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demostracion del teorema de Menelao de Alejandria
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Instituto de Formación Docente Salome Ureña Recinto Emilio Prud´Home Maestría en Matemática Educativa Asignatura : Geometría
Sustentante : Jasmín De La Cruz MAT: 20093-0747 Facilitador : Leonicio Tavarez
12/04/23 JASMIN DE LA CRUZ
MENELAO DE ALENJANDRIA
Menelao de Alejandría (c. 70-140) fue un matemático y astrónomo griego, siendo el primero en reconocer a las geodésicas en una superficie curva como análogas naturales de las líneas rectas y en concebir y definir el triángulo esférico.
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UN POCO DE HISTORIA
Aunque se sabe poco sobre la vida de Menelao, se supone que vivió en Roma tras haber pasado su juventud en Alejandría. Tanto Pappus de Alejandría como Proclo lo llaman Menelao de Alejandría y Plutarco recoge una conversación suya con Lucius en Roma.
Ptolomeo también menciona en su trabajo Almagesto (VII.) dos observaciones astronómicas realizadas por Menelao en Roma en enero del año 98. Dichas observaciones fueron sendas ocultaciones de las estrellas Spica y Acrab (Beta Scorpii) por la luna en el intervalo de unas pocas noches. Ptolomeo usó dichas observaciones para confirmar la precesión de los equinoccios, un fenómeno que ya había sido descubierto por Hiparco en el siglo II a. C.
ObraSphaerica es la única obra de Menelao que ha sobrevivido, en
forma de traducción árabe. Está compuesta de tres libros y trata de la geometría de la esfera y de su aplicación a mediciones y cálculo astronómicos.
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DEMOSTRACION
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POSTULADOS Y DEFINICIONES A USARTriángulos semejantes:
dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos homólogos son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.
la relación de semejanza cumple con las mismas propiedades de la congruencia de triángulos, de ahí que se determine la semejanza de triángulos a través de los postulados:
AAAAALLLLAL
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Teorema de Menelao
En el triangulo ABC sean X,Y y Z puntos sobre los lados BC, Ac y AB(o sus prolongaciones). Los puntos X, Y y Z son colinelaes si y solo si:
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. . 1BX CY AZ
XC YA ZB
Demostración Sean X, Y y Z tres puntos colineales sobre
BC, AC y AB respectivamente, con X sobre la prolongación de BC.
Sean P,Q y R los pies de las perpendiculares sobre A, B y C respectivamente a la recta XYZ.
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B
A
C
QZ
P
R
Y
X
DEMOSTRACION
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P
R
Y
Q
A
CB
Z
X
Por la semejanza de triángulos∆ BQX y ∆ CRX decimos que son semejantes por el
postulado AAA:
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BX BQ
XC CR
Como los ∆ BQY y AYZ son semejantes por el postulado AAA, se puede decir que:
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AZ AP
ZB QB
De la misma forma:Los ∆ APZ y CZR son semejantes
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CY CR
YA AP
Multiplicando las igualdades tenemos que:
Y
Lo que hace a los puntos X, Y y Z colineales
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. . . . 1BX CY AZ BQ CR AP
XC YA ZB CR AP BQ
. . 1
. . 1
BX AZ CY BXAZCY
XC ZB YA XCZBYA
BQ CR AP BQCRAP
CR AP BQ CRAPBQ
. . 1BX CY AZ
XC YA ZB
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Conceptos En geometría, la línea geodésica se define
como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie
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