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Tema 6: Cuerpos geométricos
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UNIDAD 6: CUERPOS GEOMÉTRICOS
2º E.S.O. CURSO 2011-2012 – 2º
EVALUACIÓN
ÍNDICE• Elementos geométricos del espa
cio. • Posiciones relativas
de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.• Ángulos diedros y poliedros.• Poliedros. Elementos de un polie
dro. Clasificación en cóncavos y convexos.
.
ÍNDICE
• Relación de Euler • Poliedros
regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo o hexaedro y dodecaedro• Poliedros no regulares: prismas
y pirámides. • Cuerpos de revolución: cilindro,
cono y esfera.
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL ESPACIO
Punto: Unidad mínima de expresión geométrica. Se
representan con letras mayúsculas
Recta: Se representa mediante una línea recta. Se
simboliza con letras minúsculas : r , s, t…
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL ESPACIO
Plano: Se representa por medio de un
paralelogramo. Se simboliza con letras griegas: α, β,
γ
De esto ya hablamos en clases anteriores.
Recuerda que el punto no tiene dimensión, la recta
tiene dimensión 1 y el plano dimensión 2
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL ESPACIO
Y podemos definir, segmento, semirrecta o
semiplano.
Pero el espacio tendrá dimensión 3 (altura,
anchura y profundidad)
Por un punto del espacio pasan infinitas rectas
pero por dos puntos una única recta. Luego para
determinar una recta necesitamos dos puntos
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL ESPACIO
Pero ¿Y en el esapacio?
Pues por un punto podemos trazar infinitos planos
Por dos puntos infinitos planos
Por tres puntos un ÚNICO plano
(Dibujos de estas situaciones puedes ver en el libro
en la página 165)
Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.
Al igual que en el plano dos rectas pueden ser:
Secantes: Se cortan en un único punto
Paralelas: No se cortan
Coincidentes: Tienen todos sus puntos en común
Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.
Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.
Pero en el espacio tenemos una nueva posibilidad
Rectas que se cruzan: No se cortan en ningún
punto pero NO existe ningún plano que las contenga
Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.
Pero con respecto a las rectas perpendiculares tenemos
dos posibilidades:
1. Dos rectas son perpendiculares si están contenidas en
el mismo plano y son perpendiculares en el plano
2. Dos rectas son perpendiculares si se cruzan de modo
que podemos encontrar una paralela a una de ellas,
contenida en el mismo plano y perpendicular a ésta. VER
DIBUJO PAG 166
Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.
Posiciones relativas de una recta y un plano:
Secante (un punto en común)
Paralela (ningún punto en común)
Contenida (Todos los puntos pertenecen al plano)
(DIBUJOS PÁGINA 167
P O S I C I O N E S R E L AT I VA S D E D O S R E C TA S, D E U N A R E C TA Y U N P L A N O Y
D E D O S P L A N O S E N E L E S PA C I O
Una recta es perpendicular a un plano si es
PERPENDICULAR a cualquier recta de ese plano
Dos planos son secantes si tienen una recta en
común
Dos planos son paralelos si no tienen ninguna recta
en común
Dos planos son coincidentes si tienen todos sus
puntos en comun
ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS
Un ángulo DIEDRO es la región del espacio
delimitada por dos semiplanos
ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS
La medida de un ángulo diedro es la medida de su
ángulo rectilíneo
ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS
Igual que los ángulos en el plano los ángulos
diedros pueden ser cóncavos o convexos y por otro
lado pueden ser: Diedro agudo, Diedro recto y
diedro obtuso
Además dos planos son perpendicuares si son
secantes y los cuatro diedros que forman son rectos
ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS
Un ángulo poliedro es la región del espacio
delimitada por tres o más planos que concurren en
un punto
Un ángulo poliedro tiene cara, vértice y arista
P O L I E D R O S. E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O. C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S Y
C O N V E X O S
Un Poliedro es una región del espacio delimitada por
polígonos. Además tiene tres elementos característicos:
Cara, Arista y Vértice
Cara: cada uno de los polígonos del poliedro
Arista: Cada uno de los lados de los polígonos, o dicho de
otro modo, los cortes de dos polígonos.
Vértice: Cada uno de los puntos de corte de las aristas, o
dicho de otro modo, el corte de tres polígonos.
P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O. C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C A V O S Y C O N V E X O S
Observa que la arista es en realidad un ÁNGULO
DIEDRO
Y el vértice un ángulo POLIEDRO
P O L I E D R O S. E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O. C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S
Y C O N V E X O S
Poliedros
P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O. C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C A V O S Y C O N V E X O S
Un poliedro es CONVEXO si TODOS sus ángulos
son convexos
Un poliedro es CÓNCAVO si ALGÚN ángulo es
cóncavo
Relación de Euler
En todos los poliedros convexos se cumple la
relación de EULER:
C + V = A + 2Siendo C= nº de Caras
V = nº de Vértices
A = nº de Aristas
RELACIÓN DE EULER
http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
Poliedros regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo o hexaedro y dodecaedro
Un poliedro es REGULAR si todas sus caras son
polígonos regulares y en cada uno de sus vértices
concurre el mismo número de aristas.
Sólo hay 5 poliedros regulares: Tetraedro,
Octaedro, Icosaedro, Hexaedro o Cubo y
Dodecaedro. También se llaman Sólidos Platónicos
(los antiguos griegos ya sabían que no había más de
5 poliedros regulares)
P O L I E D R O S R E G U L A R E S : T E T R A E D R O, O C TA E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O
H E XA E D R O Y D O D E C A E D R O
Tetraedro
4 Triángulo equilátero.
3 números de aristas por vértice
P O L I E D R O S R E G U L A R E S : T E T R A E D R O, O C TA E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O
H E XA E D R O Y D O D E C A E D R O
Octaedro:
8 triángulos equiláteros
4 aristas por vértice
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D O D E C A E D R O
Icosaedro
20 triángulos equiláteros
5 aristas por vértice
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D O D E C A E D R O
Hexaedro o Cubo
6 cuadrados
3 aristas por vértice
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D O D E C A E D R O
Dodecaedro
12 pentágonos regulares
3 aristas por vértice
P O L I E D R O S R E G U L A R E S : T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O H E X A E D R O Y D O D E C A E D R O
Resumen
Construcción sólidos platónicos
Historia Sólidos Platónicos
Poliedros no regulares: prismas y pirámides.
Un poliedro no es regular cuando: Alguna de sus
caras no es un polígono regular o en dos de sus
vértices concurre un número distinto de aristas
Hay de dos tipos: Primas y Pirámides
POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y P IRÁMIDES
PRISMAS
Un prisma es un poliedro en el que dos de sus caras son polígonos
iguales y paralelos, y el resto son paralelogramos.
El nombre del prisma vendrá dado por el polígono de la base, es
decir, prisma triangular, cuadrangular, pentagonal…
Los elementos de un prisma son: bases, vértices, altura, cara lateral,
arista básica y arista lateral
Un prisma es regular si es recto y los polígonos básicos son
regulares
POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y P IRÁMIDES
Prismas
POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y P IRÁMIDES
Pirámides
Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono
cualquiera y las otras son triángulos que tienen un vértice en común.
Dependiendo del polígono se llamarán pirámide triangular,
cuadrangular, pentagonal…
Los elementos de una pirámide son: Vértice, base, arista básica, arista
lateral y altura.
Una pirámide es regular si es recta y su base es un polígono regular
POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y P IRÁMIDES
Pirámides
Cuerpos de revolución: cilindro, cono y esfera.
Un cuerpo de revolución se obtiene al girar un
figura plana 360º alrededor de un eje,.
Este año estudiaremos tres: cilindro, cono y esfera
Cuerpos de revolución: cilindro, cono y esfera
Cilindro
Se obtiene al girar 360º un rectángulo alrededor
de uno de sus lados. Sus elementos son: Eje de
revolución, Generatriz, Bases (Son círculos) y altura.
En los cilindros la altura coincide con la generatriz
CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA
Cilindros
CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA
Cono
Se obtiene al girar un triángulo rectángulo
alrededor de uno de sus catetos. Sus elementos son:
Base, (es un círculo), generatriz, vértice, altura y eje
de revolución
En un cono, la generatriz NO coincide con la
altura.
CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA
Cono
CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA
Esfeera
Se obtiene al girar 360º un semicírculo alrededor
de su diámetro
Los elementos más característicos de las esferas
son el centro y el radio. Además es importante
señalar las diferencias entre semiesfera y
hemisferio; cuña esférica y huso esférico; segmento
esférico y casquete esférico; segmento esférico de
dos bases, zona esférica
CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA
Esfera
CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA
Esferas
CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA
Cuerpos de revolución
http://www.youtube.com/watch?v=-_-fCQNX1Fk