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2Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de Sinais
� Aspecto fundamental:� Conversão do sinal contínuo em uma sequência
de amostras� Um sinal discreto no tempo� Após o processamento digital, a sequência de
saída pode ser convertida de volta a um sinal contínuo no tempo
3Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de Sinais
� A sequência x é escrita como:� x = {x[n]}, -∞ <n < ∞
n inteiro
� Sequência gerada a partir do processo de amostragem
� n-ésimo termo:� x[n] = xa(nT), -∞ <n < ∞
4Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de Sinais
� Referimo-nos a um sistema que implementa a operação anterior como um conversor ideal contínuo-para-discreto (C/D) no tempo
� Na prática, a operação de amostragem é implementada por um conversor analógico-para-digital (A/D)
� Tais sistemas podem ser vistos como aproximações de conversores C/D ideais
� Na implementação ou escolha de um conversor A/D deve-se considerar a quantização da saída, linearidade, a necessidade de circuitos sample-and-hold e limitações na taxa de amostragem
5Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de Sinais
� Circuito sample-and-hold no MatLab
Simulink
6Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de Sinais
� Circuito sample-and-hold no MatLabEntrada
7Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de Sinais
� Circuito sample-and-hold no MatLabSaída
8Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de Sinais
� Circuito sample-and-hold no MatLabSaída
9Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de Sinais
� Circuito sample-and-hold no MatLabSaída
10Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de Sinais
� Em geral, a amostragem é um processo não-inversível� Ou seja, dada uma sequência x[n], às vezes,
não é possível reconstruir o sinal original xc(t)
� Muitos sinais diferentes podem gerar a mesma sequência de amostras de saída
11Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de SinaisAmostragem
12Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de Sinais
� É conveniente representarmos matematicamente o processo de amostragem, dividindo-o em duas partes� O processo consiste de um trem de impulsos
seguido de uma conversão desse trem em uma sequência
13Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Processamento Digital de SinaisAmostragem
14Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema da Amostragem
� Na conversão analógico-digital é necessário colher-se um número discreto de amostras de um sinal contínuo
� O problema crucial na amostragem está com o número de amostras/seg que devem ser colhidas
� Um número muito pequeno de amostras pode resultar em uma representação demasiadamente pobre do sinal
� A análise quantitativa acerca desse problema é estudada pelo Teorema de Shannon-Nyquist
15Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema da Amostragem
� Experimento: Sinal de voz� >> [som, Fs] = wavread('a_casa.wav');� >> soundsc(som, Fs)� >> som2 = som(1:2:length(som));� >> soundsc(som2, Fs/2)
� >> soundsc(som, Fs/2) % ☺
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Teorema da Amostragem
17Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema da Amostragem
Teorema da Amostragem
� A taxa de amostragem deve ser definida corretamente no momento da discretização do sinal
� Problemas:� https://www.youtube.com/watch?v=yr3ngmRuG
Uc
18Carlos Alexandre Mello – [email protected]
19Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema da Amostragem
� O teorema estabelece que, sob certas condições, as amostras de um sinal podem conter precisamente toda a informação a ele associada
� Isto significa que o sinal pode ser perfeitamente recuperado a partir de amostras colhidas sem nenhuma aproximação
20Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema de Shannon
� Um sinal de banda limitada por fm Hz está
unicamente determinado por amostras, se
são tomadas, pelo menos, 2fm amostras
equidistantes por segundo
21Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema de ShannonProva
� Se as amostras são obtidas a cada Ts segundos, considera-se então um trem de impulsos δTs(t)
� A amostragem de um sinal f(t) em intervalos de T segundos será definida por:
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Teorema de ShannonProva
� Vamos analisar o espectro do sinal amostrado� O espectro do sinal amostrado fs(t) pode ser
determinado com o auxílio do teorema da convolução na frequência:
� Segue que:
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Teorema de ShannonProva
� Se:
� Então, o espectro de fs(t) é dado por:
25Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema de ShannonProva
� E, finalmente:
� Este espectro é esboçado para vários valores de ws, isto é, vários valores para o espaçamento Tsentre amostras
26Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema de ShannonProva
� Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal:� Suponha um sinal banda limitado em wm:
27Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema de ShannonProva
� Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal:� Se:
28Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema de ShannonProva
� Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal:� Se:
29Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema de ShannonProva
� Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal:� Se:
Aliasing
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Teorema de ShannonProva
� Recuperação do sinal original - FPB
FPB
31Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema de ShannonProva
� Para recuperação do sinal com um FPB sem distorções, é preciso que:� ws ≥ 2wm
� ou seja� 2π/Ts ≥ 2.2πfm ⇒ Ts ≤ 1/(2fm) seg
� O limite 1/Ts = 2fm é chamado de taxa de Nyquist
32Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema de Shannon
� Além da preocupação com a taxa de amostragem, deve-se tomar precauções quanto à recuperação do sinal para não provocar distorções:� Ganho nas altas frequências� Perda nas baixas frequências� Modulação das frequências do sinal original� Casos híbridos
33Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema de ShannonProva
34Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema de ShannonProva
� Na digitalização de imagens, podemos observar esses fenômenos:� Exemplo: Padrões de Moireé
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Teorema da AmostragemRecuperação do Sinal a Partir de suas Amostras
� De acordo com o teorema de Shannon-Nyquist, se Ts ≤ ½ fm, então a passagem do sinal amostrado por um filtro passa-baixa ideal recupera exatamente o sinal analógico
� Sabendo que: f(t)
F(w)
FPBFunção Sample
36Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema da AmostragemRecuperação do Sinal a Partir de suas Amostras
� Como o sinal é recomposto através das amostras, observa-se que f(t) corresponde à superposição de várias funções sample deslocadas, centradas em 0, ±T, ±2T, ....
37Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Teorema da Amostragem
� Referências:� Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim
e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989� Digital Signal Processing Using MatLab and
Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007� Digital Signal and Image Processing, T.Bose,
John Wiley and Sons, 2004