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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)

-------------------------------------------------------------------------------TEMA 21

CAMPO MAGNÉTICO. CARÁCTER NO CONSERVATIVO DEL CAMPOMAGNÉTICO. GENERACIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS Y EFECTOS SOBRECARGAS EN MOVIMIENTO. APLICACIÓN A DISPOSITIVOS TECNOLÓGI-COS.

Esquema

1. Introducción al Magnetismo.1.1. Antecedentes históricos del magnetismo.1.2. Estudios de Coulomb.1.3. Experimento de Oerdted. Electromagnetismo.

2. El campo magnético.2.1. Campo creado por una carga móvil.2.2. Campo creado por una corriente. Tipos de corrientes.

3. Interacción magnética.3.1. Ley de Ampère de la fuerza magnética.3.2. Campo magnético B

r (o Vector Inducción magnética).

3.2.1. Ley de Biot y Savart. Interpretación.3.3. Líneas de fuerza magnética. Flujo magnético.

4. Carácter no conservativo del campo magnético.4.1. El campo magnético es solenoidal. Interpretación.

4.1.1. Segunda Ley de Maxwell.4.2. Condición de campo no conservativo: ∫ ≠• 0rdB

rr

4.2.1. Ley de Ampère de la circulación. Teorema circuital.4.2.2. Ley de Ampère aplicada a un condensador.4.2.3. Interpretación de las corrientes de desplazamiento.

5. Fuerza magnética sobre cargas móviles.5.1. Fuerza sobre una carga móvil. Fuerza de Lorentz.

6. Campos magnéticos creados por corrientes.6.1. Conductor recto infinito.6.2. Fuerza entre dos conductores rectos

6.2.1. Definición de Amperio.6.3. Campo de una corriente circular: espira.6.4. Campo de muchas espiras: solenoide.6.5. Campo de un toroide.6.6. Campo en el interior de un conductor rectilíneo.

7. Aplicación a dispositivos tecnológicos.7.1. Galvanómetro de cuadro móvil.7.2. Aplicaciones físicas de la Fuerza de Lorentz.

7.2.1. Tubo de rayos catódicos. Osciloscopios.7.2.2. Espectrómetro de masas.7.2.3. Ciclotrón.

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TEMA 21

CAMPO MAGNÉTICO. CARÁCTER NO CONSERVATIVO DEL CAMPOMAGNÉTICO. GENERACIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS Y EFECTOS SOBRECARGAS EN MOVIMIENTO. APLICACIÓN A DISPOSITIVOS TECNOLÓGI-COS.

1. INTRODUCCIÓN AL MAGNETISMO

1.1. Antecedentes históricos del magnetismo.

Desde los comienzos de la historia ya eran conocidos ciertos hechos naturales quedieron origen al desarrollo de una rama del conocimiento científico a la que se llamóMagnetismo. Así, por ejemplo, se conocía que ciertos minerales de hierro como lamagnetita, Fe3O4 llamada piedra imán, tenían la propiedad de atraer cuerpos de hierro,fenómeno descubierto en Magnesia, región de Tesalia en la antigua Grecia, de dondederivó en nombre de magnético. Estos minerales eran llamados "imanes naturales".

El acero y algunas aleaciones de ciertos metales se convierten en imanes perma-nentes débiles después de permanecer largo tiempo en contacto con los imanes natura-les. El resto de las sustancias de la naturaleza no presentan propiedades magnéticasevidentes. También se conocía de antiguo que en un imán natural o en una sustanciaimantada, ciertas zonas presentan una mayor intensidad en la atracción de cuerpos dehierro (por ejemplo limaduras o polvo de hierro) llamándose a estas zonas polos mag-néticos. Si se trata de separar y aislar estos polos magnéticos, se crean nuevos polosopuestos en la zona de corte, por lo que resulta imposible construir un imán de un solopolo (monopolo).

Otro hecho conocido era que al suspender libremente un imán o sustancia imanta-da (en las proximidades de la superficie de la Tierra) se orienta en una determinadadirección dirigiéndose un polo hacia el norte del planeta y el otro hacia el sur, eviden-ciándose la existencia de un Campo Magnético Terrestre . Por ello, a los polos delimán se les llamó Norte y Sur. Polos iguales se repelen y polos opuestos se atraen.

1.2. Estudios de Coulomb.

Charles A. Coulomb realizó un estudio empírico de las fuerzas entre los polosmagnéticos, estableciendo que son inversamente proporcionales al cuadrado de la dis-tancia que separa los polos y directamente proporcionales a la magnitud de dichos polosmagnéticos o carga magnética (a semejanza de la carga eléctrica). Estableció una leyparalela a la fuerza electrostática entre cargas eléctricas, que expresaba la fuerza magné-tica entre polos magnéticos:

221..

rPP

F η=

Análogamente, definía la Intensidad del Campo Magnético H como la fuerzamagnética ejercida sobre la unidad de polo magnético norte, colocada en un punto:

PF

H =

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Todos los experimentos evidenciaban las notables diferencias entre los fenómenoseléctricos y magnéticos por lo que las dos ramas de la ciencia, Electricidad yMagnetismo, se desarrollaron independientemente hasta el siglo XVIII. Sin embargo, elnotable paralelismo entre las leyes de la Electrostática y de la Magnetostática ponían demanifiesto la posibilidad de una estrecha relación entre ambos fenómenos, aunque aúnno se había demostrado experimentalmente.

1.3. Experimento de Oersted. Electromagnetismo.

Aunque ya se sabía que ciertos trozos de hierro se habían magnetizado cuando seencontraban en lugares cercanos a la caída de una chispa eléctrica, el experimento defi-nitivo que unificó la Electricidad y el Magnetismo, fue realizado por Hans ChristianOersted. En él, una corriente eléctrica que circula por un hilo conductor recto, producela desviación de una aguja magnética que giraba y se situaba perpendicular a la corrien-te. Si la corriente cambia de sentido, la aguja se coloca perpendicularmente a la corrien-te en sentido contrario al anterior. Al no existir corriente eléctrica la aguja se orienta, demanera natural, según el campo magnético terrestre.

Una observación importante que se deduce del experimento de Oersted es que lafuerza existente entre la corriente y el polo magnético, es perpendicular a la línea queune a ambos elementos. En cambio, la fuerza existente entre las cargas eléctricas estáti-cas o entre las masas, se ejerce siempre en la dirección de la línea recta que une a ambascargas o masas.

El experimento de Oersted generó numerosas investigaciones en éste nuevo cam-po de la ciencia unificada de la electricidad y el magnetismo que se denominó Electro-magnetismo. De ellas se estableció una nueva y definitiva teoría que explicaba lasacciones eléctricas y magnéticas y su relación entre ellas.

2. EL CAMPO MAGNÉTICO

2.1. Campo creado por una carga móvil.

Actualmente sabemos que los fenómenos magnéticos se deben a fuerzas origina-das por cargas eléctricas en movimiento. En otras palabras toda carga eléctrica, ademásde crear un campo eléctrico dado por la ley de Coulomb, cuando se desplaza, origina enel espacio que le rodea una nueva perturbación que constituye un campo magnético.

El campo magnético no sólo se pone de manifiesto sobre pequeños imanes o brú-julas, sino que la acción magnética tiene también lugar sobre cualquier otra carga móvildentro del campo creado por la primera. Por lo tanto, entre dos cargas en movimientoexisten dos tipos de acciones mutuas: fuerzas del campo eléctrico (que se manifiestantanto si se trata de cargas fijas como móviles) y fuerzas del campo magnético que, adiferencia de las primeras, sólo existen entre cargas móviles y, por lo tanto, entrecorrientes eléctricas.

2.2. Campo creado por una corriente. Tipos de corriente.

Si consideramos dos cargas individuales en movimiento, entre ellas actúan, segúnlo dicho, ambas fuerzas, eléctricas y magnéticas. Sin embargo, en el caso de corrientes

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eléctricas en conductores, solamente aparecen fuerzas magnéticas, ya que las fuerzaselectrostáticas se compensan mutuamente debido a las atracciones y repulsiones de losiones y electrones de un conductor, en movimiento desordenado, sobre los del otro, yviceversa. El campo eléctrico creado por cargas móviles es, en muchos casos, tan débil,que la fuerza electrostática sobre una carga móvil puede despreciarse frente a la fuerzamagnética que sobre ella se ejerce.

Vamos a estudiar estos campos magnéticos limitándonos a corrientes estaciona-rias, o sea de Intensidad I=cte y prescindiendo de materiales magnéticos. Se conocenvarios tipos de corrientes eléctricas, que son:a) Corrientes de conducción, en conductores metálicos tales como Plata, Cobre,

Aluminio, etc, en los que una d.d.p. produce el arrastre de los electrones libres delconductor.

b) Corrientes electrolíticas, debidas a la circulación de iones de un electrodo a otro enuna disolución electrolítica.

c) Corrientes de convección, que consiste en el paso de iones y electrones entre doselectrodos, como en los tubos de vacío, en los diodos y triodos, o las nubes de gasionizado lanzadas por las estrellas.

d) El movimiento de cuerpos cargados cualesquiera, microscópicos o macroscópicos,constituyen también corrientes eléctricas.

Todas estas corrientes están asociadas con el movimiento de cargas eléctricaslibres y la intensidad de estas corrientes la designaremos por I, en Amperios, o medianteel concepto vectorial de "Densidad de corriente" J definida como la corriente eléctricaque atraviesa una sección de conductor de una superficie unidad, o sea:

Sd

dIJ rr

= o bien SdJdIrr

•= (1)

3. INTERACCIÓN MAGNÉTICA

La teoría del electromagnetismo se apoya y desarrolla a partir de la interacción delas fuerzas magnéticas producidas por las corrientes eléctricas. Los imanes permanentesdeben sus propiedades magnéticas a la circulación y rotación de las cargas eléctricas delos electrones de los átomos, lo que constituyen corrientes eléctricas elementales.

3.1. Ley de Ampère de la fuerza magnética.

Vamos a iniciar el estudio del Campo Mag-nético partiendo de las fuerzas magnéticas que seejercen dos conductores arbitrarios, por los quecirculan corrientes eléctricas estacionarias Ia e Ib,a semejanza de las fuerzas que se ejercen entrecargas eléctricas. Las fuerzas magnéticas entreconductores es un hecho experimental que estu-dió Ampère en el que la fuerza entre dos hilosrectos paralelos con corrientes Ia e Ib es propor-cional a Ia.Ib/r siendo r la distancia entre amboshilos.

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En el caso más general que se describe en la Fig.1, la fuerza elemental que unelemento de corriente Iadla ejerce sobre otro elemento de corriente Ibdlb viene dado por:

202 )(

.4 r

uldIldIFd bbaa

rrrr ∧∧=

πµ

e integrando doblemente a lo largo de ambos circuitos, para determinar la fuerza total deinteracción magnética entre los dos circuitos, resulta:

∫ ∫∧∧

=a b

babaab r

uIdIdIIF

2

0 )(.

4

rrrr

πµ

(2)

siendo ur

un vector unitario rrurr = y el vector trazado desde el elemento aa ldI

r al ele-

mento bb ldIr

y abFr

la fuerza ejercida por A sobre B. La constante µ0 es la "permeabili-dad magnética" del vacío, depende de las unidades empleadas y en el sistema interna-cional (S.I.) toma el valor: 27

0 /10.4 AN−≡ πµ

Mediante la doble integral se determina la fuerza magnética que cada elemento decorriente del circuito A ejerce sobre todos los elementos de corriente del circuito B. Engeneral, esta integración no se puede realizar analíticamente salvo en casos de geome-trías muy simples. Esta es la llamada "Ley de Ampère de la fuerza magnética", que esta-blece la fuerza magnética ejercida entre corrientes eléctricas.

3.2. Campo Magnético B. (Vector Inducción Magnética).

3.2.1. Ley de Biot y Savart.

Esta fuerza magnética puede expresarse como la interacción entre la corriente Ia

en el campo magnético creado por la corriente Ib en el punto de a. Este campo magné-

tico se mide mediante la magnitud vectorial Br

llamada "Vector Inducción Magnética"o "Densidad de Flujo Magnético". La ecuación (2) puede escribirse así:

∫ ∫∫ ∧=

∧∧=a a aab

bbaaab BldI

r

rldIldIF

rrrrrr

30 .

4πµ

(3)

siendo: ∫∧

=b

bb r

rldIB

3

0 .4

rrr

πµ

(4)

el vector Inducción Magnética Br

debido al circuito b en la posición ocupada por elelemento de corriente aa ldI

r del circuito a, posición determinada por el vector r

r. Dicho

vector se dirige siempre desde la fuente al punto. El vector Br

se mide en el SistemaInternacional en Weber/m2=Tesla (T)

La ecuación (4) se conoce como "Ley de Biot y Savart" y su integración sólopuede realizarse analíticamente en aquellos circuitos que tengan formas geométricassencillas. En forma diferencial y prescindiendo de los subíndices, se puede escribir así:

2

0

3

0 ..

4.

.4 r

uldIr

rldIBd

rrrrr ∧=∧=

πµ

πµ

(5)

que se interpreta de la siguiente manera: la inducción magnética elemental Bdr

produci-da por un elemento de corriente eléctrica ldI

r. en un punto dado por el vector r

r desde el

6

elemento, viene dado por un vector perpendicular

al plano determinado por dlr y rr y aplicado en el punto y su módulo dB viene dado por:

2

0 sen...

4 rdlI

dBφ

πµ

= (6)

Esta ecuación empírica no puede corroborarseexperimentalmente por la imposibilidad de dispo-ner de elementos aislados de corrientes, a semejan-za de las cargas puntuales de Electrostática. Noobstante, es aceptada plenamente ya que los va-lores de B

r calculados están completamente de

acuerdo con los resultados experimentales.

La Ley de Biot y Savart permite determinar el vector Inducción Magnética Br

enun punto y a partir de él, determinar la fuerza elemental Fd

r que actúa sobre un elemen-

to de corriente ldIs

. colocado en el punto, fuerza que viene expresada por:BldIFdrrr

∧= . (7)Si la corriente I se distribuye en el espacio conductor con una densidad de corrien-

te Jr

(A/m2), la Intensidad de corriente I se expresará así:

∫ •=s

AdJIrr

(8)

Para sustituir esta expresión en la ecuación de Biot y Savart hemos de multiplicarambos miembros por ∫ ld

r resultando:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫=•=•=•=s l l s

dJldAdJldAdJldAdJldIτ τ

τ.).().(.srrsrrrrrrr

Pues Jr

, Adr

y ldr

son vectores que tienen la misma dirección y sentido. Sustitu-yendo en la ecuación (4) de la Ley de Biot y Savart resultará:

τπ

µτ

πµ

ττd

ruJ

dr

rJB ∫∫

∧=∧=2

0

3

0

44

rrrrr

(9)

expresión de la Ley de Biot y Savart en función de la Densidad de corriente. Estaexpresión será utilizada después para demostrar que la divergencia del campo es nula yel campo magnético es solenoidal.

3.3. Líneas de fuerza magnética. Flujo Magnético.

Al igual que en Electrostática, donde se utilizan las líneas de fuerza para describirel Campo Eléctrico, para un Campo Magnético, se definirán las líneas de fuerza magné-tica, líneas de flujo magnético o líneas de inducción, como líneas tangentes en cadapunto a la dirección de vector B

s en dicho punto. El "Flujo Magnético" Φ está

relacionado con el Vector Inducción Magnética mediante la expresión integral:

Φ= ∫ •s

AdBrr

(Webers) (10)

es decir: AddBrr

/Φ= el vector Inducción Magnética en un punto del campo magnéticotiene la dirección y el sentido de la línea de fuerza que pasa por dicho punto y tiene pormódulo, el flujo magnético que atraviesa la unidad de superficie colocada en el punto.

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4. CARACTER NO CONSERVATIVO DEL CAMPO MAGNETICO.

4.1. El Campo Magnético es solenoidal. Interpretación.

El campo magnético, dado por el vector Br

, es un campo solenoidal, es decir, queviene dado por líneas de campo cerradas sobre sí mismas, no existiendo ni fuentes nisumideros de líneas. Esta condición se expresa por la ecuación:

0=•∇ Br

(11)es decir, la divergencia del vector Inducción Magnética es nula y por tanto la densidadde flujo magnético por unidad de volumen es nula, lo que se interpreta diciendo quepara cualquier volumen cerrado del Campo Magnético, el flujo entrante es igual al flujosaliente, y por lo tanto, el flujo neto es nulo.

A partir de la Ley de Biot y Savart en función de la densidad de corriente Jr

(9),cuando ésta es estacionaria, podemos demostrar la expresión (11):

∫ ∫

∧•∇=∧•∇=•∇

' ' 2

0

2

0 '4

'4 τ τ

τπ

µτ

πµ

dru

Jdr

uJB

rrsrv

para resolver la integración hay que desarrollar el integrando, lo que se hace mediante lasiguiente expresión: ( ) ( ) ( )BAABBA

rrrrrr∧∇•−∧∇•=∧•∇

cuya demostración pasaremos por alto en este tema. Aplicando esta expresión resulta:

( )

∧∇•−∧∇•=

∧•∇

222 r

uJJ

r

u

r

uJ

rrrrrr

se demuestra que este desarrollo esnulo considerando ambos términosdel segundo miembro: el primer tér-mino, contiene el rotacional de J

r, y

es nulo pues es función exclusiva delos puntos-fuente (x’,y’, z’) y eloperador rotacional implica derivadascon respecto al punto-campo (x,y,z) yen dicho punto no existe densidad decorriente alguna. Como J

r en el pun-

to-campo (x,y,z) es cero, resulta:0=∧∇ J

r (primer término nulo)

El segundo término requiere el desarrollo de 2rur∧∇ o sea:

=

−−−∂∂

∂∂

∂∂=−+−+−∧∇=∧∇=∧∇

333

332

'''

)'()'()'(

r

zz

r

yy

r

xxzyx

kji

r

kzzjyyixx

r

r

r

u

rrrrrrrr

El desarrollo de este determinante tendrá tres términos en ir

, jr

y kr

y vamos a

calcular cualquiera de ellos, por ejemplo, el correspondiente a ir

, ya que los otros tienen

idéntico desarrollo: ...''

332=

−

∂∂

−

−

∂∂

=

∧∇

r

yyzr

zzy

ir

u

x

rr

8/22

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] =

−+−+−

−∂∂−

−+−+−

−∂∂=

2/32222/3222 '''

'

'''

'

zzyyxx

yyzzzyyxx

zzy

ir

( ) ( ) ( )[ ]

−−−−+−+−−

= 6

2/1222 )')('(2.'''23

r

zzyyzzyyxxir

…

( ) ( ) ( )[ ]0

)')('(2.'''23

... 6

2/1222

=

−−−+−+−−−

r

yyzzzzyyxx

el desarrollo es nulo, como es evidente, pues ambos términos son idénticos (segundotérmino nulo), resultando finalmente demostrado que:

0=•∇ Br

(Segunda Ecuación de Maxwell) (12)Por esta expresión, en el Campo Magnético no pueden existir ni fuentes ni sumi-

deros de líneas de inducción magnética, porque estas líneas de campo son líneas cerra-das que no empieza ni acaban. El flujo de Inducción Magnética a través de cualquiersuperficie cerrada es nulo, pues todo flujo que entra también sale, por ello:

∫ =•s

AdB 0rr

y por el teorema de la divergencia podemos escribir:

∫ ∫ =•∇=•s

dBAdBτ

τ 0.rrr

(13)

4.2. Condición de Campo no conservativo: ∫ ≠• 0ldBrr

4.2.1. Ley de Ampère de la circulación. Teorema Circuital.

La Ley de Ampère de la circulación o "Teorema Circuital" establece que la circu-lación del vector Inducción Magnética B

t, creado por un conjunto de corrientes, a lo

largo de una trayectoria cerrada C, es igual al producto de la permeabilidad magnética

0µ por la suma algebraica de las intensidades de corriente que atraviesan la superficieS arbitraria, limitada por la curva cerrada. Se expresa matemáticamente mediante laecuación:

∫ ∫ ∑ ==•=•s i IISdJldB 000 µµµ

rrrr(14)

En consecuencia el Campo Magnético no es conservativo y no podemos definir encada punto un potencial escalar que nos permita completar el estudio del campo.

Esta ley se aplica solamente al caso de corrientes estacionarias y en medios nomagnéticos y se utiliza para determinar el vector Inducción Magnética B

t en aquellos

casos de perfecta simetría en los que el módulo de Bt

es constante a lo largo del caminode integración, a semejanza del teorema de Gauss que se aplica al cálculo del vectorCampo Eléctrico en los casos en que éste tiene módulo constante sobre una superficiecerrada.

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En ciertos casos, la misma corriente puede atravesar varias veces la superficie quelimita la curva de integración C. Tal es el caso de un solenoide; en él, el recorrido deintegración pasa por el eje del solenoide y vuelve por el exterior hasta cerrarse. Lacorriente total que atraviesa la superficie limitada por este recorrido, es la corriente deuna espira multiplicada por el número de espiras del solenoide, o sea, el número deAmperios-Vuelta.

En el caso particular de un solo conductor, el teorema circuital considera la co-rriente única I que pasa por el conductor, independientemente del camino de integraciónque se elija, siempre que dicho camino rodee completamente al conductor. Cuando estono ocurre, la circulación ∫ • ldB

sres nula como ocurre en Electrostática.

4.2.2. Ley de Ampère aplicada a un condensador.

Cuando se aplica el Teorema circuital de Ampére a un circuito de corriente I quealimenta un condensador, al considerar la superficie S1 limitada por el contorno C, éstaestá atravesada por la corriente I y resulta:

∫ =•c

IldB .0µrr

(15)

sin embargo, si la aplicamos a la superficieS2, limitada por el contorno C, ésta no estáatravesada por la corriente I ya que lasuperficie S2 pasa por el espacio existenteentre las placas del condensador donde I=0con lo que se llega a una situación contra-dictoria y la circulación de B

r a lo largo de

C resulta diferente según la superficie con-siderada.

Maxwell modificó la ley circuital de Ampère para resolver el problema planteado.Introdujo el concepto de "corriente de desplazamiento" Id que se suma a la corriente delconductor I, quedando la ley circuital así:

∫ +=•c dIIldB )(0µ

rr(16)

4.2.3. Interpretación de las corrientes de desplazamiento.

Vamos a interpretar el significado de la corriente de desplazamiento. La corrientedel circuito I, que produce la carga del condensador, aumenta la carga de éste segúnI=dQ/dt y por ello la Intensidad del Campo Eléctrico encerrado entre las placas. La Leyde Gauss, aplicada al condensador nos expresa que:

∫ =•=Φ0ε

QSdEE

rr(17)

y al incrementarse la carga del condensador se incrementa el flujo eléctrico, o sea:

dt

dQ

dt

d E .1

0ε=

Φo sea

dtdQ

dt

d E =Φ

.0ε

es decir, la variación del flujo eléctrico por unidad de tiempo es producida por una"corriente" (variación de carga por unidad de tiempo) a través del condensador que es laque Maxwell llamó "corriente de desplazamiento".

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En el condensador se produce una variación del flujo magnético: ε0.dΦE/dt,producida por la corriente de desplazamiento Id=ε0.dΦE/dt que se incluye, por ello en laLey Circuital de Ampère, tal como:

( )∫

Φ

+=+=•c

Ed dt

dIIIldB 000 εµµ

rr(18)

con lo cual la ley se generaliza a todas las posibles situaciones. Consecuencia de estageneralización, se llega a la conclusión de que un campo magnético no sólo es creadopor una corriente eléctrica I sino que también puede ser creado por un campo eléctricoque varíe con el tiempo.

La ley circuital de Ampère puede escribirse en función del Vector Campo Magné-tico o Vector Excitación Magnética H

s definido así:

0µB

H

rr

= luego ∫Φ

+=•dt

dIldH E

0εrr

(19)

5. FUERZA MAGNÉTICA SOBRE CARGAS MÓVILES

5.1. Fuerza sobre una carga móvil. Fuerza de Lorentz.

La ecuación (3) nos da la fuerza magnética que actúa sobre un circuito cerrado decorriente, situado en el Campo Magnético creado por otro circuito de corriente próximo.A partir de esa ecuación empírica puede determinarse la fuerza magnética que actúasobre una única carga eléctrica q que se mueve con una velocidad v en un campomagnético de inducción B

r. La fuerza sobre un elemento de corriente es:

BldIFdrrr

∧= . (20)En un hilo conductor de sección transversal Ad

r, la corriente eléctrica I que circula

puede expresarse así: [ ]qvAdnI .rr

•=siendo n el número de cargas móviles por unidadde volumen; v

r la velocidad media de arrastre de

las cargas móviles y q la carga en culombios decada partícula. La expresión anterior indica que lacarga total que atraviesa por segundo la seccióndel conductor es la carga de las partículas conte-nidas en una longitud v

s del hilo. Según esto, la

fuerza sobre el elemento ldIr

. de corriente será: BvqdnBvqdldAnrrrr ∧=∧ ....... τ

donde n.dτ es el número total de cargas contenidas en el elemento de volumen, portanto, la fuerza sobre una carga única será, evidentemente:

BvqFrrr

∧= . (21)

Esta fuerza Fr

es, en cada punto, perpendicular tanto a la velocidad vr

como alvector inducción magnética B

r como se deduce de las propiedades del producto vecto-

rial. En el caso de que la carga se mueva en la misma dirección que el vector Br

, no seejercerá sobre ella ninguna fuerza magnética.

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Las conclusiones principales que se deducen al comparar la fuerza eléctrica queactúa sobre una carga )( EqF

rr= con la fuerza magnética que actúa sobre la misma carga

cuando está en movimiento )( BvqFrrr

∧= son:

1) La fuerza eléctrica tiene la dirección del Campo Eléctrico, sin embargo la fuerzamagnética tiene la dirección perpendicular al vector Inducción Magnética B

r.

2) El vector Br

es un vector axial o sea, pseudovector y su dirección y sentido dependede la orientación del espacio.

3) La fuerza eléctrica Eqr

es independiente de la velocidad de la carga eléctrica.

La fuerza total que actúa sobre la carga ser la suma de la fuerza eléctrica y lafuerza magnética, es decir: [ ]BvEqF

rrrr∧+= . (22)

ecuación que expresa la Fuerza de Lorentz sobre una carga móvil.

6. CAMPOS MAGNETICOS CREADOS POR CORRIENTES

Vamos a considerar el cálculo del vector Inducción Magnética Br

generado porcorrientes eléctricas de diversas geometrías.

6.1. Conductor recto infinito.

Para determinar el vector Bdr

en un punto P auna distancia R de un hilo conductor largo, recto, concorriente I, consideraremos un elemento de corrientede longitud infinitesimal ld

r, el cual, producirá en P, a

una distancia r, un vector inducción magnética Bdr

,que vendrá determinado por la ley de Biot y Savart:

ur

dlI

rrldI

Bdr

rrr

2

0

3

0 sen..

4.

.4

ϕπ

µπ

µ=∧=

El vector Bdr

será perpendicular a ldr

(conduc-tor) y a r

r. Expresaremos las variables dl, senϕ y r en

función de la constante R y una única variable α pararealizar la integración. Para ello, de la Fig.6 se deduce:

αϕ cossen = yαϕ cossen

RRr ==

y diferenciando la expresión: αtg.Rl = resulta: αα

2cos

.dRdl =

y sustituyendo en la ley de Biot y Savart, tendremos:

udR

Iu

R

dRI

Bdrrr

..cos.4

cos

coscos

.

.4

0

2

2

20 αα

πµ

α

ααα

πµ

=

=

como el hilo conductor lo consideramos infinito (o muy largo en relación con la distan-cia R), se integra la expresión para límites de α entre -π/2 y +π/2:

12/22

[ ]uR

Iu

R

Iud

R

IB

rrrr.11

42sen

2sen

4..cos

402/

2/

00 +=

−−== ∫

+

− πµππ

πµ

ααπ

µ π

π

o sea: uR

IB

rr

πµ2

0= (23)

El módulo del vector Br

es inversamente proporcional a la distancia al conductory es perpendicular al plano determinado por el hilo y el punto. Las líneas de inducciónmagnética, tangentes a los vectores B

r, son circunferencias concéntricas con el hilo y en

planos perpendiculares a él.

Una vez determinada la expresión de Br

en elcampo magnético de una corriente lineal, podemoscalcular la circulación del vector B

r a lo largo de una

circunferencia de radio R que rodea al conductor,como demostración del Teorema Circuital de Ampè-re. Como el vector B

r es constante en módulo y tan-

gente a la trayectoria trazada, la circulación resultará:

∫ ∫ ∫==•c

dRBldBldBπ π

φα2

0

2

0..cos..

rrsr

pues en todo punto de la trayectoria, resulta α=0 y por ello cosα=1 ya que ldr

y Br

son

vectores paralelos. Sustituyendo φdRld .=r

y RIB πµ 20=r

del resultado anterior:

[ ]∫ ∫ ∫ −===•c

IdR

R

IdR

R

IldB

π ππ

πµ

φπ

µφ

πµ2

0

2

0

000 0222

.2

rr

resultando finalmente ∫ =•c

IldB 0µrr

c.q.d. (24)

6.2. Fuerza entre dos conductores rectos.

La fuerza entre dos conductores paralelos recorridos por corrientes eléctricas deintensidades Ia e Ib y separados una distancia R, se deduce inmediatamente de la expre-sión (20). La corriente Ia produce en la posición ocupada por el conductor b (a distanciaR de a) un campo magnético de inducción ( )uRIB

rrπµ 20= La fuerza que actúa sobre

un elemento de corriente Ibdlb, será, según la ecuaci¢n de Ampère:( )abb BldIFd

rrr∧=

y sustituyendo aBr

resultará:

( )RI

uldIFd aabb π

µ2

0rrr∧=

como bldr

y ur

(vector unitario) son perpendicula-res entre sí:

bbb dludluld ==∧2

sen..πrr

resultando la ecuación dF en módulo:

bba dlRII

dFπ

µ2

.0=

13

o puesta en la forma:RII

dldF ba

b πµ

20= (25)

Esta expresión establece la fuerza por unidad de longitud que ejercerá un conduc-tor sobre el otro. Será atractiva o repulsiva si las corrientes llevan el mismo sentido osentidos opuestos.

6.2.1. Definición de Amperio.

De esta expresión se establece la definición de Amperio en el Sistema Internacio-nal: "Dos hilos paralelos de longitud infinita, situados en el vacío, a 1 metro de distan-cia (R=1 m) recorridos por corrientes de 1 Amperio (Ia=Ib=1 A) se ejercen entre sí unafuerza por unidad de longitud de dF/dl= 2.10-7 N/m”.

6.3. Campo de una corriente circular: espira.

Una corriente circular, denominada espira, crea un campo magnético a su alrede-dor cuyo vector Inducción Magnética B

r en un punto cualquiera, resulta muy complejo

de determinar mediante la integración de la ecuación de Biot y Savart aplicada al punto.Unicamente en los puntos situados en el eje de la espira, la integración puede realizarsede manera sencilla.

Consideremos una espirasituada en el plano XZ de unsistema de coordenadas, reco-rrida por una corriente I. LaInducción Magnética B

r crea-

da en el punto P de coordena-das (0,Y,0), por un elemento decorriente lId

r de la espira, ven-

drá dado por la Ley de Biot ySavart:

30 .

4 rrldI

Bdrr

r ∧=π

µ

El campo total Br

en el punto P, será el resultado de sumar todos los vectores Bdr

debidos a todos los elementos de corriente de la espira. La integración de la expresiónanterior habrá de hacerse descomponiendo Bd

r en dos componentes yBd

r y zBd

r como se

indica en la Fig.9, resultando:

ϑπ

µcos.

4 2

0

rdlI

dB y = y ϑπ

µsen.

4 2

0

rdlI

dB z =

por simetría, la inducción magnética total será la suma de todas las componentes yBdr

,

pues las componentes zBdr

se anulan todas entre sí al sumar las correspondientes a loselementos de corriente de toda la espira. Luego:

∫ ∫ ∫ ====== ...cos2

2.cos

.4

cos.

4cos

4 2

0

2

0

2

0

2

0 ϑµ

πϑπ

µϑπ

µϑ

πµ

r

IRR

r

Idl

r

I

rdlI

dBB y

y considerando que: rR /cos =ϑ y ( ) 2/122 yRr += sustituyendo resulta

14/22

==3

20

2...

r

IRµ

( ) 2/322

20

2 yR

IR

+

µ y en forma vectorial

( )j

yR

IRB

rr2/322

20

2 +=

µ (26)

El vector Inducción Magnética Br

es máximo en el propio plano de la espira, pun-to donde la coordenada y=0:

jR

IB

rr

20µ

= (27)

6.4. Campo de muchas espiras: solenoide.

La ecuación (26) puede utilizarse para calcular la Inducción Magnética Br

en unpunto del eje de un solenoide, teniendo en cuenta que éste se considera formado por unconjunto de espiras iguales puestas en serie una detrás de otra y recorridas por la mismacorriente I.

Consideremos un solenoide delongitud total L, número total deespiras N y radio de cada espira R,que está recorrido por una corrienteeléctrica de intensidad I. El númerode espiras por unidad de longitud esN/L y el número de espiras en unalongitud elemental de solenoide dxserá: (N/L)dx.

La inducción magnética dBx producida por dicho elemento de solenoide, en unpunto P de su eje será:

( )[ ] 2/32

02

20

)(.

2

/

xxR

dxIRLNdBx

−+=

µ

ecuación que resulta de aplicar (26) multiplicada por el número de espiras del elementodel solenoide. La inducción total valdrá:

[ ]∫ −+=

L

xxxR

dxL

NIRB

0 2/320

2

20

)(2

µ

Realizaremos el siguiente cambio de variable:

αtg.0 Rxx =− y diferenciando α

ααα

2

2

cos..sec.

dRdRdx ==

[ ] ( )∫∫ =+

=+

= 2

1

2

1

...tg1

cos.

2tg.

cos.

2 2/323

220

2/3222

220 α

α

α

α ααα

µ

ααα

µ

R

dR

L

NIR

RR

dR

L

NIRB x

∫∫ ==

= 2

1

2

1

...sec

.sec1.

2

cos

1

.sec2

...3

2

2

20

2/3

2

2

220 α

α

α

α αααµ

α

ααµ dRL

NIR

R

dL

NIR

( )∫ −== 2

112

00 sensen2

.cos2

...α

ααα

µαα

µL

NId

L

NI

15/22

donde α1 y α2 son los ángulos: ( )Rx01 arctg−=α y ( )RxL )(arctg 02 −=α

El signo negativo de α1 se obtiene haciendo x=0 y α=α1 en la ecuación general:x-x0 = R.tg α. Es más conveniente utilizar los ángulos complementarios φ1 y φ2, ambospositivos, en lugar de α1 y α2 con lo que la ecuación del campo B

r será:

( )210 coscos2

φφµ

+=L

NIB x

Si el solenoide es muy largo y de radio R muy pequeño, en comparación con lalongitud, pueden aproximarse los ángulos φ1 y φ2 a 0 resultando entonces cosφ1=1 ycosφ2=1 con lo que la ecuación anterior quedará:

L

NIB x

0µ= (28)

siendo en este caso, B constante, es decir, independiente de la posición del punto en eleje del solenoide.

6.5. Campo de un toroide.

Un Toroide puede considerarse como un solenoide largo y doblado en círculohasta cerrarse una cara con la otra y adquirir el eje del solenoide forma de circunferen-cia. Sea a el radio medio del toroide (el radio de la circunferencia del eje del solenoide),R el radio de las espiras del arrollamiento, por el cual circula una corriente eléctrica I.La longitud del solenoide será, pues, 2πa.

Por la simetría del sistema se observa que elvector Inducción Magnética B

r tiene el mismo mó-

dulo en todos los puntos de la circunferencia del ejedel solenoide y su dirección es la tangente a dichacircunferencia. Como la corriente total que atraviesacualquier superficie limitada por la circunferenciadel eje, es N.I tendremos, aplicando el TeoremaCircuital de Ampère, a dicha circunferencia del eje:

∫ =•c

INldB ..0µrr

desarrollando el primer miembro y como Bs

y ldr

son vectores paralelos:

∫ ∫ ∫ ====c c c

o NIaBdlBdlBldB 02..0cos.. µπrr

y despejando B resulta:a

NIB

πµ2

0= (29)

6.6. Campo en el interior de un conductor cilíndrico.

Como la corriente está uniformemente distribuida, el conductor, de radio a, tendrá

una densidad de corriente:2a

IJ

π=

y si consideramos un punto P a una distancia r del eje del conductor r<a, o sea, dentrodel conductor, vamos a aplicar la ley Circuital de Ampère a lo largo de la circunferenciade radio r, la cual encerrará un círculo de área πr2 que será atravesada por una corrientetotal I’, según la densidad de corriente:

16

22

2.'.'

===

ar

IraI

SJI ππ

La ley circuital nos establece: ∫ =•c

IldB '.0µrr

∫

= I

ar

dlB2

0µ

e integrando: Iar

rB2

2

02. µπ = es decir:

Iar

ra

IrB

202

20

2.

2 πµ

πµ

== (30)

lo que nos indica que el vector Br

tiene un módulo que es una función lineal de la dis-tancia r al eje del conductor.

7. APLICACIÓN A DISPOSITIVOS TECNOLÓGICOS

Los efectos del Campo Magnético sobre bobinas recorridas por corrientes tienenmuchas aplicaciones en la técnica y la industria como la construcción de motoreseléctricos, aparatos de medida, dispositivos de análisis e investigación, etc.

7.1. Galvanómetro de cuadro móvil.

En los instrumentos de medición de la corriente, tales como los Galvanómetros, lacorriente a medir pasa por una bobina suspendida entre los polos de un imán. En algu-nos casos la bobina se enrolla sobre un cilindro de hierro C. El campo magnético produ-ce un momento sobre la bobina, de módulo ISBsenθ siendo S el área efectiva de labobina (número de espiras por la sección de la bobina). Este momento tiende a colocar ala bobina perpendicularmente al campo magnético retorciendo el resorte Q, que ejerceráun momento recuperador. La bobina adopta una posición de equilibrio rotada un ánguloα cuando el momento magnético es compensado por el momento elástico Kα del resor-te, donde K es la constante elástica de éste. Una aguja solidaria a la bobina indica elángulo α girado por ésta.

Las piezas polares del imán tienen la forma que se ilustra en la figura 14, para queel campo magnético entre ellas y el cilindro de hierro C sea radial, de este modo elcampo B está siempre en el plano del circuito y θ es siempre π/2 o sea senθ=1. Elmomento de fuerza aplicado será entonces: BSIM ..=

17/22

En el equilibrio, cuando el momento debido al campo es compensado por el mo-mento debido al resorte, se tiene:

α... KBSI = de donde, despejando I: BS

KI

..α=

Si se conocen las magnitudes K, S y B, esta ecuación nos da el valor de la corrien-te en función de α. Normalmente la escala se calibra de manera que se pueda leer I enalguna unidad conveniente (amperios).

7.2. Aplicaciones físicas de la fuerza de Lorentz.

Como ya hemos señalado, una carga q que se mueve con una velocidad v en elseno de un campo magnético B, se ve sometida a la acción de una fuerza F, denominadafuerza de Lorentz. La principal consecuencia que se deriva de este hecho es que, al ser Fperpendicular a la velocidad con que se mueve la carga, no modifica el módulo de lamisma, sino sólo su dirección. Por tanto, la trayectoria de la carga, cuando penetra en elinterior del campo magnético, se verá curvada, dependiendo su curvatura del valor delcampo y de la velocidad de la partícula.

Supongamos que una carga se nueve per-pendicularmente al campo magnético, supuestoéste uniforme, fig.15. Al ser la fuerza de Lorentzperpendicular a la velocidad, se trata de una fuer-za centrípeta, y por lo tanto, si m es la masa de lapartícula de carga q que se mueve con velocidad ven un campo B, se podrá escribir:

BvqRvm

... 2

=

el radio de curvatura será: Bqvm

R..= (31)

y el sentido de giro dependerá del signo de la carga.

Las aplicaciones físicas de la Fuerza de Lorentz son numerosas. Entre ellas pode-mos destacar las experiencias de Thomson para determinar la relación carga/masa delelectrón, el espectrógrafo de masas y el acelerador de partículas denominado ciclotrón.

7.2.1. Tubo de Rayos Catódicos. Orciloscopio..

Durante la última parte del siglo XIX, hubo gran cantidad de experimentos sobredescargas eléctricas en gases a baja presión. La descarga eléctrica entre dos electrodosaplicando una diferencia de potencial elevada, en el seno de un gas, daba lugar a efectosluminosos según fuera la presión del gas dentro del tubo de descarga.

Cuando se mantenía el gas a presión menor de una atmósfera, dejaban de obser-varse efectos visibles dentro del tubo, pero se observaba una mancha luminosa en laparte del tubo opuesta al cátodo. Se supuso que alguna radiación era emitida por elcátodo que se movía en línea recta. Por eso, dicha radiación fue llamada rayoscatódicos. Si añadimos dos placas paralelas P y P’ dentro del tubo y aplicamos una

18/22

diferencia de potencial (d.d.p.) se produce un campo eléctrico E dirigido entre las placasde P a P’. Por ello, la mancha luminosa se mueve de O a O’, o sea, en el sentidocorrespondiente a cargas negativas. Esto sugirió que los rayos catódicos son simplemen-te una corriente de cargas negativas (electrones).

Si q es la carga decada partícula y v su ve-locidad, la desviación d==OO' puede determinarseaplicando la ecuación:

ld

vmaEq =2...

Usando dos juegos de placas paralelas cargadas, podemos producir dos camposmutuamente perpendiculares, uno horizontal HH' y otro vertical según VV’; fig.17.Ajustando la intensidad relativa de los dos campos, podemos obtener una desviaciónarbitraria del haz de electrones respecto de cualquier punto de referencia sobre la panta-lla. Si los dos campos son variables, el punto luminoso sobre la pantalla describirá unacierta trayectoria curvada.

Aplicaciones prácticasde este efecto se presentanen los tubos de televisión oiconoscopios, y en los osci-loscopios, que son instru-mentos que permiten obser-var las variaciones de unamagnitud física (por ejem-plo, la corriente alterna) quevaría con el tiempo.

Si aplicamos en la misma región que está E, un campo magnético B dirigido haciael papel, la fuerza magnética Fm=q.v.B está dirigida hacia abajo porque q es negativa.La fuerza eléctrica sobre la partícula es Fe=q.E y está dirigida hacia arriba. Ajustando Ben forma apropiada podemos hacer que la fuerza magnética sea igual a la fuerza eléctri-ca lo que daría una resultante nula y la partícula (electrón) no se desviaría (la manchaluminosa volvería a O). Se cumplirá:

BvqEq ... = y por tanto: BE

v = (33)

Esto permite medir la velocidad de la partícula cargada y sustituyendo este valorde v en la ecuación (32) obtenemos la razón q/m.

7.2.2. Espectrómetro de Masas.

El espectrómetro de masas de Dempster está representado en esquema en la fig.18. Está constituido por una fuente de iones I que pasan a través de sendas rendijasestrechas S1 y S2 practicadas en dos placas sometidas a una diferencia de potencial Vdonde son acelerados los iones.

19

La energía cinética adquirida por una par-tícula cargada q (ión) cuando se mueve a través de las placas con una diferencia de potencial, le imprime una velocidad de salida de los iones, que se determina así:

qVmv =2

21

o sea mqV

v2

= (34)

En la región situada debajo de la rendija existe un campo magnético uniforme condirección perpendicular al papel y sentido hacia fuera. El ion describirá entonces unaórbita circular, curvada en un sentido o en otro según sea el signo de su carga q. Des-pués de describir una semicircunferencia, los iones inciden sobre una placa fotográficaP, donde dejan una marca.

La ecuación (31) permite obtener la expresión de la velocidad: v=B.R.(q/m) ycombinando ésta con la (34) resulta:

RBmq

v .

= y

mqV

v22 =

elevando al cuadrado la primera e igualándola a la segunda resulta:

22

2RBV

mq = (35)

Puede obtenerse la razón q/m en función de las tres magnitudes V, B y R,fácilmente medibles en los experimentos.

Esta técnica se puede aplicar a electrones, protones y cualquier otra partícula,átomo o molécula cargada. Midiendo la carga q independientemente, se puede obtenerla masa de la partícula. Este dispositivo constituye un espectrómetro de masas porquesepara los iones que tienen la misma carga pero diferente masa, pues el radio de la tra-yectoria de cada ion depende de la relación q/m. Mediante esta técnica se descubrieronlos isótopos.

Puede también utilizarse para obtener el cociente q/m de una partícula que semueve con diferentes velocidades. Se ha encontrado que q/m depende de v, en la formasiguiente:

2

2

0

1cv

mm

−

= (36)

7.2.3. Ciclotrón.

El ciclotrón es un instrumento para acelerar partículas elementales, destinado a lainvestigación de la física de altas energías. Funciona cíclicamente y consiste en unacavidad cilíndrica dividida en dos mitades, llamadas por su forma Des, las cuales secolocan en el interior de un campo magnético externo, uniforme y paralelo al eje de lasDes. Las dos cavidades están aisladas eléctricamente una de otra. En el centro del espa-cio entre las Des hay una fuente de iones S –núcleo cargados positivamente de hidróge-no pesado (deuterones)- y se aplica entre las mismas una diferencia de potencial alterna.Cuando los iones son positivos, son acelerados hacia la de negativa y una vez que

20

penetra en la de no experimenta fuerza eléctrica alguna, porque el campo eléctrico es nulo en el interior de las Des. Sin em-bargo el campo magnético externo obliga a los iones a describir una órbita circular con un radio dado por la ecuación (31) y una velocidad angular igual a la frecuencia ciclotrónica de las partículas, dada por la ecua-ción: ω=q.B/m. La diferencia de po-tencial alterna entre las Des oscila con una frecuencia igual a ω que ha de ser muy elevada. De esta manera esta d.d.p. está en resonancia con el movimiento circular de los iones.

Después que la partícula ha descrito media revolución, se invierte la polaridad delas Des y cuando el ion cruza el espacio entre ellas, recibe otra pequeña aceleración, porla fuerza eléctrica. La semicircunferencia que describe a continuación tiene entonces unradio mayor, pero la misma velocidad angular. El proceso se repite varias veces hastaque el radio alcanza el valor máximo de R que es prácticamente igual al radio de lasDes. El campo magnético disminuye abruptamente en el borde de las Des y la partículase mueve tangencialmente, escapando a través de una abertura apropiada. La máximavelocidad está relacionada con el radio por la ecuación (31), es decir:

RBmq

vMAX .

= y 2222

2

22

21

21

21

RBmq

qRBmq

mmvE MAXMAX

=

==

y está determinada por las características de la partícula, la intensidad del campo mag-nético y el radio del ciclotrón, pero es independiente del potencial del acelerador.

Cuando la diferencia de potencial es pequeña, la partícula tiene que dar muchasvueltas hasta adquirir la energía final y cuando es grande sólo se requieren unas pocasvueltas para adquirir la misma energía.

La intensidad del campo magnético está limitada por factores tecnológicos, talescomo la disponibilidad de materiales con las propiedades requeridas, pero en principiopodemos acelerar la partícula hasta cualquier energía, construyendo imanes de radiosuficientemente grande. Sin embargo, cuanto mayor es el imán, mayor es el peso y elcosto.

Un ciclotrón únicamente puede acelerar partículas relativamente pesadas, talescomo protones, deuterones, núcleos de helio, etc., ya que para mantener la resonancia,esto es, el sincronismo entre el periodo de la partícula en su giro y el correspondientedel campo eléctrico alterno, es preciso que la masa de la partícula no varíe.

Así, el ciclotrón no sirve para acelerar electrones porque cuando éstos son acelera-dos a grandes velocidades, su masa, de acuerdo con la teoría de la relatividad, se hacemucho mayor, por ello, para acelerar electrones hay que recurrir a otro tipo de máquinasdenominadas betatrones. Incluso para los protones o deuterones de elevada energía losincrementos relativistas de la masa pueden tener importancia y motivar a su vez, que no

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se cumpla la condición de resonancia. Para estos casos, se ha ideado el ciclotrón defrecuencia modulada.

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

Paul LORRAIN y Dale R.CORSON. Campos y Ondas Electromagnéticos.Selecciones Científicas. MADRID.

Francis W.SEARS. Fundamentos de Física II. Electricidad y Magnetismo.Editorial Aguilar. 1967. MADRID.

Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCIA y CarlosGRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA.

Marcelo ALONSO y Edward J.FINN. Física. Vol.1. Mecánica. Addison-WesleyIberoamericana. MEXICO.

Jesús RUIZ VAZQUEZ. Física. Editorial Selecciones Científicas. MADRID.

Robert M.EISBERG y Lawrence S.LERNER. Física: Fundamentos yAplicaciones. Tomo II. Ed.McGraw-Hill. MADRID.

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Tratamiento Didáctico----------------------------------------------------------------------------------------------------------OBJETIVOS Introducción al magnetismo, mostrando los fenómenos magnéticos a lo largo de lahistoria y su evolución en el conocimiento humano. Hacer un estudio matemático del campo magnético, las fuerzas implicadas y su in-fluencia sobre las corrientes eléctricas. Estudiar los mecanismos de producción de campos magnéticos y sus aplicaciones aldesarrollo de la ciencia y la técnica.UBICACION En la ESO, se hace una breve introducción de los dispositivos ordinarios del magne-tismo (imanes) en el 4º curso (2ª etapa), debiendo ubicar el tema en su actual estructura,en el 2º curso de bachillerato.TEMPORALIZACION El tema debe desarrollarse en un período de 6 horas a las cuales se deben añadir 2horas dedicadas a problemas numéricos sobre campos magnéticos y su influencia en lascargas y las corrientes y 1 hora a la realización de prácticas de laboratorio.METODOLOGIA Debido a la dificultad conceptual y matemática, el tema debe explicarse con sumocuidado, exhaustivamente, paso a paso y comprobando la comprensión por parte de losalumnos. En la explicación deben incluirse problemas numéricos relacionados con eltema, que ilustren la teoría, ciertamente árida del tema. Resulta difícil recurrir a ejemplos prácticos de la vida diaria para ayudarnos en laexplicación, por lo que el profesor debe hacer participar al alumno en el planteamientode sus dudas para su explicación e interpretación. Pueden demostrarse los fenómenos magnéticos mediante la realización de prácticasde laboratorio utilizando electroimanes, bobinas, agujas, limaduras de hierro, etc.CONTENIDOS MINIMOS Concepto de Fuerza Magnética. Concepto de Intensidad de campo o Inducción magnética. Campo solenoidal. Flujo magnético, Fuerza magnética sobre cargas. Fuerza de Lorentz. Ley de Ampère de la circulación. Corriente de desplazamiento. Creación de campos magnéticos por corrientes. Algunas aplicaciones técnicas.MATERIALES Y RECURSOS DIDACTICOS Libro de texto, complementado con apuntes de clase. Materiales de laboratorio: Equipos de magnetismo escolar para prácticas de laborato-rio, incluyendo: imanes, limaduras hierro, agujas magnéticas, electroimanes, bobinas,fuentes de alimentación de c/c y c/a, polímetros, etc. Hojas de problemas elementales sobre magnetismo.EVALUACIÓN Prueba escrita de carácter objetivo sobre conceptos teóricos fundamentales relaciona-dos con el tema, valorando la comprensión y razonamiento. Pruebas escritas de problemas numéricos que incluya campos creados por corrientesy fuerzas sobre corrientes y sobre cargas. Pruebas de opción múltiple que obligue al alumno al razonamiento deductivo. Valoración objetiva de las prácticas de laboratorio.