el momento espectral de orden cero.

A menudo es interesante conocer la probabilidad de excedencia (Prob(H >Hq en el ano medio)), esto es, la probabilidad q de que una altura de ola exceda uncierto valor Hq. Empleando la definicion de FR sera

q = 1− FR(Hq) = e−

H2q

H2rms , (12)

donde FR es la funcion de distribucion de alturas de ola individuales. La alturaumbral Hq se puede obtener despejando de la expresion anterior,

Hq

Hrms=

√ln

(1

q

), (13)

siendo q = 1/n, la proporcion de olas mayores que Hq.

2.4. Distribucion del periodo de onda

A diferencia de las distribuciones de ola, el periodo de las olas ha recibido muchamenos atencion en la literatura. Sin embargo, el diseno de las estructuras marıtimasrequiere una estimacion fiable de la distribucion de periodos del oleaje12 o, mejor aun,de la distribucion conjunta de las alturas de ola y periodos de las olas de un estado demar.

En realidad, no hay una expresion generalmente aceptada para la distribucion delperiodo. Lo que sı se observa es que, en un tren de olas, la distribucion es mas estrechaque la de correspondiente para la altura de ola y que los datos presentan una dispersionen el rango 0.5-2.0 veces el periodo de ola medio. Sin embargo, cuando mar de fondoy mar de viento coexisten, el la distribucion de periodos es mas ancha, a menudo

12¿Por que?

9

Figura 5: Funciones densidad (izquierda) y de distribucion (derecha) de Bretschneiderpara Tz = 6,5 s.

bimodal, con dos picos para cada tipo de oleaje. Por tanto, el periodo de ola no tieneun comportamiento tan universal como la altura de ola con su distribucion de Rayleigh.No obstante, a veces se emplea la funcion densidad de probabilidad y la distribucionde periodos de Bretschneider que son, respectivamente,

fB(T ) = 2,7T 3

T 4z

e−0,675

(TTz

)4

(14)

FB(T ) = 1− e−0,675(TTz

)4

. (15)

La Fig. 5 muestra un ejemplo de las funciones densidad y de distribucion de Bretsch-neider para Tz = 6,5 s.

2.5. Distribucion conjunta de alturas de ola y periodos

Si la altura de ola y el periodo fueran estadısticamente independientes, la funciondensidad de probabilidad conjunta13 serıa simplemente el producto de fconjunta(H,T ) =fR(H) ·fB(T ), a saber, el producto de la pdf de Rayleigh para la altura de ola fR(H) yla pdf de, por ejemplo, Bretschneider para el periodo fB(T ). Pero no es el caso, puestoque H y T estan relacionados.

Segun Goda, las Eqs. 24 y 27 reflejan las caracterısticas de la distribucion conjuntade alturas de ola y periodos. Olas con alturas menores en un registro de oleaje puedenpresentar periodos mas cortos, mientras que olas de alturas mayores que la media noparecen mostrar ninguna correlacion con el periodo de onda, aunque, sin embargo, lo

13Los artıculos de Rice citados en (UC , 2000) sobre ruidos blancos Gaussianos son la base para todaslas distribuciones conjuntas de altura de ola - periodo existentes. Las diferencias entre las distribucionesdependen de las hipotesis y tecnicas adoptadas.

10

Figura 6: Diagrama de dispersion en el punto WANA-46 de Puertos del Estado, en elGolfo de Cadiz.

que muestra la Fig. 6 parece querer decirnos que existe un periodo mınimo por debajodel cual no hay olas.

En la practica la distribucion conjunta de altura de ola y periodo es de gran im-portancia. Desafortunadamente, tampoco hay una distribucion generalmente aceptadapara la distribucion conjunta, incluso aunque hay algunos llamados “diagramas de dis-persion” basados en el registro de oleaje. Tales diagramas dependen fuertemente delemplazamiento.

La relacion entre Hs y Ts se simplifica a menudo como Ts = αHβs , asignando valores

apropiados14 a α y β. En la Fig. 6 se muestra Tp (no Ts) frente a Hs mostrando unarelacion mas complicada (2D). En la Fig. 6 es claro la existencia de un Tp mınimo paraun Hs dado.

14En aguas canadienses, α = 4,43 y Ts = 0,5

11

Figura 7: Espectro de la varianza con area m0 y frecuencia de pico fp = 1/Tp, dondeTp es el periodo de pico.

3. Analisis de series temporales en el dominio de la fre-cuencia

3.1. Altura de ola y periodo caracterısticos

El espectro de la varianza, ilustrado en la Fig. 7, no dice nada de como seran las olasindividuales. Ahora veremos como estimar la altura de ola caracterıstica y el periodo apartir del espectro de la varianza.

El momento de orden-n, mn se define como

mn =

∫ ∞0

fnS(f) df . (16)

Ası, por ejemplo, el momento de orden 0 es m0 =∫∞0 S(f) df , que es en realidad

el area bajo la curva del espectro, relacionado con el contenido energetico del tren deondas.

3.1.1. Anchura del espectro y validez de la distribucion de Rayleigh

De la definicion de mn se puede ver que cuanto mayor sea orden del momento,mayor peso se pone en las frecuencias mas altas del espectro. Con el mismo m0, unespectro mas ancho da valores mayores de momentos de ordenes superiores (2 ≤ n).Cartwright y Longuett-Higgins (1956) definieron el parametro de anchura como

ε =

√1− m2

2

m0m4, (17)

12

a partir de un analisis teorico de la distribucion estadıstica de la altura de las crestasdel oleaje. El valor de ε ∈ (0, 1). Se ha probado teoricamente que

Spectrum width parameter Wave height distribution

ε = 0 narrow spectrum (SWELL) Rayleigh distributionε = 1 wide spectrum (SEA) Normal distribution

El valor de ε suele ser del orden de 0.4-0.5. Se encuentra que la distribucion deRayleigh es una muy buena aproximacion y ademas es conservativa, puesto que la dis-tribucion de Rayleigh proporciona una altura de ola ligeramente mayor para cualquiernivel de probabilidad dado. Otra posible definicion de la anchura espectral es

ν =

√m0m2

m21

− 1 . (18)

Se probo teoricamente que es inversamente proporcional al numero medio de olasen un grupo. La Eq. 18 indica que cuando la energıa esta concentrada en una solafrecuencia, entonces ν → 0. Cuando la energıa esta dispersa en muchas frecuenciasν → 1. Un valor tıpico en temporales es de 0.3.

3.1.2. Altura de ola significante y periodo de pico

Cuando la altura de ola sigue una distribucion de Rayleigh, i.e. cuando ε = 0(oleaje tipo Swell), la altura de ola significante puede derivarse teoricamente a partirdel espectro de la varianza como

Hm0 = 4√m0 . (19)

Por eso se denota con el subındice del momento de orden 0. La altura significanteespectral esta relacionada con el contenido energetico del oleaje. En realidad, paravalores de ε = 0,4 − 0,5, una buena estimacion de la altura de ola significante esHm0 = 3,7

√m0.

La frecuencia de pico fp se define sencillamente como la frecuencia a la cual lafuncion s(f) es maxima. El periodo de pico Tp = 1/fp coincide aproximadamente conel periodo de ola significante.

3.1.3. Distribucion conjunta espectral de alturas de ola y periodos

Longuet-Higgins (1975, 1983) (citado en (UC , 2000)) definio el periodo y alturasde ola con el criterio de pasos ascendentes por cero. La distribucion obtenida asumeque el espectro es de banda estrecha (mar de fondo o Swell), donde ν es el parametrode la anchura espectral definido en Eq. 18. La funcion densidad se expresa en funcionde las variables adimensionales Ha = H/

√m0 y Ta = T/T , siendo T el periodo medio

relacionado con la frecuencia media ω = 2πm0/m1:

13

Figura 8: Funcion densidad conjunta altura de ola - periodo de Longuet-Higgins parados valores del parametro de anchura espectral ν. Notese que las bandas espectralesson mas anchas donde hay mayor variabilidad en los valores de H y T .

fHa,Ta = CL

(Ha

Ta

)2

exp

{−H

2a

8

[1 +

1

ν2

(1− 1

Ta

)2]}

, (20)

donde

CL =1

4ν√

2π[1 + (1 + ν2)−1/2

] . (21)

En la Fig. 8 se representan diagramas de contorno para la funcion densidad de laEq. 20 para anchuras espectrales ν = 0,2 y ν = 0,6. Como puede verse, para anchurasespectrales pequenas, la distribucion es mas simetrica alrededor de Ta = 1 (alrededordel periodo medio).

La funcion densidad de probabilidad para (solo) los periodos puede derivarse a parirde la distribucion de probabilidad conjunta H − T dada en Eq. 20, integrando en Hen todo su dominio. De esta manera, se obtiene la distribucion de periodos como unadistribucion marginal. El resultado es

fLH(Ta) =4CL√

4π

T 2a

[1 +

1

ν2

(1− 1

Ta

)2]−3/2

, (22)

14

donde Ta = T/T . Como puede comprobarse, la distribucion es asimetrica lo cualesta de acuerdo con las observaciones. La moda de la distribucion T decrece con laanchura espectral ν de acuerdo con la expresion15

Ta =2

−1 +√

9 + 8ν2. (23)

Asimismo, se ha observado (hecho empırico) que los parametros de los periodoscaracterısticos estan interrelacionados. Del analisis de datos de campo, se verifica que

Tmax/T1/3 = 0,6− 1,3 , (24)

T1/10/T1/3 = 0,9− 1,1 , (25)

T1/3/T = 0,9− 1,4 . (26)

Simplificando aun mas (Goda (Goda , 2010)),

Tmax ≈ T1/10 ≈ T1/3 ≈ 1,2T . (27)

La relacion T1/3/T da solo una indicacion puesto que este valor esta afectado porla forma del espectro del oleaje.

4. Analisis extremal (de altura de ola)

La altura de ola de diseno (Liu et al. , 2001) se representa a menudo por la alturade ola significante Hs, que es una variable aleatoria. Varıa con respecto al tiempo ya la localizacion. Si una estructura debe ser construida en una zona del mar dondese dispone de medidas de altura de ola a largo plazo, la pregunta que el ingenierodebe hacerse es como determinar la altura de ola de diseno. El analisis extremal dala respuesta, i.e. proporciona un metodo para determinar la altura de ola de diseno,basado en la importancia de la estructura (nivel de diseno) y el analisis estadıstico deun registro de oleaje de largo plazo.

4.1. Nivel de diseno

El nivel de diseno se representa por un periodo de retorno o probabilidad de en-cuentro.

15Demuestrese. Basta recordar que T representa el valor mas probable de la distribucion.

15

4.1.1. Periodo de retorno

Para definir adecuadamente el periodo de retorno T es necesario establecer la si-guiente notacion.

X: Altura de ola significante, que es una variable aleatoria.

x Es una realizacion particular de X.

F (x) Es la funcion de distribucion acumulada de X, F (x) = Prob(X ≤ x).

t Numero de anos de observacion de X

n Numero de observaciones en un periodo de t anos.

λ Intensidad de muestreo λ = n/t

La probabilidad de no excedencia de x es F (x), es decir, la probabilidad acumuladade que X no exceda el valor de x. De modo complementario, la probabilidad de ex-cedencia es 1 − F (x), asumiendo que la funcion F esta debidamente normalizada. Enotras palabras, con probabilidad 1−F (x) una altura de ola significante sera mayor quex.

Si el numero total de observaciones (realizaciones de X) es n, el numero de obser-vaciones donde X > x es

k =n∑i=1

Prob(X ≤ x) = n (1− F (x)) = tλ (1− F (x)) . (28)

Luego el periodo de retorno T de una realizacion x se define como

T = t|k=1 =1

λ (1− F (x)), (29)

es decir, en promedio, se excedera el valor x una vez cada T anos. Tambien se definex como un evento de T anos.

4.1.2. Probabilidad de encuentro

Basandose en el hecho que, en promedio, x sera superada una vez cada T anos,la probabilidad de excedencia de x en 1 ano sera de 1/T . Por tanto, la probabilidad deno excedencia de x en 1 ano sera Prob(X ≤ x) = 1− 1/T ; en dos anos Prob(X ≤ x) =(1− 1/T )2; y en L anos Prob(X ≤ x) = (1− 1/T )L. La probabilidad de encuentro,i.e., la probabilidad de excedencia de x en la vida de una estructura de L anos de vidaes

p = 1−(

1− 1

T

)L, (30)

16

que, en el caso de un valor grande de T puede aproximarse por

p = 1−(

1− e−LT

)L. (31)

4.1.3. Diseno

Tradicionalmente el nivel de diseno para la altura de ola de diseno fue la altura deola correspondiente a un cierto valor periodo de retorno. Por ejemplo, si la altura de olade diseno correspondiente con un periodo de retorno de 100 anos es 10 m, el significadofısico es que, en promedio, estos 10 m de altura de ola de diseno seran excedidos unavez cada 100 anos.

En el diseno de estructuras costeras basado en la fiabilidad, es mejor emplear laprobabilidad de encuentro, i.e. la probabilidad de excedencia dentro de la vida utilde la estructura de la altura de ola de diseno. Por ejemplo, si la vida util L de unaestructura se estima en 25 anos, la probabilidad de encuentro para la altura de disenode 10 m es

p = 1−(

1− 1

T

)25

≈ 22 % . (32)

Esto significa que estos 10 m de altura de ola de diseno seran excedidos con un 22 %de probabilidad en los 25 anos de vida util de la estructura.

4.2. Procedimiento general

En la practica, los ingenieros deben determinar la altura de ola de diseno correspon-diente a un cierto periodo de retorno, a partir de un registro (medido o de pronostico)de oleaje a largo plazo. El procedimiento general para llevar a cabo esa tarea podrıaser el siguiente:

1. Seleccionar los datos extremos (alturas de ola) del conjunto de datos.

2. Seleccionar varias distribuciones teoricas que se ajusten a los datos extremos.

3. Ajuste de las distribuciones a datos extremos por un metodo adecuado de ajuste(p.ej. mınimos cuadrados).

4. Elegir la distribucion que mejor se ajuste a los datos.

5. Calcular la altura de ola de diseno para un periodo de retorno dado.

6. Determinar el intervalo de confianza de la altura de ola de diseno para cuantificarla variabilidad de la muestra (errores).

17

4.3. Conjunto de datos

Los datos de oleaje originales suelen obtenerse tıpicamente de medidas directasmediante boyas o a partir de predicciones basadas en datos meteorologicos. La mayorıade los registros no cubren mas de 10 anos de observacion (vease Puertos del Estado,http://www.puertos.es/) o 40 si hablamos de predicciones basadas en modelos.

En la practica, suelen usarse tres conjuntos de datos de altura de ola extremal:

Conjunto de datos completo: Contienen todas las medidas directas de altura deola, usualmente equiespaciadas en el tiempo.

Series anuales: Consisten en series de datos cuyo contenido son las mayores alturasde ola por cada ano.

Series parciales: Estan compuestas por las mayores alturas de ola registrada portormenta/borrasca, dado un umbral inferior. El umbral es determinado a partirde la localizacion de la estructura y la experiencia ingenieril. Vease ROM0.0. Elmetodo que se emplea con estas series de datos es el metodo de picos sobreumbral (POT, Peak Over Threshold). Vease Fig. 9.

Es habitual que las series temporales obtenidas con instrumentos de medida tenganintervalos de tiempo en los que, por labores de conservacion o fallos tecnicos, presentenlagunas de informacion. En estos casos, se procurara aplicar tecnicas de relleno dedatos para completar la serie temporal, entre ellas, tecnicas estadısticas, correlacion conotras variables de estado, o relaciones fısicas, debidamente contrastadas, entre variables(ROM1.0 , 2009).

Los conjuntos de datos extremales, basados en datos de oleaje originales, debencumplir las siguientes condiciones (para que la muestra sea significativa)16:

Independencia: No debe haber correlaciones entre los datos. Las series de datosanuales y las series parciales17 verifican la condicion de independencia puesto quelos datos vienen de distintos temporales18.

Homogeneidad: Los datos extremales deben pertenecer a la misma poblacion es-tadıstica, e.g., todos los datos extremales proceden de olas generadas por viento.

Estacionariedad: Debe haber una climatologıa a largo plazo estacionaria. Estudiosde datos de oleaje en el Mar del Norte de los ultimos 20 anos parecen mostraruna tendencia en los datos medios que muestra una no-estacionariedad. Se obser-van variaciones promedio de decadas a decadas o incluso en periodos mas largos.Sin embargo, la hipotesis de estacionariedad estadıstica parece razonable y rea-lista para propositos ingenieriles, puesto que las variacion a esas escales suele serpequena19.

16Ejemplo de las encuestas de intencion de voto.17En este caso hay que tener cuidado al separar entre temporales.18¿Estan los temporales correlacionados?19¿Que pasa con las predicciones del Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC)?

18

Figura 9: Para la obtencion de los regımenes extremales anuales de oleaje en profundi-dades indefinidas, definidos como la distribucion de valores maximos locales o los picosde tormentas que superan un determinado umbral de una variable de estado de mar enprofundidades indefinidas frente al puerto de Motril, se han utilizado los datos de lospuntos WANA 2019013. Se ha usado el metodo de Picos Sobre Umbral (POT, PeaksOver Threshold). Para ello se han fijado la altura de ola umbral correspondiente a 3 m(linea horizontal azul), correspondiente al valor que es superado en menos del 1 % deltiempo en el ano medio. Para garantizar la independencia estadıstica entre temporales,se ha supuesto que la duracion mınima entre temporales debe ser superior a 48 horas.De esta manera se han obtenido 51 eventos extremales respectivamente, en los 14 anosmeteorologicos analizados (Quintero et al. , 2012).

19

El conjunto de datos completo, no cumple el requisito de independencia entre losdatos, puesto que existen correlaciones no nulas entre los diferentes estados de mar.(Goda , 2010) encontro coeficientes de correlacion de 0.3-0.5 para alturas de ola signi-ficante medidas durante 20 minutos con un espaciado temporal de 24 horas. Ademas,es interesante el caso de la ola de diseno con una probabilidad de no excedencia muyelevada (la cola superior de la distribucion de probabilidad). Si la distribucion de ajusteelegida no es la correcta, los valores de cola superior de la distribucion no seran realis-tas (estaran mal estimados), puesto que existen correlaciones entre los datos. Por estasrazones no suelen usarse los registros completos de datos para el analisis extremal.

La mayorıa de los ingenieros prefieren las series parciales por encima de las seriesanuales. Por una parte, es una muestra de datos mucho mas numerosa y, por otra, lonormal es que el analisis de las series parciales den como resultado una altura de olade diseno mayor, lo que implica un diseno mas conservador de la estructura.

4.4. Distribuciones candidatas

Generalmente las distribuciones exponencial, la de Weibull, la de Gumbel, la deFrechet, la de Pareto y la Log-normal son las distribuciones teoricas que mejor suelenajustarse a los datos. Las acumuladas son las siguientes20:

Exponencial:

FE(x) = Prob(X < x) = 1− e−(x−BA ) , (33)

Weibull (stretched exponential21):

FW (x) = Prob(X < x) = 1− e−(x−BA )k

, (34)

Gumbel:

FG(x) = Prob(X < x) = ee−(x−BA )

, (35)

Generalizada de Pareto:

FP (x) = Prob(X < x) = 1−(

1 + C

(x−BA

))−1/C, (36)

Log-normal:

FL(x) = Prob(X < x) = Φ

(ln(x)−B

A

), (37)

Generalizada de valores extremos:

FGEV (x) = Prob(X < x) = e−(1+C x−BA )

−1/C

, (38)

20Las “no acumuladas” se obtienen derivando estas en virtud del teorema fundamental del calculo.21Tengase en cuenta que MatlabTM define la Weibull sin el parametro de localizacion.

20

donde X es la variable aleatoria, en este caso una altura de ola caracterıstica, quepodrıa ser la altura de ola significante Hs o el diezmo H1/10 o la altura de ola maximaHmax, dependiendo del conjunto de datos; la variable x representa una unica realizacionde la variable aleatoriaX; y F es la funcion de probabilidad acumulada complementaria,i.e. la probabilidad de no excedencia (frecuencia acumulada). Los parametros A, B yk son parametros ajustables de las distribuciones. En la distribucion Log-normal A yB representan, respectivamente, la desviacion estandar y la media de X. La funcionΦ representa una distribucion Normal. En la Generalizada de Valores Extremos Arepresenta el parametro de escala (anchura), B el parametro de localizacion y C es unparametro de forma. Para C = 0 esta distribucion se reduce a una Gumbel, para C > 0es una Frechet o Fisher-Tippet II y para C < 0 toma la forma de una Weibull22.

4.5. Metodos de ajuste

Cuatro metodos de ajuste de las colas que generalmente se emplean son el metodo demaxima verosimilitud, el metodo del momento, el de los mınimos cuadrados y el graficovisual. Los mas comunes son el de maxima verosimilitud y el de mınimos cuadrados.

4.5.1. Metodo de mınimos cuadrados

Las Eqs. 34 y 35 pueden escribirse como

X = A · Y +B , (39)

donde Y es la variable aleatoria reducida de acuerdo a

Y = (− ln(1− F ))1/k , (40)

para la distribucion de Weibull y, para la de Gumbel,

Y = − (− lnF ) , (41)

El procedimiento de interpolacion por mınimos cuadrados es el siguiente

1. Reordenar los extremos (p.ej. n datos) en orden descendente: xi, i = 1, 2, . . . , n

2. Asignar una probabilidad de no excedencia Fi a cada xi mediante una formulapara representacion Q-Q23, por lo que se obtiene un conjunto de pares (Fi, xi).

22Se deja como ejercicio al lector determinar las propiedades estadısticas mas notables de estasdistribuciones (medias, lımites de los parametros, momentos, funciones densidad, tasas de fallo, etc.

23Plotting position formula en ingles. Un grafico Q-Q es una tecnica grafico para el analisis dediferencias entre la distribucion de una poblacion de la que se ha extraıdo una muestra aleatoria y unadistribucion teorica usada para la comparacion. Cuando se emplea un metodo de ajuste, una formula

21

3. Calcular el correspondiente valor de Y mediante las Eqs. 40 y 41, obteniendo unnuevo conjunto de datos (yi, xi)

4. Determinar los coeficientes de regresion de la Eq. 39 mediante

A =Cov (Y,X)

V ar (Y ), (42)

B = X −AY , (43)

V ar (Y ) =1

n

n∑i=1

(yi − Y

)2,

Cov (Y,X) =1

n

n∑i=1

(yi − Y

)·(xi −X

),

X =1

n

n∑i=1

xi ,

Y =1

n

n∑i=1

yi .

En el caso de la distribucion de Weibull, varios valores de k son predefinidos y,entonces, se ajustan los valores de A y B. Los valores finales de los tres parametros sonescogidos basados en la bondad del ajuste.

4.5.2. Metodo de maxima verosimilitud

La distribucion de Weibull biparametrica es

FW (x) = Prob(X < x) = 1− e−(x−x′A

)k, (44)

donde x′ es la altura de ola umbral, que debe ser inferior que la mınima altura deola en el conjunto de datos extremales. Si no contamos inicialmente con informacionrespecto de los datos, varios umbrales deben probarse y seleccionar finalmente en quemejor se ajuste. La estimacion de maxima verosimilitud de k se obtiene resolviendo lasiguiente ecuacion mediante un procedimiento iterativo

para representacion Q-Q debe emplearse, la cual se usa para asignar una probabilidad de no-excedenciaa cada valor extremo de la altura de ola. Son especiales cuando se trabaja con muestras muy pequenas.La probabilidad de no-excedencia Fi asignada a la realizacion xi puede determinarse basandose en tresprincipios estadısticos diferentes, a saber, frecuencia de las muestras, distribucion de la frecuencia y elestadıstico de orden. Dos ejemplos tıpicos podrıan ser (1) para una Gumbel (Gringorton) Fi = 1− i−0,44

n+0,12

y (2) para una Weibull (Petrauskas) Fi = 1− i−0,3−0,18/kn+0,21+0,32/k

, donde i es el ındice de la muestra (ordenada),n es el numero total de muestras y k una constante.

Este punto se considera, para este curso, un tema avanzado y no sera tratado aquı.

22

N + k

N∑i=1

ln(xi − x′) = Nk

N∑i=1

∑Ni=1 (xi − x′)k ln (xi − x′)∑N

i=1 (xi − x′)k. (45)

La estimacion de maxima verosimilitud para A es

A =

(1

N

N∑i=1

(xi − x′)k)1/k

. (46)

Para la distribucion de Gumbel, la estimacion de maxima verosimilitud de A seobtiene resolviendo la siguiente ecuacion mediante un proceso iterativo:

N∑i=1

e(−xiA ) =

(1

N

N∑i=1

xi −A

)N∑i=1

e−xiA . (47)

La estimacion de maxima verosimilitud de B es

B = A ln

[N∑N

i=1 e−xiA

]. (48)

4.5.3. Bondad del ajuste

Para ver que distribucion se ajusta mejor o peor se determina el coeficiente decorrelacion lineal, que se define como

ρ =Cov (X,Y )√

V ar (X)V ar (X). (49)

Este coeficiente se emplea como criterio para la comparacion de la bondad del ajuste.Sin embargo, ρ esta definido en un dominio lineal (y, x) donde la variable reducida y esdependiente de la funcion de distribucion. Por tanto, la interpretacion de este criterioes en este caso menos clara.

Con las funciones de distribucion ajustadas, las alturas de ola correspondientes ala probabilidad de no-excedencia de las alturas de ola observadas pueden calcu-larse (Eq. 51 y 52).

El error relativo promedio E, definido como

E =1

n

n∑i=1

|xi,estimado − xi,observado|xi,observado

, (50)

23

es un criterio sencillo y aceptable con una clara interpretacion. E = 5 % significaque, en promedio, la estimacion central de la altura de ola se desvıa de la altura de olaobservada por un 5 %. Obviamente, cuanto mas pequeno sea E, mejor sera el ajuste.El test de hipotesis estadıstica puede igualmente emplearse para la comparacion de labondad del ajuste de cada distribucion.

4.6. Altura de ola de diseno

La altura de ola de diseno xT es la altura de ola correspondiente a un periodo deretorno T . Las distribuciones de Weibull y Gumbel (Eq. 34 y Eq. 35, respectivamente)se reescriben, respectivamente, como

x = A (− ln(1− F ))1/k +B , (51)

y

x = A (− ln(− ln(F ))) +B . (52)

Definiendo la intensidad de la muestra λ como

λ =numero de datos extremos

numero de anos de observacion, (53)

y empleando la definicion de periodo de retorno T , se tiene

T =1

λ(1− F ), (54)

o F = 1− 1λT . Introduciendo la Eq. 54 en las Eqs. 51 y 52, se obtiene

xT = A

[− ln

(1

λT

)]1/k+B , (55)

para la distribucion de Weibull y

xT = A

[− ln

(− ln

(1− 1

λT

))]1/k+B , (56)

para la de Gumbel. Ahora x se expresa como xT puesto que x representa la altura deola correspondiente a un periodo de retorno T . Los parametros A, B y k son parametrosde ajuste.

24

Figura 10: Diferencia entre la estadıstica a corto plazo y a largo plazo (extremal).

4.6.1. Regımenes medios y extremales

La Fig. 10 ilustra la diferencia entre la estadıstica a corto plazo y a largo plazo. Engeneral hablaremos de Regımenes medio y extremal segun lo siguiente:

Regimen medio: Cuando estudiamos el regimen medio estamos interesados en co-nocer la probabilidad de que en un ano medio la Hrms (por ejemplo) no supereun valor dado H. Buscamos Prob(Hrms ≤ H en el ano medio). Si disponemos detal ano medio, podremos calcular F (Hrms) =

∑Ni=1 ti/t

?, donde t? es la duraciondel ano y ti son los intervalos donde Hrms ≤ H en el ano medio.

Regimen extremal o de temporales: En este caso estamos interesados en conocerla probabilidad de que en un ano cualquiera Hrms no supere un valor de H dado.Esto es, Prob(Hrmsmaxima del ano ≤ H).

4.6.2. Problema

Se han identificado 17 tormentas en un periodo de 20 anos. La lista de alturassignificantes, ordenadas por orden de magnitud, se muestran en la tabla siguiente (Liuet al. , 2001):

Se requiere encontrar la altura de ola de diseno que tenga el 5 % de probabilidad deexcedencia dentro de la vida de la estructura de 25 anos.

Los pasos para realizar el analisis son los siguientes:

1. Calcule la intensidad de la muestra λ mediante la Eq. 53. Sol. λ = 17/20.

2. Calcule el periodo de retorno T mediante la Eq. 32. Sol. T ≈ 487 anos.

25

id. Significante xi Prob. no-exc. Fi1 9.32 0.9702 8.11 0.911

3 7.19 0.8524 7.06 0.794

5 6.37 0.7356 6.15 0.676

7 6.03 0.6178 5.72 0.558

9 4.92 0.50010 4.90 0.441

11 4.78 0.38212 4.67 0.323

13 4.64 0.26414 4.19 0.205

15 3.06 0.14716 2.73 0.088

17 2.33 0.029

Tabla 2: Pares altura de ola significante (xi) - probabilidad de no excedencia (Fi). Paradeterminar Fi se ha hecho uso de la funcion de MatlabTM probplot().

3. Asigne una probabilidad de no-excedencia Fi para cada valor observado de alturade ola de acuerdo, por ejemplo, a la formula Q-Q de Weibull (apartado 4.5.1,nota a pie de pagina) y dibuje los resultados en un papel probabilıstico Q-Q deWeibull. Haga uso de la funcion de MatlabTM probplot() (concretamente prob-plot(’weibull’,xi). Sol. Los resultados de aplicar esta funcion a los datos obser-vados xi se muestran en la segunda columna de la Tabla 2 y en la Fig.11, panelsuperior izquierdo, puntos negros. El resultado es un par (xi, Fi).

4. Ahora vamos a ajustar distribuciones teoricas al par (xi, Fi). En este caso, con-sidere las distribuciones de Weibull (Eq. 34) y Generalizada de Valores Extremos(GEV) (Eq. 38) como las candidatas al mejor ajuste. Determine los parametrosde ajuste correspondientes a cada distribucion con un intervalo de confianza alintervalos de confianza al 95 %. Haga uso de las funciones gevfit(), wblfit() y prob-plot(). Dibuje las curvas resultantes del ajuste sobre el resultado anterior (Fig.11,panel superior izquierdo) y ademas pinte dos nuevas graficas en papel probabilısti-co (con variables reducidas) Weibull y GEV para cada caso. Sol. Los resultadosse muestran tambien en la Fig.11, paneles superior izquierdo y derecho e inferiorizquierdo. Los resultados del ajuste de la GEV con gevfit() son C = −0,2151,A = 1,7254 y B = 4,7270, y sus respectivos intervalos de confianza al 95 % son(−0,5744, 0,1441), (1,1776, 2,5279) y (3,8037, 5,6503). Los resultados del ajustecon la distribucion de Weibull con wblfit() son A = 6,0533 y k = 3,2659, y susrespectivos intervalos de confianza al 95 % son (5,1912, 7,0586) y (2,2631, 4,7131).

26

Figura 11: Ajustes de las distribuciones de Weibull y GEV a los datos mostrados en laTabla 2 (Liu et al. , 2001).

5. Compare la bondad de los dos ajustes de acuerdo al valor del error relativo(Eq. 50). El valor de la altura de ola observado es xi, dado en la Tabla 2. Losvalores de altura de ola estimados xi,estim se obtienen cruzando los valores deFi correspondientes a xi por la funciones teoricas GEV (Eq. 38) y de Weibull(Eq. 34) ajustadas en el apartado anterior. Sol. La funcion GEV presenta unerror de 4,73 % frente al 5 % de la de Weibull. Como en este caso la distribucionde GEV presenta menor error, se la considera como el mejor ajuste y representa-tiva de la altura de ola extremal. El error relativo se indica tambien en la Fig.11.

6. Realice una grafica que muestre la altura de ola observada xi frente el periodode retorno T correspondiente. Para ello haga uso de la Eq. 29. Represente en lamisma grafica los ajustes de Weibull y GEV y las bandas de error de los ajustesal 95 % de confianza. Emplee para esto ultimo los intervalos de confianza dadospara los parametros de ajuste A, B y C. Sol. Los resultados se muestran en laFig.11.

7. Finalmente, calcule la altura de ola de diseno xT correspondiente al periodo deretorno T determinado en el punto segundo. Sol. Se obtiene en este caso x487 =10,55 m.

27

4.7. Fuentes de incertidumbre e intervalo de confianza

Como se puede observar las bandas de error en Fig.11 son bastante amplias. Algunasfuentes de incertidumbre sobre la altura de ola de diseno pueden son las siguientes: va-riabilidad en las muestras debido a un tamano de muestra limitado, error directamenterelacionado con la medida (error observacional), error en la eleccion de la distribucioncomo representante de la distribucion a largo plazo (que es desconocida), error en laeleccion del umbral, metodos de ajuste, etc. La incertidumbre en los dos primeros casospueden considerarse mediante simulacion numerica en la determinacion de la altura deola de diseno. Datos de oleaje contienen errores de medida. El error observacional puedeproceder, por ejemplo, de un mal funcionamiento del aparato, o de no-linealidades enlas medidas de acelerometros y sensores de presion. Errores de prediccion en modeloscomputacionales pueden ocurrir cuando los campos de presion atmosferica se conviertena campos de viento y estos, as su vez, se convierten a datos de oleaje. La precision enestos casos depende de los datos originales y, por supuesto, de los modelos y algoritmosnumericos. Por regla general, no son fiables los datos obtenidos mediante inspeccionvisual. El error viene dado por C, la desviacion estandar sobre el valor medio. Losmodernos metodos de adquisicion de datos han reducido C por debajo de 0.1.

4.7.1. Intervalo de confianza de la altura de ola de diseno xT

Si sobre los datos pesan incertidumbres, e.g. la variabilidad de la muestra, la alturade ola de diseno xT presentara un error asociado24 ±∆xT . Al fin y al cabo es unavariable aleatoria. La forma mas sencilla de estimar el intervalo de confianza es haceruso de las barras de error de los parametros al hacer el ajuste, e.g. C±∆C. El problemaes que la altura de ola de diseno es extremadamente sensible a los parametros de ajuste,lo cual da lugar a alturas de ola de diseno enormemente grandes.

Otra forma de obtener un intervalo de confianza mas realista es mediante simulacionMonte Carlo. Para fijar ideas asumamos, por ejemplo, que la altura de ola extremalsigue una distribucion Gumbel.

F = FX(x) = P (X < x) = exp(−exp(−((x−B)/A))) , (57)

donde X es la altura de ola extremal, la cual es una variable aleatoria, x es unarealizacion concreta de X y A y B son los parametros de localizacion y anchura, respec-tivamente, de la distribucion. Debido a la incertidumbre en la medida, los parametrosA y B son de nuevo variables aleatorias. Para tener en cuenta la incertidumbre debidaa la variabilidad de las muestras se procede de la siguiente manera.

Una muestra de alturas de ola xi de tamano N se ajusta a una distribucion Gumbel,obteniendose los parametros Averdadero y Bverdadero, asumiendo que son los valoresverdaderos. A continuacion,

24Pues cuestiones de seguridad, normalmente se considera solo el signo positivo del error.

28

Figura 12: Altura de ola de diseno vs. periodo de retorno. Se muestra la distribucion(normal) obtenida mediante simulacion Monte Carlo para un periodo de retorno de 100anos. Tomado de Liu et al. (2001).

1. Genere un numero aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1. Cruce laprobabilidad de no-excedencia Fi con los valores de los parametros obtenidos, asaber,

xi = F−1X (Fi) = Averdadero[−ln(−lnFi)] +Bverdadero , (58)

y obtendra el valor extremal xi correspondiente.

2. Repita el paso anterior N veces. Con esto, obtendra una nueva muestra de Nalturas de ola cuya distribucion es la Eq. 57, esto es, una distribucion Gumbelcon los parametros Averdadero y Bverdadero.

3. Ajuste la muestra resultante a una distribucion Gumbel y obtenga los nuevosparametros A y B.

4. Calcule la altura de ola xT correspondiente con un periodo de retorno T mediantela Eq. 56.

5. Repita los pasos de (2) a (4), digamos, 10000 veces, por lo que obtendra 10000valores de xT .

6. Elija la altura de ola correspondiente al intervalo de confianza especificado.

29

4.8. Periodo de onda de diseno

No hay ninguna teorıa para determinar el periodo de onda de diseno correspondientea la altura de ola de diseno debido a la complejidad y a la dependencia de la zona deestudio de la distribucion conjunta entre altura y periodo de ola. La Fig. ?? muestrados ejemplos del diagrama de dispersion representando la distribucion conjunta entrela altura de ola significante Hs y el periodo medio Tm y con el nivel de agua en reposoz, respectivamente. Los numeros en el diagrama de dispersion representan el numerode observaciones que caen dentro del correspondiente intervalo. En la practica, variosperiodos de onda dentro de un rango realista, dados en funcion de la altura de ola dediseno, se asignan para conformar el estado del mar de diseno. Mediante consideracionesteoricas y experimentos de laboratorio se conviene en algunos casos en seleccionar

√130Hs

g< Tp <

√280Hs

g. (59)

4.9. Analisis extremal multiparametrico

Un estado de mar se caracteriza por un estado estacionario en el que las alturas deola Hs, periodos Tm, direccion θ y nivel medio h0 estan bien definidos (estos son loscuatro parametros mas importantes en el diseno de estructuras marıtimas). Tambienresulta de importancia la duracion de un estado de mar y, en ocasiones, la forma del es-pectro. Los parametros no son independientes entre sı, por lo que es necesario analizarel efecto en la estructura de las posibles combinaciones entre los parametros, espe-cialmente si son varios los mas importantes. Burcharth 1993 ha propuesto el siguienteprincipio para un analisis extremal multiparametrico.

Para el caso general en el que haya varias variables importantes pero los coeficientesde correlacion no se conozcan, el mejor metodo de probabilidad conjunta serıa estableceruna estadıstica a largo plazo para la respuesta que se busque, e.g. para el run-up, elempuje de la onda sobre un espaldon, etc. Si asumimos que las variables de importanciason Hs, Tm, θ y h0 es necesario obtener una serie de datos plurianuales de estas variablesmediante observaciones o mediante modelos computacionales: (Hs,i, Tm,i, θi, h0,i) parai = 1, 2, 3 . . . n. Para cada conjunto de datos, la respuesta del sistema a estos valoresse calcula a partir de las formulas que definen la respuesta. Si, por ejemplo, estamosinteresados en el run-up, Ru, que viene dado por una expresion cerrada, se determinael conjunto de datos

Ru,i = Ru,i(Hs,i, Tm,i, θi, h0,i)). (60)

La estadıstica a largo plazo para Ru,i puede obtenerse ajustando a los datos unadistribucion extremal adecuada (analisis extremal)

30

Num. Altura H(m) Periodo T (s) Num. Altura H(m) Periodo T (s)

1 0.54 4.2 11 1.03 6.12 2.05 8.0 12 1.95 8.03 4.52 6.9 13 1.97 7.64 2.58 11.9 14 1.62 7.05 3.20 7.3 15 4.08 8.26 1.87 5.4 16 4.89 8.07 1.90 4.4 17 2.43 9.08 1.00 5.2 18 2.83 9.29 2.05 6.3 19 2.94 7.910 2.37 4.3 20 2.23 5.3

21 2.98 6.9

5. Practicas Descripcion Estadıstica del Oleaje

5.1. Enunciados

1. Usando los datos de la Tabla 1a, se pide:

a) Determinar alturas y periodos de ola maximos (Hmax, Tmax), significantes(Hs, Ts), medios (Hz y Tz) y cuadraticos medios (Hrms y Trms).

b) Dado el valor de Hz, obtenido en el punto anterior, y asumiendo que lasolas siguen una distribucion de Rayleigh, determinar Hrms ≈ 1,13Hz, Hs ≈1,414Hrms y Hmax ≈ Hs

√12 lnN . ¿Cuales piensa usted que son las razones

para las diferencias entre los resultados de los puntos 1 y 2?

c) Dibujar un histograma de las alturas de ola empleando un tamano de subin-tervalo de 1 m.

d) Calcular el valor de fR(H) en el centro de cada uno de los subintervalos ysuperponer la funcion de densidad sobre el histograma. Asuma que la escalade equivalencia es fR(H) ∼ n/(N∆H) donde n es el numero de ocurrenciasen cada subintervalo.

e) Determinar la altura de ola con probabilidad de excedencia del 1 % asumien-do que el oleaje se ajusta a la distribucion de Rayleigh siguiente

fR(H) = 2H

H2rms

e−(H/Hrms)2

(61)

siendo Hrms la calculada en el punto primero.

2. Analisis del Regimen Medio de oleaje frente a la costa de Motril (PuntoWANA 2019013). Esta practica es similar a la realizada anteriormente para elanalisis del regimen medio de viento. La carpeta proporcionada a los alumnoscontiene los siguientes archivos:

31

a) ’WANA T 2019013 (Motril).dat’ suministrado por Puertos del Estado25. Enla cabecera del archivo se explica el contenido del mismo. Como puede com-probarse, se dispone de un conjunto de datos por cada estado de mar de 3horas desde 1996.

b) ’Clima medio de oleaje WANA 2019013.pdf’. Contiene un analisis pormeno-rizado del clima marıtimo en regimen medio de los datos de oleaje contenidosen el archivo de datos ’WANA T 2019013 (Motril).dat’.

c) ’Info conjunto datos INT WANA.dat’. Este archivo, tambien de Puertos delEstado, recoge una descripcion general del conjunto de datos sinteticos WA-NA.

d) ’wind rose.m’. Este es una util funcion26 realizada en MatlabTM y descar-gable desde Matlab Central27 que permite hacer rosas de oleaje indicandodireccion y altura significante espectral.

Para esta practica debera realizar las siguientes actividades:

a) Cargue en el espacio de trabajo de Matlab el archivo ’WANA T 2019013(Motril).dat’.

b) Cree un vector de tiempos t a partir de los datos de ano, mes, dıa y hora.Haga uso de la funcion de Matlab datenum para expresar el vector de tiemposen dıas julianos.

c) Cree otros tres vectores para la altura significante espectral Hm0 (colum-na 5), el periodo de pico espectral Tp (columna 7) y direccion media deprocedencia del oleaje θ (columna 8).

d) Realice las siguientes figuras tratando de responder las preguntas propuestas:

1) Tres graficas que representen los datos de (a) altura de ola significantey (b) periodo de pico en funcion del tiempo y (c) altura significantefrente a periodo de pico28. Emplee el comandos plot. ¿Que informacionnos aportan estas figuras? ¿Por que existe un periodo mınimo para cadaaltura de ola?

2) Represente Hm0 y θ conjuntamente mediante una rosa de viento. Lainstruccion estandar es wind rose(dir, wind, ’dtype’, ’meteo’). ¿Cualo cuales son las direcciones predominantes de procedencia del oleaje?¿Como se relacionan estas direcciones con las del viento obtenidas enla practica del Tema anterior? ¿En que direccion se han presentado lasalturas significantes mayores? ¿Podrıa estimar cual es la direccion mediadel oleaje durante todo el registro?

25http://www.puertos.es/oceanografia_y_meteorologia/redes_de_medida/index.html26Realizada por MMA 26-11-2007, mma@odyle.net. IEO, Instituto Espanol de Oceanografıa, La Co-

runa.27http://www.mathworks.es/matlabcentral/28Esta informacion resultara util en la parte de Aprovechamiento de energıas marinas impartida por

el Profesor Antonio Monino.

32

3) Realice sendos histogramas con los datos de periodo de pico y altura deola. Emplee la funcion hist() de MatlabTM. ¿Podrıa decir cual es la alturade ola significante mas probable? ¿Y la mayor del registro? ¿Cual es suvalor y cuando tuvo lugar? ¿Significa esto que no es posible observaruna altura de ola significante mayor que la maxima del registro?

e) Para el estudio del Regimen medio ademas se analizan estadısticamentelos valores de altura de ola de todos los estados de mar del archivo ’WA-NA T 2019013 (Motril).dat’ ajustando una funcion de densidad y de distri-bucion a los datos. Ajuste por tanto los datos de altura de ola Hm0 medianteuna Funcion Densidad y Funcion de Distribucion de Valores Extremos Ge-neralizada. Esta ultima viene dada por

FGEV (Hm0; k, σ, µ) = e−(1+k

Hm0−µσ

)−1/k

, (62)

donde k es el parametro de forma, µ el parametro de localizacion y σ es elparametro de escala (anchura). Como ayuda, recuerde que MatlabTM ya im-plementa funciones que permiten hacer el ajuste de manera rapida y sencilla.En su estudio, haga uso de las funciones de MatlabTM siguientes

1) gevfit() para obtener los parametros de ajuste y sus respectivos inter-valos de confianza. ¿Que valores de k, σ y µ resultan? ¿Cuales son susrespectivos intervalos de confianza?

2) gevpdf() para representar, con esos parametros, la funcion densidad deprobabilidad teorica. Compare la grafica resultante con el histograma dedatos de velocidad del viento. Tenga en cuenta que el histograma debeestar debidamente normalizado para que pueda realizarse la compara-cion. ¿En que parte de la curva se produce el mejor ajuste?

3) Represente los datos en papel probabilıstico con gevplot() para respondermejor a las preguntas del punto anterior.

4) ecdf() para determinar la funcion de distribucion empırica de los datosde velocidad del viento.

5) gevcdf() para representar la funcion de distribucion teorica.

f ) ¿Hubiera creıdo conveniente usar una funcion de distribucion de Rayleighpara ajustar estos datos? Explique su respuesta.

3. Analisis del Regimen Extremal de oleaje frente a la costa de Motril (PuntoWANA 2019013). Para el estudio del regimen extremal,

a) Determine las alturas de ola significante mayores de cada ano. Haga uso delas funciones MatlabTM max() y find().

b) Presente en una tabla los datos obtenidos. ¿Pueden considerarse indepen-dientes las muestras? ¿Y las del analisis de regimen medio anterior, con unaseparacion cada 3 horas?

33

c) Ajuste a los maximos anuales una funcion de densidad y de distribucionGeneralizada de Pareto, cuya expresion general es

FGP (Hm0) = Prob (H?m0 < Hm0) =

1

σ

(1 + k

Hm0 − µσ

)−(1+1/k)

. (63)

Para ello, siga la misma metodologıa que en el caso de regimen medio, perohaciendo uso de las funciones de MatlabTM gpfit(), gppdf(), ecdf(), gpcdf() ygpplot() (y dfittool()). Matlab no estima el valor umbral.

d) Determine la curva Periodo de Retorno frente a Hm0.

34

Figura 13: Un valor de la elevacion η(1)(t1) en un instante dado de tiempo.

Apendices

A. Variable aleatorias

A.1. Una variable aleatoria

La elevacion de la superficie libre en presencia de ondas en un instante y en unlugar dados seran tratados como variables aleatorias (Holthuijsen , 2007), en el sentidoque el valor exacto no puede ser predicho. Por ejemplo, como ocurre en un canal deensayos de oleaje generado por viento (Fig. 13), a pesar de que aquı es posible controlary preparar experimentos bajo las mismas condiciones (en principio). En un punto Adel canal, un sensor de presion mide la elevacion de la superficie libre en funcion deltiempo. En un momento dado t1, medido desde la puesta en marcha del forzamientopor viento, la superficie libre en esa ubicacion tiene un valor η(1)(t1). El superındice (1)

indica el numero del experimento (otros experimentos seguiran).Si el experimento fuera repetido, este valor (en la misma posicion en el mismo

instante de tiempo desde que se activa el viento) serıa η(2)(t1). Si de nuevo fuera repetido

35

se obtendrıa η(3)(t1) y ası sucesivamente. El valor de la superficie libre en este punto nopuede, por tanto, predecirse y sera una variable aleatoria. En esta seccion, denotaremosuna variable aleatoria x por x. La superficie libre en otros tiempos sera, logicamente,igualmente impredecible: η(t1), η(t2), η(t3), etc.

Una variable aleatoria esta totalmente caracterizada por su funcion densidad deprobabilidad p(x), que se define tal que la probabilidad de que la variable aleatoria xalcance un valor entre x y x+ dx sea

Prob(x < x ≤ x+ dx) =

∫ x+dx

xp(x′)dx′ = p(x)dx . (64)

Se sigue que la probabilidad de que x sea menor o igual que x (la probabilidad deno-excedencia) sea

Prob(x ≤ x) =

∫ x

−∞p(x′)dx′ ≡ P (x) . (65)

La distribucion complementaria es la probabilidad de excedencia, esto es, la proba-bilidad de que la variable aleatoria x exceda el valor x:

Prob(x ≥ x) =

∫ +∞

xp(x′)dx′ = 1− P (x) . (66)

A P (x) se la denomina funcion de distribucion (acumulada) de x (vease Fig. 14).El Teorema Fundamental del Calculo proporciona la relacion entre P y p, siendo lasegunda la derivada de la primera. Toda la informacion relativa a la variable aleatoriax esta contenida en la funcion densidad y en la funcion de distribucion. Puesto que laprobabilidad de que una variable aleatoria tome un valor inferior a +∞ es del 100 %,se sigue la funcion p(x) debe estar adecuadamente normalizada29. Por ello, se imponeque

∫∞−∞ p(x

′)dx′ = 1. La funcion recıproca P−1 de la funcion de distribucion P , i.e. lafuncion que proporciona el valor de una variable aleatoria x para una probabilidad deno-excedencia dada, se escribe como x(P ) = P−1(x) y se denomina funcion cuantil.

El valor medio de x puede definirse en terminos de la funcion densidad de proba-bilidad p(x) como el momento centrado de primer orden30, dividido por el momentocentrado de orden cero. Se denomina valor esperado de x y se denota E {x}:

E {x} = µx =m1

m0=

∫ +∞−∞ x p(x)dx∫ +∞−∞ p(x)dx

. (67)

29En estadıstica las probabilidades se dan como fracciones de la unidad y no como porcentajes.30El momento centrado n-esimo de una funcion densidad h(x) es, por definicion, mn =

∫ +∞−∞ (x −

µx)nh(x) dx. La funcion h(x) puede ser cualquier funcion, no necesariamente una funcion de densidadde probabilidad.

36

Figura 14: Ejemplo de funcion densidad y la funcion de distribucion acumulada corres-pondiente.

Puesto que∫ +∞−∞ p(x)dx = 1 se tiene

E {x} =

∫ +∞

−∞x p(x)dx . (68)

La esperanza o la media de la funcion densidad puede interpretarse grosso modocomo la posicion de la funcion en el eje real. La funcion densidad de probabilidad debecaracterizarse adicionalmente mediante sus momentos de orden superior. El segundo,tercer y cuarto momento se emplean para definir, respectivamente, el ancho o la va-rianza, la inclinacion o la asimetrıa (el sesgo) y la kurtosis o lo picuda que es la funciondensidad. El momento de segundo orden se define como

σ2x = E{

(x− µx)2}

=

∫ +∞

−∞(x− µx)2 p(x)dx = E

{x2}− µ2x = m2 −m2

1 . (69)

A σ2x se le denomina varianza y a σx desviacion tıpica de x, que representa elancho de la funcion densidad de probabilidad. Definiciones alternativas de la media, laanchura, asimetrıa y kurtosis pueden definirse en terminos de las funciones cuantiles31.

Los promedios de funciones de x tambien se definen como valores esperados. Porejemplo, E {f(x)} =

∫ +∞−∞ f(x)p(x)dx es el valor esperado de f(x).

A.1.1. Funcion de densidad de probabilidad Gaussiana

Muchos procesos en la naturaleza se comportan de tal manera que, aproximada-mente, siguen una funcion de densidad Gaussiana, a saber,

31Los momentos en este caso serıan βr =∫ 1

0P rx(P )dP . Las medidas βr se denominan L-momentos.

37

Figura 15: Funciones de densidad con los parametros mostrados en la figura para unapoblacion femenina (linea continua) y masculina (linea discontinua) de un determinadopaıs.

p(x) =1

σx√

2πe− (x−µx)2

2σ2x . (70)

Un ejemplo, relacionado con las alturas de la poblacion masculina y femenina deun determinado paıs, distribuidas segun una Normal, puede verse en la Fig. 15. Unaexplicacion teorica de la amplia aplicabilidad de esta distribucion la proporciona elTeorema del Lımite Central, el cual, expresado en terminos sencillos, establece que lasuma de un numero elevado de variables aleatorias independientes (no necesariamentegaussianas o si hay una o varias dominantes) y de varianza finita esta distribuida segununa distribucion de probabilidad Gaussiana. Puesto que muchos fenomenos naturalestienen por origen muchas causas, es razonable encontrar que la densidad obtenida seaGaussiana. La funcion densidad de probabilidad Gaussiana se denomina a menudofuncion densidad de probabilidad Normal (puesto que aparece por doquier). No es launica funcion densidad que responde a fenomenos naturales o, mas bien, se detectandesviaciones significativas del comportamiento Normal debido a correlaciones entre lasvariables aleatorias. Hay otras, como la de Pareto, la de Rayleigh, etc. Notese quese ha definido σx independientemente de la distribucion considerada. La funcion dedistribucion o la funcion densidad gaussiana queda unıvocamente determinada por solola media y la varianza.

A.1.2. Desviaciones respecto del comportamiento Normal

El sesgo y la kurtosis estan relacionadas con no-linealidades en el campo de oleaje. Elsesgo en la funcion de densidad de η es una medida estadıstica de la asimetrıa vertical,caracterizada por crestas cortas y peraltadas y senos largos y planos. Estas son tıpicas

38

de profundidades reducidas. La kurtosis define estadısticamente el apuntamiento de ladistribucion con respecto a la distribucion normal.

A.1.3. Estimacion

Es habitual que que el promedio de una variable aleatoria, u otro momento, nose estime a partir de la funcion densidad de probabilidad p(x) sino a partir de unconjunto finito de muestras tomadas de x, es decir, a partir de un cierto numero derealizaciones o experimentos de x. Esto esta relacionado con la Ley (estadıstica) de losGrandes Numeros. Tal conjunto de muestras se denomina colectividad o ensemble, y elpromedio se denomina promedio en la colectividad y se denota en esta seccion como〈·〉. Por ejemplo,

µx ≈ 〈x〉 =1

N

N∑i=1

xi (71)

σx ≈ 〈(x− 〈x〉)2〉 =1

N

(N∑i=1

x2i

)− 〈x〉2 ,

donde N es el numero de muestras. Notese que esto son solo estimaciones, las cualessiempre diferiran de los valores esperados. A estas diferencias se las denominan erroresde muestreo.

A.2. Dos variables aleatorias

Una pareja de variables aleatorias (x, y) esta totalmente caracterizada por la funcionde densidad de probabilidad conjunta p(x, y). En analogıa con Eq. 64 se define p(x, y)como la probabilidad de que la variable aleatoria x se encuentre entre x y x+ dx y lay entre y e y + dy (simultaneamente), esto es

Prob(x < x ≤ x+ dx, y < y ≤ y + dy) =

∫ x+dx

x

∫ y+dy

yp(x′, y′)dx′ dy′ = p(x, y) dx dy .(72)

Las dos variables aleatorias pueden no estar relacionadas entre sı. Si este es pre-cisamente el caso, se dice que las variables son independientes y la funcion densidadfactoriza32, verificando p(x, y) = px(x)py(y). En otro caso, estarıan relacionadas. Sedice entonces que una variable es dependiente de la otra. Cuando la relacion entre ellases lineal, se dice que las variables estan correlacionadas33 (vease Fig. 16). El gradode correlacion (lineal), i.e. el grado el que el par de variables aleatorias (x, y) se agrupaen torno a una lınea, se cuantifica con el coeficiente de correlacion γx,y, que se definecomo la covarianza normalizada Cx,y de las dos variables:

32Compruebese que esta propiedad se traslada a la funcion de distribucion.33Pintando una variable frente a otra la relacion es una lınea recta.

39

Figura 16: Variables aleatorias independientes (panel izquierdo, velocidad del vientoen Vigo frente a elevacion de la superficie libre en Motril), descorrelacionadas perodependientes (panel central, elevacion y corriente en un mismo punto) y aprox. corre-lacionadas linealmente (panel derecho, temperatura del agua y oxıgeno disuelto). Enrealidad, entre estas ultimas, y en contra de lo que aparentemente pudiera parecer, larelacion tampoco es lineal sino exponencial (ley de Henry, i.e la solubilidad de un gasen un fluido es proporcional a la presion parcial del gas).

γx,y =Cx,yσxσy

, (73)

verificando −1 ≤ γx,y ≤ 1, donde la covarianza es el valor esperado del producto dex e y referidos a sus respectivos valores medios34,

Cx,y = E{

(x− µx)(y − µy)}. (74)

Para las variables mostradas en la Fig. 16, la covarianza35 y el coeficiente de corre-lacion36 (lineal) para cada caso son, respectivamente, CWind,η = −0,0054 y γWind,η =−0,0030 (independientes), Cu,η = 0,405 y γu,η = 0,819 (dependientes) y CO2,T = −2,014y γO2,T = −0,918 (dependientes y correlacionadas).

A.2.1. Funcion densidad de Gauss bidimensional

La funcion densidad de Gauss bidimensional, o distribucion Normal bivariante, parael par de variables aleatorias (x, y) es

p(x, y) =1

2πσxσy√

1− γ2x,ye

{− 1

1−γ2x,y

[(x−µx)2

2σ2x+

(y−µy)2

2σ2y−γx,y

(x−µx)(y−µy)σxσy

]}. (75)

34Cuando dos variables aleatorias x e y son independientes, se verifica que E{x · y

}= E {x} ·E

{y}

.Esto sugiere que una buena medida para estimacion de la correlacion entre dos variables es Cx,y =

E{x · y

}− E {x} · E

{yy}

, esto es, lo mostrado en la Eq. 74.35En Matlab, Cxy = cov(x, y).36En Matlab, gxy = corrcoef(x, y).

40

A.3. Procesos estocasticos

A.3.1. Caracterizacion

Las variables aleatorias no solo pueden ser dependientes, relacionadas o correlacio-nadas. Tambien pueden estar ordenadas de algun modo, i.e. las variables existen enalgun tipo de secuencia. Esta es una nocion util cuando muchas mas de dos variablesaleatorias estan presentes es un proceso. Por ejemplo, la estatura de los alumnos dela clase (considerados como variables aleatorias) se ordenan segun la configuracion 2Ddel aula. La ordenacion puede ser espacial o temporal. Normalmente, en nuestro caso,nos ceniremos a ordenaciones temporales. Ası, definimos proceso estocastico como unconcepto matematico que sirve para caracterizar una sucesion37 de variables aleatorias(estocasticas) que evolucionan en funcion de otra variable, generalmente el tiempo. Ca-da una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia funcion de distribucion deprobabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no. Otros ejemplos, apartedel oleaje, de procesos estocasticos son las ondas sısmicas o las fluctuaciones bursatiles.

Un ejemplo de proceso estocastico en 1D es el canal de oleaje de la seccion A.1. Lamedida empieza en t = 0 cuando el viento empieza a soplar sobre el agua en reposo y elsiguiente conjunto de datos de elevaciones η observadas en el punto A es una funcion deltiempo. Los valores son impredecibles y este conjunto es un ejemplo de una ordenacion(temporal) de muchas variables aleatorias.

Notese que en una secuencia temporal x(ti), la variable aleatoria x en tiempo t1es una variable aleatoria distinta que x medida en tiempo t2 (vease Fig. 17). Un ex-perimento es una realizacion del proceso estocastico η(t1), η(t2), η(t3), . . . η(ti), . . . .Obviamente, cuando la elevacion de la superficie libre en un momento dado (un ti)es grande, una fraccion de segundo despues, la elevacion tambien sera grande. Estosignifica que las elevaciones a tiempos cortos estan relacionadas y probablemente corre-lacionadas. Solo despues de un intervalo suficientemente largo del tiempo la correlacion(la relacion) entre ambas se habra perdido, esto es, cuando el intervalo ti−tj sea muchomayor que el periodo caracterıstico de la onda.

Segun se muestra en la Fig. 17, cada η(tk) sigue, en principio, distribuciones di-ferentes (no estacionario). Es mas, es facil imaginar que las variables aleatorias η(tk)dependen de las variables aleatorias de tiempos anteriores. Estan relacionadas (inclusocorrelacionadas). Luego para caracterizar correctamente estos estados no solo es ne-cesario determinar las funciones densidad p(η(tk)), ∀k, sino tambien las funciones dedensidad conjuntas p(η(tj), η(tk)), ∀j, k. Bajo condiciones muy contraladas, es de es-perar que habiendo superado el periodo transitorio se alcance algun tipo de equilibrio(estadıstico), i.e. estacionario. En realidad, la no estacionariedad y la no homogeneidades dominante y raras veces se alcanza un estado estacionario y homogeneo.

El experimento puede repetirse a discrecion una y otra vez. En tal caso, habra tantasrealizaciones del proceso estocastico η(t1), η(t2), η(t3), . . . η(ti), . . . como experimentos(Fig. 17), donde cada η(ti) es una variable aleatoria. Como cualquier variable aleatoria,η(ti) esta caracterizada por una funcion de densidad de probabilidad. Esto implica

37Aquı esta el orden...

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Figura 17: Un conjunto de N realizaciones de la elevacion de la superficie libre en fun-cion del tiempo en la ubicacion A de la Fig. 13. Los experimentos son estadısticamenteidenticos (sistema igualmente preparado, con el mismo viento, etc.). Las funciones den-sidad de probabilidad se han determinado promediando en la colectividad (no es unpromedio temporal). Adaptado de (Holthuijsen , 2007).

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que, para caracterizar estadısticamente la superficie libre en ese instante de tiempo ti,esta funcion densidad de probabilidad es requerida en cada instante de tiempo ti. Paracaracterizar las elevaciones como un proceso estocastico, se necesitan adicionalmente atiempo ti todas las funciones de densidad de probabilidad conjunta p(η(ti), η(tj)), ∀tj .Notese que hay una infinidad de instantes ti, y que cada uno requiere de tales funciones,puesto que hay infinitos momentos tj .

A.3.2. Procesos estacionarios

Si despues de un tiempo, la elevacion en el punto A es “constante” en un senti-do estadıstico (Fig. 17), todas las caracterısticas de las ondas son independientes deltiempo y el proceso se dice estacionario38. La estacionariedad de un proceso simplifi-ca la descripcion puesto que solo son necesarias las caracterısticas estadısticas en unsolo instante de tiempo39. Concretamente, las condiciones estacionarias establecen que∂p(η(t))/∂t = 0, luego p(η) es independiente del tiempo, es decir, es invariante frente auna traslacion temporal. La condicion analoga para variables que estan ordenadas enel espacio se denomina homogeneidad. Si solo las medias y las varianzas son constantesen el espacio y en el tiempo, el proceso se llama debilmente estacionario o debilmen-te homogeneo, es otro caso se dira simplemente estacionario o estacionario en sentidoestricto.

A.3.3. Procesos Gaussianos

Si todas las funciones de densidad de probabilidad (conjunta o no) de un proce-so estocastico (estacionario o no) son Gaussianas, el proceso se dice que es un pro-ceso estocastico Gaussiano. Un proceso Gaussiano es relativamente facil de descri-bir, puesto que solo se requieren los promedios de cada pareja de variables aleato-rias y su covarianza. Escribiendo el par de variables aleatorias de la Eq. 74 comox = x(t1) = x(t) y y(t2) = x(t2) = x(t + τ), se puede escribir la covarianza comoCx,x = E {(x(t)− µx(t)) · (x(t+ τ)− µx(t+ τ))} = C(t, τ). La covarianza puede verseentonces como una funcion del tiempo y del intervalo temporal τ . A C(t, τ) se la deno-mina funcion covarianza. Puesto que las dos variables pertenecen al mismo proceso, ala funcion C(t, τ) tambien se la denomina funcion auto-covarianza.

A.3.4. Procesos Gaussianos y estacionarios

Un proceso Gaussiano y estacionario es incluso mas simple de describir: solo serequieren la media y las covarianzas para un instante de tiempo dado (puesto que sonidenticos para todos los tiempos). La auto-covarianza es entonces (solo) una funciondel intervalo de tiempo τ y, si el promedio de la variable se considera nulo (como eshabitual en ondas de superficie), puede escribirse C(t, τ) = E {x(t)x(t+ τ)}. Noteseque la auto-covarianza para τ = 0 es la varianza del proceso E

{x2(t)

}.

38Pero las caracterısticas estadısticas pueden aun depender de los intervalos de tiempo ti − tj .39Incluyendo las relaciones con las variables aleatorias en cualquier intervalo de tiempo.

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A.3.5. Procesos Ergodicos

Si el promedio temporal (o espacial) da el mismo resultado que promediar sobre unacolectividad de realizaciones, se dice que el proceso es ergodico. La media y la varianza(si µx = 0) de un proceso ergodico puede estimarse como

µx ≈ 〈x(ti)〉 =1

b− a

∫ b

ax(t)dt (76)

σ2x ≈ 〈(x(ti))2〉 =

1

b− a

∫ b

a(x(t))2dt , (77)

y la auto-covarianza (si µx = 0) como

C(τ) ≈ 〈x(t)x(t+ τ)〉 =1

b− a

∫ b

ax(t)x(t+ τ)dt , (78)

donde 〈·〉 denota el promedio en la colectividad y b− a es la longitud del intervalode tiempo (duracion) sobre la que se realiza el promedio temporal. El sımbolo apro-ximadamente igual ≈ en las igualdades anteriores refleja el hecho que, habitualmente,el promedio en la colectividad se realiza con un numero de ensayos N finito y que elpromedio temporal se lleva igualmente a cabo en un intervalo finito. En general se tiene

〈f(x(ti))〉 =1

b− a

∫ b

af(x(t))dt . (79)

Y esto para cualquier ti. Se sigue de la definicion, que todo proceso ergodico esun proceso estacionario. El inverso no es cierto. No todos los procesos estacionariosson ergodicos. Por ejemplo, el encendido de un interruptor que produce una corrientecontinua (impredecible), cuyo valor podrıa estar distribuida segun una Normal, i.e. elvalor de la corriente es extraıdo de una distribucion de probabilidad normal, produce unproceso estocastico estacionario (valores impredecibles y con caracterısticas estadısticasconstantes en el tiempo). Sin embargo, no es un proceso ergodico puesto que el promediotemporal en cada realizacion es diferente del promedio temporal en otra realizacion.

La superficie libre del oleaje (aleatorio), en condiciones estacionarias, generado porviento es un proceso estocastico ergodico (en la aproximacion lineal), ası que todoslos promedios que se necesiten para describir las ondas pueden estimarse a partir depromedios temporales. Esto es afortunado, puesto que no es facil generar en el maridenticas condiciones y sistemas identicamente preparados para realizar los promediosen la colectividad. Basicamente, ergodico significa que la evolucion temporal de η ex-plora todas las posibles configuraciones, esto es, todos los posibles valores que puedenobtenerse en las distintas realizaciones. En cualquier caso, dadas las limitaciones detrabajar en el oceano, se asumira sin mas las hipotesis ergodica que, en la mayorıa delos casos, es imposible comprobar.

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A.3.6. La elevacion de la superficie libre

La evolucion temporal de la elevacion de la superficie libre generada por viento setrata a menudo como un proceso estocastico Gaussiano. Datos de campo han corrobo-rado que es una aproximacion muy razonable, pero tambien este hecho esta apoyadoen resultados teoricos: la superficie libre en cualquier instante de tiempo ti puede versecomo la suma de un enorme conjunto de armonicos generados independientemente unosde otros40 y que han viajado sin interaccionar hasta el emplazamiento (en la aproxi-macion lineal (Holthuijsen , 2007)). El teorema del lımite central asegura que, en talcaso, la distribucion resultante debe ser Gaussiana. Ondas con un marcado peralte, uondas que verifican η/h ∼ 1 interaccionan entre sı y, por tanto, no son independientes.Desviaciones respecto del modelo Gaussiano ocurren por tanto en el mar, en particular,en la zona de surf (vease Fig. ?? como ejemplo).

Por otra parte, para garantizar ergodicidad y estacionariedad se realiza el analisisestadıstico (a corto plazo) sobre muestras de datos en un intervalo temporal reducido,no superior a 30min o 1hora, segun el caso. Si consideramos que una determinadapropiedad del oleaje, por ejemplo, el desplazamiento de la superficie libre con respectoal nivel medio, es un proceso ergodico, las propiedades estadısticas del proceso puedenser obtenidas mediante un registro los suficientemente extenso (pero no muy extensot < 30 min) de la citada propiedad en un solo punto del oceano. Si ademas, el procesoen cuestion es gaussiano, la estadıstica del mismo podra ser definida mediante los dosprimeros momentos estadısticos de la serie temporal: media y varianza.

El oleaje que se registra en un punto dado del mar, es el resultado de diferentes pro-cesos de generacion, propagacion y disipacion. Estos procesos, asociados a la dinamicaatmosferica y oceanica, no son nunca estacionarios ni homogeneos (no ergodicos), porlo que, en sentido estricto, el oleaje tampoco lo es. Sin embargo, si nos limitamos aareas reducidas y a periodos de tiempo pequenos, la inercia de los procesos presentanescalas espaciales y temporales mayores, por lo que el proceso puede ser consideradoergodico (a esas escalas reducidas).

Entonces, si se dispone de un registro continuo de oleaje para realizar un analisisestadıstico bien definido es necesario dividir el registro en secciones temporales de, comodecıamos, de 30 min o 1 hora de tal modo que en esos subintervalos se considere el oleajeergodico (⇒ estacionario). Las propiedades estadısticas del oleaje en esos subintervalosno cambian, dirıamos que son “constantes” en un sentido estadıstico. Esas propiedadesestadısticas definen el estado de mar y lo caracterizan temporal y espacialmente.

De esta manera, en cada estado de mar se sustituye el registro temporal continuode oleaje por una informacion estadıstica mas reducida. Dentro de cada estado de mar,las propiedades estadısticas del oleaje vienen definidas por los momentos estadısticosobtenidos del proceso ergodico (y estacionario) en lo que se denomina Analisis delOleaje a Corto Plazo. La variacion en el tiempo de estos parametros estadısticosde los estados de mar constituye lo que se denomina curva de estados de mar. Estıpico caracterizar un estado de mar mediante la altura significante Hs y el periodomedio T . La estadıstica que se realiza con la curva de estados de mar (formada por una

40Por ejemplo, por viento turbulento en distintas localizaciones.

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muestra de estadısticos de estados de mar) se denomina Analisis del Oleaje a LargoPlazo o Regımenes de oleaje. Es este ultimo estudio estadıstico en el que uno sueleestar interesado a la hora del diseno de estructuras. Para disenar una obra es necesarioconocer “el clima” marıtimo en el emplazamiento durante la vida util de la misma.

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