tema3.pdf 841KB. Abr-03

Gijón - Abril 2003 1

Tema 3

Análisis de Sistemas en el Dominio del Tiempo

REGULACIÓN AUTOMÁTICA


Indice

• 3.1. Análisis de los sistemas• 3.2. Respuesta impulsional• 3.3. Respuesta a un escalón• 3.4. Respuesta a una señal cualquiera• 3.5. Estabilidad• 3.6. Sistemas de primer orden• 3.7. Sistemas de segundo orden• 3.8. Sistemas de orden superior• 3.9. Retardo puro• 3.10. Criterio de estabilidad de Routh



Análisis de los Sistemas• Conocido el modelo matemático del sistema se realiza el análisis de su comportamiento dinámico.

•Se utilizan señales de excitación sencillas y con transformada de Laplace.

• El análisis se puede realizar en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

t

δ(t)∞↑

t

u0(t)

1

1 t

f(t)

1

1 t

f(t)

1

f(t)M

t

-M

π/ω 2·π/ω



Respuesta impulsional

• Señal de excitación: Impulso de Dirac

• Respuesta del sistema: g(t)

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

t

δ(t)∞↑

1)()()(

==sX

ttx δ

)()]([)(

)()()·()(1 tgsGLty

sGsGsXsY

==

==−

t

y(t)

0

0 t

y(t)

0 ty(t)

y(t)

Formas de respuesta típicas ante un impulso



Respuesta a un escalón

• Señal de excitación: Escalón unitario

• Respuesta del sistema: Integral de g(t)

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

ssX

tutx1)(

)()( 0

=

=

∫=

=

==

− ττ

01 )()()(

)()()·()(

dtgssGLty

ssGsGsXsY

t

u0(t)

1

t

y(t)

0

Formas de respuesta típicas ante un escalón

t

y(t)

0



Respuesta a una señal cualquiera

• Señal de excitación: x(t)

• Respuesta del sistema:

1. Se calcula la Transformada de Laplace de la entrada: X(s)=L[x(t)]

2. Se obtiene la Función de Transferencia que sirve de modelo del sistema: G(s)

3. Se calcula la Transformada de Laplace de la salida: Y(s)=X(s)·G(s)

4. Se obtiene la Antitransformada de Laplace de Y(s): y(t)=L-1[Y(s)]

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

−=−==

=

∫∫tt

dxtgdgtxtgtxty

sGsXsY

00)·()·()·()·()(*)()(

)()·()(

ττττττ




Estabilidad (I)

Un sistema de control está en estado de equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado.

y(t)

t

y(t)

t

Estable

G(s)g(t)

t

δ(t)∞↑

Inestable

G(s)g(t)

t

δ(t)∞↑

Un sistema es estable si ante señales de entrada o perturbaciones acotadas produce salidas acotadas y regresa a un estado de equilibrio.



Estabilidad (II)

( )

( ) −−

∈≥

+

+=

++++++++

=

∏

∏

=

=

−−

−−

(polos)r denominadodelraíceslasson (ceros)numerador delraíceslasson

,......)(

1

1

11

10

11

10

i

j

ijn

ii

m

jj

snn

nnmm

mm

pz

Cpzmn

ps

zsK

asasasabsbsbsbsG

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

Re

Im

-α

β

-β

-p1

-p2

Re

Im-σ-p1realpoloun esraízLa

)(·)(L1)(

OrdenPrimer deSistemaun deEjemplo

11

0·1-

σσ

σ

−=−=

=→+

= −

ps

tuetgs

sG t

conjugadoscomplejospolosdos·son raícesLas

)()···sen(1)(L)(1

·1)(

complejospoloscon Orden SegundodeSistemaun deEjemplo

2,12,1

0·1-

222

jps

tutetgsbsas

sG t

βα

βββα

α

±−=−=

=→++

=++

= −

Re

Im

-z1

-p1

-p2

-p3-z2

-z3

-p4

polosceros



Estabilidad (III)

Re

Im-σ-p1

Re

Im

-α

β

-β

-p1

-p2

Re

Im

-p1

Re

Im-σ-p1

Re

Imβ

-β

-p1

-p2

Re

Im

-α

β

-β

-p1

-p2

t

g(t)

t

g(t)

t

g(t)

g(t)

t

g(t)

t

g(t)

t

ESTABLE

INESTABLE

LIMITADAMENTE ESTABLE

ESTABLE

MARGINALMENTE ESTABLE

INESTABLE



Estabilidad (IV)

Re

Imβ

-β

-p1

-p2

Re

Im

-α

β

-β

-p1

-p2

Re

Im

-α

β

-β

-p1

-p2

Re

Im

-α β

-β

-p1

-p2Re

Im

β

-β

-p1

-p2

Re

Im-σ-p1

Re

Im-σ-p1

t

g(t)

t

g(t)

g(t)

t

g(t)

t

g(t)

t

g(t)

t

g(t)

t

Atenuación más rápida(Transitorio más corto)

Menor frecuenciaMenor frecuencia


Atenuación más rápida(Transitorio más corto)


Estabilidad (V)• Un sistema es estable si todos sus polos están situados en el semiplano complejo negativo.• Un sistema es inestable si algún polo está situado en el semiplano complejo positivo o si existen polos múltiples en el eje imaginario o en el origen.• Un sistema es limitadamente estable si existe un solo polo en el origen, estando los demás situados en el semiplano negativo.• Un sistema es marginalmente estable si existe una pareja simple (no múltiples) de polos complejos conjugados sobre el eje imaginario, estando los restantes polos situados en el semiplano negativo.• Los polos situados en el semiplano negativo originan respuestas que se atenúan tanto más rápidamente, cuanto más alejados estén del eje imaginario. Se denominan en general “polos dominantes” aquellos que están más cerca del mencionado eje.• Los polos complejos conjugados dan lugar a respuestas cuyas oscilaciones son de frecuencia tanto más elevada cuanto mayor sea su distancia al eje real.



Sistemas de Primer Orden (I)

• Respuesta impulsional: X(s)=1

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)sTKsG·1

)(+

=

• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s

t

y(t)

T

0,37·K/T

K/T

• Respuesta a una rampa: X(s)=1/s2

t

y(t)

T

0,63·K

K

3·T

0,95·K

Tangente en el origen(pendiente K/T)

t

y(t)

T

-K·T

(pendiente K)T

K: ganancia estática o en régimen permanenteT: constante de tiempo


)(·)]([)]([)( 011 tue

TKsGLsYLty T

t−−− ===

)()·1·()()]([)( 011 tueK

ssGLsYLty T

t−−− −=

==

)(]···)·([)()]([)( 0211 tueTKTtKssGLsYLty T

t−−− +−=

==


Sistemas de Primer Orden (II)Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

sTKsT

sTK

sTsTKsG N

N

·1··

·1·1)·1·()(

++

+=

++

=

sTsTKsG N

·1)·1·()(

++

=


t

KK/T

Tangente en el origen(pendiente K/T)

Respuesta delsistema sin el cero

Derivada de la otra curva

t

y(t)

K

K·TN/T

t

y(t)

K

K·TN/T

t

y(t)

K

K·TN/T

Re

Im-1/T

-1/TN

Re

Im-1/T

-1/TN

Re

Im-1/T -1/TN

a) TN>T

b) T>TN>0

c) TN<0

NOTA: Si el cero está próximo al origen el factor |K·TN/T| aumenta peligrosamente



Sistemas de Segundo Orden (I)

bsasK

ss

Kss

KsG s

nn

nn

n

++=

++=

++=

·1··2·1···2·)( 2

22

22

2

ωξ

ωωωξ

ω

K: ganancia estáticaT=2·ξ/ωn: constante de tiempoξ>0: coeficiente de amortiguamiento ωn>0: frecuencia natural del sistemaσ>0: constante de amortiguamiento o

factor de decrecimientoSi ξ<1, ωd : frecuencia amortiguada

d

nd

nn

nn

js

s

ss

ωσξωωωξσ

ξ

ξωωξ

ωωξ

·1··

:conjugadascomplejasson raíceslas1Si

1··

:sonsistema)del(polospolinomiodelraícesLas

0···2

2,1

2n

22,1

22

±−=

−==

<

−±−=

=++

Si a,b>0, el sistemaes estable

Re

Im

-σ

-ωd

ωdωn

θ

θξ cos=



Sistemas de Segundo Orden (II)

22

2

···2·)(

nn

n

ssKsG

ωωξω

++=

a) Si ξ>1: dos raíces reales

b) Si ξ=1: una raíz doble

c) Si 0<ξ<1: dos raíces complejas conjugadas

d) Si ξ=0: dos raíces imaginarias puras

Re

Imξ<1 ξ=0

ξ=0ξ<1

ξ>1 ξ>1 ξ=infξ→inf

ξ=1

−±−=

=++

1··

0···22

2,1

22

ξωωξ

ωωξ

nn

nn

s

ss

1· 22,1 −±−= ξωσ ns

ns ωσ −=−=2,1

djs ωσ ·2,1 ±−=

nd jjs ωω ··2,1 ±=±=

Re

Im

s1s2

a)

Re

Im

-σ

b)

Re

Im

-σωd

-ωd

c)

Re

Imωd

-ωd

d)



Sistemas de Segundo Orden (III): respuesta impulsional

a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado

b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado

c) Si 0<ξ<1: sistema subamortiguado

d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento

)(·)···sen(1

·)( 0·

2tuetKty t

dn σωξ

ω −

−=

)(····)( 0·2 tuetKty tn

nωω −=

2122

2

···2·)(

ssB

ssA

ssKsG

nn

n

−+

−=

++=

ωωξω

[ ] )(···)( 0·2·1 tueBeAty tsts +=

1·2

·2 −

=−=ξ

ωnKBA

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

t

ξ=0y(t)

ξ=0.2

ξ=1

ξ=2

)()···sen(·)( 0 tutKty nn ωω=



Sistemas de Segundo Orden (IV): respuesta a un escalón

a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado

b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado

c) Si 0<ξ<1: sistema subamortiguado

d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento

)(·)··sen(1

1·)( 02

·

tuteKty d

t

+

−−=

−

θωξ

σ

)(]·)··1(1·[)( 0· tuetKty tn

nωω −+−=

)(·1·2

1·)( 02

·2

1

·1

2tu

se

seKty

tstsn

−

−+=

ξ

ω

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

t

ξ=0y(t)

ξ=0.2

ξ=1

ξ=2

K

)()]··cos(1·[)( 0 tutKty nω−=



Sistemas de Segundo Orden (V)

(aprox.)21

:retardodeTiempo

(aprox.)·

:ientoestablecimdeTiempo1

:picodeTiempo1

:subidadeTiempo

[%]100·[%]100·[%]100·[%]100·

:aciónSobreoscil

2

2

cotg··

21

·

nd

ns

dn

p

dn

r

dp

t

t

t

t

AABeeeM

ω

ξ

σπ

ωξπ

ωπ

ξω

π

ωθπ

ξω

θπ

θπωσπ

ξ

ξπ

+=

==

=−

=

−=

−

−=

−==== −

−−

−

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

t

y(t)

A±5%A

B

Régimenpermanente

Régimentransitorio

tstp

tr

td

dωπ·2

dωπ·3

dωπ·4

Entrada en régimenpermanente

Pico de sobreoscilación

0.9·A

0.5·A

0.1·A

Ritmo de decrecimiento

=

=

=

MKAsMsX

tuMtx

·

)(

)(·)( 0

10 << ξ



Sistemas de Segundo Orden (VI): respuesta a una rampa

20 )()(··)(sMsXtutMtx =⇒=

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

t

y(t)

T-K·M·T

(pendiente K·M) x(t)(pendiente M)

n

Tωξ·2

=

nMK

ωξ·2··



tb) Derivada de a)

y(t)

K

d)

c)a) Sistema sin cero

Sistemas de Segundo Orden (VII): cero adicional a polos complejosY(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

22

2

22

2

···2···

···2·)(

nn

nN

nn

n

ssKsT

ssKsG

ωωξω

ωωξω

+++

++=


NOTA: Si el cero está próximo al origen el factor TN aumenta peligrosamente y los efectos del cero son más notables

22

2

···2)·1(·)(nn

Nn

sssTKsGωωξ

ω++

+=

Re

Ima)

Re

Imb)

Re

Imc)

-1/TN Re

Imd)-1/TN

TN>0: El sistema es más rápido y menos amortiguado: Mp↑, tp↓ y normalmente ts↑

TN<0: El sistema presenta inicialmente una respuesta negativa: Mp↑, tp ↑ y normalmente ts↑



t

y(t) e)

K

a) Sistema sin cerob) Derivada de a)

f)

d)c)

Sistemas de Segundo Orden (VIII): cero adicional a polos reales


Re

Ime)

-1/TN Re

Imf)-1/TN

Re

Ima)

Re

Imd)

-1/TNRe

Imc)

-1/TN

Re

Imb)

TN>0: El sistema puede presentar un pico de sobreoscilación tanto mayor cuanto mayor es TN

TN<0: El sistema presenta inicialmente una respuesta negativa



Y(s)X(s)

x(t) y(t)22

2

···2·

nn

n

ssK

ωωξω

++

t

y(t)

K

d)

a)b)

c)


Los efectos son opuestos a los que tendría un cero en la misma posición. El sistema se hace más lento y amortiguado.

)···2)(·1(·)( 22

2

nnd

n

sssTKsG

ωωξω

+++=

Re

Ima)

Re

Imb)

-1/Td

Re

Imc)

-1/Td Re

Imd)

-1/Td

Sistemas de Segundo Orden (IX): polo adicional

Si el tercer polo está más cerca del origen, pasa a tener un efecto dominante sobre la respuesta del sistema.

sTd ·11

+




Sistemas de Orden Superior (I)

– Respuesta en Régimen Permanente: Ganancia estática

)0que(siempre)()()·(·)()( 00 ======∞ →→→∞ NKabsGlimsGsXslimtylimyn

msst

– Respuesta Transitoria:Depende de qué polos y ceros tengan mayor efecto sobre la respuesta del sistema. Los dominantes serán los más cercanos al eje imaginario.

Se tratará de conseguir un sistema que, siendo de un orden inferior, reproduzca sin demasiado error la respuesta del sistema de partida

∏ ∏

∏ ∏

= =

= =

−−

−−

+++

+++

=++++++++

=L

l

R

r nrnr

rl

N

P

p

Q

q nqnq

qp

nnnn

mmmm

sssTs

sssTK

asasasabsbsbsbsG

1 1

2

1 1

2

11

10

11

10

··21)··1(·

··2

1)··1(·

...

...)(

ωωξ

ωωξ

• Ante una entrada escalón unitario: X(s)=1/s



Sistemas de Orden Superior (II)• Criterios de Reducción

– Despreciar el efecto de aquellos polos y ceros que presenten una componente real (σ) al menos seis veces superior a la componente real de los polos dominantes (σdom).– Despreciar el efecto de aquellos polos y ceros que cumplan que la distancia de separación entre ellos medida sobre el eje real (| σp - σz |) sea inferior a 1/6 del valor de la componente real de los polos dominantes (σdom).– Mantener la ganancia estática.

• Puntualización: Los criterios anteriores no siempre son válidos (sólo aplicable para el análisis en el dominio del tiempo de sistemas estables). Se debe comparar la respuesta del sistema de partida y del sistema de orden reducido para comprobar la fiabilidad de la aproximación.

-σdom-6σdom

<σdom/6



Retardo Puro (I)

[ ] [ ] )(·)(L)(L)()]([L)( · sXeTtxtysYtxsX sT−=−==⇒=

t

x(t)

t

y(t)=x(t-T)

T

Y(s)X(s)

x(t) y(t)G(s)=e-T·s

Retardo T

T = tiempo de retardo

No es una función racional, lo que imposibilita el estudio de laestabilidad de sistemas que incluyan algún Retardo Puro por los métodos vistos en este capítulo. En algunos casos se buscan Funciones de Transferencia racionales como aproximación a su comportamiento y que permitan facilitar su estudio.

sTesG ·)(X(s)Y(s) −==



Retardo Puro (II) Y(s)=e-T·s ·Uo(s)Uo(s) G(s)=e-T·s

uo(t) y(t)=uo(t-T)Retardo T

• Respuesta a un escalón:

t

y(t)1

T

t

y(t)1

-1

T

t

y(t)1

T

t

y(t)1

T

sTesG ·)( −=

sTsG

·11)(

+≈

sTsTsG

)·2/(1)·2/(1)(

+−

≈

22

22

)·8/()·2/(1)·8/()·2/(1)(sTsTsTsTsG

+++−

≈

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

Re

Im-2/T 2/T

Re

Im-1/T

Re

Im2/T+j·2/T

2/T-j·2/T

-2/T+j·2/T

-2/T-j·2/T

b)

c)

d)


...2··

!31

2··

!21

2·1

...2··

!31

2··

!21

2·1

)( 32

32

2·

2·

·

+

+

++

+

−

+−

===

−

−

sTsTsT

sTsTsT

e

eesG sT

sT

sT


Criterio de Estabilidad de RouthIndica si existen raíces con parte real positiva en un polinomio:

1) ∀ai, ai>0 (es decir, todos con el mismo signo y sin nulos) 2) Se construye la siguiente tabla:

1

1

21

4321

4321

7531

6420

0

1

2

3

2

1

.....................

...

wv

uu

ccccbbbbaaaaaaaa

sss

ssss

n

n

n

n

−

−

−

0··...··· 12

22

21

10 =++++++ −−−−

nnnnnn asasasasasa

El sistema que tenga como denominador ese polinomio, será estable si todos los ai>0 y todos los coeficientes de la primera columna de la tabla son también estrictamente positivos.

El polinomio tiene tantos polos con parte real positiva como cambios de signo se producen en la primera columna de la tabla


−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

31

51

11

31512

21

31

11

21311

71

60

11

70613

51

40

11

50412

31

20

11

30211

1··

1··

...

1··

1··

1··

bbaa

bbbaabc

bbaa

bbbaabc

aaaa

aaaaaab

aaaa

aaaaaab

aaaa

aaaaaab

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