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8/17/2019 Tema3-Gradiente y Diferencial
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Tema 3: Cálculo diferencial en R2 y R3
Diferenciación
Ampliación de Cálculo
Primer curso de GISIT 2015-16
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Tema 3
http://find/
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Derivada direccional
Si f es diferenciable en (a, b) existe una forma alternativa paracalcular la derivada direccional, pues se verifica el:
Teorema
Si f es diferenciable en (a, b) y u = (u1, u2) es un vector unitariocualquiera, entonces existe la derivada direccional en el punto
(a, b) según el vector u,
Tema 3
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Derivada direccional
Si f es diferenciable en (a, b) existe una forma alternativa paracalcular la derivada direccional, pues se verifica el:
Teorema
Si f es diferenciable en (a, b) y u = (u1, u2) es un vector unitariocualquiera, entonces existe la derivada direccional en el punto
(a, b) según el vector u, y se verifica:
Duf (a, b) = f x(a, b)u1 + f y(a, b)u2
Tema 3
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Derivada direccional
Si f es diferenciable en (a, b) existe una forma alternativa paracalcular la derivada direccional, pues se verifica el:
Teorema
Si f es diferenciable en (a, b) y u = (u1, u2) es un vector unitario
cualquiera, entonces existe la derivada direccional en el punto
(a, b) según el vector u, y se verifica:
Duf (a, b) = f x(a, b)u1 + f y(a, b)u2
El anterior teorema permite, si f es diferenciable, el cálculo de laderivada direccional a partir de las derivadas parciales.
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Derivada direccional
Vector gradiente
Según el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tieneinfinitas derivadas direccionales: una derivada direccional para
cada vector unitario u = (u1, u2)
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Derivada direccional
Vector gradiente
Según el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tieneinfinitas derivadas direccionales: una derivada direccional para
cada vector unitario u = (u1, u2) cuyo valor se puede escribircomo un producto escalar de dos vectores:
Tema 3
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Derivada direccional
Vector gradiente
Según el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tieneinfinitas derivadas direccionales: una derivada direccional para
cada vector unitario u = (u1, u2) cuyo valor se puede escribircomo un producto escalar de dos vectores:
Du
f (
a, b) =
f x(
a, b)
u1 +
f y(
a, b)
u2 =
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Derivada direccional
Vector gradiente
Según el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tieneinfinitas derivadas direccionales: una derivada direccional para
cada vector unitario u = (u1, u2) cuyo valor se puede escribircomo un producto escalar de dos vectores:
Du
f (a, b) = f x
(a, b)u1
+ f y
(a, b)u2
= (f x
(a, b), f y
(a, b))·
(u1
, u2
)
Al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f
en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b)
Tema 3
D i d di i l
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Derivada direccional
Vector gradiente
Según el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tieneinfinitas derivadas direccionales: una derivada direccional para
cada vector unitario u = (u1, u2) cuyo valor se puede escribircomo un producto escalar de dos vectores:
Du
f (a, b) = f x
(a, b)u1
+ f y
(a, b)u2
= (f x
(a, b), f y
(a, b))·
(u1
, u2
)
Al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f
en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b) y sesimboliza por ∇f (a, b) = (f x(a, b), f y(a, b)).
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D i d di i l
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Derivada direccional
Vector gradiente
Según el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tieneinfinitas derivadas direccionales: una derivada direccional para
cada vector unitario u = (u1, u2) cuyo valor se puede escribircomo un producto escalar de dos vectores:
Du
f (a, b) = f x
(a, b)u1
+ f y
(a, b)u2
= (f x
(a, b), f y
(a, b))·
(u1
, u2
)
Al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f
en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b) y sesimboliza por ∇f (a, b) = (f x(a, b), f y(a, b)).Teorema Si f es diferenciable en (x, y), y u = (u1, u2) es un vector unitariocualquiera, entonces
Duf (x, y) = ∇f (x, y) · u
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Derivada direccional
Vector gradiente
Según el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tieneinfinitas derivadas direccionales: una derivada direccional para
cada vector unitario u = (u1, u2) cuyo valor se puede escribircomo un producto escalar de dos vectores:
Du
f (a, b) = f x
(a, b)u1
+ f y
(a, b)u2
= (f x
(a, b), f y
(a, b))·
(u1
, u2
)
Al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f
en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b) y sesimboliza por ∇f (a, b) = (f x(a, b), f y(a, b)).Teorema Si f es diferenciable en (x, y), y u = (u1, u2) es un vector unitariocualquiera, entonces
Duf (x, y) = ∇f (x, y) · u
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Derivada direccional
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Derivada direccional
Fijando un punto (x, y), y haciendo variar el vector unitario u,se obtienen valores distintos para la derivada direccional,
verificándose el siguiente:Teorema
Si f es una función diferenciable en (a, b), entonces:
1) La derivada direccional (también llamada velocidad o ritmo de
cambio) de f en (a, b) toma el valor máximo en la direccióndel gradiente, siendo su valor |∇f (a, b)|, y el vector unitariou =
∇f (a,b)|∇f (a,b)| .
2) La derivada direccional de f en (a, b) toma el valor mı́nimo enla dirección opuesta a la del gradiente, siendo su valor
−|∇f (a, b)|, y el vector unitario u = −∇f (a,b)|∇f (a,b)| .
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Derivada direccional
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Derivada direccional
Fijando un punto (x, y), y haciendo variar el vector unitario u,se obtienen valores distintos para la derivada direccional,
verificándose el siguiente:Teorema
Si f es una función diferenciable en (a, b), entonces:
1) La derivada direccional (también llamada velocidad o ritmo de
cambio) de f en (a, b) toma el valor m´aximo en la direcci
´ondel gradiente, siendo su valor |∇f (a, b)|, y el vector unitario
u = ∇f (a,b)|∇f (a,b)| .
2) La derivada direccional de f en (a, b) toma el valor mı́nimo enla dirección opuesta a la del gradiente, siendo su valor
−|∇f (a, b)|, y el vector unitario u = −∇f (a,b)|∇f (a,b)| .La demostración se basa en la expresión del producto escalar de
dos vectores como el producto de sus módulos por el coseno del
ángulo que forman, y se propone como ejercicio.
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Derivada direccional
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Derivada direccional
Ejemplo
Obtener las direcciones de máximo ritmo de crecimiento y de
decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funciónf (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).
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Derivada direccional
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Derivada direccional
Ejemplo
Obtener las direcciones de máximo ritmo de crecimiento y de
decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funciónf (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).Sol:
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Derivada direccional
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Derivada direccional
Ejemplo
Obtener las direcciones de máximo ritmo de crecimiento y de
decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funciónf (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).Sol: Calculemos el gradiente en el punto P :
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Derivada direccional
Ejemplo
Obtener las direcciones de máximo ritmo de crecimiento y de
decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funciónf (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).Sol: Calculemos el gradiente en el punto P :
f x = 2x,
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Derivada direccional
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Derivada direccional
Ejemplo
Obtener las direcciones de máximo ritmo de crecimiento y de
decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funciónf (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).Sol: Calculemos el gradiente en el punto P :
f x = 2x, f y = 2y
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Derivada direccional
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Derivada direccional
Ejemplo
Obtener las direcciones de máximo ritmo de crecimiento y de
decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funciónf (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).Sol: Calculemos el gradiente en el punto P :
f x = 2x, f y = 2y ⇒ ∇f (1, 2) = (f x(1, 2), f y(1, 2)) = (2, 4)
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Derivada direccional
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Derivada direccional
Ejemplo
Obtener las direcciones de máximo ritmo de crecimiento y de
decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funciónf (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).Sol: Calculemos el gradiente en el punto P :
f x = 2x, f y = 2y ⇒ ∇f (1, 2) = (f x(1, 2), f y(1, 2)) = (2, 4)
Lo que se pide son las direcciones donde la derivadadireccional toma los valores máximos o mı́nimos. Para el valor
máximo se tiene
∇f (1,2)
|∇f (1,2)
| = (2,4)
|(2,4)
|
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Derivada direccional
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e ada d ecc o a
Ejemplo
Obtener las direcciones de máximo ritmo de crecimiento y de
decrecimiento, y sus valores respectivos, para la función
f (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).Sol: Calculemos el gradiente en el punto P :
f x = 2x, f y = 2y ⇒ ∇f (1, 2) = (f x(1, 2), f y(1, 2)) = (2, 4)
Lo que se pide son las direcciones donde la derivadadireccional toma los valores máximos o mı́nimos. Para el valor
máximo se tiene
∇f (1,2)
|∇f (1,2)
| = (2,4)
|(2,4)
| = (2,4)√
20 = 22√ 5 , 42√ 5 = 1√ 5 , 2√ 5
siendo el valor máximo en esta dirección
|∇f (1, 2)| = |(2, 4)| = 2√ 5.La dirección de mayor ritmo de decrecimiento será la opuesta,
es decir −1√ 5 , −2√ 5, siendo su valor −2√
5.
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Diferenciabilidad
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Diferencial en una variable
Un infinit ́ esimo es una función (h) que verifica que ĺımh→0
ε(h) = 0.
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Diferenciabilidad
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Diferencial en una variable
Un infinit ́ esimo es una función (h) que verifica que ĺımh→0
ε(h) = 0.
El incremento de la variable x en un valor a es ∆x = x − a.
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Diferencial en una variable
Un infinit ́ esimo es una función (h) que verifica que ĺımh→0
ε(h) = 0.
El incremento de la variable x en un valor a es ∆x = x − a. Elincremento de la función en ese valor a es
∆y = f (a + ∆x)
−f (a).
f es diferenciable si ∆y es función lineal de ∆x salvo uninfinitésimo. Es decir si
∆y = k · ∆x + (∆x) · ∆x, para k ∈ R y ĺım∆x→0
ε(∆x) = 0
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Diferenciabilidad
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Diferencial en una variable
Un infinit ́ esimo es una función (h) que verifica que ĺımh→0
ε(h) = 0.
El incremento de la variable x en un valor a es ∆x = x − a. Elincremento de la función en ese valor a es
∆y = f (a + ∆x)
−f (a).
f es diferenciable si ∆y es función lineal de ∆x salvo uninfinitésimo. Es decir si
∆y = k · ∆x + (∆x) · ∆x, para k ∈ R y ĺım∆x→0
ε(∆x) = 0
La función lineal “k
·” es la diferencial de f , y se denota dy.
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Diferencial en una variable
Un infinit ́ esimo es una función (h) que verifica que ĺımh→0
ε(h) = 0.
El incremento de la variable x en un valor a es ∆x = x − a. Elincremento de la función en ese valor a es
∆y = f (a + ∆x)
−f (a).
f es diferenciable si ∆y es función lineal de ∆x salvo uninfinitésimo. Es decir si
∆y = k · ∆x + (∆x) · ∆x, para k ∈ R y ĺım∆x→0
ε(∆x) = 0
La función lineal “k
·” es la diferencial de f , y se denota dy. Ası́
dy(∆x) = k · ∆x, o abreviadamente dy = k∆x
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Diferenciabilidad
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Ejemplo
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Ejemplo
Calcular la diferencial de la función f (x) = x2 + 3x − 1 encualquier punto a.
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Ejemplo
Calcular la diferencial de la función f (x) = x2 + 3x − 1 encualquier punto a.
Sol: Calculemos el incremento de la función en dicho punto
cualquiera:
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Ejemplo
Calcular la diferencial de la función f (x) = x2 + 3x − 1 encualquier punto a.
Sol: Calculemos el incremento de la función en dicho punto
cualquiera:
∆y = f (a + ∆x) − f (a) =
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Ejemplo
Calcular la diferencial de la función f (x) = x2 + 3x − 1 encualquier punto a.
Sol: Calculemos el incremento de la función en dicho punto
cualquiera:
∆y = f (a + ∆x) − f (a) = (a + ∆x)2 + 3(a + ∆x) − 1 − f (a) =a2 + (∆x)2 + 2a∆x + 3a + 3∆x − 1 − a2 − 3a + 1 =
∆x2 + 2a∆x + 3∆x = (2a + 3)∆x + ∆x∆x
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Ejemplo
Calcular la diferencial de la función f (x) = x2 + 3x − 1 encualquier punto a.
Sol: Calculemos el incremento de la función en dicho punto
cualquiera:
∆y = f (a + ∆x) − f (a) = (a + ∆x)2 + 3(a + ∆x) − 1 − f (a) =a2 + (∆x)2 + 2a∆x + 3a + 3∆x − 1 − a2 − 3a + 1 =
∆x2 + 2a∆x + 3∆x = (2a + 3)∆x + ∆x∆x
Luego se cumple la definición de diferenciabilidad tomando
k = 2a + 3, y ε(∆x) = ∆x.
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Ejemplo
Calcular la diferencial de la función f (x) = x2 + 3x − 1 encualquier punto a.
Sol: Calculemos el incremento de la función en dicho punto
cualquiera:
∆y = f (a + ∆x) − f (a) = (a + ∆x)2 + 3(a + ∆x) − 1 − f (a) =a2 + (∆x)2 + 2a∆x + 3a + 3∆x − 1 − a2 − 3a + 1 =
∆x2 + 2a∆x + 3∆x = (2a + 3)∆x + ∆x∆x
Luego se cumple la definición de diferenciabilidad tomando
k = 2a + 3, y ε(∆x) = ∆x.Nótese que k = f (a). Veremos que esto es cierto en general.
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Si ∆y no es función lineal de ∆x salvo un infinitésimo,
entonces f no es diferenciable.
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Si ∆y no es función lineal de ∆x salvo un infinitésimo,
entonces f no es diferenciable.
Teorema
Si f es diferenciable, es decir si dy(∆x) = k · ∆x, entonces f esderivable, y coincide la diferencial con la derivada: k = f (a).
Para una función de una variable los conceptos de
diferenciabilidad y derivabilidad en un punto son equivalentes.
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Si ∆y no es función lineal de ∆x salvo un infinitésimo,
entonces f no es diferenciable.
Teorema
Si f es diferenciable, es decir si dy(∆x) = k · ∆x, entonces f esderivable, y coincide la diferencial con la derivada: k = f (a).
Para una función de una variable los conceptos de
diferenciabilidad y derivabilidad en un punto son equivalentes.
Si consideramos la función y = x ⇒ dy = ∆x
Tema 3
Diferenciabilidad
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Si ∆y no es función lineal de ∆x salvo un infinitésimo,
entonces f no es diferenciable.
Teorema
Si f es diferenciable, es decir si dy(∆x) = k · ∆x, entonces f esderivable, y coincide la diferencial con la derivada: k = f (a).
Para una función de una variable los conceptos de
diferenciabilidad y derivabilidad en un punto son equivalentes.
Si consideramos la función y = x ⇒ dy = ∆x ⇒ dy = dx = ∆x.
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Si ∆y no es función lineal de ∆x salvo un infinitésimo,
entonces f no es diferenciable.
Teorema
Si f es diferenciable, es decir si dy(∆x) = k · ∆x, entonces f esderivable, y coincide la diferencial con la derivada: k = f (a).
Para una función de una variable los conceptos de
diferenciabilidad y derivabilidad en un punto son equivalentes.
Si consideramos la función y = x ⇒ dy = ∆x ⇒ dy = dx = ∆x.Por esto la diferencial de f se suele escribir dy = f (a)dx, es decirf (a) = dy
dx, que es otra notación para la derivada.
Tema 3
Interpretación geométrica de la diferencial
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Tema 3
Diferenciabilidad
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Ejemplo Calcular la diferencial de f (x) = x3 − x2, en un punto arbitrario x,y luego en el punto x = a = 1:
Tema 3
Diferenciabilidad
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Ejemplo Calcular la diferencial de f (x) = x3 − x2, en un punto arbitrario x,y luego en el punto x = a = 1:Sol: Se tiene f (x) = 3x2 − 2x, luego dy = (3x2 − 2x)dx.
Tema 3
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Diferenciabilidad
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Ejemplo Calcular la diferencial de f (x) = x3 − x2, en un punto arbitrario x,y luego en el punto x = a = 1:Sol: Se tiene f (x) = 3x2 − 2x, luego dy = (3x2 − 2x)dx.Tomando x = 1
⇒dy = dx.
Ejercicio
Estudiar la diferenciabilidad de la función f (x) = log(x2 − x),calculando su diferencial para todos los valores posibles.
Tema 3
Diferenciabilidad
Dif i l d i bl
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Diferencial en dos variables
Un infinit ́ esimo en dos variables es una función (h1, h2) queverifica que ĺım
(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.
Tema 3
Diferenciabilidad
Dif i l d i bl
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Diferencial en dos variables
Un infinit ́ esimo en dos variables es una función (h1, h2) queverifica que ĺım
(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.
El incremento de las variables x e y en un punto (a, b)(∆x, ∆y) = (x − a, y − b).
Tema 3
Diferenciabilidad
Diferencial en dos variables
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Diferencial en dos variables
Un infinit ́ esimo en dos variables es una función (h1, h2) queverifica que ĺım
(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.
El incremento de las variables x e y en un punto (a, b)(∆x, ∆y) = (x − a, y − b). El incremento de la función en esepunto (a, b) es ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b).
Tema 3
Diferenciabilidad
Diferencial en dos variables
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Diferencial en dos variables
Un infinit ́ esimo en dos variables es una función (h1, h2) queverifica que ĺım
(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.
El incremento de las variables x e y en un punto (a, b)(∆x, ∆y) = (x − a, y − b). El incremento de la función en esepunto (a, b) es ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b).
f es diferenciable si ∆z es función lineal de (∆x, ∆y) salvo un
infinitésimo. Es decir si
∆z = (M N ) ·
∆x∆y
+ (∆x, ∆y) · ||(∆x, ∆y)||
para una matriz 2x1 (M N ) y infinitésimo.
Tema 3
Diferenciabilidad
Diferencial en dos variables
http://goforward/http://find/http://goback/
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Diferencial en dos variables
Un infinit ́ esimo en dos variables es una función (h1, h2) queverifica que ĺım
(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.
El incremento de las variables x e y en un punto (a, b)(∆x, ∆y) = (x − a, y − b). El incremento de la función en esepunto (a, b) es ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b).
f es diferenciable si ∆z es función lineal de (∆x, ∆y) salvo un
infinitésimo. Es decir si
∆z = (M N ) ·
∆x∆y
+ (∆x, ∆y) · ||(∆x, ∆y)||
para una matriz 2x1 (M N ) y infinitésimo.
La función lineal de matriz “(M N ) ·” es la diferencial de f , y sedenota dz.
Tema 3
Diferenciabilidad
Diferencial en dos variables
http://find/
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Diferencial en dos variables
Un infinit ́ esimo en dos variables es una función (h1, h2) queverifica que ĺım
(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.
El incremento de las variables x e y en un punto (a, b)(∆x, ∆y) = (x − a, y − b). El incremento de la función en esepunto (a, b) es ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b).
f es diferenciable si ∆z es función lineal de (∆x, ∆y) salvo un
infinitésimo. Es decir si
∆z = (M N ) ·
∆x∆y
+ (∆x, ∆y) · ||(∆x, ∆y)||
para una matriz 2x1 (M N ) y infinitésimo.
La función lineal de matriz “(M N ) ·” es la diferencial de f , y sedenota dz. Ası́
dz(∆x, ∆y) = (M N ) ·
∆x∆y
= M ∆x + N ∆y
Tema 3
Diferenciabilidad
Ejemplo
http://find/
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Ejemplo
Dada la función z = f (x, y) = x2 − xy + y, y el punto (a, b), calculemossu incremento, para incrementos ∆x e ∆y de a y b:
Tema 3
Diferenciabilidad
Ejemplo
http://find/
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Ejemplo
Dada la función z = f (x, y) = x2 − xy + y, y el punto (a, b), calculemossu incremento, para incrementos ∆x e ∆y de a y b:
Sol: ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) =
Tema 3
Diferenciabilidad
Ejemplo
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j p
Dada la función z = f (x, y) = x2 − xy + y, y el punto (a, b), calculemossu incremento, para incrementos ∆x e ∆y de a y b:Sol:
∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) =(a + ∆x)2 − (a + ∆x)(b + ∆y) + b∆y − a2 + ab − b =
a2+∆x2+2a∆x−ab−a∆y−b∆x−b∆x−∆x∆y +b+∆y−a2+ab−b =(−b + 2a)∆x + (−a + 1)∆y + ∆x∆x − ∆x∆y.
Tema 3
Diferenciabilidad
Ejemplo
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j p
Dada la función z = f (x, y) = x2 − xy + y, y el punto (a, b), calculemossu incremento, para incrementos ∆x e ∆y de a y b:Sol:
∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) =(a + ∆x)2 − (a + ∆x)(b + ∆y) + b∆y − a2 + ab − b =
a2+∆x2+2a∆x−ab−a∆y−b∆x−b∆x−∆x∆y +b+∆y−a2+ab−b =(−b + 2a)∆x + (−a + 1)∆y + ∆x∆x − ∆x∆y.
Como f x(x, y) = 2x
−y, f y(x, y) =
−x + 1
⇒f x(a, b) =
2a − b, f y(a, b) = −a + 1,
Tema 3
Diferenciabilidad
Ejemplo
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j p
Dada la función z = f (x, y) = x2 − xy + y, y el punto (a, b), calculemossu incremento, para incrementos ∆x e ∆y de a y b:Sol:
∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) =(a + ∆x)2 − (a + ∆x)(b + ∆y) + b∆y − a2 + ab − b =
a2+∆x2+2a∆x−ab−a∆y−b∆x−b∆x−∆x∆y +b+∆y−a2+ab−b =(−b + 2a)∆x + (−a + 1)∆y + ∆x∆x − ∆x∆y.
Como f x(x, y) = 2x
−y, f y(x, y) =
−x + 1
⇒f x(a, b) =
2a − b, f y(a, b) = −a + 1, luego∆z = f x(a, b)∆x + f y(a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y, siendo ε1 = ∆x yε2 = −∆x, cumpliendo que:
ĺım(∆x,∆y)→(0,0)
ε1(∆x, ∆y) = ĺım(∆x,∆y)→(0,0)
ε2(∆x, ∆y) = 0
Tema 3
Diferenciabilidad
Ejemplo
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Dada la función z = f (x, y) = x2 − xy + y, y el punto (a, b), calculemossu incremento, para incrementos ∆x e ∆y de a y b:Sol:
∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) =(a + ∆x)2 − (a + ∆x)(b + ∆y) + b∆y − a2 + ab − b =
a2+∆x2+2a∆x−ab−a∆y−b∆x−b∆x−∆x∆y +b+∆y−a2+ab−b =(−b + 2a)∆x + (−a + 1)∆y + ∆x∆x − ∆x∆y.
Como f x(x, y) = 2x
−y, f y(x, y) =
−x + 1
⇒f x(a, b) =
2a − b, f y(a, b) = −a + 1, luego∆z = f x(a, b)∆x + f y(a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y, siendo ε1 = ∆x yε2 = −∆x, cumpliendo que:
ĺım(∆x,∆y)→(0,0)
ε1(∆x, ∆y) = ĺım(∆x,∆y)→(0,0)
ε2(∆x, ∆y) = 0
Como consecuencia se cumple la definición de diferenciabilidad en el
punto (a, b), poniendo M = f x(a, b) y N = f y(a, b).
Tema 3
Diferenciabilidad
Ejemplo
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Dada la función z = f (x, y) = x2 − xy + y, y el punto (a, b), calculemossu incremento, para incrementos ∆x e ∆y de a y b:Sol:
∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) =(a + ∆x)2 − (a + ∆x)(b + ∆y) + b∆y − a2 + ab − b =
a2+∆x2+2a∆x−ab−a∆y−b∆x−b∆x−∆x∆y +b+∆y−a2+ab−b =(−b + 2a)∆x + (−a + 1)∆y + ∆x∆x − ∆x∆y.
Como f x(x, y) = 2x
−y, f y(x, y) =
−x + 1
⇒f x(a, b) =
2a − b, f y(a, b) = −a + 1, luego∆z = f x(a, b)∆x + f y(a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y, siendo ε1 = ∆x yε2 = −∆x, cumpliendo que:
ĺım(∆x,∆y)→(0,0)
ε1(∆x, ∆y) = ĺım(∆x,∆y)→(0,0)
ε2(∆x, ∆y) = 0
Como consecuencia se cumple la definición de diferenciabilidad en el
punto (a, b), poniendo M = f x(a, b) y N = f y(a, b). Las relacionesobtenidas en el ejemplo, para M y N , son ciertas en general, aunque el
procedimiento aquı́ empleado, de cálculo directo, se hace complicado en
la mayorı́a de los casos.
Tema 3
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60/144
Diferenciabilidad
Si ∆z no es función lineal de (∆x, ∆y), f no es diferenciable.
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( , y), fSe verifica el siguiente:
Teorema Si f es diferenciable en (a, b) y dz = M ∆x + N ∆y es su diferencial en ese punto, entonces existen la derivadas parciales
f x(a, b), f y(a, b) y coinciden con M y N respectivamente:
M = f x(a, b), N = f y(a, b)
Tema 3
Diferenciabilidad
Si ∆z no es función lineal de (∆x, ∆y), f no es diferenciable.
http://find/
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( , y), fSe verifica el siguiente:
Teorema Si f es diferenciable en (a, b) y dz = M ∆x + N ∆y es su diferencial en ese punto, entonces existen la derivadas parciales
f x(a, b), f y(a, b) y coinciden con M y N respectivamente:
M = f x(a, b), N = f y(a, b)
Considerando la función
z = x ⇒
Tema 3
Diferenciabilidad
Si ∆z no es función lineal de (∆x, ∆y), f no es diferenciable.
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( , y) fSe verifica el siguiente:
Teorema Si f es diferenciable en (a, b) y dz = M ∆x + N ∆y es su diferencial en ese punto, entonces existen la derivadas parciales
f x(a, b), f y(a, b) y coinciden con M y N respectivamente:
M = f x(a, b), N = f y(a, b)
Considerando la función
z = x ⇒ f x = 1, f y = 0 ⇒ dz = dx = 1∆x ⇒ dx = ∆x.
Tema 3
Diferenciabilidad
Si ∆z no es función lineal de (∆x, ∆y), f no es diferenciable.
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Se verifica el siguiente:
Teorema Si f es diferenciable en (a, b) y dz = M ∆x + N ∆y es su diferencial en ese punto, entonces existen la derivadas parciales
f x(a, b), f y(a, b) y coinciden con M y N respectivamente:
M = f x(a, b), N = f y(a, b)
Considerando la función
z = x ⇒ f x = 1, f y = 0 ⇒ dz = dx = 1∆x ⇒ dx = ∆x.Análogamente si
z = y ⇒ f x = 0, f y = 1 ⇒ dz = dy = 1∆y ⇒ dy = ∆y.
Tema 3
Diferenciabilidad
Si ∆z no es función lineal de (∆x, ∆y), f no es diferenciable.
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Se verifica el siguiente:
Teorema Si f es diferenciable en (a, b) y dz = M ∆x + N ∆y es su diferencial en ese punto, entonces existen la derivadas parciales
f x(a, b), f y(a, b) y coinciden con M y N respectivamente:
M = f x(a, b), N = f y(a, b)
Considerando la función
z = x ⇒ f x = 1, f y = 0 ⇒ dz = dx = 1∆x ⇒ dx = ∆x.Análogamente si
z = y ⇒ f x = 0, f y = 1 ⇒ dz = dy = 1∆y ⇒ dy = ∆y. .Por lo tanto dz se puede escribir en la forma
dz = f x(a, b)dx + f y(a, b)dy
Tema 3
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Diferenciabilidad
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Ejercicio
Estudiar la diferenciabilidad en el origen de la función:
f (x, y) =
e
−1
x2+y2 si x2 + y2 = 00 si (x, y) = 0
Tema 3
Plano tangente y diferenciabilidad
P i bl l i t i d d i d t i l
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Para una variable, la existencia de derivada en un punto, equivale
a la existencia de recta tangente en el mismo punto.
Tema 3
Plano tangente y diferenciabilidad
P i bl l i t i d d i d t i l
http://find/
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Para una variable, la existencia de derivada en un punto, equivale
a la existencia de recta tangente en el mismo punto.
Veremos que para dos variables la diferenciabilidad en unpunto equivale a la existencia de plano tangente a la superficie
que representa la función, en el mismo punto.
Tema 3
Plano tangente y diferenciabilidad
Para una variable la existencia de derivada en un punto equivale
http://find/
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Para una variable, la existencia de derivada en un punto, equivale
a la existencia de recta tangente en el mismo punto.
Veremos que para dos variables la diferenciabilidad en unpunto equivale a la existencia de plano tangente a la superficie
que representa la función, en el mismo punto. En general, la
existencia de derivadas parciales no garantiza la existencia de
plano tangente.
Se tiene el siguiente resultado fundamental:
Teorema
La superficie z = f (x, y) admite plano tangente en el punto P (a,b,f (a, b)) si y solo si la funci ́ on f es diferenciable en el punto
(a, b), y en este caso su ecuaci ́ on es
f x(a, b)(x − a) + f y(a, b)(y − b) − (z − f (a, b)) = 0
Tema 3
Plano tangente y diferenciabilidad
Supongamos, para demostrarlo, que f es diferenciable en el punto
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Supongamos, para demostrarlo, que f es diferenciable en el punto
P (a, b), y llamemos x = a + ∆x, y = b + ∆y, c = f (a, b)
Tema 3
Plano tangente y diferenciabilidad
Supongamos, para demostrarlo, que f es diferenciable en el punto
http://find/
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p ga s, pa a s a , q f s a p
P (a, b), y llamemos x = a + ∆x, y = b + ∆y, c = f (a, b) por lo que debeverificarse, por definición de diferenciabilidad:
f (x, y) = c + f x(a, b)(x − a) + f y(a, b)(y − b) + ε
(x − a)2 + (y − b)2
Tema 3
Plano tangente y diferenciabilidad
Supongamos, para demostrarlo, que f es diferenciable en el punto
http://find/
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p g , p , q f p
P (a, b), y llamemos x = a + ∆x, y = b + ∆y, c = f (a, b) por lo que debeverificarse, por definición de diferenciabilidad:
f (x, y) = c + f x(a, b)(x − a) + f y(a, b)(y − b) + ε
(x − a)2 + (y − b)2El plano que tiene por ecuación z = c + f x(a, b)(x − a) + f y(a, b)(y − b)tiene la propiedad de que la diferencia entre la ‘z’ de la función y la ‘z’ del
plano es un infinitésimo de orden superior a (x − a)2 + (y − b)2
cuando (∆x, ∆y) → (0, 0), ya que se tienef (x, y)− (c + f x(a, b)(x− a) + f y(a, b)(y− b)) = ε
(x − a)2 + (y − b)2
luego z(de la función) − z(del plano) = ε
(x − a)2 + (y − b)2.
Tema 3
Plano tangente y diferenciabilidad
Supongamos, para demostrarlo, que f es diferenciable en el punto
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p g p q f p
P (a, b), y llamemos x = a + ∆x, y = b + ∆y, c = f (a, b) por lo que debeverificarse, por definición de diferenciabilidad:
f (x, y) = c + f x(a, b)(x − a) + f y(a, b)(y − b) + ε
(x − a)2 + (y − b)2El plano que tiene por ecuación z = c + f x(a, b)(x − a) + f y(a, b)(y − b)tiene la propiedad de que la diferencia entre la ‘z’ de la función y la ‘z’ del
plano es un infinitésimo de orden superior a (x − a)2 + (y − b)2
cuando (∆x, ∆y) → (0, 0), ya que se tienef (x, y)− (c + f x(a, b)(x− a) + f y(a, b)(y− b)) = ε
(x − a)2 + (y − b)2
luego z(de la función) − z(del plano) = ε
(x − a)2 + (y − b)2. Ademásse cumple:
z(de la función)−z(del plano)√ (x−a)2+(y−b)2
= ε siendo ĺım(∆x,∆y)→(0,0)
ε = 0, con lo
que se prueba lo afirmado anteriormente. El plano considerado antes esel plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P (a,b,f (a, b)),y la condición que verifica se toma como definición de plano tangente a
una superficie en un punto.
Tema 3
Interpretación geométrica de la diferencial
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Tema 3
Regla de la cadena
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Estudiemos ahora la regla de la cadena o la derivada de la función
compuesta para funciones de dos variables.
Tema 3
Regla de la cadena
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Estudiemos ahora la regla de la cadena o la derivada de la función
compuesta para funciones de dos variables.Regla de la cadena para el caso:
z = f (x, y), x = g(t), y = h(t).
Tema 3
Regla de la cadena
http://find/
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Estudiemos ahora la regla de la cadena o la derivada de la función
compuesta para funciones de dos variables.Regla de la cadena para el caso:
z = f (x, y), x = g(t), y = h(t).
Teorema Sea z = f (x, y) diferenciable en (x, y). Six = g(t), y = h(t), siendo g y h funciones derivables en t,entonces f es derivable en t, y su derivada es
z(t) = zxx
(t) + zyy
(t).
Tema 3
Regla de la cadena
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Ejemplo
Siendo z = xy2
− x2
, con x = cos t, y = sen t, verificamos elresultado anterior calculando z (t) de dos formas distintas:directamente sustituyendo x, y en función de t,
Tema 3
Regla de la cadena
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Ejemplo
Siendo z = xy2
− x2
, con x = cos t, y = sen t, verificamos elresultado anterior calculando z (t) de dos formas distintas:directamente sustituyendo x, y en función de t, y aplicando el
teorema anterior:
z(t) = cos t sen2
t − cos2
t ⇒ z(t) = − sen t sen2
t +2cos t cos t sen t+2sen t cos t = − sen3 t+2cos2 t sen t+2sen t cos t
Tema 3
Regla de la cadena
http://find/
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81/144
Ejemplo
Siendo z = xy2
− x2
, con x = cos t, y = sen t, verificamos elresultado anterior calculando z (t) de dos formas distintas:directamente sustituyendo x, y en función de t, y aplicando el
teorema anterior:
z(t) = cos t sen2
t − cos2
t ⇒ z(t) = − sen t sen2
t +2cos t cos t sen t+2sen t cos t = − sen3 t+2cos2 t sen t+2sen t cos t
z(t) = zxx(t) + zyy(t) = (y2 − 2x)(− sen t) + 2xy cos t =(sen2 t − 2cos t)(− sen t) + 2 cos2 t sen t,
Tema 3
Regla de la cadena
http://goforward/http://find/http://goback/
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Ejemplo
Siendo z = xy2
− x2
, con x = cos t, y = sen t, verificamos elresultado anterior calculando z (t) de dos formas distintas:directamente sustituyendo x, y en función de t, y aplicando el
teorema anterior:
z(t) = cos t sen2
t − cos2
t ⇒ z(t) = − sen t sen2
t +2cos t cos t sen t+2sen t cos t = − sen3 t+2cos2 t sen t+2sen t cos t
z(t) = zxx(t) + zyy(t) = (y2 − 2x)(− sen t) + 2xy cos t =(sen2 t − 2cos t)(− sen t) + 2 cos2 t sen t,
que coincide con el resultado anterior.
Tema 3
Regla de la cadena
z = f (x, y), x = g(t), y = h(t)
http://find/
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f( , y), g( ), y ( )
z (t) = z xx(t) + z yy(t)
Tema 3
Regla de la cadena
Regla de la cadena para el caso:
z = f (x y) x = g(u v) y = h(u v):
http://find/
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z = f (x, y), x = g(u, v), y = h(u, v):
Tema 3
Regla de la cadena
Regla de la cadena para el caso:
z = f (x, y), x = g(u, v), y = h(u, v):
http://find/
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z f (x, y), x g(u, v), y h(u, v):Teorema
Si f es diferenciable en (x, y) y existen las derivadas parcialesxu, xv, yu, yv en (u, v), entonces existen zu, zv en (u, v) y severifica:
zu = zxxu + zyyuzv = zxxv + zyyv
Tema 3
Regla de la cadena
Regla de la cadena para el caso:
z = f (x, y), x = g(u, v), y = h(u, v):
http://find/
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z f (x, y), x g(u, v), y h(u, v):Teorema
Si f es diferenciable en (x, y) y existen las derivadas parcialesxu, xv, yu, yv en (u, v), entonces existen zu, zv en (u, v) y severifica:
zu = zxxu + zyyuzv = zxxv + zyyv
Para funciones de más de dos variables se obtienen resultados
análogos.
Tema 3
Regla de la cadena
Regla de la cadena para el caso:
z = f (x, y), x = g(u, v), y = h(u, v):
http://goforward/http://find/http://goback/
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f ( , y), g( , ), y ( , )Teorema
Si f es diferenciable en (x, y) y existen las derivadas parcialesxu, xv, yu, yv en (u, v), entonces existen zu, zv en (u, v) y severifica:
zu = zxxu + zyyuzv = zxxv + zyyv
Para funciones de más de dos variables se obtienen resultados
análogos.
Ejercicio
Siendo z = x2y2
2 , x = u + v, y = u
−v, calcular zu, zv de dos
formas distintas:
a) Sustituyendo x e y en función de u y v.
b) Aplicando el teorema anterior.
Tema 3
Regla de la cadena
http://find/http://goback/
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z = f (x, y), x = g(u, v), y = h(u, v)
z u = z xxu + z yyuz v = z xxv + z yyv
Tema 3
Regla de la cadena
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Otro ejemplo:
z = F (u,v,w), u = g(x, y), v = h(x, y), w = k(x, y)
F x = F uux + F vvx + F wwx
F y = F uuy + F vvy + F wwy
Tema 3
Regla de la cadena
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Otro ejemplo:
z = F (u,v,w), u = g(x, y), v = h(x, y), w = k(x, y)
F x = F uux + F vvx + F wwx
F y = F uuy + F vvy + F wwy
Se usará más adelante al derivar implı́citamente.
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
El modo de escribir la función de dos variables, hasta ahora, ha
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sido z = f (x, y).
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
El modo de escribir la función de dos variables, hasta ahora, ha
http://find/
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sido z = f (x, y). Decimos que z está dada en forma explicita , es
decir, despejada en función de x e y.
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
El modo de escribir la función de dos variables, hasta ahora, ha
http://find/
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sido z = f (x, y). Decimos que z está dada en forma explicita , es
decir, despejada en función de x e y.
Otra forma, mas general, de definir z como función de x e y es
F (x,y,z) = 0.
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
El modo de escribir la función de dos variables, hasta ahora, ha
( )
http://find/
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sido z = f (x, y). Decimos que z está dada en forma explicita , es
decir, despejada en función de x e y.Otra forma, mas general, de definir z como función de x e y es
F (x,y,z) = 0. Se llama forma impl ́ ıcita de definir z como funciónde x, y (la z no está despejada).
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
El modo de escribir la función de dos variables, hasta ahora, ha
id f ( ) D i ´ d d f li i
http://find/
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sido z = f (x, y). Decimos que z está dada en forma explicita , es
decir, despejada en función de x e y.Otra forma, mas general, de definir z como función de x e y es
F (x,y,z) = 0. Se llama forma impl ́ ıcita de definir z como funciónde x, y (la z no está despejada).
El pasar de la forma explicita a la implı́cita es inmediato:
z = f (x, y) ⇒ z − f (x, y) = 0.
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
El modo de escribir la función de dos variables, hasta ahora, ha
id f ( ) D i t ´ d d f li it
http://find/
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sido z = f (x, y). Decimos que z está dada en forma explicita , es
decir, despejada en función de x e y.Otra forma, mas general, de definir z como función de x e y es
F (x,y,z) = 0. Se llama forma impl ́ ıcita de definir z como funciónde x, y (la z no está despejada).
El pasar de la forma explicita a la implı́cita es inmediato:
z = f (x, y) ⇒ z − f (x, y) = 0. Si llamamosF (x,y,z) = z − f (x, y) ⇒ F (x,y,z) = 0.
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
El modo de escribir la función de dos variables, hasta ahora, ha
id f ( ) D i t ´ d d f li it
http://find/
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sido z = f (x, y). Decimos que z esta dada en forma explicita , es
decir, despejada en función de x e y.Otra forma, mas general, de definir z como función de x e y es
F (x,y,z) = 0. Se llama forma impl ́ ıcita de definir z como funciónde x, y (la z no está despejada).
El pasar de la forma explicita a la implı́cita es inmediato:
z = f (x, y) ⇒ z − f (x, y) = 0. Si llamamosF (x,y,z) = z − f (x, y) ⇒ F (x,y,z) = 0.
El pasar de la forma implı́cita a la explicita, en general, es más
complicado.
Tema 3
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Derivación en forma implı́citaSupongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0.
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Tema 3
Derivación en forma implı́citaSupongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
http://find/
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igualdad F (x,y,z) = 0,
Tema 3
Derivación en forma implı́citaSupongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
http://find/
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101/144
igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x = 0x ⇒ F x = 0, F y = 0.
Tema 3
Derivación en forma implı́citaSupongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
http://find/http://goback/
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102/144
igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x = 0x ⇒ F x = 0, F y = 0.Derivando respecto de x :F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0,
Tema 3
Derivación en forma implı́citaSupongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
http://find/
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103/144
igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x = 0x ⇒ F x = 0, F y = 0.Derivando respecto de x :F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0, como xx = 1, yx = 0,⇒ zx = −F xF z
Tema 3
Derivación en forma implı́citaSupongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
http://find/
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igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x = 0x ⇒ F x = 0, F y = 0.Derivando respecto de x :F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0, como xx = 1, yx = 0,⇒ zx = −F xF z
Derivando respecto de y :
F y = F xxy + F yyy + F zzy = 0,
Tema 3
Derivación en forma implı́citaSupongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
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igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x = 0x ⇒ F x = 0, F y = 0.Derivando respecto de x :F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0, como xx = 1, yx = 0,⇒ zx = −F xF z
Derivando respecto de y :
F y = F xxy + F yyy + F zzy = 0, como xy = 0, yy = 1,
⇒zy =
−F yF z
Tema 3
Derivación en forma implı́citaSupongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
http://find/
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106/144
igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x = 0x ⇒ F x = 0, F y = 0.Derivando respecto de x :F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0, como xx = 1, yx = 0,⇒ zx = −F xF z
Derivando respecto de y :
F y = F xxy + F yyy + F zzy = 0, como xy = 0, yy = 1,
⇒zy =
−F yF z
Ejemplo
Siendo z3 sen x + zexy − xy = 0, obtener zx, zy aplicando elresultado anterior.
Tema 3
Derivación en forma implı́citaSupongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
i ld d F bti F F F
http://find/
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igualdad F (
x,y,z) = 0
, se obtiene F x = 0x ⇒
F x = 0
, F y = 0
.
Derivando respecto de x :
F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0, como xx = 1, yx = 0,⇒ zx = −F xF zDerivando respecto de y :
F y = F xxy + F yyy + F zzy = 0, como xy = 0, yy = 1,
⇒zy =
−F yF z
Ejemplo
Siendo z3 sen x + zexy − xy = 0, obtener zx, zy aplicando elresultado anterior.
Sol: En este caso F (x,y,z) = z3 sen x + zexy − xy, luego
Tema 3
Derivaci´on en forma implı́cita
Supongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
igualdad F se obtiene F F F
http://find/
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igualdad F (
x,y,z) = 0
, se obtiene F x = 0x ⇒
F x = 0
, F y = 0
.
Derivando respecto de x :
F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0, como xx = 1, yx = 0,⇒ zx = −F xF zDerivando respecto de y :
F y = F xxy + F yyy + F zzy = 0, como xy = 0, yy = 1,
⇒zy =
−F yF z
Ejemplo
Siendo z3 sen x + zexy − xy = 0, obtener zx, zy aplicando elresultado anterior.
Sol: En este caso F (x,y,z) = z3 sen x + zexy − xy, luegoF x = z
3
cos x + zyexy
− y,
Tema 3
Derivaci´on en forma implı́cita
Supongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
igualdad F x y z se obtiene F F F
http://find/
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igualdad F (
x,y,z) = 0
, se obtiene F x = 0x ⇒
F x = 0
, F y = 0
.
Derivando respecto de x :
F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0, como xx = 1, yx = 0,⇒ zx = −F xF zDerivando respecto de y :
F y = F xxy + F yyy + F zzy = 0, como xy = 0, yy = 1,
⇒zy =
−F yF z
Ejemplo
Siendo z3 sen x + zexy − xy = 0, obtener zx, zy aplicando elresultado anterior.
Sol: En este caso F (x,y,z) = z3 sen x + zexy − xy, luegoF x = z
3
cos x + zyexy
− y, F y = zxexy
− x,
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Supongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
igualdad F (x y z) = 0 se obtiene F = 0 F = 0 F = 0
http://find/
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igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x
= 0x ⇒
F x
= 0, F y
= 0.Derivando respecto de x :
F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0, como xx = 1, yx = 0,⇒ zx = −F xF zDerivando respecto de y :
F y = F xxy + F yyy + F zzy = 0, como xy = 0, yy = 1,
⇒zy =
−F yF z
Ejemplo
Siendo z3 sen x + zexy − xy = 0, obtener zx, zy aplicando elresultado anterior.
Sol: En este caso F (x,y,z) = z3 sen x + zexy − xy, luegoF x = z
3
cos x + zyexy
− y, F y = zxexy
− x, F z = 3z2
sen x + exy
.
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Supongamos que z está definida implı́citamente como función de
x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la
igualdad F (x y z) = 0 se obtiene F = 0 F = 0 F = 0
http://find/
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igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x
= 0x ⇒
F x
= 0, F y
= 0.Derivando respecto de x :
F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0, como xx = 1, yx = 0,⇒ zx = −F xF zDerivando respecto de y :
F y = F xxy + F yyy + F zzy = 0, como xy = 0, yy = 1,
⇒zy =
−F yF z
Ejemplo
Siendo z3 sen x + zexy − xy = 0, obtener zx, zy aplicando elresultado anterior.
Sol: En este caso F (x,y,z) = z3 sen x + zexy − xy, luegoF x = z
3
cos x + zyexy
− y, F y = zxexy
− x, F z = 3z2
sen x + exy
.Por lo que sustituyendo queda:
zx = −z3 cosx−zyexy+y
3z2 senx+exy , zy =
−xzexy+x3z2 senx+exy
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Ejercicio
Con el mismo dato del ejemplo anterior, obtener zx, zyderivando directamente la igualdad z3 sen x + zexy xy = 0, y
http://find/
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g
−y y
considerando que z es función de x e y. Comprobar que elresultado obtenido coincide con el anterior.
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Como otra aplicación de la derivación implı́cita, obtengamos la
ecuación de plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el puntoP (a,b,c) cuando esta viene dada en forma implı́citaF (x y z) = 0
http://find/
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F (x,y,z) = 0.
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Como otra aplicación de la derivación implı́cita, obtengamos la
ecuación de plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el puntoP (a,b,c) cuando esta viene dada en forma implı́citaF (x y z) = 0
http://find/http://goback/
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F (x,y,z) 0.Se obtuvo que la ecuación es:
zx(a, b)(x − a) + zy(a, b)(y − b) − (z − c) = 0
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Como otra aplicación de la derivación implı́cita, obtengamos la
ecuación de plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el puntoP (a,b,c) cuando esta viene dada en forma implı́citaF (x,y,z) = 0.
http://goforward/http://find/http://goback/
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F (x,y,z) 0.Se obtuvo que la ecuación es:
zx(a, b)(x − a) + zy(a, b)(y − b) − (z − c) = 0Siendo zx =
−F xF z
, zy = −F yF z
, sustituyendo queda:
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Como otra aplicación de la derivación implı́cita, obtengamos la
ecuación de plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el puntoP (a,b,c) cuando esta viene dada en forma implı́citaF (x,y,z) = 0.
http://find/http://goback/
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( ,y,z) 0Se obtuvo que la ecuación es:
zx(a, b)(x − a) + zy(a, b)(y − b) − (z − c) = 0Siendo zx =
−F xF z
, zy = −F yF z
, sustituyendo queda:
−F x(a,b,c)F z(a,b,c) (x − a)− −F y(a,b,c)F z(a,b,c) (y − b) − (z − c) = 0 ⇒
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Como otra aplicación de la derivación implı́cita, obtengamos la
ecuación de plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el puntoP (a,b,c) cuando esta viene dada en forma implı́citaF (x,y,z) = 0.
http://find/http://goback/
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( ,y, )Se obtuvo que la ecuación es:
zx(a, b)(x − a) + zy(a, b)(y − b) − (z − c) = 0Siendo zx =
−F xF z
, zy = −F yF z
, sustituyendo queda:
−F x(a,b,c)F z(a,b,c) (x − a)− −F y(a,b,c
)F z(a,b,c) (y − b) − (z − c) = 0 ⇒F x(a,b,c)(x − a) + F y(a,b,c)(y − b) + F z(a,b,c)(z − c) = 0
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Como otra aplicación de la derivación implı́cita, obtengamos la
ecuación de plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el puntoP (a,b,c) cuando esta viene dada en forma implı́citaF (x,y,z) = 0.
http://find/
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( ,y, )Se obtuvo que la ecuación es:
zx(a, b)(x − a) + zy(a, b)(y − b) − (z − c) = 0Siendo zx =
−F xF z
, zy = −F yF z
, sustituyendo queda:
−F x(a,b,c
)F z(a,b,c) (x − a)− −F y(a,b,c
)F z(a,b,c) (y − b) − (z − c) = 0 ⇒F x(a,b,c)(x − a) + F y(a,b,c)(y − b) + F z(a,b,c)(z − c) = 0
Luego la recta normal en el punto P (a,b,c) tiene como vectordirector (F x(a,b,c), F y(a,b,c), F z(a,b,c)),
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Como otra aplicación de la derivación implı́cita, obtengamos la
ecuación de plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el puntoP (a,b,c) cuando esta viene dada en forma implı́citaF (x,y,z) = 0.
http://find/
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( y )Se obtuvo que la ecuación es:
zx(a, b)(x − a) + zy(a, b)(y − b) − (z − c) = 0Siendo zx =
−F xF z
, zy = −F yF z
, sustituyendo queda:
−F x(a,b,c
)F z(a,b,c) (x − a)− −F y(a,b,c
)F z(a,b,c) (y − b) − (z − c) = 0 ⇒F x(a,b,c)(x − a) + F y(a,b,c)(y − b) + F z(a,b,c)(z − c) = 0
Luego la recta normal en el punto P (a,b,c) tiene como vectordirector (F x(a,b,c), F y(a,b,c), F z(a,b,c)), por lo que su ecuación
en forma paramétrica esx = a + λF x(a,b,c)y = b + λF y(a,b,c)z = c + λF z(a,b,c)
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Ejemplo: Obtener la ecuación del plano tangente y de la normal a
la superficie 2x
z + 2y
z = 8, en el punto P (2, 2, 1).
http://find/
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Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Ejemplo: Obtener la ecuación del plano tangente y de la normal a
la superficie 2x
z + 2y
z = 8, en el punto P (2, 2, 1).Sol: En este caso es F (x,y,z) = 2
x
z + 2y
z = 8, calculamos lasderivadas parciales:
http://find/
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121/144
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Ejemplo: Obtener la ecuación del plano tangente y de la normal a
la superficie 2x
z + 2y
z = 8, en el punto P (2, 2, 1).Sol: En este caso es F (x,y,z) = 2
x
z + 2y
z = 8, calculamos lasderivadas parciales:
http://find/
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F x = log(2)1z
2x
z ,
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Ejemplo: Obtener la ecuación del plano tangente y de la normal a
la superficie 2x
z + 2y
z = 8, en el punto P (2, 2, 1).Sol: En este caso es F (x,y,z) = 2
x
z + 2y
z = 8, calculamos lasderivadas parciales:
http://find/
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123/144
F x = log(2)1z
2x
z , F y = log(2)1z
2y
z , F z = − log(2) xz2 2x
z −log(2) yz2
2y
z
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Ejemplo: Obtener la ecuación del plano tangente y de la normal a
la superficie 2x
z + 2y
z = 8, en el punto P (2, 2, 1).Sol: En este caso es F (x,y,z) = 2
x
z + 2y
z = 8, calculamos lasderivadas parciales:
http://find/
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124/144
F x = log(2)1z
2x
z , F y = log(2)1z
2y
z , F z = − log(2) xz2 2x
z −log(2) yz2
2y
z
Tomando valores en P :
F x(2, 2, 1) = 4 log 2, F y(2, 2, 1) = 4 log 2, F z(2, 2, 1) =
−8log2− 8 log 2 = −16log2
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Ejemplo: Obtener la ecuación del plano tangente y de la normal a
la superficie 2x
z + 2y
z = 8, en el punto P (2, 2, 1).Sol: En este caso es F (x,y,z) = 2
x
z + 2y
z = 8, calculamos lasderivadas parciales:
http://find/
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125/144
F x = log(2)1z
2x
z , F y = log(2)1z
2y
z , F z = − log(2) xz2 2x
z −log(2) yz2
2y
z
Tomando valores en P :
F x(2, 2, 1) = 4 log 2, F y(2, 2, 1) = 4 log 2, F z(2, 2, 1) =
−8log2
−8 log 2 =
−16log2
Como consecuencia la ecuación del plano tangente en P es
4log2(x − 2) + 4 log 2(y − 2)− 16 log 2(z − 1) = 0 ⇒x − 2 + y − 2 − 4z + 4 = 0 ⇒ x + y − 4z = 0
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Ejemplo: Obtener la ecuación del plano tangente y de la normal a
la superficie 2x
z + 2y
z = 8, en el punto P (2, 2, 1).Sol: En este caso es F (x,y,z) = 2
x
z + 2y
z = 8, calculamos lasderivadas parciales:
y y
http://goforward/http://find/http://goback/
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126/144
F x = log(2)1z
2x
z , F y = log(2)1z
2y
z , F z = − log(2) xz2 2x
z −log(2) yz2
2y
z
Tomando valores en P :
F x(2, 2, 1) = 4 log 2, F y(2, 2, 1) = 4 log 2, F z(2, 2, 1) =
−8log2
−8 log 2 =
−16log2
Como consecuencia la ecuación del plano tangente en P es
4log2(x − 2) + 4 log 2(y − 2)− 16 log 2(z − 1) = 0 ⇒x − 2 + y − 2 − 4z + 4 = 0 ⇒ x + y − 4z = 0
La ecuación de la recta normal esx = 2 + λy = 2 + λ
z = 1 − aλ
Tema 3
Derivación en forma implı́cita
Ejercicio
Obtener las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a
la superficie z2 + 4z + x2 = 0, en los puntos de intersección con elj OZ
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eje OZ.
Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Estudiemos ahora la fórmula de Taylor para funciones de dos variables.
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Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Estudiemos ahora la fórmula de Taylor para funciones de dos variables.
Se verifica el siguiente
Teorema Sea z = f (x, y) definida en un entorno de P (a, b), conderivadas parciales continuas hasta el orden n en el mismo entorno, y
existiendo todas las derivadas parciales de orden n + 1 en dicho
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existiendo todas las derivadas parciales de orden n + 1 en dichoentorno. Entonces f (x, y) se puede escribir en la forma
f (x, y) = P n(x, y) + Rn(x, y), (fórmula de Taylor)
siendo P n(x, y) un polinomio de grado n en (x − a) e (y − b),
Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Estudiemos ahora la fórmula de Taylor para funciones de dos variables.
Se verifica el siguiente
Teorema Sea z = f (x, y) definida en un entorno de P (a, b), conderivadas parciales continuas hasta el orden n en el mismo entorno, y
existiendo todas las derivadas parciales de orden n + 1 en dicho
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existiendo todas las derivadas parciales de orden n + 1 en dichoentorno. Entonces f (x, y) se puede escribir en la forma
f (x, y) = P n(x, y) + Rn(x, y), (fórmula de Taylor)
siendo P n(x, y) un polinomio de grado n en (x − a) e (y − b), y Rn(x, y)
un infinitésimo de orden superior a
(x − a)2
+ (y − b)2n
cuando(x, y) → (a, b).
Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Estudiemos ahora la fórmula de Taylor para funciones de dos variables.
Se verifica el siguiente
Teorema Sea z = f (x, y) definida en un entorno de P (a, b), conderivadas parciales continuas hasta el orden n en el mismo entorno, y
existiendo todas las derivadas parciales de orden n + 1 en dichof ( )
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existiendo todas las derivadas parciales de orden n + 1 en dichoentorno. Entonces f (x, y) se puede escribir en la forma
f (x, y) = P n(x, y) + Rn(x, y), (fórmula de Taylor)
siendo P n(x, y) un polinomio de grado n en (x − a) e (y − b), y Rn(x, y)
un infinitésimo de orden superior a
(x − a)2
+ (y − b)2n
cuando(x, y) → (a, b).
La expresión concreta de P n(x, y) es
P n(x, y) = f (a, b) +n
k=11k! (x− a)
∂ ∂x
+ (y − b) ∂ ∂y
k
f (a, b)
donde las potencias se entienden de manera simbólica, es decir, al
actuar el exponente sobre los sı́mbolos de derivada parcial
representarán derivación sucesiva, y al actuar sobre (x − a) o (y − b)representarán potencias.
Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Aclaremos esto obteniendo P n(x, y) para algunos valores de n:
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Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Aclaremos esto obteniendo P n(x, y) para algunos valores de n:
n = 1, P 1(x, y) = f (a, b) + (x
−a)f x(a, b) + (y
−b)f y(a, b)
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− −
Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Aclaremos esto obteniendo P n(x, y) para algunos valores de n:
n = 1, P 1(x, y) = f (a, b) + (x
−a)f x(a, b) + (y
−b)f y(a, b)
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n = 2, P 2(x, y) = f (a, b) + (x − a)f x(a, b) + (y − b)f y(a, b) +12((x − a)2f xx(a, b) + 2(x − a)(y − b)f xy(a, b) + (y − b)2f yy(a, b))
Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Aclaremos esto obteniendo P n(x, y) para algunos valores de n:
n = 1, P 1(x, y) = f (a, b) + (x
−a)f x(a, b) + (y
−b)f y(a, b)
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n = 2, P 2(x, y) = f (a, b) + (x − a)f x(a, b) + (y − b)f y(a, b) +12((x − a)2f xx(a, b) + 2(x − a)(y − b)f xy(a, b) + (y − b)2f yy(a, b))n = 3, P 3(x, y) = f (a, b) + (x − a)f x(a, b) + (y − b)f y(a, b) +12((x − a)2f xx(a, b)+2(x − a)(y − b)f xy(a, b)+(y − b)2f yy(a, b))+16((x − a)3f xxx(a, b) + 3(x − a)2(y − b)f xxy(a, b) +3(x − a)(y − b)2f xyy(a, b) + (y − b)3f yyy(a, b))
Tema 3
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Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Ejemplo
Obtener la fórmula de McLaurin de orden dos para la función
f (x, y) = e
x
cos y.Sol: En este caso a = b = 0 Necesitamos calcular las derivadas
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f ( , y) cos ySol: En este caso a = b = 0. Necesitamos calcular las derivadasparciales primeras y segundas:
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Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Ejemplo
Obtener la fórmula de McLaurin de orden dos para la función
f (
x, y) =
ex
cosy.
Sol: En este caso a = b = 0 Necesitamos calcular las derivadas
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( )Sol: En este caso a = b = 0. Necesitamos calcular las derivadasparciales primeras y segundas:
f x(x, y) = ex cos y, f y(x, y) = −ex sen y,
Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Ejemplo
Obtener la fórmula de McLaurin de orden dos para la función
f (
x, y) =
ex
cosy.
Sol: En este caso a = b = 0 Necesitamos calcular las derivadas
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( )Sol: En este caso a = b = 0. Necesitamos calcular las derivadasparciales primeras y segundas:
f x(x, y) = ex cos y, f y(x, y) = −ex sen y,
f xx(x, y) = ex cos y, f yy(x, y) = −ex cos y, f xy(x, y) = −ex sen y
Sus valores en el punto (0, 0) son: f x(0, 0) = 1, f y(0, 0) =0, f xx(0, 0) = 1, f yy(0, 0) = −1,f xy(0, 0) = 0, f (0, 0) = 1. Por lotanto
ex cos y = 1 + x + 12(x2 − y2) + R2(x, y)
donde R2(x, y) es un infinitésimo de orden superior a
x2
+ y2 2
,para (x, y) → (0, 0).
Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Ejemplo
Obtener el desarrollo de Taylor de orden dos de la función
f (x, y) = yx, en un entorno del punto (1, 1).
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Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Ejemplo
Obtener el desarrollo de Taylor de orden dos de la función
f (x, y) = yx, en un entorno del punto (1, 1).
Sol: Calculemos las derivadas parciales de primer y segundoorden
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orden.
f x(x, y) = y2 ln y, f y(x, y) = xy
x−1, f xx = ln yyx ln y =yx ln2 y, f yy = x(x − 1)yx−2, f xy(x, y) = xyx−1 ln y + yx 1y =xyx−1 ln y + yx−1 = yx−1(x ln y + 1)
Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Ejemplo
Obtener el desarrollo de Taylor de orden dos de la función
f (x, y) = yx, en un entorno del punto (1, 1).
Sol: Calculemos las derivadas parciales de primer y segundoorden
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orden.
f x(x, y) = y2 ln y, f y(x, y) = xy
x−1, f xx = ln yyx ln y =yx ln2 y, f yy = x(x − 1)yx−2, f xy(x, y) = xyx−1 ln y + yx 1y =xyx−1 ln y + yx−1 = yx−1(x ln y + 1)Sus valores en el punto (1, 1) son f x(1, 1) =0, f y(1, 1) = 1, f xx(1, 1) = 0, f yy(1, 1) = 0, f xy(1, 1) = 1.
Tema 3
Fórmula de Taylor para funciones de dos variables
Ejemplo
Obtener el desarrollo de Taylor de orden dos de la función
f (x, y) = yx, en un entorno del punto (1, 1).
Sol: Calculemos las derivadas parciales de primer y segundoorden
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orden.
f x(x, y) = y2 ln y, f y(x, y) = xy
x−1, f xx = ln yyx ln y =yx ln2 y, f yy = x(x − 1)yx−2, f xy(x, y) = xyx−1 ln y + yx 1y =xyx−1 ln y + yx−1 = yx−1(x ln y + 1)Sus valores en el punto (1, 1) son f x(1, 1) =0, f y(1, 1) = 1, f xx(1, 1) = 0, f yy(1, 1) = 0, f xy(1, 1) = 1. Ademásf (1, 1) = 1, luego se tiene:
yx = 1 + (y − 1) + 122(x − 1)(y − 1) + R2(x, y) ⇒yx = 1 + (y
−1) + (x
−1)(y
−1) + R
2(x, y)
donde R2(x, y) es un infinitésimo de orden superior a (x − 1)2 + (y − 1)2 2, para (x, y) → (1, 1).
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