7/26/2019 TEMA (I-E) EJEMPLO (1)

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Para el modelo que se muestra determine:

a) Autovalores

b)

Frecuencias propias

c) Autovectores

d) Matriz modal

e)

Auto vectores Normalizados

f) Matriz modal normalizada

M1=M2= 20 Kg.seg2

/ mtK1= 2000 Kg/mt

K2= 4000 Kg/ mt

Diagrama de cuerpo libre:

FH=0M1Z1(t) + (K1+K2)Z1(t) K2Z2(t)= 0

FH=0M2Z2(t) K2Z1(t) + K2Z2(t)=0

ORDENANDO MATRICIALMENTE:

M1 0 Z1(t) + (K1+ K2) K2 Z1 = 0

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0 M2 Z2(t) . -K2 K2 Z2 . 0

[M] {Z(t)} [K] Z

Recordar que el det [K] W2[M]=0

6000 -4000 . 20 0

- W2

-4000 4000 0 20.

(6000- 20 W2) -4000

=0

-4000 4000 20 W2

(6000 20 W2)(4000-20 W2)- (4000)2=024,000,000 120,000 W2-80,000W2+ 400 (W2)2- 16,000,000=0400(W2)2- 200,000 W2+ 8,000,000 =0

(W2)1,2 = (200,000 ((200,000)2-4(400)(8,000,000)))/2(400)

:. (W2)1,2= 250 206.15

W21=250 206.16 = 43.83 (rad/seg2)W22= 250 + 206.16 = 456.16 (rad/ seg2)

Frecuencias:

W1= (W21) = 6.62 rad/seg FRECUENCIAW2=(W22) = 21.36 rad/seg FUNDAMENTAL

Autovectores

([K]- W2[M]){Z} = {0}

6000 20 W21 -4000 11 = 0 Primer

-4000 4000- 20 W21 21 0 Autovec.

Sustituyendo el valor de W21 y desarrollando

5123.2 114000 21=0-4000 11+ 3123.2 21 =0

Para 11=1 ; 21= 1.281

Primer Autovector1 11.28

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=

6000-20W22 -4000 Segundo autovector

-4000 4000- 20 W22 W2= 2

Sustituyendo el valor W22

-3123.2 124000 22 =0-4000 125123.20 22=0

Para 12=1 ; 22=-0.78

= Segundo Autovector

Matriz Modal

= 1 1 No normalizada

1.28 -0.78

Autovectores normalizados :

1erAutovector Normalizado {1}{1}= ((M/([m]{1})){1} ; Asumiendo M=1

{1}= 1/([1 1.281] 20 00 20

= (1/7.27) =

2doAutovector Normalizado

.

= (1/{1 -0.78} )

=1/5.67 .

12

22

2 1-0.78

1

1.281

1.28

1

1.28

0.13

0.17

220 0

0 201

-0.7

1

-0.7

1

-0.780.176

-0.13

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=

La matriz modal Normalizada

=

Representacin

Determine la respuesta del sistema:

{Z(t)}

usando la informacin del problema anterior:

0.138 0.176

0.176 -0.13

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M1=M2= 0 Kg. Seg 2/mt

K1= 2000 Kg/mt

K2= 4000 Kg /mt

Excitaciones:

P1(t)= 200 cos 5t

P2(t)= 400 cos 5t

Respuesta para cada modo:

Mifi+ MiW2ifi(t)= { }T {P(t)}; (i=1,n)

Primer Modo:

M1f1(t) + M1W21f1(t) ={ 1}T{P(t)}

Dado que M es arbritario ; Mi=1 ; (i=1,n)

f1(t) + 43.84f1(t) = {0.138 0.177}

:. f1(t) + 43.84f1(t)= 98.4 cos 5t

Se demostr que para la vibracin forzada no amortiguada, si la excitacin era de

la forma Pocos wt; la repuesta del sistema es:

Z(t)= (Po/k)/(1-W2/Wn2) (cos wt) ;

:. f1(t)= (98.4/43.84)/(1-52/43.84) cos 5t

:. f1(t)= 5.22 cos 5t

Segundo Modo:

M2f2(t) + M2W22f2(t)= { 2}T{P(t)}

f2(t)+ 456.16f2(t) = -19.8 cos 5t

:. F2(t)=((-19.8/456.16)/(1-52/456.16)) cos 5t

:.f2(t)= -0.046 cos 5t

Recordar que ; {(t)}= []{f(t)}

200 cos 5t

400 cos 5t

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=

Es la repuesta del sistema

=

Otro enfoque seria:

Primer modo:

=

= f1(t) =

=

Segundo modo

= = f2(t) =

=

Observando 2 y 3 nos damos cuenta de que la respuesta del sistema esta

bsicamente definida en el primer modo y que el aporte del segundo modo es

bastante mas pequeo que el del primero.

Por lo que al primer modo se le llama fundamental y a la frecuencia

correspondiente: frecuencia fundamental.

(t)

2(t)

0.138 0.177

0.177 -0.138

5.22 cos 5t

-0.046 cos 5t

1(t)

2(t)

0.712 cos 5t

0.930 cos 5t

Z1(t) 11

211

0.138

0.177

5.22 cos 5t 0.72 cos 5t

0.92 cos 5t

Z2(t) 12

22

2 0.177

-0.138

-0.046 cos 5t-0.00814 cos 5t

0.00635 cos 5t

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:. Si sumamos ambas respuestas :

Z1(t) + Z2t =

Se nota que el segundo modo no aporta a la respuesta.

0.712 cos 5t

0.930 cos 5t