TEMAS 5 y 6 - FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD. MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO

TEMAS 5 y 6 - FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD.

MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO

1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN


Función real de variable real: )(xfx

Regla que asigna a cada número x un único f(x).

:f

Las funciones de una variable real se pueden representar gráficamente sobre el plano (dos dimensiones).

33)( 22 xyxxf

Dominio (valores de x)

Reco

rrid

o (

valo

res

de y

)




:f

3)( 2 xxf

Cada valor de x sólo tiene un posible valor de f(x).


No son funciones porque a un valor de x le corresponden dos o más valores de y.



:f

Son CURVAS.922 yx


1.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Input 1

Input 3

Input 2

Fórmula

Regla

Método

Output 1

Output 2



Ejemplo 1: Una compañía produce una cantidad x de un producto. El ingreso recibido por cada unidad del producto son 2 unidades monetarias. Escribe la función ingresos. Calcula el ingreso para diferentes cantidades de producción.

Ejemplo 2: Una compañía produce tres productos en cantidades x, y, z. El ingreso recibido por cada unidad de estos productos son 2, 3 y 5 unidades monetarias, respectivamente. Escribe la función ingresos. Calcula el ingreso para diferentes cantidades de producción.

Ejemplo 3: Una compañía produce tres productos en cantidades x, y, z. El ingreso recibido por cada unidad de estos productos son 2, 3 y 5 unidades monetarias, respectivamente. Los costes unitarios son 1, 2.5 y 3 unidades monetarias, respectivamente. Escribe la función ingresos y la función costes. Escribe ambas funciones en una sola. Calcula el ingreso y los costes para diferentes cantidades de producción.



1),( 22 yxyxf

224)( 23 xxxxf

2

2),( yyxf

2

3)( xexf

2. FUNCIONES ELEMENTALES


2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS

2.1.1 GRADO 1: LA RECTA

12)( xxf

1n

2m

pasa por (0,1)

Cada unidad que avanza horizontalmente, sube dos verticalmente

1

2

x

ym

Dom(f)=(-∞,+∞)



2.1.1 GRADO 1: LA RECTA

13

4)( xxf

1n

3

4m

pasa por (0,-1)

Cada tres unidades que avanza horizontalmente, sube cuatro verticalmente

3

4

x

ym

Dom(f)=(-∞,+∞)



2.1.2 GRADO 2: LA PARÁBOLA

2)( xxf

0c

02

0

2a

bxv

pasa por (0,0)

Vértice en el punto (0,f(0)), es decir, (0,0)

Dom(f)=(-∞,+∞)

0a cóncava

002 xx Sólo una solución: un punto de corte con el eje x: (0,0)R

ec(f

)=[0

,+∞

)



2.1.2 GRADO 2: LA PARÁBOLA

56)( 2 xxxf

5c

32

6

2

a

bxv

pasa por (0,-5)

Vértice en el punto (3,f(3)), es decir, (3,4)

Dom(f)=(-∞,+∞)

0a convexa

5;1056 212 xxxx

Dos soluciones: puntos de corte con el eje x en: (1,0) y (5,0)

Rec(f

)=(-

∞,4

]



2.1.3 GRADO 3

3)( xxf

0d pasa por (0,0)

Dom(f)=(-∞,+∞)

003 xxUna solución: corta al eje x en (0,0)

Rec(f

)=(-

∞,+

∞)



2.1.3 GRADO 3

15133)( 23 xxxxf

15d pasa por (0,-15)

Dom(f)=(-∞,+∞)

0a cóncava/convexa

5;1;3015133 32123 xxxxxx

Tres soluciones: puntos de corte con el eje x en: (-3,0) ; (1,0) ; (5,0)

Rec(f

)=(-

∞,+

∞)

-1 3 13 -15

1 -1 2 15

-1 2 15 0

5 -5 -15

-1 -3 0

-3 3

-1 0

Regla de Ruffini:



2.1.4 GRADO 4

4)( xxf

0e pasa por (0,0)

Dom(f)=(-∞,+∞)

004 xxUna solución: corta al eje x en (0,0)

Rec(f

)=[0

,+ ∞

)


2.2 FUNCIONES a/xn

n par

2

1)(x

xf

Dom(f)=(-∞,+∞)-{0}

Rec(f

)=(0

,+ ∞

)

asíntota vertical x=0

asíntota horizontal y=0


2.2 FUNCIONES a/xn

n impar

x

xf1

)(

Dom(f)=(-∞,+∞)-{0}

Rec(f

)=(-

∞,+

∞)-

{0

}



Hipérbola


2.3 FUNCIÓN RADICAL

n par

xxf )(

Dom(f)=[0,+∞)

Rec(f

)=[0

,+ ∞

)

n x


2.3 FUNCIÓN RADICAL

n impar

3)( xxf

Dom(f)=(- ∞,+∞)

Rec(f

)=(-

∞,+

∞)

n x


2.4 FUNCIÓN EXPONENCIAL: ax (a>0)

xxf 2)(

Dom(f)=(- ∞,+∞)

Rec(f

)=(0

,+ ∞

)

xxg 3)(

xxh 4)(



2.4 FUNCIÓN EXPONENCIAL: ax (a>0)

xexf )(

Dom(f)=(- ∞,+∞)

Rec(f

)=(0

,+ ∞

)

2.4.1 Caso particular f(x)=ex


2.5 FUNCIÓN LOGARÍTMICA: logb(x)

xxf log)(

Dom(f)=(0,+∞)

Rec(f

)=(-

∞,+

∞)



2.5 FUNCIÓN LOGARÍTMICA: logb(x)

Dom(f)=(0,+∞)

Rec(f

)=(-

∞,+

∞)

2.4.1 Caso particular f(x)=ln(x)

xxf log)(

xxg ln)(


2.6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Dom(f)=(- ∞,+∞)

Rec(f

)=(-

1,1

)

xxf sin)(


2.6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Dom(f)=(- ∞,+∞)

Rec(f

)=(-

1,1

)

xxf cos)(


2.7 FUNCIONES A TROZOS

112

1

)(

2

xx

xx

xf

Trozo 1 (-∞ -,1] Trozo 2 (1,+ ∞)

Extremos absolutos

Máximo absoluto: No tiene.

Mínimo absoluto: (0,0)

Extremos relativos

Máximo relativo: No tiene.

Mínimo relativo: (0,0)

ContinuidadPresenta una discontinuidad de salto finito en x=1



8414

1

42126

202

)( 2

xx

xxx

xx

xf

Extremos absolutos

Máximo absoluto: (2,4) y (4,4)

Mínimo absoluto: (0,2)

Extremos relativos

Máximo relativo: (2,4) y (4,4)

Mínimo relativo: (3,3)

ContinuidadPresenta una discontinuidad de salto finito en x=4Trozo 1 Trozo 2 Trozo 3



13

2

112

13

)(

xx

x

x

xx

xf

Trozo 1 Trozo 2

Extremos absolutos

Máximo absoluto: No tiene.

Mínimo absoluto: No tiene

Extremos relativos

Máximo relativo: No tiene.

Mínimo relativo: No tiene

ContinuidadPresenta discontinuidades de salto finito en x=-1 y x=1

Trozo 3 Presenta una discontinuidad de salto infinito en x=3

asíntota

vertical x=3

3. ESTUDIO ANALÍTICO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

3. ESTUDIO ANALÍTICO DEL DOMINIO

54)(

2

xx

xxf

Dominio

Es una función racional, por lo que buscamos dónde se anula el denominador:

asíntota

vertical x=5

asíntota

vertical x=-1

5;1054 212 xxxx

por tanto: }5,1)( fDom

3. ESTUDIO ANALÍTICO DEL DOMINIO

1610)( 2 xxxf

Dominio

Es una función con una raíz cuadrada que existirá cuando cuando el radicando sea positivo o cero.

,82,016102 xxx

por tanto:

,82,)( fDom

Entre 2 y 8 la función no existe: Tiene en x=2 y x=8 discontinuidades de 2ª especie.

4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL DE UNA FUNCIÓN

4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL

Ejemplo 1

Una empresa fabrica x unidades de un producto. Los ingresos, en euros, que recibe al venderlo vienen dados por la función I(x)=120x. Los gastos que suponen la fabricación se rigen mediante la función G(x)=x2+3200.

a) Realiza una tabla comparando ingresos, gastos y beneficio para diferentes cantidades de x (de 0 a 100).

c) Escribe la función beneficio y comprueba que coincide con los valores de la tabla.

d) Calcula el beneficio que obtiene por cada unidad vendida para diferentes valores de x. Escribe la función beneficio unitario.

b) ¿Para cuántas unidades vendidas los ingresos igualan a los gastos?


Ejemplo 1


Ejemplo 2

El número de alumnos afectados por una epidemia de gripe se obtiene a partir de la función A(t)=30t/(t+2), siendo t el número de días transcurridos desde el comienzo de la epidemia.

a) ¿Cuántos afectados hubo el primer día?

c) Si transcurren una gran cantidad de días, ¿tiende a estabilizarse el número de afectados? ¿o crece indefinidamente?

b) ¿En qué el número de afectados fue 15?

t(días)

nº afectados


Ejemplo 3

El porcentaje de IRPF atribuido a un trabajador depende del sueldo. Si el sueldo es menor que 2000 €, el porcentaje será de 15%. Si el sueldo está entre 2000 y 5000 € se aplicará un coeficiente de 0,01 al sueldo y se le restarán 5 puntos porcentuales. Para sueldos superiores a 5000 € el porcentaje será siempre de un 45%.

a) Escribe la función que determina el porcentaje de IRPF en función del sueldo.

b) Calcula el porcentaje de IRPF para los siguientes sueldos: 1800 €, 2700 €, 4500 € y 6000 €.

s(€)

IRPF (%)


Ejemplo 4

Una empresa estima que el precio de venta de un artículo en función de los artículos fabricados viene dado por la función p(n)=12-0,01n.

Halla la función que determina los ingresos totales de la empresa por la venta de n artículos.


4.1 FUNCIONES LINEALES

Ejemplo 1: El alquiler de un coche cuesta 60€ más 15€ por cada día de alquiler.

Ejemplo 2: El precio de una llamada de teléfono de una compañía es: 15 céntimos por establecimiento de llamada y 8 céntimos por minuto.

CASO 1: Conozco m y n

CASO 2: Conozco dos puntos (x1,y1) y (x2,y2)

Ejemplo 1: Halla la función coste de una llamada si 1 min son 28 céntimos y 2 minutos cuestan 36 céntimos.

Ejemplo 2: Ídem si 7min 45s son 82 céntimos y 1min 21s son 30,8 céntimos.

Ejemplo 3: En una universidad, en el 2002 había matriculados 10400 alumnos y en el año 2007, 13200. Halla la función que da el número de alumnos según el año. ¿Cuántos había en 2005? ¿Y en 2013?

Ejemplo 4: Si el precio de una entrada de cine es 6€ acuden 320 personas. Por cada 0,25€ de aumento en la entrada, acuden 10 personas menos. Halla la función que determina el número de espectadores en función del precio y la función que determina los ingresos del cine en función del precio.


4.2 FUNCIÓN NO LINEAL A PARTIR DEL ENUNCIADO

Ejemplo 1

Una empresa dispone de 15 comerciales que proporcionan unos ingresos por ventas de 5750 euros mensuales cada uno. Se calcula que por cada nuevo comercial que contrate la empresa los ingresos de cada uno disminuyen en 250 euros.

Escribe la función que determina los ingresos totales si se contratan x comerciales más.


4.2 FUNCIÓN A PARTIR DEL ENUNCIADO

Ejemplo 2

Una empresa tiene plantadas 1200 cepas de vid, produciendo cada cepa una media de 16 kg de uva. Según un estudio, por cada cepa que se añade, las cepas producen de media 0,01 kg menos de uva cada una.

Escribe la función que determina la producción de uvas en función de las cepas que se añaden.

http://www.cadenaser.com/sociedad/articulo/enigma-mes-junio/csrcsrpor/20120607csrcsrsoc_2/Tes

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