TENDENCIAS Y SERIES DE TIEMPO

Hugo Oliveros C.

Investigador Adjunto,

IRI Colombia University

Curso Andino en Clima y Salud

“Uso de Información de Clima

para la Salud Pública.”

TENDENCIAS Y SERIES DE TIEMPO

Agenda:• Motivación • Conceptos Generales

• Definiciones• Tendencia, Estacionalidad, Ciclo• Alternativas Metodologicas• Series Estacionarias/ No-estacionarias

•Estrategia de analisis• Ejemplos

•Tendencia • Estacionalidad• Ciclo• Comentarios finales

MOTIVACION

;tettZ += µ

MOTIVACION

tettZ += µ

CONCEPTOS GENERALES: DEFINICIONES

QUE ES UNA SERIE DE TIEMPO?Conjunto ordenado de observaciones de unavariable , comunmente, registradas a intervalos de tiempo constantes.

El comportamiento de Z’s puede describirse a a traves de varias componentes (C). C={Tendencia, Estacional, Ciclico , Irregular}

tettZ += µ

SUPUESTOS IMPLICITOS

=

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==

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2

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ZtZV

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tZP

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CONCEPTOS GENERALES: DEFINICIONES

tettZ += µ

CONCEPTOS GENERALES: Tendencia, Estacionalidad, CicloZ es dominado por varias componentes : { tendencia, estacional, ciclo , irregular}

Hay una componente de tendenciaidentificable en el comportamientode la temperatura?

• Pareceria que existe un patron?

• Como se describe esecomportamiento?

• Hay un modelo estadisticoplausible?

• Cuales son las fuerzas quegeneran dicho comportamiento?

• Si existe uno, o varios modelos , dichos modelos son compatibles con lo que los cientificos de clima reconocen en su cuerpo de conocimiento?

tett

Z += µ

* #

CONCEPTOS GENERALES: Tendencia, Estacionalidad, Ciclo

Y o Z son dominados por varias componentes : { T, E, C, I }

Hay un patron recurrente en el comportamiento mensual el consumo de energia ?

• Los picos (*) y los valles (#) se presentan cada 12 meses ?

• El consumo de Energia es dominado por un componente estacional? • Existe ademas un componente de tendencia ?

*

#

*

#

CONCEPTOS GENERALES: Tendencia, Estacionalidad, Ciclo

Y o Z son dominados por varias componentes : { T, E, C, I }

Hay un patron recurrente en el comportamiento mensual el consumo de energia ?

• Los picos (*) y los valles (#) se presentan cada 12 meses ?

• El consumo de Energia es dominado por un componente estacional? • Existe ademas una componente de tendencia ?

( )

tB

tZ

ttZB

ttZ

tZ

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tZ

tZtZ

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tYtZ

tT

tY

ξξξ

ξ

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121

121 como? expresar posible Es :

12

12

Φ−=→=Φ−→=

−Φ−

+−

Φ==−→+=

*

#

*

#

tT

CONCEPTOS GENERALES: Tendencia, Estacionalidad, Ciclo

Z es dominado por varias componentes : { tendencia, estacional, ciclo , irregular}

Hay una componente recurrentecada m>1 años en las manchassolares,?

• Pareceria que existe un patron ?

• Como se describe esecomportamiento?

• Existe una frecuencia(1/periodo) donde se concentrala variabilidad ?

• Hay algun mecanismo paraevaluar donde oscila mas la serie ? A que frecuencia se producen las perturbaciones?

tett

Z += µ

*

CONCEPTOS GENERALES: ALTERNATIVAS METODOLOGICAS

Dominio del

Tiempo

• Auto-correlacion, (ACF,PACF), Correlacion cruzada (CCF)

• Las graficas muestran el grado de dependencia temporal

• Usos ≠ areas (clima, epidemiologia, economia, ….)

Dominio de la

Frecuencia

• Peridiograma, densidadespectral, espectro cruzado

• Graficas muestran como viibra la señal a diferentes bandas de frecuencia

• Usos ≠ areas (clima y epidemiologia, economia,….)

SERIES ESTACIONARIAS

Procesos Estacionarios – I(0)

(A)

(B)

(C)

2/)()()(

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γ

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=−++

=−

==

Que hacer para poder identificar si se cumplen las condiciones?

(1) (Simple)-Revisar las graficas (no hay tendencia?)

(2) (Complejo)Pruebas Hipotesis: Medias/varianzas (3) (Complejo)Usar un modelo de series de tiempo y evaluar los supuestos asociados al modelo usando las observaciones(4) Pruebas de estacionaridad

Los procesos generadores de los datos (PGD) no son conocido en la vida real - El modelo descrito es el que se intenta descubrir.

SERIES NO ESTACIONARIAS

Procesos No-estacionarios

(A*)

(B*)

(C*)

)0(~)1(1

)1(~

);(2)(:)5()(:)4 y/o)((

It

ZBt

Zt

ZIt

Z

tZt

ZVttZE

−=−

−⇒

== σµ

Que hacer para poder identificarsi se cumplen las condiciones?

(1) Revisar las graficasEs dificil diferenciar: (Estocastica vs Deterministcia)

(2) (Complejo) Pruebas Hipotesis:Medias/varianzas****(3) (Complejo) Usar un modelo de series de tiempoy evaluar los supuestos asociados al modelo usandolas observaciones(4) Pruebas de raiz unitaria (pruebas estacionaridad)-

Los procesos generadores de los datos (PGD) no son conocido en la vida real - El modelo descrito es el que se intenta descubrir.

MSTARIMAARMATFNM(ARIMAX)STSMREGRESIONVARVECPANEL

OTROS…..

ESTRATEGIA DE ANALISIS

MODELOSERIES TIEMPO(MST)

Graficas de la serie(s): (patrones,

Tendencia,Estacionalidad,

Variabilidad)(Estacionaria(s),

no-estacionaria(s)

ESTIME MST (E-MST)Verifique (supuestos)

Bondad de ajuste: Significancia parámetrosCoherencia, Parsimonia,

Consistencia

E-MST(OK)

NO

ESTRATEGIA DE ANALISIS: EJEMPLOS

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Serie no -estacionaria I(1) identificacion

Tendencia ?

Decae lentamente?

Se corta despues de rezago 1 ?

Los procesos generadores de los datos (PGD) no son conocido en la vida real - El modelo descrito es el que se intenta descubrir.

ESTRATEGIA DE ANALISIS: EJEMPLOS

Promedio >0, no-hay una tendencia manifiesta

(3A)

Serie estacionaria I(0)

ESTRATEGIA DE ANALISIS: EJEMPLOS

Busque un modelo adecuado que ajuste

Modelo Teorico – {debe incluir un intercepto}

(3A)

( )

caso otro,0,

;1;1,

:

,..;3,2,1,12*;1

(h)

:ACF

;)12

11(

1

)121

1(;121

==Φ=

==Φ=

Φ−+=

+=Φ−+−

Φ+=

hhh

hh

PACF

jjhj

te

Bt

Z

tect

ZBtetZc

tZ

φφ

ρ

µ

ESTRATEGIA DE ANALISIS: EJEMPLOS

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Parametros Estimate Std.Error t-stat p-value Pr(>|t|)

(Intercept) 17.559 5.387 3.259 0.002 **

y_s_12 0.825 0.054 15.205 <2e-16 ***

sigma^2 estimated =0.8766: part log likelihood = -135.31

Ljung-Box(20)=12.47- p-value=.90

Comportamiento de los residuos : ruido banco ESTIMACION DEL MODELO

LA TENDENCIA

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TENDENCIA

- Movimiento de largo plazo de una serie de tiempo. Si existe, refleja su nivel subyacente

- Resulta importante ,en algunasoportunidades, eliminarla para ver que otrascomponentes existen o pueden seridentificadas

- Problema es identificar cual es el procesoque genera la tendencia :

- Estocastica (Pruebas de Raiz Unitaria)- Deterministica

- Y_st (Estocastica); Y_dt (Deterministica)

LA TENDENCIA: Estocastica (Y_st) vs Deterministica (Y_dt)

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)2,0(~

donde;*:)(

Y_dt :Caso

1

1

11

donde;*:)(

1

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:Y_st :Caso

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∑=

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tt

tY ζβα ++= *

ttY

tY εδ +

−+=

1

LA ESTACIONALIDAD

ESTACIONALIDAD:

- Cuando las series siguen un patron de variacion periodico en su evolucion que estaatado al calendario, se dice que tienen un comportamiento estacional.

- Al igual que en el caso de la tendencia esfactible construir patrones similares a comportamientos estacionales a partir de representaciones deterministicas [S(L)], o partir de modelos que dependen de unaestructura que depende de la frecuenciaestacional. (SARMA, SARIMA-(raiz unitariaestacional)

- Regularmente cuando se identifica supresencia se le puede asociar con la existencia de un filtro lineal estacional(SARMA,SARIMA), o con f-sinusiodales: S(L)

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 611

16

21

26

31

36

41

46

51

56

61

66

71

76

81

86

91

96

101

106

111

116

S_(2)

tet

Zct

Z +−

Φ+=121

LA ESTACIONALIDAD

ESTACIONALIDAD:

- Cuando las series siguen un patron de variacion periodico en su evolucion que estaatado al calendario, se dice que tienen un comportamiento estacional.

- Al igual que en el caso de la tendencia esfactible construir patrones similares a comportamientos estacionales a partir de representaciones deterministicas [S(L)], o partir de modelos que dependen de unaestructura que depende de la frecuenciaestacional. (SARMA, SARIMA-(raiz unitariaestacional)

- Regularmente cuando se identifica supresencia se le puede asociar con la existencia de un filtro lineal estacional(SARMA,SARIMA), o con f-sinusiodales: S(L)

EL CICLO

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CICLO:

- Variaciones inter -anuales recurrentes ( e.g. m > 1 año) con fases no necesariamenteestables son asociadas al concepto de ciclo.

- Ejemplos tipicos de dichas fluctuacionesson los asociados con ENSO, las manchassolares (sunspots), o con los cicloseconómicos, o financieros.

- Este tipo de movimientos pueden serrecreados usando funciones sinusoidales, similares a S(L), o a partir de modelosAutoregresivos de orden 2, AR(2), que tienenimplícitas raices imaginarias.

- La naturaleza del ciclo C(t) esta asociada con frecuencias de oscilación bajas (inverso del periodo) y requiere en algunos casos descontar la tendencia de largo, plazo, T(t), para derivar una medida asociada con conC(t), e.g, C(t) ≈ Y(t)-T(t) (Beverigde-Nelson Decomposition).

- .

Fuente:prudentinvestor.com

EL CICLOCICLO:

- De igual forma es factible usar filtros lineales, o bandpass filtros (BPF). BPF dejan pasar señales en un intervalo especifico de frecuencia: [x1,x2] El intervalo esta asociado con la frecuencias de interes, (Ver: Hodrick-Prescott , Butterworth Filters).

- Wavelets análisis revela como diferentes escalas (frecuencias periodicas) de un serie temporal flutuan a traves del tiempo. En consecuencia pueden ser utiles para identificar ciclos (A), (B).

(A) Fuente: Torrence, C., Compo,G. , 1998, A

Practical Guide to Wavelet Analysis, Bulletin

of the American Meteorological Society;

(Wavelet Morlet)

(B) Simulacion de una serie de tiempo con

frecuencias de oscilacion (1/12, 1/60, 1/120)

bajo comportamientos del tipo S(1) ; (Wavelet

Morlet)

(A)

(B)

( )

( ) ( )

Decadal). (ENSO, anual-inter riabilidadrecrear va puede (B2) (A).en . o,

(B)en ,).0(~ que tal,Escoger ).2,0(~ donde

2

211

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2211 (B2)

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)0(~ )0(~1

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(T_dt)] (II), [Caso NE, es );2,0(~ );0(~;*:)(

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que tienese si ),1( es:

3); o,2, o,(1,cumplen se No :(NE) iaEstacionar-No :

21

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εδ

εδ

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: tieneseh k, t, todopara si : I(0)~t

Y decir, es (E), iaEstacionar :

kkht

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tY

ρσµ =−++

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LA TENDENCIA Y EL CICLO

LA TENDENCIA Y EL CICLO

( ) ( )t

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Yt

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Yt

YBB ξφφ

µξφφ

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−

−−

221

1

1

112

211

CONSIDERACIONES FINALES

• La identicacion de la presencia {T, E,C,I} en una serie de tiempo permite entender su dinamica, la persistencia y la recurrencia de patrones de comportamiento que se presentan en las series de tiempo.

• Su separacion no es proceso simple. Por ejemplo: dado que los ciclos pueden oscilar a frecuenciasbajas (asociadas con tendencias de largo plazo), la separacion entre la tendencia y el ciclo requierede procedemientos especializados (“filtros y modelos complejos”).

• Existen multiples alternativas para eliminar algunos de las componentes de T, C, E, I, de las series de tiempo (e.g. modelacion, uso de filtros ) y por defecto encontrar los restantes, sin embargo, cadaalternativa escogida tiene costo que necesario evaluar a luz de pruebas adecuadas sobre los supuestos y la dinamica que las series generadas deben seguir.

• R, SAS/ETS, SAS/IML, y MATLAB entre otros paquetes ofrecen rutinas para procesar y filtrar lasseries al igual que para evaluar las hipotesis subyacentes. Sin embargo, es importante consultar la pertinencia de los modelos implicitos en la derivacion de las componentes (estadistica + algo mas)

• Si las variables que se analizan causan (o son las fuerzas que determinan parcialmente) la dinamicade otras variables, sus propiedades estadisticas pueden/deben aparecer en el comportamiento de dichas variables. En consecuencia analisis conjuntos podrian ofrecer alternativas mas utiles paraconfirmar los hallazgos.

• Para construir los modelos, o usar los filtros se requieren series de tiempo largas (variasrepeticiones de los patrones existentes) en consecuencia los esfuerzos por recuperar , limpiar y mantener las series (las bases de datos) deben ser parte fundamental de la estrategia al momento de discutir el presupuesto.