Temas Pendientes Bloque I (Hotelería) D… · Si los puntos de datos son (x 1, y 1), (x 2, y 2), …, (x n, y n), una forma de determinar cómo se ajusta la función lineal ( )=𝑚

INSTITUTO NACIONAL DE EDUCACIÓN DIVERSIFICADA “INED” 2a. Avenida 1-39 Zona 4

SAN JOSÉ PINULA, GUATEMALA

CATEDRÁTICO: _____Vilma Leticia Chete Guzmán__ ÁREA: ___Matemática___

GRADOS Y ESPECIALIDAD: _5to., Perito en Mecánica y Perito en

Hoteleria_________________________________________________________________________________

Temas Pendientes Bloque I (Hotelería)

Función uno a uno

Función Inversa

Ejemplos:

Hallar la función inversa de

Ahora examinemos la forma en que calculamos funciones inversas. Primero observamos

de la definición de 𝑓−1 que

𝑦 = 𝑓(𝑥) ↔ 𝑓−1(𝑦) = 𝑥

Por tanto, si 𝑦 = 𝑓(𝑥) y si podemos despejar x de esta ecuación en términos de y, entonces

debemos tener 𝑥 = 𝑓−1(𝑦). Si entonces intercambiamos 𝑥 y 𝑦, tenemos 𝑦 = 𝑓−1(𝑥), que es

la ecuación deseada.



Ejemplo No. 1:

Ejemplo No.2

Ejemplo No. 3



Ejercicio No. 15

Encontrar la función inversa de:

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 2. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 7 3. 𝑓(𝑥) = 5 − 4𝑥3 4. 𝑓(𝑥) =𝑥−2

𝑥+2

Recta de mínimos cuadrados

Si los puntos de datos son (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), una forma de determinar cómo

se ajusta la función lineal 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 a los datos consiste en medir las distancias

verticales entre los puntos. Centraremos la atención exclusivamente en el problema de

obtener un polinomio lineal 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 una línea recta que “se ajuste mejor” a los datos

de las coordenadas. El procedimiento para hallar esta función lineal se conoce como el

método de mínimos cuadrados.

Ejemplo:

Obtenga la recta de mínimos cuadrados de los datos (1, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 6), (5, 5).

𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥2

1 1 1 1

2 2 4 4

3 4 12 9

4 6 24 16

5 5 25 25

∑ =

5

𝑖=0

15

5= 3

18

5= 3.6

66

5= 13.2

55

5= 11

Encontrar la pendiente

Sustituimos valores

𝑚 =13.2 − (3)(3.6)

11 − (3)2=

13.2 − 10.8

11 − 9=

2.4

2= 1.2

Encontrar el valor de b

𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥 Sustituimos valores

𝑏 = 3.6 − (1.2)(3)

𝑏 = 3.6 − (1.2)(3)

𝑏 = 3.6 − 3.6

𝑏 = 0

Respuesta// 𝑦 = 1.2𝑥 + 0

Ejercicio No. 16

Obtenga la recta de mínimos cuadrados de los datos



Temas Bloque II

1. Funciones exponenciales:

La función exponencial con base a está definida para todos los números reales x por

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

En donde 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1

Ejercicio:

Sea 𝑓(𝑥) = 3𝑥 y evalué lo siguiente:

1. 𝑓(2) 2. 𝑓 (−2

3) 3. 𝑓(𝜋) 4. 𝑓(√2)

Grafica de funciones exponenciales

Primero graficamos funciones exponenciales al localizar puntos. Veremos que las gráficas

de esas funciones tienen una forma fácilmente reconocible.

Ejemplo

Trace la gráfica de cada función.

a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 b). 𝑔(𝑥) = (1

3)

𝑥

Ejercicio No. 1

Trace la gráfica de las siguientes funciones

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2. 𝑓(𝑥) = (1

3)𝑥 3. 𝑓(𝑥) = 8𝑥

4. 𝑓(𝑥) = 3−𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = (1

3)𝑥 5. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 7𝑥

2. Función exponencial Natural:

La función exponencial natural es la función exponencial

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

Con base 𝑒. Es frecuente llamarla la función exponencial.

𝑒 = 2.71828

Ejemplo:



Ejemplo:

Trace la gráfica de la función

𝑔(𝑥) = 3𝑒0.5𝑥

Ejercicio No. 2

Utilice la calculadora para evaluar las siguientes funciones y redondear sus respuestas a

tres decimales.

1. ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥; 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ(3), ℎ(0.23), ℎ(1), ℎ(−2)

2. ℎ(𝑥) = 𝑒−2𝑥; 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ(1), ℎ(√2), ℎ(−3), ℎ(1

2)

Realice una tabla de valores para las siguientes funciones y trace la gráfica.

3. 𝑓(𝑥) = 3𝑒𝑥 4. 𝑓(𝑥) = 2𝑒−0.5𝑥

3. Funciones logarítmicas



Las formas logarítmicas y exponenciales son ecuaciones equivalentes: si una es verdadera,

también lo es la otra. Por lo tanto, podemos pasar de una forma a la otra como en las

siguientes ilustraciones.

Ejercicio No. 3

Pasar las siguientes ecuaciones a forma exponencial o logarítmica

1. log5 25 = 2 2. log5 1 = 0 3. log10 0.1 = −1 4. log8 2 =1

3 5. log3 81 = 4

6. 53 = 125 7. 10−4 = 0.0001 8. 8−1 =1

8 9. 2−3 =

1

8 10. 811 2⁄ = 9

4. Evaluación de Logaritmos

Es importante entender que loga x es un exponente. Por ejemplo, los

números de la columna derecha de la tabla del margen son los logaritmos

(base 10) de los números de la columna izquierda. Éste es el caso para

todas las bases, como ilustra el siguiente ejemplo.

Explicación: Evaluar los siguientes logaritmos

a) log10 1000 =

1. Pasar a forma exponencial

10𝑥 = 1000

2. Que exponente necesito para la base 10 que dé como resultado 1000

103 = 1000

En este caso es exponente 3 por que 10 × 10 × 10 = 100

b) log2 32 =


2𝑥 = 32




25 = 32

En este caso es exponente 5 por que 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

c) log10 0.1 = −1


10𝑥 = 0.1

2. Que exponente necesito para la base 10 que dé como resultado 0.1

10−1 = 0.1

En este caso es exponente -1 porque se sabe por naturaleza que cualquier número

que esta elevado por una potencia negativa, da como resultado un número decimal

o fracción. Utilizando la ley de los exponentes

10−1 =1

101 =1

10= 0.1

d) log16 4 = −1


16𝑥 = 4


161 2⁄ = 4

En este caso es exponente 1 2⁄ porque se sabe por naturaleza que cualquier

número que esta elevado por una potencia en forma de fracción, es lo mismo

si tuviera una raíz donde el denominador del exponente es el índice de la raíz y

el numerador del exponente es el exponente del radicando. Entonces:

161 2⁄ = 4

√16 = 4

Ejercicio No.4

Evaluar los siguientes logaritmos dejando constancia de procedimientos:

1. log5 125 = 2. Log4 64 = 3. Log3 9 = 4. Log9 81 = 5. Log6 36 =

5. Propiedades de logaritmos:

Ilustramos las propiedades de logaritmos cuando la base es 5.

Ejercicio No. 5

Evaluar los siguientes logaritmos utilizando las propiedades e identifique que propiedad es:

1. log3 3 = 2. log3 1 = 3. log3 32 = 4. log7 710 = 5. 2log2 37 =

6. 3log3 8 = 7. . log6 1 = 8. log9 9 =



Ejercicio No. 6

Use la definición de la función logarítmica para hallar X

1. log2 𝑥 = 5 2. log2 16 = 𝑥 3. log5 𝑥 = 4 4.log3 243 = 𝑥

5. log10 0.1 = 𝑥 6. log4 𝑥 = 2 7. log𝑥 1000 = 3

8. log𝑥 16 = 4 9. log𝑥 25 = 2

Ejercicio No.7

Con ayuda de su calculadora evaluar la expresión, aproximada a cuatro lugares decimales.

1. log 2 = 2. log 35.2 = 3. log 2 = 4. log(2

3) = 5. log 50 =

6. ln 5 = 7. ln 25.3 = 8. ln 27 = 9. ln 7.39 = 10. ln 54.6 =

6. Graficas de funciones logarítmicas

Ejemplo No. 1:

Trece la gráfica de 𝑓(𝑥) = log2 𝑥

Para hacer una tabla de valores, escogemos los valores x que sean potencias de 2

para que podamos fácilmente hallar sus logaritmos. Localizamos estos puntos y los

enlazamos con una curva sin irregularidades

𝑥 𝑦 = log2 𝑥 (𝑥, 𝑦)

23 log2 23 = 3 (8,3)

22 log2 22 = 2 (4,2)

21 log2 21 = 1 (2,1)

20 log2 20 = 0 (1,0)

2−1 log2 2−1 = −1 (0.5, −1)

2−2 log2 2−2 = −2 (0.25, −2)

2−3 log2 2−3 = −3 (0.125, −3)

2−4 log2 2−4 = −4 (0.0625, −4)

Ejemplo No. 2:

Trece la gráfica de 𝑔(𝑥) = 2 + log5 𝑥

𝑥 log2 𝑥 𝑦 = 2 + log5 𝑥 (𝑥, 𝑦)

53 log5 53 = 3 2 + 3 = 5 (125,3)

52 log5 52 = 2 2 + 2 = 4 (25,2)

51 log5 51 = 1 2 + 1 = 3 (5,1)

50 log5 50 = 0 2 + 0 = 2 (1,0)

5−1 log5 5−1 = −1 2 + (−1) = 1 (0.2, −1)

5−2 log5 5−2 = −2 2 + (−2) = 0 (0.04, −2)

5−3 log5 5−3 = −3 2 + (−3) = −1 (0.008, −3)

5−4 log5 5−4 = −4 2 + (−4) = 5 (0.0016, −4)



Ejercicio No. 8

Graficar las siguientes funciones logaritmos:

1. 𝑓(𝑥) = log3 𝑥 2. 𝑓(𝑥) = log6 𝑥 3. 𝑓(𝑥) = log4 𝑥

4. 𝑓(𝑥) = 2 + log3 𝑥 5. 𝑓(𝑥) = 2 log2 𝑥

7. Logaritmos Comunes:

8. Leyes de Logaritmos

Como los logaritmos son exponentes, las Leyes de Exponentes dan lugar a las Leyes de

Logaritmos

Ejemplos:

Utilice las leyes de logaritmos para evaluar lo siguiente

Ejercicio No. 9

Evaluar utilizando las leyes de logaritmos

1. log2160 − log25 = 2. log129 + log1216 = 3. log5 (25

125) =

4.log4 16100 = 5. log5(25 ∗ 125) =



9. Expansión de expresiones logarítmicas:

Las Leyes de Logaritmos nos permiten escribir el logaritmo de un producto o un cociente

como la suma o diferencia de logaritmos. Este proceso, llamado expansión de una

expresión logarítmica, se ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejercicio No. 10

Use las Leyes de Logaritmos para expandir la expresión

1. log2(2𝑥) = 2. log3(5𝑦) = 3. log5𝑥

2= 4. log𝑎(

𝑥2

𝑦𝑧3) =

5. In(𝑥√𝑦

𝑧) =

10. Combinación de expresiones Logarítmicas:

Las Leyes de Logaritmos también nos permiten invertir el proceso de expansión. Es decir,

podemos escribir sumas y diferencias de logaritmos como un solo logaritmo. Este proceso,

llamado combinar expresiones logarítmicas, está ilustrado en el siguiente ejemplo.



Ejercicio No. 11

Use las Leyes de Logaritmos para combinar la expresión

1. log3 5 + 5 log3 2 = 2.log 12 +1

2log 7 − log 2 = 3. Log2 𝐴 + log2 𝐵 + 2 log2 𝐶 =

4.ln 5 + 2 ln 𝑥 + 3(𝑥2 + 5) =

11. Ley del Olvido

Ejemplo:

Ejercicio No. 12

1. Olvido Use la Ley de Olvido para estimar la calificación de un estudiante,

en un examen de biología, dos años después que obtuvo una calificación

de 80 en un examen sobre el mismo material. Suponga que 𝑐 = 0.3 y 𝑡 se

mide en meses. La ecuación es:

log 𝑃 = log 𝑃0 − 𝑐 log(𝑡 + 1)

2. Diversidad Algunos biólogos modelan el número de especies S en un área

fija A (por ejemplo una isla) con la relación

especie-área

log 𝑆 = log 𝑐 + 𝑘 log 𝐴

donde c y k son constantes positivas que dependen del tipo de especie y

hábitat.

De la ecuación, despeje S.

12. Fórmula para Cambio de Base:

Para algunos propósitos encontramos útil cambiar de logaritmos de una base a

logaritmos de otra base



En particular, si ponemos x = a, entonces log𝑎 𝑎, y esta fórmula se convierte en

log𝑏 𝑎 =1

log𝑎 𝑏

Ahora podemos evaluar un logaritmo a cualquier base con el uso de la Fórmula para

Cambio de Base, para expresar el logaritmo en términos de logaritmos comunes o

logaritmos naturales y luego usar calculadora.

Ejemplos:

Use la Fórmula para Cambio de Base y logaritmos comunes o naturales para

evaluar cada logaritmo, aproximado a cinco lugares decimales.

Ejercicio No. 13

Use la Regla para Cambio de Base y una calculadora para evaluar el logaritmo,

redondeado a seis lugares decimales. Use logaritmos naturales o comunes.

1. log2 5 = 2. log5 2 = 3. log7 2.61 = 4. log4 125 = 5. log12 2.5 =

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