TEMA 4: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA PARTE 1: Campo eléctrico. Magnitudes que lo caracterizan: intensidad de campo y potencial eléctrico.

• Fuerza entre cargas en reposo; ley de Coulomb. Características de la interacción entre dos cargas puntuales.

• Interacción de un conjunto de cargas puntuales; superposición • Energía potencial electrostática de una carga en presencia de otra. Superposición. • Potencial electrostático de una carga puntual y de un conjunto de cargas puntuales. • Campo eléctrico de una carga puntual. • Relación entre campo y potencial electrostáticos. • Campo electrostático de un conjunto de cargas puntuales.

PARTE 2: Relación entre fenómenos eléctricos y magnéticos. Campos magnéticos creados por corrientes eléctricas. Fuerzas magnéticas: ley de Lorentz e interacciones magnéticas entre corrientes rectilíneas. Experiencias con bobinas, imanes, motores, etc. Magnetismo natural. Analogías y diferencias entre campos gravitatorio, eléctrico y magnético.

• Las cargas en movimiento como origen del campo magnético: experiencias de Öersted.

• Justificación del carácter relativo del campo magnético. • Campo creado por una corriente rectilínea indefinida. • Campo creado por una espira circular. • Fuerza magnética sobre una carga en movimiento; ley de Lorentz. • Movimiento de cargasen un campo magnético uniforme. • Fuerza magnética entre dos corrientes rectilíneas indefinidas.

PARTE 3: Inducción electromagnética. Producción de energía eléctrica, impactos y sostenibilidad. Energía eléctrica de fuentes renovables.

• Introducción elemental del concepto de flujo. • Fenómenos de inducción electromagnética: introducción fenomenológica. • Fuerza electromotriz inducida y variación de flujo. Ley de Lenz Faraday. • Producción de corrientes alternas; fundamento de los generadores. • Transporte y uso de las corrientes alternas; fundamento del transformador. Ventajas

de la corriente alterna frente a la corriente continua.

FUERZA ENTRE CARGAS EN REPOSO. LEY DE COULOMB La ley de Coulomb dice: La fuerza con que dos cargas en reposo se atraen o repelen, según sean sus signos, es proporcional en módulo al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La dirección de la fuerza es según la recta que une las cargas y el sentido atractivo si las cargas tienen distinto signo y repulsivo si tienen el mismo. SI elegimos un SR centrado en la carga q que crea el campo. como la dirección de la fuerza que ejerce sobre la carga q´ tiene la dirección de la recta que las une, resulta que tendrá la misma dirección que el vector de posición.

r2u

r

qQKF

rr ⋅=

• ru

r es un vector unitario del vector de posición de q respecto de Q, es decir, es un

vector en la dirección de la línea que une los centros de las cargas y el sentido, como se hacía en el campo gravitatorio, se toma desde la carga que crea el campo hacia la otra.

• Observa que, a diferencia de la ley de gravitación de Newton, esta expresión no

lleva signo menos y ello se debe a la existencia de dos tipos de carga. El signo “menos” se interpretaba como una fuerza atractiva, es decir que tiene la dirección del vector unitario ru

r− . Ahora no es necesario, porque cuando se trate de dos cargas positivas, o dos cargas negativas, al sustituir resultará un vector en dirección y sentido de ru

r, es decir se repelen. Cuando se trate de una carga positiva y otra

negativa resultará un vector en la dirección y sentido de rur− , es decir se atraen.

A este respecto es muy importante tener en cuenta que si queremos calcular el vector fuerza debemos sustituir los valores de las cargas con su signo incluido que es precisamente quién nos dará el sentido de la fuerza. Sin embargo si solamente queremos calcular el valor del módulo de la fuerza entonces será suficiente con sustituir el valor de las cargas en valor absoluto.

• K es una constante de proporcionalidad llamada “constante de Coulomb” y hace un

papel similar al que hacía G en la ley de gravitación universal aunque, a diferencia de aquella, ésta no es realmente una constante porque depende del medio en el que están situadas las cargas.

πε=

4

1K

ε es una constante específica de cada medio que se llama permitividad o constante dieléctrica. Su valor para algunos medios es:

Medio ε (C2/N.m2) Vacío 121085,8 −⋅ Aire 121085,8 −⋅ Agua 121085,716 −⋅ Vidrio 121000,53 −⋅ Mica 121000,35 −⋅

Las unidades de K se obtienen fácilmente despejándola de la fórmula de Coulomb y su valor para el caso del vacío o del aire es:

229 C/mN109K ⋅⋅=

Características de la interacción entre cargas: (las mismas que ya vimos para la interacción ente masas). Son fuerzas centrales con lo que ello conlleva: (1) El campo eléctrico tiene simetría esférica, (2) una carga sometida a un campo de fuerzas centrales describe un movimiento en un plano, (3) el momento angular L

r de una partícula sometida a fuerzas centrales se conserva en el

tiempo y (4) el trabajo realizado por la fuerza central para que q orbite alrededor de ella es nulo porque en todo momento la fuerza y el vector desplazamiento son perpendiculares, por tanto ∫ =• 0rdF

rr y (5) Son fuerzas conservativas con lo que ello conlleva: (a) el trabajo para

llevar a la carga q desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solo depende de la posición de los puntos, (b) la energía que la carga q tiene en cada uno de los puntos del campo creado por q solamente depende de la posición y por eso se le puede asignar una energía que llamamos energía potencial y (c) una carga sometida a fuerzas conservativas conserva su energía mecánica: cteEpEc =+ Observaciones: Es importante tener en cuenta que, lo mismo que con las masas, la fuerza actúa tanto sobre una carga como sobre la otra son iguales y de sentidos opuestos, es decir, una es la de acción y la otra de reacción:

2112 FFrr

−=

2112 FF =

Lo que sucede es que solo nos interesa saber la fuerza que actúa sobre el testigo, por ese motivo a la que actúa sobre la masa que crea el campo no le prestaremos atención, sin que ello quiera decir que no exista. Podrías preguntarte porqué en el encabezamiento dice: fuerzas entre cargas en reposo. Como ya sabes, una carga eléctrica siempre crea a su alrededor un campo eléctrico, pero si está en movimiento, entonces, además crea otro magnético como veremos mas adelante y por tanto la cosa cambia.

INTERACCIÓN DE UN CONJUNTO DE CARGAS PUNTUALES. PRI NCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La ley de Coulomb nos da la fuerza con que se atraen dos cargas, pero no hace referencia a la posible existencia de otras cargas. Ello nos lleva al principio de superposición: “Si una carga se encuentra en el campo creado por varias cargas, la fuerza total sobre ella es la fuerza resultante de las que cada carga, por separado, ejerza sobre ella.” De igual forma puede decirse que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto.

∑= itotal FFrr

∑= itotal EqFrr

es decir que ∑= itotal EErr

Ejemplo: Dos cargas fijas C3q1 µ−= y C6q2 µ−= están separadas en el vacío una distancia de 0,3m. Calcular la fuerza que se ejercen entre ellas. ¿Dónde deberíamos colocar una carga C1q µ+= para quede en reposo?

a) La fuerza con que se repelen las dos cargas, puesto que tienen el mismo signo, viene dada por la ley de Coulomb:

221

2112 r

qqKFF

⋅==

N8,1)3,0(

106103109F

2

669 =⋅⋅⋅=

−−o

b) Para que la carga esté en equilibrio es necesario que la suma de todas las fuerzas sobre ella sea cero. De acuerdo al principio de superposición la fuerza resultante es la suma vectorial de las fuerzas que cada carga hace por separado sobre q´). Para que sea nula es necesario que (1) las dos fuerzas tengan la misma dirección, (2) sentidos opuestos y (3) el mismo módulo.

21 FF =

22

22

1

1

r

qqK

r

qqK

⋅=

⋅

2

6

2

6

)x3,0(

q106K

x

q103K

−⋅⋅=⋅⋅ −−

m12,0x =

Ejemplo: Tres cargas eléctricas se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado a como se indica en la figura ¿Qué fuerza actúa sobre la carga q? Dar el resultado en función de +q, +Q, −Q y a. Sencillamente no hay más que aplicar el principio de superposición, así que calcularemos la fuerza que cada carga hace por separado sobre +q y luego las sumamos vectorialmente. La fuerza que la carga +Q ejerce sobre +q es repulsiva por tener el mismo signo y en la dirección de la recta que une ambas cargas. Su módulo de acuerdo con la ley de Coulomb es:

21 a

qQKF

⋅=

La fuerza que la carga –Q ejerce sobre +q es atractiva por tener distinto signo y en la dirección de la recta que las une, y el módulo (recuerda que para calcular el módulo solo tomamos las cargas en valores absolutos)

22 a

qQKF

⋅=

Ahora solo hay que sumar dos vectores. Para ello elegimos un sistema de referencia cualquiera, aunque parece apropiado uno como el de la figura:

el siguiente paso es descomponer los vectores según los ejes del sistema de referencia elegido, y luego se escriben vectorialmente las fuerzas:

j60senFi60cosFF 111

rrr+=

j60senFi60cosFF 222

rrr−=

j60sen)FF(i60cos)FF(F 2121

rrr−++=

Teniendo en cuenta que como hemos visto antes 221 a

qQKFF

⋅== nos quedaría que

i60cosa

qQK2F

2

rr ⋅= y como cos60=1/2 ia

qQKF

2

rr ⋅=

NOCIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO: INTENSIDAD DE CAMPO ELÉC TRICO DE UNA CARGA PUNTUAL Hemos visto que la fuerza que actúa sobre una carga q cuando la colocamos en un punto del campo eléctrico creado por otra carga Q, depende de magnitudes propias del campo (la carga que lo crea Q y la posición del punto (r)) pero también depende del valor de la carga q. Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa de la carga del testigo, vamos a definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo eléctrico como la fuerza por unidad de carga. La intensidad del campo eléctrico se representa por E

s:

r2u

r

QK

q

FE

rr

r==

• La Intensidad de campo eléctrico solamente depende de la carga q que crea el

campo y de r, es decir de la posición del punto en el campo. • La intensidad de campo en un punto nos permite conocer la fuerza que actuará

sobre un testigo de carga q colocado en ese punto: E qFrr

= . Como se deduce de la relación, la fuerza es un vector que siempre tiene la misma dirección que el campo, pero su sentido depende el signo de la carga q. Si q es positiva ambos vectores tendrán la misma dirección. Si q es negativa tendrán sentidos opuestos.

Por otro lado, hemos visto que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto es

igual a la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto. ∑= itotal EErr

es decir, se cumple el principio de superposición.

Ejemplo E6A.S2007 Una partícula de masa m y carga −10−6

C se encuentra en reposo al estar sometida al campo gravitatorio terrestre y a un campo eléctrico uniforme E = 100 N C−1

de la misma dirección. a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule su masa. b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentara a 120 N C−1

y determine su aceleración. a) Obviamente para que la partícula cargada esté en equilibrio, la fuerza peso debe contrarrestarse con la eléctrica. Como sabemos las líneas de fuerza tienen el sentido en que se movería una carga positiva (ese fue el criterio que se adoptó) así que como la fuerza eléctrica debe ir hacia arriba para compensar al peso y como la carga es negativa, el campo eléctrico

debe ir hacia abajo. (Recuerda que E qFrr

= , por tanto al multiplicar un vector (Er

) por un

escalar negativo (q) el resultado es un vector (Fr

) en la misma dirección y sentido contrario). Podemos prescindir del carácter vectorial de las magnitudes ya que el movimiento tiene lugar en una sola dimensión, por tanto nos limitaremos a igualar los módulos de las fuerzas y en ese caso recuerda que el valor de la carga se sustituye en valor absoluto.

gravitelectr FF =

E qg m =

1001010m 6 ⋅=⋅ −

Kg10m 5−=

De hacer el tratamiento vectorial, habríamos planteado que ∑ = 0Fr

, (en tal caso al

sustituir los valores de la carga debemos incluir su signo), es decir que:

0E qg m =+rr

⇒ 0)j(100)10()j(10m 6 =−⋅−+−⋅ −rr

⇒ Kg10m 5−= b) Si el campo eléctrico aumenta de valor, la fuerza eléctrica será mayor que el peso y en consecuencia habrá una fuerza neta y, por tanto, de acuerdo con la segunda ley de Newton, la partícula tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia arriba, es decir, en la dirección y sentido de la fuerza resultante. Aplicando la segunda ley de Newton:

a mFFF gravitelectr

rrrr=+=∑

a mg mE qrrr

=+

a10)j(1010)j(12010 556 rrr−−− =−⋅+−⋅−

a10j10j102,1 544 rrr−−− =−⋅ → 2s/mj2a

rr =

Ejemplo E1B.S2007 a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creado por una carga puntual y el campo gravitatorio creado por una masa puntual, en relación con su origen, intensidad relativa, dirección y sentido. b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un punto del segmento que une a dos partículas cargadas? Razone la respuesta. a) Analogías:

• Los dos son campos de fuerzas centrales, y por tanto conservativos • Todas las expresiones de uno y otro son semejantes. (El papel que la constante de

gravitación universal y las masas hacen en el campo gravitatorio, en el eléctrico lo hacen la constante de Coulomb y las cargas.

• Las líneas de fuerza en estos campos son abiertas, es decir, no se cierran sobre sí mismas como suceda en el campo magnético.

Diferencias:

• Hay dos tipos de cargas: positivas y negativas y solo una clase de masas. • Como consecuencia de lo anterior la fuerza entre dos cargas puede ser atractiva o

repulsiva, mientras que en las masas siempre es atractiva • Consecuencia directa de lo anterior es el signo menos que aparece en las

expresiones del campo gravitatorio • La constante de gravitación universal G es una constante, mientras que la constante

de Coulomb realmente no lo es puesto que depende del medio: πε= 4/1K ya que depende de ε que es la constante dieléctrica del medio en que se encuentran las cargas.

b) Como hemos dicho antes, hay solo una clase de masas, así que siempre podremos encontrar un punto en la línea que une dos masas donde el campo gravitatorio sea nulo, pero en el caso de las cargas eso solo será posible si las dos cargas tienen el mismo signo, (las dos positivas o las dos negativas), pero si tienen signo contrario en cualquier punto de la línea que une las cargas los campos creados por cada carga tendrán el mismo sentido, siendo imposible que se anulen:

ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UNA CARGA EN PR ESENCIA DE OTRA. SUPERPOSICIÓN. El campo eléctrico es un campo de fuerzas centrales y por tanto conservativo, así que en él puede definirse una energía potencial. El trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos A y B. Por eso precisamente a esos puntos se le puede asociar una energía “que solamente depende de la posición” y que llamamos energía potencial. Por definición, “el trabajo que una fuerza conservativa hace para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”:

BACampo.Conserv.F,BA EpEpEpW −=∆−=→

Significado del signo menos: El signo menos indica que la fuerza conservativa del campo hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza la carga desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho de otra forma, bajo la acción de la fuerza conservativa un cuerpo se mueve espontáneamente desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. (Observa que

+=→ Campo.Conserv.F,BAW cuando EpA > EpB)

En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre esos puntos”

Campo.Conserva.F,BAABnosotros,BA WEpEpEpW →→ −=∆=−=

Ahora vamos a ver la expresión concreta de la energía potencial eléctrica, para ello no hay más que calcular el trabajo que hace el campo eléctrico para llevar una carga q desde el punto A al B:

∫∫∫ ⋅⋅=•⋅=•==− →

B

A2

B

A

r2

B

A

electrcampo,BABA drr

qQKrdu

r

qQKrdFWEpEp

rrrr

donde hemos tenido en cuenta que vector unitario

rur

y el vector desplazamiento rdr

tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1.

Teniendo en cuenta además, que r

1dr

r

12

−=∫ nos

quedaría que:

BABA

B

Acampo,BA EpEp

r

1

r

1 qQK

r

1 qQKW −=

−⋅⋅=

−⋅⋅=→

BABA r

qQ K

r

qQ KEpEp

⋅−⋅=−

Energía potencial eléctrica en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de diferencia de energía potencial entre dos puntos (porque es el trabajo para llevar la carga q desde uno a otro), pero si, por acuerdo, asignamos cero a la energía potencial de uno de esos puntos, entonces podremos hablar de energía potencial absoluta en un punto. Parece que lo razonable sería asignarle cero a la energía potencial en el infinito, porque como la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia, en ese punto puede decirse que no hay campo, por tanto, la diferencia de potencial entre un punto A y el infinito sería la energía potencial en ese punto A. Dicho de otra manera: La energía potencial de una carga q en un punto es igual al trabajo que hace el campo para llevar a la carga q desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que la energía potencial de una carga q en un punto es igual a trabajo que tenemos que hacer para traer a la carga desde el infinito hasta ese punto)

∞⋅−⋅=− ∞qQ

Kr

qQ KEpEp

AA

como 01 =∞

AA r

qQ KEp

⋅=

donde rA es la distancia que separa las dos cargas. Como puedes ver la energía potencial eléctrica en un punto no es siempre negativa como pasaba a la gravitatoria. En este caso solo será negativa si las cargas tienen signo contrario Cuando las cargas tienen el mismo signo, la Ep es positiva porque para llevar la carga q desde el infinito hasta al punto A tenemos que hacer realmente un trabajo. La carga q no iría sola puesto que se repelen. Por el contrario, cuando las cargas tienen distinto signo (como pasaba con las masas) la carga q iría sola desde el infinito hasta el punto A y por eso su Ep es negativa, porque el trabajo no lo haríamos nosotros sino el campo creado por la carga Q.

Observa que: 1. La Ep eléctrica tiene su “máximo valor positivo si las cargas son del mismo signo” (o “máximo valor negativo si las cargas son de distinto signo”) en la superficie de la carga que crea el campo y va disminuyendo (o aumentando) al alejarnos hasta llegar a cero en el infinito. En cualquier caso, en el infinito la Ep es cero.

2. Una carga se mueve espontáneamente hacia donde disminuye su energía potencial (Tanto si la carga es positiva como si es negativa) 3. La energía potencial que tiene en el infinito la carga q es nula, tanto si la carga que crea el campo es positiva como si es negativa. Energía potencial “de una carga” debida al campo creado por una asociación de cargas: de acuerdo con el principio de superposición la energía potencial que tendrá es la suma de la energía potencial que independientemente el campo de cada carga crea sobre ella, así que:

∑ ==⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅

=i

in1i

n

n

2

2

1

1

r

QKq

r

qQK

r

qQK

r

qQKEp

Energía potencial de una asociación de cargas: En este caso la energía potencial debida a todas ellas se obtiene sumando la energía potencial de todos los pares de cargas. Por ejemplo la energía potencial de la asociación de la figura sería:

23

32

13

31

12

21

r

qqK

r

qqK

r

qqKEp ++=

∑=ij

ji

r

qqKEp

Ejemplo E3B.S2008 Una bolita de plástico de 2 g se encuentra suspendida de un hilo de 20 cm de longitud y, al aplicar un campo eléctrico uniforme y horizontal de 1000 N C− 1 el hilo forma un ángulo de 15º con la vertical. a) Dibuje en un esquema el campo eléctrico y todas las fuerzas que actúan sobre la esfera y determine su carga eléctrica. b) Explique cómo cambia la energía potencial de la esfera al aplicar el campo eléctrico. a) Se trata de un péndulo ideal que se encuentra probablemente entre las armaduras de un condensador plano, entre las que se crea un campo eléctrico uniforme (salvo en los bordes). La masa del péndulo está sometida por una lado a su peso y por otro lado, al estar cargada, a la fuerza eléctrica debida al campo eléctrico. Suponiendo que la carga sea positiva, el campo iría hacia la derecha, ya que en tal caso la fuerza y el campo tienen la

misma dirección y sentido: EqFrr

=

Para que el péndulo esté en equilibrio, es preciso que la suma de las fuerzas sea nula, así que eligiendo un sistema de referencia como el de la figura no hay más que descomponerlas e igualar las componentes en el eje X.

α⋅=α⋅ cosqEsenmg ⇒ =⋅⋅=α⋅=1000

15tg10002,0

E

tgmgq C1036,5 6−⋅

Las componentes en eje Y también dan resultante nula: α⋅+α⋅= senqEcosmgT b) La energía potencial de la bolita es la suma de la Ep gravitatoria y de la Ep eléctrica. A medida que la bolita se mueve espontáneamente ∆Epgravit ↑+ ∆Epeléctr ↓ hasta que el hilo forma un ángulo α, tal que para él la energía potencial total es mínima. Vamos a calcular la variación de energía potencial gravitatoria y eléctrica:

Si tomamos nivel cero de Epgrav en el punto A, y teniendo en cuenta que el punto B está por encima una altura α−= cosLLh

)cosLL(mgmghmghEp ABgravit α−=−=∆

J1036,1)15cos2,02,0(10002,0Ep 4gravit

−⋅=−⋅=∆

=•=∆−= ∫→

B

A EléctrEléctrBA,Eléctr rdFEpWrr

==+•= ∫∫α=

=

LsenxB

0xA

B

Adx E q)j dyi dx(i E q

rrr

[ ] =α== α sen L E qx E q Lsen0

J1077,215sen2,0101036,5 436 −− ⋅=⋅⋅⋅⋅=

J1077,2Ep 4Eléctr

−⋅−=∆

La variación total de energía potencial es: ∆Ep = ∆Epgravit + ∆Epeléctr = 1,36·10−4 – 2,77·10−4 = − 1,41·10−4 J Como ampliación vamos a comprobar el ángulo para el que quedaría en equilibrio una bola de 2g de masa y carga +5,36·10−6C que está colgada de un hilo o de 20 cm. ∆Ep = ∆Epgravit + ∆Epeléctr = α−α− sen L E q)cos1(L g m Tomando cero de energía potencial en el punto A, tendríamos que la expresión anterior correspondería a la energía potencial en el punto B. Si ahora recuerdas que el mínimo de una función y=f(x) se obtiene derivando respecto a x e igualando a cero, pues eso mismo es lo que vamos a hacer porque la posición más estable corresponde a aquel ángulo de desplazamiento del hilo que hace mínima a la energía potencial. Ahora tenemos una función del tipo Ep=f(α) y de acuerdo a lo anterior, derivaremos la expresión de la Ep respecto al ángulo e igualaremos a cero:

0 cosL E qsen L g md

dEp =α−α=α

⇒ º1510002,0

101036,5arctg

g m

E qarctg

36

=⋅

⋅⋅==α−

POTENCIAL ELÉCTRICO Recuerda que la fuerza que actúa sobre una carga q, en un punto de un campo creado por otra carga Q, depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente se definió la intensidad de campo como fuerza por unidad de carga. Lo mismo le ocurre a la variación de energía potencial de una carga q entre dos puntos A y B, de un campo creado por otra carga Q, que también depende del valor de q. Para evitar ese inconveniente vamos a definir una magnitud nueva como variación de energía potencial por unidad de caga y que llamaremos variación Potencial (V):

∫∫

•=•

==−

=− →B

A

B

A

Conserv.FConserv.F,BABA

BA rdEq

rd F

q

W

q

EpEpVV

rr

rr

∫∫∫ ⋅=•=•=−B

campo,A2

B

campo,A

r2

B

campo,A

BA drr

QKrdu

r

QKrdEVV

rrrr

donde hemos tenido en cuenta que vector unitario

rur

y el vector desplazamiento rdr

tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1. Teniendo

en cuenta además, que r

1dr

r

12

−=∫ nos quedaría

que:

−⋅⋅=

−⋅⋅=−BA

B

ABA r

1

r

1QK

r

1QKVV

BABA r

Q K

r

Q KVV −=−

Al mismo resultado llegaremos, como ya hemos dicho, si dividimos la deferencia de energía potencial por el testigo q ya que la ddp entre dos puntos es igual a la diferencia de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad:

BA

BABA r

Q K

r

Q K

q

EpEpVV −=

−=−

Es obvio que lleguemos al mismo resultado, ya que en realidad hemos hecho lo mismo. En el primer caso hemos calculado la circulación de E

r y en el segundo hemos dividido la circulación de

Fr

por q (acuérdate que la circulación de Fr

es BA EpEp − . Mira más arriba (*)

Definición de voltio: La ddp eléctrica se mide en J/C que recibe el nombre de voltio. Un voltio es la ddp entre dos puntos, A y B, cuando el trabajo que hemos de realizar para llevar una carga de 1 Culombio de uno a otro es de 1 Julio. )VV (qV qEpW BAcampo,BA −=∆−=∆−=→

o bien que: )VV (qV qEpW ABnosotros,BA −=∆=∆=→

El campo eléctrico realiza trabajo (W+) cuando desplaza una carga positiva desde un punto A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo. Si q>0 y VA>VB entonces +=+⋅+=→ campo,BAW . Dicho de otra forma, una carga positiva se mueve

espontáneamente hacia donde el potencial es menor. (Lo contrario puede decirse para una carga negativa) Potencial eléctrico en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de ddp entre dos puntos (porque se ha definido como la circulación de E

r entre esos dos

puntos), pero si por acuerdo asignamos cero al potencial en un punto, entonces podremos habar de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito porque allí se supone que ya no hay campo.

Dicho de otra manera, teniendo en cuenta que q

WVV campo,BA

BA→=− podemos decir que:

El potencial en un punto A es igual al trabajo que hace el campo para llevar una carga de 1C desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que el potencial en un punto A es igual al trabajo que tenemos que hacer para traer una carga de 1C desde el infinito hasta ese punto).

∞−=− ∞

Q K

r

Q KVV

AA

como 01 =∞

AA r

Q KV =

donde rA es la distancia que separa la carga que crea el campo del punto A. Como puedes ver, el potencial eléctrico puede ser positivo o negativo, dependiendo el valor de la carga, sin embargo el potencial gravitatorio siempre es negativo. Potencial en un punto debido al campo creado por una distribución de cargas: En el caso de que el campo sea debido a la presencia de más de una carga, el potencial en un punto A, aplicando el principio de superposición será la suma de los potenciales debidos a cada carga, y por tanto:

∑=+++=iA

i

A3

3

A2

2

A1

1A r

QK...

r

QK

r

QK

r

QKV

E1B.S2010 a) Explique la relación entre el campo y el potencial electrostáticos. b) Una partícula cargada se mueve espontáneamente hacia puntos en los que el potencial electrostático es mayor. Razone si, de ese comportamiento, puede deducirse el signo de la carga. a) Teoría (Siguiente pregunta) b) Naturalmente. Cualquier carga (o masa) se mueve siempre de forma espontánea hacia el sitio donde su energía potencial disminuya, es decir hacia donde Ep∆ es negativo.

−=−=−=∆ )VV (qEpEpEp inicialfinalinicialfnal ⇒ Se mueve espontáneamente

Si en nuestro caso tenemos que el potencial final es mayor que el inicial, quiere decir que

+=∆V , y para que el producto Vq ∆⋅ sea negativo es necesario que la carga q sea negativa. También podría razonarse teniendo en cuenta que las líneas de campo eléctrico tienen la dirección en que se mueven las cargas positivas (o las masas en el caso del gravitatorio) y apuntan en la dirección en la que disminuye la energía potencial y el potencial. Por tanto, para que una carga se mueva espontáneamente al revés debe ser negativa. La expresión

E qFrr

= indica claramente que para que la carga se mueva en sentido contrario al campo, el escalar q debe ser negativo. Otro razonamiento, similar al primero, sería decir que una caga o masa se mueve espontáneamente hacia donde el campo hace trabajo + sobre ella (por eso una piedra se mueve espontáneamente hacia el suelo), por tanto:

)VV (qV qEpW BAcampo,BA −=∆−=∆−=→

Para que campo,BAW → sea + en el caso de que VA<VB es preciso que la carga q sea negativa,

ya que entonces +=−⋅−=→ campo,BAW

RELACION ENTRE CAMPO Y POTENCIAL ELECTROSTÁTICO Si te das cuenta el campo (E

r) es un vector y el potencial (V) es un escalar, así que su correcta

relación es a través de un operador vectorial llamado gradiente, pero eso escapa de la programación de bachillerato, así que nos limitaremos a relacionar el módulo del campo y el potencial. Caso particular de campo uniforme: teniendo en cuenta la definición de ddp,

( ) dErr E r ErdEVV AB

B

A

B

A

BA ⋅=−==•=− ∫rr

Dice que la ddp entre dos puntos, entre los que puede considerarse constante el valor del campo, es igual al valor del campo por la distancia entre esos puntos. A la misma conclusión llegaríamos restando el potencial en el punto A del que tiene en B:

( ) dErr Er

)rr (QK

rr

)rr (QK

r

QK

r

QKVV AB2

A

AB

BA

AB

BABA ⋅=−=

−≅

−=−=−

La relación referida a un punto concreto, teniendo en cuenta las expresiones del módulo de Er

y la del potencial V en un punto:

=⋅==A

A

AAA r

r

r

QK

r

QKV AA r.E

Quiere decir que: si multiplicamos el módulo del campo en un punto A por la distancia del punto a la varga que crea el campo al punto se obtiene el potencial en ese punto. Hay un detalle importante:

• Si en un punto de un campo conocemos el valor de la Intensidad de campo ( gr

o )Er

podremos presumir exactamente lo que ocurrirá cuando coloquemos una masa m o a una carga q en un punto cualquiera (podremos calcular exactamente el módulo de la fuerza

que actuará, su dirección y sentido, ya que g mFrr

= o bien E qFrr

= )

• Sin embargo, si en un punto del campo solamente conocemos el potencial en ese punto no podremos predecir lo que ocurrirá. Cosa distinta sería si conocemos el potencial en dos puntos, entonces sí, porque, tanto la masa como la carga se moverán hacia donde disminuya su energía potencial.

Ejemplo E4A.S2008: El potencial eléctrico en un punto P, creado por una carga Q situada en el origen, es 800 V y el campo eléctrico en P es 400 N C−1. a) Determine el valor de Q y la distancia del punto P al origen. b) Calcule el trabajo que se realiza al desplazar otra carga q = 1,2·10−6 C desde el punto (3, 0) m al punto (0, 3) m. Explique por qué no hay que especificar la trayectoria seguida.

K = 9 ·109 N m2C−2

2P

P r

QKE

⋅= 2P

9

r

Q109400

⋅=

PP r

QKV

⋅= P

9

r

Q109800

⋅= C1078,1Q 7−⋅= ; m2rP =

b) Para calcular el trabajo que tenemos que hacer solo hay que calcular el potencial en el punto A y luego el potencial en el punto B y tener en cuenta que:

)VV(qWW BAcampo,BAnosotros,BA −−=−= →→

Como el punto A y el punto B están a la misma distancia de P, el potencial en ambos es el mismo, y por tanto 0)VV(qW ABnosotros,BA =−=→ . (A la misma conclusión llegamos si

calculamos el trabajo como campo,BAABnosotros,BA WEpEpW →→ −=−= ).

No hay que indicar el camino porque el campo eléctrico es conservativo

FLUJO DE LA INTENSIDAD DE CAMPO A TRAVES DE UNA SUP ERFICIE CERRADA. TEOREMA DE GAUSS El teorema de Gauss no da la expresión del flujo de la Intensidad de campo a través de una superficie cerrada de forma cualquiera. El flujo de E

r a través de un elemento de superficie

dS, de acuerdo con la definición general de flujo, es:

SdEdrr

•=φ

dφ = Flujo a través del elemento dS Ir

= Intensidad de campo que lo atraviesa

Sdr

= vector perpendicular a la superficie y de módulo igual al área del elemento α = ángulo que forman la Intensidad de campo y la normal a la superficie

Supongamos una superficie cerrada de forma esférica, (para mayor sencillez, aunque el resultado es general) y que en su interior encierra una carga q. El flujo a través de un elemento de superficie sería:

SdEdrr

•=φ

Según la definición de producto escalar, y teniendo en cuenta que α=0º

dSEcosdSEd ⋅=α⋅⋅=φ

El flujo a través de toda la superficie se obtiene integrando a toda ella:

ε=π=π⋅===⋅=φ ∫∫∫

qKq4r4

r

qKdS

r

qKdS

r

qKdSE 2

2S

2S

2S

donde hemos tenido en cuenta que la integral de superficie como representa a todos los sumandos elementales de la esfera, su solución será la superficie de ésta, es decir 4πr2 y posteriormente que πε= 4/1K En el caso de que dentro de la superficie hubiera varias cargas, el flujo total sería la suma del debido a cada una de ellas, lo que se conoce como ley de Gauss, y es una de las 4 ecuaciones de Maxwell fundamentales del electromagnetismo:

ε=•=φ ∑

∫iq

SdErr

Es muy importante tener en cuenta que: • Solamente contribuyen al flujo las cargas (o masas en el caso del gravitatorio) que

estén encerradas en el interior de la superficie. • El flujo es independiente de la posición de las cargas en el interior de la superficie,

ya que su expresión no depende de r. • Como puede verse, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada

debido a las cargas que encierra en su interior puede ser positivo o negativo, dependiendo del signo de las cargas, mientras que en el caso del campo gravitatorio siempre era negativo ( Gm4π−=φ ).

Mediante la ley de Gauss podemos calcular muy fácilmente el valor de la intensidad de campo eléctrico creada por una distribución de cargas, siempre que podamos calcular el valor de la superficie gausiana. Ejemplo: Obtener, utilizando el teorema de Gauss, la expresión de la intensidad de campo eléctrico creado por una carga Q a una distancia r de la misma. ¿Qué fuerza actuará sobre una carga q colocada en dicho punto? Por supuesto ya sabemos la expresión que tiene, pero vamos a obtenerla a partir del teorema de Gauss. Dibujamos alrededor de la carga una superficie cerrada que va a ser una esfera cuya distancia a la carga será r. Según la ley de Gauss:

:

ε

=•=φ ∫Q

SdES

rr

Como:

• El vector Er

y el vector Sdr

forman ángulo de 0º • El módulo de E es constante en toda la superficie, porque al ser la superficie

esférica en todos sus puntos dista igual a la carga Q, por tanto podemos sacarlo fuera de la integral y:

ε=∫

QdSE

S

⇒ ε

=π⋅ Qr 4E 2 ⇒

22 r

QK

r

Q

4

1E =

πε=

Si en el punto P colocamos una carga q sobre ella actuará una fuerza dada por:

2r

qQKE qF

⋅==

que es la ley de Coulomb y que como vemos puede demostrarse fácilmente a partir de la ley de Gauss. Procediendo de forma análoga, si la carga Q en lugar de ser puntual hubiese tenido forma esférica el resultado habría sido el mismo, lo que nos indica que es como si

toda la carga de la esfera estuviese concentrada en su centro. Por esa razón cuando medimos las distancias entre dos cargas (o masas) lo hacemos desde centro a centro. Ejemplo ampliación: Calcular el campo eléctrico a una distancia r de un hilo indefinido cargado uniformemente con una densidad lineal de carga λ. La dirección del campo eléctrico creado por el hilo cargado, por razones de simetría, es perpendicular al hilo, por tanto elegiremos como superficie de gauss un cilindro de radio r y una altura h cualquiera.

El teorema de Gauss nos dice que el flujo a través de una superficie cerrada, el cilindro en este caso, es igual a la carga que encierra en su interior dividido por la constante dieléctrica:

ε=•∫

qSdE

S

rr

El flujo a través de todo el cilindro es igual al flujo a través de las tapas más el flujo a través de la envoltura. El flujo de E

r a través de las tapas es nulo, porque como vemos en la

figura Er

y Sdr

forman ángulo de 90º y su producto escalar es nulo porque cos90º=0. Nos queda entonces que el flujo total será el que atraviesa la envoltura lateral del cilindro:

en ese caso Er

y Sdr

tienen la misma dirección. Teniendo en cuenta que el área de la envoltura es hr 2 ⋅π

ε=⋅π⋅=•∫

qhr2ESdE

S

rr ⇒

hr2

qE

⋅⋅πε=

Teniendo en cuenta ahora que λ es la densidad lineal de carga, es decir, la carga por unidad de longitud. La carga que hay encerrada en el cilindro de altura h será hq ⋅λ= y por tanto, sustituyendo nos quedaría que:

r2E

⋅πελ=

Ejemplo ampliación: Obtener la expresión del campo eléctrico creado por una chapa delgada de superficie infinita y que se encuentra cargada con una densidad superficial de carga σ.

Por simetría, la dirección del campo eléctrico es perpendicular a la chapa. Elegimos una superficie gausiana, por ejemplo, cilíndrica como la de la figura, cuyas tapas tienen una superficie igual a A. Como sabemos:

ε=•∫

qSdE

S

rr

Y puesto que como se ve en la figura, la única contribución al flujo es a que tiene lugar a

través de las tapas anterior y posterior, donde Er

y Sdr

tienen la misma dirección, así que:

ε=⋅+⋅ q

AEAE

Teniendo en cuenta ahora que σ es la densidad superficial de carga, es decir, la carga por unidad de área. La carga que hay encerrada en el cilindro será Aq ⋅σ= y por tanto, sustituyendo nos quedaría que:

ε⋅σ=⋅ A

A2E ⇒ ε

σ=2

E

Observa como el valor de la intensidad de campo es el mismo para todos los puntos a ambos lados de la chapa. El resultado también es válido para el caso de que la chapa tenga dimensiones finitas, aunque no valdría en los bordes de la chapa.

Ejemplo ampliación: Calcular el valor del campo eléctrico entre las placas de un condensador plano de superficie A. Un condensador es un dispositivo formado por dos placas (llamadas armaduras) muy próximas, cargadas igualmente pero con cargas de signo contrario. Recordando que la dirección del campo es la que tomaría una carga positiva, podemos dibujar el campo:

Como puedes ver la intensidad de campo eléctrico fuera del condensador es prácticamente nula porque el campo creado por una placa se anula con el que crea la otra armadura. Solo dentro del condensador el campo tiene un valor distinto de cero. Para calcular el campo dentro del condensador elegimos una superficie gausiana como si se tratara de una caja de cerillas que pase por medio de la armadura, como se ve en la figura:

El flujo de E

r a través de todas las caras de la caja de cerillas es nulo salvo de la cara

interior. La explicación es sencilla:

• en las caras superior e inferior es nulo porque Er

y Sdr

formarían ángulo de 90º y su producto escalar es nulo.

• En la cara que pasa por medio de la armadura el flujo es nulo, porque como veremos más adelante el campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo.

• Solo queda la cara que está entre las armaduras, donde Er

y Sdr

tiene la misma dirección.

ε=•∫

qSdE

S

rr ⇒

ε=⋅ q

AE ⇒ A

qE

⋅ε=

El campo eléctrico dentro del condensador no depende de la distancia a las placas, y por tanto tiene el mismo valor en todos los puntos entre ellas (salvo en los bordes). Se dice entonces que es uniforme.

PROPIEDADES DE LA CARGA ELÉCTRICA La carga, como hemos visto, es una magnitud que se introduce para explicar los fenómenos eléctricos. Las propiedades más importantes de la carga son: 1. Hay dos tipos de carga: positiva y negativa. Esta denominación corresponde al físico Benjamín Franklin, que le asignó carga negativa al electrón y positiva al protón, aunque ninguno de ellos tienen nada intrínseco que les haga ser negativo o positivo. Simplemente se les asignó de esa forma. Como sabes, un cuerpo cargado negativamente es aquel que tiene un exceso de electrones, mientras que un cuerpo cargado positivamente es aquel que ha perdido los electrones. Los electrones son los que se ganan o se pierden, pero nunca los protones, ya que si así fuera los elementos dejarían de ser los que son y se transformarían en otros. 2. La carga está cuantificada. Esto quiere decir que no puede tomar cualquier valor, sino que siempre debe ser múltiplo de un valor discreto. Esto es fácil de entender ya que como un cuerpo se carga porque gana o pierde electrones es obvio que su carga siempre será múltiplo entero de la carga del electrón, porque un cuerpo puede ganar dos o tres electrones, pero nunca dos y medio. Dicho de otra forma, la carga del electrón 19106,1 −⋅ Culombios es la carga elemental. 3. La carga se conserva. Quiere decir que no aparece ni desaparece, solamente se traspasa de unos cuerpos a otros. Quiere decir que si un cuerpo tiene 2 electrones de más habrá otro que será quien se los ha cedido. Como ejemplo podemos ver, por ejemplo, la desintegración del uranio 238: El uranio tiene 92 protones y se desintegra emitiendo una partícula alfa, que tiene dos. La conservación de la carga exige que se forme un elemento con 90 protones, como así sucede:

42

23490

23892 ThU α+→

A continuación vamos a describir el experimento de Millikan para determinar la carga del electrón.

Ejemplo: Una gota de aceite cargada eléctricamente y de masa 2,5.10−7 Kgr está situada entre las placas de un condensador plano con las placas paralelas horizontales, de 0,0175 m2 de superficie. Cuando la placa superior tiene una carga de 4,5.10−7 C y la inferior igual, aunque negativa, la gota se mantiene en equilibrio. ¿cuál es su carga? Desprecia las fuerzas viscosas y el empuje. Datos: ε = 8,85.10−12 C2/N.m2

Millikan utilizó un dispositivo como el de la figura. La tapa superior tiene una pequeña abertura por donde se introducen gotas de aceite cargadas, lo que se consigue irradiándolas con rayos X. Las armaduras están conectadas a una pila variable, mediante la cual se puede ajustar la ddp adecuada entre las placas hasta conseguir que la gota quede en equilibrio, lo que se puede ver a través de un visor. La gota de aceite al encontrarse en el campo eléctrico creado entre las placas del condensador estará sometida, si despreciamos el rozamiento y el empuje, al peso y a la fuerza eléctrica que deben ser iguales para que la gota se equilibre.

mgEq =⋅ Teniendo en cuenta que la intensidad de campo eléctrico entre las placas del condensador es S/QE ε= , (donde Q es la carga del condensador y S el área de sus armaduras), sustituyendo nos queda que :

C106,8105,4

0175,01085,810105,2

Q

Smgq 13

7

127−

−

−−

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ε⋅=

El valor de la carga tendría signo menos por deberse a un exceso de electrones. Millikan comprobó que los valores de las cargas eran siempre múltiplos de una carga elemental, la del electrón. Por consiguiente pudo medir la carga eléctrica que posee un electrón. Este valor es: e = 1,602 × 10−19

CONDUCTORES Y ALISLANTES Conductores eléctricos son aquellos cuerpos en los que las cargas (los electrones) pueden moverse libremente. Unos conductores excelentes son los metales, porque en la redes metálicas los electrones de la última capa electrónica no están ligados a ningún átomo en particular sino que pertenecen a todo el metal y pueden moverse libremente por él. Los electrones libres se mueven aleatoriamente como lo hacen las moléculas de un gas contenido en un recipiente. Pero si entre los extremos del conductor establecemos una ddp, en el interior del conductor metálico se establece un campo eléctrico constante y los electrones modifican sus movimientos aleatorios, siendo arrastrados en sentido opuesto al

campo eléctrico Er

porque sobre ellos actúa una fuerza E qFrr

= Por el contrario, cuando en un cuerpo los electrones está muy ligados a sus átomos decimos que se trata de un aislante, sin embargo no existe el aislante perfecto, puesto que siempre podremos establecer una ddp para la cual el campo eléctrico sea suficiente para arrancarlos de los átomos y en consecuencia hacer que se vuelva conductor. Como aclaración mira algunos voltajes que aplicados a aislantes de 1 cm de espesor los volvería conductores:

Mica 300.000 a 2.000.000 V Vidrio 300.000 a 1.500.000 V Aire (a 1 atm) 30.000 V

Además de estos tipos de cuerpos hay otros llamados semiconductores, porque su capacidad para conducir la electricidad es intermedio. Los semiconductores son prácticamente aislantes a bajas temperaturas, pero a medida que aumenta se comportan casi como conductores, aunque sin llegar a tanto. Ejemplos de ellos son el silicio y el germanio. PROPIEDADES DE LOS CONDUCTORES EN EQUILIBRIO Se dice que un conductor está en equilibrio cuando o hay movimiento macroscópico de cargas en él. Las propiedades son:

1. El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo: 0E =r

. En efecto,

ya que de no ser así sobre los electrones actuaría una fuerza E qFrr

= y entonces se moverían, dejando de estar en equilibrio. 2. La carga en el interior de un conductor en equilibrio es nula y se encuentra distribuida en la superficie. En efecto, ya que de acuerdo con el teorema de Gauss, si el campo en el interior es nulo la carga también:

ε=•=φ ∫

qSdE

S

rr ⇒ Si en el interior E=0 ⇒ q=0

3. El campo eléctrico en la superficie del conductor en equilibrio no es nulo, pero es absolutamente necesario que su dirección sea normal al conductor o de lo contrario la componente tangencial del mismo haría que se moviesen las cargas dejando de estar en equilibrio.

4. Todo el conductor en equilibrio es una superficie equipotencial: V=cte. En efecto, ya que teniendo en cuenta la relación entre el campo eléctrico y el potencial:

∫ •=−B

campo,A

BA rdEVVrr

⇒ como rdErr

⊥ ⇒ BA VV =

como Er

es normal a la superficie, entonces rdErr

⊥ ello implica su producto escalar sea cero y que por tanto BA VV = lo que quiere decir que V=cte, es decir que en todo el conductor el potencial es el mismo.

CONCEPTO DE CAMPO MAGNÉTICO. EXPERIENCIA DE OERSTED Así como una carga crea a su alrededor un campo eléctrico definido por E

r, un imán o una

corriente eléctrica crean a su alrededor un campo magnético que se puede poner de manifiesto con una brújula. El vector intensidad de campo magnético B

r también llamado inducción magnética se

puede representar por unas líneas de inducción de la misma forma que la intensidad de campo eléctrico se representaba por las líneas de fuerza. Las líneas de inducción magnética se dibujan de modo que:

• La tangente a ellas en cualquier punto nos de la dirección de Br

• El número de ellas sea proporcional al valor de B

r

• El sentido de las líneas es aquel en el que movería un polo norte ideal (ideal, puesto que como sabemos los polos no pueden separarse y si partimos un minan obtendríamos dos imanes)

Las líneas de inducción de un imán recto presentan el aspecto de la figura y son muy fáciles de reproducir sin más que espolvorear unas limaduras de hierro sobre el imán

Si colocásemos una brújula dentro del campo magnético del imán esta se orientaría en la dirección de la tangente a las líneas, de modo que la línea le entre por el sur y le salga por el norte:

Pero ya hemos dicho que el imán no es el único capaz de producir un campo magnético. Toda carga que se encuentre en movimiento crea a su alrededor un campo magnético. (Si está en reposo crea un campo eléctrico, pero si se mueve, además crea otro magnético) El físico danés Hans Christian Oersted puso de manifiesto con su famoso experimento que una corriente eléctrica (electrones en movimiento) era capaz de mover una brújula y por tanto que crea un campo magnético a su alrededor.

Si dejamos que la brújula se oriente libremente y luego colocamos un hilo conductor paralelo a la aguja veremos que no ocurre nada mientras el circuito esté abierto.

Una vez que cerramos el circuito y por el hilo circula corriente, la brújula tiende a pone perpendicular al hilo conductor y tanto más cuando mayor es la intensidad de la corriente que circula por el hilo

Si cambiamos la pila de polaridad e invertimos el sentido de la corriente, la brújula tiende a seguir colocándose perpendicular al hilo, pero cambia los polos.

Las líneas de inducción magnética debidas a una corriente rectilínea son, como puede comprobarse experimentalmente, circunferencias concéntricas situadas en el plano perpendicular al conductor y cuyo sentido viene dado por la regla del tornillo que gire para avanzar en el sentido de la corriente, o bien por la regla de la mano derecha: la líneas tienen el sentido en que cierra la mano derecha y el pulgar nos daría el sentido de la corriente.

FLUJO DE CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE GAUSS El flujo de B

r a través de una superficie cualquiera representa el número de líneas de

campo que atraviesan dicha superficie y se define, de acuerdo con la definición general de flujo, como:

∫ •=φS

B SdBrr

dφ = Flujo a través del elemento dS Br

= Intensidad de campo que lo atraviesa

Sdr

= vector perpendicular a la superficie y de módulo igual al área del elemento α = ángulo que forman la Intensidad de campo y la normal a la superficie

El flujo de a través de una superficie cerrada es nulo (Ley de gauss para el magnetismo)

0SdBB =•=φ ∫rr

Ello es consecuencia de que las líneas de campo magnético son cerradas, como hemos visto en los ejemplos anteriores, y pone de manifiesto que no existen polos magnéticos aislados. El flujo de campo magnético se mide en weber (Wb=T/m2) Si comparamos la ley de Gauss para el campo magnético y para el campo eléctrico, que son dos de las 4 ecuaciones fundamentales del electromagnetismo de Maxwell:

ε=•∫

qSdErr

0SdB =•∫rr

Consecuencias:

• El flujo de Er

a través de una superficie cerrada que encierra una carga q no es nulo indica la existencia de cargas libres y que sus líneas de campo son abiertas (fuentes para las positivas y sumideros para las negativas)

• El flujo de Br

a través de una superficie cerrada es nulo indica que no existen polos magnéticos aislados y que las líneas de campo se cierran sobre sí mismas.

CIRCULACIÓN DE CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE AMPERE La circulación de B

r a través de una línea cerrada por la que circula una corriente eléctrica

de intensidad I , constante, es:

IldB oµ=•∫rr

A esta expresión se la conoce como Ley de Ampere, y con una pequeña modificación, que la hace útil para el caso de que el campo eléctrico varíe con el tiempo, constituye la tercera ley de Maxwell del electromagnetismo.

oµ es una constante para cada medio, llamada permeabilidad magnética, que para

el vacío vale A/mT104 7o ⋅⋅π=µ −

I es la intensidad de la corriente que atraviesa la línea cerrada

ldr

es el vector desplazamiento (aunque aquí se haya preferido llamar ldr

en lugar de rd

r como se hace normalmente). Por tanto es un vector tangente a la trayectoria.

Consecuencias de la Ley de Ampere:

• Como muestra la Ley de Ampere, la circulación de Br

a través de una línea cerrada no es necesariamente nula y por tanto el campo magnético no es un campo conservativo

• Puesto que Br

no es un campo conservativo no tiene ningún sentido definir una energía potencial magnética, ni un potencial magnético.

Acuérdate que, por el contrario, en los campos gravitatorio y eléctrico la circulación de la intensidad de campo a lo largo de una trayectoria cerrada era siempre nula por tratarse de campos conservativos. Resumiendo:

0ldE =•∫rr

IldB oµ=•∫rr

La ley de Ampere es muy útil para calcular la expresión del campo magnético producido por distribuciones de corriente en las que exista cierta simetría como vamos a ver en los siguientes ejemplos.

CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILINEA Vamos a calcular la expresión del campo magnético a una distancia r creado por un conductor rectilíneo e indefinido por el que circula una corriente I. Ya sabemos que un conductor por el que circula una corriente I crea un campo magnético a su alrededor y que las líneas de campo son circunferencias concéntricas situadas en el plano perpendicular al conductor.

Elegimos entonces como trayectoria de integración una circunferencia de radio r, que por tanto coincide con la línea de campo, y en consecuencia los vectores B

r (tangente a la

línea de campo) y ldr

(tangente a la trayectoria) tendrán siempre la misma dirección.

Aplicando la ley de Ampere y teniendo en cuenta que Br

y ldr

tienen siempre la misma dirección:

IldB oµ=•∫rr

I0cosdlB oµ=⋅⋅∫

Como dada la simetría Br

es constante ya que a lo largo de toda la trayectoria se encuentra a la misma distancia del hilo conductor podemos sacarlo fuera de la integral, así que:

IdlB oµ=∫

Como la integral a lo largo de todo el camino no es más que la longitud de la circunferencia: r2 ⋅π

Ir2B oµ=⋅π⋅

de donde:

r2

IB o

⋅πµ

=

Fíjate que en este caso, lo mismo que cuando aplicando la ley de Gauss calculamos el valor del campo eléctrico creado por un alambre cargado con densidad lineal de carga λ obtuvimos la expresión

r2E

⋅πελ=

en ambas expresiones aparecen constantes características de los campos en cuestión y que ambos disminuyen con la distancia, pero además muestran que E es debido a la carga λ del alambre mientras que B es debido a la corriente I que circula por él. CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA ESPIRA CIRCULAR La dirección del campo magnético creado por una espira circular por la que circula una corriente I es perpendicular al plano de la espira y su sentido está determinado por el avance de un sacacorchos que gire como la espira o la mano derecha al cerrar:

El campo magnético en el centro de la espira de radio R por la que circula una corriente I es:

R2

IB oµ

=

Un solenoide o bobina es un conjunto de espiras circulares paralelas que pueden ser recorridas por una corriente. El campo magnético en su interior es prácticamente uniforme y muy intenso, similar al producido por un imán recto. Si además en su interior colocamos un núcleo de hierro conseguimos concentrar las líneas de campo en su interior y es lo que se llama un electroimán.

El campo magnético en el interior de un solenoide que tiene N espiras y una longitud L, por la que circula una corriente I es:

L

INB o ⋅µ

=

Esta expresión se deduce fácilmente a partir de la ley de Ampere si elegimos una línea cerrada que pase por el interior de la bobina:

Teniendo en cuenta que en el exterior del solenoide el campo es prácticamente nulo y que

en las caras verticales Br

y ldr

forman 90º y su producto escalar es nulo, resulta que el único tramo por el que circula corriente es por la línea interior que tiene una longitud L igual al solenoide.

IldB oµ=•∫rr

IdlB oµ=∫ ⇒ ILB oµ=⋅

teniendo en cuenta que como tiene N espiras la intensidad que atraviesa la línea cerrada (en verde) es IN ⋅ finalmente nos queda que:

L

INB o ⋅µ

=

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO: LEY DE LORENTZ Supongamos una región del espacio donde exista un campo magnético B

r, si lanzamos una

carga q con una velocidad vr

podemos observar experimentalmente que:

1. Si la carga se mueve en la dirección del campo magnético Br

, sobre ella no actúa ninguna fuerza.

2. Para cualquier otra dirección, la carga se ve sometida a una fuerza Fr

, llamada fuerza de Lorentz, cuya dirección es perpendicular al plano que forman la velocidad de la

carga y Br

3. El módulo de la fuerza es proporcional al valor de la carga q, a su velocidad v

r y al

valor del campo magnético Br

Podemos resumir las observaciones escribiendo que:

Bv qFrrr

∧=

Esta expresión es la análoga a la que teníamos para el campo eléctrico E qFrr

= aunque como vemos en el caso del campos magnético para que sobre la carga actúe una fuerza es

necesario que esté en movimiento y que vr

y Br

no formen 90º.

Para recordar la dirección y sentido de los tres vectores que aparecen en la expresión de Lorentz utilizaremos la regla de la mano izquierda (es la única regla para la que se utiliza esta mano), que nos da la dirección de la fuerza que actúa sobre una carga en movimiento en el seno de un campo magnético:

En el caso de tratarse de una carga negativa, obviamente, la fuerza tendrá sentido opuesto al dado por esta regla. La unidad de campo magnético en el SI es la Tesla, o bien el Weber/m2. Como puede deducirse fácilmente de la expresión de Lorentz, una tesla es:

mA

N

s

mC

NT

⋅==

En el caso de que la carga se mueva en el seno de un campo eléctrico y de un campo magnético, evidentemente, la fuerza que actuará sobre ella será la suma vectorial de la que cada campo ejerce por separado, es decir que:

Bv qE qFrrrr

∧+= MOVIMIENTOS DE CARGAS EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORM E. Según la dirección del movimiento de la carga respecto del campo magnético se pueden dar tres casos: 1. La carga se mueva con una velocidad paralela al campo magnético: En este caso sobre la carga no actuará ninguna fuerza debida al campo magnético, ya que el módulo de la fuerza de Lorentz 0senBv qF =α⋅= En efecto es cero, tanto si tienen el mismo sentido, donde

0=α , como si tienen sentidos opuestos, donde 180=α . En ambos casos el seno es cero. 2. La carga se mueva perpendicularmente al campo magnético: En este supuesto simplemente tenemos el movimiento de un cuerpo (la carga en éste caso) que se mueve bajo la acción de una fuerza normal a su velocidad y por tanto, como sabemos, la aceleración normal que es la responsable de los cambios en dirección de la velocidad, dará lugar a un movimiento circular uniforme.

Por tanto, estamos ante la misma situación que cuando una piedra da vueltas en un plano horizontal, o un coche toma una curva, o un satélite gira alrededor de la tierra o un electrón gira alrededor del núcleo como en el modelo de Bohr. La única diferencia es que el origen de la fuerza normal en el primer caso es debida a la tensión de la cuerda, en el segundo a la fuerza de rozamiento, en el tercero a la fuerza de atracción gravitatoria o eléctrica y en este caso la fuerza la fuerza de Lorentz.

Desde el punto de vista de un observador inercial, teniendo en cuenta que la fuerza normal o centrípeta, en este caso es la fuerza magnética de Lorentz, el radio de la trayectoria será: (Desde el punto de vista de un observador no inercial, que se mueva con la carga, el resultado habría sido exactamente el mismo, aunque en este caso habríamos tenido que introducir la fuerza centrífuga como fuerza de inercial: Fmag=Fcentríf)

Fmag=Fnormal

r T

4 mr m

r

vmB v q

2

22

2 π=ω==

el radio B q

v mr = (igualando 1 y 2)

el periodo B q

m 2T

π= (igualando 1 y 4)

El mismo razonamiento para el campo gravitatorio: Fgrav=Fnormal

r T

4 mr m

r

vm

r

mMG

2

22

2

2

π=ω==⋅

2v

GMr = o bien

r

GMvorbital =

32

2 r GM

4T

π= (3ª ley de Kepler 32 r kT = )

Observa que aunque las dos situaciones (y el razonamiento) son prácticamente iguales los resultados obtenidos difieren muchísimo:

• Para el caso de un satélite que gire alrededor de la tierra, su radio es independiente de la masa del satélite, mientras que en el caso de una carga que gira en el seno un campo magnético el radio es proporcional a la masa. Precisamente en esto se basa el espectrógrafo de masas.

• Para el caso de un satélite el periodo de revolución depende del radio (es la tercera ley de Kepler) mientras que en el caso de una carga que gira en el seno un campo magnético el periodo es constante (solo depende de la masa y carga de la partícula y del valor del campo). Precisamente en esto se basa el funcionamiento del ciclotrón.

3. La carga se mueva con una velocidad que forma un ángulo α con el campo magnético: En este caso el vector velocidad siempre podrá descomponerse en dos vectores:

• Una componente de la velocidad perpendicular al campo magnético, que dará lugar a que gire describiendo un movimiento circular uniforme

• Otra componente de la velocidad en la dirección del campo magnético que, como dijimos en el apartado primero, le hará avanzar sin desviarse.

• El resultado de ambos movimientos es que la partícula describirá una especie de trayectoria helicoidal similar al borde de un tornillo.

Vamos a descomponer la velocidad de la partícula en un sistema de referencia como el de la figura, en el que B

r lleva la dirección y sentido del eje X:

• α= cosvv x Tiene la dirección y sentido de Br

por tanto esta componente no origina ninguna fuerza magnética. Simplemente hace que la partícula avance, con ese velocidad constante, a lo largo del eje X)

• α= senvv y Esta componente es perpendicular a Br

y por tanto será la

responsable de que aparezca una fuerza magnética normal a ella y que evidentemente provocará un giro. El radio será:

Bv qR

vm y

2y = ⇒

B q

senvmR

α⋅=

Y el periodo de será:

B q

m 2

v

R 2T

y

π=π=

fíjate que la expresión del periodo es la misma que obtuvimos antes y que por tanto

no depende el ángulo que forman vr

y Br

• El resultado de componer los dos movimientos es una hélice, ya que como el periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta la partícula, en ese mismo tiempo la componente xv le ha hecho avanzar un espacio:

B q

m 2cosvTvs x

πα==

Ejemplo: a) (Apartado a de E4B.S2013) Una partícula con carga +q se encuentra en reposo en el punto (0,0). Si aplicamos un campo eléctrico uniforme E en el sentido positivo del eje OY, describa el movimiento seguido por la partícula y la transformación de energía que tiene lugar a lo largo del mismo. b) Una masa m se encuentra en reposo en el punto (0,0) de un SR. Si se deja en libertad donde hay un campo gravitatorio g, describa el movimiento seguido por la partícula y la transformación de energía que tiene lugar a lo largo del mismo. c) Una carga +q se encuentra en reposo en el punto (0,0). Si se aplica un campo magnético perpendicular al plano del papel, describa el movimiento de la partícula. d) (Similar al apartado a de E1B.S2013) Una carga +q se mueve con una velocidad v hacia la parte positiva el eje OY. Si se aplica un campo magnético perpendicular al plano del papel, describa el movimiento de la partícula. ¿Varía la energía cinética de la partícula? ¿Y la energía potencial? e) Una carga +q se mueve con una velocidad v en línea recta y penetra en una región en la que existen un campo eléctrico E y un campo magnético B, perpendiculares entre sí y perpendiculares a la velocidad inicial de la partícula. Haga un esquema y razone qué condición debe cumplirse para que la partícula continúe su trayectoria rectilínea. En primer lugar lee muy, muy bien el enunciado hasta que comprendas claramente las similitudes y diferencias entre los distintos apartados.

a) Sobre la carga aparecerá una fuerza E qFrr

= . Puesto que la carga es positiva, la fuerza tendrá la misma dirección y también el mismo sentido que el campo E

r. Por otro lado, si el campo es uniforme, la

fuerza también lo será en módulo y dirección (siempre vertical hacia arriba) y consecuentemente la aceleración que provocará. Por tanto la carga se moverá verticalmente hacia arriba con un

movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado ( a mE qFrrr

==

de donde m/E qa rr = ).

Si la única fuerza sobre la partícula es la debida al campo eléctrico se conservará la energía mecánica: 0EpEc =∆+∆ . Puesto que la partícula tiene un movimiento uniformemente acelerado su velocidad irá aumentando y consecuentemente su energía cinética. La conservación de la energía exige que la energía potencial disminuya. (Es lo esperado, ya que una partícula, ya sea una masa, o una carga, con independencia de su signo, siempre se mueve de forma espontánea hacia donde disminuya la energía potencial. No obstante, como VcEp ∆⋅=∆ las masas y las cargas positivas también se mueven espontáneamente hacia donde disminuya el potencial, pero las cargas negativas se mueven hacia potenciales crecientes ya que en la expresión anterior el valor del testigo es un número negativo.)

b) Este podría ser el caso de una piedra que dejamos caer libremente. Seguramente dirás, con razón, que tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo, y que su energía cinética irá aumentando a la vez que disminuye su energía potencial. Sin embargo, posiblemente pases por alto que este apartado es idéntico al anterior, con la salvedad de que ahora tenemos una masa en lugar de una carga,

que la intensidad de campo ahora es gr

en lugar de Er

y que en ningún momento nos dicen que la intensidad de campo vaya para abajo (es más, como no nos predeterminan la dirección y sentido de g

r, en el esquema la vamos a pintar para arriba a

cosa hecha). Todo el razonamiento sería exactamente el mismo: En este caso a mg mFrrr

== de donde ga

rr= lo que quiere decir que el cuerpo se mueve sometido a una aceleración igual

a la intensidad de campo gravitatorio. Si la masa que crea el campo fuese la tierra (cosa que el enunciado no dice) estaríamos frente a un cuerpo en caída libre que cae con una aceleración igual a la gravedad. c) En el apartado a hemos visto que al dejar en libertad una carga, inicialmente en reposo, en el seno de un campo eléctrico se mueve en la dirección del campo (en el mismo sentido si es positiva o el contrario si fuese negativa) … No obstante, si dejamos en libertad una carga, inicialmente en reposo, en el seno de un campo magnético la carga continua igual, ya que la fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga (fuerza de Lorentz

Bv qFrrr

∧= ) sería nula y de acuerdo con la primera ley de Newton la carga mantendría su estado. d1) Si la carga se mueve en el seno de un campo magnético sobre ella

aparecerá la fuerza de Lorentz Bv qFrrr

∧= . Al tratarse de un producto vectorial de dos vectores, la fuerza será un vector perpendicular al plano

que forman vr

y Br

, su sentido como el de un tornillo que gire como lo

haría vr

para coincidir con Br

por el camino más corto y su módulo

Bv qsen Bv qF =α= (porque vr

y Br

forman 90º)

Tanto si vr

y Br

forman ángulo de 90º como otro cualquiera (siempre que no sea 0=α porque en tal caso F=0) la fuerza tendrá el módulo máximo o más pequeño, pero siempre será un vector perpendicular a la velocidad, es decir, se trata de una fuerza normal: Normal

2mag Fr/v m Bv qF === . Eso

quiere decir que la velocidad de la carga no variará en módulo y que solamente variará en dirección, haciendo que describa una circunferencia (porque la aceleración normal es constante m/Bv qr/va 2

Normal == ).

d2) Puesto que la fuerza de Lórentz es normal a la velocidad no provocará cambios en su módulo y en consecuencia su energía cinética permanecerá constante a lo largo de toda la trayectoria. A la misma conclusión llegamos si tenemos en cuenta que el trabajo que hace la fuerza magnética para llevar la carga desde un punto A hasta otro punto B a lo largo de esa trayectoria circular es nulo. (porque magF

r y rd

r(que es tangente a la trayectoria)

son vectores perpendiculares y su producto escalar es nulo). Y como, de acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo realizado por la fuerza F para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos: 0EcW BA =∆=→ d3) El campo magnético no es un campo conservativo ya que la circulación del vector intensidad de campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada no es nulo, sino que

IldB oµ=•∫rr

que es la ley de Ampere. Por tanto la Energía potencial, que es un concepto

asociado exclusivamente a los campos de fuerzas conservativos, aquí no existe. e) Supongamos que la carga se mueve perpendicularmente al campo magnético tal como se ha dibujado en el apartado d1). En tal caso el campo eléctrico debería tener la misma dirección que la fuerza de Lorentz y el sentido opuesto para que la fuerza eléctrica compense a la magnética: FElec=Fmag ⇒ qE=qvB ⇒ v=E/B Ejemplo E5A.S2008: En una región en la que existe un campo magnético uniforme de 0,8 T, se inyecta un protón con una energía cinética de 0,2 MeV, moviéndose perpendicularmente al campo. a) Haga un esquema en el que se representen el campo, la fuerza sobre el protón y la trayectoria seguida por éste y calcule el valor de dicha fuerza. b) Si se duplicara la energía cinética del protón, ¿en qué forma variaría su trayectoria?

Razone la respuesta. Datos: mp = 1,67·10−27 kg ; e = 1,6·10−19

C ; 1 eV = 1,6·10−19 J

Imaginemos que la dirección del campo magnético es perpendicular al papel y saliendo. Si el protón se mueve hacia la derecha, aplicando la regla de la mano izquierda, la fuerza estará en el plano del papel, tal como se indica en la figura.

En primer lugar vamos a calcular la velocidad del protón que tiene una energía cinética de 0,2 MeV = 0,2.106 eV (para ello tendremos en cuenta que Julios196,1eV1 19−⋅= )

2vm2

1Ec =

s/m1019,61067,1

)196,1102,0(2

m

Ec2v 6

27

196

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅== −

−

el módulo de la fuerza que el campo magnético ejerce sobre el protón es:

Bvq90senBvqF =⋅=

New1092,78,01019,6106,1F 13619 −− ⋅=⋅⋅⋅⋅=

El módulo de la fuerza es constante y siempre en la dirección normal a la velocidad del protón, por esa razón describirá un movimiento circular uniforme.

b) Si se duplica la energía cinética, su nueva velocidad será:

2vm2

1Ec =

2

21

221

´vm

vm

Ec2

Ec = ⇒ 2v´v =

2´vm2

1Ec2´Ec ==

Como el radio de la trayectoria que viene dado por:

BvqR

vmF

2

== ⇒ qB

vmR =

El nuevo valor del radio de la trayectoria, teniendo en cuenta la nueva velocidad, sería:

qB

2vm

qB

´vm´R == ⇒ 2R´R =

Como vemos, aumenta el radio de la trayectoria en 2

Ejemplo E6B.S2008:

Un electrón entra con velocidad j10vrr = ms−1

en una región en la que existen un

campo eléctrico, k20Err

= N C−1, y un campo magnético, iBB o

rr= T.

a) Dibuje las fuerzas que actúan sobre el electrón en el instante en que entra en la región donde existen los campos eléctrico y magnético y explique las características del movimiento del electrón. b) Calcule el valor de B0 para que el movimiento del electrón sea rectilíneo y uniforme.

El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre el electrón EqFelec

rr= que como puede verse en

la expresión tiene la misma dirección del campo, aunque en este caso al tratarse de un electrón tiene sentido opuesto, ya que q es una magnitud negativa. Como se ha dibujado en la figura es un vector en dirección k

r−

El campo magnético ejerce una fuerza sobre el electrón BvqFrrr

∧= que como puede verse será (de acuerdo con la definición de producto vectorial) perpendicular al plano formado

por vr

y Br

, es decir tendrá dirección del eje Z. Su sentido el de un sacacorchos que gire

como vr

para coincidir con Br

por el camino mas corto, aunque en este caso al tratarse de

un electrón tiene sentido opuesto, así que tendrá dirección y sentido de kr

. (Al mismo resultado llegaríamos aplicado la regla de la mano izquierda) La fuerza resultante sobre el electrón será la suma vectorial de ambas fuerzas, y como tienen la misma dirección y sentidos opuestos simplemente la obtendremos restando sus módulos. Si las dos fuerzas no son iguales, como se dice en el apartado b, puede ocurrir: • Que la fuerza magnética sea mayor, en cuyo

caso como esta fuerza siempre es normal a la velocidad tenderá a describir un movimiento circular en el plano ZY.

• Si la fuerza eléctrica es mayor, la partícula

describirá una parábola en el plano ZY, parecido a cuando se lanza una piedra horizontalmente.

BvqqER

vmF

2

−== ⇒ BvqqE

vmR

2

−=

b) Como ya hemos razonado anteriormente, el electrón permanecerá en movimiento rectilíneo y uniforme, cuando de acuerdo con la primera ley de Newton sobre él no actúe ninguna fuerza, es decir, cuando la resultante de las dos que hay sea nula, por tanto, como tienen la misma dirección y sentidos opuestos, basta con que sus módulos sean iguales:

mangelec FF = ⇒ BvqqE = ⇒ Teslas210

20

v

EB ===

APLICACIONES DEL MOVIMIENTO DE CARGAS EN UN CAMPO MAGNETICO

De acuerdo con la ley de Lorentz, BvqFrrr

∧= la fuerza magnética siempre es perpendicular

al plano que forman los vectores vr

y Br

, por tanto la fuerza es siempre perpendicular a la trayectoria de la partícula.

El trabajo que hace la fuerza magnética para llevar la carga desde el punto A hasta el punto B, de acuerdo con la definición de trabajo, es nulo porque es el producto escalar de dos vectores perpendiculares:

∫ =•=→

B

A

magmag.camp,BA 0rdFWrr

De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética o teorema de las fuerzas vivas, como el trabajo realizado por la fuerza F para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos

EcW BA ∆=→

Si el trabajo es cero, la energía cinética no varía y por tanto la velocidad en toda la trayectoria es la misma (su módulo, porque en dirección sí que varía).

Ciclotrón: El ciclotrón es un acelerador de partículas ideado en 1930 por Lawrence. Consiste en dos piezas huecas de forma semicircular llamadas “DES”, por su forma, que están en el seno de un campo magnético perpendicular y entre las que se establece una ddp que va alternando de polos.

Su funcionamiento está basado en que, como hemos visto, el periodo de rotación de una partícula cargada en el interior de un campo magnético uniforme es independiente del radio y de la velocidad:

qB

m 2

v

R2T

π=π=

El funcionamiento es el siguiente: • Una vez que la fuente emite la partícula cargada, se acelerada hacia la D1 por un

campo eléctrico que se crea estableciendo una ddp entre D1 y D2. ( dEV ⋅= ) • La ddp entre las DES debe tener exactamente la misma frecuencia que el

movimiento circular que describe la partícula, es decir T/1=ν • Al llegar a la D1, la partícula ha alcanzado una velocidad v1. De acuerdo en el

teorema de las fuerzas vivas: EcqVWelectrico ∆==

• Una vez que entra en la D1, por efecto del campo magnético describe un movimiento

circular. Dentro de la DE está un tiempo igual a la mitad del periodo: T/2 • Cuando sale de D1 lleva la misma velocidad v1, con que entró, pero en este momento

cambia la polaridad de la ddp y ahora la partícula se acelera nuevamente por efecto del campo eléctrico hasta la D2, a la que llega con una velocidad v2 mayor.

• Nuevamente describe una trayectoria circular, tardando el mismo tiempo, T/2, y sale de D2 con la misma velocidad con que entró.

• Otra vez cambia la polaridad de la ddp y vuelve a acelerarse, llegando a la D1 con una velocidad v3 mayor, y así sucesivamente. Cada media vuelta va aumentando la velocidad, por efecto del campo eléctrico entre las DES, hasta que finalmente sale del ciclotrón.

• La velocidad de salida, que depende del radio del ciclotrón es:

BvqR

vmF

2

== ⇒ m

qBRv =

Espectrómetro de masas: Es un dispositivo utilizado para medir la masa de los iones o partículas cargadas, que se basa en que el radio de la trayectoria seguida por la carga al entrar en el campo magnético es directamente proporcional a su masa. Como ya hemos visto:

BvqR

vmF

2

== ⇒ qB

vmR =

La velocidad de entrada de los iones se controla fácilmente mediante un campo eléctrico perpendicular al campo magnético, es lo que se llama filtro de velocidades. Ya hemos visto anteriormente que en este caso, en el que los campos son perpendiculares, no se desviarán aquellos iones para lo que se cumpla que:

mangelec FF = ⇒ BvqqE = ⇒ B

Ev =

Los iones que tienen la velocidad v entrarán por la rendija (el resto los desviará uno u otro campo y no entrarán). Ahora como solo están sometidos al campo magnético describirán una trayectoria circular hasta chocar en la película fotográfica. Según su masa describirán una trayectoria de más o menos radio:

qB

vmR 1

1 = qB

vmR 2

2 = qB

vmR 3

3 =

En el caso de desconocer la masa y la carga de la partícula, como mínimo, siempre será posible medir la relación entre la masa y la carga, ya que:

Rv

B

q

m =

Ejemplo: En un espectrógrafo de masas los campos eléctrico y magnético del filtro de velocidades valen respectivamente E=120.000 N/C y B=0,2 T. En estas condiciones pasa un protón. a) Cual es la velocidad que posee el protón b) Al penetrar en la región donde solo existe el campo magnético describe una trayectoria circular de 3,13 cm de radio ¿Cuál es la masa del protón? Datos: C106,1e 19−⋅= a) En primer lugar vamos a ver como un campo eléctrico y otro magnético perpendiculares pueden funcionar como un auténtico filtro de partículas que tienen una determinada velocidad:

De solo existir el campo magnético la partícula describiría una trayectoria circular por estar sometida a una fuerza normal a su velocidad. Ten en cuanta que la fuerza magnética “siempre” es normal a la velocidad y por tanto da lugar a una aceleración normal responsable del cambio de dirección de la velocidad y de que la trayectoria sea circular.

De solo existir el campo eléctrico la partícula describiría una parábola, ya que estaría sometida a una fuerza siempre en la misma dirección (de la placa positiva a la negativa). La situación será exactamente igual a cuando se lanza una piedra horizontalmente. Tendríamos una componente de la velocidad que le hace avanzar uniformemente y otra componente perpendicular, que en este caso en lugar de ser debida a la gravedad sería debida al campo eléctrico. La partícula no se desvía cuando ambas fuerzas son iguales en módulo, ya que tienen la misma dirección y sentidos opuestos:

mangelec FF = ⇒ B v qE q = ⇒ s/m1062,0

000.120

B

Ev 5⋅===

b) Una vez que la partícula entra en la región donde solo existe el campo magnético perpendicular a su velocidad comenzará a describir un movimiento circular uniforme. Como en este caso la fuerza normal es de origen magnético:

B v qR

vmF

2

== ⇒ Kg1067,1106

0313,02,0106,1

v

R B qm 27

5

19−

−

⋅=⋅

⋅⋅⋅==

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR. LEY de LAPLACE Cuando por un hilo conductor circula una corriente, si se encuentra en un campo magnético, sobre él aparecerá una fuerza que es simplemente la suma de las fuerzas que el campo magnético ejerce sobre cada una de las cargas que se mueven y que constituyen la corriente. Supongamos que el hilo tiene una sección A, una longitud L y que por él circula una corriente I.

Si cada carga elemental tiene un valor q y llamamos n al número de cargas por unidad de volumen, la carga total Q que circulará por el conductor será:

LA qnQ ⋅⋅⋅= Si llamamos v a la velocidad con que se mueven las cargas en el interior del conductor, también llamada velocidad de arrastre, y tenemos en cuenta que, por definición, la intensidad de la corriente es igual a la carga total que atraviesa una sección de conductor en la unidad de tiempo:

vAnqt

L Anq

t

QI ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==

Como empezamos diciendo, la fuerza magnética sobre el conductor es la suma de la que el campo ejerce sobre cada carga en movimiento:

Por tanto si la carga total que circula por el conductor es Q la fuerza ejercida por el campo magnético B

r sobre el conductor será:

BvLAnqBvQFrrrrr

∧⋅⋅⋅⋅=∧⋅=

y teniendo en cuenta que vAnqI ⋅⋅⋅= y que un vector se puede escribir como producto

de su módulo por un vector unitario en su dirección y sentido (en este caso vuvvrr ⋅= )

finalmente, nos queda que:

BuvLAnqF v

rrr∧⋅⋅⋅⋅⋅=

BuLIF v

rrr∧⋅⋅=

evidentemente vu

r es un vector unitario en la dirección y sentido en que se mueven las

cargas positivas. Para el caso de un conductor rectilíneo, esta dirección coincide con la del hilo conductor, así que la expresión, llamada Ley de Laplace, se escribe como:

BLIFrrr

∧⋅= La dirección y sentido de la fuerza puede obtenerse con la misma regla de la mano izquierda, solo que cambiando el dedo que nos indica la velocidad de la carga positiva por el sentido de la intensidad de corriente, que obviamente viene a ser lo mismo. Ejemplo: Un alambre de 0,5m de longitud y 10 g de masa está suspendido mediante unos alambres flexibles, como se indica en la figura, encontrándose en el seno de un campo magnético de 0,4 T. ¿Cuál debe ser la magnitud y dirección de la corriente que se requiere para eliminar la tensión en los alambres que lo sostienen?

Para eliminar la tensión de los resortes que sostienen el conductor es necesario que la fuerza que el campo hace sobre el conductor compense el peso del mismo. Por tanto es necesario que dicha fuerza sea vertical y hacia arriba, con lo que aplicando la regla de la mano izquierda, resulta que la corriente por el hilo debe circular desde A hasta B, tal como se muestra en la figura.

B L Ig m = ⇒ Amp5,04,05,0

1001,0

B L

g mI =

⋅⋅==

MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA EN UN CAMPO MAGNÉTICO Imaginemos una espira cuadrada en el seno de un campo magnético, tal como se muestra en la figura:

El lado b

• Inicialmente no ejerce ninguna fuerza porque la corriente y el campo tienen la misma dirección, 0=α , así que su producto escalar es nulo.

• Cuando la espira gire un ángulo 0≠α entonces la fuerza de los lados b ya no es nula, porque valdrá α= IbBsenFb , pero como puede verse en la figura la fuerza de

ambos lados tienen la misma dirección y sentidos opuestos, por lo que se anularían. (Fíjate que esa fuerza varía en módulo, porque depende del ángulo α que forman la corriente y el campo, pero siempre tiene la misma dirección vertical.

El lado a

• En todo momento la intensidad de la corriente y el campo magnético forman 90º, así que la fuerza siempre tiene su valor máximo: IaBFa =

• En todo momento la fuerza es perpendicular al hilo conductor, y como puede verse en la figura, forman un par de fuerza que tiene de hacer girar a la espira con un momento igual a:

ISBbIaBbFM a =⋅=⋅=

donde se ha tenido en cuenta que el área de la espira es abS=

En forma vectorial, el momento sobre la espira es:

BSIMrrr

∧=

Teniendo en cuenta que se llama momento magnético de la espira: SImrr

= podemos poner que:

BmMrrr

∧= Una aplicación importante la podemos encontrar en el galvanómetro, que es un aparato que se utiliza para medir intensidades de corriente:

Como hemos visto el momento que hace girar a la espira es proporcional a la intensidad de la corriente que circula por la espira (o por la bobina formada de N espiras) ISBNM ⋅= , de manera que graduando la escala podemos saber la intensidad que circula en función del ángulo que gira la bobina. La bobina tiene acoplado a su eje de giro un resorte que la mantiene en el cero cuando no hay corriente y cuando por ella circula corriente gira hasta que el momento del par debido a la fuerza magnética iguala al momento del par del resorte. FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS CORRIENTES RECTILÍNEAS INDEFINIDAS Ya hemos visto que el campo magnético creado por un conductor rectilíneo, por el que circula una corriente I a una distancia r es:

r 2

IB o

πµ

=

Si cerca de ese conductor hay otro conductor, sobre éste actuará una fuerza debida al campo magnético creado por el primero, y viceversa. Sean A y B dos conductores por los que circulan corrientes IA e IB y que se encuentran separados una distancia d.

Llamemos BA al campo magnético que el conductor A crea a su alrededor, y que a una distancia d, valdrá:

d 2

IB Ao

A πµ

=

Como el conductor B se encuentra en el seno de un campo magnético (el creado por A) sobre él actuará una fuerza FB cuya dirección y sentido vendrá dada por la regla de la mano izquierda y que valdrá:

ABB BLIFrrr

∧⋅= Teniendo en cuenta que los conductores son paralelos, L

r y B

rforman 90º, de manera que el

módulo de la fuerza será:

d 2

ILILBIF Ao

BABB πµ

==

A la misma conclusión llegaremos si calculamos la fuerza que el conductor B hace sobre el A, de manera que:

Ld 2

IIFF BAo

BA πµ

==

Y la fuerza por unidad de longitud de conductor sería:

d 2

II

L

F BAo

πµ=

En el caso de que por los conductores circulen las corrientes en sentido contrario la fuerza tendrá el mismo valor en módulo, aunque en este caso se repelerían:

Definición internacional de Amperio. Como sabes, el amperio es una de las magnitudes fundamentales. Si recuerdas que en el vacío la constante de permeabilidad magnética vale:

A/mT104 7o ⋅⋅π=µ −

la fuerza por unidad de longitud de conductor nos quedaría que en el vacío sería:

d

II102

L

F BA7−⋅=

Es fácil comprender que si: L=1m, IA=IB=1Amp, d=1m entonces F= 7102 −⋅ N, por tanto:

Definición de Amperio: Amperio es la intensidad de corriente que circula por dos hilos paralelos, situados en el vacío a una distancia de un metro, para que se atraigan o repelan con una fuerza de 7102 −⋅ Newton por cada metro. (Se dice para que se atraigan para el caso de que por ambos circule la corriente en el mismo sentido o se repelan si las corrientes circulan en sentidos contrarios) Ejemplo: La balanza de Cotton es un dispositivo como el de la figura que permite medir la fuera que actúa sobre un conductor cuando se encuentra en un campo magnético. Si el hilo A, que cuelga de la balanza, tiene una longitud de 1 m, está recorrido por una corriente de 50 Amp y separado del conductor B una distancia de 5 cm ¿Qué corriente y en qué sentido debe circular por el conductor B para que la balanza se equilibre con 2 gr?

Para compensar el peso del platillo, la fuerza que el conductor B tiene que hacer sobre el A debe ser atractiva, luego por los dos hilos las corrientes deben circular en el mismo sentido:

Para que el sistema está en equilibrio mgF = es decir:

mgLd 2

II BAo =π

µ

10002,005,02

1I50104 B7

⋅=π

⋅⋅⋅π −

⇒ Amp100I B =

Ejemplo E3A.S2007: Dos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos, distan entre si 0,5 m. Por ellos circulan corrientes de 1 A y 2 A, respectivamente. a) Explique el origen de las fuerzas que se ejercen ambos conductores y su carácter atractivo o repulsivo. Calcule la fuerza que actúa sobre uno de los conductores por unidad de longitud. b) Determine el campo magnético total en el punto medio de un segmento que una los dos conductores si las corrientes son del mismo sentido.

a) Como sabemos una corriente no es más que un montón de cargas en movimiento, por tanto a su alrededor creará un campo magnético. Lo mismo puede decirse el otro conductor y en consecuencia, cada conductor al encontrarse en el campo magnético creado por el otro estará sometido a una fuerza en la dirección normal a los conductores y cuyo sentido depende del sentido de las corrientes, siendo atractivo si ambas circulan en el mismo sentido y repulsivo si las corrientes circulan en sentidos contrarios: Como hemos deducido anteriormente, la fuerza por unidad de longitud que un conductor hace sobre el otro viene dada por:

d 2

II

L

F BAo

πµ= ⇒ New108

5,02

21104

L

F 77

−−

⋅=π

⋅⋅π=

b) Suponiendo que por los dos conductores circulen las corrientes en el mismo sentido, el campo magnético en el punto medio de un segmento que los une sería:

Como puede verse en la figura, en el punto medio el segmento que separa a los conductores, ambos campos tienen la misma dirección (la del plano normal a los conductores), pero tienen sentidos opuestos, así que el módulo del campo resultante puede obtenerse simplemente restando el módulo del campo que en ese punto crea cada conductor por separado:

T10825,02

1104

d 2

IB 7

7Ao

A−

−

⋅=π

⋅π=π

µ=

T108B 7−⋅=

T101625,02

2104

d 2

IB 7

7Bo

B−

−

⋅=π

⋅π=π

µ=

Como era de suponer, es mayor el campo creado por el conductor B, porque por él circula una corriente mayor. Fíjate también que en el caso de que la corriente que circulara fuese la misma el valor del campo en el punto medio sería nulo.

FENÓMENOS DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Una vez que Oersted puso de manifiesto que una corriente podía producir un campo magnético, muchos físicos empezaron a plantearse si ocurriría lo contrario: que un campo magnético fuese capaz de crear una corriente. Vamos a describir los experimentos que llevaron a cabo Faraday en Inglaterra y Henry en E.U. y que ponen de manifiesto el fenómeno de la inducción. 1. Un circuito inerte es aquel que no tiene ninguna pila y solamente está formado por un arrollamiento de conductor, al que llamaremos solenoide o bobina, conectado a un galvanómetro.

Como es lógico el galvanómetro no marcará nada, porque al no haber un generador que provoque una ddp no habrá movimiento de cargas y por tanto I=0 Sin embargo si le acercamos un imán por cualquiera de sus polos veremos que el galvanómetro acusa el paso de corriente, es decir que por la razón que sea en el circuito inerte se induce una corriente:

Lo curioso es que la corriente inducida tiene un sentido cuando el imán se acerca y el contrario cuando se aleja. Lo mismo podemos decir cuando en lugar de acercar o alejar el imán por un polo lo hacemos por el polo opuesto. 2. Idénticos resultados obtendríamos si dejásemos quieto el imán y moviéramos la bobina. Resumiendo, podemos decir que mientras haya un movimiento relativo entre la bobina y el imán, en ésta se induce una corriente. 3. Si a nuestro circuito inerte le acercamos un solenoide por el que circula corriente sucede como en las experiencias anteriores: que en el circuito inerte se induce una corriente.

En lo que se refiere al solenoide, era de esperar que tuviese estos efectos sobre el circuito inerte, puesto que como sabemos un solenoide que está atravesado por una corriente se comporta como un imán y por tanto esta experiencia sería básicamente igual a las anteriores. 4. Si al solenoide de la experiencia anterior lo dejamos quieto, pero le ponemos un interruptor, al abrirlo y cerrarlo también se induce una corriente en el circuito inerte y según de cierra o abra el circuito la corriente inducida tiene sentido contrario.

5. Hay muchos más experimentos que conducen a lo mismo, a inducir una corriente en el circuito inerte, como por ejemplo dejar quiero el imán mientras metemos y sacamos de la bobina un núcleo de hierro. O ponerle al circuito del solenoide un reostato y actuar sobre el botón del mismo

FUERZA ELECTROMOTRIC INDUCIDA Y VARIACIÓN DE FLUJO: LEY DE FARADAY−LENZ Faraday comprendió que el denominador común de todos estos experimentos, aparentemente tan distintos, era que producían un flujo magnético variable en el circuito inerte. En las tres primeras experiencias la variación de flujo (de las líneas de campo magnético que atraviesan el circuito inerte) se conseguía acercando o alejando el imán, con lo que el flujo se hacía mayor al acercarse, y menor al alejarse. Vuelve a mirar los dibujos y lo entenderás. En la experiencia 4, al abrir o cerrar el interruptor lo que estamos haciendo es variar la intensidad de la corriente y por tanto el campo magnético creado por la bobina. La misma explicación podemos dar para el caso de colocarle una resistencia variable y moverla, que variamos la intensidad de la corriente. En el caso de meter y sacar el núcleo de hierro dentro de la bobina el resultado es el mismo, ya que como el núcleo lo que hace es concentrar las líneas de campo, al introducirlo conseguimos aumentar el flujo a través del circuito inerte y al sacarlo lo disminuimos. La ley de Faraday−Lenz dice que la fuerza electromotriz inducida es igual a “menos” la variación de flujo magnético que atraviesa el circuito con respecto al tiempo:

dt

de Bφ

−=

Observa que:

• La f.e.m. inducida no se debe a la existencia de flujo, sino a su variación. Si no hay variación de flujo de B

r a través del circuito, la f.e.m. inducida será cero.

• El signo menos indica que la f.e.m. inducida debe ser aquel que se oponga a las causas que la originan. (Es decir al movimiento relativo del imán y la bobina, etc) Es lo que se conoce como ley de Lenz.

Antes de explicarlo con detalle, recuerda que una bobina al ser atravesada por una corriente se comporta como un imán y el sentido de las líneas de campo lo obteníamos con la mano derecha: cerrándola en el sentido de la corriente, el pulgar nos indicaba el sentido de las líneas y por tanto cual sería el polo norte:

Ahora podemos explicar lo que ocurre: De acuerdo con la ley de Faraday−Lenz, cuando acercamos el norte del imán al circuito inerte, en éste debe inducirse una corriente que “se oponga a la causa que lo crea”, es decir que la bobina debe comportarse como si fuera un imán que rechace al que le acercamos. Es como si dijéramos que la bobina del circuito presenta una inercia a cambiar su estado inicial: Inicialmente no estaba atravesada por ninguna línea de campo y por eso al acercarle el imán y comenzar a penetrar las líneas de campo del imán la bobina creara unas “de forma inducida” en sentido contrario para contrarrestar a las del imán:

Y aplicando la regla de la mano derecha a la bobina, nos daría la dirección de la corriente, tal como se ha dibujado en la figura. Cuando alejamos el imán sucede lo contrario: Cuando el imán está cerca el circuito, éste está siendo atravesado por muchas líneas de campo, y al alejarlo lo que hacemos es disminuir el flujo. Entonces la bobina “que se opone a ese cambio” crea sus propias líneas en el mismo sentido de las que lo atravesaban, como si ahora no quisiera renunciar a ellas:

La ley de Faraday−Lenz, para el caso de una bobina que tiene N espiras, como en cada una se induce la misma fuerza electromotriz, la escribiremos como:

dt

dNe Bφ⋅

−=

En realidad esta ley no es más que otra manera de expresar el principio de conservación de la energía, ya que imagina que se cumpliera lo contrario, que al acercar el imán a la bobina ésta lo atrajera cada vez con una fuerza mayor y por tato se indujera una corriente cada vez mayor. Entonces tendríamos que admitir que el circuito se alimenta solo, lo que resulta absurdo. Sin embargo la energía que el circuito pierde por efecto Joule es igual al trabajo que nosotros hacemos al acercar el imán. Esto sí tiene sentido. La ley de inducción de Faraday−Lenz es la cuarta ecuación del electromagnetismo de Maxwell.

E4A.S2005 1. Una espira cuadrada está cerca de un conductor, recto e indefinido, recorrido por una corriente I. La espira y el conductor están en un mismo plano. Con ayuda de un esquema, razone en qué sentido circula la corriente inducida en la espira: a) Si se aumenta la corriente en el conductor. b) Si, dejando constante la corriente en el conductor, la espira se aleja de éste manteniéndose en el mismo plano. La ley de Faraday−Lenz dice que la fuerza electromotriz inducida es igual a “menos” la

variación de flujo magnético que atraviesa el circuito con respecto al tiempo dt

de Bφ

−=

Por tanto para que en un circuito se induzca una corriente es necesario que el flujo de

campo magnético ( α⋅⋅=•=φ cosSBSBrr

) a través del circuito varíe con el tiempo. a) Teniendo en cuenta que el campo magnético creado por un conductor a una distancia r es un vector tangente a la circunferencia de radio y su módulo

viene dado por r2

IB o

⋅πµ=

Si aumenta la corriente (I) por el conductor ⇒ B variará aumentando también ⇒ el flujo de B variará ⇒ en la espira se inducirá una corriente. Por otro lado, el signo menos indica que la corriente inducida debe ser tal que se oponga a las causas que la producen. En ese caso se trata de un flujo de B que va aumentando y, en consecuencia, en la espira la corriente debe tener el sentido que rechace este aumento de campo, es decir que el campo creado por la espira (Bind) debe tener sentido opuesto ⇒ apuntando con el pulgar en el sentido de Bind al cerrar la mano obtenemos el sentido de la corriente inducida.

b) Como r2

IB o

⋅πµ= ⇒ al alejar la espira

disminuye B ⇒ teniendo en cuenta los mismos razonamientos, se inducirá una corriente, pero esta vez como B disminuye el Bind intentará compensar esa disminución y por tanto tendrá la misma dirección y sentido. Para que Bind tenga ese sentido la corriente inducida en la espira debe circular en sentido horario, tal como se muestra en la figura. Ten en cuenta que si en caso a) la corriente deja de variar o en el caso b) la espira deja de moverse, entonces el flujo de B a través del circuito sería constante y la f.e.m. inducida nula.

Ejemplo: La barra AB de la figura tiene una longitud de 25 cm y se mueve con una velocidad uniforme de 16 m/s sin rozamiento sobre unos raíles conductores. Si el conjunto está sometido a un campo magnético uniforme de 1T, calcular: a) La f.e.m. inducida b) Si R=4Ω ¿cuánto vale la intensidad inducida y su sentido? c) ¿Qué fuerza debemos ejercer sobre la barra para que su movimiento sea uniforme?

a) Lo primero que tenemos que ver es cual es la expresión del flujo de B

r a través del

circuito, que como se comprenderá irá aumentando con el tiempo, al ir moviéndose la barra AB. Como al cabo de un tiempo t, la barra se habrá desplazado un espacio t vx =

L t vBL xBSBSB ⋅=⋅=⋅=•=φ

rr

Donde hemos tenido en cuenta que los vectores Br

y Sr

tienen la misma dirección, así que su producto escalar es igual al producto de sus módulos. Según la ley de Faraday−Lenz:

L v Bdt

)L t v B(d

dt

de B −=−=

φ−=

Volt425,0161e −=⋅⋅−=

La f.e.m. inducida es de 4 voltios y el signo menos indica, como vamos a ver, que esta f.e.m. se va a oponer al movimiento de la barra que ha sido la causa de su origen. b) Al mover la barra AB el circuito es atravesado cada vez por un mayor número de líneas de campo, por tanto el circuito se comportará como un imán que tiende a rechazarlas, es decir que las cree hacia dentro del papel:

Aplicando la regla de la mano derecha que nos da la dirección de las líneas en función del sentido de la corriente tendremos que si las líneas entran en el papel, el sentido de la corriente inducida es el que se dibuja:

Una vez que hemos razonado el sentido de la corriente inducida, calcular su valor es muy fácil. Aplicando la ley de Ohm:

Amp14

4

R

eI ===

c) Por la barra AB circula una corriente, y como se encuentra en el seno de un campo magnético, sobre ella aparecerá una fuerza cuya dirección venía dada por la regla de la mano izquierda:

Como puedes ver, la fuerza magnética se opone al movimiento de la barra. ¿Entiendes ahora la Ley de Lenz? El movimiento de la barra indujo una corriente y debido a ella apareció una corriente inducida y una fuerza magnética que tiende a frenar a la barra. Esta fuerza que el campo magnético ejerce sobre el conductor rectilíneo por el que circula una corriente I ind vale:

New25,0125,01LB IF =⋅⋅== Por tanto, si queremos que la barra AB se mueva con movimiento uniforme, la suma de todas las fuerza sobre ella debe ser nula, así que tendremos que aplicar una fuerza igual y en sentido contrario, es decir una fuerza de 0,25 New en la dirección y sentido del movimiento de la barra.

PRODUCCIÓN DE CORRIENTES ALTERNAS. GENERADORES La producción de la corriente que consumimos se basa en los fenómenos de inducción que acabamos de ver. Lo que se hace es hacer girar a una bobina entre los polos de un imán:

Cuando se hace girar la bobina varía el flujo de campo magnético que la atraviesa y en consecuencia se induce una corriente. Vamos a detallarlo, y para ello recuerda que el flujo es:

α⋅=•=φ cosBSSBrr

donde α es el ángulo que forman las líneas de campo magnético con el vector superficie, que como sabes es un vector perpendicular a la superficie, es decir, a la espira:

Si a la bobina se le hace girar con una velocidad ω, entonces el ángulo que forman los

vectores Br

y Sr

vendrá dado por ot α+⋅ω=α donde hemos considerado para más

sencillez que para t=0, αo=0. Así que el flujo será:

tcosBS ⋅ω⋅=φ y la f.e.m. inducida, según la ley de Faraday−Lenz:

tsen BSdt

de ⋅ωω=φ−=

Como puede verse la f.e.m. inducida depende del tiempo y viene dada por una función sinusoidal, siendo la f.e.m. máxima:

ω= BSEmax

o bien ω⋅= BSNEmax para el caso de que la bobina tuviese N espiras. Finalmente

podemos poner que la f.e.m. inducida instantánea es: tsen Ee max ⋅ω=

Fíjate como cada periodo (T) se repiten los valores de la f.e.m. y que toma valores positivos, nulos y negativos, por ese motivo se le llama corriente alterna, porque cambia dos veces de sentido cada periodo. A la velocidad angular con que gira la bobina se le llama pulsación de la corriente alterna, y como sabes:

νπ=π=ω 2T

2

Al dispositivo descrito se le llama generador de corriente alterna o simplemente alternador. La frecuencia de la corriente es igual a la frecuencia con que gira la bobina, que en Europa es de 50 Hz. Ejemplo: Cuando una espira circular, situada en un campo magnético uniforme de 2 T, gira con velocidad angular constante en torno a uno de sus diámetros perpendicular al campo, la fuerza electromotriz inducida es:

e(t) = −10 sen (20 t) (S.I.) a) Deduzca la expresión de la f.e.m. inducida en una espira que gira en las condiciones descritas y calcule el diámetro de la espira y su periodo de revolución. b) Explique cómo variarían el periodo de revolución y la f.e.m. si la velocidad angular fuese la mitad. c) Una espira circular se encuentra situada perpendicularmente a un campo magnético uniforme. Razone qué fuerza electromotriz se induce en la espira, al girar con velocidad angular constante en torno a un eje, en los siguientes casos: i) el eje es un diámetro de la espira; ii) el eje pasa por el centro de la espira y es perpendicular a su plano. (E6A.S2008) a) De acuerdo con la ley Faraday−Lenz, la f.e.m. de la espira es:

t20sen10dt

de −=φ−=

de donde:

)t20cos(5,0t20cos5,0tdt20sen10 π+=−==φ ∫ (*)

Donde se ha tenido en cuenta que )cos(cos παα +−=

Si ahora tenemos en cuenta que el flujo por definición es el producto escalar del vector campo por el vector superficie y que la espira al estar girando con una velocidad angular ω constante el ángulo, que depende del tiempo, es ot αωα +=

)tcos(BS oα+⋅ω⋅=φ (*)

Si comparamos las dos expresiones (*) obtenidas para el flujo tendremos que:

5,0BS= ⇒ 2m25,02

5,0

B

5,0S ===

Si la espira es circular:

25,0RS 2 =π= ⇒ m28,0R = ⇒ m56,0Diámetro=

T

220

π==ω ⇒ 10/T π= seg.

b) Si la velocidad angular con que gira la espira se reduce a la mitad: 2/´ ωω =

T

2π=ω

´T

2´

π=ω T

´T

´=

ωω

⇒ T22/

T´

T´T =ω

ω=ωω=

Como vemos, al disminuir la velocidad angular a la mitad el periodo se hace el doble, cosa absolutamente lógica y de esperar, ya que al hacerse la mitad la velocidad angular tardará el doble en completar una vuelta que es precisamente el periodo.

[ ]t sen BS)t (sen BS

dt

)tcos(BSd

dt

de o

o ωω−=α+ωω=α+⋅ω⋅

−=φ−=

La f.e.m. inducida máxima vale: ωBSEmax = y puesto que es directamente proporcional a

la velocidad angular con que gira la espira se hará la mitad al hacerse la mitad ω. (En el desarrollo anterior se ha tenido en cuenta que como en este caso π=αo y

)(sensen π+α−=α c) i) Si el eje es un diámetro de la espira, como vemos en la figura de la izquierda, al girar la espira variará el flujo de líneas de campo y por tanto se inducirá una f.e.m. en la forma que hemos razonado mas arriba. ii) Pero si el eje pasa por el centro de la espira y es perpendicular a su plano, como en la figura de la derecha, al girar siempre estará atravesada por el mismo número de líneas de campo y en consecuencia al no variar el flujo

de Br

con el tiempo no se inducirá ninguna corriente.

TRANSPORTE Y USO DE LAS CORRIENTES ALTERNAS. FUNDAM ENTO DEL TRANSFORMADOR La electricidad es la energía más consumida por varios motivos:

• Es fácil de transportar a las grandes distancias. • Es fácil de transformar en otras energías. (Mecánica en los motores, térmica en una

estufa, luminosa, etc) • No contamina ni produce residuos, aunque algunas de sus formas de producción sí,

dependiendo del tipo de central eléctrica. La energía eléctrica se transporta desde las centrales eléctricas hasta los lugares de consumo mediante el tendido eléctrico, lo que pasa es que si se transportara a la tensión de consumo las pérdidas caloríficas por efecto joule serían enormes, debido a la resistencia de los conductores, de manera que lo que se hace es aumentar mucho su voltaje, para que así disminuya su intensidad y en consecuencia las pérdidas. (Recuerda que el calor es proporcional al cuadrado de la intensidad: t RIQ 2= ) La tensión de la corriente que se genera en la centrales es de alrededor de 20.000 voltios y se eleva entre los 250.000 y 500.000 voltios, que es la tensión a la que se transporta hasta las subestaciones, donde se reduce a unos 50.000 voltios y posteriormente se reduce en los transformadores próximos a las viviendas hasta los 220 voltios para su consumo.

Como vemos los transformadores juegan un papel muy importante en el proceso de transporte de energía eléctrica. Un transformador está formado por dos bobinas arrolladas alrededor de un núcleo de hierro como se muestra en la figura:

A la bobina por la que se hace circular corriente alterna se la llama “primario”, y el campo magnético variable que origina induce una corriente en la otra bobina que se llama “secundario”. Ambas corrientes son de la misma frecuencia, sin embargo la f.e.m. inducida es función del número de vueltas de las bobinas. Cuando al primario se le aplica una fuerza electromotriz alterna, el flujo magnético variable que produce atraviesa tanto al primario como al secundario. De acuerdo con la ley de Faraday−Lenz, si N1 es el número de espiras del primario la fuerza electromotriz autoinducida será:

dt

dNV 11

φ−=

y en el secundario la fuerza electromotriz inducida por el primario será:

dt

dNV 22

φ−=

donde se ha tenido en cuenta que, debido al núcleo de hierro, las pérdidas son muy pequeñas y por tanto el flujo a través de las dos bobinas es prácticamente el mismo. Combinando las dos ecuaciones se obtiene la relación entre la tensión de entrada y de salida:

2

2

1

1

N

V

N

V= →

1

212 N

NVV =

Como vemos, se puede obtener la f.e.m de salida deseada simplemente ajustando el número de espiras del primario y del secundario. A la relación 12 N/N se le llama “relación de transformación”. El núcleo de hierro hace que las pérdidas sean insignificantes, no obstante una pequeña parte de la energía se pierde y se transforma en calor porque en el metal también se inducen corrientes como consecuencia del flujo magnético variable, llamadas corrientes de Foucault. Para minimizarlas el núcleo de hierro se lamina. Y puesto que en los transformadores la energía perdida es insignificante, la potencia ( IVP = ) en el primario y en el secundario debe ser igual, así que:

2211 VIVIP == Como puedes ver, si la tensión de salida aumenta la intensidad disminuye, porque son inversamente proporcionales. Ahora puedes entender porqué se utilizaba un transformador para elevar la tensión de la corriente para transportarla. Las corrientes de Foucault: Ya hemos dicho que son corrientes en torbellino que se originan en el interior del metal al atravesarlo un flujo magnético variable y son las causantes de pérdidas de energía, que por efecto Joule se transforma en calor. Para evitarlas el núcleo de hierro en lugar de ser macizo se construye pegando varias láminas delgadas. Sin embargo, a veces se les saca partido a estas corrientes, y este es el caso de los hornos de inducción de alta frecuencia.

Ejemplo: Alguna vez habrás visto un transformador doméstico. Antiguamente se utilizaban mucho porque la corriente se suministraba a 125 Voltios, mientras que muchos aparatos funcionaban a 220 V. Si en el primario, que tiene 500 vueltas, conectamos una corriente alterna de 125 V y una intensidad máxima de 0,5 A. a) Cuantas vueltas debe tener el secundario para obtener una tensión de 220 V b) Que valor tendrá la intensidad máxima de la corriente de salida.

a) Si tenemos en cuanta que el flujo de líneas de campo magnético es prácticamente igual en el primario y secundario, de acuerdo con la ley de Faraday−Lenz:

2

2

1

1

N

V

N

V

dt

d −=−=φ ⇒ vueltas880125

500220

V

NVN

1

122 =⋅==

b) Teniendo en cuenta, si despreciamos la pérdidas, que la potencia en el primario y secundario es la misma:

2211 VIVIP == ⇒ Amp28,0220

1255,0

V

VII

2

112 =⋅==

Como vemos, al aumentar la tensión de salida, la intensidad se hace más pequeña, lo que es absolutamente lógico, ya que de otra forma estaríamos creando energía de la nada. VENTAJAS DE LA CORRIENTE ALTERNA FRENTE A LA CORRIENTE CONTINUA.

• La CA es muy fácil de generar como hemos visto. (Aunque se podría generar CC empleando el mismo sistema y solamente una pequeña modificación en las escobillas del generador.)

• La CA es fácil de transportar, porque puede modificarse su tensión utilizando transformadores, lo que es imposible en el caso de la CC, y por tanto esta cualidad es la que realmente la hace tan especial y útil.

La mayoría de los aparatos electrónicos funcionan con CC, sin embargo eso no es un problema porque la CA puede transformarse en CC mediante los diodos. Los diodos son unos pequeños elementos formados de elementos semiconductores, que funcionan como si fuesen válvulas, es decir que dejan pasar la corriente solo en un sentido, por lo que rectifican media onda. Mediante un puente de 4 diodos puede rectificarse la

onda completa y con la ayuda de un condensador suavizar los picos, obteniéndose una corriente prácticamente continua.