Tema_8 VIII_03_UTN

127/08/2014 18:23 Mecnica de Fluidos Miguel G. Coussirat Nez 1

Parte II. Mquinas fluidodinmicas:

Tema VIII_03LEYES DE SEMEJANZA APLICADAS A TMH:

Leyes de semejanza para TMH. Nmero especfico de revoluciones o velocidad especfica. Dimetro especfico


Contenido

Leyes de semejanza para TMH. Nmero especfico de revoluciones o velocidad especfica. Dimetro especfico.


Objetivos docentes

Deducir las leyes de semejanza para TMH. Aplicarlas para comprender el significado del concepto de velocidad especfica. Comprender el concepto de dimetro especfico. Resolver problemas relacionados con los contenidos del Tema.

Despus de completar el Tema, el alumno deber poder realizar las siguientes actividades:


Bibliografa recomendada White, (5ta edic.) cap. XI, pp 734:749, engel Cimbala, (1ra edic.) cap. XIV, pp 738:748, pp

754:780. Franzini, (9na edic.) cap. XV, pp 417:432. Potter, (3ra edic.) cap. XII, pp 530:554. Polo Encinas ,(1era edic.), Cap I, pp 24:28 Agera Soriano,(5ta edic.), Cap XI, pp 485:491 Tedeschi, (2da edic.) cap. XIII, pp 349:360. Mataix, (1ra edic.), cap. XIX, pp 343:385.


Leyes de semejanza

En este captulo se introducen las leyes de semejanza para TMH. Estas leyes permiten realizar ensayos experimentales en modelos, cuyos resultados pueden extrapolarse a prototipos de distinto tamao.Se analizan que condiciones deben cumplirse para que esto sea posible y se dan adems definiciones y datos de otros parmetros adimensionales tiles para el diseo y/o seleccin de TMH..

Resumen

,0,,,2

3221 =

DD

DV

DgHF

&,0,,,2

3532 =

DD

DV

DNF e

&


El anlisis dimensional aplicado a turbomquinas tiene dos importantes aplicaciones:

La prediccin del comportamiento de un prototipo a partir de realizar estudios sobre modelos, esto es, una turbomquina a escala, segn conveniencia (semejanza).

La determinacin del tipo ms adecuado de turbomquina, sobre la base de mxima eficiencia, para un rango especfico de alturas, velocidades y caudales.

Leyes de semejanza para TMH


Turbomquinas hidrulicas: Desarrollo, diseo, construccin

Elevados costos (ensayos experimentales)

Teora: Anlisis macroscpico, EIs vc; o microscpico, EDPs partcula fluida.Ensayos experimentales: corroboran o rectifican el diseo inicial.

Fuerzas importantes a tener en cuenta:

Fuerzas viscosas, gravitatorias y de inercia

Ensayos experimentales:

Sobre modelos (turbomquina a escala, segn conveniencia).

Sobre prototipos (turbomquina real).



El anlisis dimensional aplicado a las ecuaciones de Navier-Stokes(EDP) considerando flujo incompresible (TMH), permite obtener una serie de nmeros adimensionales que relacionan la distinta importancia que tiene un trmino respecto de otro.

Los flujos en TMH son confinados y no tienen superficie libre, por lo que latensin superficial no tiene efectos relevantes (excepto en la turbina Pelton en donde el flujo no es confinado).

Las fuerzas gravitatorias y las de presin en un flujo confinado no son relevantes tampoco. Por lo tanto las fuerzas relevantes son las de fricciny de inercia.Slo en la turbina Pelton la fuerza gravitatoria puede ser relevante.



Slo con conceptos tericos no es posible el diseo de una turbomquina.

Los mtodos numricos han cobrado creciente importancia en el diseo de turbomquinas (CFD), pero la herramienta experimental sigue siendo de fundamental importancia.

Las leyes de semejanza tienen un valor prctico interesante pero deben aplicarse con cuidado.

Al comparar mquinas de distinto tamao, stas deberan ser homlogas, esto es, deberan tener semejanza completa.



Semejanza geomtrica:Las relaciones entre las dimensiones lineales son las mismas en puntos homlogos.

Semejanza cinemtica:Las relaciones entre velocidades y otras cantidades cinemticas son idnticas en puntos homlogos (tringulos de velocidades y redes de corrientes).


Es difcil de cumplir por los niveles de rugosidad que debera tener el modelo (muy exigentes). Esto implicara que los coeficientes de friccin deberan ser iguales en el modelo y prototipo.

Es ms fcil de cumplir, pues los tringulos de velocidades deben ser semejantes. Asimismo las variaciones de H, D y n entre modelo y prototipo no deben ser muy grandes. Por ejemplo una mquina que trabaja satisfactoriamente a bajas velocidades, puede cavitar a altas velocidades.


Semejanza dinmica:Las fuerzas que actan en el prototipo y el modelo deben ser semejantes. El anlisis dimensional permite saber que las fuerzas relevantes en TMH son las deinercia y friccin cuando el flujo es confinado (si no hay cavitacin). Cuando el flujo es libre debe tenerse en cuenta el efecto de la gravedad.

No se tiene en cuenta el Ma debido a la escasa compresibilidad del flujo Bombas, ventiladores y turbinas hidrulicas de reaccin: Debera cumplirse igualdad del nmero de Reynolds, Rep=RemTurbinas hidrulicas de accin: Debera cumplirse igualdad del nmero deFroude, Frp=FrmLos coeficientes de friccin estn relacionados con prdidas por roce y por choque, las que para flujos turbulentos son proporcionales a c2.

2int VKH roce,roce &= 2*int )( VVKH choque,choque && =



La prueba previa de modelos reducidos de una mquina proyectada disminuye los costos de ensayo y desarrollo as como los riesgos. Esta aplicacin prctica de las leyes de semejanza es corriente en turbinas hidrulicas, que por lo general son unidades grandes al igual que las hlices de buques. Los dimetros de rueda de modelos pueden ser del orden de 200 a 500mm.

Para el caso de bombas se establecen tambin series por tipos en donde el modelo puede ser de un tamao de aplicabilidad inmediata (esc 1:1), al igual que en ventiladores. En el caso de turbinas de gas y vapor se usan poco los modelos a escala reducida, debido a las dificultades tcnicas que implican la construccin de modelos de pequea escala que mantengan rendijas y huelgos semejantes a los del prototipo. Se usa la simulacin parcial con modelos de mayor escala (cascada de labes) en donde puede emplearse otro fluido de trabajo (aire) en vez de vapor o gas.



Las leyes de semejanza para turbomquinas pueden deducirse delanlisis dimensional.Para una turbomquina dada, las variables ms significativas que afectan a un modelo y un prototipo son:

la altura de elevacin (Hn, TMHM; Hm, TMHG),

el caudal,

la velocidad de rotacin,

el dimetro del impulsor/rodete,

la viscosidad,

la aceleracin de la gravedad.

En el caso de que modelo y prototipo trabajen con el mismo fluido o si el Rees alto (Re >105), la viscosidad no es tenida en cuenta.



Aplicacin del teorema de Buckingham: Siete (7) variables dimensionales y tres (3) dimensiones fundamentalesM, L y T . Luego se tienen cuatro (4) grupos adimensionales () como mximo.

0),,,,,,( = DVgHF & 0,,,2

3221 =

DD

DV

DgHF

&

0),,,,,,( = DVNF e & 0,,,2

3532 =

DD

DV

DNF e

&


Si considero la variable dimensional energa en trminos de altura:

Si considero la variable dimensional energa en trminos de potencia:


==

2222

33

Si

;Si

DKHDH

DKVDV

H

V&&&

Siendo la potencia Ne proporcional al caudal volumtrico y a la altura se tiene:

5353 DKNDN Nee =

,0,,,2

3221 =

DD

DV

DgHF

&

Re Rugosidad relativa

,0,,,2

3532 =

DD

DV

DNF e

&





Asumiendo que el Re y la rugosidad relativa tienen un efecto constante, los grupos adimensionales se reducen, quedando las siguientes relaciones:

)(0,; 3221322 VHVH KfKnDV

DgHF

DVK

DgHK &&

&& ==

==

)(0,; 3532353 VNe

Ve

N KfKDV

DNF

DVK

DNK &&

&& ==

==


En el caso de diseo de TMH, pueden determinarse KV , KH y KN mediante ensayos experimentales y despus usarlos para predecir el comportamiento de mquinas homlogas.




Se destaca aqu que el Re no posee las propiedades de un criterio de flujo a travs de la bomba como si lo tiene para el caso de flujo en tuberas. La igualdad delRe no indica que exista el mismo patrn de flujo o el mismo rgimen del flujo(laminar o turbulento).


El cambio de un rgimen a otro puede tener lugar en distintos lugares de la mquina o a distintas tasas de caudal. Ms an, se conoce poco acerca del significado del Reen el caso de flujo a travs de canales curvilneos convergentes o divergentes, que estn en rotacin y con energa que se adiciona al flujo (o se extrae del flujo) mediante un trabajo externo. Luego, los intentos que se han hecho para calcular prdidas hidrulicas en bombasaplicando mtodos y datos para flujo en tuberas (correlacionados con el Re) nunca han tenido utilidad. En las bombas las hf tienen un bajo porcentaje comparadas con las localizadas hk, causadas estas ltimas debido a la mala conduccin (lack ofstreamlined flow) y a la difusividad del flujo, presentes en el impulsor y en la carcasa de las TM. Ntese que se puede obtener el mismo Re con bombas de diferentes configuraciones fsicas, o diferentes velocidades especficas.


Bombas y ventiladores: De la definicin de rendimiento total y aplicando las relaciones obtenidas para los K, se sigue que:

N

VH

N

VH

f

m

e

ut K

KKDK

DKg

DKg

MVgH

NN &

&& =

=== 533

22

)(;)( VNVH KfKKfK && ==

Para mquinas que sean geomtricamente semejantes, de ensayos, f(Re), se obtienen las curvas de la figura, que KN y KHS se correlacionan bien con mientras que t yKH tienen desviaciones.

VK &


2Re D=

TMHG

Observacin: Qu hubiese pasado si se obtuviesen curvas de ensayos en donde ahora sean f(/D)?

KH

t

VK &

0,6

0,8

1,0

0,0 0,1 0,2

0,60,8

0,20,4

KN

0,0

2,0

4,0

6,0

Re1 >Re2>Re3

KHS

Re=f(D)

10


Para conocer el comportamiento de la mquina, si no se hiciese el anlisis dimensional deberan al menos variarse 5 parmetros (4 si no interviene la viscosidad).


Si el margen de variaciones quedase cubierto con 20 valores, se necesitan hacer 204 medidas, lo que equivaldra a 203 curvas que si se agrupan en familias de 20 en cada grfica, se tendran 400grficas.

Claramente la ventaja aqu de anlisis dimensional es que toda la informacin est agrupada en slo una grfica.

TMHG

KH

t

VK &

0,6

0,8

1,0

0,0 0,1 0,2

0,60,8

0,20,4

KN

0,0

2,0

4,0

6,0

Re1 >Re2>Re3

KHS

Re=f(D)


Quizs sorprende que el rendimiento de una mquina no dependa, o dependa poco de la viscosidad, ya que las prdidas estn ntimamente ligadas con la viscosidad y la disipacin viscosa...


Anlisis: En TM las prdidas ms importantes son las prdidas locales debido las formas difciles para que el fluido las siga, aumentando el nivel de turbulencia de fluido......la no juega un papel determinante en lageneracin de las prdidas, pero si lo tiene en ladisipacin de la energa asociada al aumento del estado turbulento del fluido. La disipa las prdidas generadas por otros mecanismos (turbulencia)

TMHG

KH

t

VK &

0,6

0,8

1,0

0,0 0,1 0,2

0,60,8

0,20,4

KN

0,0

2,0

4,0

6,0

Re1 >Re2>Re3

KHS

Re=f(D)

11


Bombas y ventiladores: Si se dispone de la grfica correspondiente a las curvas de una mquina de forma adimensional, puede:

Conocerse para el t mximo los valores deKH , KN , KHS y .VK & Estos valores pueden utilizarse para estimar las caractersticas en el punto ptimo de rendimiento, para cualquier bomba que sea semejante (mismo ns o nq ).

Las curvas de los coeficientes adimensionalespermiten tambin extrapolar valores para conocer valores de altura a caudal nulo, o el caudal mximo de una mquina semejante.

Leyes de semejanza para TMHTMHG

KH

t

VK &

0,6

0,8

1,0

0,0 0,1 0,2

0,60,8

0,20,4

KN

0,0

2,0

4,0

6,0

Re1 >Re2>Re3

KHS

Re=f(D)


5

1

2

2

1

2

1

2

1

2

5

1

2

3

1

2

1

2

1,

2,

2

1

2

2

1

2

1

2

3

1

2

1

2

1

2

;

;;

=

=

=

=

DD

nn

MM

DD

nn

NN

DD

nn

HH

DD

nn

VV

e

e

&&

Las correlaciones entre los coeficientes K obtenidas, permiten finalmente decir que si se tienen bombas de una misma familia y operando en puntos homlogos, esto es, misma posicin en la grfica de transparencia anterior, se cumple que (subndices: 1 modelo, 2 prototipo):

Vlidas para bombas o ventiladores. Aqu en vez de se usa n, ya que al dividir es adimensional el cociente, =2 n/60 = (2/60)n


12


5

1

2

2

1

2

1

2

1

2

5

1

2

3

1

2

1

2

1,

2,

2

1

2

2

1

2

1

2

3

1

2

1

2

1

2

;

;;

=

=

=

=

DD

nn

MM

DD

nn

NN

DD

nn

HH

DD

nn

VV

e

e

&&

Se pueden obtener estas leyes de semejanza (coef. Combe-Rateau) de una forma resumida a partir de que si hay semejanza cinemtica (tringulos de velocidades) cualquier velocidad del tringulo es proporcional a y al dimetro D, de all, que la cMsera proporcional al producto D.


Si se piensa que A es proporcional a D2 luego el caudal es igual a A cM por tanto serproporcional a D3. Si se analiza que la relacin entre n y es directa pues slo hay una relacin de constantes de conversin de rpm a 1/s, se puede indicar finalmente que el caudal es proporcional a n D3. Para la altura terica se sabe que H = uscsT/g y como tanto us como csT son proporcionales a D y a n luego su producto es proporcional a n2D2 finalmente la potenciaN como implica el producto de caudal y H ser proporcional a n3D5


Ejemplo: Dada una bomba con el Ds , las rpm y la curva de familia de bombas semejantesconocidos, calcular para el punto de diseo ptimo: a) el caudal b) la altura manomtrica c) el incremento de presin y d) la potencia para valores de caudal y rpm diferentes.


gDKHDKV sHmsV

22**3

* ;*== &&

De Bernoulli despreciando trminos de energa cintica y geodsica:

22*

22

*2

* sHmesesesm DKgHpgcczz

gppH ==++=

Se obtienen los coeficientes de las curvas para el punto de rendimiento ptimo y se aplican las frmulas para los nuevos valores de caudal y rpm. La potencia se calcula usando Bernoulli, despreciando los trminos de energa geodsica y cintica.

TMHG

~0 ~0

53**

3*

22*

**

*

* DKgKDKDgKVgHNNK

VHsVsHm === 43421& &&

13


Lo mismo se hace para la NPSH, pero escogiendo el valor del coeficiente KHS a caudal de diseo (rendimiento mximo).

Ejemplo: Dada la curva de bombas semejantes, y definiendo su caudal* y sus rpm, calcular a) para el mx el dimetro, b) caudal mximo, c) Hm a caudal nulo y d) la NPSH a rendimiento mximo.


En este caso se obtienen los coeficientes de las curvas y se aplican las frmulas de los coeficientes para los valores de caudal dado y se despeja el dimetro necesario. 3

1

*

3*

**

== VV KVDDKV&

&&&

Para el clculo del caudal mximo, se relaciona el caudal de diseo con el mximo, usando los coeficientes respectivos.

*

*V

Vmx K

KVV mx

&

&&& =

;22

0 0 gDKH

VHV

=== &&

De igual forma para obtener la altura H a caudal nulo, se busca el KH para caudal nulo y usando la frmula para H se calcula la altura H a caudal nulo.

gDKNPSH HS

22

**=

TMHG


( )[ ] 211,0

2

11,2, ;11 DDn

ntt =

=

Debido a que el rendimiento no es el mismo en modelo y prototipo, para evaluar el rendimiento global (t = m h v) de una mquina, deben utilizarse frmulas empricas, partiendo de datos de otra mquina semejante, esto es, de un MODELO (subndices: 1 modelo, 2 prototipo). Existen distintas frmulas para esta evaluacin.

( )[ ] (White)Moody2125,0

2

11,2, ;11 nnD

Dtt =

=

mmm == 2,1,;11314,0

1

21,2,

=

DD

m

tmt

Se asume idntico

rendimiento mecnico

( ) (White)Anderson0,940,94 ;32,02

11,2,

=VV

tt &&

Rendimientos modelo y prototipo


14


( )( ) [ ]

[ ] ( )( )

pm

p

mm

m

pm

mm

p

m

p

m

pm

mm

pm

mm

ppp

mmm

pm

mm

gHc

gHc

gHgH

cc

cc

gHgH

TLTL

gHgH

TLc

TLL

TLgz

TLc

TL

ML

TMLp

gzcp

gzcp

gHgH

,,,

,

,

,

,

,

,

,

//;;

22

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

23

2

2

2

===

=

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

=

La relacin de Combeau-Rateau caracteriza la similitud de 2 flujos ideales, en ductoscerrados, por medio de las velocidades y las cargas. Las TMH de reaccin trabajan en ductoscerrados y puede aplicarse esta relacin si no hay gran desviacin de la condicin de flujo ideal.

Coeficientes de Combe-Rateau


Segn la ecuacin de Bernoulli la energa o carga total es la misma en cualquier punto, pudindose escribir la ecuacin de Bernoulli como se indica:

;2

,2 gh

wkgh

ck wc ==

TMHG

Luego, se considera el flujo en dos ductos cerrados m (modelo) y p (prototipo) y en ellos dos puntos homlogos en instantes homlogos.


;2

,2 gh

wkgh

ck wc ==

siendo (2gh)0.5 la velocidad obtenida debido a la transformacin total de energa potencial del salto en energa cintica y c o w es la velocidad del punto en cuestin.

Dependiendo de la velocidad que se tome (relativa, w o absoluta, c) el coeficiente tendr el correspondiente subndice, kw o kc.

Este coeficiente indica las veces que la velocidad en un punto considerado es mayor o menor respecto de una partcula que cae desde una cierta altura h a esa misma posicin.

A partir de la relacin de Combeau-Rateau, en TMH suele definirse un coeficiente de velocidad, kc



15


Definidos los coeficientes de velocidad, se reemplazan en las ecuaciones de caudal, altura de Euler y potencia.

44444 344444 21&

cinemticaygeomtricasemejanza

321 ,,; kuck

Dbk

ucDbcDbcV

s

sT

s

s

s

sMsssMeeeM =====

VctekkDu

V

DukkDDkkuDbcV

ss

ssssssssM

&&

&

===

===

212

22121

4

4

44

pctekup

gukgpgH

gg

guk

guku

gcuH

s

sssssTs ======== 322

32

33

Para el caudal:

Para la presin:

Coeficiente de caudal

Coeficiente de presin




Como puede verse, son similares a los coeficientes adimensionales de caudal, altura y potencias ya deducidos para bombas... Luego, por ejemplo, dado un tipo de mquina (radial, mixta o axial), si conozco su dimetro y las rpm puedo saber que caudal dara.

3222

44

sss

u

sssu

u

uDuN

up

DuVpVN

pVHVgN

===

==&&

&&Para la potencia:Coeficiente de potencia

0,400,200,600,300,600,300,400,10

16


Esta similitud conduce a relaciones similares a las leyes de semejanza ya vistas. Estas leyes aparecen como coeficientes de Combe Rateau en la litaraturarelacionada con ventiladores...


}

5

1

2

2

1

2

1

2

1

2

5

1

2

3

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

3

1

2

1

2

1

2

;

;;

2

=

=

=

=

DD

nn

MM

DD

nn

NN

DD

nn

pp

DD

nn

VV

RTpbarom

&&


La relacin entre altura manomtrica y caudal se expresa en trminos de presiones para manifestar los efectos del cambio de densidad del aire debido a distintas condiciones atmosfricas.

TMHG


4/3

2/1

HVnnq&=

2

1

2

2

1

2

1

2

3

1

2

1

2

1

2 ;

=

=

DD

nn

HH

DD

nn

VV&&

Las relaciones obtenidas permiten definir el nmero especfico de revoluciones, nq , para el caso de bombas (velocidad especfica cinemtica). De las expresiones:

Se obtiene la expresin para el nq despejando la relacin de escala D2/D1 de ambas ecuaciones. Se asume que el subndice 1 corresponde a una mquina (modelo) queentrega una altura y caudal (presin en ventiladores) unitarios.Luego el nmero de vueltas nq a las que debera girar el modelo sern:

4/3

2/1

pVnnq =& ventiladores

Nmero especfico de revoluciones

Nota: Entre todos los nmeros adimensionales que podran caracterizar la mquina se buscan aquellos que no incluyan el tamao y contengan los parmetros de mayor inters, de all la igualacin de dimetros y el nombre a veces dado en la literatura: factor de forma. Ya que no es funcin de Dssino de su forma.

TMHG

17


V&

43

2/1

nq

HVnn&= [ ]RPMn [ ]smV /3&

[ ]mH n{N

VH

N

VH

f

m

e

ut K

KKDK

DKg

DKg

MVgH

NN &

&& =

=== 533

22

== DDKKK

fNN

N

VH

e

ut

,, 3&

Se ve entonces que el rendimiento es tambin funcin de la geometra de la bomba. Puede demostrarse que la velocidad especfica tambin lo es.Estas relaciones son tiles para hallar dependencias entre nq (o nq0 ) y el t que nos permiten tener una idea previa de que rendimiento es esperable en un diseo preliminar de la mquina.


Ya se demostr que es posible obtener una relacin funcional para el rendimiento de la mquina:

Si ahora, la dependencia con el Re y con la rugosidad se conservara:

TMHG


Tipos de impulsores y rendimientos totales basados en el nq

43

2/1

,

mqs H

VnnNUSAUSp

&==[ ]RPMn[ ]gpmV&[ ]ftH m{( ) 4/3 2/1432/10 HVmqs KKHg VnN p && ===

( ) 432/1

,

mqs gH

VnnNEurp

&== [ ]Hzn[ ]smV /3&( )[ ]2/ smgH m{ 4103,5682 == USAqqqq nnnn 00 ;

t

Nmero especfico de revoluciones TMHG

18


Tipos de impulsores y rendimientos totales basados en el nq


nq0

Las proporciones tpicas para diseos de bombas comerciales y su variacin con respecto a la velocidad especfica adimensional pueden verse en la figura, la que refleja el tamao de la mquina que est ajustado para producir la misma carga (altura manomtrica) y caudal cuando giran a una velocidad que se corresponde con la especfica.

Misma Hm y para n=nq0V&

TMHG



Sistema serie-paralelo (compound): Se pueden disponer p impulsores en paralelo, donde cada uno de ellos tiene un nmero especfico nq,p cuando un rodete nico ya no tiene una forma poco adecuada de cara al rendimiento.

Por el contrario, pueden disponerse s impulsores en serie el nq,s, en los casos en que se tiene un nq bajo con los datos del problema.

TMHG

19


qpparaleloqpsninii 2/1, =>= 1 1Si

El nq est referido a un solo impulsor,

;)1(4/32/1

43421

&

sistema

HV

nnq =

( )( )

( )( )

( )( ) 2/1

4/3,

2/1

4/3

4/3

2/1

2/1

4/3

4/3

2/1

4/3

2/1

4/3

2/1

,

/1/1

p

s

q

psq

p

s

s

p

s

ps

p

q

psq

ii

n

n

ii

ii

VH

iH

iV

HVn

iH

iV

n

n

n ===

=

= &

&

&

&

Nota: Hay que ver con que caudal se calcula el nq (caso paralelo)

Dividiendo (2) m. a m. por (1):

qsserieqspninii 4/3=>= 11,Si


2/1

4/3

,p

sqpsq i

inn =

)2(4/3

2/1

4/3

2/1

,

44444 344444 21

&&

sistema del dentro impulsor cada

==

s

p

s

ppsq

iH

iV

nHV

nn

si la bomba tiene ip impulsores en paralelo e is enserie (siendo ip e is un nmero natural 1), de acuerdo a la ecuacin para el nq se tiene para cada impulsor de un sistema serie-paralelo (compound):


Por el contrario, al poner s impulsores en serie el nq,s > nq , se resuelve el problema inverso, esto es, en los casos en que se tiene un nq bajo con los datos del problema.

Sistema serie-paralelo (compound): Luego, al disponer p impulsores en paralelo, cada uno de ellos tiene un nmero especfico nq,p < nq con lo que se resuelve el problema de tener un nq elevado, esto es, cuando un nico impulsor ya no tiene una forma poco adecuada de cara al rendimiento.


20


Turbinas: Similarmente a lo hecho para TMHG, de la definicin de rendimiento total y aplicando las definiciones ya obtenidas para los K,

VH

N

VH

N

m

f

u

et KK

K

nDKg

DKg

DKVgH

MNN

&&

& =

===3

22

53

)(;)( NVNH KfKKfK == &

t

8,0

9,0

10,0

0,0 1,0

0,60,8

0,20,4KN0,0

0,1

0,2

0,3

VK &

KH

2,0 3,0

0,4

De ensayos experimentales (para turbina Francis) puede verse que el rendimiento tiene un mximo, que se denomina punto de potencia normal.

Leyes de semejanza para TMHTMHM

Francis: n=600rpm, Ds=2,225ft, ns,usa=29 [rpm, HP0,5,ft1,25]


=

=

=

=

=

=

1

2

3

1

2

1

2

1

2

2/3

1

2

2

1

2

1

2

5

1

2

3

1

2

1,

2,

2/1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

2/1

1

2

3

1

2

1

2

1

2

;

;;

HH

DD

MM

HH

DD

DD

nn

NN

HH

DD

nn

DD

HH

DD

nn

VV

e

e

&&


Vlidas para turbinas y similares a las de TMHG. Aqu en vez de se usa n, ya que al dividir es adimensional el cociente, =2 n/60 = (2/60)n

TMHMLas correlaciones entre los coeficientes K obtenidas, permiten finalmente decir que si se tienen turbinas de una misma familia y operando en puntos homlogos, esto es, misma posicin en la grfica de transparencia anterior, se cumple que (subndices: 1 modelo, 2 prototipo, M: par):

21


Moody11 ;)(1,0

2

1

25,0

2

11,2,

=

HH

DD

tt

Camerer1,4

1,411 ;1

1)(

5,01

5,02

1,2,

D

Dtt +

+=

Ackeret0,50,511 ;)(5,0

2

1

5,0

2

11,2,

+=

HH

DD

tt

Debido a que el rendimiento no es el mismo en modelo y prototipo, para evaluar el rendimiento global (t = m h v) de una mquina, pueden utilizarse frmulas empricas y se parte de datos de otra mquina semejante subndices: 1 modelo, 2 prototipo).




( )( ) ( )

=

nmt

t

HH

DDk

2

1

2

1

1,

2, 1111

Pueden escribirse estas frmulas a travs de coeficientes, obtenindose lo que se llama una frmula de recomposicin general, (subndices: 1 modelo, 2 prototipo):

Moody I : k=1,0; m = 0,25; n = 0

Moody II : k=1,0; m = 0,25; n = 0,01

Medici : k=1,0; m = 0,25; n = 0,10

Ackeret : k=1,0; m = 0,20; n = 0,10

Estas frmulas se pueden emplear cualquiera sea la naturaleza del fluido de trabajo del ensayo, aplicndose en caso particular a la transposicin de resultados obtenidos con modelos funcionando con aire y para el caso de turbinas de reaccin.



No son aplicables por tanto al caso de turbinas Pelton, pues esta turbina es deaccin, pero si son aplicables a turbinas Francis y Kaplan. Por lo general, el constructor y el usuario se ponen de acuerdo para ver cual se usa.

TMHM

22


En turbinas, la rigidez en sus condiciones de trabajo (, Hn) hace que el funcionamiento a rendimiento ptimo sea algo delicado y por tanto hay que modificar la geometra de la mquina (e.g.: cambios en los labes del distribuidor, a , y a veces del rodete, a ).

0)',,,,,,,,(1 = aaDVgHF &

0)',,,,,,,,(2 = aaDVNF e &


En turbinas es ms comn conocer la Hn y no el caudal.


La eleccin de las magnitudes para adimensionalizar es arbitraria, la nica condicin que se debe cumplir es que sean 3 y que sean dimensionalmente independientes.

0),,,,,,(1 = DVgHF &( ) 0,

)(,

)(Re

2/12/1

2/1

2/1

22/1

2/1

1 =

44 344 21434214434421

&

& HnV KKK

DgHgHD

DgHVF

0),,,,,,(2 = DVNF e &

( ) ( )( ) 0,,Re

22/1

2/1

2/1

22/3

2/1

2 =

44 344 21434214434421HnN KKK

e DgHgHD

DgHNF

Kn

KNKM

K

VK &


En turbinas es conveniente al aplicar el teorema , elegir como variables independientes D, , el caudal y H. Se pueden definir coeficientes de apertura, de rendimiento y de par, asumiendo que las aperturas se mantienen constantes:

23


Si se vara la posicin de los labes del distribuidor a:),(;),( aKfKaKfK nVnN == &

Kn

KN

a


TMHM: Francis/Kaplan


4/5

2/1

HNnn es =

Las relaciones obtenidas permiten definir el nmero especfico de revoluciones, ns para el caso de turbinas. De las expresiones:

Se obtiene la expresin para el ns despejando la relacin de escala D2/D1 de ambas e igualando. Se asume que el subndice 1 corresponde a un modelo que entrega una potencia y altura unitarios.

Luego el ns es el nmero de vueltas a las que debera girar el modelo.

2/3

1

2

2

1

2

1

2

1,

2,2/1

1

2

2

1

1

2 ;

=

=

HH

DD

NN

HH

DD

nn

e

e

El ns tiene el inconveniente de que en el mismo interviene la densidad y por lo tanto vara segn el fluido.

Nmero especfico de revoluciones TMHM

24


Turbinas, velocidad especfica, su relacin con el rendimiento Tipos de rodetes y rendimientos totales basados en el ns

02301,00 =USAs

s

nn

t

Equivalencias entre distintas definiciones del nmero especfico de revoluciones.


( ) 4/52/1

452/1

2/1

0

H

N

n

ess K

KHg

NnNt

=== 452/1

n

ess H

NnnNUSAUS== [ ]RPMn

[ ]ftH n{[ ]HPN e

TMHM


100

90

80

Impulso Francis Axial0 10 20 60 100 140 180

(%

)

ns,USA


nq0

Misma potencia en carga unitaria (Hn=1) para n=nq

TMHM

25


spparalelosps ninii2/1, =>= 1 1Si

Al igual que en bombas el ns en este caso, est referido a un solo impulsor, si la turbina tiene ip impulsores en paralelo e is en serie (siendo ip e is un nmero natural 1), de acuerdo a la ecuacin para el ns se tiene para cada impulsor de un sistema serie-paralelo (compound):

( ) ( ) ;4/32/1

4/5

2/1

4/5

2/1

44444444 344444444 21

&&

sistema

n

tntes H

VgnH

HVgnHNnn ===

Nota: Hay que ver con que caudal se calcula el ns (caso paralelo)

ssseriessp ninii4/3=>= 11,Si


( ) ( ) )2(;)1( 4/32/1

4/3

2/12/1

,4/3

2/12/1

444444 3444444 21

&&

444 3444 21

&

aisladoimpulsor

sistema

===

s

p

s

ptpssts

iH

iV

nHV

gnnHV

gnn

TMHM


Las relaciones obtenidas tambin permiten definir magnitudes reducidas, a partir de un ensayo experimental que se corresponden a los de una turbina unitaria (a priori D1=D11, H1=H11), definiendo luego como:

De las expresiones:21111111111 ;;; ==== NNnnVV &&

2/3

1

2

2

1

2

1

2

5

1

2

3

1

2

1,

2,2/1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

2/1

1

2

3

1

2

1

2

1

2 ;;

=

=

=

=

=

HH

DD

DD

nn

NN

HH

DD

nn

DD

HH

DD

nn

VV

e

e

&&

2/12

22

2/1

2

22

2/1

2

11

11

2211

2/1

11

2

2

11

11

2 11 H

DnH

DnHH

DDnn

HH

DD

nn =

=

=

=

Reemplazando el n11 en la relacin de caudales

22

2/12

211

32

22

2/122

3

11

2

11

2

11

2

1 DHVVD

DnHn

DD

nn

VV &&&& =

=

=


26


Haciendo similares reemplazos para las formulas de la potencia (y del par) se tienen finalmente las expresiones de las magnitudes reducidas, que se corresponden a los de una turbina unitaria (a priori D11=1m, H11=1m):

2/32

22

2,11,2/1

2

22112/1

22

2

211 ;; HD

NN

HDnn

HDVV ee ===&&

Puede notarse que la definicin de coincide con el nmero adimensional de Euler.

11V&



En la definicin de todos estos parmetros unitarios, se ha asumido que aparte de la igualdad de densidades, existe igualdadde rendimientos.

En la deduccin de estas magnitudes, est implcito que turbinas geomtricamente semejantes tienen las mismas magnitudes reducidas.

Si se tiene en cuenta la diferencia en los rendimientos, stos aparecern en los ecuaciones, pero esto complica su clculo.

El par reducido se define como: ==eef NM

HDN

DHM

M ;2

322

2,322

112


27


Si se asume que m y v son iguales en el modelo y prototipo, y que slo los h son distintos, esto es, que la relacin de rendimientos t es igual a las de rendimientos h se obtiene:

2/3

2/32

22

2,11,

2/1

2/12

2211

2/1

2/12

22

211

2

11

11

2

2

11 ;;

=

=

=

t

tee

t

t

t

t

HDN

NH

DnnHDVV

&&

En donde el rendimiento del modelo (t11) debe obtenerse de ensayos y el del prototipo (t2) a partir de ls frmulas de clculo de rendimiento ya comentadas.


Es comn ver curvas de turbinas hidrulicas referidas a estos parmetros unitarios. stos parmetros no se utilizan en bombas y ventiladores.

TMHM


COEFICIENTES ADIMENSIONALES: Se deducen aplicando las tcnicas del anlisis dimensional:

4 grupos adimensionales

ns velocidad especficaDs dimetro especficoRe numero de Reynolds coeficiente de potencia (combinacin de y )

coeficiente de presin, (KH) coeficiente de caudal, (Kv)Re nmero de Reynolds coeficiente de potencia ( combinacin de y ), (KN)

densidad viscosidad velocidad de rotacin

caudalE energa especficaD dimetro del rodeteN potencia

V&

O bien:

Otras definiciones comunes


28


Coeficiente de presin (pressure coeficient):

Coeficiente de caudal (flow coeficient)

( ) 2222 122 uReugH == / ( ) 2:;/1 22 2, upDgH FrFr == 48476 Froude.No

e energa especfica [W/Kg=m2/s2] velocidad angular [rad/s]R radio exterior rodete [m]u vel. tangencial rodete [m/s]

H altura de elevacin [m] velocidad angular [rad/s]D dimetro exterior rodete [m]p variacin presin total [Pa]u vel. tangencial rodete [m/s]

o bien

( ) ucRV m= 3& ( ) ( )uDVDV 23 4, && ==caudal [m3/s]

velocidad angular [rad/s]R radio exterior rodete [m]u vel. tangencial rodete [m/s]cm vel. meridiana fluido [m/s]

caudal [m3/s] velocidad angular [rad/s]D dimetro exterior rodete [m]u vel. tangencial rodete [m/s]

o bienV&V&





Coeficiente de presin (pressure coeficient), ventiladores:

Coeficiente de caudal (flow coeficient), ventiladores

22 up =

( )uDV 24 &=

u velocidad tangencial [m/s] densidad [kg/m3]p variacin presin total [Pa]

caudal [m3/s]u velocidad tangencial [m/s]D dimetro exterior rodete [m]

V&

Coeficiente de potencia (power coeficient), turbomquinas

t = t rendimiento total


29


Velocidad especfica, turbinas:

( ) ( ) 75.05.075.05.0 2v eV &==

( ) ( )5.0

25.0

5.0

25.0

VeD

VgHDKD && ==

Dimetro especfico, turbomquinas:




TMHM TMHGNmero

especfico de revoluciones (basado en el

caudal)

43

2/1

nq


[ ]mH n{=

=

602

602

6012

srad

smin

revrad

minrevn

Nmero especfico de revoluciones (basado en la

potencia)

( ) 432/1

0

nq

HgVn&= Adimensional

45

2/1

n

es H

Nnn =

0qqnn 52,93=

[ ]RPMn[ ]mH n{[ ]CVNu

( ) 452/12/1

0

n

es Hg

Nn = Adimensional

43

2/1

mq

HVnn&=

[ ]RPMn [ ]smV /3&[ ]mH m{

Adimensional( ) 432/1

0

mq

HgVn&=

0qqnn 52,93=

0ss nn 193,25=

Adimensional( ) 452/12/1

0

m

us Hg

Nn =

45

2/1

m

us

HNnn = [ ]RPMn

[ ]mH n{[ ]CVNu

0ss nn 193,25=

=

=

602

602

6012

srad

smin

revrad

minrevn


30


TMHG

Tipos de rodetes

basados en el nq

V&

[ ]RPMn [ ]smV /3&[ ]mH n{43

2/1

nq

HVnn&= n

HnV&

43

2/1

nq

HVnn&=

[ ]RPMn [ ]smV /3&[ ]mH n{


TMHM

5,0)( = gnn sq


TMHM TMHG

Tipos de rodetes o

impulsores basados en

el nq

43

2/1

mq H

Vnn&=

[ ]RPMn [ ]smV /3&[ ]mH m{

5,0)( = gnn sq Para agua: [nq]= [rpm,(m3/s)0,5m0,75]

[ns]= [rpm,(cv)0,5m1,25 ]

ns= ( g / 736w/cv)0,5(G)0,5 nqns=3,65(G)0,5 nq


31


TMHM TMHG

Tipos de rodetes o

impulsores, y rendimientos

totales basados en el

ns , nq45

2/1

n

ess H

NnnNUSAUS

== [ ]RPMn [ ]ftH n{[ ]HPN e

( ) 4/52/1

452/1

2/1

0

H

N

n

ess K

KHg

NnNt

===

t

43

2/1

,

mqs H

VnnNUSAUSp

&== [ ]RPMn [ ]gpmV&[ ]ftH m{

( ) 4/32/1

43

2/1

0

H

V

mqs K

KHgVnN

p

&& ===

( ) 432/1

,

mqs gH

VnnNEurp

&== [ ]Hzn[ ]smV /3&( )[ ]2/ smgH m{

52,93103,5682 4 === 0

;; 0

0

q

q

q

q

q

q

nn

nn

nn

USA

45

2/1

n

es H

Nnn = [ ]RPMn[ ]mH n{[ ]CVNu

t

193,250,02301 ==0

;0s

s

s

s

nn

nn

USA



45

2/1

n

es H

Nnn = [ ]RPMn[ ]mH n{[ ]CVN e

( )( ) ( )

( )

qs

ns

t

n

nt

n

tns

tnen

es

nn

HVnn

HHVng

HHVgnn

HVgNHNnn

95

0.99,811.000

0,9queasumiendoyaguaPara

=

==

==

4/3

2/12/1

4/5

2/12/1

45

2/1

2/12/145

2/1

)(

;

&

&&

&

Hs

rodete

difusor


32


Resumen de algunas de las equivalencias vistas para la velocidad especfica:

45

2/1

n

es H

Nnn = [ ]RPMn[ ]mH n{[ ]CVNu

0qqnn 52,93=43

2/1

nq


[ ]mH n{45

2/1

n

ess H

NnnNUSAUS== [ ]RPMn [ ]ftHn{

[ ]HPNe

45

2/1

n

es H

Nnn = [ ]RPMn[ ]mHn{[ ]CVNu

43

2/1

,

mqs H

VnnNUSAUSp

&== [ ]RPMn [ ]gpmV&[ ]ftH m{

( ) 432/1

,

mqs gH

VnnNEurp

&== [ ]Hzn [ ]smV /3&( )[ ]2/ smgHm{52,93103,5682 4 ===

0

;; 0

0

q

q

q

q

q

q

nn

nn

nn

USA

193,250,02301 ==0

;0s

s

s

s

nn

nn

USA

Dado que la potencia es Ne =gH t1, se tiene que ns0=nq0 t 0.5, siendo el signo menos para bombas y el ms para turbinas. Como el rendimiento mximo es cercano a uno, ambas definiciones coinciden aproximadamente.

V&



1

)TMG(

)TMM(//m

&

&

eu

tteuu

et

tteuu

et

NNHVgNNN

N

HVgNNNN

=

===

===Si:

( ) ;452/12/1

0

n

es Hg

Nn = ( ) 43

2/1

0

nq Hg

Vn&=

Y definidos:

Se tiene:

( )oo qsttqs

nnnn =00

1;5,0 quequedasiluego m


33


Hlices

Bomba centrfuga

Bomba mixtas

Bomba axiales

Compresores y ventiladores radiales Compresores y

ventiladores axiales

Turbinas axiales de gas y vapor

Bomba desplaz. +

0,01 0,05 0.10 0.20 0,50 1,0 2,0 5,0 10,0 20,0

( )

==][

][][

,; 0432/1

0

m/sm

rpm sonde unidades Si

52,933

n

qq

qn

q

HVn

nn

nHgVn &&

Pelton 1 jet Kaplan

PeltonMulti- jets

Francis


Puede verse que distintos tipos de mquinas comparten iguales valores de nmero especfico de vueltas.


Diagrama de Cordier (dimetro especfico):

( )21

41

3

22

V

gHDK

DVK

DgHK

D

V

H

&

&&

===

22

3

0

0

1

1

DsV

DsH

KnK

KnK

=

=

&

KD

ns0

El valor de este dimetro sacado del diagrama de Cordier, permitira conocer un dimetro de pre-diseo para la turbomquina con buenos valores de eficiencia.

530q

q

nn =

KD

Dimetro especfico

34


Comparacin de puntos de mejor eficiencia para datos obtenidos con bombas centrfugas, Balje, 1981

( )

( )21

41

3

43

21

0

V

gHDdK

DVK

gH

VnNn

ssD

V

q

&

&

&

&

===

==

Dimetro especfico


Dimetro especfico (bombas)

Dimetro especfico

35


nq,USA

nq,USA = n [RPM] (Q) 1/2 / H 3/4 ( Q = ft 3 /sec, H = Feet of Head Across the Turbine )

Dimetro especfico (bombas/turbinas)

nq,USA

KD

K D

nq,USA, KD

Dimetro especfico

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Tema_8 VIII_03_UTN