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Teoría sobre la morfología de Atlas
(uno de los satélites de Saturno)
Enrique Ordaz Romay1
Facultad de Ciencias Físicas, Universidad Complutense de Madrid
Agosto 2007
Versión en castellano del artículo:
http://xxx.lanl.gov/PS_cache/arxiv/pdf/0708/0708.1678v1.pdf
Abstract
El 12 de junio de 2007 la sonda Cassini envió las imágenes de un pequeño satélite de
Saturno llamado Atlas que se sitúa entre el anillo A y el pequeño anillo R/2004 S 1. Estas
imágenes han mostrado que la morfología de Atlas es muy diferente a las de otros satélites de
dimensiones similares. En el presente artículo se propone una teoría plausible, a la que
denominamos “duna voladora”, que explica sus características morfológicas a partir de sus
magnitudes como masa, diámetros y radio orbital, así como por su posición orbital y la
interpretación de las imágenes captadas por la sonda Cassini.
- 1 -
Introducción.
En 1980 la sonda Voyager 1 sobrevoló Saturno enviando fotografías del planeta, sus
anillos y satélites. Richard J. Terrile, en octubre de 1980 descubrió en estas fotografías una
nueva luna que orbitaba ligeramente exterior al anillo A, a la que llamó provisionalmente
1980 S28 [1]. Más adelante se le pondría el nombre definitivo de Atlas [2] (ver imagen 1).
Imagen1. Fotografía obtenida por la sonda Voyager 1 el 12 de noviembre de 1980. (Credit: NASA, JPL, SSI)
Imagen 2. Fotografía obtenida por la sonda Cassini el 8 de junio de 2005. (Credit: NASA, JPL, SSI)
- 2 -
El 8 de junio de 2005 la sonda Cassini se acercó a Atlas a una distancia de 428.551
km obteniendo distintas fotografías [3] que mostraban un satélite con una fuerte simetría en
su eje polar (ver imagen 2).
Una ampliación de esta fotografía del 2005 nos revela que la morfología del satélite
tiene forma de disco (ver imagen 3).
Imagen 3. Atlas visto en una ampliación de la fotografía del 8 de junio de 2005.(Credit: NASA, JPL, SSI)
Imagen 4. Atlas visto por Cassini el 12 de junio de 2007. (Credit: NASA, JPL, SSI)
- 3 -
El 12 de junio de 2007 Cassini obtiene una serie de imágenes de mejor resolución de
Atlas vista desde el plano polar (ver imagen 4).
Diferencias morfológicas de Atlas
respecto de otros satélites pequeños.
Si comparamos las imagenes de Atlas del 8 de octubre de 2005 y 12 de junio de 2007
con las imágenes que tenemos de otros satélites “pequeños” de Saturno, encontramos varias
notables diferencias (ver imagen 5)
Imagen 5. Prometheus, Pandora y Epimeteo. Satélites de Saturno de órbitas cercanas
y tamaños ligeramente superiores a los de Atlas.
Incluso los pequeños satélites de otros planetas del sistema solar resultan ser también
muy distintos (ver imágenes 6 y 7).
Imagen 6. Amaltea y Thebe. Satélites de Júpiter.
- 4 -
Imagen 7. Phobos y Deimos. Satélites de Marte.
Se aprecia que las diferencias entre Atlas y otros satélites del sistema solar - como
Prometheus, Pandora y Epimeteo (satélites de Saturno) de órbitas cercanas y tamaños
ligeramente superiores, o Amaltea y Thebe (satélites de Júpiter) también de parámetros muy
similares o Phobos y Deimos (satélites de Marte) cuyas masas son menores que las de Atlas -
son las siguientes:
• Todos los satélites son irregulares mientras que la forma de Atlas tiene un eje de
simetría central perpendicular al plano de rotación y del anillo de Saturno.
• El resto de satélites muestran marcas de cráteres de las que carece Atlas.
• Las superficies de los demás satélites asemejan rocas de aspecto áspero, mientras que
la superficie de Atlas parece pulida.
El límite de Roche.
El “límite de Roche” [4] es la distancia a la cual un satélite cuya estructura se
mantiene cohesionada únicamente por su propia gravedad comienza a disgregarse debido a
que las fuerzas de marea gravitatoria del planeta al que orbita y a la fuerza centrípeta de su
rotación son mayores que su fuerza gravitatoria de cohesión.
- 5 -
Existen dos ecuaciones distintas para calcular este límite según el satélite sea rígido o
deformable. La diferencia entre ambas ecuaciones depende solo de un parámetro que
notaremos por la letra δ. De esta forma la ecuación tiene la forma:
3 2··m
MRdρρ
δ≈
(1)
Siendo:
• d = Límite de Roche
• R = Radio del planeta
• ρM = Densidad del planeta
• ρm = Densidad del satélite.
• ⎩⎨⎧
=deformable satéliteun para423,2
sólido satéliteun para260,1δ
Nuestro objetivo será conocer cual es el valor del limite de Roche para el satélite
Atlas tanto si consideramos que se trata de un satélite rígido o de uno deformable. Para ello
deberemos conocer el valor de la masa del satélite.
El problema de la masa de Atlas.
Cuando buscamos en las páginas web de la JPL.NASA los datos sobre las
características de Atlas encontramos que, el valor de la masa tiene diversos valores según en
que parte de la web lo consultemos:
• En “sse.jlp.nasa,gov” [2] el valor de la masa es 8 · 1017 kg
• El dato de “saturn.jpl.nasa.gov”[3] para la masa es de 2·1015 kg
• Por otra parte, en “nssdc.gsfc.nasa.gov”[5], aunque ofreciendo un valor para la
masa de 2·1015 kg, asigna una densidad de 500 kg/m3. Dando unas dimensiones
radiales de 18.5 × 17.2 × 13.5 km (que llamamos a, b y c respectivamente). Con
estos dos datos la masa resultante para Atlas sería cercana a 9·1015 kg.
- 6 -
• Por último, del estudio realizado en 2006 por Spitale, J. N.; Jacobson, R. A.;
Porco, C. C.; Owen, W. M., Jr. [6] se deduce que G·mAtlas = (0.44± 0.04)×10-3
km3 s-2. Siendo la constante de gravitación universal G = (6.6742 ± 0,0010)·10-11
m3 kg-1 s-2 el resultado de la masa resulta ser: (6,59 ± 0,66) ·1015 kg.
Es decir, tenemos diversos valores según la fuente que consultemos, cuyos valores
oscilan entre 2·1015 kg y 8 · 1017 kg [7]
Sin embargo, este dato que en principio pudiera parecer que tiene una importancia
secundaria, en este caso tiene una importancia fundamental para entender las imágenes
obtenidas por Cassini el 12 de junio de 2007 [8].
Por el contrario los valores de los semiejes de Atlas han podido ser calculados con
gran precisión. Atlas se puede asemejar a un elipsoide de semiejes a, b y c cuyos valores son
18.500, 17.200 y 13.500 km respectivamente [9].
El límite de Roche para el satélite Atlas.
El valor de la masa de Atlas es fundamental para conocer el límite de Roche tanto si
lo consideramos rígido como si se trata de un objeto deformable.
Los valores más fiables para la masa son:
• mAtlas = 2·1015 kg según los datos de la jpl.nasa
• mAtlas = 6,6·1015 kg según los cálculos realizados por Spitale
• mAtlas = 9·1015 kg según los datos de densidad del nssdc.gsfc.nasa.gov
Con ellos podemos realizar una tabla que nos relacione el valor de Límite de Roche
tanto para un modelo sólido como para el modelo deformable, para los valores de la masa
comprendidos en este intervalo.
- 7 -
Para acotar la ecuación (1) necesitamos los valores de las densidades de Saturno y
Atlas: ρM será la densidad de Saturno que se calcula sabiendo que Saturno es un esferoide de
revolución de semiejes ecuatorial y polar 120.536 y 108.728 km respectivamente. Con estos
datos y sabiendo que la masa de Saturno es 5,688·1026 kg la densidad resulta ser:
3
2/68,687
··34
mkgrr
m
ecuatorialpolar
SaturnoSaturno ==
πρ
Por su parte, ρm será la densidad de Atlas que corresponde a un elipsoide de semiejes
18,5 × 17,2 × 13,5 km (que llamamos a, b y c respectivamente) y tomamos por variable la
masa de Atlas. El resultado es:
314 /·10·557,5···
34
mkgmcba
mAtlas
AtlasAtlas
−==π
ρ
Por último el radio medio de Saturno se calcula como la media geométrica de los
semiejes2 en las tres coordenadas espaciales. Siendo Saturno un esferoide, su ecuación es:
kmrrr ecuatorialpolarmedio 58.231,99·3 2 ==
Sustituyendo estos valores en la ecuación (1) nos queda:
2 Se toma la media geométrica pues nuestro objetivo es calcular la esfera cuyo volumen sea igual a Saturno siendo este un esferoide.
3
131,34693·10
Atlasmd
+
≈ δ (2)
- 8 -
Realizaremos pues una table con tres columnas, una para los valores de la masa de
Atlas comprendidos en el intervalo 2·1015 kg ≤ mAtlas ≤ 9·1015 kg y las otras dos
correspondientes a los dos valores del parámetro δ.
Masa Atlas (kg) L. Roche Rígido (δ=1,26) (km) L. Roche Deformable (δ=2,423) (km)
2,00·10+15 134.701,44 259.033,01
2,50·10+15 125.045,74 240.464,94
3,00·10+15 117.672,55 226.286,18
3,50·10+15 111.778,83 214.952,46
4,00·10+15 106.912,60 205.594,63
4,50·10+15 102.796,44 197.679,18
5,00·10+15 99.248,87 190.857,15
5,50·10+15 96.145,29 184.888,92
6,00·10+15 93.396,76 179.603,46
6,50·10+15 90.937,80 174.874,84
7,00·10+15 88.718,92 170.607,88
7,50·10+15 86.701,87 166.729,08
8,00·10+15 84.856,59 163.180,57
8,50·10+15 83.159,00 159.916,08
9,00·10+15 81.589,59 156.898,07
Tabla 1. Valores del Límite de Roche para Atlas como un cuerpo rígido o deformable, en función de la masa.
Siendo el radio orbital de Atlas es 137.670 km es fácil calcular el valor exacto de la
masa por encima del cual el satélite está fuera del Límite de Roche tanto en el caso sólido
como en el caso deformable. Sustituyendo en la ecuación (2) d por el radio orbital y
despejando la masa mAtlas se obtiene:
mAtlas(rigido; δ = 1,26) > 1,8734·1015 kg
- 9 -
Si por el contrario, supusiéramos que Atlas se comporta como un cuerpo deformable
el límite se calcularía igual pero aplicando la constante δ = 2,423. El resultado sería:
mAtlas(deformable; δ = 2,423) > 1,3322·1016 kg
Es interesante observar que, por un lado, la masa propuesta por el JPL.NASA para
Atlas solo sería posible si Atlas fuera un cuerpo sólido con fuerzas de cohesión más fuertes
que sus fuerzas gravitatorias.
Por otra parte, Atlas no se puede tomar como un satélite totalmente deformable puesto
su Límite de Roche para un cuerpo deformable se sitúa muy por encima de los valores que
estamos manejando.
Propuesta sobre la naturaleza de Atlas.
Con los datos obtenidos, Atlas no puede ser un satélite deformable, pero vistas sus
imágenes (sin cráteres y con simetría en el eje de rotación) tampoco puede tratarse de un
satélite rígido como Pandora, Thebe o Phobos.
En consecuencia, la única opción que hace compatible las observaciones y los
cálculos de los Límites de Roche es que Atlas sea un objeto en parte sólido y en parte
deformable tal como un núcleo rocoso recubierto de una capa de polvo. Al ser el núcleo
rígido la deformación del satélite no es completa como si fuera todo él deformable.
Las ecuaciones del Límite de Roche tal como están expresadas en la ecuación (1)
tienen la forma:
3 2··m
MRdρρ
δ≈
Donde δ toma los valores 1,26 ó 2,423.
Sin embargo, puesto que los campos gravitatorios son aditivos, si planteamos Atlas
como un objeto formado por una proporción rígida y otra deformable, para su análisis
- 10 -
podremos descomponerlo en estas dos partes. El límite de Roche en este caso se puede
estimar, en primera aproximación, de la forma:
( )( )3
1310·3469,1)rigid(1423,2)rigid(·26,1Atlas
AtlasAtlas mppd −+≈
(3)
Siendo p Atlas(rigid) la proporción de masa rígida que tiene el satélite (en tanto por
uno). Es decir, si la masa total del satélite (mAtlas(total)) se descompone en una parte de masa
sólida (mAtlas(rigid)) y otra de masa deformable (mAtlas(deformable)) cumpliéndose la relación:
mAtlas(total) = mAtlas(rigid) + mAtlas(deformable) entonces )total()rigid(
rigid)(Atlas
AtlasAtlas m
mp =
Supongamos que la forma de elipsoide de Atlas es debida a que se encuentra muy
cerca de su Límite de Roche (d ≈ 137.670 km) según su proporción de masa rígida y
deformable. En este caso podemos calcular la proporción de las masas que lo componen.
Aplicando la ecuación (3) y despejando de la expresión la proporción de masa rígida se
obtiene:
36 ·10·7136,8066,2)rigid( AtlasAtlas mp −−=
Esta relación nos permite hacer nuevamente una tabla que nos indica, si Atlas se
encuentra cerca de su Límite de Roche cual debe ser su proporción de masa rígida (tabla 2).
Así, por ejemplo, para el valor de la masa de Atlas obtenido en el estudio de Spitale y
que corresponde a 6,6·1015 kg las proporciones de masa rígida y masa deformable son:
• mrigid > 43,15 %
• mdeformable < 56,85 %
- 11 -
Masa Atlas(kg) Proporción masa rígida (%)
2,00·10+15 96,82
2,50·10+15 88,34
3,00·10+15 80,93
3,50·10+15 74,30
4,00·10+15 68,28
4,50·10+15 62,74
5,00·10+15 57,60
5,50·10+15 52,79
6,00·10+15 48,26
6,50·10+15 43,98
7,00·10+15 39,92
7,50·10+15 36,04
8,00·10+15 32,33
8,50·10+15 28,77
9,00·10+15 25,35
Tabla 2. Relación entre la masa de Atlas y su proporción de masa rígida para asegurar la estabilidad gravitatoria.
Características físicas de Atlas.
Por el análisis de las fotografías y los cálculos realizados hemos llegado a la
conclusión de que Atlas es un objeto formado por dos tipos de material: uno rígido y otro
deformable. Puesto que las condición de estabilidad gravitatoria para un objeto así sería la de
un núcleo central de roca rodeado de una nube de polvo en forma de duna, este modelo bien
puede ser bautizado como “duna voladora”.
Este modelo nos permite identificar la masa rígida calculada hasta ahora, con la masa
del núcleo de roca, mientras que la masa deformable corresponde a la masa de la duna. Esta
es la notación que usaremos desde aquí (ver figura 1).
- 12 -
Figura 1. Modelo gráfico del plano polar de Atlas según el modelo “duna volandora”
De cara a poder analizar el campo gravitatorio de Atlas y si este modelo coincide con
las imágenes obtenidas por la sonda Cassini es necesario determinar la densidad de las dos
partes de Atlas.
Para ello tomaremos unas hipótesis de plausibilidad:
• La masa de Atlas es la masa calculada por el estudio de Spitale y que corresponde a
6,6·1015 kg,
• Por las imágenes de Atlas, el satélite se debe encontrar muy cerca de el límite de
Roche. Por este motivo y teniendo en cuenta la anterior masa podemos determinar que
la masa de la roca (mrock) corresponde al 43,15 % de la masa total, mientras que la
masa de la duna (mdune) sería el 56,85 %.
- 13 -
• El núcleo de roca corresponde a un esferoide, uno de cuyos semiejes es c = 13.500 m
(el semieje menor de Atlas) y sus otros dos semiejes tiene valores similares entre sí.
Ello es debido a que en las fotografías de Atlas, en los polos, se ve la rugosidad
rocosa. Además, tal como veremos, la velocidad angular de Atlas ha desplazado la
duna hacia el ecuador, despejando así los polos. Que los polos ecuatoriales de la roca
sean iguales se puede suponer por el rozamiento al que se ve sometida la roca.
• La densidad del núcleo de roca es análoga a la de cualquier satélite rocoso de
similares dimensiones. En nuestro estudio hemos considerado una densidad igual al
satélite Phobos. Es decir 1.900 kg/m3
Con estas suposiciones podemos estimar que la masa de la roca y la duna son:
• mrock = 0,4315 · 6,6·1015 kg = 2,848·1015 kg
• mdunee = 6,6·1015 kg – 2,848·1015 kg = 3,752·1015 kg
Como hemos estimado la densidad de la roca (ρrock) en 1.900 kg/m3, su volumen será:
31210·499,1 mm
Volumerock
rockrock ==
ρ
Este volumen debe corresponder a un esferoide de semieje polar igual a c = 13.500 m
(semieje polar de Atlas) y un radio ecuatorial (rrock;eq) que calculamos:
mrr eqrockeqrock 148.510·499,1·500.13·34
;122
; =→=π
Es decir, con las suposiciones que hemos hecho, el núcleo de roca tiene las cualidades:
• Masa: mrock = 2,848·1015 kg
• Semiejes = 13.500 × 5.148 × 5.148 m
• Densidad = 1.900 kg/m3
- 14 -
Con estos datos el volumen de la duna será:
313312 10·649,110·499,1···34 mmcbaVolumeVolumeVolume rockAtlasdune =−=−= π
A este volumen le corresponde una masa de mdune = 3,752·1015 kg. Por tanto la
densidad de la duna (ρdune) es:
3/5,227 mkgVolume
m
dune
dunedune ==ρ
En consecuencia la duna de polvo tendrá como características físicas:
• Masa: mdune = 3,752·1015 kg
• Volumen: Volumedune = 1,649·1013 m3
• Densidad = 227,5 kg/m3
Campo gravitatorio de Atlas.
Con estas características físicas, el campo gravitatorio de Atlas, dentro y fuera del
satélite consta de varias ecuaciones que se describen por tramos. Ello es debido a que las
distintas partes de las que consta el satélite tienen distintas densidades, así como cada parte
tiene forma irregular que nosotros estimaremos como elipsoides con los semiejes distintos
(ver figura 2).
El caso general contemplaría cinco zonas desde el centro de masas hasta el espacio
más allá del semieje mayor. En la dirección de la recta que pasa por el centro de masas y
Saturno, la intensidad de campo gravitatorio tiene la forma que se ve en la gráfica 1.
En nuestro modelo solo estamos interesados en conocer el campo gravitatorio sobre la
superficie y nos vamos a ceñir al plano que pasa por los polos y Saturno. En estas
condiciones tenemos dos zonas según la distancia (r) al centro de masas:
- 15 -
• Dune II: c ≤ r ≤ b
• Dune III: b ≤ r ≤ a
Figura 2. División de las zonas de Atlas según el modelo “duna voladora”
Gráfica 1. Intensidad de campo gravitatorio en Atlas.
Las masas de cada parte de la duna, correspondiente al corte del elipsoide de semiejes
a, b y c con la esfera de radio r tienen una dependencia de la forma:
- 16 -
arbxkmbrcxkm IIIII <<=<<= para·y para · 22
1
Donde k1 y k2 son dos funciones levemente variantes en x, que dependen directamente
de la densidad de la duna y de los semiejes.
Conviene recordar que hemos realizado esta aproximación ya que al final de los
cálculos en las ecuaciones de superficie deberemos reajustar estos valores3.
La intensidad gravitatoria en ambas zonas y sobre la superficie las podemos estimar
de la forma:
2
2;1
22
2
2
2;1
2
21
2
··
···
rrk
Gr
xkG
rm
Gg
rrk
Gr
xkG
rm
Gg
eqrockrockDuneIII
eqrockrockDuneII
+−−=
+−−=
El último sumando de las dos expresiones anteriores se añade para contrarrestar que
en el volumen del núcleo de roca no tengamos duna. Podemos escribir de forma más
simplificada las anteriores expresiones definiendo el concepto de masa efectiva del núcleo
(mn) de la forma:
2
;1· eqrockrockn rkmm −=
Quedando las anteriores expresiones en la forma:
22
2
2
21
2
··
··
rxkG
rmGg
rxkG
rmGg
nDuneIII
nDuneII
−−=
−−=
3 Esta aproximación se basa en un modelo de paralelepípedo. Para el caso de un modelo de elipsoide de revolución tendríamos factores de la forma (a2 – x2 )3/2 que complicarían el modelo.
- 17 -
Análisis matemático del modelo de “duna voladora” para Atlas.
1.- Análisis de las fuerzas.
En un modelo de Atlas formado por una roca central y una duna de polvo circundante,
el análisis de las fuerzas en un punto de la superficie de la duna sería como en la figura 3.
Figura 3. Análisis de fuerzas en Atlas según el modelo “duna voladora”
Siendo:
• es la fuerza gravitatoria de Atlas. gFr
• rotFr
es la fuerza centrípeta por la rotación de Atlas.
• trasFr
corresponde a la fuerza centrípeta por la traslación de Atlas.
- 18 -
• sFr
∆ es la diferencia de atracción gravitatoria que ejerce Saturno entre este punto y el
centro de masa. Es conocida como fuerza de marea gravitatoria.
• rFr
es la reacción de la superficie debida a la presión, rozamiento, tensión superficial
de la duna (fuerzas intermoleculares, campos magnéticos,…), etc.
- La fuerza de gravedad de Atlas gFr
, tal como veíamos en el apartado anterior, aplicada
sobre la superficie, tiene dos partes:
),(·
),(·
22
;
2
21
;
yxr
dmr
xkmGF
yxr
dmr
xkmGF
nDuneIIIg
nDuneIIg
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=
r
r
- Las dos fuerzas centrípetas: una de rotación y otra de traslación. Sus ecuaciones deberían
ser:
)0,·(·
)0,·(·22
21
xRwdmF
xwdmF
tras
rot
−−=
=r
r
Según los datos del JPL.NASA el satélite Atlas rota de forma síncrona con su
traslación. Ello quiere decir que sus velocidades angulares para rotación y traslación son
iguales. Es decir, se cumple la relación w1 = w2 a la cual llamaremos simplemente w.
Sustituyendo y sumando resulta: )0,1·(·· 2 RwdmFF rottras −=+rr
Por otra parte, la excentricidad de la órbita de Atlas es prácticamente cero lo cual
indica que en centro de masa se verifica la identidad ente la intensidad gravitatoria de Saturno
y la aceleración centrípeta:
322 ·
Rm
GwR
mGRw SaturnoSaturno =→=
- 19 -
Con lo cual: )0,1·(· 2Rm
GdmFF saturnorottras −=+rr
- La fuerza de marea se analiza partiendo de la idea de que todo el satélite está inmerso en
el campo gravitatorio de Saturno. De esta forma, si el campo gravitatorio fuera constante en
todo el satélite, cualquier punto del satélite se vería igualmente afectado por la gravedad y en
las interacciones mutuas entre las partes del satélite la gravedad de Saturno se cancelaría.
Sin embargo, Atlas está lo suficientemente cerca de Saturno como para que las
diferencias de intensidad gravitatoria que Saturno ejerce sobre un punto cualquiera y la que
ejerce sobre el centro de masas sean apreciables. Esta diferencia es la que ejerce fuerza
gravitatoria sobre el satélite para deformarlo.
La fuerza de marea queda:
)0,1()0,1()( 22 dm
Rm
GdmxR
mGF SaturnSaturn
s −−
=∆r
- La fuerza de reacción de la superficie es difícil de analizar en detalle, pues implica
muchas fuerzas que en conjunto generan una tensión superficial.
Sin embargo, de esta fuerza nos interesa solo el hecho de que es perpendicular a la
superficie y por tanto se puede escribir de la forma:
)cos,(sin ααrr FF =r
El interés de esta forma de expresar la fuerza de reacción es que “tan α“ es la menos
pendiente de la superficie. Si la superficie de Atlas corta al plano de los semiejes a y c en la
curva de ecuación y = f(x) entonces y’= – tan α . Esto nos ayudará a encontrar la ecuación de
la superficie.
- 20 -
Ecuaciones de superficie.
El estado de equilibrio de la superficie de la duna se produce cuando la suma de las
fuerzas es igual a cero. Es decir:
( )
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−
−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=−
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=−
dmyr
xkmGFaxesy
dmxR
mGdmx
rxkm
GFaxesxIIIDune
dmyr
xkmGFaxesy
dmxR
mGdmx
rxkm
GFaxesxIIDune
nr
Saturnnr
nr
Saturnnr
···
cos:
···
sin:
···
cos:
···
sin:
32
232
3
21
23
21
α
α
α
α
Estas son las ecuaciones paramétricas de una función y = f(x) definida en las dos
zonas. Dividiendo las dos ecuaciones de cada zona entre si y recordando que y’= – tan α llegamos a las dos ecuaciones diferenciales:
( ) ( )
( ) ( )xkmxRrm
xyyIIIDune
xkmxRrm
xyyIIDune
n
Saturn
n
Saturn
··
'·:
··
'·:
22
3
21
2
3
−−−=−
−−−=−
(4)
Estas últimas ecuaciones se pueden integrar de la forma:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )∫∫∫ −=+−→
−=→
−=
→−
=+→−
−=−−
→−
−=−−→−
−=−
dxxhxR
mK
rdx
xhxRm
rdrdx
xhxRrm
rd
dxxhxR
rmyxddx
xhxRrm
dxxdyy
xhxRrm
xyyxhxR
rmxyy
SaturnSaturnSaturn
SaturnSaturn
SaturnSaturn
·)(
1·)(
·)(
·)(·
21
·)(
·)(·
21·
)(·
··
)(·
'·)(
·'·
2222
32
2
322
2
3
2
3
2
3
- 21 -
Siendo K la constante de integración respecto de la variable r. La función h(x)
correspondería a:
xkmxhIIIDunexkmxhIIDune
nDuneIII
nDuneII
2
21
)(:)(:
−=−=
Para encontrar las soluciones debemos resolver las integrales:
( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫∫
∫ ∫∫
−+
−+
=−−
−+
+−+
=−−
dxxkm
CdxxRBxA
xkmxRdx
dxxkm
DxCdxxRBxA
xkmxRdx
nn
nn
···
·)··(
2
2222
22
21
11211
21
2
Siendo las constantes:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )22
22
222
222
2
22
21
21211
112
12
1
21
131
1
2
332
33
32
nn
n
n
n
n
nn
n
n
mRkk
CmRk
mRkB
mRkk
A
mRkRRm
DmRkRk
kCmRkRk
RkmB
RmRkA
−−
=−
−=
−=
−−
=−
−=
−−
=−−
=
Cada integral por separado queda:
( )
( )
( ) KkxmkCdx
xkmC
Kkxmkxm
mkDkkxmCdx
xkmDCx
KxR
BxRxR
RAdxxRBAx
nn
n
n
nn
n
+−−=−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
++−=
−+
+−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
−=
−+
∫
∫
∫
ln·
··
·ln2·ln
2·
)ln(
22
2
El resultado de sustituir todas estas expresiones en las ecuaciones (4) conduce a las
soluciones exactas.
Una forma de simplificar las soluciones es recordando que R >> x. En este caso,
volviendo a (4) podemos hacer (R – x) ≈ R con lo que nos queda:
- 22 -
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=−
+
−=
−=≈+−
∫
∫∫
xkmRk
mxkm
dxR
mDuneIII
kxmkxm
mRm
xkmdx
Rm
DuneII
xhdx
Rm
Kr
nSaturn
n
Saturn
n
n
n
Saturn
n
Saturn
Saturn
·ln··
:
ln·2·
:
)(1
2222
2
221
2
2
Dado que Dune II está definida entre 0 < x < 22 cb − = 10,657 m, podemos
aproximar
xmk
kxmkxm
nn
n ·ln −≈+
−
En resumen, las relaciones buscadas son:
( )
2222
42222
2
11
2422
··ln·
:
··
·4:
KxkmmRk
yxDuneIII
Kkxm
mRyxDuneII
nSaturn
Saturn
n
+−=+
+=+
Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno para estas ecuaciones son dos:
1. Para y’ = 0 se verifica que, en Dune II, para la variable y hay dos soluciones cuya
diferencia es igual a 2c. Por tanto:
11
31
1 ······4·
kcmkcmc
kmRmRK SaturnSaturn
Saturnn −≈−=
Por tanto Dune II queda
- 23 -
( )21
2422
)··(
·4:
kcxm
mRyxDuneII
Saturn
n
−=+
Es notable observar que, para x = c esta función no está definida y que si x > c el valor
del radio de curvatura al cuadrado es negativo. Evidentemente este hecho se debe a que
el perfil de Duna II es muy próximo al de una esfera de radio c.
2. Para y = 0 se verifica que, en Dune III, para la variable x hay dos soluciones cuya
diferencia es igual a 2a.
Esta solución está cerca de x = a. Recordando que k2·a es la masa de la duna y su valor es
del mismo orden de magnitud que mn podemos aproximar:
( )axmxkm nn −≈− lnln 2
sustituyendo la condición 2 y la aproximación en Dune III queda:
2
22
4222
ln·
·
Kaxmm
Rkx
nSaturn +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
que conduce a la ecuación cuadrática:
[ ] [ ] ( )2
422
222234 ··ln··ln2)(
Saturnnn m
RkKaxmaxmaxxP −++−=
Para P(x) = 0.
Los máximos, mínimos y puntos de inflexión de P(x) se encuentran en:
• Mínimo: x = 0
• Punto de inflexión: x ≈ nma·ln51
- 24 -
• Máximo: x = nma·ln21
• Punto de inflexión: x ≈ nma·ln54
• Mínimo: x = a·ln mn
Puesto que para todos estos valores P(x) tiene el mismo signo, la única opción para tener
dos raíces reales es que el término independiente de P(x) sea negativo. Mediante cálculo
numérico se obtiene que las dos raíces de P(x) toman una distancia 2·a para el valor
K2 ≈ –1,39·1065 kg·m3.
Para este valor las raíces están en: x1 ≈ –18.000 m y x2 ≈ 19.000 m (ver gráfica 2).
-40.000 -30.000 -20.000 -10.000 0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000
Gráfica 2. P(x) para K2 ≈ –1,39·1065 kg·m3.
Análisis de la familia de ecuaciones
La familia de ecuaciones que hemos obtenido tiene la forma:
( )( ) 2222 ·· KBxAyx =++
Para analizar estas ecuaciones las descompondremos de la siguiente forma:
( )( )2
222
·)()(·:
BxAxfKxfyxDune
+==+
- 25 -
Es decir, si f(x) es constante la ecuación Dune se reduce a una circunferencia. Pero
siendo f(x) una parábola, conforme aumenta el valor del parámetro A más se deformará la
circunferencia. La relación entre la circunferencia de radio K y la parábola f(x) será la que
determinará la forma y estabilidad gravitatoria de Dune.
Vamos a representar un caso simple para entender el significado físico de esta
relación. Para ello, comentaremos las gráficas para valores sencillos de K, A y B.
Concretamente tomaremos los valores de K = 6 y A = 1 y variaremos los valores de B.
a) Cuando el valor del parámetro B es mayor que K, la parábola f(x) se sitúa fuera de la
circunferencia. Puesto que la zona de estabilidad gravitatoria está dentro de la
circunferencia de radio K, la ecuación Dune se aproxima a una circunferencia (ver
gráfica 3)
circumf(x)DUNE
Gráfica 3. Parámetros K = 6, A = 1 y B = 7.
Debemos observar que donde la parábola f(x) tiene valores pequeños se produce un
punto asintótico en la ecuación de Dune.
b) Si el parámetro B es menor que K el mínimo de la parábola se sitúa dentro del círculo
de radio K, deformando la zona de estabilidad gravitatoria y transformándola en un
ovoide (ver gráfica 4).
- 26 -
circumf(x)DUNE
Gráfica 4. Parámetros K = 6, A = 1 y B = 5.
Observamos también que la parte asintótica de la ecuación Dune se aproxima a la
zona de estabilidad gravitatoria.
circumf(x)DUNE
Gráfica 5. Parámetros K = 6, A = 1 y B = 4,9.
c) Para un valor concreto, que en nuestro caso está próximo a B = 4,9 la zona de
estabilidad gravitatoria y la zona asintótica se tocan en un punto que coincide con la
intersección de la circunferencia de radio K y la parábola f(x) (ver gráfica 5).
- 27 -
d) Una vez superado el valor crítico de B, la zona de estabilidad gravitatoria y la
asintótica se solapan de forma tal que la materia del satélite se empieza a perder, o de
forma más general, puede haber intercambio de materia entre la zona asintótica y la
de estabilidad gavitatoria. Este mecanismo coincide con el del límite de Roche.
circumf(x)DUNE
Gráfica 5. Parámetros K = 6, A = 1 y B = 4,8.
Esta relación de parámetros nos indica que existe una estrecha relación entre un
satélite formado por polvo y un anillo que se forme a partir de material intercambiado con el
satélite debido a los efectos de su cercanía al límite de Roche.
En el caso concreto del satélite Atlas su estrecha relación con el pequeño anillo
R/2004 S 1 se puede explicar mediante este mecanismo.
Representación gráfica de Atlas.
Las ecuaciones que hemos obtenido para el modelo “duna voladora” de Atlas son las
siguientes:
( ) ( )( )( )( ) 42
2222222
2421
22
2
2
2
2
···ln·:
·4···:
1:
RkKxkmmyxDuneIII
mRkcxmyxDuneII
cy
rxnucleusRock
nSaturn
nSaturn
rock
=+−+
=−+
=+−
- 28 -
Los parámetros rrock, mn, k1 , k2 y K2 los conocemos solo a partir de suposiciones. Sin
embargo, un ajuste adecuado de estos parámetros conduce a una representación grafica del
siguiente tipo:
Figura 4. Representación gráfica de Atlas según el modelo “duna voladora”
Que podemos comparar con las imágenes tomadas por la sonda Cassini:
Imagen 8. Atlas visto en una ampliación de la fotografía del 8 de junio de 2005.(Credit: NASA, JPL, SSI)
- 29 -
Conclusiones.
• El análisis del límite de Roche demuestra que nos es posible que Atlas sea un
satélite totalmente deformable. Sin embargo, las imágenes que nos muestran una
simetría polar indican que no se trata de un objeto totalmente rígido.
• La atípica forma de Atlas, el satélite de Saturno, puede ser explicada mediante un
modelo que combina un núcleo de roca y una duna de polvo que se mueve en su
zona ecuatorial.
• Una determinación exacta de su masa, composición y demás parámetros nos
permitirían obtener una representación exacta de su forma mediante modelos
informáticos. Por nuestras estimaciones Atlas tiene una masa ligeramente
superior a 2,76049·10+15 kg y su composición es aproximadamente mrigid ~ 43,15
% y mdeformable ~ 56,85 %, de forma tal que se sitúa casi en el límite de Roche.
• La rotación (síncrona) de Atlas y las fuerzas de marea de Saturno han desplazado
la nube de polvo hacia el ecuador formando una duna densa y desnudando los
polos, en los cuales se puede ver las irregularidades del núcleo de roca.
• Puesto que Atlas se ve perturbado por los campos gravitatorios de otros objetos
del sistema de Saturno, la duna debe tener un ligero movimiento ondulatorio en
su superficie.
• Matemáticamente se observa una relación entre un satélite que contenga una duna
de polvo y la presencia de un pequeño anillo con el que intercambia materia, tal
como puede ser el caso de Atlas y el pequeño anillo R/2004 S 1.
• Si la sonda Cassini, transcurrido un período de tiempo, volviera a tomar imágenes
de Atlas desde un plano polar, con tanta resolución como las del 12 de junio de
2007, se podrían comparar con las primeras para comprobar si existen diferencias
significativas.
- 30 -
Agradecimientos.
El modelo aquí presentado surgió como consecuencia de las distintas opiniones
expresadas en un foro de astronomía de la página web: www.sondasespaciales.com.
En primer lugar quiero agradecer a Pedro León (nick: Pedro) haber creado este
magnífico lugar de intercambio de información e ideas sobre Astronomía.
En segundo lugar quisiera agradecer la ayuda de Adolfo Reig García-San Pedro (nick:
Adonis). A él se debe el primer borrador en el que se hacía el análisis de las fuerzas sobre la
superficie de Atlas. Algunas partes de mi análisis se basan en matizar y completar ese
borrador. Como dijera en una ocasión Newton: “Si pude ver un poco más lejos fue porque me
subí a hombros de gigantes”.
Los foros de Internet son una excelente forma de implementar la técnica de
“brainstorming” que tan buenos resultados ofrece en las empresas para resolver problemas
complejos. Por ello quiero agradecer a todos y cada uno de los que estuvieron allí, en el hilo
Atlas, sin duda un nuevo misterio, primero sus ideas y después su ayuda, apoyo y ánimo
para que este modelo llegara a concretarse en el presente artículo.
Gracias a: Manuel Marqués López (nick: nimbar), David Mayo Turrado (nick: Mayo),
Luis Gascón (nick: Toulouse), Pedro León (nick: Pedro), Adolfo Reig García-San Pedro
(nick:Adonis), Javier Baena (nick: urheimait), a nick: neotrantoriano (quien primero nos puso
sobre la pista de la “duna voladora”), David Vilches (nick: tucker), nick: Manu, Aitor Conde
(nick: Bultza) que fue el primero en animarme a escribir un informe sobre las ideas que se
estaban barajando acerca de Atlas, José Andrés Pérez (nick: zeroauriga), Augusto Bibolotti
(nick: Eliolari), José María Ruiz Moreno (nick: Spiri), José Sánchez (nick: Rick Dekkard) y
Sergio Álvarez Sanchís (nick: sergiotas).
Gracias a todos.
- 31 -
Referencias.
[1] IAUC 3539: 1980 S 28 1980. url: http://cfa-www.harvard.edu/iauc/03500/03539.html [2] IAUC 3872: Satellites of Jupiter and Saturn 1983. url: http://cfa-www.harvard.edu/iauc/03800/03872.html [3] JPL-NASA. Cassini – Huygens. Multimedia - Images - Raw Images – Results. url: http://saturn.jpl.nasa.gov/multimedia/images/raw/raw-images-details.cfm?feiImageID=78235 [4] Édouard Roche: La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné, Acad. des sciences de Montpellier, Vol. 1 (1847–50) p. 243 [5] Spitale, J. N.; et al. (2006). "The orbits of Saturn's small satellites derived from combined historic and Cassini imaging observations". The Astronomical Journal 132: 692. url: http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-bib_query?bibcode=2006AJ....132..692S&db_key=AST&data_type=HTML&format=&high=444b66a47d06040 [6] JPL-NASA. Cassini – Huygens. Multimedia - Images - Raw Images – Results. url: http://saturn.jpl.nasa.gov/multimedia/images/raw/raw-images-list.cfm?StartRow=17&cacheQ=1&browseLatest=0&storedQ=1446000 [7] JPL-NASA. Saturn: Moons: Atlas: Facts & Figures. url:http://sse.jpl.nasa.gov/planets/profile.cfm?Object=Sat_Atlas&Display=Facts&System=Metric [8] JPL-NASA. Cassini – Huygens .Moons – Atlas url: http://saturn.jpl.nasa.gov/science/moons/moonDetails.cfm?pageID=3 [9] NSSDC – GSFC – NASA. Saturnian Satellite Fact Sheet. url: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/saturniansatfact.html
Bibliografía. [10] Ordaz E. Theory about Atlas morphology (Saturn moon). (2007) ArXiv. url: http://xxx.lanl.gov/PS_cache/arxiv/pdf/0708/0708.1678v1.pdf [11] Bradley C, Ostlie D. An Introduction to Modern Astrophysics. Weber State University. (1996) [12] Alonso M, Finn ED. Fundamental university physics, volume I, Mechanic. Addison-Wesley (1967) [13] Landau LD, Lifshitz EM. Classical fields Theory. Pergamon (1967) [14] Roche limit. Wikimedia Commons. url: http://en.wikipedia.org/wiki/Roche_limit [15] Satélite pastor. Wikimedia Commons. url: http://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_pastor [16] Spiegel MR, Lou J, Abellanas L. Mathematical handbookof formulas and tables. Mc Graw Hill (2000)
- 32 -
