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TEORIA DEL CAOS
Ana Marıa Beltran
Pre - Unal
Marzo 19 de 2013
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 1 / 17
1 ¿Que es el caos?Caos matematico
2 Fractales
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 2 / 17
¿Que es el caos?
¿Que es el caos?
Segun la RAE se define caos como
Confusion, desorden.
Estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenacion delcosmos.
Comportamiento aparentemente erratico e impredecible de algunossistemas dinamicos, aunque su formulacion matematica sea enprincipio determinista.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 3 / 17
¿Que es el caos?
¿Que es el caos?
Segun la RAE se define caos como
Confusion, desorden.
Estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenacion delcosmos.
Comportamiento aparentemente erratico e impredecible de algunossistemas dinamicos, aunque su formulacion matematica sea enprincipio determinista.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 3 / 17
¿Que es el caos?
¿Que es el caos?
Segun la RAE se define caos como
Confusion, desorden.
Estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenacion delcosmos.
Comportamiento aparentemente erratico e impredecible de algunossistemas dinamicos, aunque su formulacion matematica sea enprincipio determinista.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 3 / 17
¿Que es el caos? Caos matematico
Caos matematico
Definicion
En matematicas se llama caotico a todo sistema determinista que es
sensible a las condiciones iniciales.
Donde por sistema determinista se entiende a un sistema dinamico (enmovimiento) cuya evolucion esta perfectamente descrita por ecuaciones -principalmente diferenciales - y por condiciones iniciales interpretamos alas variables que intervienen en la evolucion del sistema.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 4 / 17
¿Que es el caos? Caos matematico
Caos matematico
Definicion
En matematicas se llama caotico a todo sistema determinista que es
sensible a las condiciones iniciales.
Donde por sistema determinista se entiende a un sistema dinamico (enmovimiento) cuya evolucion esta perfectamente descrita por ecuaciones -principalmente diferenciales - y por condiciones iniciales interpretamos alas variables que intervienen en la evolucion del sistema.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 4 / 17
¿Que es el caos? Caos matematico
Efecto mariposa
Propuesto por el matematico y metereologo estadounidense EdwardLorenz durante el invierno de 1961 y que en pocas palabras lo convierte enel padre de la teorıa del caos.El movimiento de una simple ala de una mariposa en China, hoy produceun diminuto cambio en el estado de la atmosfera. Despues de un ciertoperıodo de tiempo, el comportamiento de la atmosfera diverge del quedeberıa haber tenido. Ası que, en el perıodo de un mes, un tornado quehabrıa devastado la costa de America no se forma. O quizas uno que no seiba a formar, se produce.
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¿Que es el caos? Caos matematico
Efecto mariposa
Propuesto por el matematico y metereologo estadounidense EdwardLorenz durante el invierno de 1961 y que en pocas palabras lo convierte enel padre de la teorıa del caos.El movimiento de una simple ala de una mariposa en China, hoy produceun diminuto cambio en el estado de la atmosfera. Despues de un ciertoperıodo de tiempo, el comportamiento de la atmosfera diverge del quedeberıa haber tenido. Ası que, en el perıodo de un mes, un tornado quehabrıa devastado la costa de America no se forma. O quizas uno que no seiba a formar, se produce.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 5 / 17
¿Que es el caos? Caos matematico
Aplicaciones
Los fenomenos cuya modelacion obedece a un sistema dinamico caoticoson muy comunes y por eso el ambito en el que se puede aplicar estateorıa es supremamente amplio. Las temas de estudio que mejor se puedencomprender a traves del caos matematico estan distribuidos enmetereologıa, biologıa, medicina, fısica, ingenerıa de redes, comunicacionesy claro esta: matematicas.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 6 / 17
Fractales
La geometrıa euclidiana nos provee figuras demasiado regulares como paraencontrarlas en la naturaleza; nunca veremos algo totalmente recto ocompletamente circular; al contrario, lo que observamos son estructurasmas bien irregulares muchas de las cuales tienen algo en comun: sonautosimilares.La nocion de autosimilaridad hace referencia al hecho de que al observar acualquier escala un objeto vemos que este se repite una y otra vez ’alinfinito’.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 7 / 17
Fractales
La geometrıa euclidiana nos provee figuras demasiado regulares como paraencontrarlas en la naturaleza; nunca veremos algo totalmente recto ocompletamente circular; al contrario, lo que observamos son estructurasmas bien irregulares muchas de las cuales tienen algo en comun: sonautosimilares.La nocion de autosimilaridad hace referencia al hecho de que al observar acualquier escala un objeto vemos que este se repite una y otra vez ’alinfinito’.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 7 / 17
Fractales
Un ejemplo sencillo de esta idea son los helechos de cuero comunes quevemos en las azoteas de las casas
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 8 / 17
Fractales
O el triangulo de Sierpinski
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Fractales
O el copo de Koch
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 10 / 17
Fractales
Dinamica compleja
Dentro del estudio de los sistemas dinamicos en matematicas hay uno muyparticular y es el analisis del comportamiento de ciertas funciones en elplano complejo.El plano complejo es la representacion visual de los numeros complejos (losde la forma a+ bi) y es semejante a un plano cartesiano en el que se ubicala parte real en el eje x y la parte imaginaria en el eje y .
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 11 / 17
Fractales
Dinamica compleja
Dentro del estudio de los sistemas dinamicos en matematicas hay uno muyparticular y es el analisis del comportamiento de ciertas funciones en elplano complejo.El plano complejo es la representacion visual de los numeros complejos (losde la forma a+ bi) y es semejante a un plano cartesiano en el que se ubicala parte real en el eje x y la parte imaginaria en el eje y .
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 11 / 17
Fractales
Iteracion
Dada una funcion f con dominio y rango complejo
f : C −→ C
hablamos de la orbita de f en el punto c como el conjunto de las imagenesque se obtienen al iterar f en c
Oc(f ) = {f (c), f (f (c)), f (f (f (c))), . . .}
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Fractales
Interpretacion visual
Ahora bien, si observamos el plano complejo como un arreglo de numerosen el que a cada entrada se le hace corresponder la coordenada x + iy
respectiva e iteramos la funcion f en cada una de ellas hay dos opciones:
La orbita se aleja cada vez mas del origen tendiendo al infinito, o,
La orbita va rapidamente hacia el cero complejo
El siguiente paso es asignar a cada punto del arreglo el numero de iteradasque se necesitaron para decidir hacia donde iba la orbita.Por ultimo, asignamos escalas de color segun el numero de iteradascorrespondiente a cada entrada compleja.
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Fractales
Interpretacion visual
Ahora bien, si observamos el plano complejo como un arreglo de numerosen el que a cada entrada se le hace corresponder la coordenada x + iy
respectiva e iteramos la funcion f en cada una de ellas hay dos opciones:
La orbita se aleja cada vez mas del origen tendiendo al infinito, o,
La orbita va rapidamente hacia el cero complejo
El siguiente paso es asignar a cada punto del arreglo el numero de iteradasque se necesitaron para decidir hacia donde iba la orbita.Por ultimo, asignamos escalas de color segun el numero de iteradascorrespondiente a cada entrada compleja.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 13 / 17
Fractales
Interpretacion visual
Ahora bien, si observamos el plano complejo como un arreglo de numerosen el que a cada entrada se le hace corresponder la coordenada x + iy
respectiva e iteramos la funcion f en cada una de ellas hay dos opciones:
La orbita se aleja cada vez mas del origen tendiendo al infinito, o,
La orbita va rapidamente hacia el cero complejo
El siguiente paso es asignar a cada punto del arreglo el numero de iteradasque se necesitaron para decidir hacia donde iba la orbita.Por ultimo, asignamos escalas de color segun el numero de iteradascorrespondiente a cada entrada compleja.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 13 / 17
Fractales
¿Que pintamos?
Segun la funcion que usemos obtenemos distintos graficos; sin embargo,todos son FRACTALES y todos tienen caos en la frontera.A continuacion veremos una pequena galerıa de algunos de ellos
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 14 / 17
Fractales
¿Que pintamos?
Segun la funcion que usemos obtenemos distintos graficos; sin embargo,todos son FRACTALES y todos tienen caos en la frontera.A continuacion veremos una pequena galerıa de algunos de ellos
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 14 / 17
Fractales
L-Sistemas
Existe un metodo un poco mas sencillo que genera otro tipo de fractalesen el que la iteracion no es de una funcion sino de un conjunto de reglassobre una cadena inicial.Si las reglas son de tipo geometrico; es decir, rotaciones, desplazamientosy traslaciones obtenemos esquemas similares a los siguientes
Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 17 / 17