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TEMA 4. Algunos modelos de probabilidad de tipo continuo
Vamos a abordar en este capítulo el estudio de aquellas distribuciones de
probabilidad de tipo continuo, que se nos presentan con bastante frecuencia en el
mundo real, y que tienen por tanto bastante utilidad práctica.
Se trata de distribuciones con nombre propio. Su estudio no encierra ninguna
dificultad añadida, pues se trata de aplicar a modelos concretos toda la teoría general
estudiada en las funciones de probabilidad de las variables aleatorias.
Comenzaremos analizando las distribuciones uniformes, o rectangulares, como el
caso más sencillo de distribuciones continuas.
A continuación se explicita la distribución normal (que en realidad es una «familia»
de distribuciones normales, pues su función de probabilidad está caracterizada por
dos parámetros). De ella debe el alumno conocer con detalle cuáles son las causas
que permiten su aparición, así como todas sus características, y conclusiones que
encierra. A la distribución normal debe dedicársele tiempo suficiente, hasta su total
comprensión pues el papel que desempeña es de vital importancia, no sólo per se
sino por las consecuencias que implica el llamado TEOREMA CENTRAL DEL
LIMITE que posibilita -con ciertas condiciones- el sustituir en plan límite gran
número de distribuciones por una distribución de tipo normal.
También deberá el alumno conocer otras importantes distribuciones continuas que
pueden considerarse como derivadas de la normal. Así:
La distribución (chi-cuadrado) de Pearson.
La distribución «t» de Student.
La distribución «F» de Snedecor.
4.1 Al finalizar el tema el alumno debe conocer........
La distribución uniforme continua.
Importancia de la distribución normal, así como sus propiedades y
- 2 -
características.
Relación entre la distribución ,N y la distribución 1,0N .
Utilización de tablas estadísticas de la 1,0N para el cálculo de
probabilidades.
Relación que existe entre la distribución binomial, Poisson y normal.
El Teorema Central del Límite.
Distribuciones asociadas a la normal y utilización de sus tablas estadísticas
para el cálculo de probabilidades.
4.2 Introducción.
Los modelos continuos se caracterizan porque el conjunto de valores que puede
tomar la variable aleatoria es un conjunto infinito no numerable. Dentro de estos
modelos continuos vamos a dar una especial importancia a la distribución Normal,
que es de muchas maneras, la piedra angular de la estadística moderna.
Modelos de distribuciones de probabilidad de variables continuas.
1. Uniforme. Es la distribución donde todos resultados posibles tienen la
misma probabilidad, en este caso la variable aleatoria al ser de tipo
continuo toma todos los posibles valores en un intervalo finito.
2. Exponencial. Se utiliza para estudiar el tiempo entre dos sucesos.
3. Beta. Sirve para el estudio de variaciones, a través de varias muestras, de
un porcentaje que representa algún fenómeno.
4. Gamma. Se utiliza para estudiar variables cuya distribución puede ser
asimétrica.
5. Normal. Es la distribución más utilizada porque la mayoría de las variables
utilizadas en fenómenos sociales se distribuyen aproximadamente
siguiendo este modelo. La estudiaremos más detalladamente a continuación
y se le llama comúnmente distribución normal.
- 3 -
4.3 Distribución uniforme continua.
Es la más sencilla de las distribuciones continuas, surge al considerar una variable
aleatoria que toma valores equiprobables en un intervalo finito. Su nombre se debe
al hecho de que la densidad de probabilidad de esta variable aleatoria es uniforme
sobre todo su intervalo de definición.
La distribución uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un
intervalo, todos ellos con la misma probabilidad. Diremos que una variable aleatoria
sigue una distribución uniforme en un intervalo ba, si la probabilidad de que la
variable aleatoria tome un valor en cualquier subintervalo es proporcional a la
longitud del subintervalo. La función de densidad es:
parámetrosdosbaybadonde
restoelen
bxaab
xf ,,
0
1
Abreviadamente esta distribución la indicaremos por: baUx ,
Características de ésta distribución:
1. Función de distribución:
bxsi
bxasiab
ax
axsi
dxxfxXPxF
x
a1
0
2. Media :
Se calcula como vimos anteriormente en el valor esperado de una variable
aleatoria de tipo continuo: dxab
xdxxfxxE
b
a
1. Realizando los
cálculos llegamos al siguiente resultado 2
abxE
. Como podemos
observar es el centro del intervalo de definición y coincide con la mediana.
3. Varianza:
Se calcula como vimos anteriormente en el caso de una variable aleatoria de
tipo continuo: 22 xExExVar
- 4 -
Si calculamos el momento de segundo orden:
ab
abdx
abxdxxfxxE
b
a
3
1 33222
Luego:
12
222 ab
xExExVar
Los parámetros de esta distribución son:
Distribución Uniforme Parámetros
Media
2
ba
Varianza 12
2ab
Desviación típica 12
2ab
4.4 Distribución normal.
Esta distribución resulta útil no sólo porque un gran número de distribuciones de
frecuencias presentan formas aproximadamente normales, sino también por su gran
significado teórico en el campo de la estadística inferencial. En resumen, la
importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas
variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:
- Caracteres morfológicos de individuos: talla, peso,..
- Caracteres sociológicos: consumo de un cierto producto por un grupo de
individuos, puntuaciones de examen…
- Caracteres psicológicos: cociente intelectual, grado de adaptación a un
medio,..
- Valores estadísticos muestrales: la media.
- Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales.
- 5 -
No obstante, hay que tener cuidado al suponer que un determinado conjunto de
observaciones se puede aproximar por una distribución normal.
La distribución normal la obtuvo inicialmente De Moivre en 1733 como límite o
aproximación de la distribución pnB , cuando n . Posteriormente Gauss en
1809 y Laplace en 1812 llegaron a obtenerla empíricamente al estudiar la
distribución de errores accidentales en Astronomía y Geodesia.
Una justificación de la frecuente aparición de la distribución normal es el teorema
central del limite, que veremos más tarde, que establece que cuando los resultados
de un experimento son debidos a un conjunto muy grande de causas independientes,
que actúan sumando sus efectos, siendo cada efecto individual de poca importancia
respecto al conjunto, es esperable que los resultados sigan una distribución normal
La curva normal responde al tipo de curva perfectamente simétrica, y unimodal
basada en un número infinito de casos, por lo que sólo puede ser tratada de forma
aproximada cuando se opera con datos reales. Por tratarse de una curva simétrica
coinciden la media, la moda y la mediana.
Diremos que la variable aleatoria, de tipo continuo, sigue una distribución Normal
de parámetros 2 y , si su función de densidad es:
xexf
x 2
2 2
2
1
, donde R, y tales que y
0
La función de densidad depende de dos parámetros: media y varianza de la
distribución, y puede verse por la definición que no hay una única distribución
normal sino una familia completa de distribuciones.
Abreviadamente esta distribución la indicaremos por: ,Nx
Se observa que tiene forma de campana, de aquí que frecuentemente se le llame
curva o campana de Gauss.
- 6 -
Los parámetros:
- , es el centro de la distribución y también se corresponde con el punto
máximo de la distribución.
- nos da una idea del grado de apertura de la distribución.
Veamos los siguientes ejemplos:
a) En este caso tenemos dos curvas normales ,1N y ,2N que tienen
distintas medias 1 < 2 pero tienen la misma desviación típica, por tanto sus
centros están en diferentes lugares pero el grado de apertura de ambas
distribuciones es el mismo.
b) En este segundo caso tenemos dos curvas normales 1,N y 2,N que
tienen distintas desviaciones típicas 1 2 pero tienen la misma media. Ahora
las curvas están centradas en el mismo punto pero su grado de apertura es
distinto. Como 1 < 2 la curva de mayor desviación típica, en este caso 2
tendrá una mayor dispersión.
- 7 -
Características de ésta distribución:
1. Función de distribución:
xdxexXPxF
xx2
2 2
2
1
La integral correspondiente a esta función de distribución sólo puede
calcularse mediante métodos numéricos aproximados. Una manera de
simplificar estos cálculos es mediante el proceso de tipificación de una
variable aleatoria normal, que nos permite pasar de una ,N a una
1,0N
La variable normal con media cero y desviación típica la unidad se
denomina normal estándar 1,0N ; su función de distribución está tabulada.
Para calcular probabilidades en el caso general, transformaremos la variable
aleatoria normal x en la variable normal estándar z , mediante:
xz
Si aplicamos el cambio de variable tenemos como función de densidad:
zezf
z
2
2
2
1
y su función de distribución es:
zdzezZPzF
zz
2
2
2
1
- 8 -
Las características que presenta la normal tipificada son:
No depende de ningún parámetro.
La curva zf es también es simétrica respecto del eje OY.
Para realizar la representación gráfica de la función de densidad zf
correspondiente a la normal 1,0N procederíamos de forma análoga a
como se hizo para la distribución ,N .
2. Media :
La media de la variable aleatoria es ; es decir: xE , es al mismo
tiempo la media, la mediana y la moda de la distribución
3. Varianza:
222 xExExVar , considerando que: 222 xE
Igualmente, es la desviación típica que nos da una idea de cual es la
dispersión entorno a la media.
Los parámetros básicos de la distribución son:
Distribución N ( , ) Parámetros
Media
Varianza 2
Desviación típica
Cálculo de probabilidades:
Sea x una variable aleatoria normal ,N con función de distribución acumulada
xF , y sean a y b dos posibles valores que verifican que ba . Entonces:
aFbFbxaP
- 9 -
Cualquier probabilidad puede obtenerse a partir de la función de distribución
acumulada, sin embargo, como vimos anteriormente calcular la integral
correspondiente a esta función de distribución sólo puede hacerse mediante métodos
numéricos aproximados. No obstante cualquier distribución normal puede
expresarse como una normal estándar 1,0N :
** aFbF
aF
bF
bz
aP
bxaPbxaP
Donde z es una variable aleatoria normal estándar que está tabulada. En esta tabla
encontraremos los valores de:
zdzezZPzF
zz
2
2
2
1
No debemos olvidar que se trata de una distribución simétrica y que el área bajo la
curva normal es igual a la unidad. Por tanto:
zFzZP
zFzZP 1
zFzFzZP 1
- 10 -
Valoración de la normalidad:
La decisión de describir una distribución mediante una curva normal puede
determinar el análisis que posteriormente se haga de los datos. Una forma de ver si
los datos son aproximadamente normales es observando su histograma. Este nos
puede revelar de forma clara características no normales de una distribución: las
asimetrías prolongadas, los vacíos entre datos, etc.
Una forma de valorar si una distribución es normal es señalando los puntos ,
, 2 , 3 en el eje de las x y observando la probabilidad
comprendida en estos intervalos. En el caso de una distribución normal ,N :
El 68,3 % de las observaciones se encuentran entre
El 95,5 % de las observaciones se encuentran entre 2
El 97,7 % de las observaciones se encuentran entre 3
Propiedades de ésta distribución:
1. Si nxxx ,,, 21 n son variables aleatorias independientes, distribuidas
según una niN ii 2,1, , y si a1, a
2 ,……., an y b son números
reales. Entonces la variable aleatoria: bxaxay nn 11 Sigue una
distribución: 222
1
2
111 , nnnn aabaaN
2. La suma de “ n ” variables aleatorias independientes, nxxx ,,, 21 y
distribuidas según una niN ii 2,1, sigue una
distribución: 22
11 , nnN
3. Si, nxxx ,,, 21 son “ n ” variables aleatorias independientes e
- 11 -
idénticamente distribuidas según una ,N , entonces la variable
aleatoria suma de las “ n ” variables: nxxy 1 . Sigue una
distribución: nnN ,
4. Si nxxx ,,, 21 son “ n ” variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas según una , ,N entonces la variable aleatoria
media aritmética de estas n variables: n
xxx n 1 Sigue una
distribución:
nN
,
Aproximación a la distribución normal la distribución binomial.
El teorema de Moivre (1.756) permite realizar esta aproximación considerando que
las variables aleatorias sigan una distribución binomial con: 2
1 qp (este
teorema fue generalizado posteriormente por Laplace en 1.810 para distribuciones
no simétricas qp ).
Vimos que la variable aleatoria binomial era el número de éxitos que tienen lugar
cuando se realizan n repeticiones independientes de un experimento o prueba de
Bernoulli. La variable aleatoria x puede escribirse como la suma de n variables
aleatorias de Bernoulli: nx xxxx 2 npqxVarnpxE
Si x es una variable aleatoria binomial, pnB , , con media npxE y
desviación típica npqxVar entonces, cuando n la variable
aleatoria:
1,0N
npq
npx
xVar
xExZ
Es decir: npqnpNx ,
En la práctica, decir que n es lo suficientemente grande, se traduce en:
2
15
2
15
pynq
pynp
- 12 -
Lo que se hace es aproximar una distribución discreta, como es la binomial, a una
distribución normal que es continua, y ya que en el caso continuo la probabilidad o
masa asociada a un valor concreto de la variable aleatoria es nulo, tendremos que
utilizar la corrección de continuidad de Fisher para calcular la probabilidad deseada:
Probabilidad en pnB , Corrección de continuidad
P ( X = x ) P ( x – ½ ≤ X ≤ x + ½ )
P ( a ≤ X ≤ b ) P ( a – ½ ≤ X ≤ b + ½ )
P ( X ≤ x )
P ( X ≥ x )
P ( X ≤ x +½)
P ( X ≥ x -½)
Aproximación a la distribución normal la distribución de Poisson.
En el caso de la distribución de Poisson, la variable aleatoria nos establece el
número de veces que ocurre un suceso en un determinado intervalo de tiempo,
sabemos que la media y la varianza de esta distribución coincide con el parámetro
.
Si el número de ocurrencias esperadas es elevado y el intervalo de tiempo se
divide en subintervalos de idéntica longitud. En ese caso, el número total de
ocurrencias es la suma de las ocurrencias de cada subintervalo, y puede verse como
la suma de un número moderadamente grande de variables aleatorias, cada una de
las cuales representa el número de ocurrencias en un subintervalo del periodo de
tiempo, puede utilizarse la distribución normal como una aproximación a la
distribución de Poisson. En la práctica la aproximación es aceptable si 10 ,
aunque algunos autores aceptan la aproximación cuando 5 .
El procedimiento práctico es análogo al caso de la binomial, así pues si tenemos una
variable aleatoria x que se distribuye según una distribución de Poisson de
parámetro , entonces cuando 10 la variable aleatoria:
1,0N
x
xVar
xExZ
Es decir: ,Nx
- 13 -
Al igual que en el caso de la distribución binomial es necesario aplicar la corrección
de continuidad para calcular las probabilidades.
4.5 Teorena Central del Límite
No existe un único Teorema Central del Límite, sino un conjunto de teoremas, todos
ellos dando condiciones para que una sucesión de variables aleatorias tienda a
distribuirse según una distribución normal. Muchas variables aleatorias que se
encuentran en la práctica son sumas o promedios de un número grande de variables
aleatorias independientes.
Consideremos que nxx ,,1 es una sucesión de n variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas, con media y varianza 2 (ambas
finitas). Definimos una nueva variable:
nx xxxx 2 2 nxVarnxE
Para cualquier variable aleatoria, al restar la media y dividir por la desviación típica
se obtiene una variable aleatoria tipificada de media 0 y varianza 1:
2
n
nx
xVar
xEXZ
Cuando n entonces podemos decir que 1,0NZ
o bien nnNx , .
El teorema central del límite tiene un impacto sustancial en la práctica estadística.
Afirma que cualquiera que sea la distribución común de un conjunto de variables
aleatorias, suponiendo que la media y la varianza son finitas, la suma de un número
moderadamente grande de ellas será una variable aleatoria con distribución parecida
a la normal.
- La validez del teorema central del límite no está limitado a variables
aleatorias continuas y simétricas, se extiende también a variables aleatorias
discretas y asimétricas. Así tenemos el Teorema de Moivre:
- 14 -
- Si las variables aleatorias no son independientes o no tienen la misma
distribución de probabilidad, en ese caso habrá que utilizar otras condiciones
de mayor dificultad que no consideraremos en este caso.
Otro resultado interesante de este teorema es el siguiente, consideramos que
nxx ,,1 es una sucesión de n variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas, con media y varianza 2 (ambas finitas). Definimos una nueva
variable x que es el promedio de estas variables aleatorias:
n
x
n
xxx n
1 nn
nxVar
n
nxE
2
2
2
Para cualquier variable aleatoria, al restar la media y dividir por la desviación típica
se obtiene una variable aleatoria tipificada de media 0 y varianza 1:
n
x
xVar
xExZ
Cuando n entonces podemos decir que 1,0NZ o
bien
nNx
, .
En los próximos apartados consideraremos el problema de hacer inferencia sobre
una población, basado en los resultados que obtenemos de una muestra. Muchas de
las medidas calculadas a partir de una muestra son sumas o promedios. Por
consiguiente, el teorema central del límite es muy relevante y proporciona validez a
muchas de las técnicas que se utilizan para enfocar estos problemas.
4.6 Distribuciones asociadas a la normal.
Seguimos en esta parte estudiando distribuciones continuas unidimensionales, muy
estrechamente relacionadas con la distribución normal, pues las variables aleatorias
asociadas a estas distribuciones son combinaciones de variables aleatorias normales.
Estas distribuciones fueron introducidas para estudiar las distribuciones de las
diferentes variables aleatorias que nos aparecerán en los procesos de estimación y
- 15 -
que son muy utilizadas en la Inferencia Estadística.
Distribución 2 de Pearson.
Aparece, naturalmente en la teoría, asociada a la suma de los cuadrados de variables
aleatorias independientes e igualmente distribuidas según una distribución normal.
Es, por tanto, una distribución de variable continua cuyo dominio se extiende de 0
a .
Dadas n variables aleatorias independientes distribuidas según:
1,0
1,0
1,0
.2
Nz
Nz
Nz
ntesindependieaVariables
n
Se define la variable 2 con n grados de libertad como:
22
1
22
nn zzz Y se denota como:
nzn
i
i
i
2
1
Los parámetros fundamentales son:
Parámetro Valor
Media n
Varianza 2n
Características fundamentales:
La distribución 2 es asimétrica, cuyo dominio se extiende de 0 a .
La distribución 2 se encuentra tabulada en función de n . Para el cálculo
de probabilidades es preciso recurrir a tablas que, al igual que en el caso de
la 1,0N , proporcionan valores aproximados. Las tablas estadísticas nos
proporcionarán la probabilidad del suceso an 2 , siendo la mecánica
del cálculo muy similar a lo visto en la 1,0N , con la excepción de no ser
simétrica y no admitir valores negativos y tener una asíntota para x .
- 16 -
Su propiedad fundamental es que si sumamos dos 2 independientes de 1n
y 2n grados de libertad, obtenemos una 2 con 21 nn grados de libertad.
Esto lo podríamos generalizar para nnn ,,1 .
En la práctica a partir de 30 grados de libertad se aplica la convergencia a la
distribución normal: 122 2 nn es aproximadamente 1,0N .
Distribución t de Student.
Una segunda distribución muy relacionada con la normal y con la 2 y muy
ampliamente utilizada en la inferencia es la distribución t de Student o simplemente
distribución t. Esta distribución fue estudiada por W.S. Gosset y publicada por
primera vez en 1.908.
Sean nxx ,, , 1n variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas según una ,0N Entonces se dice que la variable aleatoria:
22
1
1n
n
xxn
xt
Se distribuye según una t de Student con n-grados de libertad, el número de grados
de libertad es igual al número de variables que figuran en el denominador de .nt
Teniendo en cuenta la definición dada anteriormente para la distribución 2 , si
transformamos las variables aleatorias distribuidas según una ,0N en 1,0N de
manera que el numerador:
1,0Nx
Y el denominador:
n
xx
n
nn
222
11
Con lo cual tenemos, que la distribución t se puede definir:
- 17 -
n
x
t
n
n2
Abreviadamente lo indicaremos por: ntT
Los parámetros fundamentales son:
Parámetro Valor
Media 0
Varianza
2n
n
.
La importancia de esta variable aleatoria reside en el hecho de que su función de
densidad depende de la varianza de las variables que la integran, y su utilidad se
verá plenamente cuando se estudie la Inferencia Estadística en los casos donde la
varianza poblacional se desconoce.
El campo de variación de la variable nt es el intervalo , . La variable
nt es simétrica, con mayor dispersión que la distribución normal estándar,
aunque se observa que cuando n aumenta la distribución t de Student
tiende a la 1,0N .
No debemos olvidar que esta distribución está tabulada, las tablas
estadísticas nos proporcionarán la probabilidad del suceso ant . Para
el manejo de tablas es importante recordar la simetría de la función de
densidad, siendo la mecánica del cálculo muy similar a lo visto en la 1,0N
Cuando 30n , la distribución nt converge a la distribución
normal:
2,0
n
nN
- 18 -
Distribución F de Snedecor..
Una distribución utilizada frecuentemente y relacionada con la distribución normal
es la distribución F de Snedecor. Esta distribución se utiliza fundamentalmente en
problemas relacionados con la varianza, y muy concretamente en la técnica de
análisis de la varianza.
Sean mxx ,,1 ,e nyy ,,1 , nm variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas según una ,0N . Entonces decimos que la variable
aleatoria:
n
yy
m
xx
Fn
m
nm 22
1
22
1
,
Se distribuye según una F de Snedecor con nym grados de libertad.
Si realizamos la misma transformación que en el caso de la t de Student, para poder
expresar esta variable como el cociente de dos 2 , transformando las variables
aleatorias distribuidas según una ,0N en 1,0N .
1,01,01 Nx
Nx m
1,01,01 Ny
Ny n
Tendremos lo siguiente:
n
mF nm 2
2
,
Es decir, hemos expresado esta variable aleatoria como el cociente de dos 2 que
no dependen de la 2 de las variables integrantes.
Abreviadamente lo indicaremos por: nmFF ,
Los parámetros fundamentales son:
- 19 -
Parámetro Valor
Media
2n
n
si n > 2
Varianza
42
222
2
nnm
nmn
si n > 4
No es simétrica, su campo de variación, como procedente de la suma de
cuadrados, es el intervalo ,0 y tiene una asíntota para x .
No debemos olvidar que esta distribución está tabulada, las tablas
estadísticas nos proporcionarán la probabilidad del suceso anmF , . La
presentación de las tablas de la distribución F es distinta de las anteriores,
debido a la existencia de dos parámetros en la función de densidad. En
general las tablas se utilizan en sentido inverso, es decir, conocida la
probabilidad del suceso anmF , hallar el valor de a .
- 20 -
- 21 -