Teoría de Representación para PMVf-álgebras Producto

Teoría de Representación paraPMVf-álgebras Producto

LILIAN JOHANA CRUZ MERA

UNIVERSIDAD DEL VALLE

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

DOCTORADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS

SANTIAGO DE CALI

2020



Trabajo de Investigación presentado como requisito para optar al título deDoctora en Ciencias Matemáticas

DirectorDr. YURI ALEXANDER POVEDAUniversidad Tecnológica de Pereira

Co-directorDr. GUILLERMO ORTIZ

Universidad del Valle




SANTIAGO DE CALI

2020






PALABRAS CLAVE: MV-álgebras, MV-álgebras producto, fu-anillo, idealprimo, espectro, co-extensividad, representación categórica.

SANTIAGO DE CALI

2020

Índice general

Introducción VII

1. MV -álgebras y PMVf -álgebras 11.1. MV -álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. MV -álgebras con producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Ejemplos PMVf -álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Ejemplos y propiedades de MVW -rigs . . . . . . . . . . . 7

1.3. lu-anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Representación Categórica para las PMVf -álgebras 152.1. Equivalencia entre la categoría PMVf y la categoría LRu. . . . . 15

2.1.1. Equivalencia categórica entre CPMVf y CLRu . . . . . . 162.1.2. Equivalencia categórica entre las categorías PMVf y LRu. 24

2.2. PMVf vs f -anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Álgebras Libres y la Conjetura de Pierce-Birkoff 363.1. Términos en la PMVf -álgebra provenientes de Free1 . . . . . . . 37

3.1.1. El producto en la MV -álgebra Free1 . . . . . . . . . . . . 373.2. Extensión del lu-grupo F [x] al lu-anillo contenido en PW (Z[x]). . 44

3.2.1. El lu-anillo generado por el lu-grupo correspondiente a laMV-álgebra Free1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Co-extensividad de la Categoría de los fu-anillos 534.1. Co-extensividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Co-extensividad de los fu-anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

iv

Índice general v

5. Conclusiones 59

A. 61A.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Bibliografía 77

Resumen

En este trabajo de investigación, se establece de manera explícita la equivalen-cia categórica entre una subvariedad propia de la clase de PMV -álgebras quellamaremos PMVf -álgebras (PMV -álgebras de funciones), y la categoría de losfu-anillos semi-low. Esta representación categórica se realiza con el espectro primode las MV -álgebras, a través de la equivalencia entre MV -álgebras y lu-gruposestablecida por Mundici, pero desde la perspectiva de Dubuc-Poveda, que extien-de la construcción definida por Chang para cadenas. Como caso particular, secaracterizan los fu-anillos asociados por esta equivalencia a las álgebras de Boole.Se estudian algunos anillos de funciones continuas a trozos de [0, 1] en [0, 1] cuyoscomponentes están constituidos por un número finito de polinomios con coeficien-tes enteros. Estos casos de “curvas algebraicas” (curvas tratadas como ceros delos polinomios que la componen), corresponden a una subclase de PMVf -álgebrasrelacionadas con las PMVf -álgebras libres de la variedad generada por el inter-valo [0, 1], HSP[0, 1]. Por último, dado que la categoría de f -anillos con unidadfuerte contiene una clase de anillos no unitarios, como por ejemplo algunos idealesprincipales en el anillo de funciones continuas con valores en un espacio topoló-gico compacto, probamos así la co-extensividad de una categoría esencialmentediferente a la categoría de anillos conmutativos unitarios. Como consecuencia, ob-tenemos la co-extensividad de algunas subcategorías plenas de las MV -álgebrascon producto, a través de la equivalencia entre las PMVf -álgebras y los fu-anillos.

vi

INTRODUCCIÓN

Las álgebras multivaluadas llamadasMV -álgebras, fueron introducidas por Chang[6], para demostrar un teorema de completitud para la lógica fuzzy propuesto en1930 por Łukasiewicz y Tarsky para sistemas con valores de verdad en el intervalo[0, 1]. Chang estableció la equivalencia entre l-grupos abelianos totalmente orde-nados con unidad fuerte y lasMV -álgebras totalmente ordenadas. Más tarde estarelación fue afianzada por Mundici en [36], quien encontró que esta equivalencia sepodía extender a todas las MV -álgebras y a todos los l-grupos con unidad fuerte.Este puente generó otro viraje importante que permite relacionar aspectos de lacategoría de lu-grupos conmutativos con la categoría de MV -álgebras.

Teoremas clásicos de la teoría de anillos conmutativos unitarios tienen su reflejoen lasMV -álgebras, por eso no fue extraño que Dubuc y Poveda en [12] utilizarancon éxito técnicas que habían sido usadas para los anillos conmutativos en la teoríade representación. Pero una de las complejidades de hacer lo que se denominaríaun álgebra conmutativa fuzzy, se relaciona con la ausencia de una operación pro-ducto en las MV -álgebras. Sin embargo, la MV -álgebra generadora, [0, 1], tienede manera natural un producto el cual tiene propiedades naturales dentro de suestructura de MV -álgebra, lo que sirvió de inspiración para este trabajo. Ade-más, la bibliografía sobre MV -álgebras con producto como las tratadas en [11] yen [35], han hecho desarrollos que no tienen el enfoque que se quiere realizar eneste trabajo, relacionado con tener una teoría adecuada para demostrar teoremasde un álgebra conmutativa fuzzy.

Las MV -álgebras producto fueron estudiadas por Di Nola et al, en [11] como va-riedades del álgebra universal. En el 2000 Montagna en [33] encontró una nueva

vii

viii Índice general

axiomatización para las PL-álgebras y dio una caracterización de diversas subcla-ses de MV -álgebras producto. En 2001, Montagna y Panti en [35] establecierondiversas clases ecuacionales correspondientes a sub-variedades de lasMV -álgebrasproducto y estudiaron sus respectivos espectros primos. En 2005, Montagna [34]estableció una equivalencia categórica entre la clase de PMV -álgebras conmuta-tivas con unidad y una subclase de f -anillos conmutativos con unidad fuerte.

Los lu-grupos correspondientes a lasMV -álgebras libres, mediante la equivalenciarealizada por Mundici en [36], y descrita por Dubuc y Poveda en [12] de manerageneral a como hizo Chang para MV -álgebras totalmente ordenadas, se encuen-tran inmersos en el anillo reticular de funciones continuas del intervalo [0,1] en losreales. Así, es posible considerar el sub-anillo generado por estos lu-grupos, en esteanillo retícular, y aplicar el funtor Γ entre estos nuevos lu-grupos y MV -álgebras.El resultado es una clase de MV -álgebras que está cerrada por productos de ma-nera natural, en el sentido que el producto correspondiente a laMV -álgebra [0,1],es el usual de los números reales.

Es así que en 2018, Estrada y Poveda en [16] introducen los rigs débiles multi-valuados y dieron una axiomatización para esta variedad. En este contexto es-tablecieron propiedades básicas acerca de ideales, homomorfismos, cocientes yradicales. Esta nueva clase contiene a la clase de MV -álgebras producto presen-tada en [11] y a la variedad definida en [34], y allanó el camino para introducirlas estructuras estudiadas en este trabajo, que no se encuentran en la literaturaespecializada, y se denominan PMVf -álgebras, cuya contraparte por la equivalen-cia encontrada, son los fu-anillos semi-low, que tienen como ejemplo los númerosreales.

Para continuar con los delineamientos expuestos anteriormente, los resultadosprincipales obtenidos en este trabajo son:

1. Se establece la equivalencia natural entre la categoría de PMVf álgebrasy la categoría de f -anillos semi low. Esta construcción permite encontrarrepresentaciones explícitas de los anillos asociados a ejemplos notables enla clase de PMVf -álgebras, a saber la MV -álgebra [0, 1] con el producto

Índice general ix

usual, la MV -álgebra de funciones de [0, 1]n en [0, 1], con el producto usualde funciones, o la PMVf -álgebra de las álgebras booleanas con el productodefinido como el ínfimo. Para obtener la equivalencia categórica fue necesarioestablecer resultados originales, los cuales se encuentran sin referencia eneste documento.

2. Se caracterizan las PMVf -álgebras libres con un generador en la subvariedadHSP[0, 1], que están relacionadas con las “curvas algebraicas” instanciadasen los f -anillos de funciones continuas que localmente son polinomios concoeficientes enteros.

3. Se prueba la co-extensividad de la categoría de los fu-anillos y por la equi-valencia, de la categoría de las PMVf -álgebras. La co-extensividad permitedecidir si una categoría algebraica posee propiedades geométricas. Así, estainvestigación abrirá un camino hacia el estudio de la geometría algebraicadifusa y a propiedades intrínsecas de las curvas en los f -anillos conmutati-vos unitarios, en las PMVf -álgebras y en alguna subvariedad de las MV -álgebras.

Este documento se encuentra organizado de la siguiente manera:En el Capítulo 1, se presentan algunos preliminares sobre las MV -álgebras y sedefine una MV -álgebra con producto, y en ese contexto las variedades: PMV1,PMVf , PMV -álgebras, MVW -rigs y las relaciones entre ellas. Se presentan al-gunas propiedades de los MVW -rigs con ejemplos de la independencia de susaxiomas.

En el capítulo 2, se presenta la equivalencia categórica entre las PMVf -álgebrasy la categoría de fu-anillos conmutativos semi-low, que realiza la construcción ex-plícita de las propiedades del producto de las PMVf -álgebras, en las propiedadesclásicas de ese producto en los f -anillos correspondientes, de manera análoga ala construcción de Chang. A partir de la equivalencia establecida por Mundici[36], pero usando la construcción de Dubuc y Poveda en [14], que no requiere las“good sequences”, utiliza únicamente el espectro primo de las MV -álgebras sub-yacentes y la equivalencia entre MV -álgebras y lu-grupos totalmente ordenados,como en [6]. La representación categórica se basa en que cualquier PMVf -álgebra

x Índice general

es producto subdirecto de PMVf -álgebras totalmente ordenadas, que en adelantellamaremos PMVf -álgebras cadenas. Se presenta también de manera explícita losf -anillos semi-low, asociados por esta equivalencia, a las álgebras Booleanas. Losresultados del capítulo 1 y 2 pueden ser consultados en [10].

En el Capítulo 3, se construyen ejemplos en el anillo de funciones continuas de [0, 1]en [0, 1] constituidas a trozos por un número finito de polinomios con coeficientesenteros, para definir cómo pueden ser representadas como términos en los símbolosde operaciones de la estructura y establecer una relación con la conjetura dePierce-Birkhoff para el caso de [0, 1]. También se estudia la relación entre lasfunciones polinomiales a trozos de [0, 1] en R, que corresponden a las álgebraslibres de la subclase propia de la PMVf -álgebras, HSP[0, 1] (ver [41]).

En el Capítulo 4, se prueba la co-extensividad de la categoría de los fu-anillos demanera análoga a la prueba que se realiza para la categoría de anillos conmutativosunitarios, pero sin utilizar los elementos idempotentes, puesto que estos anilllosno necesariamente son unitarios. Como Corolario se obtiene la co-extensividad dealgunas sub-variedades de las MV -álgebras producto.

Se asume que el lector posee conocimientos básicos de álgebra universal (ver [39])y de teoría de categorías (ver [29]).

Como resultado de este trabajo de investigación, se ha publicado un artículoen una revista internacional [10], y un segundo artículo ha sido sometido, [9].Además, se ha presentado como ponencia en eventos especializados a nivel nacionale internacional.

Capítulo 1

MV -álgebras y PMVf-álgebras

En este capítulo se introduce la variedad de PMVf -álgebras. Para ello, se pre-sentan definiciones y resultados del álgebra universal que es necesario mencionar,sean de conocimiento o no, por ser de utilidad en la resolución de los objetivospropuestos. Las MV -álgebras, se citarán de una manera breve sin entrar en deta-lles.

1.1. MV -álgebras

Algunas de las definiciones y propiedades de las MV -álgebras que se presentana continuación, son relevantes para este trabajo. El lector que requiera mayorinformación puede consultar [7].

Definición 1.1.1 (MV -álgebra). Una MV -álgebra es una estrutcura del tipo(2,1,0), (A,⊕,¬, 0) , tal que (A,⊕, 0) es un monoide conmutativo y la operación¬ satisface:

i) ¬(¬x) = x,

ii) x⊕ ¬0 = ¬0,

iii) ¬(¬x⊕ y)⊕ y = ¬(¬y ⊕ x)⊕ x.

La operación ¬ se llama negación y la operación ⊕ suma.

Otras operaciones que se obtienen a partir de la suma y la negación son:

1

2 Capítulo 1. MV -álgebras y PMVf -álgebras

iv) x� y = ¬(¬x⊕ ¬y),

v) x y = ¬(¬x⊕ y),

vi) x ∨ y = ¬(¬x⊕ y)⊕ y = (x� ¬y)⊕ y = (x y)⊕ y,

vii) x ∧ y = ¬(¬x ∨ ¬y) = x� (¬x⊕ y) = x (x y).

Observación 1.1.1 (Orden). Toda MV -álgebra A está ordenada por la relación,

x ≤ y si y sólo si x y = 0, para todo x, y ∈ A.

Toda MV -álgebra A, con el orden anteriormente definido, es un retículo distribu-tivo.

Observación 1.1.2. Todo elemento a de unaMV -álgebra A, satisface 0 ≤ a ≤ ¬0.En adelante se denotará ¬0 = u, y no 1 como suele aparecer en la literatura, parano entrar en confusión con la unidad multiplicativa en las definiciones posteriores.

Ejemplo 1.1.2. El intervalo [0, 1] de números reales con las operaciones

x⊕ y = mın{1, x+ y}¬x = 1− x,

para todo x, y ∈ [0, 1], es la MV-álgebra estándar. Se sigue de la Definición 1.1.1que:

x� y = max{x+ y − 1, 0}x y = max{x− y, 0}.

Definición 1.1.3. Una función continua f : [0, 1]n → [0, 1] es una funciónde McNaughton en n-variables si y sólo si existen polinomios lineales con co-eficientes enteros Pi, tales que para todo x ∈ [0, 1]n, f(x) = Pi(x) para algúni ∈ {1, 2, ...,m}.

Ejemplo 1.1.4. El conjunto de las funciones de McNaughton en n-variables conla suma y negación definidas puntualmente

(f ⊕ g)(x) = f(x)⊕ g(x) = mın{1, f(x) + g(x)},(¬f)(x) = ¬f(x) = 1− f(x),

1.2. MV -álgebras con producto 3

es una MV -álgebra.

Definición 1.1.5. Una MV -álgebra A con un subconjunto de elementos distin-guido Y se dice libre sobre (el conjunto generador) Y, denotada FreeY , si y sólosi para toda MV -álgebra B y toda función f : Y → B, f puede ser extendida deuna única manera a un homomorfismo de A en B.

Teorema 1.1.6. [7, 9.1.5] La MV -álgebra libre Freen con n generadores es iso-morfa a la MV -álgebra de las funciones de McNaughton en n variables.Demostración. La prueba de este Teorema puede consultarse en [7, 13, 37].

Definición 1.1.7 (Homomorfismo). Dadas dos MV -álgebras A y B, una funciónf : A→ B es un homomorfismo de MV -álgebras si para todo x, y en A :

i) f(0) = 0,

ii) f(x⊕ y) = f(x)⊕ f(y),

iii) f(¬x) = ¬f(x).

Definición 1.1.8 (Ideal de MV -álgebra). Un subconjunto no vacío I de unaMV -álgebra A, es un ideal si y solo si:

i) Si a ≤ b y b ∈ I, entonces a ∈ I.

ii) Si a, b ∈ I, entonces a⊕ b ∈ I.

Definición 1.1.9 (Ideal primo de una MV -álgebra). Un ideal P de una MV -álgebra A es primo, si para todo a, b ∈ A, a ∧ b ∈ P implica a ∈ P o b ∈ P.

Notación 1. Id(A) y Spec(A) representan el conjunto de ideales y el conjuntode ideales primos de la MV -álgebra A, respectivamente.

Teorema 1.1.10 (Teorema de representación de Chang [6]). Toda MV -álgebrano trivial es un producto subdirecto de MV -álgebras totalmente ordenadas o MV -álgebras cadena.

1.2. MV -álgebras con producto

LasMV -álgebras producto fueron introducidas y estudiadas en [11] bajo el nombrede PMV -álgebras, y esencialmente consiste en dotar a una MV -álgebra con una


operación producto que sea compatible con las demás operaciones, lo cual derivaen una equivalencia categórica con la clase de l-anillos con unidad fuerte. Existensubclases de particular importancia que fueron estudiadas a profundidad en [33–35].

A continuación se definen las MV -álgebras con producto, algunas subvariedades,y se introduce a la literatura las PMVf -álgebras. También se muestra cómo estánrelacionadas estas subvariedades y algunas propiedades de los MVW -rigs. Estosresultados se encuentran en [10, 16].

Definición 1.2.1. Una MV -álgebra con producto es una estructura (A,⊕, ·,¬, 0)tal que (A,⊕,¬, 0) es una MV -álgebra, (A, ·) es un semigrupo, y unas relacionesde compatibilidad entre el producto y la suma.

La operación “·” se llama producto. Por notación an := a · a · . . . · a︸︷︷︸n−veces

.

Una MV -álgebra producto se dice conmutativa si el producto es conmutativo.En este trabajo todas las MV -álgebras productos serán conmutativas, en casocontrario se hará la aclaración. El producto será representado por yuxtaposición,a · b := ab.

Definición 1.2.2. (MVW-rig [16, 3.3]) Un MVW-rig (A,⊕, ·,¬, 0) es una MV -álgebra con producto, tal que:

i) a · 0 = 0 · a = 0,

ii) a(b⊕ c) (ab⊕ ac) = 0,

iii) (ab ac) a(b c) = 0.

Observación 1.2.1. Para todo a, b, c ∈ A, el axioma ii) es equivalente a

a(b⊕ c) ≤ ab⊕ ac (1.1)

y el axioma iii) es equivalente a

ab ac ≤ a(b c). (1.2)

Definición 1.2.3. Un MVW -rig A se dice unitario si existe un elemento s ∈ A


tal que para todo a en A, s · a = a · s = a.

Definición 1.2.4 (PMV -álgebra [11]). Una PMV -álgebra A es una MV -álgebracon producto tal que para todo a, b, c ∈ A

i) a� b = 0 implica ac� bc = 0,

ii) a� b = 0 implica c(a⊕ b) = ca⊕ cb.

En [11, Teorema 3.1] se prueba que la clase PMV es ecuacionalmente definible.

Definición 1.2.5 (MV f -álgebra [11]). Una MV f -álgebra es una PMV -álgebratal que a ∧ b = 0 implica ac ∧ b = ca ∧ b = 0.

La siguiente definición de PMV -álgebra es una nueva estructura introducida eneste trabajo con la que se realiza todo el estudio posterior de la equivalenciacategórica.

Definición 1.2.6 (PMVf -álgebra [10]). Una PMVf -álgebra es un MVW -rig, talque para todo a, b, c ∈ A, ab ≤ a ∧ b, y a(b c) = ab ac.

Definición 1.2.7 (PMV -Unitaria [35]). Es una MV - álgebra A con producto talque para todo a, b, c ∈ A, au = a, y a(b c) = ab ac. Estas álgebras se denotanPMV1.

Otras subvariedades de lasMV -álgebras con producto son: las PŁ′, las cuales sonPMV1-álgebras sin divisores de cero [21, Definición 3.5], y la variedad generadapor la PMV1-álgebra estándar [0, 1], HSP([0, 1]) [33].

1.2.1. Ejemplos PMVf-álgebras

Ejemplo 1.2.8. La MV -álgebra [0, 1] con el producto usual de los números realeses una PVMf -álgebra.

Ejemplo 1.2.9. La MV -álgebra [0, u] con el producto usual de los números realestal que 0 < u < 1, es una PVMf -álgebra no unitaria.

Ejemplo 1.2.10. Las funciones continuas de [0, 1]n en [0, 1] con la suma truncaday la multiplicación usual de funciones es una PVMf -álgebra.

Ejemplo 1.2.11. El conjunto de funciones continuas a trozos f : [0, 1]n → [0, 1]cada una con finitos polinomios P1, P2 . . . , Pn ∈ Z[x], tal que para todo z ∈ [0, 1]n,


f(z) = Pi(z) para algún i ∈ {1, · · · , n}, es una PMVf -álgebra.

Ejemplo 1.2.12. Toda álgebra Booleana con la suma como el supremo y el pro-ducto como el ínfimo es una PMVf -álgebra.

Ejemplo 1.2.13. Toda MV -álgebra con el ínfimo como producto no es necesa-riamente una PMVf -álgebra ( ver Ejemplo 1.2.22).

Observación 1.2.2. Dada una PMVf -álgebra A, tal que u2 = u entonces ¬(au) =(¬a)u.

Esto se sigue de [7, Lema 1.1.3], pues si a � ¬a = 0 implica au � (¬a)u = 0 y,u = u2 = u(a⊕ ¬a) = au⊕ (¬a)u.

El siguiente teorema muestra cómo están relacionadas las variedades de PMV -álgebras definidas anteriormente.

Teorema 1.2.14. Se tienen las siguientes relaciones de contenencia:

PŁ′ ⊂ HSP([0, 1]) ⊂ PMV1 ⊂ PMVf ⊂ PMV ⊂MVW − rig

Demostración. La prueba de la relación entre las álgebras unitarias

PŁ′ ⊂ HSP([0, 1]) ⊂ PMV1,

se encuentra en [21, Theorem 3.15].

La contenencia PMV1 ⊂ PMVf , se sigue de [35, Lema 2.9-iii] y del Ejemplo 1.2.9.

Para la contenencia PMVf ⊂ PMV , sean a, b, c ∈ PMVf . Si a � b = 0, comoac ≤ a y bc ≤ b entonces, ac � bc ≤ a � b = 0. De otra parte, a � b = 0 implicaa ≤ ub y consecuentemente, ca ≤ c(ub) ≤ cu. Esta última desigualdad implicaque (ver [35, Proposición 2.7-vii])

c(b⊕a) = c(u((ub)a)) = cu(c(ub)ca) = (cuc(ub))⊕ca = cb⊕ca.

La contenencia es estricta por el ejemplo [11, Ejemplo 3.6, (2)]. TodaMV -álgebrafinita M en la cual existen dos únicos átomos a, b de orden n > 1 y n2 respecti-vamente, admite un producto vía, aa = b y ab = ba = bb = 0, tal que M con este


producto es una PMV -álgebra que no es PMVf -álgebra, debido a que aa = b � a.

La contenencia PMV ⊂ MVW -rig se prueba en la Proposición 2.2.4. Para lacontenencia estricta ver el Ejemplo 1.2.20.

Observación 1.2.3. La contenencia PMVf ⊆MV f es inmediata por las defini-ciones de las estructuras, pero no se ha encontrado un modelo que verifique quees estricta.

1.2.2. Ejemplos y propiedades de MVW -rigs

Ejemplo 1.2.15. TodaMV -álgebra en la que se define ab = 0, para todo a, b ∈ A,es un MVW -rig.

Ejemplo 1.2.16. LaMV -álgebra [0, 1] con la multiplicación usual de los númerosreales, es un MVW -rig conmutativo con elemento unitario u = 1.

Ejemplo 1.2.17. LaMV -álgebra [0, u] con la multiplicación usual de los númerosreales y 0 ≤ u < 1, es un MVW -rig conmutativo no unitario.

Ejemplo 1.2.18. La MV -álgebra de funciones continuas de [0, 1]n en [0, 1] con elproducto usual de funciones, es un MVW -rig que tiene la propiedad: xy ≤ x ∧ ypara todo x, y ∈ [0, 1]n. En paticular, las funciones dadas en el Ejemplo 1.1.4junto con el producto, son de interés en la búsqueda de las álgebras libres paraesta teoría.

Ejemplo 1.2.19. [16, 3.9]. El álgebra obtenida al cerrar por productos la MV -álgebra de Łukasiewicz Łn =

⟨{0, 1

n−1 ,2

n−1 , · · · ,n−2n−1 , 1

},⊕,¬

⟩con el producto

usual de R,Łn =

⟨{m

nk∈ Q ∩ [0, 1]| k,m ∈ N

},⊕, ·,¬

⟩,

es un MVW -rig .

Observación 1.2.4. En [11, 3.5], se afirma que una MV -álgebra finita A admiteun producto · tal que a · 1 = a = 1 · a para todo a ∈ A, si y sólo si A es unálgebra Booleana. Si éste es el caso, entonces a · b = a ∧ b. Como consecuenciade este resultado se tiene que sólo se pueden definir productos unitarios sobre unaMV -álgebra no Booleana si es una MV -álgebra infinita.


Así que, se pueden tener MVW -rigs sobre MV -álgebras finitas no Booleanas talque a · 1 = a = 1 · a como se muestra en el siguiente ejemplo, pero no PMV -álgebras. Esto también implica que no se puede definir un producto · en Łn quesatisfaga a · 1 = a = 1 · a.

Ejemplo 1.2.20. [16, 3.11]. Zn = {0, 1, . . . , n} con n ∈ N, u = n como unidadfuerte, x ⊕ y = min{n, x + y}, ¬x = n − x y xy = min{n, x · y}, es un MVW -rig donde las operaciones suma + y producto · son las usuales en los númerosnaturales.

Zn es unitario, la unidad fuerte es diferente de la unidad multiplicativa, u 6= 1, novale la propiedad cancelativa y el producto entre dos elementos es mayor o igualque el supremo. En algunos casos vale la desigualdad estricta en (1.2), aunquesiempre vale la igualdad en (1.1). Por ejemplo en Z10,

2(7 6) = 2[¬(¬7⊕ 6)] = 2[¬(3⊕ 6)] = 2[¬9] = 2(1) = 2> (2)(7) (2)(6) = 10 10 = 0.

Tampoco es una PMV -álgebra puesto que si tomamos los elementos 2, 3 ∈ Z10,

2� 2 = 0 y (3)(2)� (3)(2) = 6� 6 = 2.

Ejemplo 1.2.21. Łn+1 =⟨{0, 1

n, · · · n−1

n, 1},⊕, ·,¬, 0, 1

⟩, con el producto definido

como: xn· yn

= min{n, x · y}n

, con x, y ∈ {0, 1, · · · , n}, es un MVW-rig isomorfoa Zn, mediante el homomorfismo ϕ : Łn+1 −→ Zn,

xn7−→ x.

Proposición 1.2.1. Toda MV -álgebra A con el producto definido por el ínfimoab = a ∧ b es un MVW -rig.

Demostración. Como el producto está definido en términos del ínfimo, por elteorema de representación de Chang, basta demostrar que vale para cualquierMV -álgebra cadena. Como el ínfimo es asociativo y conmutativo, es suficientedemostrar las desigualdades (1.1) y (1.2).Dados los elementos a, b, c en una MV -álgebra cadena A, si b ⊕ c ≤ a entoncesb ⊕ c = a ∧ (b ⊕ c) ≤ b ⊕ c = (a ∧ b) ⊕ (a ∧ c). Si por el contrario, a ≤ b ⊕ c ya ≤ b, c, entonces a = a ∧ (b ⊕ c) ≤ a ⊕ a = (a ∧ b) ⊕ (a ∧ c). Si a ≤ b ⊕ c yb ≤ a ≤ c, entonces a = a∧ (b⊕ c) ≤ a⊕ a = (a∧ b)⊕ (a∧ c). De manera similar


se prueba que a ∧ (b c) ≥ a ∧ b a ∧ c.

Observación 1.2.5. Aunque toda MV -álgebra es un MVW -rig con el productodefinido por el ínfimo, en general no es una PMV -álgebra (ver Observación 1.2.4)como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.2.22. La MV -álgebra de Łukasiewics Ł4, con el producto definidocomo el ínfimo, no es PMV -álgebra debido a que, por ejemplo 1

3 �13 = 0 y

13 = 1

3 ∧(1

3 ⊕13

)<(1

3 ∧13

)⊕(1

3 ∧13

)= 1

3 ⊕13 = 2

3 .

Proposición 1.2.2. Toda MV -álgebra A es un MVW -rig con el producto defi-nido como el supremo para elementos diferentes de cero, es decir, ab = a ∨ b sia 6= 0 y b 6= 0 y, cero en otro caso.

Demostración. Basta probar las desigualdades (1.1) y (1.2) para MVW -rigs ca-denas. Ellas se siguen directamente del hecho que para todo a, b, c ∈ A cadena, setiene que a∨ (b⊕ c) ≤ (a∨ b)⊕ (a∨ c) y a∨ (b c) ≥ (a∨ b) (a∨ c). Si los ele-mentos son diferentes de cero, estas son propiedades de la MV -álgebra. Si algunode los elementos es cero, un cálculo directo muestra que también se cumplen ladesigualdades.

Ejemplo 1.2.23. Un caso particular de la proposición anterior y que es de interésen este contexto, se cumple para toda álgebra de Boole A vista como una MV -algebra, dónde la suma es el supremo y la negación el complemento. Si definimosel producto como en las Proposiciones 1.2.1 o 1.2.2, toda álgebra de Boole es demanera natural, un MVW -rig. Además, si el producto se define como el ínfimoentonces es una PMV1-álgebra (ver Observación 1.2.4).

Proposición 1.2.3. El axioma iii) de la Definición 1.2.2, es independiente delos demás axiomas de MVW -rig. De la misma forma se prueba que el axioma i)es independiente de los demás.


Demostración. La MV -álgebra de Łukasiewicz Ł4 con el producto definido como:

a · b =

0 si a = 0 o b = 0,

a⊕ b si a� b = 0,a� b si a� b 6= 0,

es una estructura en la que no vale el axioma iii), pero sí valen los demás. Paralos elementos de Ł4-{0}, el producto así definido es equivalente a la suma en elgrupo de los enteros módulo 3 (Z3), por lo cual, este producto es asociativo yconmutativo.

De otra parte, todaMV -álgebra con el supremo como producto, valida los axiomasde MVW -rig, excepto el axioma i). La prueba es análoga a la demostración dadaen la Proposición 1.2.2.

Es importante anotar que si el producto distribuye con respecto a la resta, entoncesse pueden demostrar los axiomas i) y ii) de MVW -rig.

Proposición 1.2.4. [16, 3.4, 3.6]. Sea A un MVW -rig. Para todo a, b, c ∈ A, setienen las siguientes propiedades:

i) Si a ≤ b entonces ac ≤ bc,

ii) u2 ≤ u,

iii) a ≤ b y c ≤ d entonces ac ≤ bd.

Demostración. La propiedad iii) se sigue de i) puesto que, a ≤ b y c ≤ d implicanac ≤ bc y cb ≤ db.

Ideales y Homomorfismos de MVW -rigs

Definición 1.2.24. Dados los MVW -rigs A y B, una función f : A→ B es unhomomorfismo de MVW -rigs, si y sólo si,

i) f es un homomorfismo de MV -álgebras.

ii) f(ab) = f(a)f(b).


Definición 1.2.25. [16] El kernel de un homomorfismo ϕ : A→ B deMVW -rigses el conjunto

ker(ϕ) := ϕ−1(0) = {x ∈ A|ϕ(x) = 0}.

Definición 1.2.26. [16, 4.3] Un subconjunto I de un MVW -rig A, es un idealsi satisface las siguientes propiedades:

i) I es un ideal de la MV -álgebra subyacente A.

ii) Dados a ∈ I, y b ∈ A, ab ∈ I (Propiedad absorbente).

Ejemplo 1.2.27 (Álgebras Booleanas). Las álgebras Booleanas con el supremocomo suma y el ínfimo como producto son MVW -rigs. Los ideales de este MVW -rig son los ideales de la MV -álgebra, que a su vez son los ideales del retículo.

Observación 1.2.6. Note que en la Proposición 1.2.2, el MVW -rig, no tieneideales propios no triviales, es decir, sus únicos ideales son cero y todo el MVW -rig.

Definición 1.2.28. [16]Un subconjunto S de un MVW -rig A es un sub-MVW -rig si 0 ∈ S y es cerrado para las operaciones de A.

Definición 1.2.29 (Ideal primo de un MVW -rig). Un ideal P de un MVW -riges primo si para todo a, b ∈ A, ab ∈ P implica a ∈ P o b ∈ P.

Notación 2. IdW

(A) y SpecW

(A) representan el conjunto de ideales e idealesprimos del MVW -rig A, respectivamente.

Proposición 1.2.5. [16, 5.1]. Existe una correspondencia biyectiva entre el con-junto de ideales de un MVW -rig A y el conjunto de sus congruencias. Es decir,dado I un ideal de un MVW -rig, A, la relación binaria a ≡I b si y sólo si(a b)⊕ (b a) ∈ I, es una relación de congruencia, y dada, ≡ una relación decongruencia en A, {a ∈ A|a ≡ 0} es un ideal en A.

Sólo se probará la compatibilidad del producto por ser de interés en este contexto.La demostración completa está en [16, 2.29].

Demostración. Por ser A una MV -álgebra e I un MV -ideal, se tiene que a ≡I by c ≡I d implican a ⊕ c ≡I b ⊕ d y ¬a ≡I ¬b, (ver [7, 1.2.6]). Resta probar quea ≡I b y c ≡I d implican ac ≡I bd.


Dado que a ≡I b y c ≡I d entonces a b ∈ I y c d ∈ I respectivamente, luego

ac ≤ (a ∨ b)(c ∨ d) =((a b)⊕ b

)((c d)⊕ d

)≤ (a b)

((c d)⊕ d

)⊕ b

((c d)⊕ d

)≤ (a b)(c d)⊕ (a b)d⊕ b(c d)⊕ bd.

Lo que es equivalente a tener

ac bd ≤ (a b)(c d)⊕ (a b)d⊕ b(c d) ∈ I,

puesto que (a b) y (cd) ∈ I e I es absorbente, ac bd ∈ I. De manera análogase tiene que bd ac ∈ I, así (ac bd)⊕ (bd ac) ∈ I, y por lo tanto ac ≡I bd.

Observación 1.2.7. Dado x ∈ A, la clase de equivalencia de x con respecto a ≡Ise denotará por [x]I (también se conoce como la clase de equivalencia de x móduloI) y el conjunto cociente A/ ≡I por A/I.

Las operaciones ¬[a]I = [¬a]I , [a]I ⊕ [b]I = [a ⊕ b]I y [a]I [b]I = [ab]I están biendefinidas sobre A/I, puesto que ≡I es una congruencia.

Proposición 1.2.6. [16, 5.3]. Dado I ∈ IdW

(A), A/I es un MVW -rig.

Corolario 1.2.30. Dados un MVW -rig A e I ∈ Spec(A), si I es un MV -idealprimo absorbente, si y sólo si A/I es un MVW -rig totalmente ordenado.

Proposición 1.2.7. Dada una PMVf -álgebra A, IdW (A) = Id(A) y además,SpecW (A) ⊆ Spec(A).

Demostración. Por definición IdW (A) ⊆ Id(A). De otro lado, dados I ∈ Id(A) ya ∈ I, para todo c ∈ A, ac ≤ a ∧ c ∈ I, así I ∈ IdW (A). De otra parte, dadosI ∈ Spec

W(A) y a, b ∈ A tales que a ∧ b ∈ I, entonces ab ∈ I debido a que

ab ≤ a ∧ b. Consecuentemente a ∈ I o b ∈ I, así I ∈ Spec(A).

Proposición 1.2.8. Dada una PMVf -álgebra A e I ∈ IdW

(A), A/I es unaPMVf -álgebra.

Demostración. Se sigue directamente de la Proposición 1.2.5 y de la Proposición1.2.6.

1.3. lu-anillos 13

1.3. lu-anillos

En adelante “| · |” significa el conjunto subyacente.

Definición 1.3.1 (l-grupo [2, 7]). Un grupo abeliano (|G|,+,−, 0) dotado con unarelación de orden parcial ≤ compatible con la suma, es decir, para todo x, y, t ∈ G,si x ≤ y implica que t+x ≤ t+y, se dice un l-grupo si la relación de orden defineun retículo.

Definición 1.3.2. Para cada elemento x de un l-grupo G, el valor absoluto dex se define como |x| = x+ + x−, donde x+ = x ∨ 0 y x− = −x ∨ 0 son la partepositiva y la parte negativa respectivamente.

Definición 1.3.3. Una unidad fuerte de un l-grupo G es un elemento 0 ≤ u ∈ Gtal que para todo x ∈ G, |x| ≤ nu, para algún un entero n ≥ 0.

Un lu-grupo es l-grupo con unidad fuerte u.

Definición 1.3.4 (l-ideal). Un l-ideal de un l-grupo G es un subgrupo J de Gque satisface: si x ∈ J e |y| ≤ |x| entonces y ∈ J.

Definición 1.3.5 (l-ideal primo). Un l-ideal P de un lu-grupo G, es primo si ysólo si, G/P es un grupo totalmente ordenado.

Specg(G) representa el conjunto de l-ideales primos del grupo G.

Definición 1.3.6. [2, XVII.1]. Un lu-anillo, es un anillo R = (|R|,+, ·,≤, u) talque 〈|R|,+,≤, u〉 es un lu-grupo con |R| el conjunto subyacente y, 0 ≤ x, 0 ≤ y

implica 0 ≤ xy.

En adelante todos los anillos se considerarán conmutativos.

Definición 1.3.7. Dados los l-anillos R y H con unidad fuerte w y v respecti-vamente, la función h : R → H es un lu-homomorfismo si y sólo si es un homo-morfismo de anillos, un homomorfismo de retículos, y además satisface h(u) = v.

Definición 1.3.8. (L-ideal [2, XVII.3]). Un L-ideal I de un l-anillo R es unl-ideal, tal que para todo y ∈ I y x ∈ R, xy ∈ I. I es irreducible si y sólo si R/Ies un anillo totalmente ordenado.

Notación 3. Id(R) representa el conjunto de L-ideales de R, e Idg(R) el conjunto


de l-ideales del grupo subyacente de R.

Definición 1.3.9. (Low l-ring [34]) Un l-anillo R es llamado low si y sólo si,para todo x, y ≥ 0 ∈ R se tiene xy ≤ x ∧ y.

Definición 1.3.10 (lu-anillo semi-low). Un lu-anillo es semi-low si para todoa, b ∈ [0, u], ab ≤ a ∧ b.

Teorema 1.3.11. Dados un l-anillo R, 0 < u ∈ R, y [0, u] = {a ∈ R|0 ≤ a ≤ u} ,con [0, u]] ⊂ R el subanillo generado por [0, u] , entonces:

a) Dados A ⊂ [0, u], una PMVf -álgebra, A] ⊂ [0, u]] el subanillo generado porA; A] es un lu-anillo semi-low con unidad fuerte u y A = Γ(A], u).

b) Todo lu-anillo semi-low es generado por sus segmentos,

[0, u]] = {x ∈ R|∃n ≥ 0, |x| ≤ nu} .

Demostración. a) Dada una PMVf -álgebra A = 〈|A|,⊕, ·,¬, 0〉, se tiene queA = 〈|A|,⊕,¬, 0〉 es unaMV -álgebra. Si A∗ es el lu-grupo asociado, se sigueque los conjuntos subyacentes |A]| = |A∗|, debido a que para todo a ∈ A],a = ∑

εibici + ∑δjdj, con bi, ci, bici, dj ∈ A y εi, δj ∈ {1,−1}, es suma de

elementos de A. Así, A = Γ(A], u) por [14, Teorema 1.2-a)]. De otra parte,x, y ∈ A] ∩ [0, u] implica x, y ∈ A y xy ≤ x ∧ y.

b) De [14, Teorema 1.2-b)] se sigue que: [0, u]∗ = {x ∈ R|∃n ≥ 0, |x| ≤ nu}es un l-grupo con unidad fuerte u, y por las razones expuestas antes, losconjuntos subyacentes |R| = |[0, u]∗| = |[0, u]]|, así R = [0, u]].

Capítulo 2

Representación Categórica paralas PMVf-álgebras

En este capítulo se establece de manera explícita la equivalencia categórica en-tre la subvariedad propia de la clase de PMV -álgebras, las PMVf -álgebras, yla categoría de los fu-anillos semi-low. Esta representación categórica se realizacon el espectro primo de las MV -álgebras, a través de la equivalencia entre MV -álgebras y lu-grupos establecida por Mundici [36], pero desde la perspectiva dadaen [14], que extiende la construcción definida por Chang para cadenas [6]. Comocaso particular, se caracterizan los fu-anillos asociados por esta equivalencia a lasálgebras Boole. Los resultados aquí obtenidos se encuentran en [10].

2.1. Equivalencia entre la categoría PMVf y lacategoría LRu.

Definición 2.1.1. Sean PMVf y CPMVf las categorías cuyos objetos son lasPMVf -álgebras y PMVf -álgebras cadena respectivamente, y cuyos morfismos sonlos homomorfismos de PMVf -álgebras.

Definición 2.1.2. Sean LRu, y CLRu las categorías cuyos objetos son los lu-

15

16 Capítulo 2. Representación Categórica para las PMVf -álgebras

anillos semi-low y lu-anillos semi-low cadena respectivamente, y cuyos morfismosson los homomorfismos de lu-anillos.

2.1.1. Equivalencia categórica entre CPMVf y CLRu

Teorema 2.1.3. (Construcción de Chang del lu-grupo A∗ [6, Lema 5]) Dada unaMV -álgebra cadena A, A∗ = 〈Z× A,+,≤〉 junto con las operaciones:

1. (m+ 1, 0) = (m,u),

2. (−m− 1,¬a) = −(m, a),

3.

(m, a) + (n, b) =

(m+ n, a⊕ b) si a⊕ b 6= u,

(m+ n+ 1, a� b) si a⊕ b = u,

es un lu-grupo cadena, con unidad fuerte u = (1, 0). La relación de orden “≤”está dada por (m, a) ≤ (n, b) si y sólo si, m < n ó m = n y a ≤ b.

Notación 4. |A∗| := Z× A.

El funtor (−)] : CPMVf → CLRu

A partir de la construcción de Chang [6], se define un producto sobre el lu-grupoA∗ para obtener un lu-anillo apropiado A] = 〈|A∗|,+, ·,≤〉.

Definición 2.1.4. Dada una PMVf -álgebra cadena A, se define el producto sobreA∗ como sigue:

(m, a) · (n, b) := mn(0, u2) +m(0, bu) + n(0, au) + (0, ab).

Para n ≥ 0, n(0, a) = (0, a) + . . .+ (0, a)︸︷︷︸n−veces

y n(0, a) = −(0, a)− . . .− (0, a)︸︷︷︸n−veces

para

n < 0.

Proposición 2.1.1. El producto anterior está bien definido.

Demostración. Debido a que en A∗, (m + 1, 0) = (m,u); basta ver directamentede la definición de producto que (m,u) · (n, b) = (m+ 1, 0) · (n, b).

2.1. Equivalencia entre la categoría PMVf y la categoría LRu. 17

Teorema 2.1.5. Dada una PMVf -álgebra A, A] = 〈|A∗|,+, ·,≤〉 es un lu-anillosemi-low cadena.

Demostración. Se sabe que A] con la suma y el orden asociado es un lu-grupocadena. Basta probar que con el producto dado en la Definición 2.1.4, es un anillosemi-low.

Para todo (m,x), (n, y), (s, z) ∈ A], se tienen las siguientes propiedades:

Propiedad Distributiva

(m,x)[(n, y) + (s, z)] = (m,x)(n, y) + (m,x)(s, z).

Del Teorema 1.2.14, z� y = 0 implica xz� xy = 0 y x(z⊕ y) = xz⊕ xy. Así, porel ítem 3 del Teorema 2.1.3, para probar esta propiedad tenemos dos casos:

Caso 1. y ⊕ z 6= u.

(m,x)[(n, y) + (s, z)] = (m,x)[(n+ s, y ⊕ z)]

= m(n+ s)(0, u2) +m(0, (y ⊕ z)u) + (n+ s)(0, xu)

+(0, x(y ⊕ z))

= mn(0, u2) +ms(0, u2) +m(0, yu⊕ zu) + n(0, xu)

+s(0, xu) + (0, xy ⊕ xz)

= mn(0, u2) +ms(0, u2) +m(0, yu) +m(0, zu)

+n(0, xu) + s(0, xu) + (0, xy) + (0, xz)

=[mn(0, u2) +m(0, yu) + n(0, xu) + (0, xy)

]+[ms(0, u2) +m(0, zu) + s(0, xu) + (0, xz)

]= (m,x)(n, y) + (m,x)(s, z).

Un caso particular de este resultado es la siguiente afirmación:

Afirmación 2.1.1. Para x, y, z ∈ A, si y � z 6= 0 entonces

(0, x)(0, y � z) = (0, xy) + (0, xz)− (0, xu).


La igualdad también se tiene si y ⊕ z = u e y � z = 0.

En efecto, si y ⊕ z = u e y � z = 0, la igualdad se sigue del Teorema 1.2.14, elTeorema 2.1.3 y la Definición 2.1.4. Por otra parte,

y � z 6= 0⇐⇒ ¬y ⊕ ¬z 6= u,

por lo cual

(0, x)(0, y � z) = (0, x)(0,¬(¬y ⊕ ¬z))= (0, x) [−(−1,¬y ⊕ ¬z)]= −(0, x)(−1,¬y ⊕ ¬z)= −(0, x) [(0,¬y) + (−1,¬z)]= −(0, x)(0,¬y)− (0, x)(−1,¬z)= (0, x) [−(0,¬y)] + (0, x) [−(−1,¬z)]= (0, x)(−1, y) + (0, x)(0, z)= (0, xy)− (0, xu) + (0, xz).

Caso 2. y ⊕ z = u.

La ecuación dada en la Afirmación 2.1.1, es necesaria en este caso.

(m,x)[(n, y) + (s, z)] = (m,x)[(n+ s+ 1, y � z)]= m(n+ s+ 1)(0, u2) +m(0, (y � z)u)

+(n+ s+ 1)(0, xu) + (0, x(y � z))= m(n+ s+ 1)(0, u2) +m

[(0, yu) + (0, zu)− (0, u2)

]+(n+ s+ 1)(0, xu) +

[(0, xy) + (0, xz)− (0, xu)

]= mn(0, u2) +ms(0, u2) +m(0, u2) +m(0, yu)

+m(0, zu)−m(0, u2) + n(0, xu) + s(0, xu)+(0, xu) + (0, xy) + (0, xz)− (0, xu)

=[mn(0, u2) +m(0, yu) + n(0, xu) + (0, xy)

]+[ms(0, u2) +m(0, zu) + s(0, xu) + (0, xz)

]= (m,x)(n, y) + (m,x)(s, z).


Propiedad Asociativa

(m,x)[(n, y)(s, z)

]= (m,x)

[ns(0, u2) + n(0, zu) + s(0, yu) + (0, yz)

]= mns(0, u3) + ns(0, xu2) +mn(0, zu2) + n(0, xzu)

+ms(0, yu2) + s(0, xyu) +m(0, yzu) + (0, xyz)= mns(0, u3) +mn(0, zu2) +ms(0, yu2) +m(0, zyu)

+ns(0, xu2) + n(0, xuz) + s(0, xyu) + (0, xyz)=

[mn(0, u2) +m(0, yu) + n(0, xu) + (0, xy)

](s, z)

=[(m,x)(n, y)

](s, z).

Dados (0, 0) ≤ (m,x) y (0, 0) ≤ (n, y) se tiene que 0 ≤ m y 0 ≤ n, así

(0, 0) ≤ mn(0, u2) +m(0, yu) + n(0, xu) + (0, xy) = (m,x)(n, y).

Ahora probemos que A] es semi-low.Dados (0, 0) ≤ (m,x), (n, y) ≤ (0, u) tenemos que m = n = 0, así

(0, x)(0, y) = (0, xy) ≤ (0, x ∧ y) = (0, x) ∧ (0, y).

Corolario 2.1.6. Dada una PMVf -álgebra cadena A, en A] se tiene que(

n∑i=1

(0, xi))(

n∑i=1

(0, yi))

=n∑i=1

(0, xiyi).

Proposición 2.1.2. La aplicación (−)] : CPMVf → CLRu que asigna a todaPMVf -álgebra cadena A el lu-anillo cadena A], es funtorial.

Demostración. Dado h : A → B en CPMVf , se define h] : A] → B] en CLRu

como h](m, a) := (m,h(a)).

Por construcción (ver [[14], 2.2]), h] es un homomorfismo de lu-grupos. Bastaprobar que h] es un lu-homomorfismo de anillos, lo cual se sigue de la Definición


2.1.4:

h][(m, a)(n, b)] = h][mn(0, u2) +m(0, bu) + n(0, au) + (0, ab)]= h](mn(0, u2)) + h](m(0, bu)) + h](n(0, au)) + h](0, ab)= mnh](0, u2) +mh](0, bu) + nh](0, au) + h](0, ab)= mn(0, h(u2)) +m(0, h(bu)) + n(0, h(au)) + (0, h(ab))= mn(0, h(u)2) +m(0, h(b)h(u)) + n(0, h(a)h(u))

+(0, h(a)h(b))= (m,h(a))(n, h(b))= h](m, a)h](n, b).

Además, dado (m, a) ∈ A],

(gh)](m, a) = (m, gh(a))= g](m,h(a))= g] ◦ h](m, a).

Ah //

��

Bg //

��

C

��A] h]

//

(gh)]

44B] g]// C]

El Funtor Γ: CLRu−→CPMVf

Definición 2.1.7. Para un lu-anillo semi-low cadena (R, u), se define

Γ(R, u) = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ u}


junto con las operaciones:

x⊕ y = (x+ y) ∧ u,x · y = xy,

¬x = u− x.

Observación 2.1.1. El producto está bien definido puesto que xy ≤ x∧ y ≤ u, ylas demás operaciones pueden verse como:

x� y = (x+ y − u) ∨ 0x y = (x− y) ∨ 0.

Proposición 2.1.3. ([11, 3.2]) Todo lu-anillo (R, u) que satisface u2 ≤ u, Γ(R, u)es una PMV -álgebra.

Observación 2.1.2. Dado un lu-anillo semi-low cadena R, el producto distribuyesobre el supremo, x(y ∨ z) = xy ∨ xz. Para ver esto, suponga sin perdida degeneralidad que y ≤ z, entonces x(y ∨ z) = xz = xy ∨ xz, puesto que el productorespeta el orden. Lo mismo se tiene para el ínfimo. En consecuencia, x(y z) =xy xz.

Corolario 2.1.8. Dado un lu-anillo semi-low cadena R, Γ(R, u) es una PMVf -álgebra.

Observación 2.1.3. En [11, 3.2], se prueba que Γ(R, u) es una PMV -álgebra,para todo lu-anillo R.

Proposición 2.1.4. La aplicación Γ: CLRu → CPMVf que asigna a todo lu-anillo cadena (R, u) la PMVf -álgebra cadena Γ(R, u), es funtorial.

Demostración. Dado α : (R, u) → (H,w) en CLRu, (w es la unidad fuerte dell-anillo H), se define Γ(α) : Γ(R, u)→ Γ(H,w) en CPMVf como Γ(α) := α|[0,u].

Por construcción, Γ(α) es un homomorfismo de MV -álgebras cadenas, basta verque respeta productos,

Γ(α)(a)Γ(α)(b) = α(a)α(b) = α(ab) = Γ(α)(ab).


Luego, Γ(α) es un morfismo en CLRu, tal que para todo x ∈ Γ(R, u) se tiene que

Γ(β)Γ(α)(x) = Γ(β) (Γ(α)(x))= Γ(β)(α(x))= β(α(x))= (βα)(x)= Γ(βα)(x).

(R, u) α //

��

(H, v) β //

��

(K,w)

��Γ(R, u) Γ(α) //

Γ(βα)

22Γ(H, v) Γ(β) // Γ(K,w)

Teorema 2.1.9. Dados una PMVf -álgebra cadena A y un lu-anillo semi-lowcadena (R, u), se tienen los siguientes isomorfismos:

A ∼= Γ(A], u) y R ∼= (Γ(R, u))].

Demostración. Las aplicaciones i y υ :

i : A −→ Γ(A], u) υ : (Γ(R, u))] −→ R

a 7−→ (0, a) (m,x) 7−→ mu+ x

son isomorfismos de MV -álgebras y lu-grupos respectivamente por [6, Lema 6].Basta probar que i y υ respetan el producto. En efecto, dados a, b ∈ A,

i(ab) = (0, ab) = (0, a)(0, b) = i(a)i(b).

De otra parte, dados (m, a), (n, b) ∈ A],


υ [(m, a)(n, b)] = υ [mn(0, u2) +m(0, bu) + n(0, au) + (0, ab)]= mn [υ(0, u2)] +m [υ(0, bu)] + n [υ(0, bu)] + υ(0, ab)= mnu2 +mbu+ nau+ ab

= mu(nu+ b) + a(nu+ b)= (mu+ a)(nu+ b)= υ(m, a)υ(n, b).

Es fácil probar que los isomorfismos definidos a partir de la construcción de Changdada en el Teorema 2.1.3, i y υ, determinan una equivalencia de categorías.

Teorema 2.1.10. Los isomorfismos i y υ definidos antes, son transformacio-nes naturales asociadas a los funtores Γ(−)] y (−)]Γ respectivamente, los cualesestablecen una equivalencia categórica:

CPMVf(−)]

−→ CLRu CLRuΓ−→ CPMVf .

Demostración. La demostración es análoga a [14, Teorema 2.2].Dados A h−→ B en CPMVf y (R, u) ϕ−→ (H,w) en CLRu, la naturalidad de i yde v se sigue de la conmutatividad de los siguientes diagramas:

Ai //

h

��

Γ(A], u) � � //

Γ(h])

��

A]

��

Γ(R, u)]

(Γϕ)]

��

v // (R, u)

ϕ

��B i // Γ(B], u) � � // B] Γ(H,w)] v // (H,w)

Dado a ∈ A, Γ(h])i(a) = Γ(h])(0, a) = h](0, a) = (0, h(a)) = ih(a), y dado(n, x) ∈ Γ(R,w)],

ϕv(n, x) = ϕ(nu+ x) = nw + ϕ(x) = v(n, ϕ(x)) = v(n, (Γϕ)(x)) = v(Γϕ)](n, x).


2.1.2. Equivalencia categórica entre las categorías PMVf

y LRu.

Representación subdirecta por cadenas

Es importante recordar el isomorfismo de orden entre los ideales de un lu-grupoG y los ideales de su MV -álgebra Γ(G, u) establecido en [7, Teorema 7.2.2].

Teorema 2.1.11. Dado un lu-grupo G y A = Γ(G, u), la correspondencia,

φ : I(A) −→ I(G)J 7−→ φ(J) = {x ∈ G| |x| ∧ u ∈ J}

es un isomorfismo de orden entre los ideales de la MV -álgebra A y los l-idealesdel lu-grupo, cuya aplicación inversa es H 7−→ ψ(H) = H ∩ [0, u].

Proposición 2.1.5. Dados un lu-anillo semi-low R, J un ideal de la PMVf -álgebra Γ(R, u) y φ(J) el ideal del lu-grupo (R,+, u) como en el Teorema 2.1.11,se tiene que φ(J) = J ] con

J ] ={x ∈ R|x =

m∑i=1

εici, ci ∈ J, εi ∈ {−1, 1}}.

Demostración. J ] es un l-ideal del lu-grupo (R,+, u). En efecto, J ] es un subgru-po de R por construcción. Ahora, dados x ∈ J ] e y ∈ R tal que |y| ≤ |x|, debemosprobar que y ∈ J ]. Suponga sin pérdida de generalidad que |x| = x+ = x e|y| = y+ = y.

Como x =m∑i=1

εici, ci ∈ J,

x ∧ u =(

m∑i=1

εici

)∧ u =

∣∣∣∣∣m∑i=1

εici

∣∣∣∣∣ ∧ u ≤(

m∑i=1

ci

)∧ u = ⊕ni=1ci ∈ J. (2.1)

luego, x ∧ u ∈ J.

Por [14, Teorema 1.5, c], ya que los elementos están en un lu-grupo, es suficiente


considerar x =n∑k=0

ak, con ak = (x − ku) ∧ u ∨ 0, donde 0 < x < nu para algúnn ∈ N.

Si x− ku > 0, ak ∈ J puesto que

(x− ku) ∧ u ∨ 0 = (x− ku) ∧ u ≤ x ∧ u ∈ J,

por la inecuación (2.1). Si (x− ku) < 0 implica ak = 0 ∈ J.

Como 0 ≤ y ≤ x ≤ nu implica bk = (y − ku) ∧ u ∨ 0 ≤ (x− ku) ∧ u ∨ 0 = ak ∈ J,entonces y =

n∑k=0

bk ∈ J ].

La misma prueba se tiene si x = x− e y = y−. Puesto que |x| = x+ + x− e|y| = y+ + y−, son sumas de elementos positivos y J ] es un subgrupo de R, así|y| ≤ |x|, y x ∈ J ] implica y ∈ J ].

J ⊆ J ] por construcción y por la inecuación (2.1), J ] ∩ [0, u] ⊆ J así,

J ] ∩ [0, u] = J = φ(J) ∩ [0, u].

Por el isomorfismo dado en el Teorema 2.1.11, J ] = φ(J).

Corolario 2.1.12. φ(J) = J ] es un ideal del lu-anillo.

Demostración. Basta ver que J ] es absorbente. Dado r ∈ R, r =m∑j=1

αjdj con

dj ∈ [0, u] por el Teorema 1.3.11, y dado x ∈ J ], x =n∑i=1

εici, ci ∈ J, entonces

rx =m∑j=1

αjdjn∑i=1

εici =mn∑i,j=1

αjεidjci,

donde djci ∈ J, por ser este absorbente, por lo tanto rx ∈ J ].

Dado que J ] = φ(J), φ(J) absorbe.

Corolario 2.1.13. En un lu-anillo semi-low, todo l-ideal es un L-ideal.

Idg(R) = Id(R).


Demostración. Para cada J ∈ Idg(R), por el Teorema 2.1.11, se tiene que J∩[0, u]está en Id(Γ(R)). Como Γ(R) ∈ PMVf , J ∩ [0, u] absorbe, entonces J ∩ [0, u] ∈Id

W(Γ(R)) y consecuentemente J = (J ∩ [0, u])] ∈ Id(R) por la Proposición 2.1.5.

En particular, Specg(R) ⊂ Id(R).

Corolario 2.1.14. Dado J ∈ Idg(R) con R un lu-anillo semi-low, R/J es unlu-anillo semi-low.

Teorema 2.1.15. Dado J ∈ Idg(R) con R un lu-anillo semi-low,

Θ: Γ(R/J, uJ)→ Γ(R, u)/(J ∩ [0, u]); [x]J 7−→ [x]J∩[0,u]

es un isomorfismo de MVW -rigs.

Demostración. Como MV -álgebras son isomorfas debido a [7, Teorema 7.2.4],basta ver que el isomorfismo respeta productos. Del corolario 2.1.14, la Proposición2.1.3 y la definición de Θ se sigue que:

Θ([a]J [b]J) = Θ([ab]J) = [ab]J∩[0,u] =([a]J∩[0,u]

) ([b]J∩[0,u]

).

Corolario 2.1.16. Si J ∈ Spec(R), Θ es un isomorfismo de PMVf -álgebrascadena.

Demostración. Se sigue del Teorema anterior y del Corolario 2.1.8.

Teorema 2.1.17. Toda PMVf -álgebra es producto subdirecto de PMVf -álgebrascadena.

Demostración. Dada una PMVf -álgebra A, se tiene que el morfismo inyectivo deMV -álgebras,

( ) : A→∏

P∈Spec(A)A/P,

que asigna a 7→ a donde a : SpecA → ⊔P∈SpecA

A/P con a(P ) = [a]P , es un

morfismo de PMVf -álgebras, tal que πP ◦ ( ) : A → A/P es un homomorfismo


sobreyectivo para todo ideal primo P ∈ Spec(A). En efecto, recordemos que todoideal primo P de la MV -álgebra, es ideal de la PMVf -álgebra como se mostró enla Proposición 1.2.7, donde, ab = a · b debido a la correspondencia entre los idealesy las congruencias en cualquier PMVf -álgebra.

Corolario 2.1.18. Toda PMVf -ecuación (ver [7, Sección 1.4]) válida en cual-quier PMVf -álgebra cadena, vale en toda PMVf -álgebra.

Corolario 2.1.19. Para toda PMVf -álgebra, a(b∧c) = ab∧ac, a(b∨c) = ab∨ac.

Corolario 2.1.20. Dado un lu-anillo semi-low (R, u), Γ((R, u)) es una PMVf -álgebra.

Demostración. Γ((R, u)) es producto subdirecto de ∏P∈Spec(Γ(R,u))

Γ(R, u)/P, y por

el Corolario 2.1.8 se sigue que cada Γ(R, u)/P es una PMVf -álgebra cadena paratodo P, por lo tanto Γ((R, u)) también es una PMVf -álgebra.

Teorema 2.1.21. Todo lu-anillo semi-low R es producto subdirecto de cadenas.

Demostración. Basta ver que el homomorfismo inyectivo de lu-grupos,

(−)g: R→

∏P∈Specg(R)

R/P ; x 7−→ [x]P ,

es un homomorfismo de lu-anillos. Por [7, Teorema 7.2.2] y Corolario 2.1.12, Sesigue directamente que R/P es un lu-anillo para cada P ∈ Specg(R).

Extensión de los funtores (−)] y Γ

A continuación, se debe completar el diagrama de la izquierda para extenderla construcción de Chang al funtor PMVf

(−)]

−→ LRu, y demostrar así que estaextiende la equivalencia de la primera fila en una equivalencia en la segunda fila.

CPMVf(−)]

//_�

iM

��

CRuf_�

iR

��PMVf LRu

CLRuΓ //

_�

iR

��

CPMVf_�

iM

��LRu

Γ // PMVf


Definición 2.1.22. Dada una PMVf -álgebra A, se define

A◦ := {(0, a) : a ∈ A} ⊆∏

P∈SpecA(A/P )].

Definición 2.1.23 (lu-anillo asociado). Dada una PMVf -álgebra A, se define

A] = gen(A◦),

el l-anillo generado en el l-anillo ∏P∈SpecA

(A/P )].

Notación. A∗ = 〈|A∗|,+, u,≤〉 es el lu-grupo asociado a la MV -álgebra A y

|A∗| =

x ∈ ∏P∈SpecA

(A/P )∗ : x =n∑i=1

εi(0, ai), ai ∈ A, n ∈ N, εi ∈ {−1, 1}

.Proposición 2.1.6. A] = 〈|A∗|,+, ·, u,≤〉 es un lu-anillo semi-low, donde elproducto está definido como sigue:

ϕ : |A∗|2 −→ |A∗|(x, y) 7−→ ϕ (x, y) := x · y,

con x =n∑i=1

εi(0, ai), y =m∑j=1

δj(0, bj), x · y =nm∑i,j=1

εiδk(0, aibj); ai, bj ∈ A y

εi, δj ∈ {−1, 1}.

Demostración. ϕ está bien definida puesto que para cada P ∈ Spec(A) el producto(x · y)(P ) = x(P ) · y(P ) coincide con el producto dado en la Definición 2.1.4 ydescrito en el Corolario 2.1.6. Del Teorema 2.1.5 se sigue que la operación asídefinida es asociativa y distributiva.De otra parte, 〈|A∗|,+, ·,≤〉 es un lu-anillo semi-low debido a que 0 ≤ x , y ≤ u,para todo x, y ∈ |A∗|. Así,

x =n∑i=1

(0, ai) = (0,⊕ni=1ai) e y =m∑j=1

(0, bj

)=(0,⊕mj=1bj

).


Luego,(x · y)(P ) = x(P ) · y(P )

= (0,⊕ai) (P ) ·(0,⊕bj

)(P )

= (0,⊕ [ai]P ) ·(0,⊕ [bj]P

)= (0, [⊕ai]P ) ·

(0, [⊕bj]P

)=

(0, ([⊕ai · ⊕bj])P

)≤

(0, ([⊕ai ∧ ⊕bj])P

)=

(0, [⊕ai]P ∧ [⊕bj]P

)= (0, [⊕ai]P ) ∧

(0, [⊕bj]P

)=

(0, ⊕ai

)(P ) ∧

(0, ⊕bj

)(P )

= x(P ) ∧ y(P ).

Como A◦ ⊆ |A∗|, y todo lu-anillo H que contiene a A◦, contiene las sumas finitasy productos de elementos de A◦, 〈|A∗|,+, ·, u,≤〉 ⊆ H, es decir, 〈|A∗|,+, ·, u,≤〉es el menor lu-anillo que contiene a A◦, por lo tanto

A] = 〈|A∗|,+, ·, u,≤〉 .

Definición 2.1.24. Dado h : A→ B en PMVf , se define h] : A] → B] en LRu

como h](

n∑i=1

εi(0, ai))

:=n∑i=1

εi

(0, h(ai)

).

Teorema 2.1.25. La aplicación (−)] : PMVf → LRu que asigna a toda PMVf -álgebra A el lu-anillo A], es funtorial.

Demostración. Dado h : A→ B en la categoría PMVf , h] es un homomorfismode lu-anillos y h] es un homomorfismo de l-anillos, tal que el siguiente diagramaconmuta:


A∼= //

h

��

A◦ �� = //

h]

��

Γ(A], u) � � //

Γ(h])

��

A]

h]

��

� � // ∏P∈SpecA

(A/P )]

h]

��B

∼= // B◦ �� = // Γ(B], u) � � // B] � � // ∏

Q∈SpecB(B/Q)]

Por [14, Teorema 3.3], h] es un homomorfismo de lu-grupos, y h] es un homomor-fismo de l-grupos. En [14, Teorema 3.3] se prueba que para cada Q ∈ Spec(B), elmorfismo bien definido

h|Q : A/h−1Q → B/Q

[a]h−1Q 7→ [h(a)]Q

hace que el siguiente diagrama conmute

A/h−1Qi //

h|Q

��

(A/h−1Q)]

(h|Q)]

��B/Q i // (B/Q)]

y permite definir el homomorfismo de grupos h]. Dado σ ∈ ∏P∈SpecA

(A/P )],

h](σ)(Q) = (h|Q)](σ(h−1Q)), (h1h2)] = h1]h2

], y h]|A] = h].

Para terminar la demostración basta probar que h] respeta productos en los ge-neradores A◦.Para P ∈ SpecA, por la Proposición 2.1.2 se sigue que,

h][(0, a) (0, b)

](P ) = h](0, ab)(P )

= (0, h(ab))(P )= (0, [h(ab)]P )= (0, [h(a)h(b)]P )= (0, [h(a)]P [h(b)]P )= (0, [h(a)]P )(0, [h(b)]P )= (0, h(a))(P )(0, h(b))(P )= h] (0, a) (P )h](0, b)(P ).


Por consiguiente, h] es un homomorfismo de l-anillos.

Por la Proposición 2.1.6, A] es un lu-anillo semi-low, y dado un homomorfismode PMVf -álgebras h : A → B, h] : A] → B] es un homomorfismo de lu-anillossemi-low.

De otra parte, dados Ah // B

g // C ∈ PMVf , de la Definición 2.1.24 se tiene

(gh)](

n∑i=1

εi (0, ai))

=n∑i=1

εi

(0, gh(ai)

)= g]

(n∑i=1

εi

(0, h(ai)

))= g] ◦ h]

(n∑i=1

εi (0, ai)).

La extensión del funtor Γ es inmediata por las respectivas representaciones sub-directas de los objetos en las categorías.

CLRuΓ //

_�

iR

��

CPMVf_�

iM

��LRu

Γ // PMVfTeorema 2.1.26. Γ: LRu → PMVf es un funtor, donde Γ(R, u) = [0, u] yΓ(h) = h|[0,u], para todo h : (R, u)→ (H,w) ∈ LRu.

Demostración. La demostración se sigue directamente del Corolario 2.1.20 y laProposición 2.1.4.

La equivalencia

Teorema 2.1.27. Dados una PMVf -álgebra A y un lu-anillo semi-low (R, u), setienen los isomorfismos

A ∼= Γ(A], u) y (R, u) ∼= (Γ(R, u))].

Demostración. Para el primer isomorfismo tenemos que A ∼= A◦ como PMVf -


álgebras, con A◦ ⊂ A] como se muestra en el siguiente diagrama conmutativo:

A //(−)A // ∏

P∈SpecA(A/P ) // i // ∏

P∈SpecA(A/P )]

A◦ ⊂ A]$$

∼=

$$

*

77

donde la función i se construye por propiedad universal como sigue:

A/PiP // (A/P )]

∏P∈SpecA

A/P

πP

OO

∃ !i // ∏P∈SpecA

(A/P )]

π]P

OO

con iP la aplicación definida para cada P como,

iP : A/P −→ (A/P )]

[a]P 7−→ (0, [a]P ).

Por el Teorema 1.3.11,a), A◦ = Γ(A], u), así A ∼= Γ(A], u).

De otra parte, los isomorfismos de lu-anillos semi-low cadena obtenidos a partirde la construcción de Chang 2.1.3 en el Teorema 2.1.9 sobre las fibras de Γ(R, u)],determinan un isomorfismo τ

R: Γ(R, u)] −→ (R, u) de lu-anillos semi-low como

sigue:

Γ(R, u)] � �id

⊂ //

τR

��

∏P∈SpecR

(Γ(R, u)/P ∩ [0, u])] // Θ∼=

// ∏P∈SpecR

Γ(R/P, uP )]

v∼=

��(R, u) // (−)

g

// ∏P∈SpecR

(R/P, uP )

Donde τR

(0, x) =[(−)

g]−1(vΘ(0, x)) =

[(−)

g]−1(xg).

τRqueda bien definido, debido a que el homomorfismo (−)

ges inyectivo. La in-

yectividad de τRse sigue de que para todo x, y ∈ Γ(R, u), xg = yg implica x = y,

2.2. PMVf vs f -anillos 33

y así x = y, puesto que (−) es un homomorfismo. τRes sobreyectivo debido a que

para todo x ∈ (R, u) se tiene que x = ∑ni=1 εixi con xi ∈ [0, u] por el Teorema

1.3.11,b). Luego, τR

(∑ni=1 εi(0, xi)) = ∑n

i=1 εiτR(0, xi) = x.

Teorema 2.1.28. Para cada A ∈ PMVf y R ∈ LRu, los isomorfismos

Ai(−)A // Γ(A]) Γ(R)] τR // R

son transformaciones naturales.

Demostración. Se sigue directamente de [14, Teorema 3.3].

2.2. PMVf vs f-anillos

Definición 2.2.1. (f -anillos [[2],XVII.5]). Un anillo de función o f -anillo es unl-anillo en el cual,

x ∧ y = 0 y z ≥ 0 implica xz ∧ y = x ∧ zy = 0.

Proposición 2.2.1. [[2],XVII.5]. En todo f -anillo se tiene

x ∧ y = 0 =⇒ xy = 0.

Teorema 2.2.2. (Fuchs [[2],XVII.5]). Un l-anillo es un f -anillo si y sólo si todossus l-ideales cerrados son L-ideales.

Proposición 2.2.2. Dado un f -anillo R, el L-ideal generado por un elementoa ∈ R es

〈a〉 = {x ∈ R : |x| ≤ |ra+ na|, r ∈ R, n ∈ Z}.

Demostración. Se sigue de la Definición 1.3.8.

Proposición 2.2.3. Dada una PMVf -álgebra A, A] es un fu-anillo semi-low.

Demostración. A] es un lu-anillo semi-low por la Proposición 2.1.6. Por el Coro-lario 2.1.13 y el Teorema 2.2.2 es un f -anillo, debido a que todos sus l-ideales sonL-ideales.


Ejemplo 2.2.3. Los números reales es el lu-anillo correspondiente a la PMVf -álgebra [0, 1], es decir [0, 1]] = R.

Proposición 2.2.4. Las PMV -álgebras son una subclase propia de los MVW -rigs.

Demostración. De [11, 4.2] se tiene que dada una PMV -álgebra A, existe un lu-anillo R tal que Γ(R, u) ∼= A, y por la Proposición 2.1.3 A es un MVW -rig. Dela Observación 1.2.5, se sigue que la contenencia es estricta.

Proposición 2.2.5. Para todo conjunto X, el fu-anillo semi-low asociado a laPMVf -álgebra de Boole 2X , es isomorfo al anillo de funciones acotadas de ZX ,B(ZX).

Demostración. Basta ver que(2X)] ∼= B(ZX). La aplicación Θ definida en los

generadores, (2X)] Θ // B(ZX)

if � // f : X // Z

x � // f(x)

donde Θ(∑k

j=1 ifj)

= ∑kj=1 Θ(ifj) y Θ

((if)(ig)

)= Θ((if))Θ ((ig)) . Como

2X es unaMV -álgebra hiper-arquimediana, todo ideal primo de estaMV -álgebraes maximal y tiene la forma Px = {f ∈ 2X : f(x) = 0} para cada x ∈ X y[f ]Px = f(x). Así, dado x ∈ X,

f(x) 6= g(x)⇔ f(x) 6= g(x)⇔ f 6= g ⇔ [f ]Px 6= [g]Px ⇔ f 6= g,

implica que Θ está bien definida y es inyectiva.

Ahora, para h ∈ B(ZX) con |h| ≤ n se tiene que,

h =n∑

k=−nkλk, λk ∈ 2X

tal que, λk(x) = 1 si h(x) = k y cero en otro caso, con lo cual Θ es sobreyectiva.Por construcción, Θ es homomorfismo de l-anillos.

2.2. PMVf vs f -anillos 35

Ejemplo 2.2.4. El fu-anillo (2n)] es isomorfo al anillo Zn.

Corolario 2.2.5. Toda álgebra de Boole vista como PMVf -álgebra es una subálge-bra de 2X para algún conjunto dado X. Como el funtor (−)] preserva subálgebras,el fu-anillo semi-low asociado a un álgebra de Boole, es un subanillo del fu-anillosemi-low B(ZX).

Ejemplo 2.2.6. F [x] ⊂ C(R[0,1]

)el fu-anillo de funciones continuas definido

como sigue:

f ∈ F [x]⇔ ∃P1, · · · , Pk ∈ Z[x], tal que ∀x ∈ [0, 1], f(x) = Pi(x),

para algún 1 ≤ i ≤ k, es el fu-anillo asociado a la PMVf -álgebra Γ(F [x]) (Ejemplo1.2.11), que es la mínima PMVf -álgebra que contiene a la MV -álgebra Free1.

Capítulo 3

Álgebras Libres y la Conjetura dePierce-Birkoff

En este capítulo se aborda la representación de las PMVf -álgebras provenientesde laMV -álgebra libre Free1 de dos formas: la primera partiendo de las funcionesde McNaughton y la segunda, pasando al lu-anillo de funciones de [0, 1] en R. Estasegunda parte se encuentra en [41] con breves modificaciones en las pruebas.

En la clase de PMVf -álgebras, la PMVf -álgebra libre existe por resultados yaconocidos del álgebra universal (ver por ejemplo [18, 39]) y sus elementos sonfunciones término (para las MV -álgebras ver [7, 8, 38]).

Observación 3.0.1. Para las MV -álgebras, Term[0,1]n = freen [7, Proposición

3.1.4]. Un resultado similar para la variedad HSP[0, 1] está cerca de una conjeturadenominada ([20]) la conjetura de Pierce-Birkhoff, de la cual, los mejores resul-tados se deben a Mahé que probó la conjetura para n = 2 [30] y obtuvo algunosresultados parciales para n = 3 [31], (ver también [27, 28, 32]). Resultados en lalinea de las PMV -álgebras con aproximaciones a esta conjetura se encuentran en[24, 25].

Las funciones polinómicas a trozos forman un anillo que contiene al anillo de poli-nomios con coeficientes reales R[x1, x2, . . . , xn] y se denota PW (R[x1, x2, . . . , xn])[27]. La conjetura inicialmente fue enunciada de la siguiente manera:

36

3.1. Términos en la PMVf -álgebra provenientes de Free1 37

Conjetura (Pierce-Birkhoff) Si f : Rn → R está en PW (R[x1, x2, . . . , xn]),entonces existe una familia finita de polinomios gij ∈ R[x1, x2, . . . , xn] tales quef = supi ınfj(gij) (es decir, para todo x ∈ R, f(x) = supi ınfj(gij)).

3.1. Términos en la PMVf-álgebra provenientesde Free1

LaMV -álgebra de funciones de McNaughton definidas en 1.1.3, tiene un lu-grupocorrespondiente vía la equivalencia categórica dada en [36], el cual se denota F [x]y es el conjunto de funciones continuas C(R[0,1]) polinomiales a trozos con coefi-cientes enteros (PW (Z[x])), donde cada polinomio es lineal. En otras palabras,

Γ(F [x], 1) ∼= Free1 (3.1)

En [41] se encontró el anillo generado por F [x] en el anillo C(R[0, 1]). Se cortócon el funtor Gamma y se demostró que esta PMVf - álgebra es la libre en unavariable en HSP[0, 1].

En esta sección se toma el subanillo F [x] de funciones de [0, 1] en [0, 1] como enel Ejemplo 1.2.18. Se determinan sus términos partiendo de la descomposición desus elementos en funciones de McNaughton y de la equivalencia 3.1.

3.1.1. El producto en la MV -álgebra Free1

La operación producto puede escribirse como supremos de términos de MV -álgebras, esto aplicado a las funciones de McNaughton con las operaciones dadasen el Ejemplo 1.1.4.

Proposición 3.1.1. Cada término de la PMVf -álgebra 〈Free1, ·〉 se puede escri-bir como el supremo de términos de la MV -álgebra Free1.

Demostración. Se sabe que cada término de la MV -álgebra se puede ver comosupremos de los componentes de las funciones de McNaughton. Dado que las

38 Capítulo 3. Álgebras Libres y la Conjetura de Pierce-Birkoff

componentes son positivas y el anillo correspondiente por la equivalencia 2.1.9 estotalmente ordenando, entonces el ínfimo distribuye sobre el supremo.

Ejemplo 3.1.1. Dadas las funciones

f(x) =

1− 2x 0 ≤ x ≤ 0,5,2x− 1 0,5≤ x ≤ 1.

g(x) =

2x 0 ≤ x ≤ 0,5,

3− 4x 0,5 ≤ x ≤ 0,75,4x− 3 0,75≤ x ≤ 1.

El producto está dado por

(f · g)(x) =

(1− 2x)2x 0 ≤ x ≤ 0,5,(2x− 1)(3− 4x) 0,5 ≤ x ≤ 0,75,(2x− 1)(4x− 3) 0,75≤ x ≤ 1.

Figura 3.1: f · g


Para determinar los términos correspondientes a la MV -álgebra subyacente paraf y g tomamos cada componente de las funciones como términos independientes.Así, para f tenemos los componentes P1(x) = −2x + 1 y P2(x) = 2x − 1, y susrespectivas funciones de McNaughton:

Q1(x) =

1− 2x 0 ≤ x ≤ 0,5,0 0,5≤ x ≤ 1.

= max(0, 1− 2x) = 1 2x = ¬(2x),

Q2(x) =

0 0 ≤ x ≤ 0,5,2x− 1 0,5≤ x ≤ 1.

= max(0, 2x− 1) = 2x 1.

Luego, f(x) = Q1 ∨Q2 = ¬(2x) ∨ (2x 1) = (¬(2x) (2x 1))⊕ (2x 1).

Para la función g tenemos los componentes P1(x) = 2x, P2(x) = 3 − 4x yP3(x) = 4x− 3, y sus respectivas funciones de McNaughton:

R1(x) =

2x 0 ≤ x ≤ 0,5,1 0,5≤ x ≤ 1.

= mın(1, 2x) = 2x (2x 1),

R2(x) =

1 0 ≤ x ≤ 0,5,3− 4x 0,5 ≤ x ≤ 0,75,0 0,75≤ x ≤ 1.

= mın(1,max(0, 3− 4x))

= (3 4x) ((3 4x) 1),

R3(x) =

0 0 ≤ x ≤ 0,75,4x− 3 0,75≤ x ≤ 1.

= max(0, 4x− 3) = 4x 3.

Luego,

g(x)= (R1 ∧R2) ∨R3

= [(2x (2x 1)) ∧ ((3 4x) ((3 4x) 1))] ∨ (4x 3).Ahora, el producto de f y g por la equivalencia 2.1.9 es un f -anillo donde cadacomponente que interviene en el producto es positivo, así

(f · g)(x) = (Q1 ∨Q2) · ((R1 ∧R2) ∨R3).

Dado que para elementos positivos en un f -anillo el producto distribuye sobre el


ínfimo y el supremo entonces se tiene:

(f · g)(x) = [(Q1R1 ∨Q2R1) ∧ (Q1R2 ∨Q2R2)] ∨ (Q1R3 ∨Q2R3).

Gráficamente se puede apreciar cómo f · g en términos de ínfimos y supremos delas componentes QiRj, i, j = 1, 2, 3, reconstruye la gráfica dada en la Figura 3.1.

Figura 3.2: Q1R1 Figura 3.3: Q2R1 Figura 3.4: Q1R2

Figura 3.5: Q2R2 Figura 3.6: Q1R3 Figura 3.7: Q2R3

Así, el término correspondiente para la PMVf -álgebra es:

(f · g)(x)=[(¬(2x)(2x (2x 1)) ∨ (2x 1)(2x (2x 1))

)∧(¬(2x)

((3 4x) ((3 4x) 1)

))∨(

(2x 1)((3 4x) ((3 4x) 1)

))]∨(¬(2x)(4x 3) ∨ (2x 1)(4x 3)

).

El producto distribuye sobre la resta, así que el término puede seguir ampliándose.

Ejemplo 3.1.2. Para el procedimiento inverso se debe determinar si la función esfactorizable en Z[x] en factores lineales, los extremos de los subintervalos númerosracionales y cada factor del primer y último polinomio deben empezar y terminaren 0 y/o 1, teniendo en cuenta además que, las funciones resultantes deben ser


funciones de McNaughton.

f(x) =

1 0≤ x ≤ 0,25,16x2 − 16x+ 4 0,25≤ x ≤ 0,375,16x2 − 8x+ 1 0,375≤ x ≤ 0,5,16x2 − 24x+ 9 0,5≤ x ≤ 0,625,16x2 − 16x+ 4 0,625≤ x ≤ 0,75,

1 0,75≤ x ≤ 1,

Cada polinomio Pi, i = 2, 3, 4 en la función f se puede factorizar

f(x) =

1 0≤ x ≤ 0,25,(2− 4x)2 0,25≤ x ≤ 0,375,(4x− 1)2 0,375≤ x ≤ 0,5,(3− 4x)2 0,5≤ x ≤ 0,625,(4x− 2)2 0,625≤ x ≤ 0,75,

1 0,75≤ x ≤ 1,

Luego f se puede ver como la segunda potencia de una función h. Pero los poli-nomios P2 = P5 = (4x− 2)2, entonces para determinar cuál es la función buscadase debe verificar la continuidad en cada parte de la función a trozos. Así,

h(x) =

1 0≤ x ≤ 0,25,2− 4x 0,25≤ x ≤ 0,375.4x− 1 0,375≤ x ≤ 0,5,3− 4x 0,5≤ x ≤ 0,625,4x− 2 0,625≤ x ≤ 0,75,

1 0,75≤ x ≤ 1,

es una función de McNaughton y satisface que h2 = f.

Se procede entonces como en el ejemplo anterior a descomponer h en funciones


de McNaughton.Los componentes de h son: P1(x) = 1 = P6(x), P2(x) = 2 − 4x, P3(x) = 4x − 1,P4(x) = 3− 4x y P5(x) = 4x− 2; y sus respectivas funciones de McNaughton:

Q1(x) =

1 0 ≤ x ≤ 0,25,

2− 4x 0,25≤ x ≤ 0,5,0 0,5 ≤ x ≤ 1.

= mın(1,max(0, 2− 4x)) = 1 (1 (2 4x)),

Q2(x) =

0 0 ≤ x ≤ 0,25,

4x− 1 0,25≤ x ≤ 0,5,1 0,5 ≤ x ≤ 1.

= mın(1,max(0, 4x− 1)) = 1 (1 (4x 1)),

Q3(x) =

1 0 ≤ x ≤ 0,5,

3− 4x 0,5 ≤ x ≤ 0,75,0 0,75≤ x ≤ 1.

= mın(1,max(0, 3− 4x)) = 1 (1 (3 4x)),

Q4(x) =

0 0 ≤ x ≤ 0,5,

4x− 2 0,5 ≤ x ≤ 0,75,1 0,75≤ x ≤ 1.

= mın(1,max(0, 4x− 2)) = 1 (1 (4x 2)).

Observe que Q1 = P1 ∧ P2 y Q4 = P5 ∧ P6 por lo que sólo se tienen 4 funcionesde McNaughton y no 6.

Ahora,

h2(x) =(

(Q1 ∨Q2) ∧ (Q3 ∨Q4))(

(Q1 ∨Q2) ∧ (Q3 ∨Q4))

= (Q21 ∨Q1Q2 ∨Q2

2) ∧ (Q1Q3 ∨Q2Q3 ∨Q1Q4 ∨Q2Q4)∧(Q2

3 ∨Q3Q4 ∨Q24).

donde Q1Q4 = 0.


Figura 3.8: Q21 Figura 3.9: Q1Q2 Figura 3.10: Q2

2

Figura 3.11: Q1Q3 Figura 3.12: Q2Q3 Figura 3.13: Q2Q4

Figura 3.14: Q23 Figura 3.15: Q3Q4 Figura 3.16: Q2

4

Así, el término correspondiente para la PMVf -álgebra es:


h2(x)=[(

1 (1 (2 4x)))(

1 (1 (2 4x)))

∨(

1 (1 (2 4x)))(

1 (1 (4x 1)))

∨(

1 (1 (4x 1)))(

1 (1 (4x 1)))]

∧[(

1 (1 (2 4x)))(

1 (1 (3 4x)))

∨(

1 (1 (4x 1)))(

1 (1 (3 4x)))

∨(

1 (1 (2 4x)))(

1 (1 (4x 2)))]

∧[(

1 (1 (3 4x)))(

1 (1 (3 4x)))

∨(

1 (1 (3 4x)))(

1 (1 (4x 2)))

∨(

1 (1 (4x 2)))(

1 (1 (4x 2)))].

Observaciones 3.1.1. 1. Aunque no es la conjetura antes mencionada, sepuede observar que para este tipo de funciones provenientes de las funcionesde McNaughton, en el f -anillo correspondiente, cada elemento puede ver-se como ínfimos o supremos de una familia finita de polinomios. Además,el resultado puede ser generalizado para n variables en el anillo Z[x], y launidad fuerte puede tomar cualquier valor 0 < u ≤ 1.

2. El resultado anterior es aplicable para un n fijo. Las potencias tienden a unarecta horizontal cuando n se hace muy grande.

3. La estructura no es una PMVf -álgebra puesto que no es cerrada para ínfi-mos ni supremos, pues su intersección puede dar en números irracionales.Lo mismo puede ocurrir al truncar la función cuando se realiza la suma.Se debe buscar entonces, el menor lu-anillo generado por la funciones deMcNaughton.

3.2. Extensión del lu-grupo F [x] al lu-anillo con-tenido en PW (Z[x]).

El objetivo aquí es hallar el menor lu-anillo que contiene al lu-grupo equivalentea la MV -álgebra libre Free1 y caracterizarlo (ver [41]).

3.2. Extensión del lu-grupo F [x] al lu-anillo contenido en PW (Z[x]). 45

Definición 3.2.1. El anillo generado por el lu-grupo F [x] en el anillo C(R[0,1]),es el conjunto

〈F [x]〉 =

n∑i=1

m∏j=1

fij : fij ∈ F [x]

.Definición 3.2.2. Sea Fg[x] un subconjunto de C(R[0,1]) que satisface:

i) Para todo x ∈ [0, 1], existen P1, P2, ...Pn ∈ Z[x] tal que f(x) = Pi(x), paraalgún i ∈ {1, . . . , n},

ii) El dominio de cada polinomio Pi en f, para i = 1 . . . n, es el intervalo [a, b]con a, b ∈ Q ∩ [0, 1].

Observación 3.2.1. Fg[x] es un subanillo del anillo C(R[0,1]) con la suma y elproducto usual de funciones, pero no tiene estructura de retículo pues no es cerradopara ínfimos. Por ejemplo, dadas las funciones f(x) = x2 − x+ 1 y g(x) = 2x enFg[x], f ∧ g /∈ Fg[x] pues

(f ∧ g)(x) =

g(x) [0, y]f(x) [y, 1],

pero y = 3−√

52 /∈ Q ∩ [0, 1].

La demostración de la siguiente proposición se escribe completa por proporcionarun algoritmo que permite encontrar la descomposición de las funciones, el cual seprogramó en el lenguaje de programación Python y se encuentra en el ApéndiceA.

Proposición 3.2.1. [41, 2.13] 〈F [x]〉 = Fg[x].

Demostración. El anillo generado de un conjunto es el menor anillo que lo contie-ne, entonces para la primera contenencia, basta ver que F [x] ⊆ Fg[x], pero estose tiene por la definición de F [x].

Ahora, dada f ∈ Fg[x], existen gij ∈ 〈F [x]〉 con i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ...,m tales

que f =n∑i=1

m∏j=1

gij.


En efecto, si f ∈ Fg[x] entonces f(x) = Pj(x) para algún Pj ∈ Z[x], j = 1, ..., n.Tome Q0, Q1, ..., Qm de tal forma que Qi = Pj, para todo j = 1, ..., n, y así fqueda reescrita:

f =

Q0 [0, r1)Q1 [r1, r2)...Qm [rm, 1].

Por la continuidad de f, Qi−1(ri) = Qi(ri) para todo ri ∈ Q, i = 1, ...,m, luego lafunción

f −Q0 =

0 [0, r1)Q1 −Q0 [r1, r2)

...Qm −Q0 [rm, 1].

también es continua.

La función

(f −Q0)−

0 [0, r1)Q1 −Q0 [r1, 1)

=

0 [0, r1)0 [r1, r2)

(Q2 −Q0)− (Q1 −Q0) [r2, r3)...

(Qm −Q0)− (Q1 −Q0) [rm, 1]

=

0 [0, r1)0 [r1, r2)

Q2 −Q1 [r2, r3)...

Qm −Q1 [rm, 1],

es continua.


Al hacer este procedimiento m-veces se obtiene que f −m∑i=0

hi = 0 con

hi =

0 [0, ri)Ri [ri, 1)

,

donde Ri = Q0 si i = 0 y Ri = Qi − Qi−1 si 1 ≤ i ≤ m, i.e., Ri = Qi −i−1∑j=0

Rj y

r0 = 0. Así, f =m∑i=0

hi.

Para terminar la prueba basta ver que hi =l∑

k=1

s∏w=1

fkw; con fkw ∈ F [x].

Como para cada i 6= 0, los ri ∈ Q ∩ (0, 1], entonces se toman de la forma ri = pi

qi

con pi y qi primos relativos.Cada Ri = anx

n + · · · + a0 ∈ Z[x] se puede escribir como Ri = xR′i + a0, donde

R′i = anx

n−1 + · · ·+a1. Además, Ri(pi

qi) = pi

qiR′i(pi

qi)+a0 = 0, luego R′i(pi

qi) = −a0

qi

pi.

Así pi(anpn−1i + an−1p

n−2i qi + ... + a1q

n−1) = −qni a0 ∈ Z, y pi divide a −qni a0.

Puesto que pi 6 |qi entonces pi|a0, con lo cual −qia0

pi= a0

ri∈ Z.

Ahora se construye la función continua h′i =

−a0ri

[0, ri)R′i [ri, 1)

y se observa que

hi = h′

ix+ a0 +

a0rix− a0 [0, ri)

0 [ri, 1].(3.2)

Repitiendo el mismo procedimiento para h′i, cuyo polinomio R′i es de grado menorque el de Ri, hasta obtener un polinomio lineal. Así 〈F [x]〉 = Fg[x].


3.2.1. El lu-anillo generado por el lu-grupo correspondientea la MV-álgebra Free1.

El conjunto PW (Z[x]) es un lu-anillo pues es un anillo totalmente ordenado con elorden puntual de funciones y la unidad fuerte el polinomio constante 1, y además,es el menor lu-anillo de C(R[0,1]) que contiene a F [x]. Antes de probar esto último,se tiene la siguiente definición.

Definición 3.2.3. Dados un lu-anillo A y un conjunto S ⊆ A, se denota 〈S〉l almenor lu-anillo que contiene a S.

El siguiente resultado prueba que al cerrar el anillo 〈F [x]〉 para ínfimos y supremosse obtiene PW (Z[x]), es decir

Proposición 3.2.2. [41] PW (Z[x]) = 〈F [x]〉l.

Demostración. Por la Definición 3.2.3, 〈F [x]〉l ⊆ PW (Z[x]).

Ahora, para f ∈ PW (Z[x]) existen P1, P2, ..., Pn ∈ Z[x] tales que f(x) = Pi(x)para algún i = 1, 2, ..., n. Tome Q0, Q1, ...Qm ∈ Z[x] de tal manera que cadaQi = Pj para alguna j = 1, 2, .., n y tales que los Qi esten ordenados en orden deaparición en f , con lo cual:

f =

Q0 [0, r1)Q1 [r1, r2).

.

.

Qm [rm, 1].

En la Proposición 3.2.1, se probó que f =m∑i=0

hi donde hi =

0 [0, ri)Ri [ri, 1)

∈ 〈F [x]〉,

con r0 = 0 y Ri = Q0 si i = 0 y Ri = Qi−Qi−1 si 1 ≤ i ≤ m, así falta probar quehi se puede expresar como ínfimos o supremos de funciones de F [x].

Se desea encontrar una función de F [x] tal que al hacerle ínfimo o supremo con el


Figura 3.17: Gráfica de hi.

Figura 3.18: Polinomio Ri.

polinomio Ri y sumarle o restarle otra función de F [x] el resultado sea la funciónhi.

Para ello es necesario centrarse en el valor ri donde la función hi cambia delpolinomio cero al polinomio Ri.

Según el comportamiento del polinomio Ri en el entorno de ri se deben considerarcuatro casos:

Caso I: Ri ≤ 0 en el intervalo (ri − ε, ri] y Ri ≥ 0 en el intervalo [ri, ri + ε)para algún ε > 0.

La función buscada Ak ∈ F [x], debe cumplir que Ak(x) > Ri(x) para todox ∈ [0, ri) y Ak(x) ≤ Ri(x) para todo x ∈ [ri, 1], con lo cual

Ri ∨ Ak =

Ak [0, ri)Ri [ri, 1].


Si ri ∈ Q entonces se toma la recta

Ak(x) = −10kqix+ 10kpi, (3.3)

para algún k ∈ N convenientemente escogido. Observe que en este casoA(ri) = R(ri) = 0.

Si ri ∈ I se consideran los puntos r−i = [|10kri|]10k , r+

i = [|10kri|]10k + 1

10k ∈ Q quesatisfacen que r−i ≤ ri ≤ r+

i para algún k ∈ N suficientemente grande, y lafunción

Ak(x) =

−10kx+ [|10kri|] [0, r−i )

0 [r−i , r+i )

−10kx+ [|10kri|] + 1 [r+i , 1],

(3.4)

Figura 3.19: Caso I cuando ri ∈ I.

Entonces, dependiendo de donde esté ri se toma Ak como en 3.3 ó 3.4 y

hi = (Ri ∨ Ak)− (Ak ∨ 0).

Caso II: Ri ≥ 0 en el intervalo (ri − ε, ri] y Ri ≤ 0 en el intervalo [ri, ri + ε)para algún ε > 0.

Al igual que en el caso anterior se define −Ak como 3.3 si ri ∈ Q ó 3.4 siri ∈ I tal que verifique que

hi = (Ri ∧ −Ak)− (−Ak ∧ 0).


Figura 3.20: Caso II cuando ri ∈ I.

Caso III: Ri ≥ 0 en el intervalo (ri − ε, ri + ε) para algún ε > 0.

La derivada del polinomio Ri denotada por R′i se anula en ri y satisface queR′i < 0 en el intervalo (ri − ε, ri) y R′i > 0 en el intervalo (ri, ri + ε). Paraun N ∈ N suficientemente grande se puede garantizar que NR′i > Ri, en elintervalo (ri, 1].

Figura 3.21: Caso III.

Por otro lado, la función

Ai =

0 [0, ri)NR′i [ri, 1],


pertenece al lu-anillo 〈F [x]〉l por el Caso I, con lo cual

hi = Ai ∧Ri.

Caso IV: Ri ≤ 0 en el intervalo (ri − ε, ri + ε) para algún ε > 0.

Este caso es análogo al anterior. Basta con considerar la función

Ai =

0 [0, ri)NR′i [ri, 1],

en 〈F [x]〉l de tal manera que para N ∈ N suficientemente grande NR′i < Ri

en (ri, 1], y se considerahi = Ai ∨Ri.

Por lo tanto, f ∈ 〈F [x]〉l.

Observación 3.2.2. Este resultado también se acerca a la conjetura de Pierce-Birkhoff en el tratamiento del problema. Es decir, se buscan funciones polinómicasque separen el polinomio para poder cerrar con ínfimos y supremos.

Capítulo 4

Co-extensividad de la Categoríade los fu-anillos

En este capítulo se prueba la co-extensividad de la categoría de f -anillos conuna unidad fuerte, con una variación sutil pero importante, de la prueba de la co-extensividad de la categoría de anillos conmutativos unitarios. Como consecuencia,se tiene la co-extensividad de las subcategorías plenas de los fu-anillos y, dada laequivalencia mostrada en el capítulo 2, de algunas subcategorías plenas de lasPMV -álgebras. La importancia de verificar la co-extensividad de la categoríaradica en el buen comportamiento de los productos, lo que indica que se puedehacer geometría algebraica. Los resultados expuestos aquí se encuentran en [9].

4.1. Co-extensividad

Las categorías extensivas tienen muchas propiedades geométricas debido a quetoda categoría extensiva con productos finitos es distributiva en el sentido que elfuntor canónico

(X × Y ) + (X × Z)→ X × (Y + Z)

es un isomorfismo para todo objeto X, Y, Z en la categoría. Lawvere en [26] ex-presó la necesidad de estudiarlas y caracterizarlas, y Schanuel en [40] las carac-terizó para estudiar rigs (semianillos), que son estructuras 〈A, ·,+, 1, 0〉 del tipo

53

54 Capítulo 4. Co-extensividad de la Categoría de los fu-anillos

(2, 2, 0, 0) tales que 〈A, ·, 1〉 y 〈A,+, 0〉 son monoides conmutativos relacionadospor las ecuaciones (a+ b) · c = a · c+ b · c y a · 0 = 0, para todos a, b, c ∈ A.

Definición 4.1.1. ([4, 2.1]) Una categoría A con coproductos finitos es extensivasi el funtor canónico

+ : A/X1 ×A/X2 −→ A/(X1 +X2)

es una equivalencia para todo X1, X2 en A.

Definición 4.1.2. ([4, 2.5]) En una categoría con sumas y pullbacks a lo largode las inyecciones, las sumas son disjuntas si el pullback de las inyecciones de lasuma binaria es el objeto inicial, y las inyecciones son mónicas.

0 //

��

B

iB

��A

iA // A+B

Definición 4.1.3. ([4, 2.10]) En una categoría con coproductos finitos y pullbacksa lo largo de sus inyecciones, un diagrama de coproductos

X1x1 // X1 +X2 oo

x2 X2

es universal si el pullback a lo largo de todo morfismo en X1 +X2 da un diagramade coproducto.

Proposición 4.1.1. ([4, 2.14]) Una categoría con coproductos finitos y pullbacks alo largo de sus inyecciones es extensiva si y sólo si los coproductos son universalesy disjuntos.

Ejemplos 4.1.4. La categoría de los topos, la categoría de los espacios topológicos,las categorías pequeñas, son algunos ejemplos de categorías extensivas con límitesfinitos [3]. La categoría de los grupos no es extensiva.

En general, las categorías extensivas son de naturaleza algebraica [26] y paratener geometría la categoría opuesta debe ser extensiva. Otros resultados acercade categorías extensivas y distributivas pueden encontrarse en [4].

Definición 4.1.5. Una categoría A es co-extensiva si y sólo si Aop es extensiva.

4.2. Co-extensividad de los fu-anillos 55

Observación 4.1.1. Por el dual de la Proposición 4.1.1, la categoría A con pro-ductos finitos es co-extensiva si las proyecciones son epimorfismos, el diagrama

A×B πB //

πA

��

B

!

��A

! // 1es un pushout para todo A,B ∈ C, y para todo g : A × B → C los pushouts delsiguiente diagrama existen y C ∼= C0 × C1.

A ooπA

��

A×B πB //

g

��

B

��C0 oo

q0C

q1 // C1

Ejemplos 4.1.6. La categoría de anillos conmutativos unitarios, la categoría deMV -álgebras1, la categoría de rigs integrales [5], así como las categorías de álge-bras Booleanas y de Heyting, son ejemplos de categorías co-extensivas.

4.2. Co-extensividad de los fu-anillos

La categoría de f -anillos con unidad fuerte contiene una clase de anillos no uni-tarios. Así esta categoría es esencialmente diferente a la categoría de anillos con-mutativos unitarios.

Ejemplo 4.2.1. Sea R = C(R[0,1]) el anillo de funciones continuas y u ∈ R talque 0 < u ≤ 1, ∀x 6= 1/2 y u(1/2) = 0. Entonces, el anillo generado por u, uR,es un fu-anillo semi-low sin identidad. En efecto, u es un elemento arquimediano(Definición 1.3.3), puesto que para todo g ∈ R, |g| < n y ug ∈ uR, por consi-guiente |ug| < nu. Ahora, para h, z ∈ uR tal que 0 < h, z < u < 1 se tienehz < h ∧ z.

La prueba de co-extensividad de la categoría de anillos conmutativos unitarios, esobtenida gracias a la relación entre idempotentes y productos. Lo mismo ocurre

1“Comments on the coextensive nature of the category of MV-algebras” presentado porMatías Menni en el Workshop GEOMETRY AND NON CLASSICAL LOGICS, Department ofMathematics, University of Salerno, 2017.


para las MV -álgebras. Pero en los fu-anillos no necesariamente se tienen los ele-mentos idempotentes, así que se necesitan elementos que cumplan cierta propiedadpara obtener el resultado deseado.

Proposición 4.2.1. Dados dos elementos a, b de un f -anillo C que cumplena ∧ b = 0 y C = 〈a, b〉 el L-ideal generado,

θ : C → C/ 〈a〉 × C/ 〈b〉 ; c 7→ ([c]〈a〉, [c]〈b〉),

es un isomorfismo de f -anillos.

Demostración. θ está bien definida y es un homomorfismo de f -anillos por cons-trucción. La aplicación es inyectiva puesto que θ(c) = ([c]〈a〉, [c]〈b〉) = ([0]〈a〉, [0]〈b〉)implica c ∈ 〈a〉 y c ∈ 〈b〉, para todo c ∈ C, es decir, |c| ≤ ra+ na y |c| ≤ rb+ nb

para algún r ∈ C+ y n ∈ N por la Proposición 2.2.2. De las propiedades de losf -anillos (ver [22, Teorema 1.5 (7)] y [23]), se tiene

|c| ≤ (ra+ na) ∧ (rb+ nb)≤ [(ra+ na) ∧ rb] + [(ra+ na) ∧ nb]= (ra ∧ rb) + (na ∧ rb) + (ra ∧ nb) + (na ∧ nb)≤ (ra ∧ rb) + n(a ∧ rb) + n(ra ∧ b) + n2(a ∧ b)= 0.

Por otro lado, x ≡ y mod (〈a〉 , 〈b〉) para todo x, y ∈ C, pues 〈a, b〉 = C. Por elTeorema Chino del Resto, existe c ∈ C tal que c ≡ x mod 〈a〉 y c ≡ y mod 〈b〉 ,entonces θ(c) = ([c]〈a〉, [c]〈b〉) = ([x]〈a〉, [y]〈b〉), así θ es sobreyectiva.

Proposición 4.2.2. La categoría fu-anillos es co-extensiva.

Demostración. Se procede a mostrar el dual de la Proposición 4.1.1.(Disjunto), el pushout de las proyecciones πA y πB de fu-anillos A,B es el ob-jeto terminal {0} = 1, puesto que para todo λA, λB, λAπA = λBπB implicaλAπA(0, uB) = 0 = λBπB(0, uB) = λB(uB) = uX , donde (0, uB) ∈ A × B, uB

es la unidad fuerte B y 0 = uX es la unidad fuerte de X, luego X = 1 y λ = id1.

4.2. Co-extensividad de los fu-anillos 57

A×B πB //

πA

��

B

�� λB

��

A //

λA ,,

1

λ

##X

(Universal), dado g : A×B → C un homomorfismo de fu-anillos, de la Proposición4.2.1, θ : C → C/ 〈e〉 × C/ 〈¬e〉 ; c 7→ ([c]〈e〉, [c]〈¬e〉), es un isomorfismo fu-anillos con e = g(0, uB) y ¬e = u

C− e = g(uA, 0). Se definen qe = πeθ con

πe : C/ 〈e〉 × C/ 〈¬e〉 → C/ 〈e〉 y qA(a) = qe(g(a, 0)) para todo a ∈ A, y dela misma manera se definen q¬e = π¬eθ, qB(b) = q¬e(g(0, b)). Por construcción,qA, qB son homomorfismos de fu-anillos.

Ahora se prueba que los siguientes diagramas son pushouts.

A ooπA

qA

��

A×B πB //

g

��

B

qB

��C/ 〈e〉 oo qe

Cq¬e // C/ 〈¬e〉

Dado b ∈ B, existe un n ∈ N tal que b ≤ |b| ≤ nuB. Luego, se tiene que|g(0, b)| ≤ g(0, |b|) ≤ g(0, nuB) = ne, así qeg(0, b) = [0]〈e〉 y por lo tanto

qAπA(a, b) = qA(a) = qeg(a, 0) = qeg(a, 0) + qeg(0, b) = qeg(a, b).

Por simetría, qBπB = q¬eg.

Sean λA y λg homomorfismos tales que λAπA = λgg, entonces existe un único λque hace el siguiente diagrama conmutativo.

A ooπA

qA

��λA

��

A×Bg

��C/ 〈e〉 oo qe

λ

yy

C

λgqqP

Defina λ([c]〈e〉) = λg(c). Dado que [c]〈e〉 = [c′]〈e〉 si y sólo si |c − c′| ≤ re +


ne, y λg(e) = λg(g(0, uB)) = λAπA((0, uB)) = 0, al aplicar λg a la desigualdadc− c′ ≤ |c− c′| ≤ re+ ne, se tiene que λg(c) − λg(c′) ≤ 0. De manera similar seobtiene λg(c′)− λg(c) ≤ 0, luego λ está bien definida.

Por otro lado, λqe = λg por construcción, y

λqA(a) = λqe(g(a, 0)) = λgg(a, 0) = λAπA(a, 0) = λA(a).

λ es única también por construcción.

La demostración de que el siguiente diagrama es un pushout es análoga a laanterior.

A×B πB //

g

��

B

qB

��C

q¬e // C/ 〈¬e〉

Dada la contenencia entre las siguientes clases

f -anillos con unidad ⊆ lu-anillos semi-low ⊆ fu-anillos ⊆ f -anillos,

el siguiente resultado es inmediato.

Corolario 4.2.2. La categoría LRu es co-extensiva.

La teoría de f -anillos con unidad fuerte está relacionada a la estructura de MV f -álgebras a través de la equivalencia categórica establecida en [11]. Así, todas lassubcategorías plenas también son co-extensivas.

Teorema 4.2.3. Las categorías PŁ′ ⊂ HSP([0, 1]) ⊂ PMV1 ⊂ PMVf ⊂MV f,

son co-extensivas.

Demostración. Se sigue de la Proposición 4.2.2, y las equivalencias categóricas[11, Teorema 5.2] y [10, Teorema 3.8].

Capítulo 5

Conclusiones

Los cuestionamientos precedentes llevan a pensar que es posible iniciar un estudiosistemático de lo que llamaríamos el álgebra conmutativa difusa. Desde luego, estaes una tarea de más largo alcance, pero se tiene el camino allanado junto con unsinnúmero de publicaciones que así lo indican. En particular, se quiere abordarel problema de la analogía entre las curvas algebraicas en el ámbito del álgebraconmutativa [17] y [19], en contraposición con una teoría de curvas algebraicas enel ámbito de las MV -álgebras y de las MV -álgebras producto.

Debido a la relación entre las PMVf -álgebras y la clase de f -anillos semi-low,se puede estudiar en este contexto las curvas algebraicas asociadas siguiendo lasideas de [17]. En particular se quiere encontrar una versión del teorema de los ce-ros de Hilbert en la categoría de f -anillos unitarios conmutativos semi-low, y asía través de la equivalencia con las PMVf -álgebras se podrá obtener una versióndel teorema de los ceros para PMVf -álgebras, la cual tendría que ser una gene-ralización de los caso descritos en [1] y [15]. Además del teorema de los ceros deHilbert, otros resultados de la teoría clásica de curvas algebraicas pueden ser des-critos en la clase de f -anillos semi-low, por ejemplo, conjuntos algebraicos afines,variedades afines, propiedades locales de curvas planas, y propiedades de curvasplanas proyectivas. A través de la equivalencia descrita en [10], se podrán estudiarlos resultados correspondientes en la variedad de PMVf–álgebras. Se espera que

59

60 Capítulo 5. Conclusiones

dichos resultados generalicen los resultados algebraicos obtenidos para las MV -álgebras y permitan establecer nuevos caminos de investigación en el campo de lageometría algebraica difusa.Adicionalmente, a través de la localización en los f -anillos semi-low y la equi-valencia categórica con las PMVf -álgebras, se desea estudiar una representacióncategórica de las PMVf -álgebras como un haz de PMVf -álgebras cadena locales,análoga a la representación categórica hecha para anillos conmutativos unitarios.

A continuación, enunciamos otras preguntas a las que nos ha llevado hasta ahoranuestro trabajo y que hasta el momento no se han desarrollado en la literatura dela teoría y que guían nuestras futuras pesquisas.

En [12] se construyeron los MV -espacios a partir de la categoría de lasMV -álgebras y su representación por MV -cadenas. Esta construcción es unclaro ejemplo de cómo se pueden ir copiando las ideas expuestas en [19] parael desarrollo de una geometría algebraica difusa. Especialmente si dotamosa las MV -álgebras de un producto especial. ¿Es posible dar los primerospasos en esta dirección? ¿Cuáles son los principios básicos de un álgebraconmutativa difusa?

¿Cuáles de las propiedades de las curvas algebraicas en el contexto clásicotienen una versión en la variedad de los f -anillos semi-low, [10], y conse-cuentemente en la variedad de las PMVf -álgebras producto?

Los filtros primos de ceros de funciones de la MV -álgebra libre Freen estánen correspondencia biyectiva con sus ideales primos. Estos ceros de funcionesson uniones finitas de k-simplex que caracterizan las congruencias de lasMV—álgebras. ¿Es posible realizar un estudio de los filtros de ceros defunciones correspondientes a las PMVf -álgebras libres en una variable?

Apéndice A

En este apéndice se anexa el código en el lenguaje de programación Phyton, elabo-rado a partir de la Proposición 3.2.1. Este programa está elaborado para descom-poner, en las funciones hi, funciones polinómicas a trozos de cualquier cantidadde componentes. El programa arroja un PDF junto con un código Latex de la des-composición. El código fue realizado en colaboración con el profesor León DarioEscobar1.

1

2 #!/ usr/bin/ python3 # -*- coding : utf -8 -*-4

5 """6 --------------------------------7 | Descomposicion de funciones |8 --------------------------------9 """

10

11 # importando modulos12 import numpy as np13 import sympy as sym14

15

16 # ----------------------------------------------------------------17 # -----------DATOS DE ENTRADA (solo modificar esta parte !) --------18 # Declaramos la variable simbolica19 x = sym. symbols (’x’) # declaramos las variables simbolicas

1Profesor del Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle, Cali, Colombia.

61

62 Apéndice A.

20

21 # Introducir los Qs y sus dominios22 Q0 = 2*x -4*x**223 Q1 = -8*x **2+10*x-324 Q2 = 8*x**2 -10*x+325

26 r1 =0.527 r2 =0.7528

29 NumeroDecimales =1530

31 # lista de los Qs32 Lista_de_Qs = [Q0 , Q1 , Q2 ]33

34 # Puntos de cambio de polinomios entre cero y uno35 #(un numero menor que polinomios !)36 Lista_de_rs = [ r1 , r2 ]37 # ---------------------------------------------------------------38 # ---------------------------------------------------------------39

40 # Definiendo la clase de los Q para construir los objetos41 class Q_objeto ():42 def __init__ (self , variable , expresion , ri ):43 # inicializa la clase con los atributos que nosotros le

pasemos44 self. expresion = sym.Poly( expresion , variable ) # forma

del polinomio45 self.ri = round(ri , NumeroDecimales )46 self. variable = variable # forma de lista47

48

49 def __call__ (self):#verlo como una matriz para la impresion enpantalla !

50 Arreglo_en_matriz = sym. Matrix ( [ self. expresion . as_expr (), self.ri ] )

51 return Arreglo_en_matriz52

53

54 # Definiendo la clase de los h ( corazon del programa !)

63

55 class h_objeto ( object ):56 def __init__ (self , Q_objeto ):57 self. componente1 = 0 * Q_objeto . expresion # para obtener solo

la expresion !58 self. dominio1 = [ 0 , Q_objeto .ri ]59

60 self. componente2 = Q_objeto . expresion61 self. dominio2 = [ Q_objeto .ri , 1 ]62

63 self. descomposicion =[ ]# donde se guardara la descomposicionde h!!

64 #aqui esta el resultadodel programa !!

65

66 self. variable = Q_objeto . variable67

68 def obtener_hp_objeto (self):69 Ri_prima = self. componente1 . as_expr () # lo cual es cero!70 grado = self. componente2 . degree ()71 coeficientes = self. componente2 . all_coeffs ()72 for n in range( grado ):73 Ri_prima += coeficientes [n] * x**( grado - 1 - n ) #

revisar esta parte !!!74 return Q_objeto (75 self. variable ,sym. simplify ( -

coeficientes [-1] / self. dominio1 [1] ) ,76 self. dominio1 [1] ), Q_objeto ( self.

variable , Ri_prima , self. dominio1 [1] )77

78 def __call__ (self):#verlo como una matriz para la impresion enpantalla !

79 Arreglo_en_matriz = sym. Matrix ([[ self. componente1 . as_expr() ,

80 [ self.dominio1 [0], self. dominio1 [1] ] ] ,

81 [ self.componente2 . as_expr () ,

82 [ self.dominio2 [0] ,

64 Apéndice A.

83 self.dominio2 [1] ] ] ] )


86

87 # Definiendo la clase de los h primas ( corazon del programa !)88 class hp_objeto ( object ):89 def __init__ ( self , Q_objeto1 , Q_objeto2 ):90

91 self. componente1 = Q_objeto1 . expresion . as_expr ()92 self. dominio1 = [ 0 , Q_objeto1 .ri ]93

94 self. componente2 = Q_objeto2 . expresion95 self. dominio2 = [ Q_objeto2 .ri , 1 ]96

97 self. variable = Q_objeto1 . variable98

99 def transformar_a_h_objeto (self):100 return str( round( self. componente1 . as_expr () ,

NuemroDecimales ) ) ,101 Q_objeto ( self. variable , self.

componente2 . as_expr () -102 self. componente1 . as_expr (),103 round(self. dominio1 [1],

NumeroDecimales ) )104

105 def __call__ (self):# Verlo como una matriz para la impresion enpantalla !

106 # Arreglo_en_matriz = sym. Matrix ( [[ self. componente1 . as_expr() ,

107 #[ str(self.dominio1 [0]) ,

108 #str(self.dominio1 [1]) ] ] ,

109 #[ self.componente2 . as_expr () ,

110 #[ str(self.dominio2 [0]) ,

65

111 #str(self.dominio2 [1]) ] ] ] )

112 Arreglo_en_matriz = sym. Matrix ( [[ self. componente1 . as_expr() ,

113 [ sym. symbols( str(self. dominio1 [0]) ),

114 sym.symbols ( str(self. dominio1 [1]) ) ] ] ,

115 [ self.componente2 . as_expr () ,

116 [ sym. symbols( str(self. dominio2 [0]) ) ,

117 sym.symbols ( str(self. dominio2 [1]) ) ] ] ] )

118


121 def el_ultimo_hp (self):122 Arreglo_en_matriz = sym. Matrix (123 [[ sym. symbols ( str( round( self. componente1 ,

NumeroDecimales ) ) ) ,124 [ sym. symbols (

str(self. dominio1 [0]) ),125 sym. symbols (

str(self. dominio1 [1]) ) ]] ,126 [ self.

componente2 . as_expr () ,127 [ sym. symbols (

str(self. dominio2 [0]) ) ,128 sym. symbols (

str(self. dominio2 [1]) ) ]]] )129 print round( self. componente1 , NumeroDecimales )130 return Arreglo_en_matriz131

132

133 # Creacion de las diferencias de los Qs134 Qs =[]135 for i in range( 1 , len( Lista_de_Qs ) ):136 Qs. append ( Q_objeto ( x , Lista_de_Qs [i]- Lista_de_Qs [i -1] ,

66 Apéndice A.

137 Lista_de_rs [i -1] ) )138

139 #print Qs [0]#() # llamando al objeto Q!140 # raw_input ()141

142 # Creacion de los objetos h143 h=[]144 for i in range( len( Qs ) ):145 h. append ( h_objeto ( Qs[i] ) )146

147

148 print " ------h",i," -----"149 sym. pprint ( h[i]() )150 print " ---------------\n"151

152 raw_input ()153

154 # Reduccion de todos los h hasta grado 1155 h_para_imprimir =[0]* len(h)156 contador_de_parentesis =0157

158 for j in range( len(h) ):159 coeficientes = h[j]. componente2 . all_coeffs () # primero es el del

maximo grado160 gradoh = h[j]. componente2 . degree ()161

162 if gradoh >1: # reduccion del grado de h si es necesario163

164 gradohp = 2 # Variable auxiliar165

166 h_a_descoponer =h[j]167

168 while(gradohp >1):169

170 # hallar hp171 hp1 ,hp2 = h_a_descoponer . obtener_hp_objeto ( )172 hp = hp_objeto ( hp1 ,hp2 )173

174 # h descompuesto como hp y las otras cosas!

67

175 Coeffs = h_a_descoponer . componente2 . all_coeffs ()176 a0 = Coeffs [-1] # el ultimo de la lista de coeficientes177 rj = h[j]. dominio1 [1]178

179 # Adicionando los terminos de a0180 h[j]. descomposicion . append ( str( round(a0 , NumeroDecimales )

) )181 # raw_input ()182

183 # Adicionando la funcion por tramos184 A= hp_objeto ( Q_objeto ( h_a_descoponer . variable , (a0/rj

) *x - a0 ,185 round(rj ,

NumeroDecimales ) ),186 Q_objeto ( h_a_descoponer .

variable ,0,rj) )187 h[j]. descomposicion . append ( A )188

189 #print A()190 # raw_input ()191

192 # Agregando la gran X que multiplica al parentesis !!!!193 h[j]. descomposicion . append ( str( h_a_descoponer . variable )

)194

195 # Chequear el grado del Rip para ver si hp tiene que serreducido una vez mas o no !...

196 gradohp = hp. componente2 . degree ()197

198 h[j]. descomposicion . append ( "{" )199

200 if gradohp >1:201

202 # Preparando para la siguiente reduccion de hp ...transformarlo en tipo h!

203

204 # Obtener el hp descompuesto como h205 descomposicion_hp = hp. transformar_a_h_objeto ( )206

68 Apéndice A.

207

208 h_a_descoponer = h_objeto ( descomposicion_hp [1] )209

210

211 # Adicionando el termino faltante212 h[j]. descomposicion . append ( descomposicion_hp [0] )213

214 else:215 # adiciono el ultimo hp que no

fue descompuesto !216 h[j]. descomposicion . append ( hp. el_ultimo_hp () )217

218

219 #Para imprimir en pantalla !220 print " ********************************************* "221

222 h_descompuesto_final =[]223

224 print " -------- descomposicion h",j," ------------"225

226 for k in range( len( h[j]. descomposicion ) ):227

228 if callable ( h[j]. descomposicion [k] ):229 h_descompuesto_final . append ( h[j]. descomposicion [k]() )230 # lo guarda y lo muestra !231 else:232 h_descompuesto_final . append ( h[j]. descomposicion [k] )233 # lo guarda y lo muestra !234

235 if k<len( h[j]. descomposicion ) -1 and h[j]. descomposicion [k]!236 ="{" and h[j]. descomposicion [k]!= str( h_a_descoponer . variable

):237 h_descompuesto_final . append ( "+" )238

239

240 h_para_imprimir [j] = h_descompuesto_final # y listo para serguardado !

241

242 #print h_descompuesto_final

69

243 print " ********************************************* "244 raw_input ()245

246 # import sys247 #sys.exit ()248

249

250

251 import pylatex252

253 print " llamando el modulo pylatex "254 raw_input ()255

256

257 geometry_options = {" tmargin ": "2cm", " lmargin ": "2cm"}258 doc = pylatex . Document ( geometry_options = geometry_options ,259 font_size =’footnotesize ’)260

261 #doc = pylatex . Document ()262 # definiendo el titulo263 doc. preamble . append264 ( pylatex . Command (’title ’,’Descomposicion de funciones

polinomiales a trozos ’))265

266 doc. preamble . append ( pylatex . Command (’author ’, ’Johana ’))# autordel documento

267 doc. append ( pylatex .utils. NoEscape (r’\ maketitle ’)) # crear!268

269

270 with doc. create ( pylatex . Section (’Polinomios ecuaciones ’)): #creando la s e c c i n "

271

272

273 #with doc. create ( pylatex . Subsection (’Las h originales ’)):274

275 # for k in range( len(h) ):276

277 # h_original = pylatex . Matrix ( h[k]() , mtype=’b’ )

70 Apéndice A.

278 #doc. append ( pylatex .Math( data = [ ’h’,str(k) ,’=’,h_original ]) )

279 #doc. append (’\\’)280

281 with doc. create ( pylatex . Subsection (’Descomposicion de las h’)):282 for a in range( len( h_para_imprimir ) ):283 doc. append (’Descomposicion de las h’)284 doc. append ( str(a+1) )285 doc. append ( ":" )286

287 # Formando las matrices288

289 h_inicial = "h"+str(a+1)+"="290 h_final =[ h_inicial ]291 contador_bracket =0292

293 # leyendo h para imprimir294 for i in range( len( h_para_imprimir [a]) ):295

296 if isinstance ( h_para_imprimir [a][i], str):297

298 #print "hola", h_para_imprimir [a][i]299 if ( h_para_imprimir [a][i]=="{") or300 ( h_para_imprimir [a][i]=="}"):301

302 contador_bracket +=1303 h_final . append ( pylatex . Matrix ( sym. Matrix (304 [ [

contador_bracket ] ,305 [

contador_bracket ] ,306 [

contador_bracket ]]) ,307

mtype=’b’) )308

309 else:310 h_final . append ( h_para_imprimir [a][i] )311

A.1. Ejemplos 71

312 else:313 h_final . append ( pylatex . Matrix ( h_para_imprimir [a][i],314

mtype=’B’) )315

316

317 # cerrando los parentesis318 for q in range( contador_bracket , 0 , -1):319 h_final . append ( pylatex . Matrix ( sym. Matrix ( [ [ q ] , [q

] , [q]] ) ,320

mtype=’b’) )321

322 doc. append ( pylatex .Math( data = h_final ) )323

324

325 doc. generate_pdf (’Ecuaciones ’) # generar el .pdf con nombreecuaciones !

326 doc. generate_tex (’Ecuaciones ’) # generar el .tex con nombreecuaciones !

327

328 print "Listo !!!, .pdf y .tex creados ..... ;) !!!\n"

A.1. Ejemplos

Ejemplo 1.1 # Introducir los Qs y sus dominios2 Q0 = 2*x -4*x**23 Q1 = -8*x **2+10*x-34 Q2 = 8*x**2 -10*x+35

6 r1 =0.57 r2 =0.758


11 # lista de los Qs12 Lista_de_Qs = [Q0 , Q1 , Q2 ]

72 Apéndice A.

13

14 # Puntos de cambio de polinomios entre cero y uno15 #(un numero menor que polinomios !)16 Lista_de_rs = [ r1 , r2 ]

Después de ingresar en el programa la función que se desea reescribir, en este casola función f · g dada en Ejemplo 3.1.1, el PDF obtenido es:

Descomposición de las h

Descomposición de las h1:

h1 = −3,0 +

3,0− 6,0 ∗ x [0, 0,5]0 [0,5, 1]

+ x

111

6,0 [0, 0,5]

8− 4 ∗ x [0,5, 1]

111


h2 = 6,0 +

8,0 ∗ x− 6,0 [0, 0,75]0 [0,75, 1]

+ x

111

−8,0 [0, 0,75]

16 ∗ x− 20 [0,75, 1]

111

Tome la matriz [1]3×1 como un paréntesis.

Así, la función puede reescribirse como f ·g = h0 +h1 +h2 de la siguiente manera:

(f · g)(x) =x(2− 4x) +−3 +

3− 6x [0, 0,5]0 [0,5, 1]

+ x

6 [0, 0,5]8− 4x [0,5, 1]

+6 +

−6 + 8x [0, 0,75]0 [0,75, 1]

+ x

−8 [0, 0,75]−20 + 16x [0,75, 1]

.El programa descompone las hi donde el grado de los polinomios Ri es mayor oigual a dos y las muestra en pantalla, pero lo hace para i 6= 0, por esta razón h0

no aparece.

De la Proposición 3.2.1:

A.1. Ejemplos 73

1) h0 = −4x2 + 2x = x(2− 4x).

2) h1 =

0 [0, 0,5]−3 + 8x− 4x2 [0,5, 1]

y h′1 =

6 [0, 0,5]8− 4x [0,5, 1]

.

Entonces,

h1 = −3 +

3− 6x [0, 0,5]0 [0,5, 1]

+ h′1x

= −3 +

3− 6x [0, 0,5]0 [0,5, 1]

+ x

6 [0, 0,5]8− 4x [0,5, 1]

.3) h2 =

0 [0, 0,75]6− 20x+ 16x2 [0,75, 1]

y h′2 =

−8 [0, 0,75]−20 + 16x [0,75, 1]

.

Entonces,

h2 = 6 +

−6 + 8x [0, 0,75]0 [0,75, 1]

+ h′2x

= 6 +

−6 + 8x [0, 0,75]0 [0,75, 1]

+ x

−8 [0, 0,75]−20 + 16x [0,75, 1]

.Ejemplo 2.

1 # introducir los Qs y sus dominio2 Q0 = 13 Q1 = 16*x**2 -16*x+44 Q2 = 16*x**2 -8*x+15 Q3 = 16*x**2 -24*x+96 Q4 = 16*x**2 -16*x+47 Q5 = 18

9 r1 =0.2510 r2 =0.37511 r3 =0.512 r4 =0.62513 r5 =0.7514


74 Apéndice A.

16

17 # lista de los Qs18 Lista_de_Qs = [Q0 , Q1 , Q2 , Q3 , Q4 , Q5 , 1 ]19

20 # puntos de cambio de polinomios entre cero y uno (un numeromenor que polonomios !)

21 Lista_de_rs = [ r1 , r2 , r3 , r4 , r5 ]22 # ---------------------------------------------------------------

Al tomar la función h2 dada en Ejemplo 3.1.2, el PDF obtenido es:

Descomposición de las h


h1 = 3,0 +

12,0 ∗ x− 3,0 [0, 0,25]0 [0,25, 1]

+ x

111

−12,0 [0, 0,25]

16 ∗ x− 16 [0,25, 1]

111


h2 =

0 [0, 0,375]−3 + 8 ∗ x [0,375, 1]

.


h3 =

0 [0, 0,5]8− 16 ∗ x [0,5, 1]

.


h4 =

0 [0, 0,625]−5 + 8 ∗ x [0,625, 1]

.

A.1. Ejemplos 75


h5 = −3,0 +

3,0− 4,0 ∗ x [0, 0,75]0 [0,75, 1]

+ x

111

4,0 [0, 0,75]

16− 16 ∗ x [0,75, 1]

111

Así, la función puede reescribirse como h2(x) = h0 + h1 + h2 + h3 + h4 + h5.

h2(x) = 1 +3 +

−3 + 12x [0, 0,25]0 [0,25, 1]

+ x

−12 [0, 0,25]−16 + 16x [0,25, 1]

+

0 [0, 0,375]−3 + 8x [0,375, 1]

+

0 [0, 0,5]8− 16x [0,5, 1]

+

0 [0, 0,625]−5 + 8x [0,625, 1]

+−3 +

3− 4x [0, 0,75]0 [0,75, 1]

+ x

4 [0, 0,75]16− 16x [0,75, 1]

De la Proposición 3.2.1:

1) h0 = 1.

2) h1 =

0 [0, 0,25]3− 16x+ 16x2 [0,25, 1]

y h′1 =

−12 [0, 0,25]−16 + 16x [0,25, 1]

.

Entonces,

h1 = 3 +

−3 + 12x [0, 0,25]0 [0,25, 1]

+ h′1x

= 3 +

−3 + 12x [0, 0,25]0 [0,25, 1]

+ x

−12 [0, 0,25]−16 + 16x [0,25, 1]

.3) h2 =

0 [0, 0,375]−3 + 8x [0,375, 1]

.

76 Apéndice A.

4) h3 =

0 [0, 0,5]8− 16x [0,5, 1]

.

5) h4 =

0 [0, 0,625]−5 + 8x [0,625, 1]

.

6) h5 =

0 [0, 0,75]−3 + 16x− 16x2 [0,75, 1]

y h′5 =

4 [0, 0,75]16− 16x [0,75, 1]

.

Entonces,

h5 = −3 +

3− 4x [0, 0,75]0 [0,75, 1]

+ h′5x

= −3 +

3− 4x [0, 0,75]0 [0,75, 1]

+ x

4 [0, 0,75]16− 16x [0,75, 1]

.Estos ejemplos son funciones de [0, 1] en [0, 1] pero el algoritmo funciona parafunciones de [0, 1] en R.

Bibliografía

[1] L. P. Belluce, A. Di Nola, y G. Lenzi. On generalizing the nullstellensatz formv algebras. Journal of Logic and Computation, 25(3):701–717, 2014.

[2] G. Birkhoff. Lattice theory, Third edition, American Mathematical SocietyColloquium Publications, 25. En American Mathematical Society, Providen-ce, R.I. 1967.

[3] A. Carboni y G. Janelidze. Decidable (= separable) objects and morphisms inlextensive categories. Journal of Pure and Applied Algebra, 110(3):219–240,1996.

[4] A. Carboni, S. Lack, y R.F.C. Walters. Introduction to extensive and dis-tributive categories. Journal of Pure and Applied Algebra, 84(2):145–158,1993.

[5] J. L. Castiglioni, M. Menni, y W. J. Botero. A representation theorem forintegral rigs and its applications to residuated lattices. Journal of Pure andApplied Algebra, 220(10):3533–3566, 2016.

[6] C. C. Chang. A new proof of the completeness of the łukasiewicz axioms.Transactions of the American Mathematical Society, 93(1):74–80, 1959.

[7] R. L. Cignoli, I. M. DÓttaviano, y D. Mundici. Algebraic foundations ofmany-valued reasoning, tomo 7. Springer Science & Business Media, 2000.

[8] R. L. Cignoli y A. Torrens. An algebraic analysis of product logic. MultipleValued Logic, 5:45–65, 2000.

77

78 Bibliografía

[9] L. J. Cruz y Y. A. Poveda. On coextensivite of f -rings with a strong unit.Sometido.

[10] L. J. Cruz y Y. A. Poveda. Categorical equivalence between PMVf -productalgebras and semi-low fu-rings. Studia Logica, 107:1135–1158, 2019.

[11] A. Di Nola y A. Dvurečenskij. Product MV-algebras. Multiple-Valued Logics,6:193–215, 2001.

[12] E. J Dubuc y Y. A. Poveda. Representation theory of MV-algebras. Annalsof Pure and Applied Logic, 161(8):1024–1046, 2010.

[13] E. J. Dubuc y Y. A. Poveda. The intimate relationship between the McNaugh-ton and the chinese remainder theorems for MV-algebras. Studia Logica,101(3):483–485, 2013.

[14] E. J. Dubuc y Y. A. Poveda. On the equivalence between MV-algebras andl-groups with strong unit. Studia Logica, 103(4):807–814, 2015.

[15] E. J. Dubuc y J. Zilber. Some remarks on infinitesimals in MV-algebras.arXiv preprint arXiv:1602.05204, 2016.

[16] A. Estrada y Y. A. Poveda. MVW-rigs and product MV-algebras. Journalof Applied Non-Clasisical Logics, 29(1):78–96, 2019.

[17] W Fulton. Algebraic curves: an introduction to algebraic geometry. Addison-Wesley, 1989.

[18] G. Grätzer. Universal algebra. Springer Science & Business Media, 2008.

[19] R. Hartshorne. Algebraic geometry. Springer Science & Business Media, 2013.

[20] M. Henriksen y J. R. Isbell. Lattice-ordered rings and function rings. 1962.

[21] R. Horčík y P. Cintula. Product Łukasiewicz logic. Archive for MathematicalLogic, 43(4):477–503, 2004.

[22] Ma Jingjing. Lecture notes on algebraic structure of lattice-ordered rings.World Scientific, 2014.

Bibliografía 79

[23] D. G. Johnson. A structure theory for a class of lattice-ordered rings. Actamathematica, 104(3):163–215, 1960.

[24] S. Lapenta y I. Leuştean. f-MV-algebras and piecewise polynomial functions.MANYVAL 2013, pág. 34.

[25] S. Lapenta y I. Leuştean. Towards understanding the pierce–birkhoff conjec-ture via MV-algebras. Fuzzy sets and systems, 276:114–130, 2015.

[26] F. W. Lawvere. Some thoughts on the future of category theory. En CategoryTheory, págs. 1–13. Springer, 1991.

[27] F. Lucas, J. Madden, D. Schaub, y M. Spivakovsky. On connectedness of setsin the real spectra of polynomial rings. manuscripta mathematica, 128(4):505,2009.

[28] F. Lucas, D. Schaub, y M. Spivakovsky. On the pierce–birkhoff conjecture.Journal of Algebra, 435:124–158, 2015.

[29] S. Mac Lane. Categories for the working mathematician. Springer Science &Business Media, 2013.

[30] L. Mahé. On the pierce-birkhoff conjecture. The Rocky Mountain Journal ofMathematics, 14(4):983–985, 1984.

[31] L. Mahé. On the pierce–birkhoff conjecture in three variables. Journal ofPure and Applied Algebra, 211(2):459–470, 2007.

[32] M. Marshall. The pierce-birkhoff conjecture for curves. Canadian Journal ofMathematics, 44(6):1262–1271, 1992.

[33] F. Montagna. An algebraic approach to propositional fuzzy logic. Journal ofLogic, Language and Information, 9(1):91–124, 2000.

[34] F. Montagna. Subreducts of MV-algebras with product and product residua-tion. Algebra Universalis, 53(1):109–137, 2005.

[35] F. Montagna y G. Panti. Adding structure to MV-algebras. Journal of Pureand Applied Algebra, 164(3):365–387, 2001.

80 Bibliografía

[36] D. Mundici. Interpretation of AF C∗-algebras in Łukasiewicz sentential cal-culus. Journal of Functional Analysis, 65(1):15–63, 1986.

[37] D. Mundici. A constructive proof of McNaughton’s theorem in infinite-valuedlogic. The Journal of Symbolic Logic, 59(2):596–602, 1994.

[38] Daniele Mundici. Advanced Łukasiewicz calculus and MV-algebras, tomo 35.Springer Science & Business Media, 2011.

[39] H. P. Sankappanavar y S. Burris. A course in universal algebra. GraduateTexts Math, 78, 1981.

[40] S. H. Schanuel. Negative sets have Euler characteristic and dimension. EnCategory theory, págs. 379–385. Springer, 1991.

[41] S. Zuluaga. Los MVW-rigs provenientes de las MV-álgrebras Libres. ProyectoFin de Carrera, Universidad Tecnológica de Pereira, 2017.

Documents

Teoría de Representación para PMVf-álgebras Producto