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REVISIN DE LOS PROCEDIMIENTOS DE ANLISIS DE LAESTACIONARIEDAD DE LAS SERIES TEMPORALES

Ramn MahaFebrero 1999.

NDICE DE CONTENIDO

- INTRODUCCIN .............................................................................................pg.1

1.- TENDENCIAS DETERMINISTAS Vs TENDENCIAS ESTOCSTICAS

1.A.- Tendencias deterministas......................................................................pg.11.B.- Tendencias estocsticas .......................................................................pg.4

2.- LAS REGRESIONES ESPURIAS...................................................................pg.8

3.- CONCEPTO DE INTEGRACIN...................................................................pg.10

4.- ALGUNOS PROCEDIMENTOS SIMPLES PARA LA DETECCINDE RACES UNITARIAS

4.A.- Anlisis del grfico temporal de la serie .............................................pg.144.B.- Anlisis del correlograma de una serie.................................................pg.154.C.- Utilizacin del test Durbin-Watson......................................................pg.19

5.- CONTRASTES DE NO ESTACIONARIEDAD

5.A.- El test simple Dickey-Fuller.................................................................pg.195.B.- Test DF y proceso generador de datos..................................................pg.215.C.- Contraste de races unitarias mltiples.................................................pg.225.D.- Contrastes conjuntos de parmetros en el modelo simple DF..............pg.24

6.- LIMITACIONES DEL TEST DF

6.A.- Test DF y eleccin de componentes deterministas del P.G.D.............pg.256.B.- Test DF en modelos autorregresivos de orden superior. (ADF)...........pg.286.C.- Aplicacin del test DF en presencia de autocorrelacin serial. Test Phillips-Perron....................................................................pg.306.D.- Test DF en modelos con componente de medias mviles....................pg.326.E.- La potencia del test DF.........................................................................pg.336.F.- El test DF en presencia de Cambio Estructural.....................................pg.35

7.- REVISIN DE LOS TEST DE RACES UNITARIAS ESTACIONALES

7.A.- Definicin de estacionalidad no estacionaria.......................................pg.397.B.- Deteccin de races unitarias estacionales............................................pg.42

8.- UN APUNTE SOBRE LOS CONTRASTES DEESTACIONARIEDAD ............................................................................................pg.44

9.- FORMAS ESPECIALES DE INTEGRACIN

9.A.- Integracin peridica............................................................................pg.459.B .- Integracin fraccional..........................................................................pg.46

10.- CONTRASTES DE RACES UNITARIAS EN E-VIEWS .........................pg.46

BIBLIOGRAFA ....................................................................................................pg.56

Procedimientos de anlisis de la estacionariedad de las series temporales pg.1

REVISIN DE LOS PROCEDIMIENTOS DE ANLISIS DE LAESTACIONARIEDAD DE LAS SERIES TEMPORALES

Este documento se enmarca dentro de los trabajos realizados para la elaboracin dela Tesis Doctoral en el rea del anlisis de cointegracin del mismo autor y dirigidapor D. Jos Vicns Otero. No obstante, el texto que aqu se presenta pretendetambin tener una vocacin didctica, para lo cual incluyen en l, apartados,desarrollos y ejemplos, en especial los contenidos en los puntos 1, 2, 3 y 10, que nose incluirn como aqu aparecen en el cuerpo final de la Tesis Doctoral.

INTRODUCCIN

El estudio de la estacionariedad de las series temporales resulta clave en la prcticamoderna de la econometra. La atencin a la estacionariedad de las series temporales se haconvertido en algo insalvable por varios motivos.

- En primer lugar, la deteccin de la no-estacionariedad resulta estadsticamente fundamental,ya que la misma afecta de forma decisiva al uso correcto de muchas de las distribuciones enlas etapas del contraste y validacin de los modelos economtricos; en ese sentido, no debeolvidarse que la mayor parte de la teora economtrica est construida asumiendo laestacionariedad de su materia prima.

- En segundo lugar, como resulta ampliamente conocido, se trata de evitar al mximo que lano estacionariedad de las variables gue los resultados de las estimaciones de las relacionesque las unen, provocando, como es sabido, la obtencin de regresiones espurias.

- Por otro lado, el anlisis de la estacionariedad es bsico como etapa previa en el anlisis decointegracin, una de las principales aportaciones a la tcnica economtrica de los ltimosaos.

- En cuarto lugar, el concepto de tendencia estocstica frente al tradicional de tendenciadeterminista interesa conceptualmente a la teora econmica y, en especial, en el contextodel anlisis temporal de los efectos de la poltica econmica sobre las variables macro.

El objetivo de este documento es triple: por un lado pretende es servir de gua para lacomprensin de los principales conceptos que rodean el tema del anlisis de la estacionariedad,en segundo lugar, intenta exponer organizadamente las principales aportaciones expuestas porlos autores fundamentales que han tratado el tema y, en tercer lugar, tal y como se ha dicho en elprrafo anterior, tiene intencin de servir de documento de trabajo introductorio al que serpublicado posteriormente en torno al tema de la cointegracin.

1.- TENDENCIAS DETERMINISTAS Vs TENDENCIAS ESTOCSTICAS

1.A.- Tendencias deterministas

Cuando analizamos la solucin general a una ecuacin en diferencias que representa una serietemporal, admitimos una descomposicin de la serie en componentes cclico, tendencial eirregular. La principal caracterstica que define al componente tendencial frente alirregular es la de presentar efectos permanentes sobre la serie temporal yt.


En un gran nmero de ocasiones, las series pueden no presentar componente tendencial alguno,como es el caso de un proceso autorregresivo puro AR(1) en el que los coeficientes cumplan lascondiciones de estacionariedad:

|1 | 1110


tt tty e+++=203.01.005.0

-50 ,00

0 ,00

50 ,00

100 ,00

150 ,00

200 ,00

250 ,00

300 ,00

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96

Este tipo de proceso, se clasifica dentro de aquellos que vienen definidos por lo que sedenomina una tendencia determinista.

Este patrn de evolucin parecera servir adecuadamente al anlisis de ciertas series econmicasdado que resulta extremadamente sencillo encontrar magnitudes que exhiban perfiles similares alos presentados en las ilustraciones anteriores. En los grficos que se muestran a continuacin,la productividad total y el deflactor del consumo privado muestran una inconfundible tendencialineal, de la misma forma, las exportaciones totales reales y el valor aadido real en serviciosaparecen con una ligera tendencia exponencial:

PRODUCTIVIDAD TOTAL

2 2 0

2 4 0

2 6 0

2 8 0

3 0 0

3 2 0

3 4 0

DEFLACTOR CONSUMO PRIVADO

2 5

4 5

6 5

8 5

1 0 5

1 2 5

1 4 5

EXPORTACIONES REALES TOTALES

1 7 0 0

2 7 0 0

3 7 0 0

4 7 0 0

5 7 0 0

6 7 0 0

7 7 0 0

VALOR AADIDO EN SERVICIOS

1 1 2 0 0

1 2 2 0 0

1 3 2 0 0

1 4 2 0 0

1 5 2 0 0

1 6 2 0 0

Fuente: Contabilidad Nacional de Espaa. (INE) y Encuesta de Poblacin Activa (INE)

2 Como podr intuirse, esta segunda serie representada en el grfico ha sido generada con unaperturbacin aleatoriaet con una varianza 10 veces superior a la de la primera figura (tendencia lineal).


Esta tendencia de tipo determinista puede combinarse con el proceso autorregresivo presentadoen la (Ec.1) al comienzo del apartado, para generar otra variedad de proceso con tendenciadeterminista que se denomina proceso estacionario sobre una tendencia. Su expresin sera lasiguiente:

ttt btyaay e+++= -110 (Ec. 3)

En este caso, el proceso es dominado por la componente tendencial3 (para un valor razonable dela varianza de et) por lo que distinguir grficamente su evolucin temporal de un modelotendencial determinista puro como el presentado en los grficos anteriores resulta casiimposible.

1.B.- Tendencias estocsticas

Si observamos algunas series en economa, podramos caer en la tentacin de calificarlas entreaquellas con tendencias deterministas como las observadas hasta aqu. Sin embargo, desde lateora econmica sera muy difcil justificar una tendencia determinista de este tipo encualquiera de las cuatro series representadas en el apartado anterior. An a pesar de existircomponentes tendenciales importantes desde el punto de vista terico, seguramente estosno seran de naturaleza determinista.

Es muy posible, por ejemplo, que la productividad tienda a crecer de forma natural en lamedida en que, con el paso del tiempo, se va produciendo la mejora tecnolgica de los procesosproductivos. Tambin es natural que el valor aadido nominal en servicios tienda a crecerincluso de forma ligeramente exponencial, reemplazando la renta del sector primario, a medidaque una economa va alcanzando ciertos niveles de desarrollo. Sin embargo, ambos procesostericos no se producirn, con total seguridad, de una manera invariable, constante, predecible,determinista, con el paso del tiempo.

Frente a la tendencia determinista surge por tanto la necesidad de definir un componentetendencial, con efectos permanentes en la evolucin de la serie analizada, pero de naturalezaestocstica.

Paseo aleatorio simple

El caso ms simple de modelo con tendencia estocstica viene determinado por lo que se conocecomo un paseo aleatorio simple:

ttttt y yy ee =D+= -1 (Ec. 4)

con et ruido blanco. La solucin a la (Ec.4), representativa de un paseo aleatorio es4:

3 Cuando se dice el proceso es dominado por la componente tendencial en realidad nos referimos a lavarianza de yt .

4 Si se requiere un mayor detalle en todo lo referente a la formulacin y solucin de ecuaciones endiferencias de este tipo, puede acudirse al documento Formulacin y solucin de ecuaciones lineales endiferencias con coeficientes constantes en el contexto del anlisis de series temporales, Documento deTrabajo del Instituto L.R. Klein. Junio 1998, del mismo autor de este documento.


=

+=t

iit yy

10 e (Ec. 5)

expresin que permite comprobar que estamos ante un proceso estacionario en mediapor definicin:

[ ] [ ] 001

0 yyEyEyEt

iit ==

+= =

e

Su varianza, sin embargo, no es constante dado que su expresin es:

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ] 22222131212221

2

1

2

100

2

.............. eseeeeeeeee

ee

tEE

EyyEyEyEyV

t

t

ii

t

iittt

=++=++++=

=

=

-+=-= ==

por lo que se ampla con el paso del tiempo tendiendo a infinito a medida que ttambin lo hace.

Lo ms interesante es que, de la (Ec. 5), ecuacin solucin para yt, puede observarseclaramente como cada uno de los shocks et (e0, e1, ... et-1, et) tiene sobre yt un efecto depermanente (tendencial) sobre yt pero siempre tratndose de un elemento de naturaleza aleatoria.

As, la denominada esperanza condicional para yt+s, es decir, el valor ms probable de yt+s dadaslas t realizaciones anteriores del proceso yt , es precisamente yt para todos los posibles valoresde t y s; esto confirma que cualquier shock de la secuencia contenida en:

=

t

it

1

e

tiene una presencia sobre yt+s de la misma intensidad que sobre yt; o sea, que estamosante un componente tendencial.

Existen, en la realidad, fenmenos que se comporten como paseos aleatorios?. Ntese que,grficamente, el paseo aleatorio flucta ampliamente sin presentar tendencia a crecer o adecrecer. Raramente alcanza un valor anterior y ninguna fuerza tiende a devolverlo a su nivel deequilibrio, cualquiera que sea el mismo. Es posible encontrar series en economa de esanaturaleza?.

Slo como un juego estadstico, en los dos pares de grficos que se muestran a continuacin, secomparan paseos aleatorios generados para 100 observaciones (a la izquierda en ambos paresde grficos) con series reales de la economa espaola representadas desde 1970 a 1997 (a laderecha en ambos pares de grficos). En el primer par, la serie real se corresponde al tipo decambio peseta dlar y en el segundo al tipo de cambio peseta libra esterlina.


Paseo aleatorio I Tipo de cambio Pta/Dlar

-5

0

5

10

15

20

25

30

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 8140

60

80

100

120

140

160

180

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Paseo aleatorio II Tipo de cambio Pta/Libra Esterlina

0

10

20

30

40

50

60

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96120

140

160

180

200

220

240

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Paseo aleatorio con deriva (tendencia determinista ms tendencia estocstica)

El paseo aleatorio con deriva incorpora una constante a0 a la expresin del paseo simple de la(Ec.4) :

ttttt ay yay ee +=D++= - 010 (Ec. 6)

La expresin deriva se aplica con mucho criterio ya que el proceso as definido experimentaruna variacin constante definida por el trmino a0 dado que la solucin genrica a esta (Ec.6)responde a la expresin:

=

++=t

iit tayy

100 e (Ec. 7)

Despus de t perodos, el valor de yt se ve influido por todos los shocks pasados y presentes a

travs del trmino de tendencia estocstica =

t

it

1

e y , al mismo tiempo, de forma invariable,

tambin permanente pero perfectamente conocida, por el trmino determinista a0t .


A diferencia del proceso aleatorio simple, la deriva incluida en este otro modelo supone que elproceso no slo no ser estacionario en varianza sino tampoco en media5.

Como puede observarse fcilmente comparando un paseo aleatorio simple de otro con deriva, elpatrn grfico de evolucin de este tipo de procesos vendr dominado por la componentetendencial determinista del mismo.

PASEO ALEATORIO CON DERIVA (D. Tpica de eet 0.4)

ttt yy e++= -15.0

0

10

20

30

40

50

60

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96

No obstante para muestras pequeas y una varianza de et suficientemente elevada su aspectopuede bien confundirse con un paseo aleatorio sin deriva. En el grfico que se muestra acontinuacin se representa el mismo paseo aleatorio con deriva del grfico anterior solo que, eneste caso, la varianza de et se ha multiplicado por 100:

PASEO ALEATORIO CON DERIVA (D. Tpica de eet 4)ttt yy e++= -15.0

-10

0

10

20

30

40

50

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96

5 La demostracin para la media es inmediata:

[ ] [ ] taytayEtayEyEt

iit 0000

100 +=+=

++= =

e

lo mismo que para la varianza:

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ] 22222131212221

2

1

2

01

0002

............. eseeeeeeeee

ee

tEE

EtaytayEyEyEyV

t

t

ii

t

iittt

=++=++++=

=

=

--++=-= ==


En cualquier caso, si es evidente que el paseo aleatorio con deriva resulta grficamente muysimilar al presentado al principio de este documento, (Ec.2), como tendencial determinista(puro). Esto explica que, frecuentemente, se califiquen como deterministas series que,probablemente, presenten un componente tendencial estocstico. Solamente para muestrasgrandes un proceso podr ser distinguido del otro en la medida en que, aunque el paseo aleatoriocon deriva presentar una marcada evolucin tendencial, tender a fluctuar de forma algo msvisible sobre la lnea tendencial de lo que lo hara un modelo determinista puro.

2.- LAS REGRESIONES ESPURIAS

El problema de la aparicin de regresiones espurias en los resultados de un buen nmero deanlisis econmicos es siempre atribuida, no sin razn, a Granger y Newbold (1974). Sinembargo, a finales de la dcada de los aos 20, Yule (1926) ya haba arrojado su particularprimera piedra en el Journal of the Royal Statistical Society con un artculo con el inquietante,pero muy descriptivo ttulo: Why do we sometimes get nonsense correlations between timeseries?. Efectivamente, el problema de las regresiones espurias es que tienden a admitirsecomo buenas, relaciones econmicas que, en realidad, slo se deben a aspectos casuales.

Por regresin espuria entendemos tcnicamente aquellas ecuaciones de regresin que presentanuna elevada significatividad conjunta, medida en trminos del coeficiente de determinacin R2 oR2 corregida y, sin embargo, fuertes problemas de autocorrelacin positiva reflejados en bajosvalores del estadstico Durbin Watson. La presencia de un trmino de error fuertementeautocorrelacionado impide efectuar un proceso de inferencia con mnimas garantas. Laprobabilidad de un error en el clculo y en la aplicacin de los test de significatividad individualconvencionales es muy importante, sin contar los insalvables problemas de no eficiencia en laestimacin propios de una situacin de matriz de varianzas y covarianzas no escalar para laperturbacin aleatoria. (Granger y Newbold (1974 y 1977), Plosser y Schwert (1978)).6

Si tomamos, por ejemplo, las series del tipo de cambio de la peseta frente al marco y al francofrancs entre 1970 y 1998, a la vista de sus grficos es obvio que una regresin entre una y otrafuncionar correctamente en trminos de R2 aunque quiz tras esa relacin no se esconda ningncontenido econmico de inters.

Tipo de cambio Peseta Marco AlemnTipo de cambio Peseta Franco Francs

18

28

38

48

58

68

78

88

12

14

16

18

20

22

24

Efectivamente, los resultados as lo confirman: la R2 se acerca al 95%, la variable explicativa semuestra ampliamente significativa atendiendo al contraste de la t de Student, pero el valor del

6 Si bien Granger y Newbold (1974) no explicitaron estadsticamente las razones que explicaban el fallode los procedimiento habituales, esto puede encontrarse con detalle en Phillips (1986).


contraste DW no supera el valor 0.6, muy alejado del valor de referencia de ausencia deautocorrelacin7.

Este tipo de regresiones aparecen cuando se relacionan series temporales no estacionarias y seagudizan tanto ms cuanto estas estn ms cercanas a la forma de un paseo aleatorio, es decir,cuanto ms evidente sea la presencia de tendencias estocsticas en las series. La forma ms clarade ilustrar el problema es utilizar los resultados del ejemplo expuesto por Newbold y Davies(1978) y Granger y Newbold (1986) y reutilizado despus en numerosos textos como Charemzay Deadman (1992). Supongamos dos variables yt y xt independientemente generadas por paseosaleatorios:

ttt

ttt

xx

yy

21

11

ee

+=+=

-

- (Ec. 8)

donde e1t y e2t son variables aleatorias normales estndar independientes entre s conmedia cero y varianza unitaria. Dado que yt y xt estn generadas de forma independientedeberamos esperar que no existiera ninguna relacin significativa entre ambas. Sin embargo,sobre un conjunto de 1000 muestras de yt y xt con 50 observaciones, alrededor de un 65% de lasregresiones de yt sobre xt presentan contrastes t significativos a un nivel de significatividaddel 5%8. Tal y como expone Enders (1995) basta con reparar en las propiedades de laperturbacin aleatoria de la regresin de yt sobre xt para apreciar lo absurdo de estos resultados.Efectivamente, en la regresin:

ttt exaay ++= 10 (Ec. 9)

es claro que, prescindiendo de la constante a0:

ttt xaye 1-=

por lo que imponiendo las restricciones iniciales y0=x0=0 tenemos que:

7 El valor de referencia suele ser DW=2 siempre y cuando se asuma la existencia de autocorrelacin enla perturbacin aleatoria siguiendo un proceso autorregresivo de primer orden.

8 Estos datos se refieren a la prueba efectuada por Charemza y Deadman (1992). En el experimentooriginal de Granger y Newbold (1974) el porcentaje de regresiones con parmetro significativo al 5%fue del 75%.


==

-=t

ii

t

iit ae

02

011 ee (Ec. 10)

Por tanto, es obvio que estamos ante una secuencia et no estacionaria en varianza. Si esto es as,et presenta una tendencia estocstica, lo que quiere decir que el error cometido en t no sediluye en t+1, t+2... t+s ;es imposible que una regresin en la que los errores se acumulan deforma permanente pueda tener algn inters.

Ntese que en esta situacin se violan un buen nmero de hiptesis bsicas asumidas en losprocesos de inferencia habituales en el contexto del Modelo Bsico de Regresin Lineal:

- La varianza de et ya hemos dicho que no es constante. En la expresin (Ec.10) anteriorpuede comprobarse con sencillez como se incrementa hacia el infinito a medida que t crece.

- No existe incorrelacin serial. La misma expresin para et puede utilizarse para comprobarcomo la correlacin entre et y et+1 tiende a uno a medida que t se incrementa.

- Si la serie xt no es estacionaria, no satisfar la propiedad:

ctenxplimn

ii =

=1

2

que es uno de los supuestos que justifican los procedimientos de inferencia habitualesbasados en el estimador MCO.

Dada semejante acumulacin de errores de base, ningn test de significatividad puede ser usadocon garantas y por ello, ninguna inferencia ser fiable.

Las regresiones espurias, no obstante, no slo se producen por la aparicin de tendenciasestocsticas en las series: las tendencias deterministas tambin pueden ser un problema. Sihacemos depender una serie yt lineal (1,2,3,4..... 50) de otra xt con tendencia cuadrtica(1,4,.......502) el resultado en trminos de R2 es de 0,94 cuando en realidad queda claro que elpatrn de evolucin de la serie cuadrtica acabar por divergir de forma definitiva cuando elnmero de datos tienda a infinito.

Desde el primer momento, y an de forma intuitiva, se aconsej la utilizacin de tasas oprimeras diferencias en las series de cara a mitigar los efectos negativos en este tipo desituaciones. Es indudable, efectivamente, que este fenmeno sucede con mayor facilidad cuandoutilizamos series en niveles, dado que los cambios sobre el nivel se producen de forma muchoms suave generando series con patrones tendenciales ampliamente comunes y fcilmentepredecibles. El problema, no obstante, no reside en una cuestin de niveles o tasas, sino en elconcepto, algo ms complejo de estacionariedad.

3.- CONCEPTO DE INTEGRACIN

Si tomamos un paseo aleatorio y lo expresamos en primeras diferencias comprobamos que,adems de seguir siendo estacionario en media, se convierte tambin en un proceso estacionarioen varianza:


[ ] [ ] ( ) [ ][ ]

[ ] 222

1

1100

1

1100

2111

eseeeee ==

--+-

--+

=---=-=D

-

==

-

==

---

t

t

ii

t

ii

t

ii

t

ii

ttttttt

EyyEyyE

yyEyyEyyVyV

En el caso de un paseo aleatorio con tendencia determinista aadida (con deriva) ladiferenciacin permite tambin convertir la serie en estacionaria tanto en media como envarianza:

[ ] [ ] ( ) [ ] 001

100

1001 1 aaEtaytayEyyEyE t

t

ii

t

iittt =+=

+---++=-=D -

==- eee

y:

[ ] ( ) [ ][ ] ( )

[ ] [ ] 22200

2

0

1

10

1000

211 1

esee

ee

==-+=

=

-

----++=---=D -

==--

tt

t

ii

t

iittttt

EaaE

ataytayEyyEyyEyV

Podramos as mismo comprobar sin demasiada complicacin como las covarianzas paraobservaciones del proceso separadas un determinado retardo j slo dependen del valor de eseretardo, es decir, podramos comprobar que ambos procesos diferenciados cumple lo que sedenomina estacionariedad en sentido dbil.

La idea de que la diferenciacin corrige los problemas derivados de la presencia de tendenciasestocsticas puede generalizarse matemticamente del siguiente modo:

Supongamos el caso general de un modelo ARIMA del tipo:

tt LByLA e)()( = (Ec. 11)

en el que suponemos la presencia de una raz unitaria en el polinomio de retardos A(L),mientras que mantenemos las condiciones de estacionariedad para el proceso definido sobre etmediante el polinomio L(B), o sea, suponemos que todas sus races caen fuera del crculounitario.

Si el polinomio A(L) tiene efectivamente una raz caracterstica podemos factorizarlo yexpresarlo de la forma:

)()1()( ' LALLA -= (Ec. 12)

donde ahora A(L) ser un polinomio de orden inferior en una unidad al original A(L),es decir, p-1. La principal caracterstica de este nuevo polinomio es que ya no contiene unaraz unitaria y que por tanto todas sus races caen fuera del crculo unitario. Por tanto, laecuacin (Ec.12) original del modelo ARIMA quedara ahora:

tt LByLAL e)()(')1( =-

o lo que es igual:


tt LByLLA e)()1)((' =-

o sea:

tt LByLA e)()(' =D

Por tanto, la diferencia de un proceso con una raz unitaria es ahora estacionaria y lo mismoocurre cuando estamos ante dos races unitarias si tomamos diferencias dos veces o ante draces unitarias si efectuamos d diferencias.

Por ejemplo, tomemos el siguiente proceso:

2121 25.05.05.05.1 ---- -+-= ttttt yyy ee (Ec. 13)

ste puede expresarse como:

2121 25.05.05.05.1 ---- -=+- ttttt yyy ee (Ec. 14)

multiplicando la expresin a izquierda y derecha por 2 para simplificar su aparienciatenemos:

2121 5.032 ---- -=+- ttttt yyy ee (Ec. 15)

y utilizando en (Ec. 15) los polinomios de retardos habituales queda:

)5.0()32( )()( 22 LLLLyLBLAy tttt -=+-= ee (Ec. 16)

Es claro que el polinomio de retardos de la parte autorregresiva contiene una raz unitaria por loque (Ec. 16) puede escribirse como:

)5.0()2)(1( )()()1( 2' LLLLyLBLALy tttt -=--=- ee

de donde tenemos finalmente:

)5.0()2( )()( 2' LLLyLBLAy tttt -=-D=D ee

Tal y como sealan Charemza y Deadman (1992) es interesante observar que no es necesarioque yt siga un paseo aleatorio puro. Si en un proceso del tipo:

ttt yy e+= -1

la perturbacin aleatoria no fuera ruido blanco sino que siguiera un procesoautorregresivo de la forma:

ttt xree += -1

la primera diferencia de yt dara una serie estacionaria siempre y cuando r fuera menorque la unidad en valor absoluto.

Llegados a este punto podemos definir perfectamente el concepto de serie integrada de ordend. Se dice que una serie yt no estacionaria es integrada de orden d y se representa


como yt~I(d) cuando puede ser transformada en una serie estacionaria diferencindolad veces. Siguiendo la definicin dada por Engle y Granger (1987)9, una serie seraintegrada de orden d si admite una representacin ARMA estacionaria e invertibledespus de ser diferenciada d veces.

Un ruido blanco, por ejemplo, o una serie AR(1) con coeficiente menor que la unidad son seriesI(0). Una serie que siga un paseo aleatorio es, sin embargo, una serie I(1). Granger (1986) yEngle y Granger (1987) caracterizaron las series I(0) frente a las I(1) de la siguiente forma:

Series I(0) Series I(1)Presentan varianza finita e independiente

del tiempoSu varianza depende del tiempo y tiende a infinito

a medida que el tiempo tiende a infinito

Tienen memoria limitada Cualquier innovacin afecta permanentementea sus procesosTienden a fluctuar alrededor de la media (que puede

incluir una tendencia determinista) Oscilan ampliamente

Presentan autocorrelaciones que tienden a disminuirrpidamente a medida que el retardo se incrementa

Su autocorrelacin tiende a uno (en valorabsoluto) para cualquier orden del retardo

Sin embargo, la diferenciacin de una serie para convertirla en estacionaria slo esadecuado cuando nos encontramos ante tendencias estocsticas, nunca cuando estamosante tendencias deterministas; en ese caso, el procedimiento habitual es de aplicar sobre laserie original un filtro sencillo: se estima la regresin de la serie no estacionaria yt sobre untrmino de tendencia determinista obtenindose una estimacin de la serie original yt :

tyt 10 bb += (Ec. 17)

es suficiente entonces con trabajar con la serie transformada:

)( 10* tyyyy tttt bb +-=-=

Debe tenerse especial cuidado para no confundir la tendencia determinista y estocstica, ya queentonces tanto uno como otro mtodo resultaran incorrectos de aplicar. Por ejemplo, si estamosante un proceso del tipo:

tt LBtyLA eaa )()( 10 ++=

en el que tenemos tendencia determinista pero no estocstica, si tomamos una primeradiferencia la anterior expresin quedara:

tt LBLyLA ea )()1()( 1 -+=D

o sea, habramos eliminado la tendencia temporal pero habramos introducido una razunitaria en el proceso MA, que ahora sera no invertible. Debe notarse que este problematambin se plantear, por las mismas razones, en el caso en el que sobrediferenciemos una seriems all de su orden de integracin.

9 Basada, a su vez, en el conocido teorema de descomposicin de Wold (1938).


Tambin al contrario, cometemos un error an si cabe ms importante si intentamos transformarun modelo con tendencia estocstica aplicando el filtro representado en (Ec.17) para laeliminacin de la tendencia determinista 10 :

- En primer lugar el estadstico t de significacin individual tiende a infinito para lavariable de tendencia determinista introducida en el filtro y es inconsistente, por loque resulta fcil rechazar errneamente la hiptesis de nulidad del parmetro detendencia.

- En segundo lugar la R2 converge a una distribucin no degenerada, es decir, amedida que el tamao de la muestra se incrementa no convergen hacia un escalar,sino hacia una variable aleatoria

Un efecto adicional comentado por Durlauf y Phillips (1988) es que, en estos casos, elestadstico DW de la errnea regresin de la serie sobre una tendencia temporal tiende aacercarse a cero. Este sntoma puede utilizarse como medida de alerta cuando nos encontremosen una situacin similar.

En cualquier caso, parece claro que la trascendencia de un posible error en los resultados delmodelo exige establecer un modus operandi con ms garantas. El chequeo de la presencia deraces unitarias parece pues insalvable, para lo cual deben conocerse extensamente loscontrastes ms habituales que permitan detectarlas.

4.- ALGUNOS PROCEDIMENTOS SIMPLES PARA LA DETECCIN DERACES UNITARIAS

4.A.- Anlisis del grfico temporal de la serie

Apoyndonos en las caractersticas comunes de la series integradas frente a las no integradas,resumidas en la tabla expuesta en el apartado anterior, podramos utilizar la representacingrfica de una serie para el anlisis de su estacionariedad. Efectivamente, uno de los mtodosque suelen proponerse como suficientes para la deteccin de la no estacionariedad de una seriees, errneamente, el del anlisis de representaciones grficas de la misma. As, se dice que lasimple contemplacin del grfico de evolucin temporal de la serie permite decidir si la serie eso no estacionaria en virtud, por ejemplo, de la pendiente que presente. Por otro lado, suelenaconsejarse medidas como el grfico rango - media para detectar la no estacionariedad envarianza; ambos procedimientos slo son parcialmente tiles. Efectivamente ya hemos vistoanteriormente cmo pueden confundirse con facilidad representaciones grficas de procesos contendencias estocsticas con procesos con tendencias deterministas.

Por otro lado, incluso con procedimientos tcnicamente elaborados, resulta an ms complejodiferenciar, por ejemplo, un proceso con una raz unitaria de otro con un una raz autorregresivaelevada. En el grfico siguiente, por ejemplo, se han representado dos procesos, unoestacionario y otro con una raz unitaria. En ambos casos se ha utilizado la misma secuencia deperturbaciones aleatorias mientras que los coeficientes utilizados en cada caso han sido:

- Modelo estacionario:

ttttt yyyy e+--= --- 321 28.01.03.1

10 Una descripcin formalizada de los efectos puede encontrarse en Durlauf y Phillips (1988).


- Modelo I(1):

ttttt yyyy e+--= --- 321 25.01.035.1

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97

Raiz Unitaria Estacionario

No obstante, a pesar de que el anlisis grfico no puede considerase una herramienta suficientepara el anlisis de la estacionariedad de una serie, si ha de servir como etapa previa a laaplicacin de contrastes ms avanzados. Efectivamente, observar la evolucin grfica de la seriepuede permitir localizar cambios de estructura, comportamientos estacionales o medias ytendencias de tipo determinista, lo que permitir aplicar con mayor porcentaje de xito, los testclsicos de races unitarias.

4.B.- Anlisis del correlograma de una serie

Un procedimiento sencillo que no requiere la aplicacin de ningn contraste para determinar lapresencia de races unitarias en las series, es el de observar el correlograma de la misma, esdecir, la representacin grfica de su funcin de autocorrelacin total (FAT). Distintos trabajos,pero en especial los presentados por Hoskin (1989), Diebold y Rudebusch y Lo (1991), se hancentrado en analizar las variaciones de la autocorrelacin en funcin del orden de integracind de una serie.

En general, la regla a aplicar ser sencilla: los valores de la FAT de una serie con racesunitarias descienden muy suavemente hacia el cero mientras que cuando no hay presenciade races unitarias el descenso es exponencial. Las imgenes que se muestran a continuacincorresponden a series reales de tipo de cambio.

La diferencia en el patrn de evolucin del correlograma es evidente si bien, como se comentarms adelante, la imprecisin del mtodo no nos permitira afirmar con rotundidad que en el casodel ECU estemos ante un proceso integrado de orden uno.


T. Cambio Pta/Lira 70-98 T. Cambio Pta/Ecu 70-98

La razn de este comportamiento de la FAT en uno y otro caso es clara. Mientras que la serieintegrada es una serie de memoria ilimitada (precisamente por presentar un componentetendencial), la serie no integrada guarda slo memoria de los shocks ms recientes. De estaforma, si la serie no estacionaria guarda memoria de los shocks pasados y recientes, la relacinentre dos valores separados por un lapso de tiempo j presentarn necesariamente algn tipo derelacin, o sea, los coeficientes de correlacin yt,yt-j tendern a mantenerse elevados.Efectivamente, la expresin genrica de la solucin de una ecuacin en diferencias de primerorden puede expresarse como:

-

=-+=

1

0101

t

iit

itt ayay e (Ec. 18)

tomando, por tanto, para el caso de un raz unitaria, la forma:

-

=-+=

1

00

t

iitt yy e (Ec. 19)

A partir de las expresiones (Ec. 18 y 19) puede calcularse el coeficiente de autocorrelacin yt,yt-jpara cada caso. Cuando no existe raz unitaria, el trmino a1 (menor que la unidad) fuerza a loscoeficientes de autocorrelacin a descender rpidamente hacia el cero en una progresingeomtrica de razn a1; recordemos que, efectivamente, la expresin de la serie de coeficientesde autocorrelacin es:

ss aaaa 1

313

21211 ...;,.........;; ==== rrrr (Ec. 20)

En el segundo caso (Ec. 19), sin embargo, es un trmino lineal (t-s) (y por tanto ms lento) elque define la progresin hacia el cero de los coeficientes de autocorrelacin. La expresin de loscoeficientes de correlacin es ahora:

5.0

-=

tst

sr (Ec. 21)


Si representamos las expresiones (Ec. 20 y 21) para los primeros 24 valores de s, podemosapreciar claramente como el ritmo de descenso de los coeficientes de autocorrelacin en el casode procesos AR(1), con distintos valores para a1, es directo y rpido, mientras que el caso delpaseo aleatorio el descenso es muy tenue, sobre todo para las primeras observaciones11.

Coeficientes de autocorrelacin para unAR(1) y un Paseo Aleatorio

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

AR(1) (0,5) AR(1) (0,7) AR(1) (0,8) Paseo Aleatorio

Debe recordarse en este punto que la simple observacin del grfico de la funcin deautocorrelacin puede completarse con el clculo de algunos conocidos contrastes Q como lospropuestos por Box y Pierce (1970) o Ljung y Box (1978).

- Q de Box-Pierce: =

=p

jjBP TQ

1

2r

- Q de Ljung-Box: = -

+=p

j

jLB jT

TTQ1

2

)()2(

r

Recordemos que, en ambos casos, la hiptesis a contrastar es que los p primeros coeficientesde correlacin calculados rj son iguales a cero. El escalar T ser igual al numero total decoeficientes de correlacin representados en el correlograma. Estos contrastes se distribuyencomo una c con (T-k) grados de libertad. Dado que lo habitual es aplicarlos sobre los residuosde un modelo ARIMA previamente estimado para saber si estamos ante un ruido blanco o no, elparmetro k toma el valor de los coeficientes estimados de ese modelo ARIMA. Si, como esnuestro caso, estamos observando los test directamente sobre una serie, no sobre los residuos deun modelo, los grados de libertad de la c sern entonces p. Si el estadstico supera el valor detablas rechazaremos la hiptesis nula de que los p primeros coeficientes sonsignificativamente nulos.

El problema principal de la utilizacin de este mtodo es, obviamente, que el comportamientode la funcin de autocorrelacin cuando existe una raz unitaria es extremadamente similar aldel caso en el que la raz tome un valor muy cercano a la unidad. En la imagen inferior semuestran 4 correlogramas correspondientes a distintos valores del coeficiente a1 del procesoterico: 11 Para la representacin de los coeficientes de autocorrelacin del paseo aleatorio se ha supuesto que sedispona de 30 observaciones (t=30).


ttt yay e++= -115.0

donde la secuencia et ha sido generada idntica para todos los casos:

a1=1

-1 0 1

a1=0,99

-1 0 1

a1=0,98

-1 0 1

a1=0,97

-1 0 1

a1=0,96

-1 0 1

a1=0,95

-1 0 1

Puede comprobarse como el primero de los casos (paseo aleatorio) puede confundirse conel resto aun cuando el valor de a1 est relativamente alejado de la unidad (0.95). En elgrfico inferior puede observarse la similitud entre el valor del coeficiente de autocorrelacin deun AR(1) y el de un paseo aleatorio para valores muy cercanos a la unidad e incluso, cmo elritmo de decrecimiento es ms lento para un r=0.98 cuando, como en este caso, el nmero deobservaciones es relativamente pequeo (30) :

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

AR(1) (0,96) AR(1) (0,97) AR(1) (0,98) Paseo Aleatorio

Por otro lado, el concepto de integracin fraccional que se revisar al final de este documentopermite pensar en series estacionarias que sin embargo presenten evoluciones explosivas de lavarianza de la serie en el lmite y , por tanto, muestren funciones de autocorrelacinparticularmente similares a las de las series integradas.

En cualquier caso, queda claro que este mtodo no nos servirn, al menos de forma precisa, paradistinguir un verdadero proceso integrado I(1) de otro que presente una raz elevada.


4.C.- Utilizacin del test Durbin-Watson

El estadstico Durbin Watson (1950), tradicionalmente utilizado para detectar la presencia deautocorrelacin de primer orden en los residuos de un modelo estimado por MCO, puedeutilizarse segn la propuesta de Sargan y Bhargava (1983) para detectar la presencia de una razunitaria en una serie temporal yt.

La expresin del contraste en el contexto del anlisis de autocorrelacin en los residuos e deun modelo es:

=

=--

=n

tt

n

ttt

e

eeDW

1

2

2

21)(

(Ec. 22)

donde et representa los residuos obtenidos en la estimacin del modelo a chequear. Asumiendoque el residuo, de estar autocorrelacionado, seguira un modelo simple AR(1), el valor delestadstico fluctuar entre 0 y 4. El lmite inferior (0) correspondera a una situacin deautocorrelacin perfecta positiva, el lmite superior (4), a una situacin de autocorrelacinperfecta negativa y el valor medio (2), mostrara ausencia de autocorrelacin. Estasconclusiones se derivan fcilmente de la relacin aproximada que existe entre el valor delestadstico DW y una estimacin insesgada del parmetro a1 del modelo AR(1) supuesto en losresiduos:

( )r)-@ 12DW

De cara a utilizar este contraste para la deteccin de races unitarias, la idea es aplicar laexpresin del test (Ec.22) sobre los residuos del siguiente modelo:

toty eb += (Ec. 23)

si los residuos de este modelo estn correlacionados de forma perfecta siguiendo un paseoaleatorio, es decir, presentan una raz unitaria, tambin podremos decir que yt es integrada deorden 1 ya que podramos expresar el estadstico DW como:

( )

( )

=

=-

=

=-

-

-=

-=

n

ttt

n

ttt

n

tt

n

ttt

yy

yy

e

eeDW

1

2

2

21

1

2

2

21)(

Si esto es as, el estadstico DW tomar el valor 0. Por tanto, la hiptesis a contrastar es si elestadstico DW toma un valor significativamente distinto de cero.

5.- CONTRASTES DE NO ESTACIONARIEDAD

5.A. - El test simple Dickey-Fuller

Sin duda alguna, el test ms habitual a la hora de determinar la estacionariedad de una serietemporal, consiste en la aplicacin del conocido como test de DickeyFuller (Test DF) oDickey-Fuller Ampliado (Test ADF). ste es un contraste de No estacionariedad ya que la


hiptesis nula es precisamente la presencia de una raz unitaria en el proceso generador de datosde la serie analizada.

Vamos a suponer inicialmente, como modelo de partida para el anlisis de una determinadaserie yt, el de un proceso estacionario autorregresivo de orden uno:

yay ttt e+= -11 (Ec. 24)

frente a este modelo se plantea, como hiptesis nula H0, el modelo alternativo de unpaseo aleatorio no estacionario del tipo:

yy ttt e+= -1

se trata por tanto de contrastar si el coeficiente a1 es igual a la unidad o distinto de ella.

Sin embargo, para contrastar la nulidad del coeficiente a1, no podemos utilizar el contrastet habitual sobre una estimacin por MCO del primer modelo. La razn es que la hiptesisnula que habitualmente se contrasta y, a partir de la cual se deriva la expresin y propiedadesdel test t, es la de nulidad del parmetro (a1=0) de la (Ec.24), sin embargo, en nuestro caso,necesitaramos contrastar H0: a1=1. Si la hiptesis nula fuera cierta, la varianza de yt no seraestacionaria sino que crecera con los valores de t segn la expresin de la varianza de unpaseo aleatorio con deriva:

2)( estyVar t =

En estas condiciones la estimacin del parmetro a1 sera una estimacin consistente perosesgada a la baja con relacin al verdadero valor del parmetro y el uso de la distribucin testndar sera incorrecto. Efectivamente, en el modelo simple AR(1):

ttt yay e+= -11

la estimacin de a1 ser siempre consistente sin embargo, su distribucin variar segnlos valores que tome la estimacin. Si |a1|1, tambin puede caracterizarsela distribucin del estimador del parmetro y de su razn t si bien la convergencia en el lmiteno se produce hacia una normal12. El problema surge precisamente cuando |a1|=1, ya que en estecaso, la distribucin del parmetro (y por tanto de su ratio t) no puede caracterizarseadecuadamente.13

Por tanto, utilizando las palabras de Novales (1993), la distribucin de probabilidad asintticadel estimador de MCO del modelo AR(1) presenta una discontinuidad cuando a1=1 y, comosustituto, debern utilizarse las distribuciones derivadas de forma emprica mediante unprocedimiento de Montecarlo realizado por Dickey (1976). En este experimento se generaron unelevado nmero de series ruido banco et para construir el mismo nmero de paseos aleatorioscon deriva. La estimacin de los parmetros de inters en cada uno de esos modeloscontrolados arroj las siguientes conclusiones:

12 La distribucin lmite sera ahora una distribucin de Cauchy13 La distribucin del estimador es entonces funcin de procesos Brownianos. Segn Fuller (1976) setiene que N(a1-1) converge en distribucin a un cociente de integrales de Wiener.


- El 90% de los valores estimados del parmetro a1 estaban menos alejados de 2.58errores estndar del verdadero valor (la unidad).



Tras este experimento de Dickey, fue Fuller (1976) quien obtuvo la distribucin lmiteapropiada y public, tabulados, toda una batera de valores crticos, dado que el valor empricodel contraste vara en funcin del tamao muestral. Estas tablas de referencia, permitenprescindir de la distribucin t estndar a la hora de contrastar, finalmente, si el parmetro a1 esigual, o no, a la unidad. Ms recientemente, MacKinnon (1991) realiz un nmero mayor desimulaciones que las tabuladas por Dickey y Fuller. Adems, MacKinnon estim la superficiede respuesta usando los resultados de la simulacin, lo que permite calcular los valores crticosdel test DF para cualquier tamao muestral y cualquier nmero de variables en el lado derechode la ecuacin.

En la prctica, por cuestiones de sencillez operativa, el modelo utilizado para el contraste DF noes el expuesto al comienzo del epgrafe sino otro, equivalente al anterior, que se obtienerestando a uno y otro lado el trmino yt-1:

ttt

ttt

ttttt

yay

yaay

yyaayy

ege

e

++=D+-+=D

+-+=-

-

-

---

10

110

11101

)1( (Ec. 25)

por tanto, la hiptesis nula inicial para la (Ec. 24), se transforma ahora en H0: g=0 frentea H1: g1


anteriormente contendr una constante (a0), un trmino tendencial determinista (a2t) o ambascosas simultneamente15. Los tres modelos propuestos por Dickey-Fuller son por tanto:

- Modelo 1 (simple): ttt yy eg +=D -1- Modelo 2 (con constante): ttt yay eg ++=D -10- Modelo 3 (con constante y tendencia determinista): ttt tayay eg +++=D - 210

Una vez decidido el modelo, el estadstico de referencia para el contraste ser diferente,notndose generalmente por las letras t para el caso ms simple, tm para el caso del modelo conconstante y tt para el caso del modelo con tendencia determinista. Consultar correctamente elestadstico de referencia es fundamental dado que las diferencias entre los distintos valores de t,tm y tt son importantes. Por ejemplo, para un nivel de significacin del 95% y 100observaciones los valores crticos seran 1.95 para t, -2.89 para tm y 3.45 para tt.

Tal y como describen de forma muy clara Suriach et al. (1995), los modelos 2 y 3 presentadospor Dickey y Fuller son en realidad formas reducidas de determinados modelos estructurales.As, el modelo nmero 2, que contrasta la hiptesis nula de paseo aleatorio con deriva frente auna alternativa de esquema AR(1) estacionario sin tendencia, es la forma reducida del modelo:

ttt

tt

uau

uy

ed

+=+=

-11

0

en el que a0=d0(1-a1). Bajo la hiptesis nula (a1=1) el trmino constante sera nulo luegosu presencia por tanto en el modelo a estimar es irrelevante y slo se justificara para garantizarque, en el caso de que fuera cierta la hiptesis alternativa, el proceso autorregresivo tenga mediano nula. El modelo 3, que contrasta la hiptesis nula de un paseo aleatorio con deriva frente a laalternativa de un proceso AR(1) estacionario sobre una tendencia determinista, sera la formareducida del modelo:

ttt

tt

uau

uty

edd

+=++=

-11

10

con a0=d0(1-a1)+ d1a1 y a2=d0(1-a1). Bajo la hiptesis de raz unitaria (a1=1) tendramosque a0=d1 y a2=0 luego, como en el caso anterior, la presencia en este caso del parmetro a2 esirrelevante en el caso de raz unitaria y su presencia intenta slo garantizar la consistencia delcontraste en una situacin de hiptesis alternativa (proceso estacionario sobre tendenciadeterminista).

5.C.- Contraste de races unitarias mltiples

Debe ahora ponerse de manifiesto una caracterstica del contraste DF muy bsica que quizresulte inadvertida: el contraste DF no puede dar resultados conclusivos en una sola etapa.Efectivamente, si aplicamos el test DF sobre una serie yt y el resultado es que debemos aceptarla hiptesis nula (no estacionariedad, presencia de una raz unitaria), la conclusin deber serque, o bien yt~I(1) o bien no es integrada de ningn orden, es decir, que no puede transformarse

15 En realidad, ante la presencia de un trmino tendencial, la aparicin de una constante resulta yairrelevante dado que el cambio en la distribucin del estadstico de referencia t ya no se ver influidopor el valor del coeficiente constante sino slo por el valor del parmetro tendencial.


en estacionaria por diferenciacin. Para decidirnos entre una u otra alternativa Charemza yDeadman (1992) sugieren aplicar nuevamente el test DF ahora sobre la serie en diferencias Dyt:

ttt yy eg +D=DD -1 (Ec. 26)

contrastando ahora si el parmetro g es nulo o menor que cero. Si yt fuese exactamenteintegrada de orden 1, tal y como pareca apuntar el resultado del test DF aplicado sobre yt,entonces Dyt deber ser I(0), es decir g


tttt yyay ebb ++D+=D -- 221102 (Ec. 28)

Dado que ya sabemos que no hay dos races unitarias algunos de los dos coeficientes, o ambos,no sern nulos (sencillamente esto sera incongruente con el resultado obtenido en la etapaanterior).

La hiptesis nula en este caso ser la de que yt tenga una raz unitaria, o sea, que Dyt seaestacionaria. Para eso ser necesario que en la expresin (Ec. 28) b2=0 y b1


A modo de resumen incluiremos aqu la tabla con la notacin y los valores crticos16 para cadauno de los contrastes DF aplicables a cada una de las variables incluidas en los modeloscomentados hasta ahora:

Resumen de los test DF

Valores crticosModelo Hiptesis nula Estadstico 95 % 99 %

g=0 tt -3.45 -4.04a0=0 dado g=0 tat 3.11 3.78a2=0 dado g=0 tbt 2.79 3.53g=a2=0 f3 6.49 8.73

ttt tayay eg +++=D - 210

a0=g=a2=0 f2 4.88 6.50g=0 tm -2.89 -3.51a0=0 dado g=0 tam 2.54 3.22

ttt yay eg ++=D -10

a0=g=0 f1 4.71 6.70

ttt yy eg +=D -1 g=0 t -1.95 -2.60

6.- LIMITACIONES DEL TEST DF

6.A.- El test DF y la eleccin de los componentes deterministas del P.G.D

El primer problema que plantea la aplicacin del test DF es que la estructura terica delproceso generador de datos asumida para la serie yt influye decisivamente en losresultados obtenidos. As, no es invariante a los resultados del contraste, suponer para yt unmodelo con o sin trmino independiente, con o sin tendencia determinista, con componenteautorregresivo de orden uno u orden superior a uno o con o sin componente de medias mviles.El problema es que, en la mayor parte de las ocasiones, ese modelo se desconoce a priori.En algunos de los apartados de este texto se tratarn de forma especial los casos en los que sesupone una estructura autorregresiva o de medias mviles ya que, en estas situaciones, seproducen transformaciones especialmente relevantes del test simple DF. En este apartado vamosa tratar exclusivamente el tema de la eleccin de los regresores deterministas (trminoindependiente y tendencia) a incluir en el modelo para el contraste de races unitarias.

Ya hemos visto como, desde el primer momento, se ha diferenciado claramente el caso de unmodelo simple del caso de un modelo con constante y/o tendencia determinista, dado que loscontrastes de referencia son en uno y otro caso diferentes (t, tm, tt). Incluso hemos visto que unamisma hiptesis nula puede contrastarse utilizando los contrastes individuales ti o los conjuntosfi, dependiendo del proceso generador de datos supuesto y de los coeficientes a incluir en elcontraste en cada caso. Las diferencias entre los estadsticos de referencia t y f para una mismahiptesis nula en las tablas de Dickey-Fuller de 1976 para t y 1981 para f son importantes, porlo que parece fundamental cuidar la eleccin del modelo y la hiptesis a contrastar en cada caso,siendo en muchas ocasiones esta etapa, decisiva de cara a la correcta aplicacin del contraste17.Qu puede ocurrir entonces si equivocamos el modelo de referencia? 16 Los valores crticos corresponden a una muestra de 100 observaciones.

17 Suriach, Artis, Lpez y Sanso (1995) sealan que, adems, el hecho de existir varios modelos bsicosde referencia provoca confusin sobre el significado de los parmetros. Efectivamente, en el caso de queel parmetro de la tendencia determinista a2 sea nulo en el modelo ms completo de todos, el trmino


- Si tomamos como modelo de partida un modelo con tendencia determinista ytrmino constante, podemos estar sobreparametrizando la estimacin lo que suponeuna inmediata prdida de grados de libertad. Pero adems, y esto es lo importante,los valores crticos de referencia para aceptar o rechazar la hiptesis nula dependencrucialmente del modelo estimado por lo que, parece algo arriesgado tomarconclusiones de aceptacin o rechazo de la hiptesis en cada momento con unmodelo que, quiz, no sea realmente vlido. Concretamente, para un determinadonivel de significacin, los intervalos de confianza alrededor del valor g=0 seamplan de forma importante si se aade una deriva o una tendencia deterministaprovocando, en caso de no ser realmente necesarios, frecuentes errores en elrechazo de la hiptesis nula de raz unitaria. Dicho de otro modo, la potencia delcontraste decrece tanto ms cuanto mayor sea el nmero de parmetrosaadidos incorrectamente; esto significa que se tiende a concluir la existencia deuna raz unitaria cuando, en realidad, no la hay.

- Podra pensarse que una posible alternativa a este esquema podra ser el comenzarpor el modelo ms restringido, es decir, ms simple, e ir aadiendo nuevosparmetros de forma secuencial. Sin embargo, este proceder tampoco soluciona elproblema de potencia del contraste dado que la omisin del trminoindependiente o la tendencia determinista, cuando estas son variablesrelevantes tambin provoca de nuevo una estimable prdida de potencia hastael punto de poder incluso anularse por completo. Campbell y Perron (1990)comprobaron empricamente que la omisin de una variable relevante que crezcatan rpido o ms que otra de las incluidas (trmino tendencial determinista, porejemplo), provoca que la potencia del contraste se reduzca hasta cero a medida queel tamao muestral se incrementa. Si la variable omitida fuese la deriva, elestadstico t sera consistente pero, para muestras pequeas, la potencia se veraseriamente afectada, tanto ms cuanto mayor fuera el coeficiente de deriva omitido.

Este problema expuesto hasta aqu, admite adems ciertos matices adicionales. En primer lugar,cuando el proceso generador de datos contiene una tendencia o una deriva, la varianza muestralde yt queda dominada por ellas. As, se ha comprobado empricamente que, en esos casos, losestadsticos tm y tt convergen a una distribucin normal estndar por lo que, si se conoce lapresencia real de esa tendencia o deriva, la hiptesis nula gg=0 debe contrastarse usandouna distribucin normal estandarizada en lugar de las distribuciones asintticas tabuladaspor Dickey y Fuller. Sin embargo, Hylleberg y Mizn (1989) mostraron que los valoresnormales estndar llevan frecuentemente al rechazo de la hiptesis nula, incluso con muestrasgrandes, a menos que la constante sea muy grande. Estos autores propusieron nuevos valorescrticos situados entre los clsicos tabulados por DF y los de la distribucin normal; a medida eltamao de la constante se reduce, estos valores se aproximan ms a los valores DF. Por estarazn, en estas situaciones y para muestras pequeas, se recomienda como criterio generalutilizar las tablas propuestas por Dickey y Fuller y no las normales estandarizadas .

En la prctica, el problema de la eleccin de los regresores deterministas a incluir en el contrasteno tiene una solucin sencilla. El principio general puede ser el de elegir aquellaespecificacin que, a priori, sea ms verosmil tanto bajo la hiptesis nula como bajo laalternativa18. As, puede realizarse un anlisis previo de la serie que ayude a determinar si cabela consideracin de una tendencia (determinista o estocstica), y en ese caso incluir una independiente a0 determina la media de la variable bajo la hiptesis alternativa y la pendiente de lamisma bajo la hiptesis nula.

18 Hamilton (1994)


constante y una tendencia en la regresin. Si la serie no presenta tendencia pero tiene media nonula, incluiramos entonces la deriva en el modelo y, por ltimo, si presenta media nula yausencia de tendencia aplicaramos el contraste con el modelo ms restringido.

Dolado et al. (1990) y Perron (1990) propusieron, entre otros autores, seguir un proceso enetapas a fin de garantizar el xito en la eleccin del modelo de referencia en el mayor nmero deocasiones:

- En primer lugar se estimara el modelo menos restringido (con trmino constante ytendencia determinista).

- Dado que el principal error de esta tctica inicial consistira en la escasa potenciadel contraste para el rechazo de la hiptesis nula por inclusin de variablesirrelevantes, si los valores crticos indican rechazo (ausencia de raz unitaria),terminaramos el procedimiento.

- En el caso de no rechazarse la hiptesis nula de presencia de una raz unitaria, esdecir, en el caso en que admitamos la presencia de una raz unitaria (H0: g=0)pasaramos ahora a examinar la significatividad del parmetro tendencialdeterminista a2. Dado que, en este punto, estaramos bajo la hiptesis ya admitida deque g=0, utilizaramos el valor de referencia de tbt e incluso, para mayor seguridad,tambin el contraste conjunto f3 (a2=g=0).

- Si el trmino tendencial resulta significativo (a20) contrastaremos de nuevo lapresencia de una raz unitaria (H0: g=0) pero utilizando entonces las tablas de unanormal estandarizada. Sea cual sea el resultado del test con las nuevas tablasfinalizaramos aqu el contraste admitiendo o rechazando la presencia de una razunitaria.

- Si el trmino tendencial es no significativo, deber replantearse el modeloinicialmente estimado pasndose a examinar otro con trmino constante pero sinesta tendencia determinista. Con este modelo se vuelve a analizar la presencia deuna raz unitaria (g=0).

- En el caso en que, nuevamente, se sostenga la presencia de una raz unitaria, secontrastar entonces la adecuacin del trmino independiente a0 bien con elcontraste tam, bien con f1. Si el trmino independiente resulta significativo usamosde nuevo las tablas de una normal para contrastar la presencia de la raz unitaria,concluyendo de nuevo aqu el contraste.

- Slo si entonces la constante a0 es no significativa se utiliza el modelo ms simplecomo modelo de referencia contrastndose, de nuevo, la presencia de raz unitaria.En este caso, no tiene cabida el uso de la distribucin normal estandarizada.

Por ltimo, parece sensato incluir aqu como consejo la atencin a la teora del fenmeno que seest analizando. As, en ciertas ocasiones la teora econmica nos mostrar que no cabeconsiderar una tendencia en una determinada serie o bien, por el contrario, que no cabe lafluctuacin alrededor de un valor medio.


6.B.- Test DF en modelos autorregresivos de orden superior. Contraste ADF

Est claro que lo expuesto hasta este momento permite contrastar la presencia de una o msraces unitarias en una determinada serie temporal para la que se supone un proceso AR(1). Sinembargo, muchas serie temporales se ajustan ms adecuadamente a procesos autorregresivos deorden superior AR(2) o AR(3). No parece, por tanto, muy correcto, contrastar la presencia deuna o ms races unitarias utilizando siempre la estructura de un modelo AR(1) ya que las racesunitarias pueden aparecer tambin en estructuras ms complejas. Este problema da lugar a loque se conoce como test de races unitarias de Dickey-Fuller Ampliado (DFA): si se quierecontrastar la presencia de una raz unitaria en una serie que sigue un proceso AR(p), deberaplicarse el procedimiento expuesto para el caso simple AR(1), pero suponiendo ahora delmodelo:

=

+-- +D++=Dp

itititt yyay

2110 ebg (Ec. 30)

donde:

--=

=

p

iia

1

1g (Ec. 31)

y:

=

=p

jji a

1

b (Ec. 32)

Para entender este modelo y la hiptesis que se contrasta de cara a detectar la presencia de unaraz unitaria, veamos un caso sencillo de una serie que presente una raz unitaria en el marco deun modelo AR(3). Dado el modelo original:

ttttt yayayaay e++++= --- 3322110

sumamos y restamos a3yt-2 quedando:

( ) ( ) tttttt yyayaayaay e+--+++= ---- 323232110

o sea:( ) ttttt yayaayaay e+D-+++= --- 23232110 (Ec. 33)

repetimos ahora la misma operacin sobre la (Ec. 33) pero con (a2+a3)yt-1 quedandoahora:

( ) ( )( ) tttttt yayyaayaaaay e+D--+-+++= ---- 33213213210

o sea:( ) ( ) ttttt yayaayaaaay e+D-D+-+++= --- 2313213210

utilizando la expresin presentada para bi en la (Ec. 32) tenemos:


( ) ttttt yyyaaaay ebb +D-D-+++= --- 231213210

si ahora, como en el caso simple para el contraste DF, restamos en ambos miembros yt-1tenemos:

( ) ttttt yyyaaaay ebb +D-D--+++=D --- 231213210 1

utilizando la expresin presentada de g recogida en la (Ec.31) queda por fin:

ttttt yyyay ebbg +D-D-+=D --- 231210 (Ec. 34)

Si la serie presenta una raz unitaria, como hemos supuesto, en este modelo bastar con que g=0ya que entonces:

=

=p

iia

1

1

lo que garantiza que, al menos, una raz caracterstica de la ecuacin sea igual a uno, esdecir, yt ~I(1). La nulidad del parmetro se contrasta siguiendo el mismo procedimiento que enel modelo simple y, por tanto, se utilizan las mismas tablas que en el caso del contraste DF. Eneste sentido, es importante sealar que el propio Fuller demostr que la distribucin asintticadel estadstico t del parmetro gg estimado, es independiente del nmero de retardos dela variable diferenciada que incluyamos en la especificacin del modelo estimado.

Debe observarse cmo la aplicacin del test ADF no slo es conceptualmente til para elcontexto en el que sospechemos un modelo AR(p), sino que, adems, se nos presenta como unaposible correccin a los problemas de autocorrelacin que pudieran aparecer en el trmino deerror del modelo bsico utilizado en el test simple DF, sobre todo en series de frecuenciasuperior a la anual. Efectivamente, debe tenerse en cuenta que los valores de referencia del testDF se han obtenido suponiendo la ausencia de autocorrelacin serial en et, en este sentido, laintroduccin de un nmero suficiente de retardos de la variable dependiente podra sersuficiente como para transformar et en un ruido blanco. La eleccin del nmero de retardos aconsiderar viene determinada por:

1.- El modelo terico de referencia supuesto para yt, en la medida en que este seaconocido por el investigador.

2.- Criterios clsicos de aceptacin de variables en un modelo como el test t- Studentde significatividad individual, Akaike 19 o Schwarz20

19 El Criterio de Informacin de Akaike (Akaike Information Criterion o simplemente AIC) responde a laexpresin:

+=

nee

nkAIC'

log2

siendo n igual al nmero de observaciones, k igual al nmero de parmetros estimados y e iguala la serie de residuos obtenidos con la estimacin. Slo interesa introducir una variable adicional x(k+1)en un modelo con k variables explicativas si AICk+1


Esta forma de correccin de posibles problemas de autocorrelacin en et es lo que se denominaSolucin Paramtrica al problema de la autocorrelacin y fue sugerida por los propios autoresdel contraste, Dickey y Fuller (1981); de hecho, debe sealarse que numerosos textos introducenconceptualmente el test ADF al comentar el problema de una posible autocorrelacin en losresiduos del modelo simple DF. En el siguiente apartado vamos a insistir en este tema de laautocorrelacin residual introduciendo una alternativa al test ADF ampliamente utilizada.

6.C.- Aplicacin del test DF en presencia de autocorrelacin serial. ContrastePhillips-Perron.

Como ya se ha sealado, una de las limitaciones del test DF es que se asume que los errores delmodelo a estimar para el contraste son independientes y tienen varianza constante. Comosealan Phillips (1987) y Phillips y Perron (1988), la distribucin asinttica de la razn t delparmetro g en los modelos del test DF depende de la ratio:

2

2

ss e (Ec. 35)

en donde s2e y s2 responden a las expresiones:

( )

=

=

n

En

ii

n lim 1

2

2

es e y

=

=

n

En

ii

lim

2

1

n

2

es

Cuando no existe autocorrelacin serial, al ser E[eiej]=0 para todo ij en la expresin (Ec.35) des2, la ratio mencionada es igual a la unidad ya que entonces s2e = s2. Slo bajo este supuesto secalcularon los valores tabulados por Fuller (1976), por lo que su utilizacin no es correcta si nose cumple este requisito.

Como primera medida de precaucin conviene, una vez estimado el modelo de que se trate pararealizar el contraste DF o ADF, chequear los residuos del modelo descartandoheterocedasticidad y correlacin serial; los procedimientos tradicionales como los test yaconocidos de la Q-Box & Pierce y Q-Ljung & Box aplicados sobre la representacin de la FATpueden ser de utilidad en este sentido. Si las pruebas realizadas sealan la presencia deheterocedasticidad y/o autocorrelacin en la estimacin para la aplicacin del test DF, unaprimera posibilidad es la aplicacin del test ampliado ADF; elegir el orden correcto de retardoses, en este caso, el principal problema. Sin embargo, otra posibilidad es utilizar una correccinno paramtrica de la razn t obtenida en el contraste DF tal y como se expondr acontinuacin.

Frente a la alternativa paramtrica del test ADF, existe una propuesta de Phillips (1987) yPhillips y Perron (1988) que sugieren utilizar los residuos obtenidos en la estimacin delmodelo DF para transformar los estadsticos t asociados a los parmetros del mismo. Lacorreccin de las razones t incorrectamente calculadas, intenta hacerlas independientes de laratio mencionada en (Ec. 35). La transformacin se realizar con estimaciones propuestas paras2e y s2 por estos autores, estimaciones para las que se utilizarn los residuos previamenteobtenidos en la regresin del modelo DF analizado. Las estimaciones sugeridas son:


n

en

ii

== 12

2es (Ec. 36) y

( )n

eelr

n

en

ririi

l

r

n

ii

+=-

==+-

+= 1112

211

2s (Ec. 37)

La expresin (Ec. 36) no ofrece complejidad alguna mientras que la segunda se interpretatambin muy fcilmente. Se fija un determinado nivel mximo de retardo l que se quiere teneren cuenta, por ejemplo l=5 y se computa para cada uno de esos retardos considerados

r=1,2,3,4......l la correlacin muestral +=

-

n

ririi ee

1

con el nmero mximo de datos posibles. A

continuacin, cada una de esas correlaciones muestrales se pondera con el trmino (1-r/l+1)dando ms importancia a la correlacin para un retardo (r=1) que a la correlacin para retardosms elevados; hecho esto se obtiene la suma ponderada de todas ellas. Las varianzas calculadasen el primer sumando se completan as con el doble de la covarianza muestral calculadasiguiendo la expresin matemtica bsica:

[ ] ( ) ( ) ( )jijij EEEE eeeeee 2222 ++=+

Dado que la expresin para la estimacin de s2 depender del valor mximo l convienetestar la sensibilidad del clculo a los diferentes valores de ste o bien, seguir larecomendacin de Schwert (1987 y 1989) tomando l en funcin del nmero de datos segnlas expresiones:

10012

;1004 44 n

ln

l == (Ec. 38)

lo cual supone, por ejemplo, l=1 l=3 (segn la 1 2 expresin) para 100 datos, 2 6para 200 datos, 3 o 9 para 300 y as sucesivamente (un retardo ms por cada 100 datos extra).

Una vez computadas las estimaciones de s2e y s2 , corregiremos el valor obtenido para la raznt en la estimacin de nuestro modelo segn las expresiones:

22

21

2221

2

2

)(

)(

n

y

Zn

tt

=-

-

-=

s

sst

ss

t ee (Ec. 39)

tanto para el caso de haber estimado el modelo ms simple (t) como en el caso delmodelo con constante (tm ), y:

yD

nZ

34

)(

)(223

2

2

-= -

ssst

ss

t ete (Ec. 40)

para el caso del modelo menos restringido (con trmino constante y tendenciadeterminista). En esta ltima expresin, Dy se calcula como:

( ) ( ) = =

---== =

--

++-++

--

=n

i

n

itii

n

i

n

i

n

iiiy y

nnnyyinniyny

nnD

2

2

2111

22

2

21

21

22

6)12)(1(

112

1


Los valores as corregidos de las razones t ( t) pueden entonces ser comparados sinproblemas con las distribuciones tabuladas por Fuller (1976).

6.D.- Test DF en modelos con componente de medias mviles

De igual forma que cabe suponer la presencia de races unitarias en estructuras autorregresivasde orden superior a dos (test ADF), cabe tambin suponer su existencia en estructuras AR concomponente de medias mviles MA. La distribucin de los test DF se apoya en procesos deinnovacin et de tipo ruido blanco por lo que estos tests pueden no ser apropiados si lasinnovaciones admiten representaciones de medias mviles (Schwert, 1987).

En principio, dado que un modelo MA invertible puede transformarse en un modelo AR21, elprocedimiento descrito para el caso de ADF sera en teora igualmente vlido en esta situacin.Efectivamente, partiendo del modelo genrico ARMA:

tt LByLA e)()( =

donde A(L)=(1-a1L-a2L2- a3L

3-.... apLp) y B(L)= (1-b1L-b2L

2- b3L3-.... bqL

q), siempreque la parte de medias mviles sea invertible podremos escribirlo como el modeloautorregresivo siguiente:

tttt C(L)y yLBLA ee ==)()(

Sin embargo, sado que el polinomio C(L) ser de orden infinito, si quisiramos utilizar laestructura presentada en el caso general del test ADF (Ec. 30) tendramos que incluir infinitosretardos de la variable Dyt:

=+-- +D++=D

2110

itititt yyay ebg

Obviamente, resulta imposible estimar un modelo de infinitos parmetros por lo cual debemosacudir a trabajos como los presentados por Said y Dickey (1984) sobre el contraste de racesunitarias en procesos ARMA de orden desconocido. Estos autores encontraron que un modeloARIMA (p,1,q) de rdenes desconocidos poda ser aproximado adecuadamente por un modeloARIMA (s,1,0) de orden s no superior a la raz cbica del tamao muestral n. Por tanto,puede utilizarse en estas condiciones el procedimiento ADF contrastando la nulidad delparmetro g usando las tablas DF para los valores de referencia ti.

Para encontrar el verdadero valor de ese orden s inferior a (n)1/3 podemos utilizar loscontrastes clsicos de significatividad t F estimando el modelo a partir de un valor smximo y descendiendo en orden hasta conseguir que todos los retardos incluidos seansignificativos, o utilizar un procedimiento inverso comenzando por un orden mnimo yaadiendo sucesivamente parmetros en el modelo. Sin embargo, este mtodo plantea elproblema de la prdida de grados de libertad que supone la estimacin de una serie deparmetros nuisance autorregresivos que adems se incrementan a medida que la muestra seampla.

21 Precisamente la definicin de invertibilidad de un modelo de medias mviles supone que ste puedareescribirse como un modelo autorregresivo de orden infinito.


Como alternativa a este enfoque22 debe mencionarse en este apartado el trabajo de Hall (1989)ya que ste fue expresamente propuesto por el autor como un test para la deteccin de racesunitarias ante la presencia de un componente de medias mviles. Hall afirma que uno de losinconvenientes que hacen inapropiada la utilizacin del test DF en presencia de proceso MA(q),es la utilizacin de mnimos cuadrados ordinarios en la estimacin. As, propone comoalternativa la utilizacin de un estimador de Variables Instrumentales, que utiliza yt-k comoinstrumento para yt-1. Hall demuestra que con este nuevo estimador:

- la distribucin lmite del estimador, debidamente normalizada, del coeficiente parayt-1 converge a la tabulada por Dickey Fuller

- si considera una determinada transformacin propuesta por Hall a partir de lavarianza muestral, similar a la realizada por Phillips (1987) y Phillips y Perron(1988), el ratio t converge a la distribucin tabuldada por Dickey Fuller.

La transformacin realizada a partir varianza muestral que se aplica para lograr el ratio tcomparable con los valores tabulados por Dickey Fuller es, en cualquier caso, ms sencillaque la propuesta por en el mtodo de Phillips y Perron, ya que, segn palabras del propio autor,por un lado el empleo del mtodo de variables instrumentales elimina la necesidad de corregirsesgos en la media y, por otro, se emplean estimadores de la varianza que utilizan informacinsobre la estructura de los trminos del proceso de medias mviles, mientras que en el caso delcontraste PP, se usa un estimador del tipo Newey y West (1994).

6.E.- La potencia del test DF

Un problema que no puede pasarse por alto a la hora de valorar el contraste DF23, es su escasapotencia tal y como evidenciaron Dejonc, Nankervis, Savin, y Whiteman (1992). Como essabido, se dice que un contraste es potente si existe una alta probabilidad de rechazar unahiptesis nula falsa, es decir, si existe una baja probabilidad de cometer errores de tipo II.

Con el test DF, poco potente, corremos por tanto el riesgo de admitir la presencia de unaraz unitaria cuando en realidad no existe. Este error puede ocurrir, especialmente cuandoestamos ante procesos generadores de datos de tipo AR(p) con races caractersticas muycercanas a la unidad. Este tipo de procesos pueden fcilmente confundirse con procesos de razunitaria como observamos en el grfico de la pgina siguiente.

En la ilustracin, el proceso integrado de orden uno y el AR(2) estacionario han sido generadoscon la misma secuencia de perturbaciones aleatorias. El proceso AR(2) presenta una razcaracterstica muy cercana a la unidad, concretamente 0.96 lo que hace casi imposibledistinguirlo del verdadero proceso integrado de orden 1.

22 Existe alguna posibilidad adicional distinta a las dos comentadas en este apartado como, por ejemplo,la utilizacin de las distribuciones corregidas propuestas para el caso general por Phillips (1987) yPhillips y Perron (1988). Sin embargo, estas correcciones no parecen tampoco ser apropiadas en el casoen que las innovaciones exhiben procesos de medias mviles homocedsticos.

23 En realidad sera injusto circunscribir este problema al test DF ya que, en mayor o menor medida,todos los contrastes de races unitarias presentan este defecto.


RACES UNITARIAS Vs. AR(P) CUASI INTEGRADOS

20.075.0 25.075.0 2121 tttttttt eyyyeyyy ++=++= ----

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

Proceso I(1) AR(2) E stacionario

La falta de potencia no afecta slo a aquellas situaciones en las que es preciso distinguir entreun proceso autorregresivo y un proceso con raz o races unitarias, sino tambin a aquellas en laque se confunde un paseo aleatorio con deriva de una serie estacionaria en varianza pero contendencia determinista. En ambos tipos de procesos, es fcil que la componente tendencialdomine el patrn de evolucin por lo que, a poco que la varianza de la perturbacin aleatoria delpaseo aleatorio sea algo menor que la del modelo tendencial determinista, ambos procesospueden confundirse24.

PASEO CON DERIVA Vs. TENDENCIA DETERMINISTA

202.01 03.0 1t

ttttetyeyy ++=++= -

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

Paseo aleatorio con deriva Tendencial Determinista

Por ltimo, Molinas (1986) y Schwert (1987 y 1989) demostraron mediante simulaciones,cmo la potencia del test DF (y tambin del P.P.) se ve afectada seriamente en muestraselevadas en presencia de un esquema MA en el verdadero proceso generador de datos. Enparticular, cuando el proceso generador de datos responde a un esquema ARIMA (0,1,1) con elparmetro MA muy cercano a la unidad, los estadsticos ADF y Phillips Perron presentan 24 En esta ilustracin, an habindose utilizado la misma serie de perturbaciones aleatorias, para el casodel paseo aleatorio con deriva, su desviacin tpica se redujo a la mitad de cara a acentuar el dominio dela componente tendencial.


valores crticos muy por debajo de los tabulados en las distribuciones de Dickey-Fuller. De esemodo, tenderemos a afirmar que los series analizadas son estacionarias demasiadofrecuentemente.

Intuitivamente la razn es sencilla ya que si el proceso generador de datos de yt es:

)1(L)-(1 )1(1 ttttt LyLyy eqeq -=-+= -

si el parmetro q est muy cercano a la unidad, el polinomio de raz unitaria (1-L) del ladoizquierdo tiende a eliminarse con (1-qL) pareciendo entonces que yt tiene estructura de ruidoblanco (proceso I(0)).

6.F.- El test DF en presencia de Cambio Estructural

Otro problema del test DF, en relacin directa con lo comentado previamente sobre lasensibilidad del contraste a la eleccin del correcto proceso generador de datos supuesto, es elde la presencia de cambio estructural, y sus efectos sobre los resultados del test.

Cuando existe cambio estructural, la conclusin del test DF tiende a estar sesgada hacia laaceptacin de presencia de una raz unitaria. El motivo, tal y como sealaran Rappoport yReichlin (1989), puede entenderse fcilmente si se observa que, en mayor o menor medida, uncambio tendencial en una serie se manifiesta como un cambio de impulso en la misma serie endiferencias. Siendo esto as, al ajustar el modelo en diferencias (con una raz unitaria) se obtieneun mejor ajuste que cuando se estima en niveles lo que puede hacer aparecer una serieestacionaria como otra que requerira una diferenciacin.

En muchos manuales es fcil encontrar un sencillo ejemplo grfico explicativo de esteproblema; se tomar en este texto la lnea argumental expuesta por Suriach et al. (1995). En elgrfico de la izquierda se reproduce una serie en niveles, afectada claramente por un cambio detendencia hacia la mitad del perodo, y esa misma serie en diferencias, que, dada la naturalezade la ruptura, no aparenta verse afectada por el cambio estructural. La serie en niveles ha sidogenerada con un proceso AR(1) estacionario debidamente perturbado con una serie temporalaleatoria. Tomando estas series como endgenas se estima un modelo en el que se hacendepender ambas series, de un trmino independiente y una tendencia lineal constante. Estemodelo eliminara, por as decirlo, el componente determinista de la serie al que sera sensibleel test DF quedando en los residuos de estas estimaciones, que aparecen en el grfico de laderecha, el componente estocstico.

-4

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

Serie en niveles Serie diferenciada

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Residuos niveles Resiudos diferencias

Tal y como puede observarse, ambos grficos mostraran que la serie diferenciada esestacionaria mientras que la serie en niveles, al no haber sido modelizada convenientemente, no


parece serlo aconsejando la presencia de una raz unitaria. Obviamente, dado que hemoscontrolado su generacin, sabemos que en realidad la serie en niveles si es estacionaria y la serieen diferencias est sobrediferenciada.

An puede verse ms clara la idea si recreamos para 100 valores la siguiente serie25:

F5.0 t1 Ntt yy ++= - e

donde la variable FN es una variable ficticia dicotmica de escaln que toma valor cerohasta la observacin 50 y uno a partir de la 51 y donde, adems, et es una secuencia de valoresaleatorios independientes y normalmente distribuidos. La representacin grfica de esta serieaparece a continuacin:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

El cambio estructural en la serie es evidente. Dado el proceso generador de datos utilizado, situvisemos que modelizar una serie de estas caractersticas lo conveniente sera,indudablemente, un proceso AR(1) con una variable ficticia que permitiera el cambio de valordel trmino independiente. Sin embargo, imaginemos que utilizamos la expresin simple:

ttt yaay e++= -110

En esta situacin, dado el perfil grfico de la serie, la estimacin del parmetro a1 estarasesgada hacia la unidad. La razn de este sesgo es que el parmetro tendera a captar lapropiedad de que, a valores pequeos de yt-1 , siguen valores pequeos de yt al tiempo que, avalores elevados de yt-1 siguen, tambin, valores elevados de yt. A medida que el valor estimadode a1 tendiese a la unidad, la ecuacin anterior se acerca a la formulacin de un paseo aleatoriocon deriva:

ttt yay e++= -10

ecuacin cuya solucin implica la presencia de un componente tendencial determinista:

tt tayy e++= 00es decir, la ecuacin ajustada tendera a reproducir un ajuste lineal como el que se

muestra en el grfico siguiente, o sea, del tipo:

tt taay e++= 20

25 Este ejemplo est tomado de Enders, W. (1995).


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

En estas condiciones es fcil entender el sesgo del test DF hacia la deteccin de una raz unitariacuando, en realidad, cualquiera de los dos ramos es estacionario. Esto no quiere decir, noobstante, que un proceso I(1) no pueda presentar un cambio estructural. Sin demasiadoproblema puede construirse un ejemplo de esta situacin partiendo del proceso generador dedatos siguiente:

Ft1 Itt yy ++= - e (Ec. 41)

donde FI es ahora una ficticia de impulso con valor cero en todos los perodos salvo enla observacin nmero 5026. El aspecto grfico de la serie sera ahora el siguiente:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

Cmo se resuelve entonces este problema ante la necesidad de testar la presencia de una razunitaria?. De forma inmediata cabe pensar en la posibilidad de, una vez observado el cambioestructural, proceder a la aplicacin del test DF sobre cada una de las submuestras si es que losgrados de libertad en cada caso nos lo permiten. Si no es as o, si por cualquier otra razn nosvemos en la necesidad de usar el total del perodo considerado, podemos utilizar procedimientosespeciales diseados al efecto27, como el contraste propuesto por Perron (1989).

Las dos hiptesis enfrentadas sern la nula de un salto de impulso en un proceso I(1) frente a laalternativa de un cambio en el trmino independiente de un proceso con tendencia determinista.Los modelos que representan una y otra hiptesis seran:

26 Al tratarse de un paseo aleatorio, cualquier shock tiene duracin infinita por lo que para generar uncambio estructural de efecto permanente basta con un impulso en una observacin cualquiera.27 Un repaso y examen de los contrastes de races unitarias en presencia de cambio estructural puedeencontrarse en Noriega-Muro (1993).

Procedimientos de an

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