Upload
oniga-robert
View
680
Download
29
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Probleme matematica clasa a XII-a analiza+algebra.
Citation preview
TEME PENTRU CLASA A XII-A
MEDA BOJOR
FLORIN BOJOR
Cuprins
ALGEBRA 1
LEGI DE COMPOZITIE 2
GRUPURI 5
INELE SI CORPURI 8
ANALIZA MATEMATICA 15
PRIMITIVE I 16
PRIMITIVE II 19
INTEGRALA DEFINITA 22
APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE 25
INDICATII SI SOLUTII 27
iii
ALGEBRA
LEGI DE COMPOZITIE
TEMA 1
1. Pe R se considera legea de compozitie x ∗ y = xy − 3x+ 2y − 5. Sa se rezolve ecuatiile:a. x ∗ (x+ 1) = −3; b. 2x ∗ 4x = 5; c. C1
n ∗ C2n = 1.
2. Sa se demonstreze ca multimea M este parte stabila a lui R ın raport cu legea ∗, unde:a. M = [−1,∞) , x ∗ y = xy + x+ y; b. M = [1,∞) , x ∗ y = xy − x− y + 2;c. M = [2,∞) , x ∗ y = 3xy − 6x− 6y + 14; d. M = [−2,∞) , x ∗ y = 2xy + 4x+ 4y + 6.
3. Sa se demonstreze ca legea ∗ este lege de compozitie interna pe multimea M , unde:a. M = (−2, 2) , x ∗ y = 4x+4y
4+xy ; b. M = (−3, 3) , x ∗ y = x+y1+ xy
9;
c. M = [1, 3] , x ∗ y = xy − 2x− 2y + 6; d. M = [−2, 0] , x ∗ y = xy + x+ y.4. Demonstrati ca multimea M nu este parte stabila a lui R ın raport cu legea ∗, unde:
a. M = R\Q, x ∗ y = xy + x+ y; b. M = Q\Z, x ∗ y = xy − x− y + 2;c. M = Z\N, x ∗ y = 3xy + 6x+ 6y + 14; d. M = Q\Z, x ∗ y = 2xy + 4x+ 4y + 6.
TEMA 2
1. Sa se demonstreze ca multimea M este parte stabila a luiM2 (R) ın raport cu adunareamatricelor, unde:
a. M =
{(a b0 a
)|a, b ∈ R
}; b. M =
{(0 ln a0 b
) ∣∣a ∈ R∗+, b ∈ R}
;
c. M =
{(0 ia−a b
)|a, b ∈ R
}; d. M =
{(a b
a√
2 b√
3
)|a, b ∈ Q
}.
2. Sa se demonstreze ca multimea M este parte stabila a luiM2 (R) ın raport cu ınmultireamatricelor, unde:
a. M =
{(a 2bb a
)|a, b ∈ R
}; b. M =
{(a 3b−b a
) ∣∣ a, b ∈ R, a2 + 3b2 = 1
};
c. M =
{(a b−b a
) ∣∣a, b ∈ R, a2 + b2 = 1
}; d. M =
{(a 3bb a
) ∣∣a, b ∈ R, a2 − 3b2 = 1
}.
3. Sa se demonstreze ca multimea M este parte stabila a lui R ın raport cu ınmultireanumerelor reale, unde:
a. M ={a+ b
√2 |a, b ∈ Z
}; b. M =
{a+ b 3
√2 + c 3
√4 |a, b, c ∈ Q
};
c. M ={a+ b
√3 |a, b ∈ Z , a2 − 3b2 = 1
}; d. M =
{a+ b
√5 |a, b ∈ Z , a2 − 5b2 = 1
}.
TEMA 3
1. Sa se alcatuiasca tabla legii ∗ pe multimea M , unde:a. x ∗ y = min {x, y} , M = {1, 3, 5, 7}; b. x ∗ y = max {x, y} , M = {−1, 0, 1, 2};
c. x ∗ y =
{x+ y − 4; x+ y > 4;
x+ y; x+ y < 4;, M = {0, 1, 2, 3, 4}; d. x ∗ y =
{x, x+ y > 4
y, x+ y 6 4, M = {0, 1, 2, 3, 4,}.
2. Sa se alcatuiasca tabla ınmultirii numerelor complexe pe multimea M = {−1, 1, i,−i}.3. Sa se alcatuiasca tabla compunerii functiilor pe multimea M , unde:
a. M = {f1, f2} , f1, f2 : R→ R, f1 (x) = x, f2 (x) = 1− x;b. M = {f1, f2, f3, f4} , fi : R∗ → R, f1 (x) = x, f2 (x) = 1
x , f3 (x) = −x, f4 (x) = − 1x .
2
LEGI DE COMPOZITIE 3
4. Se considera matricea A =
0 0 11 0 00 1 0
si multimea M = {An |n ∈ N∗ }.
i. Sa se determine cardinalul multimii M .ii. Sa se alcatuiasca tabla ınmultirii matricelor pe multimea M .
TEMA 4
1. Sa se verifice care din urmatoarele legi de compozitie definite pe R sunt asociative:a. x ∗ y = x+ y + 3; b. x ∗ y = xy − 4x− 4y + 20; c. x ∗ y = x+ y − 4xy
d. x ∗ y = 3√x3 + y3; e. x ∗ y = 2xy − 3x− 3y + 7; f. x ∗ y = x+ y − xy
2 .2. Sa se demonstreze ca urmatoarele legi de compozitie definite pe R nu sunt asociative:
a. x ∗ y = x+y2 ; b. x ∗ y =
√xy; c. x ∗ y = 2x+ 3y + 5.
3. Sa se determine parametrii reali a si b astfel ıncat urmatoarele legi de compozitie definitepe R sa fie asociative:a. x ∗ y = xy − 2x− 2y + a; b. x ∗ y = xy + x+ ay + b; c. x ∗ y = xy + ax+ by + 6.
TEMA 5
1. Sa se verifice care din urmatoarele legi de compozitie definite pe R sunt comutative:a. x ∗ y = 2x+ 2y + 5; b. x ∗ y = xy − x− 2y + 20; c. x ∗ y = 1 + 2x+ 2y − 4xy
d. x ∗ y = 3√
4x3 + 4y3; e. x ∗ y = 2xy + 5x− 3y; f. x ∗ y = 2x+ 2y − xy2 .
2. Sa se demonstreze ca urmatoarele legi de compozitie definite pe R nu sunt comutative:
a. x ∗ y = x+2y2 ; b. x ∗ y =
√xy2; c. x ∗ y = 2x+ 3y + 5.
3. Sa se determine parametrii reali a si b astfel ıncat urmatoarele legi de compozitie definitepe R sa fie comutative:a. x ∗ y = xy − 2x− ay + 3; b. x ∗ y = 2xy + x+ ay + b; c. x ∗ y = 3xy + 2ax+ by + 1.
TEMA 6
1. Sa se determine elementul neutru al urmatoarelor legi definite pe M :a. M = R, x ∗ y = xy − x− y + 2; b. M = R, x ∗ y = 2xy − 2x− 2y + 3;c. M = (−1,∞) , x ∗ y = xy + x+ y; d. M = C, x ∗ y = x+ y + ixy;
e. M = [2,∞) , x ∗ y = 3xy − 6x− 6y + 14; f. M = [2,∞) , x ∗ y =√x2 + y2 − 4.
2. Sa se demonstreze ca urmatoarele legi de compozitie definite pe M nu admit elementneutru:a. M = N, x ∗ y = x+ y + 2; b. M = Z, x ∗ y = 2xy + x+ y + 1; c. M = R, x ∗ y = xy + 2x+ 2y + 1.
3. Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat urmatoarele legi de compozitie definite pe M saadmita element neutru:a. M = R, x ∗ y = xy + 2x+ ay + b; b. M = Q, x ∗ y = xy − 3x+ ay + b; c. M = Z, x ∗ y = x+ ay + b.
TEMA 7
1. Admitem ca urmatoarele legi de compozitie pe M sunt asociative. Sa se determine ele-mentele simetrizabile:a. M = R, x ∗ y = x+ y + 4; b. M = R, x ∗ y = xy − 3x− 3y + 12;
c. M = [1,∞) , x ∗ y =√x2y2 − x2 − y2 + 2; d. M = (−1, 1) , x ∗ y = x+y
1+xy .
2. Pe Z× Z se defineste legea de compozitie (a, b) ◦ (x, y) = (ax, ay + b).a. Sa se demonstreze ca legea ◦ este asociativa si admite lement neutru;b. Sa se determine elementele simetrizabile din Z× Z ın raport cu legea ◦;c. Sa se rezolve ecuatia (a, b) ◦ (a, b) ◦ ... ◦ (a, b)︸ ︷︷ ︸
de n ori (a,b)
= (2n, 2n − 1), unde n ∈ N∗.
4 LEGI DE COMPOZITIE
3. Se considera multimea M =
A (x) =
1− x 0 x0 0 0x 0 1− x
|x ∈ R
:
a. Sa se arate ca multimea M este parte stabila ın raport cu ınmultirea matricelor;b. Sa se determine elementele simetrizabile din M ın raport cu ınmultirea matricelor.
TEMA 8
1. Pe multimea M = {0, 1, 2, 3, 4} se defineste legea de compozitie x ◦ y = |x− y|. Sa sestudieze proprietatile legii ” ◦ ” pe multimea M .
2. Pe multimea M = {0, 1, 2, 3, 4} se defineste legea de compozitie x ◦ y = c.m.m.d.c {x, y}.Sa se studieze proprietatile legii ” ◦ ” pe multimea M .
3. Sa se studieze proprietatile ınmultiri numerelor complexe pe multimea {1,−1, i,−i}.4. Fie ε = −1+i
√3
2 si multimea M = {εn |n ∈ N}. Sa se determine cardinalul multimii M sisa se studieze proprietatile ınmultiri numerelor complexe pe multimea M .
5. Fie ε = −1+i√
32 , A =
(1 ε2
0 ε
)si multimea M = {An |n ∈ N∗ }. Sa se determine
cardinalul multimii M si sa se studieze proprietatile ınmultiri matricelor pe multimea M .
6. Fie E = R\{−√
33 ,√
33
}si fi : E → E, i = 1, 3, definite prin
f1 (x) = x, f2 (x) =x+√
3
1− x√
3, f3 (x) =
x−√
3
1 + x√
3.
Sa se studieze proprietatile compunerii functiilor pe multimea H = {f1, f2, f3}.
TEMA 9
1. Pe multimea M = [0,∞) se definete operatia a ∗ b = log2
(2a + 2b − 1
).
a. Sa se arate ca pentru orice a, b ∈M, a ∗ b ∈M .b. Sa se studieze proprietatile legii ∗ pe multimea M .c. Sa se rezolve ın M ecuatia x ∗ x ∗ ... ∗ x︸ ︷︷ ︸
de n ori x
= 2x, unde n ∈ N, n ≥ 2.
2. Pe multimea Z definim legea de compozitie x ∗ y = 5xy + 6x+ 6y + 6.a. Sa se demonstreze ca x ∗ y = 5
(x+ 6
5
) (y + 6
5
)− 6
5 , ∀x, y ∈ Z.b. Sa se demonstreze ca 2Z + 1 este parte stabila a lui Z ın raport cu legea ” ∗ ”.c. Sa se determine elementele simetrizabile ale multimii Z ın raport cu legea ” ∗ ”.d. Sa se rezolve ın Z ecuatia x ∗ x ∗ ... ∗ x︸ ︷︷ ︸
de 2012 ori x
= −1.
3. Se considera matriceaA =
(2 2−1 −1
)si multimeaM = {X (a) = I2 + aA |a ∈ R\ {−1}}.
a. Sa se arate ca ∀a, b ∈ R\ {−1}, X (a)X (b) = X (ab+ a+ b).b. Sa se arate ca multimea M este parte stabila ın raport cu ınmultirea matricelor.c. Sa se determine elementele simetrizabile din M ın raport cu ınmultirea matricelor.d. Sa se determine t ∈ R astfel ıncat X (1)X (2) ...X (2012) = X (t− 1).
4. Se considera multimea M =
{(a 10bb a
) ∣∣a, b ∈ Q, a2 − 10b2 = 1
}.
a. Sa se verifice ca A =
(19 606 19
)∈M .
b. Sa se arate ca X,Y ∈M, ∀X,Y ∈M .c. Sa se demonstreze ca multimea M este infinita.
GRUPURI
TEMA 1
1. Sa se demonstreze ca (M, ∗) este monoid si determinati unitatile monoizilor ın fiecare dincazurile:a. M = R, x ∗ y = xy − x− y + 2; b. M = Z, x ∗ y = xy + 2x+ 2y + 2;c. M = [2, 4] , x ∗ y = xy − 3x− 3y + 12; d. M = N∗, x ∗ y = xy − x− y.
2. Pe multimea R × R se defineste legea de compozitie (a, b) ◦ (c, d) = (ac, ad+ bc). Sa severifice ca (R× R, ◦) este un monoid comutativ si determinati unitatile monoidului.
3. Pe R se definete legea x ∗ y = xy − 7x − ay + b, unde a, b ∈ R. Sa se determine a si bastfel ıncat (R, ∗) sa fie monoid.
TEMA 2
Sa se verifice daca (G, ∗) este grup ın urmatoarele cazuri:a. G = Z, x ∗ y = x+ y + 3; b. G = (−1,∞) , x ∗ y = x+ y + xy;
c. G = (−2, 2) , x ∗ y = 4x+4y4+xy ; d. G = (0, 1) , x ∗ y = xy
2xy−x−y+1 ;
e. G = (0,∞) \ {1} , x ∗ y = xln y; f. G = R, x ∗ y =√x2 + y2.
TEMA 3
Sa se verifice daca (G, ·) este grup ın urmatoarele cazuri:
a. G ={a+ b
√2∣∣a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1
}; b. G =
{a+ bi
∣∣a, b ∈ Q, a2 + b2 = 1}
;
c. G =
{(x 3yy x
) ∣∣x, y ∈ Z, x2 − 3y2 = 1
}; d. G =
{(x y−y x
) ∣∣x, y ∈ Q, x2 + y2 = 1
};
e. G =
1 ln a 0
0 1 00 0 a
|a ∈ (0,∞)
; f. G =
a b c
0 a b0 0 a
|a, b, c ∈ R, a 6= 0
.
TEMA 4
Sa se verifice daca (G, ·) este grup ın urmatoarele cazuri:a. G =
{εn∣∣n ∈ N∗, ε5 = 1, ε ∈ C\R
}; b. G = {0, ±1,±i};
c. G =
{An∣∣∣∣n ∈ N∗, A =
(0 1−1 0
)}; d. G =
{σn∣∣∣∣n ∈ N∗, σ =
(1 2 3 4 53 1 2 5 4
)}.
TEMA 5
1. Se considera permutarile σ =
(1 2 3 43 1 4 2
)si τ =
(1 2 3 44 2 1 3
).
(a) Sa se determine σ−1 si τ−1.(b) Sa se rezolve ın grupul (S4, ·) ecuatiile: σx = τ, xτ2 = σ3, τxσ2 = e.
2. Fie (G, ·) un grup cu proprietatea ca x2y2 = (xy)2, ∀x, y ∈ G. Sa se demonstreze ca G
este un grup abelian.3. Fie (G, ·) un grup cu proprietatea ca x−1 = x, ∀x ∈ G. Sa se demonstreze ca G este un
grup abelian.
5
6 GRUPURI
4. Fie (G, ∗) si (G, ◦) doua grupuri care au acelasi element neutru si
x ∗ y = (x ◦ x) ◦ (x ◦ y) , ∀x, y ∈ G.Sa se demonstreze ca x ∗ y = x ◦ y si x ∗ y = y ∗ x, ∀x, y ∈ G.
TEMA 6
1. Sa se arate ca functia f : Z→ Q, f (x) = (−1)x,∀x ∈ Z, este un morfism neinjectiv ıntre
grupurile (Z,+) si (Q, ·).2. Fie G = (5,∞) si x ∗ y = xy − 5x − 5y + 30. Admitem ca (G, ∗) este un grup. Sa se
demonstreze ca functia f : G → R∗+, f(x) = x − 5 este un izomorfism ıntre grupurile
(G, ∗) si(R∗+, ·
).
3. Fie G = (−1, 1) si x ∗ y = x+y1+xy . Admitem ca (G, ∗) este un grup. Sa se demonstreze ca
functia f : G→ R∗+, f (x) = 1+x1−x este un izomorfism ıntre grupurile (G, ∗) si
(R∗+, ·
).
4. Fie G = (2,∞) si x ∗ y = xy − 2x − 2y + 6. Admitem ca (G, ∗) este un grup. Sa sedetermine a, b ∈ R astfel ıncat functia f : G→ R∗+, f (x) = ax+ b sa fie un izomorfism
ıntre grupurile (G, ∗) si(R∗+, ·
).
TEMA 7
1. Fie G =
{A (x) =
(x x− 10 1
)|x ∈ R∗
}.
a. Sa se demonstreze ca G este grup ın raport cu ınmultirea matricelor.b. Aratati ca (G, ·) este izomorf cu
(R∗+, ·
).
2. Fie G =
{(a b−b a
) ∣∣a, b ∈ R, a2 + b2 6= 0
}.
a. Sa se demonstreze ca G este grup abelian ın raport cu ınmultirea matricelor.b. Aratati ca (G, ·) este izomorf cu (C∗, ·).
3. Fie G =
{A (x) =
(1 x
0 1
)|x ∈ Z4
}.
a. Sa se demonstreze ca (G, ·) este grup comutativ.b. Aratati ca (G, ·) este izomorf cu (Z4,+).
4. Fie (G, ·) un grup comutativ si a ∈ G. Sa se demonstreze ca functia f : G→ G, f(x) = axeste un automorfism al grupului G.
TEMA 8
1. Pe R se defineste legea de compozitie x ∗ y = xy + 7x+ 7y + 42.a. Sa se demonstreze ca multimea G = R\ {−7} este parte stabila ın raport cu legea ”∗”
si ca (G, ∗) este grup abelian.b. Sa se demonstreze ca H = (−7,∞) este un subgrup al lui G.
2. Sa se demonstreze caM =
{(a b0 a+ b
)|a, b ∈ Z
}este un subgrup al grupului (M2 (R) ,+).
3. Sa se demonstreze ca M ={ai+ b
√5 |a, b ∈ Q
}este un subgrup al grupului (C∗,+).
4. Fie G = {X ∈M2 (R) |det (X) 6= 0} si H = {X ∈M2 (R) |det (X) = 1}. Sa se demon-streze ca H este un subgrup al grupului (G, ·).
TEMA 9
1. Sa se demonstreze ca H ={
0, 2, 4}⊆ Z4 este un subgrup al grupului (Z4,+).
2. Fie G = [0, 1) si x ∗ y = {x+ y}, unde {a} este partea fractionara numarului a. Sa sedemonstreze ca (G, ∗) este un grup abelian si H =
{0, 1
4 ,12 ,
34
}este un subgrup al lui G.
3. Fie (G, ·) un grup abelian. Sa se demonstreze ca H ={x2 |x ∈ G
}este subgrup al lui G.
4. Fie H1 si H2 doua subgrupuri ale grupului G. Sa se arate ca H1 ∩H2 este un subgrup allui G.
GRUPURI 7
TEMA 10
1. Sa se determine ordinul urmatoarelor elemente ın grupurile specificate:a. 3, 4 ın (Z∗5, ·); b. 2, 3, 4 ın (Z5,+);
c. σ =
(1 2 33 1 2
)ın (S3, ·); d. σ =
(1 2 3 42 3 4 1
)ın (S4, ·).
2. Se considera multimea G =
{(1 a
0 1
)|a ∈ Z8
}. Admitem ca (G, ·) este grup. Sa se
determine ordinul elementelor: A =
(1 2
0 1
), B =
(1 3
0 1
), si C =
(1 4
0 1
)ın
grupul G.
3. Se considera multimea G =
{(a b0 c
)|a, b, c ∈ R, a · c 6= 0
}. Admitem ca (G, ·) este
grup. Sa se arate ca ordinul elementelor A =
(1 20 −1
), B =
(1 30 −1
)ın grupul
G este finit, dar ordinul lui A ·B este infinit.4. Sa se determine elementele de ordinul 2 din grupul (S3, ·).5. Sa se determine probabilitatea ca alegand un element din grupul (Z8,+), acesta sa fie de
ordin 4.
TEMA 11
1. Se considera multimea G =
1 a b
0 1 0
0 0 1
a, b ∈ Z3
.
a. Sa se determine numarul elementelor multimii G.b. Sa se arate ca (G, ·) este grup.c. Sa se arate ca orice element al grupului G are ordinul cel mult trei.
2. Fie α > 0 un numar real si Gα = (α,∞). Pe R se defineste legea de compozitiex ∗ y = 3xy − 6x− 6y + 7α.a. Pentru α = 2, demonstrati ca (G2, ∗) este grup abelian.b. Demonstrati ca functia f : G2 → R∗+, f(x) = 3x−6 este un izomorfism ıntre grupurile
(G2, ∗) si(R∗+, ·
).
3. Se considera multimea G =
{(x iyiy x
) ∣∣x, y ∈ R, x2 + y2 6= 0
}.
a. Sa se demonstreze ca G este parte stabila a lui M2 (C) ın raport cu ınmultirea ma-tricelor.
b. Sa se arate ca (G, ·) este grup abelian.
c. Sa se arate ca functia f : C∗ → G, definita prin f (x+ iy) =
(x iyiy x
), ∀x, y ∈ R
este un izomorfism de grupuri ıntre (C∗, ·) si (G, ·).
INELE SI CORPURI
TEMA 1
1. Sa se demonstreze ca legea ◦ este distributiva fata de legea ∗, unde ∗, ◦ : R× R→ R si:a. x ∗ y = x+ y + 3, x ◦ y = xy + 3x+ 3y + 6;b. x ∗ y = x+ y + 2, x ◦ y = xy + 2x+ 2y + 4;c. x ∗ y = x+ y − 5, x ◦ y = xy − 5x− 5y + 30.
2. Pe Z definim legile x ∗ y = x + y + 1, x ◦ y = x + y + xy. Demonstrati ca (Z, ∗, ◦) esteinel comutativ.
3. Pe multimea A = Z × Z definim legile (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) si (a, b) · (c, d) =(ac+ 3bd, ad+ bc). Demonstrati ca (A,+, ·) este inel comutativ.
4. Fie A =
{(a b5b a
)|a, b ∈ Z
}. Sa se demonstreze ca A este parte stabila a lui M2 (Z)
ın raport cu adunare si ınmultirea matricelor si ca (A,+, ·) este inel comutativ.
TEMA 2
1. Pe Z se considera legile de compozitie x ∗ y = x + y − 4 si x ◦ y = xy − 4x − 4y + 20.Admitem ca (Z, ∗, ◦) este inel comutativ.a. Sa se determine elementul nul si elementul unitate al inelului (Z, ∗, ◦).b. Sa se determine unitatile inelului.c. Sa se demonstreze ca inelul (Z, ∗, ◦) nu are divizori ai lui zero.
2. Se considera matricea A =
(5 4−4 −3
)si multimea M = {aI2 + bA |a, b ∈ Z}.
a. Sa se demonstreze ca M este parte stabila a lui M2 (R) ın raport cu adunarea siınmultirea matricelor. Admitem ca (M,+, ·) este inel comutativ.
b. Sa se determine unitatile inelului M .c. Verificati daca inelul M are divizori ai lui zero.
3. Fie A ={x+ y
√5 |x, y ∈ Z
}.
a. Sa se demonstreze ca A este parte stabila a lui R ın raport cu adunarea si ınmultireanumerelor reale. Admitem ca (A,+, ·) este inel comutativ.
b. Sa se determine unitatile inelului A.c. Verificati daca inelul A are divizori ai lui zero.
TEMA 3
1. Sa se determine elmentele din Z12 respectiv Z36 care sunt inversabile.2. Sa se rezolve ın Z8 ecuatiile x2 + 2x = 0 si x3 + x+ 6 = 0.
3. Sa se rezolve ın Z12 sistemele a.
{5x+ 4y = 10
2x+ 2y = 10; b.
{3x+ 2y = 3
2x+ 4y = 2.
4. Fie (A,+, ·) un inel si x ∈ A astfel ıncat exista n ∈ N cu proprietatea ca xn = 0. Sa sedemonstreze ca x nu este inversabil dar 1− x este inversabil si(1− x)
−1= 1 + x+ x2 + ...+ xn−1.
5. Se considera inelul (Z12,+, ·).
8
INELE SI CORPURI 9
a. Sa se calculeze suma patratelor elementelor inelului.b. Sa se rezolve ın Z12 ecuatia x5 = 1.c. Sa se arate ca functia f : Z12 → Z12, f (x) = 5x este un automorfism al grupului
(Z12,+).
TEMA 4
1. Sa se demonstreze ca tripletul (K, ∗, ◦) este corp comutativ daca:a. K = R, x ∗ y = x+ y − 4 si x ◦ y = xy − 4x− 4y + 20.b. K = Q, x ∗ y = x+ y + 3
4 si x ◦ y = 4xy + 3x+ 3y + 32 .
2. Sa se arate ca multimea K ımpreuna cu adunarea si ınmultirea matricelor determina ostructura de corp comutativ, unde:
a. K =
{(a −bb a
)∣∣∣∣ a, b ∈ Z}
; b. K =
{(x y2y x
)∣∣∣∣x, y ∈ R}
.
3. Pe R se definesc operatiile algebrice x∗y = x+y−1 si x◦y = 2xy−2x−2y+3. Admitemca tripletul (R, ∗, ◦) este inel comutativ.a. Sa se determine elemenul nul si elementul unitate al inelului.b. Sa se demonstreze ca (R, ∗, ◦) este corp.
TEMA 5
1. Pe Z se definesc operatiile algebrice x∗y = x+y+1 si x◦y = xy−2x−2y+6. Admitemca (Z, ∗, ◦) este inel. Sa se demonstreze ca functia f : Z → Z, f (x) = x + 2 este unizomorfism ıntre inelele (Z,+, ·) si (Z, ∗, ◦).
2. Pe R se definesc operatiile algebrice x ∗ y = x + y − 4 si x ◦ y = xy − 4x − 4y + 20.Admitem ca (R, ∗, ◦) este corp. Sa se demonstreze ca functia f : R → R, f (x) = x − 4este un izomorfism ıntre corpurile (R, ∗, ◦) si (R,+, ·).
3. Fie A ={a+ b
√5 |a, b ∈ Z
}si B =
{(a b5b a
)∣∣∣∣ a, b ∈ Z}
. Admitem ca (A,+, ·) si
(B,+, ·) sunt inele. Sa se demonstreze ca functia f : A→ B, f(a+ b
√5)
=
(a b
b√
5 a
)este un izomorfism ıntre inelele (A,+, ·) si (B,+, ·).
4. Pe R se definesc operatiile algebrice x∗y = x+y−1 si x◦y = 2xy−2x−2y+3. Admitem ca(R, ∗, ◦) este corp. Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat functia f : R→ R, f (x) = ax+ bsa fie un izomorfism ıntre corpurile (R, ∗, ◦) si (R,+, ·).
TEMA 6
1. Sa se determine numarul polinoamelor de gradul al doilea care au coeficientii numere dinmultimea A = {0, 1, 2, 3}.
2. Sa se determine numarul polinoamelor de gradul cel mult doi care au coeficientii numeredin multimea A = {−1, 0, 1}.
3. Sa se determine a, b, c ∈ R stiind ca polinoamele f = 2 + (2a+ b)X + c2X2 + dX3 sig = a+ b+ 3X + (c+ 2)X2 sunt egale.
4. Sa se determine gradul polinomului f . Discutie dupa valorile complexe ale parametruluim, unde:a. f = 1 + (m+ 1)X +
(m2 − 1
)X2 +
(m2 − 3m+ 2
)X3;
b. f = m+ 1 +(m2 − 4m+ 3
)X +
(2m2 − 2
)X2;
c. f =(m2 + 1
)x2 + (m− i)x+ 2m− 2i;
d. f = m− 2 +(m2 − 4
)X +
(m3 − 8
)X2 +
(m4 − 2m2 − 8
)X3.
TEMA 7
1. Sa se calculeze valoarea polinomului f ın punctul a, unde:a. f = 1 +X +X2 +X3 +X4 +X5 si a = i;
10 INELE SI CORPURI
b. f = (X + i)10
+ (X − i)10si a = −1;
c. f = (X + 1)2015
+ (X − 1)2015
si a = −i;d. f = −14 + 3X +X3 si a =
3√
5√
2 + 7− 3√
5√
2− 7;
e. f = −20 + 6X +X3 si a =3√
10 + 6√
3 +3√
10− 6√
3;f. f = X3 + 2X2 + 3X + 1 ∈ Z3 [X] , a = 2;
g. f = X4 + 2X3 + 3X2 + 4X ∈ Z6 [X] , a = 3.2. Sa se determine polinoamele de gradul al doilea f ∈ C [X] care verifica conditiilef (1) = 3, f (−1) = 1 si f (2) = 7.
3. Sa se calculeze f + g si f − g, unde:a. f = 3X3 −X + 2, g = −3X3 + 2X + 1;b. f = 2X3 + 3X2 − 2X − 2, g = 2X3 − 3X2 − 2X − 2;c. f = X4 −X3 + 2X2 − 3X, g = X3 + 3X2 +X − 3;d. f = X4 + 2X3 + 2X2 + 3X + 2, g = X3 + 3X2 + 2X + 3 ∈ Z5 [X].
4. Sa se calculeze f · g, unde:a. f = 3X2 −X + 2, g = 2X − 1;b. f = X3 +X2 −X − 2, g = X2 +X − 1;c. f = X4 − 2X3 +X2 − 2X, g = X3 + 2X2 +X;d. f = 2X2 + 3X + 2, g = X2 + 2X + 3 ∈ Z4 [X].
5. Sa se determine polinoamele de gradul ıntai f ∈ C [X] care verifica relatia (X + 1) f (X)+(2X + 1) f (X + 1) = 3X2 + 10X + 5.
TEMA 8
1. Sa se determine catul si restul ımpartirii polinomului f la polinomul g, unde:a. f = X4 + 3X3 +X2 + 4X − 7, g = X2 − 2X − 3;b. f = X5 − 4X4 + 6X3 − 19X2 + 12X − 4, g = X2 + 4;c. f = 4X4 − 12
√2X3 + 6
√2X2 − 2X + 4− 3
√2, g = 4X2 + 2
√2;
d. f = 6iX5 + (5 + i)X4 − 4 (1 + 2i)X3 − 2 (1− 3i)X2 + 8iX − 1 − 5i, g = 2iX2 +(1 + i)X − 2i;
e. f = X3 + 3X2 +X + 2, g = X2 +X + 3 ∈ Z7 [X];
f. f = X4 +X3 + 4X2 + 2X + 2, g = X2 + 2X + 1 ∈ Z5 [X].2. Sa se determine parametrii a si b astfel ıncat restul ımpartirii polinomului f la g sa fie r,
unde:a. f = X4 − 3X3 + (b− 1)X2 + (a− b)X + a, g = X2 −X + 1, r = 2X + 3;b. f = 2X3 − 3X2 + 2X + 1, g = X2 − aX + b, r = −X + 2;c. f = X3 + (2a− 1)X2 + (b− 2)X + a+ 3b, g = X2 + (a− 1)X + b, r = −2X + 3;
d. f = X4 + 2X3 + 3X2 + aX + b, g = X2 +X + 2, r = 4X + 3 ∈ Z5 [X].
TEMA 9
1. Sa se determine restul ımpartirii polinomului f la g, unde:a. f = X3 +X2 +X + 1, g = X − 2;b. f = X3 − 2X2 + 3X + 4, g = X + 2;c. f = 2X4 −
√2X3 + 4X2 − 2
√2X + 5, g = X −
√2;
d. f = 3X4 + 2X3 + 4X2 + 2X − 5, g = X − i.2. Sa se determine parametrii reali a si b astfel ıncat restul ımpartirii polinomuluif = X3 − 2X2 + aX + b la X − 3 sa fie −7, iar la X + 3 sa fie 7.
3. Sa se determine restul ımpartirii polinomului f = X2015 +X2014 + ...+X + 1 la X2− 1.4. Stiind ca restul ımpartirii polinomului f = X2n−X2n−1 +X2n−2− ...−X + a la X − 1
este 1, sa se determine restul ımpartirii polinomului f la X2 +X.
INELE SI CORPURI 11
TEMA 10
1. Sa se determine catul si restul ımpartirii polinomului f la polinomul g, unde:a. f = X5 − 2X3 + 2X2 + 3X − 6, g = X − 3;b. f = 2X5 −X4 + 3X2 − 5X − 6, g = X + 2;c. f = 2X5 + 3X4 +X3 + 2X2 +X, g = 2X + 1;d. f = 6iX5 + (1 + i)X4 − 4 (1− i)X3 − 2 (1− i)X2 + 8iX − 1− 3i, g = X − i;e. f = X5 + 2X3 + 3X + 4, g = X + 5 ∈ Z7 [X].
2. Sa se determine restul ımpartirii polinomului f la polinomul g, unde:a. f = X20 − 10X2 + 9, g = (X + 1)
2;
b. f = X30 − 10X10 + 9, g = (X − 1)2;
c. f = Xn+2 − (n+ 2)X + n+ 1, g = (X − 1)2;
d. f = 2 (n+ 1)X2n+3 + (2n+ 3)X2n+2 − 1, g = (X + 1)2;
e. f = X4 +X2 + 2X + 3, g = X + 2 ∈ Z5 [X];
f. f = 2X4 + 3X2 + 4X + 6, g = X + 5 ∈ Z7 [X].3. Un polinom ımpartit la X − 1 si X + 2 da resturile −2 , respectiv 4. Sa se determine
restul ımpartirii polinomului f la (X − 1) (X + 2) .4. Un polinom ımpartit la X − 1, X + 1 si X + 2 da resturile −1, 1 , respectiv 5. Sa se
determine restul ımpartirii polinomului f la (X − 1) (X + 1) (X + 2).
TEMA 11
1. Sa se demonstreze ca polinomul f este divizibil cu polinomul g, daca:a. f = X6 + 2X3 + 1, g = X2 −X + 1;b. f = X6 − 4X3 + 3, g = X2 +X + 1;c. f = X4 + 3X3 + 6X2 + 5X + 3, g = X2 + 2X + 3;d. f = 2X4 + 3X3 +X2 +X + 1, g = X2 + 3X + 4 ∈ Z7 [X];
e. f = 2X5 + 2X3 + 2X2, g = X2 +X + 2 ∈ Z3 [X].2. Sa se determine a, b ∈ K astfel ıncat polinomul f sa fie divizibil cu polinomul g, unde:
a. f = aX4 + (b+ 2)X3 −X2 +X + 2, g = X2 +X + 2, K = R;b. f = X4 + 3 (a+ 2)X2 + (2b+ 1)X − 7, g = X2 − 3X + 1, K = R;c. f = X5 + (a− 2)X4 + 2bX3 + (2a− b)X2 +X − 2b, g = X2 +X + 1, K = R;
d. f = X4 + 2X3 + aX2 + bX, g = X2 +X + 2 ∈ Z3 [X], K = Z3.3. Sa se determine m ∈ K astfel ıncat polinomul f sa fie divizibil cu polinomul g, unde:
a. f = X4 − 2X3 + 2X2 −mX + 4, g = X − 2, K = R;b. f = X5 − 4X3 +mX2 + 2m2X + 4m, g = X + 1, K = R;c. f = X4 − 2mX3 + (m− 1)X2 − (m− 2)X + 4, g = X − 1, K = R;
d. f = X4 + 2X3 +mX2 + 2X +m+ 2, g = X + 4, K = Z5.4. Sa se determine a, b, c ∈ R astfel ıncat polinomul f sa fie divizibil cu polinomul g, unde:
a. f = 2X3 + (2a+ b)X2 − (b− c)X + a+ c, g = X(X2 − 1
);
b. f = X4 + 2X3 − aX2 − bX + c, g =(X2 − 1
)(X + 2);
c. f = X5 + 2X4 − aX2 + bX − c, g =(X2 − 4
)(X + 1).
TEMA 12
1. Sa se determine cel mai mare divizor comun al polinoamelor f si g, unde:a. f = X4 − 4X3 + 3, g = X2 − 3X + 2;b. f = X4 − 2X2 + 1, g = X2 − 1;c. f = X4 − 6X3 + 18X2 − 29X + 36, g = X3 +X2 − 21X + 54;
2. Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat cel mai mare divizor comun al polinoamelorf = X3 + 2X2−X +a si g = 2X3− 4X2− 2X + b sa fie un polinom de gradul al doilea.
3. Sa se demonstreze ca urmatoarele polinoame sunt prime ıntre ele:
12 INELE SI CORPURI
a. f = X4 +X3 + 2X2 −X + 2, g = X4 −X3 + 4X2 + 3X + 7;b. f = 2X4 + 3X3 + 5X2 − 2X + 1, g = X4 − 5X3 +X2 +X + 1;c. f = X3 + 2X2 −X − 2, g = 2X3 − 4X2 − 2X + 4.
TEMA 13
1. Sa se determine parametrul real a astfel ıncat polinomul f = X3−2aX2 + (a+ 1)X+ 5sa admit radacina −1 si apoi sa se determine celelalte radacini.
2. Sa se determine parametrul a ∈ Z5 astfel ıncat polinomul f = X3 + aX2 +X + 3a+ 2sa admit radacina 2 si apoi sa se determine celelalte radacini.
3. Sa se determine parametri reali a si b astfel ıncat polinomul f = X4 − aX2 + bX + 4 saadmita radacinile −1 si 1, dupa care sa se determine celelalte radacini.
4. Sa se determine parametri reali a, b si c astfel ıncat polinomul f = X5 + X4 − cX2 +bX + a+ 3 sa admita radacinile −1, 0 si 1, dupa care sa se determine celelalte radacini.
5. Fie polinomul f = X3 + 2X2 +aX+ b, a, b ∈ R. Sa se determine parametrii a si b stiindca polinomul f (X + 1) are radacina 0 si polinomul f (X − 1) are radacina 1.
TEMA 14
1. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii, stiind ca ıntre radacini exista relatia indicata:a. 2x3 − 9x2 − 20x+ 75 = 0, x1 = 2x2; b. 36x3 − 36x2 + 11x− 1 = 0, x1 + x2 = 1
2 .2. Sa se determine m ∈ R si rezolvati ecuatiile, stiind ca ıntre radacini exista relatia indicata:
a. 3x3 − 30x2 + 63x+m = 0, x1 + x2 = 11; b. x3 − 16x2 + 41x+m = 0, x1 − x2 = 12;c. x4 − 8x3 + 23x2 +mx+ 12 = 0, x1 + x2 = x3 + x4; d. x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+m = 0, x1 = x2.
TEMA 15
1. Determina m ∈ R si rezolva ecuatiile stiind ca radacinile lor sunt ın progresie aritmetica:a. x3 + 6x2 +mx+ 6 = 0; b. x3 + 9x2 + 23x+m = 0;c. x3 +mx2 + 11x− 6 = 0; d. x4 +mx3 − 10x2 + 9 = 0.
2. Determina m ∈ R si rezolva ecuatiile stiind ca radacinile lor sunt ın progresie geometrica:a. x3 − 7x2 +mx− 8 = 0; b. x3 + 7x2 + 21x+m = 0;c. x4 − 15x3 + 70x2 −mx+ 64 = 0; d. 8x4 + 30x3 + 35x2 + 15x+m = 0.
TEMA 16
1. Sa se rezolve ecuatiile, stiind ca au radacini independente de a:a. x3 − (2a− 1)x2 − 4x+ 8a− 4 = 0; b. x4 + (4− a)x3 − (1 + 6a)x2 − (16 + 11a)x− 6a = 12;c. x3 + (a− 4)x2 + (a− 11)x− 6a = −30; d. x4 −
(a2 − a+ 3
)x2 −
(a2 − a− 2
)x+ 2a2 − 2a = 0.
2. Sa se rezolve ecuatiile, stiind ca au radacini comune:a. x3 − 9x2 + 26x− 24 = 0; x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0;b. x4 + x3 − 7x2 − x+ 6 = 0; x3 − 3x2 − x+ 3 = 0;c. x4 − 5x3 + 5x2 + 5x− 6 = 0; x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 = 0;d. x4 − 3x3 − 2x2 + 12x− 8 = 0; x4 − 5x3 + 2x2 + 20x− 24 = 0.
TEMA 17
1. Se considera ecuatia x3 − 3x + 2 = 0 cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C. Sa se calculezeSn = xn1 + xn2 + xn3 , unde n ∈ {−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4}.
2. Se considera ecuatia x3 + x2 − x + 1 = 0 cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C. Sa se calculezeSn = xn1 + xn2 + xn3 , unde n ∈ {−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4}.
3. Se considera ecuatia x4 + x3− 2x+ 1 = 0 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C. Sa se calculezeSn = xn1 + xn2 + xn3 + xn4 , unde n ∈ {−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4}.
4. Se considera ecuatia x3 − 3x + 1 = 0 cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C. Se noteaza cu Sn =xn1 + xn2 + xn3 , unde n ∈ N.a. Sa se demonstreze ca Sn+3 = 3Sn+1 − Sn, ∀n ∈ N.
INELE SI CORPURI 13
b. Sa se demonstreze ca Sn ∈ Z,∀n ∈ N.5. Se considera ecuatia x4 − x3 − 2x+ 1 = 0 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C. Se noteaza cuSn = xn1 + xn2 + xn3 + xn4 , unde n ∈ N.a. Sa se demonstreze ca Sn+4 = Sn+3 + 2Sn+1 − Sn, ∀n ∈ N.b. Sa se demonstreze ca Sn ∈ Z,∀n ∈ N.
TEMA 18
1. Demonstrati ca pentru orice n ∈ N, urmatoarele polinoame se divid cu X2 +X + 1:
a. X (X + 1)6n+1
+X3n; b. (X + 1)6n+1
+(X2 + 1
)12n+2;
c.(x2 + 1
)6n+1+X6n+1; d. (X + 1)
6n+1+X3n+2.
2. Demonstrati ca pentru orice n ∈ N, urmatoarele polinoame se divid cu X2 −X + 1:a. (X − 1)
6n+2+X6n+2 + 1; b. (X − 1)
2n+1+ (−1)
n+1Xn+2;
c. (X − 1)n+2
+X2n+1; d. (X − 1)n+6 −X2n+6.
3. Sa se determine n ∈ N, astfel ıncat urmatoarele polinoame sa se divida cu X2 +X + 1:a.(X3 +X − 1
)n+(X3 −X − 2
)n+ 1; b.(X + 1)
n+Xn+1 +
(X2 + 1
)n;
c. (X + 1)n
+(X2 + 1
)n+ 1; d. Xn +Xn+1 +Xn+2.
4. Sa se determine n ∈ N, astfel ıncat urmatoarele polinoame sa se divida cu X2 −X + 1:a. (X − 1)
n −Xn + 1; b.(X4 + 1
)n+(X2 + 1
)n+ 1;
c. (X − 1)n
+(X2 + 1
)n+ 1; d. Xn −Xn+1 +Xn+2.
TEMA 19
1. Se considera ecuatia x3 − 2x2 + 3x− 2 = 0 cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C. Sa se determineecuatia de gradul al treilea cu necunoscuta y care are radacinile:a. y1 = 2 + x1, y2 = 2 + x2, y3 = 2 + x3; b.y1 = 1
x1, y2 = 1
x2, y3 = 1
x3;
c. y1 = 1 + 1x1, y2 = 1 + 1
x2, y3 = 1 + 1
x3; d. y1 = x1 + x2, y2 = x2 + x3, y3 = x3 + x1.
2. Fie a ∈ C\R. Sa se arate ca ecuatia ax3 + x2 − ax+ 1 = 0 nu are radacini reale.3. Fie f ∈ C[X], f = X3 + aX2 + bX + 1 un polinom cu radacinile de module egale. Sa se
arate ca:a. |a| = |b|;b. Demonstrati ca f (1) ∈ R.
4. Se considera a ∈ R si ecuatia x3 − x+ a = 0 cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C:a. Sa se calculeze (x1 + 1) (x2 + 1) (x3 + 1);b. Sa se calculeze x2 si x3 stiind ca x1 = 2.c. Sa se determine a ∈ Z astfel ıncat toate radacinile ecuatiei sa fie numere ıntregi.
5. Sa se rezolve ecuatiile stiind ca admit radacina indicata:a. 6x4 + x3 + 52x2 + 9x− 18 = 0, x1 = 3i;
b. x4 − 2x3 − x+ 2 = 0, x1 = −1−i√
32 ;
c. x4 − 2x3 + 3x2 − 14x+ 30 = 0, x1 = 2 + i;d. x4 − 2x3 + 9x2 − 8x+ 20 = 0, x1 = 1− 2i.
6. Sa se determine a, b ∈ R si sa se rezolve ecuatiile stiind ca admit radacina indicata:a. x4 + ax3 + 49x2 + bx+ 78 = 0, x1 = 3 + 2i;b. 6x4 + ax3 + bx2 − x+ 1 = 0, x1 = −i;c. x4 + ax3 + x2 + bx+ 1 = 0, 1+i
√3
2 ;
d. x5 − x4 + 2x2 + ax+ b = 0, x1 = 1− i.
TEMA 20
1. Sa se rezolve ecuatiile stiind ca admit radacina indicata:a. x4 − 4x3 − 4x2 + 16x+ 16 = 0, x1 = 1−
√5;
b. x3 − 3x2 − 8x+ 24 = 0, x1 = 2√
2;c. x4 − 2x3 − 18x2 − 2x− 19 = 0, x1 = 1 + 2
√5.
14 INELE SI CORPURI
2. Sa se determine a, b ∈ R si sa se rezolve ecuatiile stiind ca admit radacina indicata:a. x3 + 3x2 + ax+ b = 0, x1 = 2−
√3;
b. x3 − ax2 + x+ b = 0, x1 = 1 +√
6;c. x4 + x3 + ax2 + 2x+ b = 0, x1 = 1 +
√2.
3. Sa se rezolve ecuatiile stiind ca admit radacini ıntregi:a. x3 + 2x2 − 4x+ 1 = 0; b.x3 − 2x2 + 3x− 18 = 0;c. x4 − 3x3 + 3x2 − 3x+ 2 = 0; d. x4 + 2x3 − 8x− 16 = 0.
4. Sa se rezolve ecuatiile stiind ca admit radacini rationale:a. 4x3 + 2x2 − 1 = 0; b. 9x3 + 2x− 1 = 0;c. 6x4 − 5x3 + 7x2 − 5x+ 1 = 0; d. 8x4 + 2x3 + 7x2 + 2x− 1 = 0.
5. Sa se demonstreze ca urmatoarele ecuatii nu admit radacini rationale:a. x3 + x+ 2 = 0; b.2x3 + 2x2 + 3 = 0.
TEMA 21
1. Sa se rezolve ecuatiile:a. x4 − 5x2 + 4 = 0; b. x4 − 2x2 − 8 = 0;c. x4 + 6x2 + 8 = 0; d. x6 − 6x4 + 11x2 − 6 = 0.
2. Sa se rezolve ecuatiile:a. x3 + x2 + x+ 1 = 0; b. x3 − 5x2 − 5x+ 1 = 0;c. x4 + 2x3 − 6x2 + 2x+ 1 = 0; d. 2x4 − x3 − 2x2 − x+ 2 = 0.
3. Sa se determine m ∈ R astfel ıncat urmatoarele ecuatii sa admita toate radacinile reale:a. x4 −mx2 +m+ 1 = 0; b. mx4 + 2x2 +m+ 1 = 0,m 6= 0;c. x3 +mx2 +mx+ 1 = 0; d. x4 + x3 +mx2 + x+ 1 = 0.
TEMA 22
1. Sa se descompuna ın factori ireductibili peste C urmatoarele polinoame:a. X2 − 4X + 5; b. X3 +X2 − 2;c. X4 − 5X2 − 36; d. 6X5 − 29X4 + 27X3 + 27X2 − 29X + 6.
2. Sa se descompuna ın factori ireductibili peste R urmatoarele polinoame:a. X2 − 4X − 5; b. X3 − 4X2 + 3X + 8;c. X4 + 2X3 +X2 − 2X − 2; d. 10X4 − 77X3 + 150X2 − 77X + 10.
3. Sa se descompuna ın factori ireductibili peste Q urmatoarele polinoame:a. 4X2 − 4X − 3; b. X3 + 5X2 + 5X − 2;c. 6X4 + 11X3 − 25X2 + 13X − 2; d. X5 − 4X4 + 7X3 − 8X2 + 5X − 2.
TEMA 23
1. Se considera polinomul f = X3 − 10 ∈ Q [X].a. Sa se demonstreze ca polinomul f este ireductibil peste Q.b. Daca g ∈ Q [X] este un polinom de grad cel mult doi atunci (f, g) = 1.
2. Se considera polinomul f = X3 + 2X2 +X + 1 ∈ Z3 [X].a. Sa se demonstreze ca polinomul f este ireductibil.b. Sa se determine un polinom g ∈ Z3 [X], de grad 4, cu g (x) = f (x) ,∀x ∈ Z3.
3. Sa se demonstreze ca urmatoarele polinoame sunt ireductibile peste Q:a. X4 − 4X2 + 16; b. X4 − 2X2 + 81.
4. Sa se determine a ∈ Q astfel ıncat urmatoarele polinoame sa fie reductibile peste Q:a. f = X2 + aX + 4; b. f = 2X3 +X2 + aX + 1.
ANALIZA MATEMATICA
PRIMITIVE I
TEMA 1
1. Sa se determine functiile care admit ca primitive urmatoarele functii:a. F : R→ R, F (x) = x4 ln
(x2 + 1
);
b. F : R→ R, F (x) = x√x2 + 1 + ln
(x+√x2 + 1
);
c. F : (0,∞)→ R, F (x) = x(sin(ln x)+cos(ln x))2 ;
2. Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat urmatoarele functii sa fie primitivele unor functii:
a. F : R→ R, F (x) =
{ax+ b; x < 1
lnx; x > 1;
b. F : R→ R, F (x) =
{ax+ 2; x < 0
sinx+ b cosx; x > 0.
TEMA 2
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:
a. f (x) = 3x2 − 2x+ 2, x ∈ R; b. f (x) = x5 + 5x, x ∈ R; c. f (x) = x2
x2+9 , x ∈ R;
d. f (x) = 3√x− 4 3
√x, x ∈ [0,∞); e. f (x) =
√x2−4x2−4 , x > 2; f. f (x) = x 4
√x, x > 0;
g. f (x) = 1sin x·cos x , x ∈
(0, π2
); h. f (x) = (2x+ 1)
2, x ∈ R; i. f (x) = (x+3)2
x , x > 0;
j. f (x) = x√
1−x2−2√1−x2
, x ∈ (−1, 1); k. f (x) =(√x+1)
3
3√x
, x > 0; l. f (x) = 19x2+1 , x ∈ R.
TEMA 3
1. Sa se determine primitiva F a functiei f :(0, π2
)→ R, f (x) = cos 2x
cos2 x·sin2 xcare verifica
conditia F(π4
)= 1.
2. Sa se determine primitiva F a functiei f : R → R, f (x) = 1√4x2+1
cu proprietatea ca
graficul functie F contine punctul A (0, 1).
3. Fie functia f : R → R, f (x) = ex2
. Sa se arate ca orice primitiva a functie f este strictcrescatoare, are un singur punct de inflexiune si nu are asimptote spre +∞.
4. Fie functia f : (0,∞) → R, f (x) = ex(x−1)x si F o primitiva a sa. Sa se determine
punctele de extrem si intervalele de concavitate sau convexitate ale functiei F .
TEMA 4
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:a. f (x) = x lnx, x > 0; b. f (x) = x4 lnx, x > 0; c. f (x) = ln x√
x, x > 0;
d. f (x) = x ln2 x, x > 0; e. f (x) = x2 ln2 x, x > 0; f. f (x) = ln3 x, x > 0;g. f (x) = (2x+ 1) ex, x ∈ R; h. f (x) =
(x2 + 1
)ex, x ∈ R; i. f (x) = x sinx, x ∈ R;
j. f (x) = (x+ 2) cosx, x ∈ R; k. f (x) = xcos2 x , x ∈
(−π2 ,
π2
); l. f (x) = x+2
sin2 x, x ∈ (0, π) .
16
PRIMITIVE I 17
TEMA 5
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:a. f (x) = x3 arctg x, x ∈ R; b. f (x) = x arcctg x, x ∈ R; c. f (x) = x2 arctg x, x ∈ R;d. f (x) = arccosx, x ∈ (−1, 1); e. f (x) = xe2x, x ∈ R; f. f (x) = e
x3
(x2 + 1
), x ∈ R;
g. f (x) = 4√ex(x3 + x
), x ∈ R; h. f (x) = x2 sin 2x, x ∈ R; i. f (x) = x2 sin x
3 , x ∈ R;j. f (x) = (x+ 2) cos 4x, x ∈ R; k. f (x) = x3e−x, x ∈ R; l. f (x) = (2x+ 1) ln 3x, x > 0.
TEMA 6
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:a. f (x) = sin2 x, x ∈ R; b. f (x) = cos3 x, x ∈ R; c. f (x) = sin4 x, x ∈ R;d. f (x) = sin2 3x, x ∈ R; e. f (x) = ex sinx, x ∈ R; f. f (x) = e2x cosx, x ∈ R;g. f (x) = ex sin 3x, x ∈ R; h. f (x) = e3x sin 4x, x ∈ R; i. f (x) = e−x sin x
2 , x ∈ R;j. f (x) = 1
cos4 x , x ∈(−π2 ,
π2
); k. f (x) = 1
sin6 x, x ∈ (0, π); l. f (x) = cos (lnx) , x > 0.
TEMA 7
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:a. f (x) =
√x2 + 9, x ∈ R; b. f (x) =
√x2 − 16, x < −4; c. f (x) =
√2− x2, x ∈
(−√
2,√
2);
d. f (x) = x√x2 + 5, x ∈ R; e. f (x) = x
√x2 − 1, x > 1; f. f (x) = x
√4− x2, x ∈ (−2, 2);
g. f (x) = x2√x2 + 3, x ∈ R; h. f (x) = x2
√x2 − 5, x >
√5; i. f (x) = x2
√9− x2, x ∈ (−3, 3);
j. f (x) = x2√x2+4
, x ∈ R; k. f (x) = x2+1√x2−5
, x >√
5; l. f (x) = x ln(x+√x2 + 1
), x ∈ R.
TEMA 8
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:a. f (x) = ln
(x2 + 4
), x ∈ R; b. f (x) = ln
(x2 − 9
), x > 3; c. f (x) = x arccos (2x) , x ∈
(− 1
2 ,12
);
d. f (x) = ln x+2x−2 , x > 2; e. f (x) = arccos x√
1+x, x ∈ (−1, 1); f. f (x) = x√
1−x2arcsinx, x ∈ (−1, 1);
g. f (x) = arctg xx2+1 , x ∈ R; h. f (x) = x2+2
x2+1 arctg x, x ∈ R; i. f (x) = x arcsinx, x ∈ (−1, 1).
TEMA 9
Sa se deduca o relatie de recurenta pentru In =∫fn (x) dx, n > 1 si sa se calculeze
I1, I2, I3 si I4, unde:a. fn (x) = xne2x, x ∈ R; b. fn (x) = x lnn x, x > 0; c. fn (x) = sinn 2x, x ∈ R;
d. fn (x) = cosn 3x, x ∈ R; e. fn (x) = xn√x2 + 1, x ∈ R; f. fn (x) = xn
√x2−4
, x > 2.
TEMA 10
1. Sa se demonstreze ca functiile f : R→ R admit primitive si calculati primitivele lor, unde:
a. f (x) =
{2x+ 2, x < 0
cosx+ 1, x > 0; b. f (x) =
{xex, x < 0
arctg x, x > 0; c. f (x) =
{sin2 πx, x < 1
lnx, x > 1.
2. Sa se determine a ∈ R astfel ıncat urmatoarele functii f : R→ R sa admita primitive sicalculati primitivele lor:
a. f (x) =
{e−x, x 6 0
a+√x, x > 0
; b. f (x) =
{ex sinx, x 6 0
x2 + x+ a, x > 0; c. f (x) =
{ln2 x+ a, x > 1
x sin 2x, x 6 1.
TEMA 11
1. Se considera functia f : (0,∞)→ R, f (x) = ln x√x
.
a. Sa se arate ca F : (0,∞)→ R, F (x) = 2√x (lnx− 2) este o primitiva a functie f .
b. Sa se arate ca orice primitiva G a functie f este crescatoare pe [1,∞).
c. Sa se calculeze limx→∞
G(x)x , unde G este o primitiva a functiei f .
18 PRIMITIVE I
2. Se considera functia f : R→ R, f (x) = x3 − 3x+ 2.
a. Sa se calculeze∫ f(x)x−1dx, x > 1.
b. Sa se calculeze∫exf (x) dx, x ∈ R.
c. Sa se calculeze∫f (x) lnxdx, x > 0.
3. Se considera sirul de functii (fn)n>1, fn : R→ R, fn (x) =∫xn arctg xdx, fn (0) = 0.
a. Sa se calculeze f1 si f2;
b. Sa se demonstreze ca fn (x) = xn−1(x2+1) arctg xn+1 − xn
n(n+1)−n−1n+1fn−2 (x) ,∀x ∈ R,∀n > 1.
PRIMITIVE II
TEMA 1
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:
a. f (x) = 2x+1x2+x+2 , x ∈ R; b. f (x) = x3
x4+6 , x ∈ R; c. f (x) = xx4+9 , x ∈ R;
d. f (x) = x2+2x−1x3+3x2−3x−1 , x > 1; e. f (x) = x√
x4+3, x ∈ R; f. f (x) = 1
x√
ln2 x−4, x > e2;
g. f (x) = 3 ln2 x−2 ln x+1x , x > 0; h. f (x) = ex
e2x+4 , x ∈ R; i. f (x) = 1
x√
9−ln2 x, x ∈
(e−3, e3
);
j. f (x) = e3x
e2x−1 , x > 0; k. f (x) = ex+ex ; l. f (x) = e2x√1−e2x , x < 0.
TEMA 2
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:
a. f (x) = cos x4+sin2 x
, x ∈ R; b. f (x) = sin xcos2 x−4 , x ∈ R; c. f (x) = tg2 x−2 tg x+1
cos2 x , x ∈(−π2 ,
π2
);
d. f (x) = ctg x+4sin2 x
, x ∈ (0, π); e. f (x) = arcsin x√1−x2
, x ∈ (0, 1); f. f (x) = 1√1−x2(arccos2 x+2)
, x ∈ (−1, 1);
g. f (x) = arctg2 x+31+x2 , x ∈ R; h. f (x) =
√arcctg xx2+1 , x ∈ R; i. f (x) = sin 2x√
sin4 x+2, x ∈ R;
j. f (x) = sin 2xcos4 x−4 , x ∈ R; k. f (x) = sin 2x · esin2 x; l. f (x) =
√x√
1−x3, x ∈ (0, 1).
TEMA 3
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:
a. f (x) = x√x4 + 1, x ∈ R; b. f (x) =
e2√
x sin(√x)√
x, x ∈ R; c. f (x) = sinxecos x cos (cosx) , x ∈ R;
d. f (x) = e√x, x > 0; e. f (x) = ex arctg (ex) , x ∈ R; f. f (x) = sin 2x · ln (sinx) , x ∈
(0, π2
);
g. f (x) = x2 sin3(x3), x ∈ R; h. f (x) = arcsin(ln x)
x , x ∈ (0, e); i. f (x) = sin 2x√
4− sin4 x, x ∈ R.
TEMA 4
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:a. f (x) = 1
x2−4x+4 , x > 2; b. f (x) = 1x2−6x+10 , x ∈ R; c. f (x) = 1√
4x2−4x+3, x ∈ R;
d. f (x) = 1√x2−3x+2
, x > 2; e. f (x) = 1√4x−x2
, x ∈ (0, 4); f. f (x) =√
9x2 − 6x+ 5, x ∈ R;
g. f (x) =√x2 + 2x, x > 0; h. f (x) =
√2x− x2, x ∈ (0, 2); i. f (x) =
(x2 + 2x+ 2
) 32 , x ∈ R;
j. f (x) = 1x√
4x2−2x+1, x > 0; k. f (x) = 1
x√x2+x+1
, x < 0; l. f (x) = 1x√
5x6−4x3+1, x > 0.
19
20 PRIMITIVE II
TEMA 5
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:a. f (x) = 1
1+√x, x > 0; b. f (x) = 1√
x− 3√x, x > 1; c. f (x) = sin
√x, x > 0;
d. f (x) = e√x, x > 0; e. f (x) = e
3√x, x ∈ R; f. f (x) = 1
1+ex , x ∈ R;
g. f (x) = 1√ex+1
, x ∈ R; h. f (x) = 1x√x+2
, x > 0; i. f (x) = x√x+1
, x > 0.
TEMA 6
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:a. f (x) = 1
4x+3 , x > −34 ; b. f (x) = 1
5−3x , x >53 ; c. f (x) = 3
2x2−5x+2 , x > 2;
d. f (x) = x+1x2−6x+10 , x ∈ R; e. f (x) = 4x+5
x2−3x+4 , x ∈ R; f. f (x) = x(x2+1)2
, x ∈ R;
g. f (x) = 1(x2+2)2
, x ∈ R; h. f (x) = 1(x2−4)2
, x > 2; i. f (x) = 2x+1(x2+2x+2)2
, x ∈ R.
TEMA 7
Sa se descompuna urmatoarele functii ın fractii simple :a. f (x) = 3
(2x+1)(x+2) , x > −12 ; b. f (x) = 6x
x2−9 , x > 3; c. f (x) = 32x2−5x+2 , x > 2;
d. f (x) = 2x2+x+2x(x−1)(x−2) , x > 2; e. f (x) = 2x+3
x2(x+2) , x > 0; f. f (x) = 4x+5x3+1 , x > −1;
g. f (x) = 12x2+12x4−5x2+4 ; h. f (x) = x3+4x
x4−2x2−8 , x > 4; i. f (x) = 4x4−1 , x > 1.
TEMA 8
Sa se descompuna urmatoarele functii ın fractii simple :
a. f (x) = x3
x2−1 , x > 1; b. f (x) = x2+x+1x2−2x+1 , x > 1; c. f (x) = x4+2
x3+x , x > 0;
d. f (x) = x5+x3+2(x+2)(x−1) , x > 1; e. f (x) = x4
x3+1 , x > −1; f. f (x) = x4+x2
x4−5x2+4 , x ∈ R;
g. f (x) = x5
x4+2x2+1 , x ∈ R; h. f (x) = x3+x2
x3−8 , x > 2; i. f (x) = x4
x4−1 , x > 1.
TEMA 9
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:a. f (x) = 2x+1
1−x2 , x > 1; b. f (x) = 2x+1x2−6x+8 , x > 4; c. f (x) = 9x+12
x3+1 , x > −1;
d. f (x) = 2x2+8x3−x , x > 1; e. f (x) = 2x2+4x
x3+4x , x > 0; f. f (x) = 4x3+12xx4−10x2+9 , x > 3;
g. f (x) = 2x2+6x4+3x2+2 , x ∈ R; h. f (x) = 2x3+6x
(x2+4)2, x ∈ R; i. f (x) = 2x2+4x+6
(x2−1)2, x > 1.
TEMA 10
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:
a. f (x) = x3+x+1x(x2+1) , x > 0; b. f (x) = x4+x2
x4+6x2+8 , x ∈ R; c. f (x) = x5+x3+4x4+x2+1 , x ∈ R;
d. f (x) = (x−1)3
x2+x , x > 0; e. f (x) = x3+39x3−x , x >
13 ; f. f (x) = x5−6x3+21x
x4−10x2+9 , x > 3;
g. f (x) = x5+x4−16x3−4x , x > 2; h. f (x) = x4
x3+2x2+x , x > 0; i. f (x) = x4
x4−5x3+6x2 , x >√
3.
TEMA 11
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:
a. f (x) = sin3 x cos4 x, x ∈ R; b. f (x) = sin4 x cos5 x, x ∈ R; c. f (x) = sin3 xcos4 x , x ∈
(−π2 ,
π2
);
d. f (x) = cos3 xsin4 x
, x ∈ (0, π); e. f (x) = ctg x1+cos2 x , x ∈ (0, π); f. f (x) = sin 2x
(2+cos x)2, x ∈ R;
g. f (x) = 1+cos x2+cos x , x ∈ R; h. f (x) = sin 2x
2 cos2 x+3 sin x−3 , x ∈(π6 ,
π3
); i. f (x) = 1
sin x sin 2x , x ∈(0, π2
).
PRIMITIVE II 21
TEMA 12
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:a. f (x) = 1+cos 2x
1+cos2 x , x ∈(−π2 ,
π2
); b. f (x) = 2 tg x
4 cos2 x+sin2 x, x ∈
(0, π2
); c. f (x) = cos 2x−1
1+sin2 x, x ∈
(−π2 ,
π2
);
d. f (x) = 12+sin x , x ∈
(−π2 ,
π2
); e. f (x) = 1
sin x+cos x−1 , x ∈(0, π2
); f. f (x) = 1
3+cos x , x ∈(−π2 ,
π2
);
g. f (x) = 2 sin x−3 cos x3 sin x+2 cos x , x ∈
(0, π2
); h. f (x) = 1
sin x(1+cos x) , x ∈(0, π2
); i. f (x) = 1
cos x(1+sin x) , x ∈(0, π2
).
INTEGRALA DEFINITA
TEMA 1
Sa se calculeze sumele Riemman asociate functie f , diviziunii ∆ si sistemului de puncteintermediare c, unde:
a. f : [0, 3]→ R, f (x) = 2x,∆ = (0, 1, 2, 3) , c =(
12 ,
32 ,
52
).
b. f : [0, 2]→ R, f (x) = 1− x,∆ =(0, 1
2 ,23 , 1, 2
), c =
(13 ,
35 , 1,
32
).
c. f : [0, π]→ R, f (x) = 1 + sinx,∆ =(0, π4 ,
π2 ,
3π4 , π
), c =
(π6 ,
π3 ,
2π3 ,
5π6
).
d. f :[
19 , 9]→ R, f (x) = log2 x,∆ =
(19 ,
15 ,
13 , 1, 3, 5, 9
), c =
(18 ,
14 ,
12 , 1, 4, 8
).
TEMA 2
Sa se calculeze urmatoarele integrale definite:
a.∫ 1
0x3dx; b.
∫ 1
0
(2x4 +
√x)dx; c.
∫ 2
1(x+1)2
x dx;
d.∫ 2
0(2x + 4x) dx; e.
∫ π0
(2 sinx− cosx) dx; f.∫ π/3π/6
2sin2 x·cos2 x
dx;
g.∫ π/3π/4
sin2 x+2 cos2 xsin 2x dx; h.
∫ 2
01
x2+4dx; i.∫ 1/2
01√
4x2+1dx;
j.∫ 1
−11√
4−x2dx; k.
∫ 1
−1x√
4x2+3dx; l.
∫ 3
−3x2
x2+9dx.
TEMA 3
1. Sa se demonstreze ca urmatoarele functii f : [a, b]→ R sunt integrabile pe [a, b] si calculati∫ baf (x) dx pentru :
a. f : [−2, 1]→ R, f (x) = |x+ 1|; b. f : [−3, 3]→ R, f (x) =∣∣x2 − 1
∣∣;c. f : [0, 4]→ R, f (x) = max {2x− 1, x+ 1}; d. f : [0, 2]→ R, f (x) = [x];
e. f : [−1, 1]→ R, f (x) =
{sinx, x ∈ [−1, 0]
2x− 3, x ∈ (0, 1]; f. f : [0, e]→ R, f (x) =
{cosπx, x ∈ [0, 1)
lnx, x ∈ [1, e].
2. Sa se arate ca urmatoarele functii nu sunt integrabile:
a. f : [0, 1]→ R, f (x) =
1
x− 1, x ∈ [0, 1)
2, x = 1; b. f : [0, 2]→ R, f (x) =
{ctg x, x ∈ (0, 2]
1, x = 0;
c. f : [−1, 3]→ R, f (x) =
{x}
1− {x}, x ∈ (1, 3]
cosx, x ∈ [−1, 1]
; d. f : [−1, 1]→ R, f (x) =
1√x, x ∈ (0, 1]
|2x+ 1| , x ∈ [−1, 0].
TEMA 4
Sa se calculeze urmatoarele integrale:
a.∫ 1
0xe−xdx; b.
∫ e21
ln2 xdx; c.∫ π/2−π/2 x
2 cos 2xdx;
d.∫ e
1ln2 xx2 dx; e.
∫ 1
0ln (x+ 1) dx; f.
∫ π/40
xcos2 xdx;
g.∫ 1
0
√x2 + 1dx; h.
∫ 1/2
0x2√
1− x2dx; i.∫ 1
0ex sin 2xdx;
j.∫ π
0cos xex dx; k.
∫ π0
sin3 xdx; l.∫ e
1cos (lnx) dx;
22
INTEGRALA DEFINITA 23
TEMA 5
Sa se calculeze urmatoarele integrale:
a.∫ e
1ln3 xx dx; b.
∫ π/30
etg x
cos2 xdx; c.∫ 1
0x3
2x+1dx;
d.∫ 1
0x 5√
1− x2dx; e.∫ π/3
0sin 2x
sin4 x−4dx; f.
∫ 1
−1x3
√x8+1
dx;
g.∫ 1
0ex
e2x+1dx; h.∫ π2
1cos√x√
xdx; i.
∫ 2
11√
x2+4x+5dx;
j.∫ π/2π/4
√1+ctg xsin2 x
dx; k.∫ 4
1
√x+2x+1 dx; l.
∫ π/20
1sin x+cos x+2dx;
TEMA 6
1. Sa se calculeze urmatoarele integrale:
a.∫ 1
−1x cos10 xdx; b.
∫ π/2−π/2 |x| cos 2xdx; c.
∫ π−π cosxe|x|dx;
d.∫ 2
−2sin x·arctg2 x
1+x2 dx; e.∫ 1
−1|x|−21+3|x|dx; f.
∫ 1
−1sin x
1+e|x|dx;
g.∫ 1
−1x2
1+ex dx; h.∫ 1
−1cos x1+ex dx; i.
∫ π−π
sin2 x1+e2x dx.
2. Se considera functia f : R→ R, f (x) = x3 + 2x+ 3a. Sa se demonstreze ca functia f este inversabila.
b. Sa se calculeze∫ 1
0f (x) dx si
∫ 6
3f−1 (x) dx.
3. Se considera functia f : R→ R, f (x) = ex + xa. Sa se demonstreze ca functia f este inversabila.
b. Sa se calculeze∫ 1
0f (x) dx si
∫ e+1
1f−1 (x) dx.
TEMA 7
Sa se calculeze urmatoarele integrale:
a.∫ 3
21
x(x2−1)dx; b.∫ 1
01
x3+x2+x+1dx; c.∫ 1
013
x4−5x2−36dx;
d.∫ 1
03x+6x3+1dx; e.
∫ 0
−118x+27x3−1 dx; f.
∫ 1
01
(x2+3)2dx;
g.∫ 2
0ln(x3 + 8
)dx; h.
∫ π/3π/4
1sin4 x cos4 x
dx; i.∫ 1
1/21x
√1−x1+xdx.
TEMA 8
1. Sa se demonstreze ca urmatoarele integrale sunt pozitive:
a.∫ 1
0x5 arctg x · ln (1 + x) dx; b.
∫ 1
0
(ex
5 − x5 − 1)dx; c.
∫ 1
−1(cosx− ln (1 + cosx)) dx;
d.∫ π/2
0x20 sinx (1− sinx) dx; e.
∫ ππ/2
x11 (1 + cosx) dx; f.∫ 1
−1cosx
(π2 − arctg x
)dx.
2. Sa se demonstreze inegalitatile:
a.∫ 1
0x10
1+xdx 6∫ 1
0x8
1+xdx; b.∫ 1
0x9
1+ex dx >∫ 1
0x19
1+ex dx; c.∫ 1
0sin5 dx 6
∫ 1
0sin4 xdx;
d. 0 6∫ 1
0xx+1dx 6 1
2 ; e. 83 6
∫ 1
−1x+3x+2dx 6 4; f. 4 6
∫ 2
−2ex
2
dx 6 4e4.3. Sa se demonstreze ca:
a. ex ≥ x+ 1,∀x ∈ R.
b.∫ 2
01
3+ex2 dx 6 π8 .
4. Sa se demonstreze ca:a. sinx ≤ x, ∀x ∈ R.
b.∫ 4
0
√x sinxdx 6 64
5 .
TEMA 9
1. Sa se calculeze limitele urmatoarelor siruri (In)n>1, unde:
a. In =∫ 1
0xn cosxdx; b. In =
∫ 1
0x sinn xdx; c. In =
∫ 1
0xn
2x+1dx;
d. In = n∫ n+1
n1√
x2+x+1dx ; e. In = 1
n
∫ 1
0[nx] exdx; f. In =
∫ 2n
n1
2x+[x]+1dx.
24 INTEGRALA DEFINITA
2. Sa se demonstreze ca urmatoarele siruri (In)n>1 sunt convergente, unde:
a. In =∫ π/2
0sinn xdx; b. In =
∫ 1
0arctgn xdx; c. In =
∫ 1
0xn
x2+x+1dx;
d. In =∫ 1
0xn
ex+1dx ; e. In =∫ 2
0xn (2− x)
ndx; f. In =
∫ π/20
sinn x1+x2 dx.
TEMA 10
1. Se considera sirul (In)n>1 definit prin In =∫ 1
0xn
x2+2x+3dx.a. Sa se calculeze I1 si I2.b. Sa se demonstreze ca sirul In este convergent si calculati limita sa.c. Sa se demonstreze ca In+2 + In+1 + In = 1
n+1 ,∀x ∈ N∗.
d. Sa se calculeze limn→∞
nIn.
2. Se considera sirul (In)n>1 definit prin In =∫ 1
0xn√x2+4
dx.
a. Sa se calculeze I1 si I2.b. Sa se demonstreze ca sirul In este convergent si calculati limita sa.c. Sa se calculeze lim
n→∞nIn.
3. Se considera sirul (In)n>1 definit prin In =∫ 1
0xnexdx.
a. Sa se calculeze I1 si I2.b. Sa se demonstreze ca sirul In este convergent si calculati limita sa.c. Sa se demonstreze ca In+1 = e− (n+ 1) In,∀x ∈ N∗d. Sa se calculeze lim
n→∞nIn.
TEMA 11
1. Se considera functia F : [0,∞)→ R, F =∫ x
0sin tt+1 dt.
a. Sa se calculeze F ′ (x) , x > 0.b. Sa se demonstreze ca functia F este strict crescatoare pe [0, π].
c. Sa se calculeze limx↘0
F (x)x2 .
2. Se considera functia F : R→ R, F (x) =∫ x2
0t2et
2
dt.a. Sa se determine puntele de extrem ale functie F .b. Sa se demonstreze ca functia F este convexa pe R.
c. Sa se calculeze limx→0
F (x)x6 .
3. Se considera n ∈ N∗ si functia Fn : R→ R, Fn (x) =∫ x2
0t sinn tdt.
a. Sa se calculeze F1 (√π).
b. Sa se arate ca functia Fn nu este injectiva, ∀n ∈ N∗.c. Sa se calculeze lim
x→∞Fn(x)x5 .
APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE
TEMA 1
Sa se calculeze limitele urmatoarelor siruri :
a. an = 1n
n∑k=1
sin kn ; b. an =
n∑k=1
12n+k ; c. an =
n∑k=1
n+2kn2+k2 ;
d. an = 1n2
n∑k=1
kek2
n2 ; e. an = 1n2
n∑k=1
k cos kn ; f. an = 1√n
n∑k=1
1√n+√n+k
;
g. an = 1n2
n∑k=1
k arctg kn ; h. an =
n∑k=1
1√3n2+k2
; i. an =n∑k=1
1n sin2 kπ
n .
TEMA 2
Sa se calculeze aria subgraficului functie f ın cazurile:a. f : [0, 1]→ R, f (x) = x2 + x; b. f : [0, 2]→ R, f (x) = x2 − 2x;
c. f : [−1, 1]→ R, f (x) = x3 + x; d. f : [−1, 1]→ R, f (x) = xex2
;e. f :
[1e , e]→ R, f (x) = 1
x(ln x+2) ; f. f : [0, π]→ R, f (x) = cos x4−cos2 x ;
g. f : [−π, π]→ R, f (x) = sin x√cos2 x+2
; h. f : [−1, 1]→ R, f (x) = ex − 1− x− x2
2 ;
i. f : [−1, 1]→ R, f (x) = sinx− x+ x3
6 ; j. f : [−1, 1]→ R, f (x) = arctg x− x.
TEMA 3
Sa se calculeze aria suprafetei plane marginita de graficele functiilor f si g, unde:a. f, g : [0, 2]→ R, f (x) = 2x+ 1, g (x) = 1− 2x; b. f, g : [0, 3]→ R, f (x) = x2 + 1, g (x) = 2x;c. f, g :
[1, e2
]→ R, f (x) = lnx, g (x) = 2 lnx− 1; d. f, g : [−1, 1]→ R, f (x) = ex, g (x) = e−x;
e. f, g : [0, π]→ R, f (x) = sin2 x, g (x) = sinx ; f. f, g : [−1, 0]→ R, f (x) = x2
4 , g (x) = 1x2+3 ;
g. f, g :[0, π3
]→ R, f (x) = tg x, g (x) = 1; h. f, g : [0, 1]→ R, f (x) = ex, g (x) = x+ 1;
i. f, g : [0, π]→ R, f (x) = sinx, g (x) = x; j. f, g : [0, 1]→ R, f (x) = arctg x2, g (x) = x2.
TEMA 4
1. Sa se calculeze aria suprafetei plane marginita de graficul functiei
f : (0,∞)→ R, f (x) =√x+2x+1 , axa Ox, dreptele x = 1 si x = 4.
2. Se considera functia f : R\ {−1} → R, f (x) = x2+2x+3x+1 .
a. Sa se arate ca dreapta y = x+ 1 este asimptota catre +∞ la graficul functie f .b. Sa se calculeze aria suprafetei plane marginita de graficul functiei f , asimptota spre
+∞, dreptele x = 0 si x = 1.3. Se considera functia f : R→ R, f (x) = xex
ex+1 .a. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul functiei f ın punctul x0 = 0.b. Sa se calculeze aria suprafetei plane marginita de graficul functiei f , tangenta la grafi-
cul functiei f ın punctul x0 = 0 , dreptele x = −1 si x = 1.4. Se considera functia f : [0, 3] → R, f (x) = 3x − x2. Sa se determine m ∈ R astfel ıncat
dreapta de ecuatie y = mx sa ımparta subgraficul functie ın doua multimi de arii egale.
25
26 APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE
TEMA 5
1. Sa se calculeze aria suprafetei plane marginita de curbele:a. y = x2 + x, y = x+ 1; b. y = −x2 + 3x− 2, y = −x− 1;c. y = x2 + x− 2, y = −x2 − 1; d. y = x2, y = 2− x2;e. y = 3
√x+ 1, y = x+ 3; f. y2 = 4x, y = 2x.
2. Sa se calculeze ariile celor doua regiuni ın care este desartit cercul de ecuatie x2 + y2 = 1de dreapta x− y − 1 = 0.
3. Sa se calculeze ariile celor doua regiuni ın care este desartit cercul de ecuatie x2 +y2 = 16de parabola y2 = 6x.
TEMA 6
Sse calculeze volumul corpului de rotatie determinat de graficul functiei f , unde:a. f : [0, 3]→ R, f (x) = x+ 2; b. f : [0, 2]→ R, f (x) = x2 + 2x;c. f : [0, π]→ R, f (x) = sinx; d. f : [0, 2π]→ R, f (x) = cos2 x;
e. f : [0, 1]→ R, f (x) =√
1−√x3; f. f : [1, 8]→ R, f (x) = 2
3√x
;
g. f : [0, 1]→ R, f (x) = 4√x2 + 1; h. f : [1, e]→ R, f (x) =
√ln x
x(ln2 x+1).
INDICATII SI SOLUTII
ALGEBRA
LEGI DE COMPOZITIE
T1. 1. a.x = 0. b. Not 2x = t,⇒ t3 + 2t2 − 3t − 10 = 0 ⇒ t = 2 ⇒ x = 1 c. C.d.e. n ∈ N, n ≥ 2,n3 + n2 − 8n− 12 = 0⇒ n = 3. 2. a. (x+ 1) (y + 1) > 0 b. (x− 1) (y − 1) > 0c. 3 (x− 2) (y − 2) > 0 d. 2 (x+ 2) (y + 2)T4. 1. a. b. c. d. f. Da e. Nu 2.a. (1 ∗ 2) ∗ 3 = 9
46= 7
4= 1 ∗ (2 ∗ 3). 3. a. a = 6 b. a = 1, b = 0
c. a = b = −2 sau a = b = 3.T5. 1. a. c. d. f. Da b. e. Nu 2 a. 1 ∗ 2 = 5
26= 3
2= 2 ∗ 1 3.a. a = 2 b. a = 1, b ∈ R
c. b = 2a. a ∈ R.T6. 1. a. e = 2, b. e = 3
2, c. e = 0, d. e = 0, e. e = 7
3, f. e = 2. 2. a. e = −2 /∈ N. 3. a. a = 2, b = 2
b. a = −3, b = 12 c. a = 1, b ∈ R.T7. 1. a.R b.R\ {3} c. (1,∞) d. (−1, 1). 2. a. e = (1, 0) b.x′ = 1
x∈ Z⇒ x = ±1, y′ = ∓y, y ∈ Z,
c. Daca n este impar atunci a = 2, b = 1 iar pentru n par a = 2, b = 1 sau a = −2, b = −3.
3. a.A (x)A (y) = A (x+ y − 2xy) b.A(0) este el. n. si A (x′) = A(
x2x−1
), x 6= 1
2.
T8. 1.M e p.s., legea nu e as. este comutativa, 0 este el. n. si orice element este simetrizabil.2.M e p.s., legea nu e as. este comutativa, 0 este el. n. si 0 este simetrizabil.3.M e p.s., legea e as. este comutativa, 1 este el. n. si orice element este simetrizabil.4. ε3 = 1 ⇒ |M | = 3, M e p.s., legea e as. este comutativa, 1 este el. n. si orice element estesimetrizabil.5.A3 = I2 ⇒ |M | = 3, M e p.s., legea e as. este comutativa, I2 este el. n. si orice element estesimetrizabil.6.M e p.s., legea e as. este comutativa, I2 este el. n. si orice element este simetrizabil.T9. 1. a.a, b > 0 ⇒ 2a + 2b > 2 ⇒ log2
(2a + 2b − 1
)> log2 1 = 0; b. legea este as., com, 0 este
el.n. si orice elment e sim.; c. Folosind MIM se dem. ca x ∗ x ∗ ... ∗ x︸ ︷︷ ︸de n ori x
= log2 (n2x − n+ 1) si avem
x = 0, x = log2 (n− 1).2. b. Daca x, y sunt impare atunci si x ∗ y este impar; c. Legea este as., com., 1 este el.n. si doar
−1 este sim.; d. Relatia se poate scrie x ∗
x ∗ x ∗ ... ∗ x︸ ︷︷ ︸de n−1 ori x
=
x ∗ x ∗ ... ∗ x︸ ︷︷ ︸de n−1 ori x
∗ x = e de unde x
este sim. deci x = −1.3. b.X (a) , X (b) ∈ M ⇒ a, b 6= −1 dem. ca ab + a + b 6= −1; c. Se dem. prin MIM caX (a1)X (a2) ...X (an) = X [(a1 + 1) (a2 + 1) ... (an + 1)− 1] si se obtine t = 2012!.4. a. a = 19, b = 6 ∈ Q, a2 − 10b2 = 361 − 360 = 1 ⇒ A ∈ M ; c. Se dem. prin MIM caAn ∈M,∀n ∈ N∗ si apoi ca An 6= Am, ∀m 6= n .
GRUPURI
T1. 1. a. U (M) = R\ {1} b. U (M) = {−3,−1} c. U (M) = {2, 4} d. U (M) = {2, 4} ; 2. El.n. este (1, 0) si U (M) = {(a, b) |a ∈ R∗ } ; 3. a = 7, b = 56.T2. a.b.c.d.e. Da f. Nu.T3. a.b.c.d.e.f. DaT4. a.c.d. Da b. Nu.
27
28 INDICATII SI SOLUTII
T5. 1. a. σ−1 =
(1 2 3 42 4 1 3
), τ−1 =
(1 2 3 43 2 4 1
)b. x = σ−1τ =
(1 2 3 43 4 2 1
);x =
σ3τ−2 =
(1 2 3 43 4 2 1
);x = τ−1σ−2 =
(1 2 3 41 4 2 3
)3 Avem x2 = e si se aplica 2.
4. Fie e el. n. Pt. y := e ⇒ x = x ◦ x ◦ x ⇒ x ◦ x = e ⇒ x ∗ y = x ◦ y. Pentruy := x⇒ x ∗ x = (x ◦ x) ◦ (x ◦ x) = e⇒ x ∗ x = e⇒ x ∗ x = e⇒ x ∗ y = y ∗ x.
T6. 1. f (x+ y) = (−1)x+y = (−1)x (−1)y = f (x) f (y), deci f este morfism. f (1) = f (3) =−1⇒ f nu e inj. 4. a = 1, b = 2.T7. 1. Se dem. ca f : G→ R∗+, f (A (x)) = x este un izomorfism.
2. Se dem. ca f : G→ C∗, f((
a b−b a
))= a2 + b2 este un izomorfism.
3. Se dem. ca f : G→ Z4, f (A (x)) = x este un izomorfism.
T10. 1. a. ord(
3)
= 4, ord(
4)
= 2 b. ord(
2)
= ord(
3)
= ord(
4)
= 5; c. ord (σ) = 3;
d. ord (σ) = 4. 2. ord (A) = 4, ord (B) = 8, ord (C) = 2 3. ord (A) = ord (B) = 2, dar
(AB)n 6= I2, ∀n ∈ N∗. 4σ2 = e, σ 6= 3 ⇒ σ ∈{(
1 2 32 1 3
),
(1 2 31 3 2
),
(1 2 33 2 1
)}.
5. p = 28
= 14.
T11. 1. a. 9, c ∀A ∈ G,A3 = I3 ⇒ ord (A) 6 3.
INELE SI CORPURI
T2. 1. a. el. nul este 4 si el. unitate este 5 b.x′ = 4 + 1x−4∈ Z⇔ x ∈ {3, 5} = U (Z) c. Pp
ca ∃x, y ∈ Z, x, y 6= 4 dar x ◦ y = 4⇔ (x− 4) (y − 4) = 0 (F ) . 2. a.A2 = Tr (A) ·A− det (A) · I2 =2A−I2 atunci (aI2 + bA) (cI2 + dA) = acI2+(ad+ bc)A+bdA2 = (ac− bd) I2+(ad+ bc+ 2bd)A ∈M . b.A · A′ = A′ · A = I2 ⇒ det (A) · det (A′) = 1 ⇒ det (A) = ±1 ⇔ a + b = 1 c. FieA,B ∈M,A,B 6= O2 astfel ıncat A ·B = O2....
T3. 1. U (Z12) ={
1, 5, 7, 11}
;U (Z36) ={
1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25, 29, 31, 35}.
2.S ={
0, 2, 4, 6}
;S ={
1, 2, 6}.
3. a.S ={(
2, 3)
;(
2, 6)}
b.S ={(
1, 0)
;(
1, 6)
;(
7, 3)
;(
7, 9)}
4.x comuta cu 1 si avem xn = 0⇔ 1− xn = 1⇔ (1− x)(1 + x+ ...+ xn−1
)= 1. 5. a. 0;
b.x5 = 1, rezulta ca x e inversabil, deci x ∈ U (Z12) ={
1, 3, 5, 7, 11}⇒ x = 1.
T4. 3. El. nul este 1 si el. unitate este 32.
T5. 4. a = −b = 2.T6. 1. 48. 2. 27. 3. a = b = 1, c ∈ {−1, 2}, d = 0.4. a. Pt.m ∈ C\ {1, 2} , grad (f) = 2, pt. m = 1, grad (f) = 0 si pt. m = −1, grad (f) = 1.a. Pt.m ∈ C\ {−1, 1} , grad (f) = 3, pt. m = 1, grad (f) = 1 si pt. m = 2, grad (f) = 2.
T7. 1. a.1 + i b. 0 c. 21008i d. 0 e. 0. f. 1 g. 0 2. f = X2 +X + 1 5. f = X + 2.T8. 1. a.q = X2 + 5X + 14, r = 47X + 35; b. q = X3 − 4X2 + 2X − 3, r = 4X + 8; c. q =X2 − 3
√2X +
√2, r = 10X − 3
√2; d. q = 3X3 − (1 + i)X2 + 2iX + 1− i, r = (8i− 1)X − 3− 3i.
e. q = X + 2, r = 3X + 3 f. q = X2 + 4X, r = 3X + 2. 2. a.a = 4, b = 5; b. a = b = 1; c.a = 0, b = 1 sau a = b = 1; d. a = 1, b = 3.T9. 1. a.15; b.−18; c. 13; d.−6; e. 4; f. 2;. 2. a = − 34
3, b = 18 3. r = 1008X + 1008 4. r =
(1− 2n)X + 1.T10. 1. a. q = X4 +3X3 +7X2 +23X+72, r = 210; b. q = 2X4−5X3 +10X2−17X+29, r = −64;c.X4 + X3 + X, r = 0; d. q = 6iX4 + (i− 5)X3 − (i+ 5)X2 − (1 + 3i)X + 7i + 3, r = 8; e.
q = X4 + 2X3 + 6X2 + 5X + 6, r = 2.2. a. r = 0; b. r = −61; c. r = 0; d. r = 0. 3. r = −2X. 4. r = X2 −X − 1.T11. 2. a. a = −1, b = −3; b. a = −7, b = 23
2; c. a = 1, b = 3; d. a = 0, b = 2. 3. a.m = 6;
b.m ∈{−1,− 3
2
}c.m = 3; d.m = 4.
4. a. a = −2, b = 4, c = 2; b. a = 1, b = 2, c = 0; c. a = 5, b = −16, c = 12.T12. 1. a.X − 1; b.X2 − 1; c.X2 − 5X + 9. 2. a = −2, b = 4.
T13. 1. a = 1, x2,3 = 3±i√11
2; 2. a = 4, x2 = 1, x3 = 3; 3. a = 5, b = 0, x3,4 = ±2; 4. a = −3, b =
−1, c = 1, x4,5 = −1±i√
33
; 5. a = −3, b = 0.
INDICATII SI SOLUTII 29
T14. 1. a.x1 = 5, x2 = 52, x3 = −3 b.x1 = 1
2, x1 = 1
3, x1 = 1
6. 2. a.x3 = −1,m = 96, x2,3 =
11±i√7
2; b.x2 = 1,m = −26, x1 = 2, x3 = 13 sau x2 = − 7
3,m = − 508
3, x1,3 = 55±i
√1871
6;
c.m = −28, x1 = 1, x2 = x3 = 2, x4 = 3. d.m = 1, x1 = x2 = x3 = x4 = 1.T15. 1. a.m = 11, x1 = −1, x2 = −2, x3 = −3; b.m = 15, x1 = −1, x2 = −3, x3 = −5;c.m = −6, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3; d.m = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4 sau m = 20
11, x1,2 = 5
11±√
1411, x3,4 = 5
11± 3√
1411
; 2. a.m = 14, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4; b.m = −27, x1 = −1, x2 = 3, x3 =
−9; c.m = 120, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4 = 8; d.m = 76, x1 = −2, x2 = −1, x3 = − 12, x4 = − 1
4.
T16 1. a.x1 = −2, x2 = 2, x3 = 2a− 1; b.x1 = −3, x2 = −2, x3 = −1, x4 = a+ 2; c.x1 = −3, x2 =2, x3 = 5− a; d.x1 = −2, x2 = 1, x3 = 1− a, x4 = a.2. a. (f, g) = x2 − 5x + 6, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4 respectiv x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1; b. (f, g) =x2 − 1, x1 = −3, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 2 respectiv x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3; c. (f, g) =x3 − 2x2 − x + 2, x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3 respectiv x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 1;d. (f, g) = x3 − 2x2 − 4x + 8, x1 = 2, x2 = 2, x3 = −2, x4 = 1 respectiv x1 = 2, x2 = 2, x3 =−2, x4 = 3.T17 1.S−3 = 15
8, S−2 = 9
4, S−1 = 3
2, S1 = 0, S2 = 6, S3 = −6, S4 = 18. 2.S−3 = −5, S−2 =
−1, S−1 = 1, S1 = −1, S2 = 3, S3 = −7, S4 = 11. 3.S−3 = 2, S−2 = 4, S−1 = 2, S1 = −1, S2 =1, S3 = 9, S4 = −15.T18. 1. 5, 10, 20, 40 2. 3, 7, 11 sau 18, 7,−4 3. 4, 8, 16 sau 16, 8, 4 4. 2, 4, 8, 16 5. a, a+ 2, a+ 4, a+ 6.T19 1. a.y3 − 8y2 + 23y − 24 = 0; b. 2y3 − 3y2 + 2y − 1 = 0; c. 2y3 − 9y2 + 14y − 8 = 0;d. y3−3y2+7y−4 = 0. 2. Presupunem ca α ∈ R este solutie⇒ α2+1 = 0 (F ) . 3.a.x1x2x3 = −1⇒|x1| = |x2| = |x3| = 1⇒ x1 = 1
x1⇒ −a = 1
x1+ 1
x2+ 1
x3= −b⇒ |a| = |b| ; b. f (1) = 2 + a+ a ∈ R.
4. a. a; b. a = −10, x2,3 = −1 ± 2i; c. x21 + x22 + x23 = 2 ⇒ x1 = 0 ⇒ a = 0 ⇒ x1 =
1, x2 = −1, x3 = 0. 5. a.x1,2 = ±3i, x3 = 12, x4 = − 2
3; b.x1,2 = 1±i
√3
2, x3 = 1, x4 = 2;
c.x1,2 = 2 ± i, x3,4 = −1 ± i√
5; d.x1,2 = ±2i, x3,4 = 1 ± i. 6. a.x1,2 = 3 ± 2i, a = −11, b =
−101, x3 = 2, x4 = 3; b.x1,2 = ±i, a = −1, b = 5, x3 = 12, x4 = − 1
3; c.x1,2,3,4 = ±1±i
√3
2, a = b = 0;
d.x1,2 = 1± i, a = b = 0, x3 = x4 = 0, x5 = −1.
T20 ,1. a.x1 = x2 = 1−√
5, x3 = x4 = 1+√
5; b.x1,2 = ±2√
2, x3 = 3; c.x1,2 = 1±2√
5, x3,4 = ±i;2. a.x1 = x2 = 2 −
√3, a = −27, b = 7, x3 = −7; b.x1,2 = 1 ±
√6, , a = 5, b = 15, x3 = 3;
c.x1,2 = 1 ±√
2, a = − 192, b = 5
2, x3,4 = −3±
√19
2; 3.a.x1 = 1, x2,3 = −1±i
√13
2; b.x1 = 3, x2,3 =
−1±i√23
2; c.x1 = 1, x2 = 2, x3,4 = ±i; d.x1,2 = ±2, x3,4 = −1 ±
√3. 4. a.x1 = 1
2, x2,3 = −1±i
2;
b.x1 = 13, x2, 3 = −1±i
√11
2; c. x1 = 1
2, x2 = 1
3, x3,4 = ±i; d. x1 = − 1
2, x2 = 1
4, x3,4 = ±i.
5. a. Presupunem ca α ∈ Q este radacina ⇒ α ∈{±1,±2,± 1
2
}care nu verifica. .
T21. 1. a.x1,2 = ±1, x3,4 = ±2; b.x1,2 = ±2, x3,4 = ±i√
2; c.x1,2 = ±i√
2, x3,4 = ±2i; d.x1,2 =
±1, x3,4 = ±√
2, x5,6 = ±√
3; 2. a.x1 = −1, x2,3 = ±i; b.x1 = −1, x2,3 = 3 ± 2√
2; c.x1 = x2 =
1, x3,4 = −2 ±√
3; d.x1 = x2 = 1, x3,4 = −3±i√7
4. 3. a.m ∈
[2 + 2
√2,∞
); b.m ∈
[−1−
√5
2,−1
];
c. m ∈ (−∞,−1] ∪ [3,∞) d.m ∈[−4,− 3
2
].
T22. 1.a. (X − 2 + i) (X − 2− i) ; b. (X − 1) (X + 1 + i) (X + 1− i) ; c. (X + 3) (X − 3) (X + 2i) (X − 2i) ;d. (X − 2) (2X − 1) (X + 1) (X − 3) (3X − 1) . 2. a. (X + 1) (X − 5) ; b. (X + 1)
(X2 − 5X + 8
);
c. (X − 1) (X + 1)(X2 +X + 2
); d. (X − 2) (2X − 1) (X − 5) (5X − 1). 3. a. (2X + 1) (2X − 3) ;
b. (X + 2)(X2 + 3X − 1
); c. (2X − 1) (3X − 2)
(X2 + 3X − 1
); d. (X − 2)
(X2 −X + 1
)2.
T23 1. a. Pp ca f e red.,grad (f) = 3⇒ f are radacini ın Q (F ). b. Pp. ca (f, g) 6= 1⇒ ∃d ∈ Q [X]astfel ıncat (f, g) = d⇒ d |f , d |g , dar f este ireductibil ⇒ d = f ⇒ f |g (F ).
2. a. f(
0), f(
1), f(
2)6= 0⇒ f este ireductibil. b. g = X4 +X3 +X2 +X + 1. 4. a. grad (f) =
2⇒ f are radacini ın Q⇒ ∆ este patrat perfect de unde avem a ∈ {±4,±5}; b. a ∈ {−4,−3, 0, 2}.
30 INDICATII SI SOLUTII
ANALIZA MATEMATICA
Primitive I
T1 1. a. 2x5
x2+1+ 4x3 ln
(x2 + 1
); b. 2
√x2 + 1; c. cos (lnx). 2. a. a = 1, b = 0; b. a = 1, b = 2.
T2 a. x3−x2+2x+C; b. x6
6+ 5x
ln 5+C; c.x−3 arctg x
3+C; d. 2x
√x+3x 3
√x+C; e. ln
(x+√x2 − 4
)+
C; f. 49x2 4√x + C; g. ln (sinx) − ln (cosx) + C; h. 4
3x3 + 2x2 + x + C; i. 1
2x2 + 6x + 9 lnx + C;
j. 12x2 − 2 arcsinx+ C; k. 6
13x2 6√x+ 9
5x
3√x2 + 18
7x 6√x+ 3
2
3√x2 + C; l. 1
3arctg 3x+ C.
T3 1. F (x) = −c tg x− tg x+ c⇒ c = 3 2.F (x) = 12
ln(x+
√x2 + 1
4
)+ c, A (0, 1) ∈ GF ⇔
F (0) = 1⇒ c = 1 + 12
ln 2 3.F ′ (x) = f (x) = ex2
> 0, ∀x ∈ R⇒ F e s.c. F ′′ (x) = 2xex2
⇒ x0 = 0
e pct. de inflexiune. limx→∞
F (x)x
=∞⇒ limx→∞
F (x) =∞⇒ nu exista asimptote. 4.F ′ (x) = f (x) =
ex(x−1)x
⇒ x0 = 1 e pct. de extrem. F ′′ (x) =ex(x2−x+1)
x> 0, ∀x > 0⇒ functia F este convexa.
T4 a. 14x2 (2 lnx− 1) + C; b. 1
25x5 (5 lnx− 1) + C; c. 2
√x (lnx− 2) + C;
d. 14x2(2 ln2 x− 2 lnx+ 1
)+C; e. 1
27x3(9 ln2 x− 6 ln +2
)+C; f.x
(ln3 x− 3 ln2 x+ 6 lnx− 6
)+C;
g. ex (2x− 1) + C; h. ex(x2 − 2x+ 3
)+ C; i. sinx− x cosx+ C; j. (x+ 2) sinx+ cosx+ C;
k.x tg x+ ln (cosx) + C; l. ln (sinx)− (x+ 2) ctg x+ C.
T5 a. 14
(x4 − 1
)arctg x− x
12
(x2 − 3
)+ C; b. 1
2
(x2 arctg x+ x− arctg x
)+ C;
c. 13x3 arctg x− x2
6+ 1
6ln(x2 + 1
)+ C; d.x arccosx−
√1− x2 + C;
e. 14e2x (2x− 1) + C; f. 3e
x3(x2 − 6x+ 19
)+ C; g. 4 4
√ex(x3 − 12x2 + 97x− 388
)+ C; h. x
2sin 2x+
14
cos 2x − 12x2 cos 2x + C; i. 18x sin x
3− 3
(x2 − 18
)cos x
3+ C; j. 1
4(x+ 2) sin 4x + 1
16cos 4x + C;
k.−e−x(x3 + 3x2 + 6x+ 6
)+ C; l.
(x2 + x
)ln (3x)− x2
2− x+ C.
T6 a. 12
(x− sinx cosx) + C; b. 13
sinx(cos2 x+ 2
)+ C; c. 3x
8+ 1
8sinx cos3 x− 1
8sin3 x cosx−
12
sinx cosx + C; d. x2− 1
6sin 3x cos 3x + C; e. 1
2ex (sinx− cosx) + C; f. 1
5e2x (sinx+ 2 cosx) +
C; g. 110ex (sin 3x− 3 cos 3x) + C; h. 1
25e3x (3 sin 4x− 4 cos 4x) + C; i.− 2
5e−x
(2 sin x
2+ cos x
2
)+ C;
j. 13
(tg x
cos2 x+ 2 tg x
)+ C; k.− 1
5ctg xsin4 x
− 415
ctg xsin2 x
− 815
ctg x+ C; l. 12x (sin (lnx) + cos (lnx)) + C.
T7 a. 12x√x2 + 9 + 9
2ln(x+√x2 + 9
)+ C; b. 1
2x√x2 − 16− 8 ln
(−x−
√x2 − 16
)+ C;
c. 12x√
2− x2 + arcsin x√2
+ C; d. 13
(x2 + 5
)3/2+ C; e. 1
3
(x2 − 1
)3/2+ C; f.− 1
3
(4− x2
)3/2+ C;
g. 14x3√x2 + 3+ 3
8x√x2 + 3− 1
2ln(x+√x2 + 1
)+C; h. 1
4x3√x2 − 5− 5
8x√x2 − 5−25 ln
(x+√x2 − 5
)+
C; i. 14x3√
9− x2 − 98x√
9− x2 + 818
arcsin x3
+ C; j. 12x√x2 + 4− 2 ln
(x+√x2 + 4
)+ C;
k. 12x√x2 − 5+ 7
2ln(x+√x2 − 5
)+C; l. 1
2x2 ln
(x+√x2 + 1
)− 1
4x√x2 + 1− 1
4ln(x+√x2 + 1
)+C.
T8 a.x ln(x2 + 4
)−2x+4 arctg x
2b.x ln
(x2 − 9
)−2x+3 ln
(x+3x−3
)c. 1
2x2 arcsin 2x− 1
8
√1− 4x2+
116
arcsin 2x d.x ln x+2x−2
+2 ln(4− x2
)e. 2√x+ 1 arccosx−4
√1− x f.x−
√1− x2 arcsinx g. 1
2arctg2 x
h. 12
arctg2 x+ x arctg x− 12
ln(x2 + 1
)i. 1
4
√1− x2 + 1
4
(2x2 − 1
)arcsinx.
T9 a. In = 12xne2x − n
2In−1; b. In = 1
2x2 ln2 x − n
2In−1; c. In = − cos 2x sinn−1 2x
2n+ n−1
nIn−2;
d. In = sin 3x cosn−1 3x3n
+ n−1nIn; e. In =
xn−1(x2+1)√x2+1
n+2− n−1
n+2In−2;
f. In =xn−1√x2−4
n+ 4(n−1)
nIn−2.
T10 1. a.∫f (x) dx =
{x2 + 2x, x < 0
sinx+ x, x > 0+C; b.
∫f (x) dx =
ex (x− 1) + e, x < 0
x arctg x− 1
2ln(x2 + 1
), x > 0
+
C; c.∫f (x) dx =
x
2− sinπx cosπx
2π, x < 1
x (lnx− 1) +3
2, x > 1
+ C. 2. a. a = 1,∫f (x) dx =
−e−x + 1, x 6 0
x+2
3x√x, x > 0
+ C;
b. a = 0,∫f (x) dx =
1
2ex (sinx− cosx) , x 6 0
x3
2+x2
2− 1
2, x > 0
+C. c. a = sin 2,∫f (x) dx =
x(ln2 x− 2 lnx+ 2 + sin 2
), x < 1
1
4sin 2x− x
2cos 2x, x > 1
+
INDICATII SI SOLUTII 31
C .T11 1. a.F ′ (x) = f (x) , ∀x > 0. b.G′ (x) > 0,∀x > 0⇒ G este cresc. c. 0. 2. a. x
3
3+ x2
2− 2x+ C.
b. ex (x− 1)3+C. c.(x4
4− 3x2
2+ 2x
)lnx− x4
16+ 3x2
4−2x+C. 3. a.f1 (x) = x2+1
2arctg x− x
2, f2 (x) =
x3
3arctg x− x2
6+ 1
6ln(x2 + 1
).
Primitive II
T1 a. ln(x2 + x+ 2
)+C; b. 1
4ln(x4 + 6
)+C; c. 1
6arctg x2
3+C; d. 1
3ln(x3 + 3x2 − 3x− 1
)+C;
e. 12
ln(x2 +
√x4 + 3
)+C; f. ln
(lnx+
√ln2 x− 4
)+C; g. ln3 x− ln2 x+lnx+C; h. 1
2arctg ex
2+C;
i. arcsin ln x3
+ C; j. ex + 12
ln ex−1ex+1
+ C; k. eex
+ C; l.− 13
(1− e2x
)3/2+ C;.
T2 a. 12
arctg(sin x2
)+C; b. 1
4ln 2+cos x
2−cos x+C; c. 1
3tg3 x−tg2 x+tg x+C; d.− 1
2ctg2 x−4 ctg x+
C; e. 12
arcsin2 x + C; f.− 1√2
arctg arccos x√2
+ C; g. 13
arctg3 x + 3 arctg x + C; h.− 12
arcctg2 x + C;
i. ln(
sin2 x+√
sin4 x+ 2)
+ C; j. 14
ln 2+cos2 x2−cos2 x
+ C; k. esin2 x + C; l. 2 arcsinx
√x+ C.
T3 a. 14
(x2√x2 + 1 + ln
(x2 +
√x4 + 1
))+ C; b.− 2
5e2√x (cos
√x− 2 sin
√x) + C;
c.− 12ecos x (cos (cosx) + sin (sinx)) + C; d. 2e
√x (√x− 1) + C; e. ex arctg x − 1
2ln(e2x + 1
)+ C;
f. sin2 x ln (sinx) − 12
sin2 x + C; g.− cos x3
5
(sin2 x3 − 2
)+ C; h. lnx arcsin (lnx) +
√1− ln2 x + C;
i. 12
sin2 x√
4− sin4 x+ 2 arcsin sin2 x2
+ C.
T4 a. − 1x−2
+ C; b. arctg (x− 3) + C; c. 12
ln(2x− 1 +
√4x2 − 4x+ 3
)+ C;
d. ln(x− 3
2+√x2 − 3x+ 2
)+ C; e. arcsin x−2
2+ C; f. 3x−1
6
√9x2 − 6x+ 5 + 2
3arcsin 3x−1
2+ C;
g. 12
[(x+ 1)
√x2 + 2x− ln
(x+ 1 +
√x2 + 2x
)]+ C; h. 1
2
[(x− 1)
√x2 + 2x+ arcsin (x− 1)
]+ C;
i. 18
[(2x3 + 6x2 + 11x+ 7
)√x2 + 2x+ 2 + 3 ln
(x+ 1 +
√x2 + 2x+ 2
)]+C; j. lnx−ln
(1− x+
√4x2 − 2x+ 1
)+
C;; k. ln(1 + x
2+√x2 + x+ 1
)− lnx+ C;; l. lnx− 1
3ln(1− 2x3 +
√5x6 − 4x3 + 1
)+ C.
T5 a. 2√x − 2 ln (
√x+ 1) + C; b. 2
√x + 3 3
√x + 6 6
√x + 6 ln ( 6
√x− 1) + C; c. 2 sin
√x −
2√x cos
√x+C; d. 2e
√x (√x− 1)+C; e. 3e
3√x(
3√x2 − 2 3
√x+ 2
)+C; f.x−ln (ex + 1)+C; g. ln
√ex+1−1√ex+1+1
+
C; h.√
22
ln√x+2−
√2√
x+2+√2
+ C; i. 23
√(x+ 1)3 − 2
√x+ 1 + C;.
T6 a. 14
ln (4x+ 3)+C; b.− 13
ln (3x− 5)+C; c. ln 2x−42x−1+C; d. 1
2ln(x2 − 6x+ 10
)+4 arctg (x− 3)+
C; e. 2 ln(x2 − 3x+ 4
)+ 22√
7arctg 2x−3√
7+C; f.− 1
2(x2+1)+C; g. x
4(x2+2)+√2
8arctg x√
2+C; h.− x
8(x2−4)−
132
ln x−2x+2
+ C; i.− 12
(x+3
x2+x+2+ arctg (x+ 1)
)+ C.
T7 a. 22x−1
− 1x+2
; b. 3x+3
+ 3x−3
; c. 1x−2− 2
2x−1; d. 1
x− 5
x−1+ 6
x−2; e. 1
4x+ 3
2x2− 1
4(x+2)
f. 13(x+1)
− x−14
3(x2−x+1); g. 4
x+1− 4x+1− 5x+2
+ 5x−2
; h. 23(x−2)
+ 23(x+2)
− x
3(x2+2); i. 1
x−1− 1x+1− 2x2+1
.
T8 a. x+ 12(x−1)
+ 12(x+1)
; b. 1+ 3x−1
+ 3(x−1)2
; c.x+ 2x− 3xx2+1
; d.x3−x2−14x−6+ 43(x−1)
+38
3(x+2); e.x+ 1
3(x+1)− x+1
3(x2−x+1); f. 1 + 1
3(x+1)− 1
3(x−1)+ 5
3(x−2)− 5
3(x−2); g.x− 2x
x2+1+ x
(x2+1)2;
h. 1 + 1x−2− 2
x2+2x+4; i. 1 + 1
4(x−1)− 1
4(x+1)− 1
2(x2+1).
T9 a.− 32
ln (x− 1)− 12
ln (x+ 1)+C; b. 92
ln (x− 4)− 52
ln (x− 2)+C; c. ln (x+ 1)−ln(x2 − x+ 1
)+
7√
3 arctg 2x−1√3
+C; d. 5 ln (x− 1)+5 ln (x+ 1)−8 lnx+C; e. ln(x2 + 4
)+2 arctg x
2+C; f. 3 ln
(x2 − 9
)−
ln(x2 − 1
)+ C; g. 4 arctg x −
√2 arctg x√
2+ C; h. 1
x2+4+ ln
(x2 + 4
)+ C; i.− 4x+2
x2−1+ ln (x+ 1) −
ln (x− 1) + C.
T10 a.x − 12
ln(x2 + 1
)+ lnx + C; b.x − 3 arctg x
2+√2
2arctg x√
2+ C; c. x
2
2+ 4 ln x2+x+1
x2−x+1+
√3 arctg 2x+1√
3+√
5 arctg 2x−1√5
+ C; d. x2
2− 4x + 8 ln (x+ 1) − lnx + C; e. x
9+ 41
27ln (3x− 1) −
3 lnx+ 4027
ln (3x+ 1) + C; f. x2
2+ 3 ln
(x2 − 9
)− ln
(x2 − 1
)+ C; g. x
3
3+ x2
2+ 4x+ 4 ln x2−2x
x+2+ C;
h. x2
2− 2x+ 1
x+1+ 3 ln (x+ 1) + C; i.x− 6
x+ 13 ln x−3
x−2+ 5 lnx+ C.
32 INDICATII SI SOLUTII
T11 a. cos7 x7− cos5 x
5+ C; b. sin9 x
9− 2 sin7 x
7+ sin5 x
5+ C; c. 1
3 cos3 x+ 1
cos x+ C; d.− 1
sin x−
13 sin3 x
+ C; e. 14
ln 1−cos2 x1+cos2 x
+ C; f.− 42+cos x
− 2 ln (2 + cosx) + C; g. x3
3+ x2
2+ 4x+ 4 ln x2−2x
x+2+ C;
h.x− 2√3
arctgtg x
2√3
+ C; i. 14
ln 1+sin x1−sin x
− 12 sin x
+ C.
T12 a. 2x−√
2 arctg tg x√2
b. ln(tg2 x+ 4
)c.√
2 arctg(√
2 tg x)−2x d. 2√
3arctg
2 tg x2+1
√3
e. lntg x
22−tg x
2
f. 1√2
arctgtg x
2√2
g.− ln (3 sinx+ 2 cosx) h. 14
tg2 x2
+ 12
ln(tg x
2
)i.
tg x2
2(1+tg x2 )2
+ 14
ln1+tg x
21−tg x
2.
Integrala definita
T1 a. 9; b. − 110
; c. π4
(5 +√
3)
; d. 745
.
T2 a. 14; b. 16
15; c. 7
2+ln 2; d. 21
ln 4; e. 4; f. 8√
3; g. 1
4ln 9
2; h. π
8; i. 1
2ln 2+
√5
4; j. π
3; k. 0; l. 6− 3π
2.
T3 1. a. 52; b. 44
3; c. 14; d. 1; e. cos 1− 3; f. 1. 2. a. lim
x↗1f (x) = −∞⇒ f nu e marginita ⇒ f
nu e integrabila; b. limx↘0
f (x) = +∞⇒ f nu e marginita ⇒ f nu e integrabila;
c. f (x) = x−12−x , ∀x ∈ (1, 2) ⇒ lim
x↗2f (x) = +∞ ⇒ f nu e marginita ⇒ f nu e integrabila;
d. limx↘0
f (x) = +∞⇒ f nu e marginita ⇒ f nu e integrabila.
T4 a. e−22
; b. 2(e2 − 1
); c.−π
2; d. 2− 5
e; e. 2 ln 2−1; f. 1
4(π − 2 ln 2) ; g. 1
2
(√2 + ln
(1 +√
3))
;
h. 1192
(4π − 3
√3)
; i. 15
(2 + e sin 2− 2e cos 2) ; j. 12
(1 + e−π
); k. 4
3; l. 1
2(e sin 1 + e cos 1− 1).
T5 a. 14; b. e
√3 − 1; c. 1
6− 1
16ln 3; d. 5
12; e.− 1
4ln 11
5; f. 0; g. arctg e − π
4; h.−2 sin 1;
i. ln 4+√17
3+√10
; j. 23
(2√
2− 1); k. 2 + π
2+ ln 25
4− 2 arctg 2; l. 1√
2
(arctg
√2− arctg 1√
2
).
T6 a. 0; b.−1; c. 1− eπ; d. 0; e. 23− 28
9ln 2; f. 0; g. 1
3; h. sin 1; i. π
2.
T7 a. 12
ln 3227
; b. π8− ln 2
4; c.−π
8− ln 5
6; d.π
√3+ln 2; e.−π
√3−5 ln 8; f. 1
24+ π
36√3; g. 10 ln 2−
6 + 2π√3; h. 80
9√3; i. 2π
3− ln
(2−√
3).
T9 1. a. 0; b. 0; c. 0; d. 1; e. 1; f. ln 23
.
T10 1. a.I1 = 1√2
(arctg 1√
2− arctg
√2)
+ 12
ln 2, I2 = 1 − ln 2 − 1√2
(arctg
√2− arctg 1√
2
);
b. limn→∞
In = 0; d. limn→∞
nIn = 16. 2. a. I1 = 1
3
(5√
5− 8), I2 = 3
√5
4− 2 ln 1+
√5
2. b. lim
n→∞In = 0;
c. limn→∞
nIn = 1√5. 3. a. I1 = 1, I2 = e− 2. b. lim
n→∞In = 0; c. lim
n→∞nIn = e.
T11 1. a.F ′ (x) = sin x1+x
. c. 12. 2. a.x0 = 0. c. 1
3. 3. a.π. b.Fn (−1) = Fn (1). c. 0.
Aplicatii ale integralei definite
T1 a.∫ 1
0sinxdx = 1 − cos 1; b.
∫ 1
01
2+xdx = ln 3
2; c.
∫ 1
01+2x1+x2
dx = π4
+ ln 2; d.∫ 1
0xex
2
dx = e−12
;
e.∫ 1
0x cosxdx = sin 1 + cos 1− 1; f.
∫ 1
01
1+√x+1
= 2√
2− 2 + 2 ln 2(√
2− 1); g.
∫ 1
0x arctg xdx = π−2
4;
h.∫ 1
01√3+x2
dx = ln 32
; i.∫ 1
0sin2 πxdx = 1
2.
T2 a. 56; b. 4
3; c. 3
2; d. e − 1; e. ln 3; f. π
3√3; g. 4 ln
√3+1√2
; h. e + 1e− 3; i. 13
12− 2 cos 1;
j. 1− π2
+ ln 2.
T3 8; b. 3; c. 2 (e− 1); d. 2e − 4 + 2e2
; e. 2 − π2
; f. π
6√3− 1
12; g. π
6; h. e − 5
2; i. π
2
2− 2;
j. π4− 1
3− π+ln(3−2
√2)
2√2
.
T4 1. 2 + π2
+ 2 ln 52− 2 arctg 2. 2. b. 2 ln 2.
3. a. y = x2. b. 1
3. 4.At = 9
2,A1 = (3−m)3
6⇒ m = 3−
3√32
.
T5 1. a. 43; b. 4
3; c. 625
162; d. 8
3; e. 1
2; f. 1
3; 2.A1 = π
4− 1
2,A2 = 3π
4+ 1
23.A1 = 16π+4
√3
3, A2 =
32π−4√3
3.
INDICATII SI SOLUTII 33
T6 a. 39π; b. 496π15
; c. π2
2; d. 3π2
4; e. 3π
5; f. 12π; g. π
2
(√2 + ln
(1 +√
2))
; h. π2
ln 2.