TEORÍA DE FIABILIDAD - Campus Virtual · PDF filecomo base para la aproximación de los problemas de ingeniería estadística. ... fallo constante, en paralelo, sistemas combinados

Introducción 9

TEORÍA DE FIABILIDAD

Introducción

La teoría de la fiabilidad industrial estudia métodos que deben seguirse tanto en el diseñocomo en la recepción, el transporte y el uso de los productos para garantizar al máximo surendimiento. Uno de los objetivos de la teoría de la fiabilidad industrial es el abandono de lasubjetividad en las previsiones sobre la duración de los productos a través de lacuantificación de dichas previsiones. Así expresiones como: "Esta construcción es mássegura que aquélla", "Nuestro producto es más resistente que el de la competencia", tienenque sustituirse por formulaciones más precisas, que necesitan del lenguaje estadístico.

Hay que pensar en la fiabilidad desde la primera fase del desarrollo de un producto. Antesde tomar la decisión de fabricarlo en serie hay que someterlo a ensayos que seansuficientemente representativos de sus condiciones de fabricación como para permitir nosólo juzgar lo ensayado, sino también la fabricación en serie. En la etapa de desarrollo de unproducto deben elaborarse una serie de reglas que se tendrán que observar a la hora defabricar los productos, en su recepción y en su explotación, con la finalidad de preservar lafiabilidad.

La fiabilidad en la ingeniería está orientada a los fallos. El problema reside en predecir sipuede ocurrir un fallo al utilizar un dispositivo y cuándo ocurrirá. Esta información es útil paradeterminar las políticas de mantenimiento e inspección de una empresa, así como paradeterminar los plazos de garantía de los productos. También puede utilizarse para predecircostes debidos al mantenimiento y a los eventuales fallos que puedan ocurrir mientras eldispositivo está operativo.

La definición utilizada en la ingeniería para la fiabilidad es la de "probabilidad de que undispositivo haga su función bajo condiciones establecidas, durante un período de tiempoestablecido".

Para la Física, la probabilidad se define: "Por probabilidad de un acontecimiento de unaobservación nosotros entendemos nuestra estimación más creíble de la fracción del númerode observaciones que resultarán del acontecimiento particular" [Feynman]. Esta ideacorresponde a la definición frecuentista de la probabilidad: consiste en imaginar la repeticiónde una experiencia y establecer la relación entre la frecuencia de un suceso A NA y elnúmero N de repeticiones:

P(A)= ANN

.

Hay por lo menos dos reflexiones ligadas a esta idea:

Un suceso no es siempre exactamente repetible. Como mínimo, los tiempos deocurrencia son distintos.

La probabilidad está ligada a la información disponible en cada momento.

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Otra definición de probabilidad más subjetiva es que "probabilidad es el grado de creenciaque tiene un analista u observador." La idea es que la probabilidad es una herramientaanalítica basada en la valoración, útil para poder tomar decisiones. Esta definición es en laque se apoya la Escuela Bayesiana.

Para revisar las propiedades de la probabilidad se puede consultar el capítulo 2 deMontgomery y Runger (1996).

Perspectiva histórica de la teoría de la fiabilidad

El origen de la fiabilidad puede atribuirse a los estudios para poder evaluar la mortalidadderivada de las epidemias y a los métodos actuariales desarrollados por las compañías deseguros, para determinar los riesgos de sus pólizas. Como herramienta para el cálculo delriesgo se utilizaba las tablas de vida.

La primera tabla de vida data de 1693 y es debida a Edmund Halley1, astrónomo inglésconocido por haber predicho la órbita del cometa que lleva su nombre.

A principios de 1900 se utilizaban los métodos actuariales tanto para estimar lasupervivencia de pacientes sometidos a distintos tratamientos como para estudiar lafiabilidad de equipamientos, en particular de los ferrocarriles.

La teoría matemática de la fiabilidad se desarrolla por las demandas de la tecnologíamoderna y en particular por las necesidades de los sistemas complejos militares. El área demantenimiento de máquinas es una de las áreas donde la fiabilidad se aplica consofisticadas matemáticas. La renovación y los avances de la tecnología se utilizan muypronto para resolver problemas de reparación e inspección de dispositivos.

En 1939 Walodie Weibull, cuando era profesor del Royal Institute of Technology en Suiza,propuso una distribución para describir la duración de materiales, que más tarde llevaría sunombre. La distribución de Weibull es muy utilizada en las aplicaciones, ya que es muyversátil, pues admite distintas formas de funciones de riesgo.

En 1951 Epstein y Sobel empezaron a trabajar con la distribución exponencial como modeloprobabilístico para estudiar el tiempo de vida de dispositivos [ver Epstein y Sobel (1953)].Este modelo de probabilidad, tan bueno como muchos otros, se basa en el concepto depoblación de tamaño infinito o no acotado. La distribución exponencial tiene la propiedad deno tener memoria; es decir, en el cálculo de la probabilidad de que falle un dispositivo noinfluye el tiempo que hace que funciona.

Una razón fundamental de la popularidad de la distribución exponencial es la ampliaexplotación que se ha hecho de ella en trabajos de fiabilidad, debido a su simplicidad en lasuma de las tasas de fallo ya que hace posible el cálculo de diseños de datos de formasimple.

La investigación de sistemas de fiabilidad en general (y en particular las funciones desistemas coherentes) se inició en 1961 a partir del artículo de Birnbaum, Esary y Sauders.

1Puede encontrarse una traducción al español del artículo citado en James R. Newman (1968).

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Se puede citar también un trabajo previo de Moore-Shanon donde plantean de forma másabstracta unos enlaces de superfiabilidad. Birmbaum, Esary y Marshall (1966) introdujeronla conexión entre las estructuras de los sistemas coherentes y la clase de distribuciones detiempos de vida, incluyendo las distribuciones exponenciales.

El cálculo de la fiabilidad de los sistemas había llegado a un nivel de complejidad tal que eranecesaria la formalización abstracta de dichos sistemas.

Los sistemas coherentes forman una clase de modelos de fiabilidad; el conceptofundamental de los sistemas coherentes (coherent system) es que los componentes seencuentran individualmente en uno de los dos estados: funcionan o fallan, y el estado de lossistemas se representa en términos de los estados individuales de cada componente através de las funciones de estructura (structure function). Dos propiedades clave son: (a) larelevancia de cada componente, es decir, no hay ningún componente cuya fiabilidad noafecte a la fiabilidad del sistema; y (b) la monotonicidad, que encierra el concepto de que lafiabilidad de un sistema nunca puede ser mejorada cuando uno de sus componentes sevuelve menos fiable.

Merece mención especial indicar las publicaciones W. Nelson (1982,1990) sobreaplicaciones de fiabilidad industrial y pruebas de vida acelerada que se han convertido enreferencias obligadas en el campo de la fiabilidad industrial.

El análisis mediante árboles de fallo, FTA (failure tree analysis), es un método de análisis dela seguridad de un sistema. Lo desarrolló por primera vez H.A. Watson en los laboratoriosBell. Pero es en los años 70 cuando el análisis de la fiabilidad de un sistema medianteárboles de fallo toma más fuerza por problemas relacionados con la seguridad en lascentrales nucleares.

En los años 80 el objetivo principal de los trabajos de fiabilidad está en las redes decomunicaciones. Esto fue motivado por el proyecto Advanced Research Project AgencyNetwork (ARPAnet) del Departamento de Defensa americano, que se planteó el objetivo dela alta fiabilidad de las comunicaciones entre centros estratégicos, aunque los nodosintermedios no fueran altamente fiables. El resultado de estos trabajos ha encontradoaplicación en los sistemas de web e Internet actuales.

En los años 90, la investigación de la fiabilidad toma nuevas direcciones con M.B. Mendel.Los orígenes de su investigación se basan en la hipótesis de que muchas de lasrepresentaciones en el espacio muestral que se han considerado en la estadística nocorrespondan en ingeniería a los espacios euclídeos. Por ello, utiliza la geometría diferencialcomo base para la aproximación de los problemas de ingeniería estadística. Esto puntos devista se pueden encontrar en recientes publicaciones sobre problemas de fiabilidad de laingeniería, entre ellos los de Shortle y Mendel (1994) y (1996).

Objetivos de la materia

La materia de fiabilidad que se imparte en este texto es una introducción a las técnicasestadísticas para resolver cuestiones de fiabilidad industrial.

La fiabilidad industrial se diferencia de otras técnicas estadísticas por utilizar los modelosprobabilísticos propios de las variables aleatorias que son tiempos de vida hasta el fallo,


como la distribución exponencial y la Weibull. Otro rasgo diferencial es que en la práctica lasmuestras aleatorias de que se dispone no son completas. Esto es debido a que en muchoscasos las pruebas de vida o ensayos de fiabilidad son destructivas, con lo cual son costosaseconómicamente y en tiempo. Por ello, en muchos casos, se finaliza el ensayo antes deobservar el fallo.

Se desarrollan los modelos exponencial y Weibull en el contexto de la fiabilidad. También sehace una introducción a los datos censurados y la estimación de parámetros con datoscensurados.

Se hace una introducción a las pruebas de vida acelerada, que son una práctica común enla industria. Son aquellos ensayos que se realizan a un nivel de estrés superior al de lascondiciones ordinarias de funcionamiento, con el fin de provocar la aparición de fallos en untiempo más corto. Estas pruebas se realizan exponiendo los productos a condiciones másseveras que las usuales. Generalmente implica aumentar la temperatura, el voltaje, lapresión, la vibración, el tiempo operativo, etc.

Las pruebas de vida acelerada pueden usarse tanto para evaluar la capacidad de uncomponente, a fin de satisfacer los requisitos de fiabilidad, como para tener un medio másrápido de detectar debilidades potenciales o modos de fallo.

En el último capítulo se desarrolla el análisis de un sistema, formulando los sistemascoherentes, la fiabilidad de un sistema en serie y en paralelo con tasa de fallo constante. Porfin, se hace una introducción al análisis de la fiabilidad mediante árboles de fallo.

El objetivo principal de esta materia es dar una introducción a la fiabilidad industrial de formaque el estudiante sea capaz de:

Identificar cuándo un problema es propio de la fiabilidad y determinar cuál es la pruebade vida más adecuada para estudiarlo.

Reconocer la variable aleatoria que define la problemática planteada, acotando bien ladefinición de fallo y definiendo las unidades con que se medirá: ciclos, horas, resistenciahasta el fallo, etc.

Establecer cuál es el modelo probabilístico adecuado que ajusta mejor los datos de unaprueba de vida.

Estimar gráficamente con una hoja de cálculo los parámetros de los modelosexponencial y Weibull para muestras con datos completos y datos censurados.

Estimar por el método de máxima verosimilitud los parámetros de los modelosexponencial y Weibull para muestras con datos completos y datos censurados.

Calcular las características de fiabilidad: la fiabilidad, la vida media hasta el fallo, la tasade fallo, la función de riesgo, los percentiles y la mediana.

Calcular los intervalos de confianza de la vida media y la tasa de fallo del modeloexponencial.

Calcular las constantes de los modelos de pruebas de vida con estrés constante: el deArrhenius y el de la potencia inversa de Weibull.

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Determinar la fiabilidad de un sistema compuesto por componentes en serie con tasa defallo constante, en paralelo, sistemas combinados y sistemas con componentesredundantes.

Calcular la fiabilidad de un sistema a partir del análisis de un modelo lógico gráficocomo los árboles de fallo (FTA).

La materia de fiabilidad está estructurada en 5 capítulos y dos apartados de ejercicios yprácticas:

Capítulo 1: Conceptos fundamentales

En este capítulo se presentan los conceptos generales de la teoría de la fiabilidad. Elobjetivo de este capítulo es familiarizarse con las nociones de fallo, tasa de fallo, vidamedia y fiabilidad. Estos conceptos se introducen haciendo referencia al lenguaje y laterminología de una prueba de vida industrial. Se dan los preliminares de lasdistribuciones de probabilidad en fiabilidad, haciendo hincapié en la función de riesgo(hazard function), que es específica de los estudios de fiabilidad. También se hace unaintroducción de los distintos enfoques que puede tener la fiabilidad en la industria.

Capítulo 2: Fiabilidad con tasa de fallo constante

Este capítulo aborda el modelo exponencial, que es el más utilizado en el análisis depruebas de vida. Se plantea la estimación de la vida media y la tasa de fallo paradistintas situaciones de pruebas de vida. Se introducen las muestras aleatorias que noson completas y el concepto de datos censurados.

Capítulo 3: Tasa de fallo no constante: El modelo de Weibull y otros

Este capítulo trata el modelo de Weibull, que permite modelar tasas de fallo constante,crecientes y decrecientes. También se tratan otras distribuciones como la Gumbel, laNormal y la lognormal. Se describen los gráficos de probabilidad como herramienta paravalidar el modelo de Weibull y estimar sus parámetros, tanto para muestras completascomo datos censurados. Se expone brevemente el método de estimación de la máximaverosimilitud y se proponen estimadores para los parámetros basados en este método.

Capítulo 4: Pruebas de vida aceleradas

Es una introducción a las pruebas de vida acelerada, que son una práctica común ensituaciones donde es difícil la aparición de fallos. Se explican dos tipos de pruebas dedonde, a partir de los datos de dispositivos sometidos a una aceleración, se puedeinferir la fiabilidad del dispositivo en condiciones normales de uso. Se exponen elmodelo de Arrhenius y el de la potencia inversa de Weibull, dos modelos típicos depruebas de vida con estrés constante,

Capítulo 5: Análisis de la fiabilidad de un sistema

En este capítulo se desarrolla el análisis de un sistema, formulando los sistemascoherentes, la fiabilidad de un sistema en serie y en paralelo con tasa de falloconstante. Se hace una introducción al análisis de la fiabilidad mediante árboles de fallo.


Ejercicios y prácticas de fiabilidad

Se proponen ejercicios y prácticas resueltos de los cinco capítulos. La herramientautilizada es la hoja de cálculo Excel y el programario estadístico Minitab.

Autoevaluaciones de fiabilidad

Se proponen ejercicios tipo test resueltos.

La fuente de algunos de los ejemplos desarrollados en estos apuntes es de W. Nelson(1982) y G. Gómez y M. Canela (1992).

Conceptos fundamentales 15

1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES

En este capítulo se presentan los conceptos generales de la teoría de la fiabilidad. Elobjetivo de este capítulo es familiarizarse con las nociones de fallo, tasa de fallo, vida mediay fiabilidad. Estos conceptos se introducen haciendo referencia al lenguaje y la terminologíade una prueba de vida industrial. Se dan los preliminares de las distribuciones deprobabilidad en fiabilidad, haciendo hincapié en la función de riesgo (hazard function) que esespecífica de los estudios de fiabilidad. También se hace una introducción de los distintosenfoques que puede tener la fiabilidad en la industria.

Fiabilidad es un concepto con muchas connotaciones distintas. Cuando se aplica al serhumano, normalmente se refiere a la habilidad de las personas para hacer ciertas tareas deacuerdo con un estándar especificado. Por extensión, la palabra se aplica a una pieza de unequipo, o a un componente de un sistema, y significa la habilidad de un equipo ocomponente para cumplir con la funcionalidad que se requiere de él. El origen del uso deltérmino era cualitativo.

En su aplicación actual, la fiabilidad es casi siempre un concepto cuantitativo, y esto implicala necesidad de métodos para medirla.

Hay muchas razones por las que la fiabilidad necesita ser cuantificada. Quizá el másimportante es el económico ya que la mejora de la fiabilidad cuesta dinero, y esto puede serjustificado sólo si se puede evaluar la no fiabilidad de un equipo. Para un componentecrítico, del cual su operación funcional es esencial en un sistema, la fiabilidad puede sermedida como la probabilidad de que el componente opere con éxito, y la esperanza delcosto de un componente no fiable se mide como el producto de la probabilidad de fallo y elcosto del fallo. En una aplicación rutinaria, donde los componentes que fallan pueden serreparados, la media del tiempo entre fallos (Mean Time Between Failures) es un parámetrocrítico. En ambos casos, la necesidad de una definición probabilística de fiabilidad esevidente.

1.1 Fiabilidad y fallo

Según la norma internacional ISO 8402, la calidad de un producto es el conjunto decaracterísticas que le confieren la aptitud para satisfacer las necesidades establecidas y lasimplícitas. Estas necesidades pueden comportar aspectos relativos a su aptitud de uso, laseguridad, el respeto al medio ambiente, y en muchos casos, la fiabilidad.

La fiabilidad (reliability) de un producto se define como la facultad de conservar la calidad,durante un tiempo preestablecido, en unas condiciones determinadas de explotación(definición cualitativa). Para poder cuantificarla se utiliza el lenguaje estadístico y se definecomo la probabilidad de que un dispositivo desarrolle su función con ciertas condicionesestablecidas, durante un período de tiempo establecido. El valor de esta probabilidad sedenota por R.

Para no tener ambigüedades en la cuantificación de la fiabilidad es importante tener biendefinido el concepto de tiempo de vida de un producto y tener identificado cuándo éste fallay de que clase de fallo se trata.


La vida de un producto es el período de tiempo durante el que puede ser utilizado, en lascondiciones establecidas.

Fallo (failure) es la pérdida de alguna de las propiedades del dispositivo que reduce, total oparcialmente, su funcionamiento.

Cuando el fallo se define como un cierto nivel de degradación en el funcionamiento deldispositivo, puede interesar estudiar la variación de la propiedad en la que se concreta ladegradación con el tiempo y a la curva que la describe se le llama curva de degradación. Noes objeto de estos apuntes entrar en el estudio de ésta, que requiere de un aparatomatemático más sofisticado. En la figura 1.1, a modo de ilustración, se puede observargráficamente la deriva de la media y la varianza de una medida de interés.

Ejemplo 1.1

Un tipo de resistencia eléctrica de 3.000 nominales presenta una deriva del parámetrofundamental según el siguiente esquema: el valor medio decrece a razón del 1% de su valorinicial cada 1.000 horas; la desviación estándar, inicialmente del 2%, es decir 60Ω, aumentaa razón del 0,5% de su valor inicial cada 1.000 horas. Un esquema de la pauta de la derivapuede ser el de la figura 1.1.

¿Cuál es la probabilidad de que una resistencia se encuentre después de 2.000 horas defuncionamiento dentro del intervalo de tolerancia 3.000 ± 240Ω, suponiendo que ladistribución del valor de la resistencia sigue una ley Normal?

En t = 0 horas la variable aleatoria, T = "resistencia eléctrica", se distribuye según unadistribución Normal de media 3.000Ω y una desviación estándar 60Ω . Es decir,T~N(3.000, 60)

En t = 2.000 horas, T ~ N(3.000 - 60Ω; 60 + 0,6Ω) = N(2.940; 60,6)

Se calcula la probabilidad de que la resistencia cumpla la tolerancia al cabo de 2.000 horasde funcionamiento a partir de la tablas estadísticas de la distribución Normal Z(0;1) en latabla 2 del anexo.

Pr(2.760 ≤ T ≤ 3.240) = Pr2.760-2.940 -2.940 3.240-2.940

60,6 60,6 60,6 ≤ ≤

T =

Pr[-2,97 ≤ Z ≤ 4,95] = Pr(Z ≤ 4,95)- Pr[Z ≤ -2,97] = 1-(1-0,9985) = 0,9985, donde Z~N(0;1)

No cumplirán la tolerancia un 0,15% de las resistencias. Al cabo de 2.000 horas defuncionamiento.


Figura 1.1 Ejemplo de la deriva de los parámetros de la distribución Normal con el tiempo

La manera en que se observa el fallo se denomina modo de fallo (failure mode) y elmecanismo del fallo (failure mechanism) se refiere al proceso químico, físico que da lugar alfallo.

En ciertos casos la noción de fallo no es transparente: por ejemplo, nos puede interesarsaber cuándo una pieza de un motor deja de funcionar de manera adecuada; en este casodebe precisarse muy bien cuál es el fallo. Por ejemplo, si el fallo se detecta por el ruido delmotor, se tendrá que definir cómo medirlo (en decibelios por ejemplo) y definir un límitesuperior de tolerancia (por ejemplo 60 dB). Cuando se supera el límite de 60 dB, tenemos elfallo.

Los fallos se pueden clasificar según la causa que lo provoca: fallo por uso indebido (misusefailure) cuando la causa es extrínseca al dispositivo, y fallo por debilidad inherente (inherentweakness failure) cuando la causa es intrínseca.

Un sistema es un dispositivo formado por partes, la fiabilidad de las cuales es conocida.Estas partes se denominan componentes. En general, el fallo de un sistema se produce alfallar uno o varios componentes. Según sea el fallo, se denomina fallo primario (primaryfailure) cuando no es causado ni directamente ni indirectamente por el fallo de otrodispositivo, fallo secundario cuando es causado por el fallo de otro dispositivo, y fallo pordesgaste (wear-out failure) cuando es un fallo con una probabilidad de aparición queaumenta a medida que el tiempo pasa, resultado de una serie de procesos característicosdel dispositivo.


1.2 Características de fiabilidad

Para poder describir el comportamiento del tiempo de vida T de un dispositivo utilizamos lafiabilidad, que es la probabilidad de que un objeto realice su función con ciertas condicionesestablecidas, durante un período de tiempo prefijado. T es una variable aleatoria y para cadavalor del tiempo t se obtiene un valor de fiabilidad R(t), el que en estadística se denominadistribución de probabilidad. Una distribución de probabilidad se caracteriza mediante unosparámetros estadísticos, que en el contexto de la fiabilidad se denominan características defiabilidad. La distribución de probabilidad será distinta si los dispositivos se reparan o no,puesto que en un caso la variable aleatoria de interés es el tiempo entre fallos y, en el otro,el tiempo hasta el fallo.

En los dispositivos que no se reparan, únicamente tiene sentido considerar tiempos de vidahasta el primer fallo, y la variabilidad de una unidad a otra da una distribución, que es elobjeto de estudio de la fiabilidad.

Una característica de fiabilidad de la variable aleatoria T: tiempo hasta el fallo es la vidamedia hasta el fallo, MTTF (mean time to failure).

Si los dispositivos son reparados tiene sentido considerar el tiempo entre fallosconsecutivos. La fiabilidad en este caso es más complicada, a menos que la distribución deprobabilidad de tiempo entre fallos sea independiente de la edad del dispositivo.

Una característica de fiabilidad de la variable aleatoria T: tiempo entre fallos consecutivos esel tiempo medio entre fallos, MTBF (mean time between failure).

En las aplicaciones, sólo se dispone de un valor aproximado de estos parámetros, obtenidopor un procedimiento estadístico de estimación más o menos complejo. Estos valores estánmuchas veces incluidos en la especificación de un producto, y pueden figurar en unarelación contractual entre un cliente y un proveedor, o servir de criterio para unahomologación. Es importante concretar de qué forma se obtiene una característica defiabilidad. Un lenguaje preciso y preferiblemente normalizado ayuda a evitar malentendidoscuando se utilizan valores de las características de fiabilidad. Aquí utilizaremos laterminología de la Internacional Electrotechnical Comision (IEC), recogida en la norma IEC271.

Observación: La variable aleatoria duración de un dispositivo a veces no se mide en tiemposino en otra magnitud que tiene un significado análogo, por ejemplo la fiabilidad de un cablepuede referirse a la resistencia en Newton hasta la rotura, la de un neumático a loskilómetros rodados, la de una tostadora al número de ciclos, la de un motor al número derevoluciones, la de un equipo eléctrico a los kilovatios consumidos. De todas formasmantendremos la notación temporal para simplificar.

Otras características de fiabilidad son la fiabilidad y la tasa de fallo.

La fiabilidad es la probabilidad de que una variable aleatoria T: tiempo hasta el fallo supereun cierto período de tiempo en funcionamiento y se denota por R(t):

R(t) = Pr(T > t), donde T: tiempo hasta el fallo es la variable aleatoria.


Hay distintas formas de aproximar una característica de fiabilidad. En general se distinguencuatro formas distintas: observada, evaluada, extrapolada y predicha. Esta distinción esválida para cualquier característica de fiabilidad. En el caso de la fiabilidad se definen de lasiguiente forma:

Fiabilidad observada (observed reliability): de un dispositivo que no se repara a un tiempodado t, es la proporción de dispositivos de una muestra que hacen su función de manerasatisfactoria una vez transcurrido este tiempo t. Puede expresarse en porcentaje. El ejemplo1.2 es una ilustración de este concepto.

Ejemplo 1.2

Se realiza un ensayo del mecanismo de arrastre del papel de un nuevo modelo deimpresora de chorro de tinta. El ensayo se realiza con 12 unidades y la duración prefijada esde 60.000 ciclos. Los resultados son:

24.609; 25.237; 30.391; 41.434; 42.212; 51.615; 60.000+; 60.000+; 60.000+; 60.000+;60.000+; 60.000+.

El símbolo + indica censura por la derecha, es decir al cabo de 60.000 ciclos aúnfuncionaba.

En este caso la variable aleatoria es:

T = "nº ciclos de un mecanismo de arrastre hasta el fallo"

La muestra aleatoria simple T1, ... ,T12 es de tamaño n=12.

La fiabilidad observada a 50.000 ciclos es:

R(50.000) = 7/12 = 0,58

donde se interpreta que este nuevo mecanismo tiene una fiabilidad observada del 0,58, esdecir un 58% de las impresoras superan los 50.000 ciclos.

Nota: las fórmulas y la terminología para los cálculos se encuentran desarrolladas en elcapítulo 2.

La fiabilidad evaluada (assessed reliability) hace referencia a valores obtenidos a partir dedatos experimentales por un tratamiento estadístico. El resultado de este tratamiento puededar distinto a la fiabilidad observada como puede apreciarse en el ejemplo 1.3. La ventajadel tratamiento estadístico es que el resultado es más preciso ya que en el cálculointervienen los tiempos de vida, y además nos permite la obtención de un intervalo deconfianza. Se puede dar a la fiabilidad evaluada un límite de confianza inferior o dos límites.Obsérvese en el ejemplo 1.3 un intervalo de confianza unilateral de la fiabilidad evaluada.


1.2.1 Interpretación de un intervalo de confianza (1-α) para un parámetro θ

El intervalo de confianza asocia una verosimilitud o nivel de certeza que puede atribuirse ala estimación del parámetro θ.

Un intervalo de confianza (1-α) en el sentido clásico (no bayesiano) es tal que, si repetimosel experimento una infinidad de veces (y cada vez recalculamos el intervalo) entonces unporcentaje (1-α)100 % de las veces, el intervalo cubriría el verdadero valor del parámetrodesconocido θ.

Ejemplo 1.3

Se realiza un ensayo con 20 dispositivos y se finaliza cuando 12 de ellos han fallado. Seobtienen los siguientes resultados:

55, 58, 86, 131, 335, 376, 517, 544, 920, 953, 1.072 y 1.260 horas hasta el fallo.

En este caso la variable aleatoria es:

T = "tiempo en horas hasta el fallo de un dispositivo"

La muestra aleatoria simple T1, ... ,T20 es de tamaño n = 20.

Sólo se dispone del tiempo hasta el fallo de 12 de los 20 dispositivos; de los 8 restantessabemos que han superado las 1.260 horas de funcionamiento.

Si suponemos que la distribución exponencial se ajusta bien a los datos podemos estimar lavida media hasta el fallo como:

θ = MTTFOBSERVADO = T12

= 1.365,58

horas, donde T es el tiempo total en test

T = 55+58+86+131+335+376+517+544+920+953+1.072+1.260+8×60 = 16.387

La vida media evaluada hasta el fallo es de 1.365,58 horas.

La fiabilidad observada a 600 horas es 12/20 = 0,60, donde 12 son los dispositivos que hansuperado las 600 horas.

La fiabilidad evaluada a 600 horas es:

R(600) = exp(-600/1.365,58) = 0,64


Cálculo de la fiabilidad mínima de 600 horas con una confianza del 0,95

Primero se calcula el intervalo de confianza unilateral del 0,95 para θ, que es:

≤ θχ20,95:24

2T ˆ900,01=

donde el percentil 0,95 de la distribución χ20,95;24= 36,415 . Así, se deduce que la vida media

de los dispositivos es de 900,01 horas como mínimo, con una confianza del 0,95.

Utilizando el límite inferior de la estimación de la vida media se encuentra el intervalo deconfianza unilateral del 0,95 para R(600), que es

R(600) = exp(-600/900,01) = 0,51

De donde se interpreta que, como mínimo, la fiabilidad a 600 horas es de 0,51 con unaconfianza del 0,95, lo que indica que 51% de los dispositivos superarán las 600 horas y estaafirmación se hace con una confianza del 0,95.

Nota: las fórmulas para los cálculos se encuentran descritas en el capítulo 2.

La fiabilidad extrapolada (extrapolated reliability) se refiere a un valor obtenido al extrapolaro interpolar una fiabilidad observada o evaluada para poder obtener un valor aplicable acondiciones de estrés distintas, en que se van obteniendo resultados experimentales.Habitualmente, los valores extrapolados se basan en pruebas de vida aceleradas, quecomentaremos en el capítulo 4.

La fiabilidad predicha (predicted reliability) designa un valor aplicable a un sistema, que seobtiene a partir de los valores observados, evaluados o extrapolados, de sus componentes.Los métodos para el cálculo de las características de fiabilidad de un sistema se harán en elcapítulo 5.

La tasa de fallo (failure rate) es una característica de la fiabilidad que se puede interpretarcomo la velocidad a la que se producen los fallos, la fracción de unidades de un productoque fallan por unidad de tiempo.

Si la tasa de fallo es constante se designa por λ y si es función del tiempo t se designa porh(t) y se llama función de riesgo (Hazard function).

La tasa de fallo es la magnitud recíproca de la vida media, ya que generalmente representaun número medio de fallos por unidad de tiempo.

Igual que las otras características de fiabilidad, la tasa de fallo para un tiempo dado puedeser observada, extrapolada, etc.

La tasa de fallo, para un intervalo (t1, t2) se define como:

h(t1, t2)= 1 2

2 1 1

( )- ( )( - ) ( )R t R tt t R t


y es llamada también tasa de fallo auténtico (true failure rate). La fiabilidad R(t) representa laproporción de unidades que no han fallado en el instante t.

El cociente (R(t1) - R(t2)) / R(t1) representa la fracción de unidades que, no habiendo falladoen el instante t1, fallan en el intervalo (t1, t2).

Si hacemos el límite de h(t1, t2) cuando t2 tiende a t1 se obtiene la función de riesgo o tasade fallo instantáneo en un instante t, que es una derivada:

h(t)=′- (t)(t)

RR

Si se asume que la tasa de fallo no depende de t, es decir es constante, el tratamientoestadístico es mucho más sencillo tal como veremos en el siguiente capítulo.

Ejemplo 1.4

La siguiente tabla de mortalidad debida a Halley (1693) es un ejemplo clásico, que fuediscutido por Todhunter en 1949, que puede servir de ilustración para discutir las fórmulasde la fiabilidad y de la tasa de fallo definidas. La tabla muestra las edades de defunción delas personas de la época, que vienen agrupadas en intervalos de 5 años.

Edad t Proporción F(t) Fiabilidad R(t) Tasa h(t)

0−5 0,290 0,290 0,710 0,0585−10 0,057 0,347 0,653 0,016

10−15 0,031 0,378 0,622 0,00915−20 0,030 0,408 0,592 0,01020−25 0,032 0,440 0,560 0,01125−30 0,037 0,477 0,523 0,01330−35 0,042 0,519 0,481 0,01635−40 0,045 0,564 0,436 0,01940−45 0,049 0,613 0,387 0,02245−50 0,052 0,665 0,335 0,02750−55 0,053 0,718 0,282 0,03255−60 0,050 0,768 0,232 0,03560−65 0,050 0,818 0,182 0,04365−70 0,051 0,869 0,131 0,05670−75 0,053 0,922 0,078 0,08175−80 0,044 0,966 0,034 0,11380−85 0,034 1 0 0,200


1.3 Pruebas de vida

Las pruebas de vida son experimentos cuya finalidad es determinar el valor de unacaracterística de fiabilidad (determination tests) o bien asegurar que una característica defiabilidad es superior o inferior a un límite especificado (compliance test).

Una cuestión importante es la elección de las condiciones exteriores y el régimen de trabajoque hace falta seguir durante las pruebas. En la elección de las condiciones se deben teneren cuenta las particularidades del producto durante su explotación, como temperatura,humedad, tensión, vibraciones, etc. Las condiciones exteriores pueden tener una influenciadecisiva en la variación de los parámetros medidos.

La aproximación de las pruebas de vida es estadística, puesto que a priori no puede sabersecuándo se va a producir el fallo. Es decir, la aparición del fallo tiene un carácter aleatorio.

El conjunto de reglas que rigen el desarrollo de las pruebas se designa por plan de laspruebas y éste ha de estar bien definido antes de empezar a experimentar. Debe fijarse elnúmero de unidades que se prueban, y la duración, que vendrá restringida por ladisponibilidad económica y de tiempo. La duración puede fijarse en tiempo o en número deunidades que sé esta dispuesto a observar que fallen. En ambos casos puede pasar que laprueba termine y haya unidades donde no se ha observado el fallo.

Los ejemplos 1.2 y 1.3 ilustran situaciones típicas de pruebas de vida: en el ejemplo 1.2 sefija la duración de la prueba en 60.000 ciclos y en el ejemplo 1.3 se fija la cantidad deunidades que se está dispuesto a esperar que fallen, en particular 12.

El tratamiento estadístico en este caso requiere de las técnicas de muestras estadísticas nocompletas, puesto que la información de que se dispone sobre algunas unidades es que elfallo no ha ocurrido durante el tiempo de la prueba, denominado tiempo total de test. Estosdatos se llaman censurados. El concepto de censuramiento se define en el capítulo 2.

También es importante fijar si el seguimiento de la prueba será continuo o periódico. Enmuchos casos no se dispone de equipos conectados a las unidades para poder determinarexactamente cuándo ha habido el fallo y en estos casos debe fijarse con qué periodicidad seefectuará y cuáles serán las unidades de medida. En otros casos puede que el seguimientono sea en tiempo real sino operacional, es decir el seguimiento se hace a largo plazo y sólocuando el dispositivo opera, por ejemplo en el tiempo de vuelo, y no el tiempo desde sufabricación.

Es importante establecer si las unidades que fallan serán reemplazadas o no, a medida quevayan fallando (sistemas reparables o no reparables) y cuándo se dá por terminada laprueba.

Debido a la duración y al coste de las pruebas de vida se plantea el reducir el número deunidades sometidas al test y el tiempo de la prueba. En algunos casos la magnitud de lavida media del producto hace inviable una prueba de vida en las condiciones normales defuncionamiento del producto. Es en estos casos que se hace necesaria la realización depruebas de vida aceleradas (accelerated life test), en las cuales las condiciones de la pruebase hacen más severas a fin de acelerar el proceso de envejecimiento y bajar la vida media.Para poder sacar partido de este tipo de pruebas debe disponerse de un modelo teórico oempírico que permita la extrapolación de los resultados en condiciones ordinarias de


funcionamiento. Las principales dificultades de la elaboración de planes de prueba de vidaacelerada están ligadas al estudio de los aspectos físico-químicos del proceso deenvejecimiento, en función de las condiciones externas y el régimen de trabajo. Este temase desarrolla en el capítulo 4.

1.4 Distribuciones de probabilidad en fiabilidad

En muchas áreas de la estadística aplicada, la distribución Normal es el punto de partidanatural para modelar la variable aleatoria de interés. Puede resultar de consideracionespuramente pragmáticas o del argumento teórico basado en el Teorema del Límite Central, elcual nos dice que si una variable aleatoria es la suma de un gran número de efectospequeños, entonces la distribución es aproximadamente Normal. En el contexto defiabilidad, el caso de la Normalidad tiene una importancia menor. Por un lado los tiempos devida y las resistencias a la rotura son cantidades inherentemente positivas y además parauna variable aleatoria de estas características surge de forma natural la idea de que laaparición de fallos puede seguir el proceso de Poisson, con lo que en este caso ladistribución exponencial es más adecuada.

En la práctica, los modelos utilizados en fiabilidad son generalizaciones de la distribuciónexponencial, tales como las distribuciones Gamma y Weibull.

Otro aspecto distintivo del análisis estadístico de los datos de fiabilidad es el papel centralque juegan la función de fiabilidad y la función de riesgo (Hazard Function) y la naturalaparición de datos censurados.

1.4.1 El proceso de Poisson

El proceso de Poisson modeliza los tiempos entre sucesos aleatorios. Supongamos que seobservan una serie de sucesos aleatorios; concretando, supongamos que los sucesos sonfallos de unidades, de forma que las observaciones son tiempos entre fallos, por ejemplo ensistemas reparables. Las hipótesis naturales, las cuales pueden o no satisfacerse en algúnejemplo particular, son:

Los fallos que ocurren en intervalos de tiempo disjuntos son estadísticamenteindependientes.

La tasa de fallo (media de fallos por unidad de tiempo) es constante, así que nodepende del intervalo examinado en particular.

Cuando ambas hipótesis se cumplen, entonces el proceso de aparición de fallos se llamaproceso de Poisson con tasa de fallo λ.

El proceso de Poisson tiene dos propiedades importantes:

El número de fallos X en un intervalo de longitud t sigue una distribución de Poisson conmedia λt, de tal forma que

Pr(X = k) = (λt)k e-λt/k! , k≥0


Los tiempos entre fallos sucesivos son variables aleatorias independientes, cada una delas cuales sigue una distribución exponencial con parámetro λ, así que:

Pr(tiempo de fallo > t) = e-λt, 0 < t < ∞

El tiempo medio entre fallos (MTBF) es λ-1.

La primera propiedad está totalmente relacionada con la distribución de Poisson deparámetro λ:

X ∼Poisson(λ) ⇔ Pr(X = k) = λke-λ/k!, k = 0,1,2, ...

Además, el proceso de Poisson es un buen modelo para aquellos sistemas con muchoscomponentes que pueden fallar, pero que la probabilidad de fallo de cada uno de loscomponentes es pequeña. Este fenómeno es conocido con el nombre de sucesos raros.

La segunda propiedad sugiere la distribución exponencial como modelo para tiempos devida. La distribución exponencial se estudiará en el capítulo 2.

En las aplicaciones la hipótesis 2 puede ser crítica, ya que muchos sistemas pueden mejoraro deteriorarse con el tiempo. En este caso se necesitan modelos más generales como losprocesos de Poisson no homogéneos (Nonhomogeneous Poisson Process) donde la tasade fallo no es constante. Este tipo de modelos es particularmente importante en el análisisde sistemas reparables. Para ampliar el tema consultar el capítulo 8 del libro de Crowder yotros (1995).

1.4.2 Preliminares de las distribuciones del tiempo de vida

Para fijar ideas, supondremos la variable aleatoria

T = "duración de una unidad hasta el fallo"

Aquí utilizaremos tiempo en el sentido más general. Puede ser tiempo real o tiempooperacional o incluso cualquier variable no negativa, tal como resistencia a la rotura onúmero de revoluciones hasta el fallo o número de ciclos hasta el fallo. Entonces

F(t) = Pr(T ≤ t)

es la función de distribución de T y

R(t) = Pr(T > t) = 1-F(t)

es la función de fiabilidad o función de supervivencia de T. Fiabilidad (R) se utiliza en elcontexto de fiabilidad industrial y supervivencia (S) en el contexto de supervivencia enepidemiología.

Diremos que T tiene la función de densidad

f(t) = d ( ) d ( )

=-d d( )F t R t

t t


así que la probabilidad de que una unidad falle en un intervalo de tiempo pequeño (t, t+δt] es

Pr(t < T ≤ t+δt) ≅ f(t)δt

Consideremos el mismo suceso, t < T ≤ t+δt, condicionado al hecho de que la unidad no hafallado antes del tiempo t. Es decir

Pr(t < T ≤ t+δt| T>t) ≅ δ( )

( )f t tR t

La función h(t) dada por

h(t) = ( )( )

f tR t

= ′- ( )( )

R tR t

es la función de riesgo (hazard function) o función tasa de fallo, y es un indicador de ladisposición al fallo de una unidad después de un intervalo de funcionamiento t. La función deriesgo acumulada es

H(t)=0

( )d∫t

h u u

de donde se puede deducir

R(t) = exp-H(t)

Obsérvese que f, F, R, h y H son descripciones equivalentes de T en el sentido que, dadacualquiera de ellas, se pueden deducir las otras cuatro.

A continuación discutimos tipologías de la función de riesgo:

Si h(t) = λ es constante, entonces H(t) = λt y R(t) = exp(-λt), que es la función defiabilidad de una distribución exponencial de parámetro de tasa de fallo λ. Lacorrespondiente función de densidad es

f(t) = λe-λt

Así, la distribución del tiempo de vida exponencial corresponde a dispositivos que noenvejecen, y es un punto de partida para modelar datos de fiabilidad. Esta es la etapade la vida de un dispositivo llamada período de fallo con tasa constante (constant failurerate periode).

Si h(t) es una función creciente de t, entonces se dice que T tiene una tasa de fallocreciente. Esto es apropiado cuando las unidades están sujetas al envejecimientodebido al desgaste, la fatiga o la acumulación de daños. Esta es la etapa de la vida deun dispositivo llamada período de fallo por desgaste (wear-out failure periode).

Conceptos fundamentales p27

n Si h(t) es una función decreciente de t, entonces se dice que T tiene una tasa de fallodecreciente. Esto puede ocurrir, por ejemplo, cuando el proceso de fabricación produceuna proporción apreciable de unidades con baja calidad que pueden provocar un falloprecoz. Pasado un cierto tiempo, quedan las unidades de calidad superior, lo cual dauna tasa de fallo inferior. Esta es una situación común en algunos dispositivoselectrónicos. En tales casos se somete a veces al dispositivo a una prueba deresistencia con estrés más grande del correspondiente a las condiciones defuncionamiento para eliminar las unidades subestándares. Estas pruebas son típicas enla industria electrónica, y se llaman pruebas de burn-in. Esta es la etapa de la vida deun dispositivo llamada período de fallo precoz (early failure periode).

n Otra cosa que se debe resaltar es la función de riesgo en forma curva de bañera (bath-tub hazard), que tiene un riesgo inicial decreciente pero eventualmente pasa a un riesgocreciente. Un escenario en el cual se puede observar este comportamiento es comosigue. Los dispositivos con baja calidad tienden a tener una fallada precoz, dejandopaso a los de alta calidad. Estos tienden a hacer bajar y a continuación aplanar lafunción de riesgo en la etapa de su vida para la cual ha sido diseñada. Después de esteperíodo, debido a la fatiga, empieza a crecer, y causa una función de riesgo creciente.

Tiempo

Tasa de fallo

FALLO

PRECOZ

TASA CONSTANTE

DESGASTE

Figura 1.2 Etapas de la vida de un dispositivo

Observaciones: en muchas situaciones de interés aplicado la mayoría de las unidadesdefectuosas son separadas (quizá como resultado del control de calidad) antes de empezarel período de observación con lo cual es difícil encontrar funciones de riesgo decreciente. Lafiabilidad de algunos componentes electrónicos, puede ser tan alta que el equipo del queformaran parte quedará obsoleto antes de llegar a la fase de desgaste, por lo cual en estetipo de productos no interesa la etapa del período de envejecimiento.

En algunos productos el período de fallo precoz no forma parte de su vida comercial, ya quese organiza la producción de forma que el fallo precoz se dé dentro de la fábrica. Por esto sesomete a veces al dispositivo a una prueba de resistencia con estrés más grande delcorrespondiente a las condiciones de funcionamiento. Estas pruebas son típicas en laindustria electrónica, y se llaman pruebas de burn-in. Y es por esto, que en muchosproductos solamente interesa la etapa período de fallo con tasa constante.

Es difícil encontrar modelos probabilísticos para modelar funciones de riesgo con curva debañera. Pueden encontrarse estudios donde se trata este problema en Gaver y Acar (1979).


Ejemplo 1. 5

El siguiente gráfico es la tasa de fallo de la tabla de mortalidad de Halley (ejemplo 1.4).Obsérvese que tiene forma de curva de bañera.

00,05

0,10,15

0,20,25

0-5 5-1010

-1515

-2020

-2525

-3030

-3535

-4040

-4545

-5050

-5555

-6060

-6565

-7070

-7575

-8080

-85

AÑOS

1.5 Enfoques de la fiabilidad

Para finalizar este capítulo, y a manera de síntesis podemos decir que la fiabilidad en laindustria se puede enfocar desde un punto de vista cuantitativo o cualitativo.

Desde el punto de vista cuantitativo, tenemos herramientas como la curva de fiabilidad, lacurva de degradación o las características de fiabilidad para cuantificar el comportamientode la vida de los dispositivos. Estos conceptos ya han sido desarrollados a lo largo de estecapítulo.

Desde el punto de vista cualitativo las herramientas que se utilizan en la industria son elAnálisis de modo de fallo y sus efectos (AMFE) y los análisis por árboles de fallos FTA(failure tree analysis). Este último se desarrollara en el capítulo 5.

El análisis modal de fallos y sus efectos es un sistema metódico de valoración deprioridades de riesgos de un proceso o producto con el propósito de reconocer y evaluarfallos potenciales de un producto o proceso y sus efectos, identificar acciones que puedaneliminar o reducir el riesgo de los potenciales fallos y documentar el proceso.

Fue desarrollado por la NASA en el proyecto Apolo a mediados de los años 70. Después delas aplicaciones en los viajes aéreos y espaciales así como en las centrales nucleares seutilizó de inmediato en la industria de la automoción; actualmente es una herramienta de usohabitual en la industria.

Es una técnica de carácter preventivo que debe llevarse a cabo en las fases de diseño ydesarrollo de productos y servicios a lo largo del proceso de fabricación para que se puedandetectar y prevenir los posible modos de fallo potenciales.

En el manual Potential Failure Mode and Effects Analysis de la QS 9000, normativa delsector de la automoción Ford, Opel y General Motors, pueden encontrase las ideasfundamentales de esta técnica y la manera de aplicarlas.

Fiabilidad con tasa de fallo constante 29

2 FIABILIDAD CON TASA DE FALLO CONSTANTE

En este capítulo se aborda el modelo exponencial que, como hemos mencionado en elapartado 1.4, es un punto de partida natural como distribución en fiabilidad. Se introducenlas muestras aleatorias no completas y el concepto de datos censurados. Se plantea laestimación de la vida media y la tasa de fallo para distintos tipos de pruebas de vida.

2.1 El modelo Exponencial

La función de fiabilidad de una variable aleatoria T = "Tiempo de vida hasta el fallo de undispositivo", cuya distribución es expo-nencial, se expresa como

R(t) = Pr(T > t) = exp(-λt) = exp θ

t-, t > 0

donde λ es un parámetro positivo, denominado tasa se fallo, y θ=1/λ es otra parametrizaciónhabitual de la distribución exponencial que representa la media del tiempo de vida . La figura2.1 muestra dos funciones de fiabilidad.

Utilizando las fórmulas del apartado 1.4 se deduce que h(t), la función de riesgo (hazardfunction) de la distribución exponencial es constante:

h(t) = ′- ( )( )

R tR t

= λ

En este caso se llama tasa de fallo.

La función de densidad exponencial tiene la expresión:

f(t) = λ exp(-λt) = θ θ

1exp -

t, t >0

Para cualquier valor de λ la forma de la función de densidad es siempre la misma. Así, porejemplo, si el tiempo en minutos, T, de cierto dispositivo es exponencial con tasa de fallo λ,el tiempo en horas es T*=T/60, y T* se distribuye exponencial con tasa de fallo 60λ. Lafigura 2.2 muestra dos funciones de densidad exponencial.

La función de distribución exponencial viene dada por:

F(t) = Pr(T ≤ t) = 1- exp(-λt), t > 0

La media o esperanza matemática de la exponencial se deduce de

E(T) = 0

d∞

∫tf t t( ) = θ = 1/λ


y la varianza

Var(T) = 0

2 ( )d∞

θ∫ t f t t( - ) = θ2 = (1/λ)2

En el capítulo 3 veremos que la función exponencial es un caso especial de la distribuciónde Weibull.

El ejemplo 2.1 ilustra la interpretación de las características de fiabilidad de la distribuciónexponencial.

F ia b i l id a d

00 ,20 ,40 ,60 ,8

1

0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 1 ,2

T

R(t)

λ = 5

λ = 1 0

Figura 2.1 Función de fiabilidad exponencialcon tasa de fallo λ = 5 (sólido) y λ = 10 (punteado)

D e n s i d a d

02468

1 0

0 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 8

T

f(t)

λ = 1 0

λ = 5

Figura 2.2 Función de densidad exponencialcon tasa de fallo λ = 5 (sólido) y λ = 10 (punteado)

Fiabilidad con tasa de fallo constante p31

Ejemplo 2.1 Cambio de un motor Diesel

La duración en km del cambio de un motor Diesel de un automóvil sigue una ley exponencialde vida media θ = 300.000 km. La tasa de fallo es λ = 1/300.000 = 3×10-6 fallos/km o 3 fallospor 1 millón de km de funcionamiento.

La dirección de una fabrica quiere decidir si es necesario rediseñar los equipos actualespara poder mantener la garantía, que es actualmente de 20.000 km de funcionamiento.

Se calcula la probabilidad de que fallen antes de 60.000:

Pr(T ≤ 20.000) = F(20.000) = 1-R(20.000) = 1-exp

20.000-300.000

= 0,0645

Esto indica que un 6,45% de los cambios fallan durante la garantía.

La dirección de la empresa quiere saber en qué valor tiene que fijar la garantía para quefallen únicamente un 5% de los cambios de los motores.

Para esto se plantea cuál ha de ser el valor k de la variable aleatoria T para queF(t) = 1-R(k) = 0,05, es decir R(k) = Pr(T > k) = 0,95, de donde se deduce:

R(k) = exp -300.000

k = 0,95 ⇒ k = -ln(0,95)x300.000 = 15.388 km

La magnitud k = 15.388 km representa el percentil del 5% de la distribución de la variablealeatoria T, km hasta el fallo de un cambio del motor.

Conclusión: Si la dirección desea que sólo fallen un 5% de los cambios del motor durante elperíodo de garantía debería fijarla en 15.388 Km. de funcionamiento. En caso de querermantener los 20.000 Km. debería rediseñar los cambios. Es importante remarcar que estose ha hecho suponiendo que el modelo exponencial es adecuado para modelar los km defuncionamiento hasta el fallo de los cambios de los motores.

2.2 Datos censurados

Frecuentemente los datos de tiempo de vida tienen observaciones incompletas. Eltratamiento estadístico y en particular la estimación de las características de fiabilidadcambia respecto a la estimación clásica de muestras completas.

Este tipo de datos se denominan datos censurados. El mecanismo de censuramiento puedeser por la derecha, por la izquierda y por intervalo. En principio el tiempo de vida de lasunidades no depende del mecanismo de censuramiento.

Ocurre comúnmente que el valor exacto del tiempo de vida de una unidad no es observadopero se sabe que excede de un cierto tiempo c. Tales tipos de observaciones reciben elnombre de censuradas por la derecha. Una observación de este tipo aparece cuando launidad aún no ha fallado cuando termina el tiempo previsto de la prueba de vida.


El censuramiento por la izquierda aparece cuando de la unidad se conoce que ha falladoalgún tiempo antes c. Por ejemplo cuando el test sobre la unidad se hace cada hora. Si unaunidad ha fallado antes de la primera hora entonces de la unidad sólo se sabe que el tiempode vida es inferior a una hora. En este escenario puede darse que una unidad falle entre lasegunda y la tercera hora (es decir, que la unidad trabaje en el segundo test y en el terceroya no funcione). Entonces sabemos que la unidad ha durado más de dos horas pero menosde tres horas. Este es un ejemplo de censuramiento por intervalo.

Un posible mecanismo de censuramiento, conocido como tipo I, es cuando se ponen nunidades en un ensayo y a priori se fija un periodo t0 de la prueba. Entonces, los i-ésimostiempos de vida Ti (i = 1, ... ,n) que se observan son los que Ti ≤ t0, mientras que hay otrosde los que sólo se sabe que Ti > t0. Este tipo de censuramiento es fácil de tratarestadísticamente.

Otro tipo de mecanismo de censuramiento puede darse cuando se hace un test a nunidades y cada unidad es observada hasta que el observador está convencido de que launidad ha empezado a fallar. El punto de vista del observador se basa en su experiencia yno en puras suposiciones. En este caso, el mecanismo de censuramiento contieneinformación de interés sobre los tiempos de vida. Esta situación se puede formalizar de lasiguiente forma: sea Ti censurada por la derecha por ci; entonces se sabe que Ti > ci yademás Ti = ci + εi, donde εi es una variable aleatoria positiva de media cero y varianzapequeña (su pequeñez depende de la experiencia del observador). Así, según esteesquema, una unidad censurada en ci puede no ser representativa de todas las unidadesque tienen un tiempo de vida ci o superior. Este tipo de mecanismo de censuramiento debetratarse con métodos estadísticos más complejos que no se desarrollarán en este texto.(Puede consultarse Crowder y otros (1995).)

Una forma de censuramiento habitual en estudios de fiabilidad es el censuramiento por laderecha llamado tipo II. En este caso se fija la duración del ensayo hasta después de haberobservado un número especificado de unidades que fallen. Obsérvese que el tiempo decensuramiento por la derecha (o tiempos, si todas las unidades no se han puesto enfuncionamiento a la vez) no es (son) conocido (s) por avanzado. Pueden encontrarse otrasformas más complicadas de censuramiento por la derecha, pero deben tratarse de maneraparticular cada una de ellas, sabiendo que cualquier unidad censurada por la derecha en ci

es representativa de todas las unidades similares que tienen un tiempo de vida superior a ci.Para el censuramiento por la izquierda y por intervalo pueden aplicarse criterios similares.

Dada una muestra aleatoria simple de la variable de interés T si la realización de la muestraes completa, es decir, si disponemos de todos los tiempos de vida, se trata de pruebas devida con datos completos. Si la realización de la muestra es incompleta, por lo tanto nohemos observado todos los fallos, se trata de pruebas de vida con datos censurados.

2.3 Estimación de la vida media y la tasa de fallo de la distribución exponencial

Sea T = "tiempo de vida de una unidad", una variable aleatoria que se distribuye exp(θ).

Sea T1, T2, ... , Tn una muestra aleatoria de T. Se define el tiempo total de test T, como lasuma de los tiempos de funcionamiento de las unidades de la muestra (hayan fallado o no).


El valor estimado de la vida media viene dada por

MTTF = θ =T

r

^ indica la estimación del parámetro θ, la vida media hasta el fallo. T es el tiempo total entest y r es el número de fallos observados. Cuando la muestra es completa r coincide con n,tamaño de la muestra.

El valor estimado de la tasa de fallo λ= 1/θ viene dado por

λTr=

donde T es el tiempo total de test y r es el número de fallos observados. Obviamente aquítambién, para una muestra completa r, coincide con n.

2.4 Pruebas con datos completos. Intervalos de confianza 1-α para la vida mediay la tasa de fallo

El intervalo de confianza bilateral 1-α para la vida media es

2 2(1- /2);2 ( /2);2

2T 2Tˆα α

≤ θ ≤χ χn n

(2.1)

donde T es el tiempo total de test de una muestra de tamaño n y α νχ21- ; es el (1-α)-percentil

de la distribución χ2 con ν grados de libertad, en este caso ν = 2n, donde n es el tamaño de

la muestra.

El intervalo de confianza unilateral 1-α para la vida media es

2(1- );2

2T ˆα

≤ θχ n

(2.2)

donde T es el tiempo total en test de una muestra de tamaño n y α νχ2; es el (1-α)-percentil de

la distribución χ2 con ν grados de libertad, en este caso ν = 2n.

El intervalo de confianza bilateral 1-α para la tasa de fallo λ es

2( ˆ2T 2Tα α≤ λ ≤

χ χn n2

/2);2 (1- /2);2 (2.3)

donde T es el tiempo total de test de una muestra de tamaño n y α νχ2; es el α-percentil de la

distribución χ2 con ν grados de libertad, en este caso ν = 2n.


De forma similar, se puede definir el intervalo de confianza unilateral 1-α para la tasa defallo λ

2

ˆ2Tα ≤ λ

χ n;2 (2.4)

Ejemplo 2.2

La siguiente tabla presenta los datos obtenidos en una prueba de vida en que se midieronlos tiempos de perforación (time to breakdown) en minutos, de un fluido aislante entreelectrodos sometido a un voltaje de 34 kV. El experimento duró hasta que todos loscomponentes (n = 19) fallaron.

(fuente W. Nelson 1982)

Sea la variable aleatoria T= "Tiempo, en minutos, de un fluido aislante sometido a 34 kV" ysupongamos que T es exponencial.

El tiempo total de test es T = ∑n

t ii=1

= 272,82 minutos, donde t1,...,tn es la realización de la

muestra de la variable aleatoria T.

La media del tiempo de vida en minutos es θ = Tn

= 272,8191/19 = 14,3589 minutos.

El intervalo de confianza 0,95, aplicando la fórmula (2.1), de la media del tiempo de vida es

9,59 ≤ θ ≤ 23,85

En los anexos se encuentran las tablas de χ2 donde los percentiles de la distribución χ2,son para este caso:

χ20,025;38 = 22,8785 χ2

0,975;38 = 56,8955

lo que indica que la vida media de un fluido sometido a un voltaje de 34kV se encuentraentre 9,59 y 23,85 minutos con una confianza del 0,95.

La tasa de fallo se estima como λ = 1/ θ = 0,0696, de donde se deduce que la tasa de falloes de 0,0696 fallos por minuto.

Aplicando la fórmula (2.3) se calcula el intervalo de confianza 0,95 para la tasa de fallo:

0,0419 ≤ λ ≤ 0,1043

lo que indica que la tasa de fallo de un fluido sometido a un voltaje de 34kV se encuentraentre 0,042 y 0,10 fallos por minuto.


La función de fiabilidad estimada o evaluada es

R(t) = exp -14,36

t , t ≥ 0

de donde podemos decir que la fiabilidad evaluada a 15 minutos sería 0,35, es decir, que el35% de los componentes sometidos a un voltaje constante de 34kV superaran los 15minutos.

El intervalo de confianza 0,975 unilateral para R(15) es

exp(-15/9,59) = 0,21 ≤ R(15)

Es decir, que con una confianza del 0,975 podemos asegurar que el 21% de loscomponentes superaran los 15 minutos.

Nota: Obsérvese que para el cálculo del intervalo de confianza unilateral 0,975 para R(15)utilizamos el límite inferior del intervalo de confianza 0,95 de la estimación de la media deltiempo de vida.

2.5 Pruebas de vida con duración prefijada (Censuramiento tipo I)

2.5.1 Tiempos de fallo conocidos

Supongamos un experimento en el que tenemos n dispositivos y prefijamos un tiempo t0 deduración y se registran los tiempos de fallo. Este tipo de prueba admite dos variantes, segúnsi se reemplazan o no los dispositivos. En el primer caso se dice que la prueba se realizacon sustitución. Los dos tipos de prueba tienen un tratamiento matemático parecido, laspruebas con sustitución no tienen otra finalidad que aumentar el tamaño de la muestra.

Al cabo de t0 horas observamos r < n fallos.

En este caso el tiempo total en test T viene dado por:

T = +( - )∑t n r tr

i 0i=1

, donde ti ≤ t0

Si las pruebas son con sustitución, T = n x t0.

La estimación de la vida media es

θ = MTTF = T/r (2.5)

El intervalo de confianza bilateral 1-α es

2 21-( /2);2 +2 ( /2);2

2T 2Tˆα α

≤ θ ≤χ χr r

(2.6)


donde T es el tiempo total de test de una muestra de tamaño n y α νχ2; es el α-percentil de la

distribución χ2 con ν grados de libertad y donde r(<n) es el número de fallos observados de

la muestra.

El intervalo de confianza unilateral se obtiene sustituyendo en la fórmula (2.6) α/2 por α enun solo límite. Hay una ilustración en el ejemplo 2.3.

Si durante el período previsto para la prueba no se observa ningún fallo, es decir r = 0, nopodemos dar un valor para θ ni para R(t0), pero sí límites de confianza inferiores para la vidamedia y la fiabilidad.

Ejemplo 2.3

Se realiza una prueba de vida con n = 12 componentes durante una semana, es decirfijando el tiempo de duración en t0 = 168 horas, con substitución, observándose r = 3 fallos.Se quiere evaluar la fiabilidad al cabo de 168 horas y la vida media en horas defuncionamiento. El tiempo total en test T es de 168 x 12 = 2.016 horas.

La vida media en horas de funcionamiento aplicando la fórmula (2.5) es

θ = MTTF = T/r = 2.016/3 = 672 horas.

Sustituyendo α por α/2 en el límite inferior de la fórmula (2,6) se obtiene un límite inferior deconfianza 0,95 para la vida media de

θ≥ χ20,95;8

2x2016ˆ 259,96= horas

donde χ20,95; 8 = 15,51 se encuentra en las tablas estadísticas del Anexo. Lo que indica que

estos dispositivos tienen una duración media mínima de 259,96 horas, y esta afirmación sehace con una confianza del 0,95.

La fiabilidad estimada al cabo de 168 horas es

R (168) = exp(-168/672) = 0,78

lo que indica que 78% de los dispositivos superan una semana.

Obsérvese que ésta es una estimación puntual sin ningún grado de confianza. Se podríaprecisar más dando una aproximación por intervalo de confianza. Utilizando el límite deconfianza inferior de la estimación de la vida media se obtiene con un 95% de confianza:

R (168) ≥ exp(-168/259,96) = 0,524

Es decir, la probabilidad de que una pieza funcione al cabo de 168 horas es superior al52,4% con una confianza del 95%.


Si durante este período de 168 horas los n=12 componentes no hubiesen fallado, es decir,no se hubiese observado ningún fallo, podríamos asegurar, con una confianza del 95%, quela vida media de estos dispositivos es superior a:

θ ≥ χ4.0922x2.016ˆ = =673,125,99

20,95;2

Sustituyendo por θ = 673,12 obtenemos R (168) = exp(-168/673,12) = 0,78, que nos da unlímite inferior de confianza para la fiabilidad al cabo de una semana, que se puedeinterpretar como que la probabilidad de que un componente no haya fallado al cabo de unasemana es superior al 78%, con una confianza del 95%.

2.5.2 Pruebas de vida donde no se registran los tiempos de fallo

En los estudios de fiabilidad en la industria pueden plantearse pruebas de vida donde, fijadoun tiempo de duración t0, sólo se pueda obtener el número de fallos y no se registre eltiempo de fallo de cada unidad. En este caso puede calcularse la fiabilidad en el momento t0como:

R(t0)= n- rn

(fiabilidad observada)

donde n es el tamaño de la muestra y r son los fallos observados.

El intervalo de confianza 1-α para la fiabilidad al cabo de t0 horas viene dado por

≤ ≤

/ -- 1

012

F1 ˆ(t )F +( +1))1+ ( +1)/( ) F

Rr n rr n r

(2.7)

donde 1 (1- ;2 -2 +2;2 )2F = α

n r rF y 2 (1- ;2 +2;2 -2 )2F = α

r n rF son los (1-α/2) percentiles de la distribución F

con 2n-2r+2 y 2r grados de libertad y 2r+2 y 2n-2r respectivamente. Los percentiles del 0,90y 0,95 de la distribución F se encuentran en las tablas estadísticas del Anexo.

De la misma manera que en la fórmula 2.6, puede obtenerse el intervalo unilateral inferiorsustituyendo α/2 por α en el límite inferior de la fórmula (2.7). El comentario se ilustra en elejemplo 2.4.

Las fórmulas para obtener la fiabilidad observada y el intervalo de confianza anteriores,obviamente no dependen de la distribución de los datos. Si por estudios anteriores o por lanaturaleza de los datos puede suponerse que el modelo exponencial es válido, se puedeestimar la vida media como:

θ

ˆln ln

t tn - rR tn

0 0

0

- -= =( )

(2.8)


Ejemplo 2.4

Se dispone de n = 20 unidades de un dispositivo durante una semana, 168 horas. Al finalizarla semana sólo se observa que han fallado 5 unidades.

La fiabilidad observada de este producto al cabo de una semana R(168) = 15/20 = 0,75horas, lo que indica que un 0,75% de los dispositivos superan la semana. Esta aproximaciónes sin grado de confianza.

Sustituyendo α/2 por α en el límite inferior de la fórmula (2.7) el intervalo de confianza 0,95unilateral al cabo de 1 semana es:

0,54 = ≤

=22

1 1 ˆ(168)1+( +1)/( ) F1+ (5+1)/(20-5) F

Rr n - r

donde F2 = F(0,95;12;30) = 2,09, n es el tamaño de la muestra y r el numero de fallosobservados. Con lo que se puede afirmar que la fiabilidad del dispositivo al cabo de unasemana es superior al 54%, con una confianza del 95%.

Si podemos suponer que los tiempos de vida (no registrados) se distribuyen exponencial, apartir de la fórmula (2.8) una estimación puntual de la vida media es:

θ

-168ˆ=15

ln20

= 583,9 horas

El intervalo unilateral inferior con una confianza del 95%, utilizando el límite de confianzainferior obtenido para la fiabilidad en la fórmula 2.8, es:

-168ln(0,54)

= 272,6 ≤ θ

Concluimos que la validez del modelo exponencial permite asegurar que la vida media essuperior a 272,6 horas, con una confianza del 95%.

2.6 Pruebas de vida con número de fallos prefijados (Censuramiento tipo II)

Supongamos una prueba donde especifiquemos previamente el número de componentesque estamos dispuestos a esperar que fallen. Este tipo de prueba se utiliza cuando el costede los dispositivos es elevado, o en la fase de desarrollo del producto donde se dispone depocos prototipos.

Sea r el número de fallos prefijado; entonces la muestra ordenada de los tiempos serát(1), t(2), ... ,t(r), t(r+1), ... ,t(n) y el tiempo total de test

T = t(1) + t(2) + ... + t(r) + (n-r)t(r)

Nota: Una muestra ordenada es cuando t(1) ≤ t(2) ≤ ... ≤t(r) < t(r+1) ≤ ... ≤ t(n), donde el subíndiceentre paréntesis sirve para distinguirla de una muestra aleatoria simple.

La estimación de la vida media es:


θ = MTTF = T /r

El intervalo de confianza bilateral 1-α de la vida media:

2 2(

2T 2Tˆα α

≤ θ ≤χ χ(1- /2);2 /2);2r r

Igual como se ha desarrollado en el apartado 2.5 se obtiene una estimación de la fiabilidad ylos intervalos de confianza (1-α) bilaterales y unilaterales sustituyéndose el valor estimadode θ en la fórmula de la fiabilidad de una exponencial. En el ejemplo 2.5 se desarrollanalgunos de estos cálculos.

Ejemplo 2.5

Sea una prueba de vida donde se ponen en funcionamiento 12 dispositivos y se detiene laprueba una vez han fallado r = 4 dispositivos. Los tiempos de los 4 primeros fallos han sido:175,2 185,5 215,2 y 315,7 horas.

Se quiere evaluar la vida media de los dispositivos y la fiabilidad al cabo de 200 horas defuncionamiento.

El tiempo total de test es

T = t(1) + t(2) + ... + t(r) + (n-r)t(r) = 175,2 + 185,5 + 215,2 + 315,7 + 8x315,7 = 3.417,2 horas.

La estimación de la vida media es

θ = MTTF = T/r = 854,3 horas.

El intervalo de confianza bilateral 0,90 es

≤ θ ≤χ χ2x3.417,2 2x3.417,2ˆ440,64= =2.503,442 2

0,95;8 0,05;8

donde χ20,95;8 = 15,51 y χ2

0,05;8 = 2,73.

Utilizando la estimación puntual de la vida media y sustituyendo en la fórmula de la fiabilidad

de una distribución exponencial R(t)=exp θ

t-, se obtiene una estimación puntual de la

fiabilidad a las 200 horas de funcionamiento:

R(200) = exp(-200/854,3) = 0,79

lo que indica que un 79% de los dispositivos superan las 200 horas.Para calcular el intervalo unilateral de la fiabilidad a las 200 horas se sustituye el límiteinferior de la estimación por el intervalo de la vida media del dispositivo en la expresión de lafiabilidad. Se obtiene

R(200) ≥ exp(-200/440,64) = 0,45

Por lo tanto, la fiabilidad estimada al cabo de 200 horas será superior al 0,45, con unaconfianza del 95%.

Tasa de fallo no constante. El modelo de Weibull y otros 41

3 TASA DE FALLO NO CONSTANTE. EL MODELO DE WEIBULL Y OTROS

Este capítulo trata el modelo de Weibull, que permite modelar tasas de fallo no constante,crecientes y decrecientes. También se tratan otras distribuciones como la Gumbel, la Normaly la lognormal. Se describen los gráficos de probabilidad como herramienta para validar elmodelo de Weibull y estimar sus parámetros. Se expone brevemente el método deestimación de la máxima verosimilitud y se proponen estimadores para los parámetrosbasados en este método.

3.1 Modelo de Weibull

La función de fiabilidad de una variable aleatoria T = "tiempo de vida de un dispositivo" deuna distribución de Weibull(α,β) es

R(t) = Pr(T > t) = expβ − α

t, t ≥ 0 (3.1)

donde α y β son parámetros positivos, α un parámetro de escala (scale) y β un parámetro deperfil o de forma (shape). Nótese que cuando β=1, se obtiene una distribución exponencialde λ = 1/α. En la figura 3.1 puede verse la forma de 4 funciones de fiabilidad con el mismoparámetro α=1 y distintos valores de β.

La función de riesgo (hazard function) de Weibull es

h(t) = βα-βtβ-1

Si β < 1 la función de riesgo o tasa de fallo disminuye al aumentar el tiempo. Estecomportamiento es propio de los fallos prematuros. Productos con esta tasa de fallo suelenser verificados en fábrica para que los fallos no se produzcan en el mercado.

Si β = 1 (modelo exponencial) la función de riesgo es constante. Una tasa de fallo constantees una característica de los fallos ocasionales. En esta situación el número de fallos y elmomento en que ocurren no depende del tiempo que el dispositivo funciona.

Si β > 1 la función de riesgo es creciente. Esto indica que los fallos son debidos alenvejecimiento, a la fatiga o al desgaste. En particular si 1 < β < 2, la función de riesgo crecerápidamente al principio y muy poco al final; para β = 2 la función de riesgo crecelinealmente con el tiempo; para β > 2 crece poco al principio y rápido posteriormente, esdecir, el intervalo de tiempo en el cual se produce un fallo es cada vez menor. Esrecomendable que los dispositivos con tasa de fallo creciente tengan un plan demantenimiento preventivo.

En la figura 3.2 se muestra una selección de funciones de riesgo Weibull, crecientes,decrecientes y constantes.


El p-percentil (tp) en la distribución Weibull se calcula a partir de la expresión:

tp = α[-ln(1-p)]1/β

que se deduce de despejar tp en:

p = Pr(T ≤ tp) = 1-R(tp) = 1-exp[-(tp/α)β] (3.2)

El parámetro α es aproximadamente el percentil del 63,2%, se interpreta como el valor de lavariable del tiempo de vida en el que fallan el 63,2% de las unidades, y se obtienesustituyendo α en la fórmula (3.2) y aproximando 1-e-1 ≅ 0,632. Esta propiedad se utiliza enla estimación gráfica de los parámetros de la Weibull, herramienta bastamente utilizada en laindustria.

En particular la mediana (0,5-percentil) de la distribución Weibull es:

t0,5 = α[-ln(1-0,5)]1/β = α[(0,6931)]1/β (3.3)

Figura 3.1 Funciones de fiabilidad de Weibull con α = 1 y β = 1; 2; 3,5 y 8

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

β = 1

β = 2

β = 3,5

β = 8


0

2

4

6

0 0,5 1 1,5 2

β=2

β=2,5

β=1

β=0,5

Figura 3.2 Funciones de riesgo de Weibull con α = 1 y β = 0,5; 1; 2 y 2,5.

La función de densidad de Weibull es:

f(t) = β

ββ

β αα

-1expt

t - , t > 0

La media viene dada por

E(T) = µ = αΓ(1+(1/β)) (3.4)

y la varianza por

Var(T) = α2[ Γ(1+(2/β)) - Γ(1+(1/β))2] (3.5)

donde la función Γ es

Γ(x) = -1 -

0e d

∞

∫ x uu u

En el anexo de tablas estadísticas se encuentra la función Γ tabulada.

Cuando β es grande (mayor que 5), la media y la varianza se pueden aproximar por α y1,64α2/β2 respectivamente.

La forma de la densidad depende del valor de β. En la figura 3.3 se muestran una selecciónde funciones de densidad.

La distribución de Weibull es probablemente la más utilizada en análisis de la fiabilidad.Proporciona modelos razonables para tiempos de vida de muchos tipos de unidadesdistintas, tales como tubos de vacío, cojinetes de bola y envejecimiento de materialescomposites. Una posible razón de esta adecuación es el hecho de que es una distribuciónde valores extremos. De todas maneras, la forma de la función de fiabilidad y la ampliavariedad de formas de la función de densidad la hacen una generalizaciónconvenientemente particular de la distribución exponencial.


Figura 3.3 Funciones de densidad de Weibull con α = 1 y β = 1; 2; 3,5 y 8.

Ejemplo 3.1

Sea T el tiempo de vida del tambor de una lavadora, que se distribuye según un modelo deWeibull con parámetros α=10 años y β=2.

El parámetro α=10 años indica que un 36,8% de las bobinas duran más de 10 años, puestoque a es percentil del 0,632 de la distribución del tiempo de vida.

El parámetro β=2 indica que tiene una función de riesgo linealmente creciente con el tiempo(figura 3.2). Esto indica que los fallos son debidos al envejecimiento.

La vida media de las bobinas, aplicando la fórmula (3.4), es:

µ = αΓ(1+(1/β)) = 10Γ(1+(1/2)) = 10x0,886 = 8,86 años

Nota: Γ(1+(1/2)) = 0,886 se encuentra en las tablas de estadística (5).

La mediana de la distribución es (3.3):

t0.5 = -α[-ln(1-0,5)]1/β = 10[0,6931]1/2 = 8,32 años

lo que indica que la mitad de las bobinas durarán 8,32 años.

La varianza de la distribución (3.4) es

Var(T) = α2[ Γ(1+(2/β)) - [Γ(1+(1/β))]2] = 21,5 años2

Y la desviación estándar 4,64 años.

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

β= 3,5

β= 8

β=2

β= 1


Si la garantía de los tambores es de 2 años, ¿qué proporción de tambores fallarán durantela garantía?

Sea la variable aleatoria T = "tiempo de vida en años de los tambores":

Pr(T ≤ 2) = 1-R(2) = 1-exp[-(2/10)2] = 0,039

donde R es la función de fiabilidad.

Es decir, un 3,9 % de las bobinas fallarán durante la garantía.

¿Cuántos años de garantía se deberían establecer para que únicamente fallasen un 1%durante la garantía?

R(t0,01) = exp[-(t0,01/10)2] = 0,99 ⇒ ln(0,99) = -(t0,01/10)2 ⇒20,01t = -ln(0,99)x100 = 1,005 años2 ⇒ t0,01 = 1,0025 años

Es decir, se aconsejaría fijar la garantía en 1 año.

3.2 Otras distribuciones de fiabilidad

La distribución de Gumbel, o del valor extremo, o Gompertz, tiene función de fiabilidad:

R(x) = expexp[(x-µ)/σ], -∞ < x < +∞

donde µ es el parámetro de localización y σ > 0 es el parámetro de escala. Esta distribucióntambién surge como una posible distribución límite de valores mínimos y tiene una tasa defallo o función de riesgo (figura 3.4) exponencialmente creciente. Más comúnmente, sinembargo, surge como distribución del logT, donde T es una distribución de Weibull. Larelación en este caso es µ = log α y σ = 1/β.

La función de densidad de Gumbel es

f(x) = σ-1exp(x-µ)/σR(x), -∞ < x < +∞

Para todos los parámetros tiene la misma forma. La figura 3.4 muestra la función dedensidad y la función de riesgo de una distribución de Gumbel con µ = 0 y σ = 1, dondepuede observarse que la función de riesgo es creciente.


Función de densidad de una distribución de Gumbel

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-4 -3 -2 -1 0 1 2

Función de riesgo de una distribución de Gumbel

0

0,5

1

1,5

2

-4 -3 -2 -1 0 1

Figura 3.4 Funciones de densidad y de riesgo de Gumbel para µ = 0 y σ2 = 1

La distribución más frecuentemente utilizada en estadística es la distribución Normal cuyadensidad de probabilidad es

f(x) = (2πσ2)-1/2exp -(x-µ)2/ (2σ2)

para -∞ < x < +∞, con media µ y varianza σ2. Cuando µ = 0 y σ = 1, se tiene la distribuciónNormal estándar. La forma de la función de densidad es la conocida campana de Gauss yla función de riesgo o tasa de fallo es una función creciente.

Algunas veces se utiliza la distribución Normal como distribución del tiempo de vida, aunqueda valores negativos con probabilidad positiva. Más frecuente es el uso como modelo paralogT, logaritmo del tiempo de vida, que es equivalente a considerar la distribución lognormalpara los tiempos de vida.


Figura 3.5 Funciones de densidad y de riesgo de la distribución Normal para σ = 1; 0,5 y 0,25 y µ = 0.

La densidad lognormal viene dada por

f(t) = (2πσ2t2)-1/2exp -(log t-µ)2/ (2σ2), t > 0

La media y la varianza de la distribución lognormal son exp(µ+1/2σ2) y exp(2µ+σ2)exp(σ2)-1respectivamente.

Para valores pequeños de σ la distribución lognormal se parece a la normal. La utilizaciónde estos modelos en las aplicaciones está justificada cuando las variables T o logT se puedesuponer que son el resultado de la suma de un gran número de efectos pequeños,justificación teórica basada en el teorema del límite central.

Las funciones de fiabilidad y de riesgo de la Normal y la lognormal sólo pueden expresarseen términos de integrales. La gráfica de la función de riesgo de la distribución lognormalcrece al principio, eventualmente decrece, y tiende a 0 para t → ∞. Este comportamiento esjusto al revés de lo que uno espera del tiempo de vida de una unidad en la práctica. Talcomo se ha discutido en el apartado 1.4, la función de riesgo a lo largo de todas las etapasde la vida de un dispositivo suele tener forma de curva de bañera, y es de esperar que eltiempo de vida de un componente a largo plazo tenga una función de riesgo crecientedebido al envejecimiento.

Funciones de densidad de la distribución Normal

0

0,5

1

1,5

-3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5

Funciones de riesgo de la distribución Normal

-505

10152025

-1 0 1 2 3 4


En algunos casos solamente se producen fallos después de un cierto tiempo gpredeterminado (por ejemplo, el número de ciclos hasta la rotura del muelle de cierre de uncinturón de seguridad presenta un número de ciclos -que aquí sustituye al tiempo- sin fallosmuy marcado). En estas circunstancias interesa trabajar con las distribuciones definidas conotro parámetro de traslación o de localización. Por ejemplo la densidad exponencialtrasladada toma la forma

f(t) = λexp -λ (t-γ)) , t > γ

o la densidad de Weibull trasladada o con tres parámetros:

f(t) = β

β−β

β γ γ αα

( - )( - -1) expt

t , t > γ

En general se reemplaza t por (t-γ), a la derecha de la expresión de la función de densidad.Si se toma γ = 0 se tiene la versión no trasladada de la función de la densidad. En elcontexto de fiabilidad uno espera que γ no sea negativa. Si γ es conocida no hay másproblema que sustituir T por T-γ. Sin embargo, si γ no es conocida la estimación de losparámetros es más compleja.

Existen otras distribuciones de fiabilidad como la Gamma, distribuciones mixtas ogeneralizaciones de las comentadas, normalmente con tres parámetros. Estas distribucionesson más flexibles y describen mejor el mecanismo de fallo, pero es a un costo más elevadode complejidad matemática. Para ampliar el tema ver Crowder y otros (1991).

3.3 Gráficos probabilísticos

En las aplicaciones es habitual utilizar gráficos probabilísticos para determinar si es o noadecuado el modelo de Weibull para los datos. Suelen utilizarse también para estimargráficamente los parámetros del modelo. Existen en la literatura unos gráficos probabilísticosimpresos, llamados comúnmente papeles probabilísticos, tanto para muestras completascomo censuradas.

Un gráfico probabilístico es un gráfico basado en la distribución empírica y relativo a familiasde distribuciones específicas como la de Weibull, la Normal, o la lognormal. Consiste endibujar la distribución empírica de los datos en un papel donde uno de los ejes estáadecuadamente transformado (escala logarítmica o doble logarítmica, etc.), y evaluar si lospuntos dibujados se ajustan a una línea recta. No es aconsejable quedarse sólo con laapreciación visual, pues puede resultar un método de ajuste un poco subjetivo. Actualmentese puede calcular la ecuación de una recta de regresión por el método de mínimoscuadrados con una hoja de cálculo o una simple calculadora de bolsillo.

Existen papeles probabilísticos para muchas distribuciones, en particular para la distribuciónexponencial y la de Weibull. El modelo se escoge basándose en la experiencia previa dedatos similares y en la comprensión del fenómeno físico, químico o biológico que origina elfallo.

Actualmente los programarios estadísticos tienen incorporadas rutinas para dibujar gráficosprobabilísticos. El Minitab en particular, en su apartado de fiabilidad, dibuja los gráficos


probabilísticos de la Weibull, la lognormal, la normal y la exponencial, y estima susparámetros por el método de máxima verosimilitud, tanto para datos completos comocensurados.

También es posible evaluar mediante gráficos la adecuación del modelo de Weibull paramuestras completas, mediante simples cálculos y gráficos utilizando una hoja de cálculo.Los ejercicios prácticos de este apartado se plantean utilizando la hoja de cálculo del Excel.

3.3.1 Muestras completas

Para ilustrar la base teórica del gráfico probabilístico de Weibull consideremos la función defiabilidad de Weibull:

R(t) = 1-F(t) = exp-(t/α)β

Se aplica el logaritmo natural en ambos lados dos veces

ln(1-F(t)) = -(t/α)β

ln(-ln(1-F(t)) = βln(t)-βln(α)

que es equivalente a

ln(ln(1/(1-F(t))) = βln(t)-βln(α)

Sustituyendo la función de distribución F(t) por la función de distribución empírica Fn(t) setiene

lnln[1/(1- Fn(t))] = βln(t)-βln(α) (3.6)

o lo que es equivalente:

lnln[1/ Rn(t)] = βln(t)-βln(α)

Concluimos que lnln[1/Rn(t)] es una función lineal de ln(t), donde la pendiente es elparámetro de forma β. El gráfico probabilístico de Weibull se basa en esta relación lineal yuna manera fácil de comprobar si unos datos se ajustan al modelo de Weibull es hacer elgráfico lnln[1/Rn(t)] versus ln(t), donde t son los datos ordenados y Rn(t) es la función defiabilidad empírica, y evaluar hasta qué punto la relación lineal es factible.

Utilización del gráfico probabilístico

Se dibuja en el eje de abscisas ln(t(i)), es decir, el logaritmo de los datos, donde t(i) es lamuestra ordenada; y en el eje de ordenadas lnln[1/(1-Fn(i)], donde Fn(i) es la función dedistribución empírica, y se ajusta una recta.

En función de lo bien que se ajusten los datos a la recta se decide si la relación es lineal, yen caso afirmativo se concluye que el modelo de Weibull es adecuado.


Puede utilizarse la recta mínimo cuadrática para estimar gráficamente los parámetros de laWeibull. La pendiente es el parámetro de forma β, y α puede estimarse teniendo en cuentaque es el percentil del 63% (ejemplo 3.2).

Los estimadores gráficos de los parámetros de una distribución no son los óptimos, en elsentido que los de máxima verosimilitud tienen propiedades mejores (se explicarán en elsiguiente apartado), pero tienen algunas ventajas como el ser rápidos y fáciles de calcular.Ayudan a presentar los datos de forma comprensible visualmente, cosa que es muy útil a lahora de sacar conclusiones, y facilitan su comprensión. Las hojas de cálculo, como porejemplo el Excel, son una buena herramienta de cálculo, de fácil manejo, para hacer ungráfico probabilístico.

Construcción de un gráfico probabilístico de Weibull

1. Ordenar los n tiempos de fallo de menor a mayor (muestra ordenada)

t(1) ≤ ... ≤ t(i) ≤ ... ≤ t(n)

2. Asignar los rangos (rank)

3. Calcular Fn(i), la función de distribución empírica que representa el porcentaje de fallosocurridos antes del tiempo de fallo correspondiente al rango i:

Fn(i) = -0,5in

, i=1,…,n (*)

4. Dibujar los puntos: para el fallo de rango i se sitúa en ln (t(i)) en las abcisas, y en el ejede ordenadas lnln(1/(1-Fn(i))).

5. Determinar visualmente una recta de manera que las desviaciones entre los datos y larecta sean lo menores posible y decidir si el ajuste es suficiente. Puede utilizarse la rectamínima cuadrática.

6. En caso de que el modelo de Weibull parezca plausible, estimar gráficamente losvalores de α y β.

En el apartado de prácticas del capítulo 3 se desarrolla un ejemplo con las pautas que sedeben seguir para construir el gráfico probabilístico con una hoja de cálculo Excel.

(*) La fórmula dada para el cálculo de la función de distribución empírica no es única. Interesados en profundizarel tema consultar pág. 118 de Nelson (1982). El programa Minitab da distintas opciones como: la normal escore(i-3/8)/n-1/4, la de Kaplan-Meier modificado (i-0,5)/n, la de Herd-Honson i/(n+1) y i/n, que se llama de Kaplan-Meir.


Ejemplo 3. 2

En una prueba de vida interesa el tiempo de perforación, en minutos, de un fluido aislanteinterpuesto entre dos electrodos a un voltaje de 38kV. Los datos son 0,74; 1,13; 0,09; 0,47;0,73; 2,38; 1,4 y 0,39, donde los n=8 son datos completos, ya que el experimento terminacuando fallan todas las unidades.

Con una hoja de cálculo puede calcularse:

t(i) rango i Fn(i) ln(t(i)) lnln[1/(1- Fn(i))]0,09 1 0,06 -2,41 -2,740,39 2 0,19 -0,94 -1,570,47 3 0,31 -0,76 -0,980,73 4 0,44 -0,31 -0,550,74 5 0,56 -0,30 -0,191,13 6 0,69 0,12 0,151,40 7 0,81 0,34 0,522,38 8 0,94 0,87 1,02

Obsérvese que la muestra está ordenada de menor a mayor.

Se dibuja lnln[1/ (1-Fn(t)] versus ln(t). En este caso se ha realizado con una hoja de cálculodel Excel, agregándose a los datos la línea de tendencia, lo que indica que:

lnln[1/ (1-Fn(t)] = 1,203 ln(t) –0,0334

y con un coeficiente de determinación R2=0,9721, que indica un ajuste razonable.

y = 1,203x - 0,0334R 2 = 0,9721

-3,5

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

-3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

ln(ti)

ln(ln(1/(1-Fn(t))))

Conclusión: los datos se ajustan razonablemente a una distribución de Weibull y laestimación gráfica de los parámetros es

β = 1,203 α = exp(0,0334/1,203)=1,32

La estimación de β es la pendiente de la recta y la estimación de α se obtiene sustituyendoen la expresión 3.6 y despejando.


3.3.2 Muestras con datos censurados

Los gráficos de riesgo son la alternativa a los gráficos de probabilidad cuando los datosestán censurados.

A continuación damos la justificación teórica y las pautas para realizar el gráfico de riesgocon una hoja de cálculo.

Para la construcción de gráficos probabilísticos con datos censurados se utilizará también elprogramario Minitab. Su utilización se explica en el apartado de prácticas mediante unejemplo.

Justificación de los gráficos de riesgo para la distribución de Weibull

La función de riesgo acumulada de una distribución, H(t), se define como la integral de lafunción de riesgo, es decir:

H(t) = 0

( )d∫t

h u u

La función de riesgo acumulada de un modelo de Weibull es

H(t) = β

α

t

Aplicando el logaritmo neperiano en la ecuación 3.1 obtenemos H(t) = -lnR(t), y aplicando elmismo razonamiento que en los gráficos para datos completos obtenemos una relaciónlineal entre el logaritmo neperiano de H(t) y el logaritmo neperiano de t:

ln(H(t)) = βln(t) - βln(α)

Construcción del gráfico de riesgo (hazard plots)

1. Ordenar los n datos de menor a mayor, teniendo en cuenta tanto los tiempos de falloobservados como los datos censurados, marcando éstos con el signo +.

2. Asignar el rango decreciente a los datos: al valor menor le corresponderá rango n, alsegundo rango n-1, y así sucesivamente.

3. Calcular el valor de riesgo empírico, únicamente para los tiempos de fallo observados:

hn = 1/rango decreciente

4. Calcular el riesgo acumulado Hn(i )= ( )∑ nh k=1

i

k para cada fallo.


5. Para cada tiempo de fallo observado dibujar ln(ti) en el eje de abcisas y ln(Hn(i)) en el ejede ordenadas. Los datos censurados no aparecen en el gráfico.

6. Calcular la recta mínimo cuadrática.

7. Estimar los parámetros gráficamente a partir de la expresión

ln(H(t)) = βln(t) - βln(α)

Ejemplo 3.3

Se realiza un ensayo del mecanismo de arrastre de papel en un nuevo modelo de impresorade chorro de tinta. El ensayo se realiza con 12 unidades, y la duración (prefijada) es de60.000 ciclos. Los resultados se presentan en la tabla del ejemplo 1.2.

Con una hoja de cálculo Excel puede calcularse:

Se dibuja lnHn(i) versus ln(t). En este caso se ha realizado con una hoja de cálculo del Excel,y se ha agregado a los datos la línea de tendencia, lo que indica que

lnH(t) = 2,3278ln(t)–25,59

y con un coeficiente de determinación R2 = 0,8759, que indica un ajuste razonable.

y = 2,3278x - 25,59R 2 = 0,8759-3,000

-2,500

-2,000

-1,500

-1,000

-0,500

0,00010,00 10,20 10,40 10,60 10,80 11,00


Conclusión: Los datos se ajustan razonablemente a una distribución de Weibull y laestimación gráfica de los parámetros es, teniendo en cuenta que ln(H(t))=βln(t) - βln(α):

β = 2,3278 α = 59.451,18

3.4 Método de estimación de máxima verosimilitud

En este apartado se expone el método general de estimación de máxima verosimilitud. Parafijar ideas supongamos que tenemos una observación de una muestra (t1, ... ,tn) de unapoblación de interés. Supongamos primero que ninguna de las observaciones estácensuradas. En el contexto de fiabilidad es razonable pensar en ti como tiempos de vida.Supongamos que pueden ser vistas como observaciones de una función de densidadcomún f(t;θ1,θ2, ... ,θm), donde la forma de f es conocida pero los parámetros sondesconocidos, (por ejemplo, una distribución de Weibull donde los parámetros α y β sondesconocidos). Para simplificar tomaremos la notación θ = (θ1,θ2, ... ,θm). Entonces la funciónde verosimilitud de las observaciones será

L(θ)=1

)=

θ∏n

i

f t( ;i

Si algunas de las observaciones están censuradas por la derecha, podemos partir losnúmeros de la observaciones 1,2,...,n en dos conjuntos disjuntos: uno llamado N,correspondiente a las observaciones no censuradas, y otro llamado C, correspondiente a lasobservaciones censuradas por la derecha. Entonces la función de verosimilitud se expresacomo

L(θ) = ∈ ∈

θ θ∏ ∏f t R tN U

( ; ) ( ; )i ii i

donde la densidad de las observaciones censuradas por la derecha se ha sustituido por lafunción de fiabilidad. De manera similar, la densidad de las observaciones censuradas por laizquierda puede se reemplaza por la función de distribución. Y, en el caso de tenerobservaciones censuradas por intervalo, la función de densidad se reemplaza por la funciónde distribución evaluada en el límite superior menos la evaluada en el límite inferior, deforma que da la probabilidad de ocurrencia del tiempo de vida dentro del intervalo.

En cualquier de los casos comentados es más conveniente trabajar con el logaritmo de lafunción de verosimilitud:

l(θ) = ln(L(θ))

Los estimadores máximo verosímil 1 2ˆ ˆ ˆ, ...,θ θ θm de θ1,θ2,...,θm son aquellos valores que

maximizan la función de verosimilitud, o lo que es equivalente, el logaritmo de la función deverosimilitud.

Normalmente, los estimadores máximo verosímil se encuentran resolviendo las ecuaciones:

=0∂

∂θl

j, j = 1,2, ... ,m


El ejemplo 3.3 ilustra cómo se calculan los estimadores máximo verosímil en el caso de ladistribución normal. Muchas veces la solución de estas ecuaciones no es explícita y serequiere de métodos numéricos tales como el algoritmo de Newton. La problemática alentorno de estas soluciones se escapa del objetivo de estos apuntes. Si se quiere ampliar eltema se puede consultar el capítulo 3 de Crowder y otros.

Las ecuaciones normales de la distribución de Weibull no dan una solución explícita y esnecesaria la utilización de algoritmos como el de Newton para resolverlas. Para más detallesconsultar la página 340 de Nelson (1982).

Se utilizará el programario estadístico Minitab para calcular los estimadores máximoverosímil, y su funcionamiento se explicará en el desarrollo de las prácticas.

Basándose en la teoría general del método de máxima verosimilitud, una vez estimados losparámetros α y β de la Weibull y las varianzas de α y β , pueden estimarse lascaracterísticas de fiabilidad y los intervalos de confianza.

Los estimadores MV son asintóticamente normales, es decir, para muestras de tamañogrande:

α ~N(α;Var( α )) β ~N(β;Var( β ))

Entonces los intervalos de confianza (1-δ) aproximados de α y β pueden calcularse:

ˆ Var ˆ ˆ ˆ Var ˆδ δα α ≤ α ≤ α αz z/2 /2- ( ) + ( )

βˆ ˆ ˆ ˆVar Varδ δβ ≤ β ≤ β βz z/2 /2- ( ) + ( )

donde zδ/2 es el valor de la distribución N(0;1) que deja en la cola una probabilidad δ/2 y eltamaño de la muestra n tiene que ser grande.

El cálculo de las varianzas de α y β es computacionalmente complejo, ya que involucra elcálculo de la inversa de la matriz de derivadas segundas del logaritmo de la función deverosimilitud. La mayoría de programas estadísticos que cubren la fiabilidad disponen derutinas que calculan estas varianzas. Puede utilizarse también las siguientes expresionesque dan una buena aproximación:

ˆ 1,1087Var ˆ

ˆ αα ≅ β n

2

( ) 0,6079ˆ ˆVar β ≅ βn

2( )

La estimación de la fiabilidad en un momento t0, o un percentil de la distribución de Weibullse obtiene mediante un simple cálculo. Si se disponen de los estimadores MV α y β , lafiabilidad estimada en t0 es

β α 0-( / ˆ0

ˆ( )=exp ˆ )R t t

y la estimación del percentil p:

[ ] βα 1/p =

ˆˆ ˆ -ln(1-p)t

(3.7)


Los estimadores obtenidos de la fiabilidad y del percentil son también máximo verosímilesgracias a la propiedad de invariancia funcional de los estimadores MV.

Conceptos avanzados

La estimación máximo verosímil (MV) no es el único método de estimación, pero sí es elmás ventajoso puesto que, por un lado, muchos de los problemas estadísticos que surgenen el contexto de fiabilidad pueden resolverse utilizando MV. Además, la generalización deMV tiene ventajas desde el punto de vista computacional ya que con el mismo programapueden obtenerse estimadores máximo verosímil en cualquier contexto. En segundo lugar,la propiedad de la invariancia funcional de los estimadores MV nos asegura que una vezcalculado θ , se puede obtener el estimador MV de una función de él, g(θ), directamente, sintener que empezar de nuevo el proceso de estimación. Y tercero, los errores estándares delas estimaciones MV pueden calcularse a partir de una rutina en que invierte la matriz deinformación muestral.

Desde el punto de vista teórico, los estimadores MV también tienen propiedadesrecomendables. Bajo condiciones de regularidad los estimadores máximo verosímiles sonconsistentes, asintóticamente Normales y asimpoticamente eficientes. Para detalles técnicosconsultar Cox and Hinkley (1974).

Ejemplo 3.4 Estimación por máxima verosimilitud de los parámetros de ladistribución Normal.

Sea X~N(µ; σ2 ), cuya función de densidad es

f(x) = 2

e - +µ

σ ∞ ∞πσ

22

1 ( )21 , < <

2

x-x

Dada X = (x1, ... ,xn), una muestra de tamaño n de X, el logaritmo de la función deverosimilitud como función del parámetro θ = (µ,σ2) es

1lnL lnf ln2 -

2 2µ σ π σ µ

σ∑ ∑ in

x2 2 22

=1 =1( , ) = ( ) = - - ( )

n n

iXi i

x

Buscamos el máximo del logaritmo de la función de verosimilitud:

22

( - )=0( - )lnL=0

( - )ln L 1

( - ) =02 2

µµ∂ = ∂µ σ

µ∂ µ σ∂σ σ σ

∑∑

∑∑

n

ii

ii

xx

xnx

n

=12n

2 i=12 2 4

= - + =

i

De aquí se deducen los estimadores máximo verosímil de la media y la variancia de ladistribución Normal, que son:

2-1= X ˆ ˆµ σ n

Sn

2 =

Pruebas de vida acelerada 57

4 PRUEBAS DE VIDA ACELERADA

En este capítulo se hace una introducción de las pruebas de vida acelerada y se explicandos modelos típicos de pruebas de vida con estrés constante, el de Arrhenius y el de lapotencia inversa de Weibull.

Las pruebas de vida acelerada son aquellas que se realizan a un nivel de estrés superior alde las condiciones ordinarias de funcionamiento, con el fin de provocar la aparición de fallosen un tiempo más corto. Estas pruebas se realizan exponiendo los productos a condicionesmás severas que las usuales. Generalmente implica aumentar la temperatura, el voltaje, lapresión, la vibración, el tiempo operativo, etc.

Las pruebas de vida acelerada pueden usarse tanto para evaluar la capacidad de uncomponente para satisfacer los requisitos de fiabilidad como para tener un medio másrápido de detectar debilidades potenciales o modos de fallo.

Por ejemplo es habitual en la industria hacer estudios del número de ciclos hasta el fallo deaparatos como lavadoras, tostadoras, etc., de forma seguida, que condensan elenvejecimiento correspondiente de 6 meses a 10 años. En estos casos no es necesario unaparato matemático especial para determinar la relación de tiempo de vida, puesto que seextrapola en función del tiempo operativo de los mismos.

La relación entre los fallos y la tasa de fallo en condiciones aceleradas, y lascorrespondientes en condiciones normales de funcionamiento, debe conocerse a través dedatos históricos o a partir de modelos estadísticos, que relacionen el tiempo de vida de loscomponentes con el estrés a que están sometido.

Son bien conocidas, por ejemplo, las tasas de fallo en función de las tensiones aplicadas ylas temperaturas de funcionamiento de condensadores y resistencias, y las relacionespueden usarse para evaluar unidades de un nuevo lote, tipo o fabricante. Una relaciónfrecuentemente usada es que la tasa de fallo se duplica aproximadamente por cada subidade 10°C. Puesto que estos componentes suelen ser muy fiables, se usan temperaturaselevadas en combinación con sobretensiones, a fin de determinar tasas de fallo en untiempo razonable.

Los ensayos acelerados de nuevos productos es una práctica común y se usa para detectarmodos de fallo potenciales.

Las pruebas de vida acelerada con fines de valoración se restringen a las piezas y loscomponentes, de los cuales se conocen las relaciones entre las tasas de fallo encondiciones normales y de estrés. Un requisito importante es que las condiciones de estrésno puedan introducir nuevos modos de fallo.

Cuando las relaciones están bien definidas, las pruebas de vida aceleradas pueden darestimaciones de las características de fiabilidad a una fracción del coste de las pruebasordinarias, y son ventajosas.

La relación entre pruebas aceleradas y normales puede ser relativa a una tasa de fallo, auna tasa de degradación o cambio de una característica, o al tiempo del desgaste. Siempreque se conozca la relación, los datos en condiciones aceleradas pueden reducirse a datosen condiciones normales, generalmente multiplicados por algunas constantes apropiadas.


De todas formas, para ciertos componentes se conocen las constantes a partir de estudiosdocumentados. El manual MIL-HBK-217 es la fuente más consultada en la industriaelectrónica.

Hay otra aplicación en que se usan las pruebas de vida aceleradas, las pruebas conocidascomo burn-in, de purga, que causan el efecto de eliminar las unidades potencialmenteinfiables sin afectar a las unidades buenas. Un ejemplo de esta prueba es el ensayo deaceleración a 20.000 g , donde g es la aceleración de la gravedad 9,81m/s2, que se aplica alos semiconductores (hay algún fabricante que ha aumentado incluso este nivel de g en un50%, hasta 30.000 g en algunas unidades, sin observar efectos medibles sobre la actuacióno longevidad de las unidades que pasan la prueba). Tal ensayo sirve para eliminar lasunidades que tienen una debilidad mecánica en potencia y una fiabilidad inferior. El ensayopuede también hacer que fallen ciertas unidades cuya fiabilidad hubiera sido satisfactoria,pero, imponiéndolo a todas las unidades, la fiabilidad general resultante del lote después delensayo es considerablemente superior a la que hubiera sido de no haberse realizado elensayo. Es importante verificar que las unidades que superan la prueba no se hayandegradado.

4.1 Modelos de pruebas de vida con estrés constante

En este apartado se desarrollan dos tipos de pruebas de donde, a partir de los datos dedispositivos sometidos a una aceleración, se puede inferir la fiabilidad del dispositivo encondiciones normales de uso. Son modelos típicos de pruebas de vida con estrés constante,el de Arrhenius y el de la potencia inversa. La relación entre el estrés y el tiempo de vidahasta el fallo consiste en una función de potencia o exponencial. Esta relación puedetransformarse en una relación lineal entre el estrés (o una función de éste) y el logaritmo deltiempo.

Un modelo estadístico para una prueba de vida acelerada consiste en:

Una distribución de probabilidad (exponencial, Weibull, etc.) que describe la variabilidadde la vida del dispositivo de una unidad a otra.

Una relación entre el estrés y la vida. Esta relación se tiene que materializar, con el finde que sea operativa, en una ecuación matemática que relacione el estrés con unparámetro de posición de la distribución del tiempo de fallo.

4.1.1 Modelo Arrhenius-Exponencial

El modelo de Arrhenius-exponencial consta de dos elementos. Por un lado se supone que eltiempo de fallo del dispositivo tiene una distribución exponencial con vida media θ y elparámetro θ varía con la temperatura de acuerdo con una ecuación denominada ecuaciónde Arrhenius, porque está basada en la ley de Arrhenius de la cinética química.

La ecuación de Arrhenius en este caso tiene la forma:

( ) e τθ τ BA /= (4.1)


donde τ es la temperatura absoluta y A y B son constantes. Tomando logaritmos en los dosmiembros de la ecuación obtenemos

µ = ln(θ) = γ0 + γ1/τ

donde µ es un parámetro en función del estrés (en este caso es función del parámetro deposición θ, la vida media, de la distribución del tiempo de vida). Las constantes γ0 y γ1 sedeterminan por regresión lineal a partir de los datos de pruebas de vida aceleradas. En elcaso de que el modelo sea válido sólo puede extrapolarse en el intervalo de temperatura enel cual no quede modificado el mecanismo de fallo.

Este modelo es muy utilizado en el sector electrónico, donde se dispone de tasas de fallo dediferentes componentes. En general se trabaja con la distribución exponencial y el modelode Arrhenius, puesto que permiten obtener tasas de fallo mediante pruebas de vidaacelerada en un tiempo compatible con los ajustados ciclos del desarrollo de nuevosproductos.

Ejemplo 4.1 Tasa de fallo de un semiconductor [fuente: Nelson (1990)]

Para ciertos componentes se conocen las constantes γ0 y γ1 a partir de estudiosdocumentados, como el MIL-HBK-217. Por ejemplo, la tasa de fallo (en fallos por millón dehoras) a una temperatura para un componente electrónico MOS (metol oxidesemiconductor), en función de la temperatura τ (dentro de un cierto intervalo), es

λ = 1,08×108×exp(-6.373/τ), de donde θ=1/λ=0,9259x10-8exp(6.373/τ)

que equivale a tomar, en la fórmula (4.1):

A = 0,9259×108 B = 6.373

Si se quiere conocer la fiabilidad correspondiente a un período de garantía de un año,trabajando a 55°C (τ = 328,16°K), la tasa de fallo sería

λ = 1,08x108x exp(-6.373/328,16) = 0,3974 fallos por millón de horas

Esto significa una vida media de

θ = 1/λ = (1/0,39742)x106 = 2.516.232,88 horas

Contando 8.760 horas por año, resulta una vida media de 287,24 años.

La fiabilidad al año es:

R(1 año) = R(8.760) = exp(-λx 8.760) = exp(-0,3974x10-6x8.760) = 0,9965


4.1.2 El modelo potencia inversa de Weibull

El modelo de la potencia inversa describe la relación entre el voltaje, que es la variable deestrés, y el tiempo de fallo de un aislante eléctrico de la siguiente forma:

T = K V -N

donde T representa la duración del aislante, V es el voltaje y K y N son constantes. T es unavariable aleatoria con una cierta distribución estadística. La relación también se consideraválida cuando se sustituye T por un parámetro de posición o de escala de la distribución.Tomando logaritmos en los dos miembros obtenemos

µ = γ0+γ1ln(V)

donde las constantes γ0 = ln(k) y γ1 = -N, se determinan a partir de las pruebas de vidaaceleradas mediante la regresión lineal.

Un caso particular es el modelo de la potencia inversa de Weibull, donde se supone que eltiempo de fallo del producto tiene una distribución Weibull con parámetros α y β. Laecuación se expresa como

α(V) = K V -N

donde α(V) es el parámetro de escala de una distribución de Weibull y varía con el voltaje V,mientras que β es independiente del voltaje:

µ = ln(α(V)) = γ0+γ1ln(V) (4.2)

De aquí se deduce que el logaritmo del parámetro escala de las distribuciones Weibull adistintos voltajes es lineal respecto del logaritmo de los voltajes. Para ilustrar este hecho seutiliza el ejemplo 4.2, debido a Nelson.


Ejemplo 4.2 [fuente: Nelson (1982)]

En una prueba de vida interesa el tiempo de perforación, en minutos, de un fluido aislanteinterpuesto entre dos electrodos. El tiempo de perforación se mide a siete voltajesdiferentes. El experimento se alarga hasta que fallen todas las unidades. Los resultados seencuentran en la tabla:

En la siguiente tabla se presentan los parámetros α y β de Weibull, obtenidos por máximaverosimilitud. Se han estimado por separado utilizando el programa Minitab:

El siguiente gráfico probabilístico justifica la distribución de Weibull para los datos de cadavoltaje.


La relación lineal entre ln(α) y ln(V) se calcula con una hoja de cálculo Excel:

y = -17,579x + 64,263

R2 = 0,9916

0

2

4

6

8

3,2000 3,3000 3,4000 3,5000 3,6000 3,7000

Log(V)

Lo

g(a

lph

a)


De donde la relación lineal viene dada por la recta de regresión:

ln(α) = 64,263 - 17,579ln(V)

con un coeficiente de determinación de R2 = 0,9916, lo que indica una relación lineal alta.

La estimación de las constantes K y N de la ley de la potencia inversa se deducen de lafórmula (4.2):

K = exp64,263 = 8,11×1027 N =17,579

Análisis de la fiabilidad de un sistema 65

5 ANÁLISIS DE LA FIABILIDAD DE UN SISTEMA

En este capítulo se desarrolla el análisis de un sistema, formulando los sistemas coherentes,la fiabilidad de un sistema en serie y en paralelo con tasa de fallo constante. Y se hace unaintroducción al análisis de la fiabilidad mediante árboles de fallo.

En los capítulos precedentes hemos discutido la fiabilidad de unidades individuales sinreferirnos a cuál era su lugar en el conjunto de la estructura del sistema en estudio. Esto eslo más simple si son sistemas muy complejos.

Un sistema es, en este contexto, un dispositivo formado por partes cuya fiabilidad esconocida. Estas partes se llaman componentes.

La actuación de un sistema puede analizarse como función de componentes individuales. Silos datos son recogidos en componentes individuales, entonces es posible hacer inferenciaestadística sobre la fiabilidad de estos componentes, pero aún queda el problema delcálculo de la fiabilidad del sistema a partir de la fiabilidad de sus componentes que es lo quese desarrolla en este apartado.

En general el fallo de un sistema se produce al fallar uno o varios componentes. El problemabásico de la fiabilidad de sistemas consiste en el cálculo de la fiabilidad R(t) de un sistema apartir de la fiabilidad R1(t), R2 (t), ... , Rn (t) de sus componentes.

5.1 Sistemas coherentes

La clase más conocida de sistemas son los sistemas coherentes. El concepto fundamentalde los sistemas coherentes (coherent system) es que las componentes se encuentran,individualmente, en uno de los dos estados, funcionan o fallan, y el estado de los sistemasse representa en términos de los estados individuales de cada componente a través de lasfunciones de estructura (structure function). Ejemplos de sistemas coherentes son lossistemas en serie, en paralelo o mixtos, que desarrollaremos en este capítulo.

A continuación se formula las funciones de estructura.

Sea un sistema con n componentes. Se define Xi, el estado del componente i:

Xi =

1 si el componente funciona 0 si el componente no funciona

Se define φ , el estado del sistema, como

φ =

1 si el sistema funciona 0 si el sistema no funciona

La función de estructura es φ = φ X( ) , donde X = (x1, ... ,xn) es el vector de los estados de loscomponentes.


Ejemplos

5.1 Sistema en serie

Es aquel para el que el fallo del sistema equivale al de un solo componente.

φ ∏n

ii = 1

(X) = x

A C B

Figura 5.1 Ejemplo de un sistema en serie formado por tres componentes

5.2 Sistema en paralelo

Es aquel para el cual se produce un fallo cuando todos los componentes fallan.

φ ∏n

ii=1

(X) =1- (1- x )

Figura 5.2 Ejemplo de un sistema en paralelo con tres componentes

5.3 Sistema K entre n

Es un sistema más general que enlaza los sistemas serie y los sistemas paralelos. En estecaso el sistema está operativo si por lo menos K componentes de entre n componentesestán operativos. K = n corresponde a un sistema en serie y K = 1 corresponde a unsistema en paralelo.

1 si 0 si

≥ ∑φ ∑

KK

( ) =

<i

i

xX

x(5.1)

El sistema 2 entre 3 de la figura 5.2 está operativo si por lo menos dos componentes de unade las tres cadenas están operativos. En este caso la expresión (5.1) debería contener larestricción que los componentes fueran de la misma cadena.


Figura 5.3 Ejemplo de un sistema 2 entre 3

5.4 Fiabilidad de una red

Este es un ejemplo simplificado de un problema de la fiabilidad de una red (networkreliability), en la que el sistema puede ser representado por una red de componentes y elestado del sistema depende de la existencia de un camino a través del cual loscomponentes funcionan.

Un sistema computador consiste en un computador central que tiene conectados tresterminales. El computador tiene conectada una impresora y también es posible imprimir enotra unidad central. El sistema se considera que funciona si es posible utilizar el computadory tener una impresora de salida conectada. Para esto se requiere que: (a) funcione elcomputador central, (b) al menos una terminal de las tres funcione, y (c) que funcione laimpresora local o que la conexión con la otra unidad que tiene conectada la impresorafuncione.

Este sistema se puede representarse gráficamente (figura 5.4), donde 1, 2 y 3 son las tresterminales, 4 el computador, 5 la impresora local y 6 la otra unidad. Y en este caso

1 2 3 4 5 6= 1-(1- )(1- )(1- ) 1-(1- )(1- )φ x x x x x x( )X

A partir de este ejemplo sencillo puede apreciar el potencial que uno puede tener parasistemas más complicados. Por ejemplo, un sistema computacional de una compañía o unauniversidad puede representarse mediante diagramas de este tipo donde los sistemas,mucho más grandes y complejos, pueden requerir millares de componentes y una estructurade redes complicadas. También las centrales nucleares han sido modeladas por redes deeste tipo.

1

2

3

5

6

4

Figura 5.4 Ejemplo de un sistema computacional


La formulación matemática de los sistemas coherentes es como sigue:

Un sistema representado por una función de estructura es coherente si cumple les dospropiedades siguientes:

Relevancia de cada componente, es decir, no hay ninguna componente cuya fiabilidadno afecte a la fiabilidad del sistema;

Monotonicidad, que encierra el concepto de que la fiabilidad de un sistema nunca puedeser mejorada cuando uno de sus componentes se vuelva menos fiable.

Estas dos propiedades se pueden formular como sigue:

El i-ésimo componente es irrelevante si, para todos los estados de los otros componentesx1,...,xi-1,xi+1,...,xn el estado del sistema es el mismo, independientemente de que xi sea 0 ó 1:

φ ( x1, ... ,xi-1,1,xi+1, ... ,xn) = φ ( x1, ... ,xi-1,0,xi+1, ... ,xn)

Nota: Si un componente no es irrelevante es relevante.

f:fuentet:terminal f:fuente

t:terminal

Todos los componentes son relevantes Un componente irrelevante

Figura 5.5 Ejemplos de componentes relevantes e irrelevantes

La monotonicidad de la función de estructura se refiere a la monotonía de cada xi:

φ ( x1,...,xi-1,0,xi+1,...,xn) ≤ φ ( x1,...,xi-1,1,xi+1,...,xn)

Definición: Una función de estructura φ se define como un sistema coherente si esmonótona y cada componente es relevante.

La función de fiabilidad de un sistema puede formalizarse como

R(t) = 1=

φ

∑ ∏

n

x i

R t R t 1-( ) ( ) (1- ( ))i ix xi ix

donde los componentes son independientes y Ri(t) es la fiabilidad del componente i, esdecir, es la probabilidad de que el componente i-ésimo funcione en el instante t, y dondeφ( )X es la función de estructura que define a xi = 1 si el componente funciona y xi=0 si nofunciona.


5.2 Fiabilidad de un sistema en serie con tasa de fallo constante

Si los componentes son independientes, la fiabilidad de un sistema en serie se calcula por laregla del producto.

Regla del producto: un sistema en serie, con los componentes independientes, funciona sí ysólo sí todos los componentes funcionan:

R(t) = R1(t)×R2(t) × … ×Rn(t)

Hablamos de sistema en serie con tasa de fallo constante cuando todos los componentestienen tasa de fallo constante, es decir, cuando el tiempo de vida de los componentes sedistribuye exponencial de parámetro λi, Ri(t) = e-λt y por la regla del producto:

R(t)= λ λ λ× nt t t1 2- - -e e ...e

O, equivalentemente, R(t)=e-λt, donde λ=λ1+λ2+…+λn.

Un sistema en serie con los componentes con tasa de fallo constante tiene la tasa de falloconstante e igual a la suma de las tasas de fallo.

Nota: Puede servir para calcular la tasa de fallo de un producto que tiene diferentes tipos defallo independientes y con tasa de fallo constante.

La vida media de un sistema en serie con los componentes con tasa de fallo constante secalcula a partir de las vidas medias θi = 1/λi de sus componentes:

θ

θ θ θ

=

1 2 n

11 1 1

+ +...+

En un sistema en serie complejo, formado por grupos de componentes idénticos, si el primergrupo tiene n1 componentes con tasa de fallo λ1, el segundo n2 componentes con tasa defallo λ2, etc., las fórmulas anteriores se pueden escribir:

2 k1 2 k( ) = ( ) × ( ) ... ( )1n n nR t R t R t R t

donde la tasa de fallo del sistema es

λ = n1⋅λ1+ n2⋅λ2+ … + nk⋅λk

y la vida media del sistema es

1θ

θ θ θn

n n n1 2

1 2

=+ +...+ k

donde θi = 1/λi las vidas medias de los subgrupos de sus componentes.


La tasa de fallo de un sistema en serie, formado por n componentes idénticas con tasa defallo λc, es:

λ = n⋅λc

Si los componentes no son idénticos, a veces es útil considerar la tasa de fallo equivalente,que sería la que tendrían los componentes de un sistema con la misma fiabilidad si fuesenidénticos. Es igual a la media aritmética de las tasas de fallo reales de los componentes:

λ λ λλ n

n1 2+ ...+=c

5.3 Fiabilidad de un sistema en paralelo

La fiabilidad de un sistema en paralelo con n componentes de fiabilidad Ri(t), i = 1,...,n es

R(t) = 1 - (1-R1(t)) (1-R2(t)) … (1-Rn(t))

donde la probabilidad de que el sistema falle antes de un instante t es

Pr(T ≤ t) = 1-R(t) = (1-R1(t)) (1-R2(t)) … (1-Rn(t)).

Si todos los componentes son idénticos, con fiabilidad Rc(t), entonces la fiabilidad es

R(t) = 1-(1-Rc(t))n

La fiabilidad de un sistema en paralelo, donde todos los componentes tienen tasa de falloconstante, es

R(t) = λ λ λt t t1 2 n- - -1- (1- e )(1- e )...(1- e ) .

Concluimos que un sistema en paralelo, donde todos los componentes tengan tasa de falloconstante, no tiene tasa de fallo constante.

En un sistema en paralelo si los componentes son idénticos, con tasa de fallo λc, lafiabilidad es:

R(t) = λ t nc-1- (1- e )

y la vida media puede obtenerse como θ = λ

1 1 11+ + +...+

2 3 nc

1.

Para n grande se puede utilizar la aproximación θ ≡ γλ1

lognc

( + ) , donde γ es la constante de

Euler : γ = 0,577.


5.4 Redundancia

La redundancia es el principal método para aumentar la fiabilidad de un sistema y se definecomo la existencia de más de un medio para realizar una determinada función. Estosmedios no tienen por qué ser idénticos (MIL-STD-721B).

La redundancia puede implicar el uso de dos o más componentes o conjuntos idénticos, deforma que cuando uno falla hay otros que realizan la función; o bien puede incluir mediosdiferentes para realizar la función. Una rueda de repuesto de un automóvil es un ejemplo depieza redundante; el sextante manual usado para la navegación de un vehículo espacial encaso de fallo de los controles automáticos es un ejemplo del segundo método.

En ambos ejemplos, el componente redundante (la rueda o el sextante) se usa sólo cuandofalla el sistema primario. Este uso se llama redundancia secuencial.

Otros sistemas redundantes se hacen funcionar simultáneamente, de modo que todos lossistemas utilizables (no fallados) realicen la función durante todo el tiempo. Este tipo sellama redundancia en paralelo activo. El uso de cuatro motores en un avión es un ejemplode redundancia en paralelo activo.

El tipo de redundancia viene impuesto ante todo por consideraciones de actuación delsistema. La redundancia secuencial proporciona teóricamente más fiabilidad que laredundancia en paralelo activo si las funciones de detección de fallos y conmutación sonextremadamente fiables. En caso contrario se prefiere la redundancia en paralelo activodesde el punto de vista de la fiabilidad. Ambos tipos dan una fiabilidad del sistema muchomejor que el sistema no redundante. Los cálculos de la fiabilidad de sistemas redundantespueden resultar muy complicados. En esta apartado se presentan, a título de ejemplo,algunos cálculos de fiabilidad de sistemas con componentes redundantes.

La norma MIL-STD-721B define la redundancia activa (redundancia en paralelo activo)como la redundancia de los sistemas en los que los objetos redundantes operansimultáneamente, en lugar de ser activados cuando son necesarios.

Y la redundancia secuencial (standby) se define como la redundancia de los sistemas en losque el medio alternativo de realizar una función no se activa hasta que es necesario, y esactivado por el fallo del medio primario de realizar la función.Un ejemplo de redundancia activa es un avión trimotor, que funciona siempre que funcionendos motores.

Consideraciones a tener en cuenta son que, en un sistema secuencial (standby), elcomponente redundante se activa mediante un interruptor que tiene su propia fiabilidad. Sila fiabilidad del interruptor no es del 100%, se puede perder la fiabilidad ganada con laredundancia. Y además, el hecho de que el componente redundante no esté activadomientras el otro funciona correctamente, reduce las oportunidades de fallo. Por lo tanto, si lafiabilidad del interruptor es 100% fiable, un sistema secuencial (standby) tiene una fiabilidadmás alta que un sistema en paralelo simple.

El ejemplo 5.5 muestra la mejora de la fiabilidad de un sistema redundante activo.


Ejemplo 5.5

Supongamos que cierto componente tiene, para una cierta misión, una fiabilidad del 0,75. Sisustituimos este componente por dos componentes idénticos en paralelo, obtenemos unafiabilidad del 93,75%:

R = 1-(1-0,75)2 = 0,9395

Si lo substituimos por 4 componentes en paralelo, la fiabilidad del sistema aumenta hasta el99,61%:

R = 1-(1-0,75)4 = 0,9961

Si continuamos aumentando la redundancia, la fiabilidad continúa aumentando, pero elaumento es cada vez menor.

Para un sistema en paralelo con n componentes standby, con interruptor 100% fiable, contodos los componentes con la misma tasa de fallo λ, constante, la fiabilidad puedecalcularse a través de la fórmula:

R = e-λt[1+ λt + (λt)2/2! + … +(λt)n-1/(n-1)!]

que es la expresión para un sistema con n unidades iguales y con n-1 unidades de reserva.

Ejemplo 5.6

En el ejemplo 5.5 se considera un sistema en paralelo donde los componentes tienen unafiabilidad Rc = 0,75 = exp(-λt). Esto equivale a λt =0,2876.

Supongamos ahora que se trata de un sistema standby con interruptor 100%, con doscomponentes, uno funcionado y el otro en standby:

R = 0,75(1+0,2867) = 0,965

Si añadimos otro componente standby:

R = 0,75(1+0,2867+0,041) = 0,996

Nota: Si lo comparamos con el ejemplo 5.6, observamos que con 3 componentes essuficiente para superar una fiabilidad del 99%.

En el ejemplo 5.6 puede apreciarse, comparado con el ejemplo 5.5, que la redundanciasecuencial con interruptor 100% fiable requiere de menos componentes para alcanzar lamisma fiabilidad que la redundancia en paralelo activa.

Supongamos que el dispositivo de detección de fallo no es perfectamente fiable, por lo quees preciso tener en cuenta sus probabilidades de fallo. Si suponemos que el diseño delsistema es tal que la función de detección sólo está ligada a las unidades de reserva y noafectan a la primera unidad que funciona, entonces se incluye en la fórmula la probabilidadde detección de fallo swP .


En este caso, dado un sistema formado por dos componentes con tasa de fallo constante enredundancia standby, si la activación del componente es manual, mediante un interruptor100% fiable, y swP es la probabilidad de detección, entonces la fiabilidad es

R(t) = e-λt(1+ swP λt)

Observaciones:

Si la activación se hace mediante un interruptor automático con probabilidad defuncionar p, la fórmula también es válida.

Si la activación se hace mediante un interruptor automático y la probabilidad defuncionar es variable, se debe considerar la fiabilidad del interruptor. Cuando tiene tasade fallo constante λs, la fórmula es

R(t) = λλ λ λ

e 1+ (1-e )ts-- t

s

Ejemplo 5.7

Supongamos un sistema formado por dos componentes en standby, con tasa de falloconstante 0,75. La activación es manual, con un interruptor 100% fiable y una probabilidadde detección del 90%.

Como la fiabilidad de los componentes es Rc = e-λt = 0,75 ⇒ λt = 0,2877

La fiabilidad del sistema es

R = 0,75(1+0,9x0,2876) = 0,944

Ejemplo 5.8 Sistemas combinados

Los sistemas combinados de la figura 5.5 están formados por subsistemas en serie delmismo componente. El primero es un sistema en serie formado por tres unidades de estecomponente, y los otros tres son sistemas combinados formados a partir de 6 unidades delcomponente.

a) Serie


b) Paralelo-serie

c) Mixto-paralelo

d) Serie-paralelo

Figura 5.5 Sistemas combinados

Cálculos: Si el componente básico es el mismo, con fiabilidad 0,95, la fiabilidad de loscuatro sistemas es:

a) Ra = 0,95×0,95×0,95 = 0,857375

b) Rb = 1-(1-0,95×0,95×0,95)2 = 0,9796

c) Rc = (1-(1-0,95×0,95)2)×(1-(1-0,95)2) = 0,9880

d) Rc = (1-0,052) ×(1-0,052) × (1-0,052) = 0,9925

5.5 Análisis mediante árboles de fallo

La fiabilidad de redes (Network reliability) se basa en una representación gráfica abstractade un sistema. Básicamente está orientada al suceso éxito, pero en la práctica es mejororientarla al fallo.

Muchas veces un árbol de fallos (o árbol lógico) es el mejor dispositivo para deducir cuál esel mayor evento que puede producir un fallo en el sistema.


El análisis mediante árboles de fallo, abreviadamente FTA (failure tree analysis), es unatécnica que utiliza gráficos, denominados árboles de fallo, que representan con operadoresbooleanos ("Y" y "O") las combinaciones de estados lógicos susceptibles de conducir unsistema a una situación no deseada.

5.5.1 Construcción de un árbol de fallos

La construcción de árboles de fallos es uno de los principales métodos de sistemas deanálisis de seguridad. Fue desarrollado en los años 60 en la industria aeroespacial. Puedeser una herramienta de diseño muy útil. Se pueden identificar los accidentes potenciales enel diseño de un sistema y puede ser de ayuda para eliminar cambios de diseño costosos yretornos. También se utiliza como herramienta de diagnóstico para predecir las causas defallo más probables de un sistema en el caso que deje de funcionar.

Un árbol de fallos es un modelo lógico gráfico donde se representan varias combinacionesde posibles sucesos, de fallo y normales, que ocurren en un sistema, donde el suceso nodeseado se sitúa arriba de todo del árbol. Entre los elementos de un sistema se incluyen:hardware, software, y también factores humanos y ambientales.

Para construir un árbol de fallos de un sistema siempre se empieza definiendo el sucesoprincipal. Antes de empezar a construirlo debe entenderse el sistema, profundizando en laslimitaciones del entorno y del problema. Una vez construido, se analiza el árbol y, para quetenga aplicabilidad, deben estudiarse las medidas correctivas y adoptarse las que seconsideren oportunas para evitar o disminuir la probabilidad de fallo del sistema.

5.5.2 Símbolos de los sucesos

Los símbolos se muestran en la figura 5.6, donde se representan tipos específicos desucesos de fallo y normales de los análisis de árboles de fallo. El rectángulo define unsuceso que es la salida de una puerta lógica, y depende del tipo de puerta lógica y de lasentradas de la puerta lógica. Un suceso de fallo es un estado del sistema no normal. Nonecesariamente ha de ser debido al fallo de un componente. Por ejemplo, el suceso fallopuede ocurrir debido a un error de comando o de comunicación.

El círculo define un fallo inherente básico de un elemento del sistema cuando opera sin lasespecificaciones diseñadas. Nos referimos a este suceso como suceso básico primario. Elrombo representa aquel fallo, distinto del fallo primario, que no interesa desarrollar más (lodenominamos suceso básico secundario). Los sucesos básicos, pués, son primarios(círculo) o secundarios (rombo). El suceso interruptor representa un suceso que, por diseño,se espera que ocurra siempre (on) o que no ocurra nunca (off).

Suceso de fallo Suceso básico primario Suceso básico secundario Suceso interruptor

Figura 5.6 Símbolos de los sucesos de un árbol lógico de fallos


5.5.3 Puertas lógicas

Los árboles de fallo utilizan puertas O (OR gates) y puertas Y (AND gates). La puerta O esuna conexión lógica entre un suceso combinado y diversos sucesos elementales, lo quesignifica que el suceso combinado tiene lugar cuando se da al menos alguno de los sucesoselementales. La puerta Y es una conexión lógica entre un suceso combinado y diversossucesos elementales, lo que significa que el suceso combinado tiene lugar cuando se dansimultáneamente todos los sucesos elementales.

+ .

Puerta O Puerta Y

Figura 5.7 Símbolos de las puertas lógicas

Ejemplo 5.9

La fiabilidad del sistema de la figura 5.8 se calcula a partir de los fallos primarios cuyossucesos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 son independientes. Supongamos que las probabilidades deestos fallos son, respectivamente

P1=0,2; P2=0,3; P3=0,32; P4=0,24; P5=0,22; P6=0,15 y P7=0,12

El cálculo de la probabilidad de fallo del sistema (suceso F) es como sigue:

PF = PA×P1×PB

PA se calcula por la regla del producto, ya que es una puerta Y:

PA = P2×P3×P4 = 0,3×0,32×0,24 = 0,02304

PB se calcula por la regla del producto a partir de la probabilidad del complementario, ya quese trata de una puerta O:

(1-PB) = (1-P5)×(1-P6)×(1-P7) = (1-0,22)×(1-0,15)×(1-0,12) = 0,58344

De donde se deduce que PB = 0,41656.


Y se concluye que la probabilidad de fallo del sistema es

PF = 0,02304×0,2×0,41656 = 0,0019195

+ .

.

1

2 3 4 5 6 7

B A

F

Figura 5.8 Árbol de fallo del ejemplo 5.9

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TEORÍA DE FIABILIDAD - Campus Virtual · PDF filecomo base para la aproximación de los problemas de ingeniería estadística. ... fallo constante, en paralelo, sistemas combinados