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Tema I
1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS
1.1 Los Numeros Naturales. Los numeros naturales aparecen por lanecesidad que tiene el hombre (primitivo) tanto de contar como de ordenar unacierta cantidad de objetos.
N := {1, 2, 3, . . .}
En los numeros naturales podemos sumar y multiplicar, pero no podemos, en lamayorıa de los casos, ni restar ni dividir.
Nota: historicamente el cero no es considerado un numero natural.
1.2 Propiedades de los Numeros Naturales (Axiomas de Peano).
(1) El 1 es un numero natural.
(2) Para cada numero natural n existe otro numero natural n′.
(1) Si n ∈ N, n′ 6= 1.
(3) Si n,m ∈ N y n′ = m′, entonces n = m.
(4) Principio de induccion matematica.
Si S es un subconjunto de N tal que:
• 1 ∈ S y
• si n ∈ S, entonces n′ ∈ S.
Se tiene que S = N
Nota: Observar que para cada n ∈ N, n′ no es mas que n + 1.
1.3 Ejemplo. Demuestra que para todo numero natural n se verifica que1 + 3 + 5 + . . . + (2n− 1) = n2
Demo: Consideremos el conjunto S de los numeros naturales para los que laigualdad es cierta. Es claro que 1 ∈ S, ya que 1 = 12. Supongamos que laigualdad es cierta para n, es decir que n ∈ S y veamos que es cierta para n + 1.Tenemos, por hipotesis, que
1 + 3 + 5 + . . . + (2n− 1) = n2
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Observar que el siguiente impar de 2n − 1 es 2n + 1, por tanto, si sumamos enambos lados de la igualdad 2n + 1 obtenemos
1 + 3 + 5 + . . . + (2n− 1) + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
es decir, que n+1 ∈ S. Por tanto aplicando el principio de induccion matematica,S = N, lo que demuestra que la igualdad es cierta para todo numero natura.
1.4 Principio de induccion generalizado. Sea S un subconjunto de Ntal que:
• 1 ∈ S y
• si 1, 2, . . . , n ∈ S, entonces n + 1 ∈ S.
Entonces S = N
1.5 Los Numeros Enteros. Los denotaremos por Z. Aparecen simetri-zando el conjunto de numeros naturales, y anadiendoles el cero. Obtenemos lamejorıa de que, ahora sı, la resta de dos numeros Enteros es un numero Entero.
Z := {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
1.6 Propiedades de los Numeros Enteros.
? Propiedades respecto de la suma:
• Propiedad asociativa: (x + y) + z = x + (y + z) ∀ x, y, z ∈ Z.
• Existencia de elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x ∀ x ∈ Z.
• Existencia de elemento opuesto: para todo x ∈ Z existe −x ∈ Z talque x + (−x) = (−x) + x = 0.
• Propiedad conmutativa: x + y = y + x ∀ x, y ∈ Z.
Un conjunto con una operacion que verifique las tres primeras propiedadesse dice que es un grupo. Si ademas verifica la cuarta se le denomina grupoabeliano. Por tanto (Z, +) es un grupo abeliano.
? Propiedades respecto del producto:
• Propiedad asociativa: (x y) z = x (y z) ∀ x, y, z ∈ Z.
• Existencia de elemento neutro: x 1 = 1x = x ∀ x ∈ Z.
• Propiedad conmutativa: x y = y x ∀ x, y ∈ Z.
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Nota: Observar que normalmente los elementos de Z no poseen inverso.
? Propiedades conjuntas:
• Propiedad distributiva: (x + y) z = x z + y z ∀ x, y, z ∈ Z.
? Propiedades respecto del orden: para todo x, y, z ∈ Z• Si x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z.
• Si x ≤ y y z ≥ 0, entonces x z ≤ y z.
• Si x ≤ y, y z ≤ 0, entonces x z ≥ y z.
1.7 Los Numeros Racionales. Ampliando el conjunto de los numerosEnteros a los Racionales, Q, conseguimos encontrar inversos respecto del producto(naturalmente salvo para el cero). Por lo que en Q vamos a poder sumar, restar,multiplicar y dividir (por numeros no nulos).
Los numeros Racionales se definen a partir de una relacion de equivalencia enel conjunto de los pares (a, b) ∈ Z× Z∗, en donde Z∗ denota los Enteros menos elcero. Diremos que dos pares (a, b) y (c, d) estan relacionados si y solo si ad = bc.La clase de equivalencia del elemento (a, b) se denota por a
b .
Q := {a
b| a, b ∈ Z, b 6= 0}
Tenemos que la suma y el producto de numeros naturales es:
La suma: ab + c
d := ad+bcbd .
El producto: ab × c
d := acbd .
1.8 Propiedades de los numeros Racionales.
Ademas de todas las propiedades que tenia Z nos encontramos con que todoelemento no nulo de Q posee inverso. Ası:
? Propiedades respecto de la suma:
• Propiedad asociativa: (x + y) + z = x + (y + z) ∀ x, y, z ∈ Q.
• Existencia de elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x ∀ x ∈ Q.
• Existencia de elemento opuesto: para todo x ∈ Q existe −x ∈ Q talque x + (−x) = (−x) + x = 0.
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• Propiedad conmutativa: x + y = y + x ∀ x, y ∈ Q.
? Propiedades respecto del producto:
• Propiedad asociativa: (x y) z = x (y z) ∀ x, y, z ∈ Q.
• Existencia de elemento neutro: x 1 = 1x = x ∀ x ∈ Q.
• Existencia de elemento inverso: para todo 0 6= x ∈ Q existe x−1 ∈ Qtal que xx−1 = x−1 x = 1.
• Propiedad conmutativa: x y = y x ∀ x, y ∈ Q.
? Propiedades conjuntas:
• Propiedad distributiva: (x + y) z = x z + y z ∀ x, y, z ∈ Q.
Nota: A un conjunto con dos operaciones que verifique todas las condicionesanteriores se le denomina Cuerpo. Por tanto Q es un cuerpo.
? Propiedades respecto del orden: para todo x, y, z ∈ Q• Si x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z.
• Si x ≤ y y z ≥ 0, entonces x z ≤ y z.
• Si x ≤ y, y z ≤ 0, entonces x z ≥ y z.
1.9 Los Numeros Reales. No obstante, nos encontramos con operacionesque no se pueden realizar dentro del conjunto de los numeros Racionales. Ası,
√2
no es un numero Racional.
Esto nos lleva a un resultado que no solo se creıa cierto, sino que se consideroevidente hasta tiempos posteriores a Pitagoras. A saber, dadas dos longitudes a
y b
longitud a
longitud b
existe una tercera longitud c ¿ – ? tal que tanto a como b son multiplos de c?
Nota: La respuesta es que NO, ya que es falsa para 1 y 2√
2.
La construccion de los numeros Reales a partir de los numeros Racionales noes facil, por lo que la vamos a omitir. Para nosotros los numero Reales no seramas que el conjunto de todas las medidas posibles. Denotemos por R al conjunto
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de numeros Reales con la suma y el producto usual. En R no solo tenemos quepodemos sumar, restar, multiplicar y dividir (por numeros no nulos), sino quepodemos hacer raıces de cualquier orden sobre numero positivos y raıces de ordenimpar sobre cualquier Real.
1.10 Propiedades de los numeros Reales.
Los numeros Reales tienen todas las propiedades que verificaban los numerosRacionales. Es decir, R tambien es un cuerpo. Estas propiedades son:
? Propiedades respecto de la suma:
• Propiedad asociativa: (x + y) + z = x + (y + z) ∀ x, y, z ∈ R.
• Existencia de elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x ∀ x ∈ R.
• Existencia de elemento opuesto: para todo x ∈ R existe −x ∈ R talque x + (−x) = (−x) + x = 0.
• Propiedad conmutativa: x + y = y + x ∀ x, y ∈ R.
? Propiedades respecto del producto:
• Propiedad asociativa: (x y) z = x (y z) ∀ x, y, z ∈ R.
• Existencia de elemento neutro: x 1 = 1x = x ∀ x ∈ R.
• Existencia de elemento inverso: para todo 0 6= x ∈ R existe x−1 ∈ Rtal que xx−1) = x−1 x = 1.
• Propiedad conmutativa: x y = y x ∀ x, y ∈ R.
? Propiedades conjuntas:
• Propiedad distributiva: (x + y) z = x z + y z ∀ x, y, z ∈ R.
? Propiedades respecto del orden: para todo x, y, z ∈ R• Si x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z.
• Si x ≤ y y z ≥ 0, entonces x z ≤ y z.
• Si x ≤ y, y z ≤ 0, entonces x z ≥ y z.
1.11 Los numeros Complejos. Nos encontramos todavıa con ciertas“deficiencias” en el conjunto de los numeros Reales. Por ejemplo no toda ecuacionpolinomica tiene solucion en R. Como caso particular, X2+1 = 0 no tiene solucionen R, o lo que es practicamente lo mismo, no existe la raız cuadrada de ningunnumero negativo.
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Vamos a construirnos un nuevo conjunto de numeros que de solucion a esteproblema, los numeros Complejos. Denotemos por i un numero “imaginario” queverifique que i2 = −1 y sea C el conjunto:
C := {a + bi | a, b ∈ R}.
Dado z = a + bi ∈ C diremos que a es la parte real de z mientras que b es suparte imaginaria. Vamos a poder definir una suma y un producto en C:
La suma se define:
El producto se define:
(a + bi) + (c + di) = (a + c)+)(b + d)i
(a + bi) . (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i
Nota: observar que no son suma y productos arbitrarios, ya que la suma se realiza“aplicando la propiedad distributiva y conmutativa” y el producto “aplicandoademas el hecho de que i2 = −1”.
Nota: Todo numero Real lo podemos ver como un numero Complejo, ya que todoa ∈ R puede verse como a + 0i ∈ C. De ahora en adelante siempre veremos losnumeros Reales como un subconjunto de los Complejos.
Antes de ver las propiedades que verifican los numeros Complejos veamosalgunas definiciones y propiedades.
1.12 Def:. Sea z = a + bi ∈ C. Se define el conjugado de z y se denota porz como z = a− bi.
1.13 Def:. Sea z = a + bi ∈ C. Se define el modulo de z, y se representapor |z| como el numero Real, |z| =√a2 + b2
Nota: Observar que un numero Complejo es cero si y solo si su modulo es cero,es decir: dado z = a + bi ∈ C
z = 0 ⇐⇒ |z| = 0.
1.14 Lema. Sea z ∈ C un numero Complejo. Entonces zz = |z|2.Demo. Realmente solo tenemos que hacer el producto:
z z = (a + bi)(a− bi) = (a2 + b2) + 0i = |z|2
por lo que queda demostrado el teorema.
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Las propiedades que verifican los numeros Complejos son:
? respecto de la suma:
• Propiedad asociativa.
• Existencia de elemento neutro: 0 + 0i = 0 es el neutro de la suma.
• Existencia de elemento opuesto: para todo a + bi ∈ C, (−a) + (−b)ies el opuesto.
• Propiedad conmutativa.
? Propiedades respecto del producto:
• Propiedad asociativa.
• Existencia de elemento neutro: 1 + 0i = 1 es el elemento neutro delproducto.
• Existencia de elemento inverso: para todo 0 6= z = a + bi ∈ C,
z−1 =z
|z| =a
a2 + b2+
−b
a2 + b2i
es el inverso de z.
• Propiedad conmutativa.
? Propiedades conjuntas:
• Propiedad distributiva.
Nota: Los numeros Complejos tambien son un Cuerpo.
Nota: En los numeros Complejos no hemos dado una nocion de orden, por lo queno podremos decir si un numero Complejo es mayos o menos que otro.
1.15 La forma polar de un numero Complejo. Vamos a usar el hechode que todo numero Complejo, z = a + bi ∈ C, se puede representar como unvector de R2, el plano Real, en donde a es la coordenada en el eje de coordenadasy b es la coordenada en el eje de abscisa.
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Ası, z queda determinado por el modulo de este vector y el angulo respectodel eje de coordenadas, al que llamaremos el argumento de z.
1.16 Def:. Cuando un numero Complejo lo demos a partir de su modulo M
y argumento α, diremos que z esta en forma polar, y lo notaremos por Z = Mα.En caso contrario, cuando demos un numero Complejo en la forma z = a + bi
diremos que z esta en forma cartesiana.
Nota: Es facil, usando nociones basicas de trigonometrıa, pasar de la forma polarde un numero Complejo a su forma cartesiana y viceversa.
z = a + bi, ⇒ z = |z|ArcTan ba
z = Mα ⇒ z = MCosα + MSenα i
Nota: Cuando nos encontramos con numeros polares puros, es decir, cuando laparte Real del numero Complejo sea cero, tenemos que calcular la arcotangente de“infinito” (ArcTan b
0 ) lo que sera interpretado como el angulo de noventa grados.
Nota: Un numero Complejo en forma polar tiene mas de una representacion, yaque para todo z = Mα, se tiene que Z = Mα+360 = Mα+360k, con k ∈ Z. Yaque en su representacion en el plano Real una o mas vueltas (sumar o restar unnumero de veces 360 grados al argumento) no afecta a su representacion. Por otrolado, por definicion, M es un numero Real positivo.
Nos encontramos con que va a ser mas facil multiplicar numeros en formapolar que en forma cartesiana. Ası, dados z = Mα y z′ = M ′
α′ tenemos que:
z.z′ = (MCosα + MSenα i)(M ′Cosα′ + M ′Senα′ i)
= (MM ′Cosα Cosα′ −MM ′Senα Senα′)
+ (MM ′Cosα Senα′ −MM ′Cosα′ Senα)i
= MM ′Cos(α + α′) + MM ′Sen(α + α′)i = MM ′(α+α′)
Nota: es decir, si queremos multiplicar numeros Complejos en forma polar semultiplican sus modulos y se suman sus argumentos.
1.17 Soluciones de ecuaciones polinomicas en C. Dada una ecuacionpolinomica de segundo grado ax2 + bx + c = 0 con a, b, c ∈ R, a 6= 0, tenemos quesus soluciones son:
x =−b±√b2 − 4ac
2a
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Cuando solo disponıamos de los numeros Reales nos encontrabamos que cuandob2 − 4ac < 0 la ecuacion “no tenia solucion”. Ahora, ya podemos trabajar con losnumeros Complejos, por lo que:
? Caso Real con dos raıces distintas: Si b2 − 4ac > 0
x =−b±√b2 − 4ac
2a.
? Caso Real con una raız doble: Si b2 − 4ac = 0
x =−b
2a.
? Caso Complejo con dos raıces conjugadas: Si b2 − 4ac < 0
x =−b±√b2 − 4ac
2a=−b
2a±
√−(b2 − 4ac)
2ai.
Las ecuaciones de grado superior son algo mas difıciles, no obstante todavıapodemos resolver algunas mas.
Vamos a calcular las soluciones de la ecuacion Xn = 1. Sabemos que unaprimera solucion es x = 1. Es mas, si suponemos que las soluciones son complejas,x = Mα nos encontramos con las ecuaciones:
1 = 1360k = (Mα)n = Mnnα
por lo que M = 1 (solo existe un numero Real positivo que verifique que Mn = 1)y α = 360
n k para k = 1, 2, . . . , n. Podrıamos poner k mayores, pero entonces seempezarıan a repetir las raıces. Por tanto el conjunto de soluciones de la ecuacionXn = 1 es:
{1 360n
, 12 360n
, . . . , 1(n−1) 360n}
Este conjunto de numeros es importante en matematicas, cada uno de sus elemen-tos se denomina una raız n-esima de la unidad.
Nota: Si denoto por γ = 1 360n
, tenemos que γk = 1k 360n
, por lo que el conjunto delas raıces n-esimas de la unidad es {γ, γ2, . . . , γn = 1}.Nota: Las raıces cuadradas de la unidad no son mas que {1180, 1360} = {−1, 1}.
Vamos a calcular las soluciones de la ecuacion Xn = a, con 0 < a ∈ R.Sabemos que una primera solucion es x = n
√a. Es mas, si γ = 1 360
n, el conjunto
de las n soluciones es:
{ n√
aγ, n√
aγ2, . . . , n√
aγn = n√
a}.
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2. ESPACIOS VECTORIALES
Denotemos por K indistintamente al cuerpo de los Racionales, de los Realeso de los Complejos y sea Kn el producto cartesiano de n copias de K. Ası:
Kn = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ K, para i = 1, 2, . . . , n}.
Nota: A los elementos de K los llamaremos escalares y a los elementos de Kn losllamaremos vectores.
Tenemos entonces las siguientes operaciones naturales:
? La suma de vectores: dados ((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) ∈ Kn definimosla suma como:
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) := (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
? La multiplicacion por escalares: dados λ ∈ K y (x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn defi-nimos la multiplicacion por escalares como:
λ(x1, x2, . . . , xn) := (λx1, λx2, . . . , λxn)
Las propiedades que verifican estas dos operaciones son:
Respecto de la suma, Kn es un grupo abeliano. Es decir: Si u, v y w son tresvectores,
(1.1) Propiedad asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, w ∈ Kn.
(1.2) Existencia de elemento neutro: 0 = (0, 0, . . . , 0) es el elemento neutropara la suma.
(1.3) Existencia de elemento opuesto: para todo v ∈ Kn, se tiene que −v
es su opuesto.
(1.4) Propiedad conmutativa: u + v = v + u ∀ u, v ∈ Kn.
Respecto del producto por escalares tenemos: Si λ, µ ∈ K y u, v ∈ Kn,
(2.1) λ(u + v) = λu + λv.
(2.2) (λ + µ)v = λv + µv.
(2.3) 1v = v.
(2.4) λ(µv) = (λµ)v.
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2.1 Def:. Sea F un cuerpo. Diremos que un conjunto V con dos operaciones,(V, +, .), es un espacio vectorial sobre F si verifica que :
• La suma es una operacion interna, es decir, + : V × V → V verificando de(1.1) a (1.4) y
• El producto es una operacion externa, es decir, . : F × V → V verificandode (2.1) a (2.4).
Nota: Siguiendo la notacion anterior, a los elementos de V los llamaremos vec-tores y a los elemento de F los llamaremos escalares.
2.2 Teorema [3, Teorema 3.1]. Sea V un espacio vectorial sobre uncuerpo F. Sean u, v ∈ V y λ, µ ∈ F. Entonces:
(i) 0v = 0.
(ii) λ0 = 0.
(iii) (−λ)v = −(λv) = λ(−v).
(iv) Si λv = λu y λ 6= 0, entonces u = v.
(v) Si λv = µv y v 6= 0, entonces λ = µ.
(vi) Si λv = 0, entonces λ = 0 o v = 0.
:Demo:(i). Vamos a jugar con el hecho de que 0 + 0 = 0 y la propiedad (2.2).
0v = (0 + 0)v = 0v + 0v
por tanto, si restamos en ambos lados 0v, es decir, sumamos el opuesto de 0v, yaplicamos la propiedad asociativa, tenemos que:
0 = 0v + (−0v) = (0v + 0v) + (−0v) = 0v + (0v + (−0v)) = 0v + 0 = 0v.
(ii). Es una demostracion bastante simetrica. Vamos a jugar con el hecho deque 0 + 0 = 0 y la propiedad (2.1).
λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0
por tanto, si restamos en ambos lados −λ0, es decir, sumamos el opuesto de λ0, yaplicamos la propiedad asociativa, tenemos que:
0 = λ0 + (−λ0) = (λ0 + λ0) + (−λ0) = λ0 + (λ0 + (−λ0)) = λ0
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(iii). (iv). (v) y (vi) pueden ser encontrados en [3, Teorema 3.1].
3. SISTEMA INDEPENDIENTE, SISTEMA GENERADOR, BASE DE UN
ESPACIO VECTORIAL
3.1 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea X = {v1, v2, . . . , vk}un subconjunto de vectores de V . Se define una combinacion lineal de elementosde X como cualquier vector v = λ1vi + λ2v2 + . . . + λnvn con λ1, λ2, . . . , λn ∈ F.
3.2 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea X = {v1, v2, . . . , vk}un subconjunto de V . Se dice que X es un conjunto de vectores linealmenteindependientes si la unica combinacion lineal de elementos de X que da cero escuando todos los escalares son cero. Es decir:
X es un conjunto de vectores independientes si y solo si
Si λ1vi + λ2v2 + . . . + λnvn = 0 ⇒ λi = 0, para i = 1, 2, . . . , n.
Caso contrario diremos que X es un conjunto de vectores dependientes.
3.3 Ejemplo 1. Sea V = (R2, +, .) espacio vectorial sobre el cuerpo de losReales. Entonces {(1, 2), (1, 1)} es un conjunto de vectores linealmente independi-entes.
Si λ(1, 2) + µ(1, 1) = 0 obtenemos que (λ + µ, 2λ + µ) = (0, 0), con lo queigualando por coordenadas obtenemos las ecuaciones:
λ + µ =0
2λ + µ =0
lo que implica que (resolviendo este sistema de ecuaciones) λ = µ = 0.
3.4 Ejemplo 2. Sea V = (R5,+, .) espacio vectorial sobre el cuerpo delos Reales. Entonces {(1, 2, 3, 4, 5), (1, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0, 1)} es un conjunto devectores independientes.
Si λ(1, 2, 3, 4, 5) + µ(1, 1, 1, 1, 1) + γ(0, 0, 0, 0, 1) = 0 obtenemos que
(λ + µ, 2λ + µ, 3λ + µ, 4λ + µ, 5λ + µ + γ) = (0, 0, 0, 0, 0),
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con lo que igualando por coordenadas obtenemos el siguiente sistema:
λ + µ = 02λ + µ = 03λ + µ = 04λ + µ = 05λ + µ + γ = 0
lo que implica que (resolviendo este sistema de ecuaciones) λ = µ = γ = 0.
3.5 Ejemplo 3. Mientras que (1, 2), (1, 0), (0, 1) es un conjunto de vectoresdependientes. Ya que 1 (1, 2)− 1 (1, 0)− 2 (0, 1) = 0.
3.6 Proposicion. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sean S
y T subconjuntos de V tales que S ⊂ T . Entonces:
• Si T es un conjunto de vectores independientes, S es un conjunto de vectoresindependientes.
• Si S es un conjunto de vectores dependientes, entonces T es un conjunto devectores dependientes.
Demo: En primer lugar vamos a nombrar los elementos de cada uno de estosconjuntos. Sea S = {v1, v2, . . . , vk} y T = {{v1, v2, . . . , vk, vk+1, . . . , vn}
(1). Consideremos una combinacion lineal de elementos de S igual a cero,λ1v1 + λ2v2 + . . . + λkvk = 0, con λi ∈ F. Tenemos que demostrar que la unicaposibilidad para que esto suceda es que todos los escalares son nulos. Consideremosentonces una combinacion lineal de elementos de T simplemente sumando el vectornulo de la siguiente forma, 0 = λ1v1+λ2v2+. . .+λkvk+0vk+1+. . .+0vn. Aplicandoahora que T es un conjunto de vectores independientes tenemos que λi = 0, parai = 1, 2, . . . , n, lo que demuestra el apartado.
(2). Se deja como ejercicio.
Nota: Todo conjunto que contenga al vector cero es un conjunto de vectoresdependientes.
3.7 Proposicion. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Sea S
conjunto de vectores independientes de V y v ∈ V . Si v no se puede escribir comocombinacion lineal de elementos de S, entonces S ∪{v} es un conjunto de vectoresindependientes.
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Demo: Nombremos los elementos de S = {v1, v2, . . . , vn}. Supongamos que exis-ten unos escalares, λ1, λ2, . . . , λn, λn+1 ∈ F tales que
λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn + λn+1v = 0.
Tenemos dos posibilidades:
(a). Si λn+1 6= 0. Entonces, si despejamos λn+1v tenemos:
λn+1v = −λ1v1 − λ2v2 − . . .− λnvn
y si ahora multiplicamos toda la igualdad por λ−1n+1 tenemos que:
v = − λ1
λn+1v1 − λ2
λn+1v2 − . . .− λn
λn+1vn
una contradiccion ya que v no era combinacion lineal de elementos de S. Portanto, este caso (a) no puede darse.
(b). Tenemos entonces que λn+1 = 0. Pero entonces la combinacion linealanterior es: λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn = 0, lo que implica, al ser S un conjuntode vectores independientes, que λi = 0, para i = 1, 2, . . . , n. Por tanto TODOSlos escalares son cero, lo que prueba que S ∪ {v} es un conjunto de vectoresindependientes.
Nota: Observar que esto nos da una forma de, dado un conjunto de vectoreslinealmente independientes, construir un conjunto de vectores linealmente inde-pendientes mayor. Resultado que tendremos que usar a lo largo del curso.
3.8 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se dice que un subconjuntoG = {v1, v2, . . . , vk} es un sistema generador para V si todo elemento de V escombinacion lineal de elementos de G.
3.9 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se dice que un subcon-junto B = {v1, v2, . . . , vk} es una base de V si es tanto un conjunto de vectoresindependientes como un sistema generador para V .
3.10 Ejemplo. Sea V = (Fn, +, .) espacio vectorial sobre un cuerpo F.Entonces B = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 0, 1)} es una base para V ,llamada la base canonica de Fn.
3.11 Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea B ={v1, v2, . . . , vk} una base de V . Entonces para todo vector v ∈ V existen unos
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unicos escalares, λ1, λ2, . . . , λn ∈ F tales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn. Esdecir, existe una unica combinacion lineal de elementos de B que es v.
Demo: Sea v ∈ V . Sabemos que como B es una base de V , en particular es unsistema de generadores de V , por lo que existen unos escalares λ1, λ2, . . . , λk ∈ Ftales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . . , λkvk.
Demostremos que ademas estos escalares son unicos. Supongamos que existenotros escalares, µ1, µ2, . . . , µk ∈ F tales que v = µ1v1 +µ2v2 + . . .+µkvk. Tenemosentonces que
λ1v1 + λ2v2 + . . . + λkvk = µ1v1 + µ2v2 + . . . , µkvk
por lo que si pasamos todo a un lado
λ1v1 + λ2v2 + . . . , λkvk − µ1v1 − µ2v2 − . . .− µkvk = 0
y reordenamos
(λ1 − µ1)v1 + (λ2 − µ2)v2 + . . . , (λk − µk)vk = 0.
Aplicando ahora que B tambien es un conjunto de vectores independientes, te-nemos que λ1 = µ1, λ2 = µ2, . . . , λk = µk.
3.12 Def:. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F, sea B ={v1, v2, . . . , vk} una base de V y sea v ∈ V . Entonces a los unicos escalaresλ1, λ2, . . . , λn ∈ F tales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . . , λkvk se les denomina las coor-denadas de v respecto de B, que denotaremos por (λ1, λ2, . . . , λn).
Nota: No se debe confundir las coordenadas de un vector respecto de una basecon el propio vector.
3.13 Teorema(sin demo). Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F.Sea S un conjunto de vectores independientes y G un sistema de generadores deV tales que S ⊂ G. Entonces existe una base B de V tal que S ⊂ B ⊂ G.
3.14 Corolario. Todo espacio vectorial posee base.
3.15 Teorema de Steinitz (sin demo). Sea V un espacio vectorial sobreun cuerpo F y sea {e1, e2, . . . , en} una base de V . Si v = λ1e1 + . . . + λnen yλi 6= 0. Entonces {e1, e2, . . . , ei−1, v, ei+1, . . . , en} es tambien una base de V .
Es decir, podemos cambiar cada vi por v siempre que el escalar λi 6= 0.
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3.16 Teorema(sin demo). Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpoF. Si V posee una base con n elementos entonces todas las bases de V poseen n
elementos.
3.17 Def:. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se define ladimension de V , y se representa por dimF(V ), como el numero de elementos decualquiera de sus bases.
3.18 Ejemplo:. Sea F un cuerpo y consideremos el espacio vectorial(Fn, +, .) con sus operaciones usuales. Entonces, como la base canonica tienen elementos, dimF(Fn) = n
3.19 Proposicion. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F dedimension n. Entonces:
(1) Todo conjunto de vectores independientes con n elementos es base.
(2) Todo sistema de generadores de V con n elementos es base.
Demo: (1). Sea S un conjunto de vectores independientes de n elemento. Por elTeorema (3.16), existe B una base de V tal que S ⊂ B(⊂ V ), y por el Teoremas(3.13) B tiene tambien n elementos. Por tanto S = B, es una base de V .
(2). Queda como ejercicio.
4. SUBESPACIOS VECTORIALES
4.1 Def:. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se dice queun subconjunto W de V es un subespacio vectorial de V si W con la suma y elproducto inducido tiene estructura de espacio vectorial.
Nota: Tenemos entonces que para que un subconjunto W de un espacio vectorialV sobre un cuerpo F sea un subespacio vectorial debe de cumplir:
(1) . Dados dos vectores w1 y w2 en W , w1 + w2 ∈ W .
(2) . Dados λ ∈ F y w ∈ W , λw ∈ W .
Y ademas se verifiquen las 8 propiedades de espacio vectorial, a saber:
Respecto de la suma:
(1.1) Propiedad asociativa: (w1 + w2) + w3 = w1 + (w2 + w3) ∀ w1, w2, w3 ∈ W .
(1.2) Existencia de elemento neutro, es decir, exista un elemento en W que hagade neutro.
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(1.3) Existencia de elemento opuesto, es decir, para cada elemento de W exista otroelemento de W que haga de neutro.
(1.4) Propiedad conmutativa: w1 + w2 = w2 + w1 ∀ w1, w2 ∈ W .
Respecto del producto por escalares tenemos: si λ, µ ∈ F y w1, w2 ∈ W ,
(2.1) λ(w1 + w2) = λw1 + λw2.
(2.2) (λ + µ)w1 = λv + µw1.
(2.3) 1w1 = w1.
(2.4) λ(µw1) = (λµ)w1.
No obstante, la propiedad (2.3) se verifica para todo elemento de V , por tantotambien se verificara para todo elemento de W . Por la misma razon siempre severifican: (1.1), (1.4), (2.1), (2.2) y (2.4). Es mas, si suponemos que se verifican (1)y (2), y W 6= ∅, dado w ∈ W y 0 ∈ F, por (2), 0w = 0 ∈ W , con lo que si que existeel elemento neutro en W , es mas, es el mismo que en V . Y (−1)w = −w ∈ W , conlo tambien tenemos el opuesto de cada elemento de W . Por tanto, y resumiendola informacion tenemos:
4.2 Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea W unsubconjunto no vacio de W . Las siguientes condiciones son equivalentes:
(1) W es un subespacio vectorial de V .
(2) – para todo par de vectores w1, w2 ∈ W , w1 + w2 ∈ W y
– para todo escalar λ ∈ F y todo vector w ∈ W , λw ∈ W .
(3) Para todo par de vectores w1, w2 de W y todo par de escalares λ, µ de F setiene que λw1 + µw2 ∈ W .
4.3 Ejemplo. Sea (R3,+, .) como espacio vectorial sobre los Reales. En-tonces W = {(x, x, y) | x, y ∈ R} es un subespacio vectorial de R3.
4.4 Ejemplo. Sea (R4,+, .) como espacio vectorial sobre los Reales. En-tonces W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x + 3y + 4z + t = 0} es un subespacio vectorial deR4.
4.5 Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea W unsubespacio de V . Entonces dimF(W ) ≤ dimF(V ).
Demo: Como W tiene estructura de espacio vectorial, podemos considerar BW ={w1, w2, . . . , wk} una base de W . Observar que BW es un conjunto de vectores
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independientes de V , por lo que aplicando el Teorema (3.13), existe una base BV
de V tal que BW ⊂ BV ⊂ V . Lo que implica que la dimension de V que es elnumero de elementos de BV es mayor o igual que la dimension de BW , que es elnumero de elementos de BW .
4.6 Subespacio generado por un conjunto de vectores. Sea V
un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea X = {v1, v2, . . . , vk} un conjunto devectores de V . Se define el subespacio generado por X y se representa por < X >
como el menor subespacio de V que contiene a X.
4.7 Proposicion. El subespacio generado por un conjunto X coincide con:
< X >= {λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn ∈ V | λi ∈ F, para i = 1, 2, . . . , n}
es decir con el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de X.
Demo: Es claro que el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementosde X esta contenido en el subespacio vectorial generado por X. Veamos pues queeste conjunto es un subespacio vectorial.
Dadas λ1v1 + λ2v2 . . . + λnvn y µ1v1 + µ2v2 + . . . + µnvn dos combinacioneslineales de elementos de X y λ ∈ F, tenemos que:
(λ1v1 + . . . + λnvn) + (µ1v1 + . . . + µnvn) = (λ1 + µ1)v1 + . . . + (λn + µn)vn
λ(λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn) = (λλ1)v1 + (λλ2)v2 + . . . + (λλn)vn
que claramente son combinaciones lineales de elementos de X. Por tanto este esel subespacio vectorial generado por X.
4.8 Distintos metodos para calcular bases de subespacios. Sea V
un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea W un subespacio de V . Supongamosque W viene dado a partir de un sistema de generadores, es decir existe un conjuntoX = {v1, v2, . . . , vk} ⊂ V tal que W =< X >. Sabemos, por el Teorema (3.13)que dado un conjunto de generadores, en este caso X, de un espacio vectorial, eneste caso W , existe una base BW tal que BW ⊂ X. El proceso para conseguir estabase es:
1). Tomamos un vi1 que sea no nulo.
2). Tomamos vi2 que sea independiente con vi1 . Si no existe nuestra base esvi1 .
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3). Tomamos vi3 que sea independiente con {vi1 , vi2}. Si no existe nuestrabase es {vi1 , vi2}.
2). Tomamos vi4 que sea independiente con {vi1 , vi2 , vi3}. Si no existe nuestrabase es {vi1 , vi2 , vi3}.
4). ETC...
Si nos dan un subespacio a partir de “ecuaciones”, resolveremos estas dandolas soluciones a partir de parametros. Al asignar a los parametros los valores1, 0, 0, ..., 0, 1, 0, 0..., 0, 0, 1, 0, 0... obtendremos la base buscada.
4.9 Ecuaciones para un subespacio vectorial de Fn.
Sea W un subespacio vectorial de Fn, con F un cuerpo. Supongamos quetenemos una base v1, v2, . . . , vk de W .
v1 = (a11, a12, . . . , a1n)
v2 = (a21, a22, . . . , a2n)...
vk = (ak1, a12, . . . , akn)
Se definen las ecuaciones vectoriales de W como:
(x1, . . . , xn) = λ1(a11, . . . , a1n) + λ2(a21, . . . , a2n) + . . . + λk(ak1, . . . , akn)
Si despejamos por coordenadas obtenemos las ecuaciones parametricas:
x1 = λ1a11 + λ2a21 + . . . + λkak1
x2 = λ1a12 + λ2a22 + . . . + λkak2
...
xn = λ1a1n + λ2a2n + . . . + λkakn
Si nos deshacemos de los parametros obtenemos las ecuaciones cartesianas, elproceso aquı consiste en, simplemente, aplicar el metodo de sustitucion para laresolucion de sistemas de ecuaciones lineales.
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5. MATERIAS CONVENIENTES PARA LA ASIMILACION DE LA TEORıA
(1) Para trabajar con los numeros complejos se necesitan nociones basicas detrigonometrıa.
(2) Para todo lo relacionado con conjuntos independientes de vectores, sistemagenerador, ecuaciones de un subespacio vectorial, sera muy util conocer resul-tados basicos en la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales como puedeser el Teorema de Cramer, y por ende, el estudio de las matrices sobre uncuerpo y la resolucion de determinantes.
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BIBLIOGRAFIA
[1] F. M. Hall: ”An introduction to Abstract Algebra”, Cambridge UniversityPress, 1980.
[2] M. Spivak: ”Calculus, Calculo Infinitesimal”, Editorial Reverte, S. A., 1992.
[3] P. Alberca, D. Martın: ”Metodos Matematicos”, Ediciones Aljibe, 2001.
